Способи завдання числової послідовності. Визначення числової послідовності

Вида y= f(x), xПро N, де N- безліч натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y=f(n) або y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Значення y 1 ,y 2 ,y 3 ,… називають відповідно першим, другим, третім, … членами послідовності.

Наприклад, для функції y= n 2 можна записати:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способи завдання послідовностей.Послідовності можна задавати різними способами, серед яких особливо важливими є три: аналітичний, описовий і рекурентний.

1. Послідовність задана аналітично, якщо задана її формула n-го члена:

y n=f(n).

приклад. y n= 2n – 1 – послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описовий Метод завдання числової послідовності у тому, що пояснюється, яких елементів будується послідовність.

Приклад 1. "Усі члени послідовності дорівнюють 1". Це означає, мова йдепро стаціонарну послідовність 1, 1, 1, …, 1, ….

Приклад 2. "Послідовність складається з усіх простих чисел у порядку зростання". Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, …. При такому способі завдання послідовності в даному прикладі важко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000 елемент послідовності.

3. Рекурентний спосіб завдання послідовності у тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі попередні члени. Назва рекурентний спосіб походить від латинського слова recurrere- Повертатися. Найчастіше у таких випадках вказують формулу, що дозволяє висловити n-й член послідовності через попередні, і задають 1-2 початкові члени послідовності.

приклад 1. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4,….

Тут y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можна бачити, що отриману в цьому прикладі послідовність може бути задана й аналітично: y n= 4n – 1.

приклад 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 , якщо n = 3, 4,….

Тут: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Послідовність, складену в цьому прикладі, спеціально вивчають у математиці, оскільки вона має низку цікавих властивостей та додатків. Її називають послідовністю Фібоначчі – на ім'я італійського математика 13 в. Задати послідовність Фібоначчі дуже легко, а аналітично - дуже важко. n-е число Фібоначчі виражається через його порядковий номер наступною формулою.

На перший погляд, формула для n-го числа Фібоначчі здається неправдоподібною, так як у формулі, що задає послідовність одних тільки натуральних чисел, міститься квадратне коріння, але можна перевірити «вручну» справедливість цієї формули для кількох перших n.

Властивості числових послідовностей.

Числова послідовність – окремий випадок числової функції, тому ряд властивостей функцій розглядаються й у послідовностей.

Визначення . Послідовність ( y n} називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Визначення. Послідовність ( y n} називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

приклад 1. y 1 = 1; y n= n 2 – зростаюча послідовність.

Отже, вірна наступна теорема (характеристичне властивість арифметичної прогресії). Числова послідовність є арифметичною тоді і тільки тоді, коли кожен її член, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

приклад. При якому значенні xчисла 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 утворюють кінцеву арифметичну прогресію?

Відповідно до характеристичної властивості, задані висловлювання повинні задовольняти співвідношення

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Вирішення цього рівняння дає x= –5,5. При цьому значення xзадані вирази 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 приймають відповідно значення –14,5, –31,5, –48,5. Це – арифметична прогресія, її різниця дорівнює –17.

Геометрична прогресія.

Числову послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить із попереднього члена множенням на одне й те саме число q, називають геометричною прогресією, а число q– знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність ( b n), задана рекурентно співвідношеннями

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bі q –задані числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Приклад 1. 2, 6, 18, 54 … - зростаюча геометрична прогресія b = 2, q = 3.

Приклад 2. 2, -2, 2, -2, … – геометрична прогресія b= 2,q= –1.

Приклад 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресія b= 8, q= 1.

Геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q> 1, і спадної, якщо b 1 > 0, 0 q

Одне з очевидних властивостей геометричної прогресії у тому, що й послідовність є геометричної прогресією, те й послідовність квадратів, тобто.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2, ... є геометричною прогресією, перший член якої дорівнює b 1 2 , а знаменник – q 2 .

Формула n-го члена геометричної прогресії має вигляд

b n= b 1 q n– 1 .

Можна отримати формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії.

Нехай дана кінцева геометрична прогресія

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

нехай S n –сума її членів, тобто.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Приймається, що q№ 1. Для визначення S nзастосовується штучний прийом: виконуються деякі геометричні перетворення виразу S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Таким чином, S n q= S n +b n q – b 1 і, отже,

Це формула з умми n членів геометричної прогресіїдля випадку, коли q≠ 1.

При q= 1 формулу можна не виводити окремо, очевидно, що в цьому випадку S n= a 1 n.

Геометрична прогресія названа тому, що в ній кожен член крім першого, дорівнює середньому геометричному попередньому та наступному членам. Справді, оскільки

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

отже, b n 2= b n- 1 b n+ 1 і вірна наступна теорема (характеристичне властивість геометричної прогресії):

Чисельна послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього та наступного членів.

Межа послідовності.

Нехай є послідовність ( c n} = {1/n}. Цю послідовність називають гармонійною, оскільки кожен її член, починаючи з другого, є середнім гармонійним між попереднім і наступним членами. Середнє геометричне чисел aі bє число

Інакше послідовність називається розбіжною.

Спираючись на це визначення, можна, наприклад, довести наявність межі A = 0у гармонійної послідовності ( c n} = {1/n). Нехай ε – скільки завгодно мале позитивне число. Розглядається різниця

Чи існує таке N, що для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /N? Якщо взяти як Nбудь-яке натуральне число, що перевищує 1/ε , то для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /n ≤ 1/N ε , що і потрібно було довести.

Довести наявність межі в тій чи іншій послідовності іноді дуже складно. Послідовності, що найчастіше зустрічаються, добре вивчені і наводяться в довідниках. Є важливі теореми, дозволяють зробити висновок наявність межі в даної послідовності (і навіть обчислити його), спираючись на вже вивчені послідовності.

Теорема 1. Якщо послідовність має межу, вона обмежена.

Теорема 2. Якщо послідовність монотонна і обмежена, вона має межу.

Теорема 3. Якщо послідовність ( a n} має межу A, то послідовності ( ca n}, {a n+ с) та (| a n|} мають межі cA, A +c, |A| відповідно (тут c- Довільне число).

Теорема 4. Якщо послідовність ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі B pa n + qb n) має межу pA+ qB.

Теорема 5. Якщо послідовність ( a n) та ( b n)мають межі, рівні Aі Bвідповідно, то послідовність ( a n b n) має межу AB.

Теорема 6. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі Bвідповідно, і, крім того, b n ≠ 0 та B ≠ 0, то послідовність ( a n / b n) має межу A/B.

Ганна Чугайнова

Практична робота №13

Завдання числових послідовностей у різний спосіб, обчислення членів послідовності. Знаходження меж послідовностей та функцій

Ціль:навчитися записувати числові послідовності у різний спосіб, описувати їх властивості; знаходити межі послідовностей та функцій.

Коротка теорія

Функція у = f (n) натурального аргументу n (n = 1; 2; 3; 4; ...) називається числової послідовністю.

Існують такі способи завдання числової послідовності:

Словесний метод.Це закономірність або правило розташування членів послідовності, описаний словами.

Аналітичний метод.Послідовність визначається формулою n-го члена: у n =f(n). За цією формулою можна знайти будь-який член послідовності.

Рекурентний метод.Задається формула, якою кожен наступний член знаходять через попередні члени. У разі рекурентного способу завдання функції завжди додатково визначається один або кілька перших членів послідовності.

Числову послідовність називають зростаючою, якщо її члени зростають (у n+1 у n) і спадної, якщо її члени спадають(N+1 n).

Зростаюча чи спадна числові послідовності називаються монотонними.

Нехай точка прямий, а позитивне число. Інтервал називається околицею точки, а число – радіусом околиці.

Розглянемо числову послідовність, загальний член якої наближається до деякого числа b зі збільшенням порядкового номера n. І тут кажуть, що числова послідовність має межу. Це поняття має суворе визначення.

Число b називають межею послідовності (у n), якщо у будь-якій заздалегідь обраній околиці точки b містять усі члени послідовності, починаючи з деякого номера

Теорема 1 Якщо то:

Межа суми/різниці двох послідовностей дорівнює сумі/різниці меж від кожної з них, якщо останні існують:

Межа твору двох послідовностей дорівнює твору меж від кожної з них, якщо межі співмножників існують:

Межа відносини двох послідовностей дорівнює відношенню меж від кожної з них, якщо ці межі існують і межа знаменника не дорівнює нулю:

Для будь-якого натурального показника m та будь-якого коефіцієнта k справедливе співвідношення:

Теорема 1 Якщо то:

Межа суми / різниці двох функцій дорівнює сумі / різниці меж від кожної з них, якщо останні існують:

;

Межа твору двох функцій дорівнює твору меж від кожної їх, якщо межі співмножників існують:

Межа відносини двох функцій дорівнює відношенню меж від кожної з них, якщо ці межі існують і межа знаменника не дорівнює нулю:

Постійний множник можна винести за межі:

Функцію у=f(x) називають безперервною у точці x=a, якщо межа функції у=f(x) при прагненні x до a дорівнює значенню функції у точці х=а.

Перша чудова межа: .

Практичні завдання для аудиторної роботи

Задайте послідовність аналітично і знайдіть п'ять перших членів цієї послідовності:

а) кожному натуральному числу ставиться у відповідність протилежне йому число;

б) кожному натуральному числу ставиться у відповідність квадратний корінь із цього числа;

в) кожному натуральному числу ставиться у відповідність число -5;

г) кожному натуральному числу ставиться у відповідність половина його квадрата.

2. За заданою формулою n-го члена обчисліть п'ять перших членів послідовності (y n):

3. Чи є послідовність обмеженою?

4. Чи є послідовність спадної чи зростаючої?

5. Запишіть околицю точки a=-3 радіуса r=0,5 як інтервалу.

6. Околицею якої точки та якого радіусу є інтервал (2,1; 2,3).

7. Обчисліть межу послідовності:

8. Обчисліть:

Самостійна робота

Варіант 1

Частина А

Частина В

Частина С

7. Обчисліть:

Варіант 2

Частина А

Частина В

6. Обчисліть межу послідовності:

Частина С

7. Обчисліть:

Варіант 3

Частина А

Частина В

6. Обчисліть межу послідовності:

Частина С

7. Обчисліть:

Варіант 4

Частина А

Частина В

6. Обчисліть межу послідовності:

Частина С

7. Обчисліть:

Контрольні питання

Що називають числовою послідовністю?

Якими способами можна задавати числову послідовність?

Яка послідовність називається обмеженою згори?

Яка послідовність називається обмеженою знизу?

Яка послідовність називається зростаючою?

Яка послідовність називається спадною?

Що називають межею числової послідовності?

Перерахуйте правила обчислення меж послідовностей.

Перерахуйте правила обчислення меж функцій.

Алгебра. 9 клас
Урок №32
Дата:_____________
Вчитель: Горбенко Олена Сергіївна
Тема: Числова послідовність, способи її завдання та властивості
Тип уроку: комбінований
Мета уроку: дати поняття та визначення числової послідовності, розглянути способи
завдання числових послідовностей
Завдання:
Освітні: ознайомити учнів із поняттям числової послідовності та членом
числової послідовності; ознайомитися з аналітичним, словесним, рекурентним та
графічним способом завдання числової послідовності; розглянути види числової
послідовності; підготовка до ВОУД;
Розвиваючі: розвиток математичної грамотності, мислення, техніки обчислення, навички
порівняння під час виборів формули; прищеплення інтересу до математики;
Виховні: виховання навичок самостійної діяльності; чіткість та
організованість у роботі; дати кожному учню досягти успіху;
Обладнання: Шкільне приладдя, дошка, крейда, підручник, роздатковий матеріал.
Хід уроку
I. Організаційний момент
 Взаємне вітання;
 Фіксація відсутніх;
 Оголошення теми уроку;
 Постановка цілей та завдань уроку учнями.
Послідовність одне з найголовніших понять математики. Послідовність може
бути складена з чисел, точок, функцій, векторів тощо.
Сьогодні на уроці ми познайомимося з поняттям "числова послідовність", дізнаємось, які
може бути послідовності, познайомимося зі знаменитими послідовностями.

ІІ. Актуалізація опорних знань.
Вам відомі функції, визначені на всій числовій прямій або на її безперервних
ІІІ.
проміжках:
лінійна функція у = кх+в,
квадратична функція у = ах2 + вх + с,


 функція у =



 функція у = | х |.
Підготовка до сприйняття нових знань
пряма пропорційність у = кх,
зворотна пропорційність у =к/х,
кубічна функція у = х3,
,
Але бувають функції, задані інших множинах.
приклад. У багатьох сім'ях є звичай, свого роду ритуал: у день народження дитини
батьки підводять його до одвірка і урочисто відзначають на ньому зростання іменинника.
Дитина росте, і на одвірку з роками виникає ціла драбинка позначок. Три, п'ять, два: Така
послідовність приростів рік у рік. Але є й інша послідовність, і саме
її члени акуратно виписують поруч із засічками. Це послідовність значень зростання.
Дві послідовності пов'язані один з одним.
Друга виходить із першою додаванням.
Зростання це сума приростів за попередні роки.
Розглянути ще кілька завдань.
Завдання 1. На складі є 500 т вугілля, щодня підвозять по 30 т. Скільки вугілля буде
на складі 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?
(Відповіді учнів записуються на дошці: 500, 530, 560, 590, 620).
Задача 2. У період інтенсивного зростання людина зростає в середньому на 5 см на рік. Зараз зростання
у учня С. 180 см. Якого зростання він буде у 2026 році? (2м 30 см). Але цього не бути
може. Чому?
Завдання 3. Щодня кожна хворіє на грип людина може заразити 4 оточуючих.
Через скільки днів захворіють усі учні нашої школи (300 людей)? (Через 4 дні).
Це приклади функцій, заданих на безлічі натуральних чисел – числові
послідовність.
Ставиться мета уроку: Знайти способи знаходження будь-якого члена послідовності.
Завдання уроку: З'ясувати, що таке числова послідовність та як задаються
послідовність.
IV. Вивчення нового матеріалу
Визначення: Числова послідовність – це функція, задана на множині
натуральних чисел (послідовності складають такі елементи природи, які
можна пронумерувати).
Поняття числової послідовності виникло і розвинулося задовго до створення вчення про
функції. Ось приклади нескінченних числових послідовностей, відомих ще
старовини:
1, 2, 3, 4, 5: послідовність натуральних чисел;
2, 4, 6, 8, 10: послідовність парних чисел;
1, 3, 5, 7, 9: послідовність непарних чисел;
1, 4, 9, 16, 25: послідовність квадратів натуральних чисел;
2, 3, 5, 7, 11: послідовність простих чисел;
,
1,
Число членів кожного з цих рядів нескінченне; перші п'ять послідовностей
, : послідовність чисел, обернених натуральним.
,
монотонно зростаючі, остання монотонно спадна.

Позначення: у1, у2, у3, у4, у5
1, 2, 3, 4, 5, :п,:порядковий номер члена послідовності.
(уп) послідовність, уп пий член послідовності.
(ап) послідовність, ап пий член послідовності.
ап1 попередній член послідовності,
ап+1 наступний член послідовності.
Послідовності бувають кінцевими та нескінченними, зростаючі та спадні.
Завдання учням: Записати перші 5 членів послідовності:
З першого натурального числа збільшення на 3.
Від 10 збільшення в 2 рази та зменшення на 1.
Від числа 6 чергувати збільшення на 2 та збільшення в 2 рази.
Ці числові ряди також називаються числовими послідовностями.
Способи завдання послідовностей:
Словесний метод.
Правила завдання послідовності описуються словами, без зазначення формул або
коли закономірності між елементами послідовності немає.
Приклад 1.Послідовність простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Приклад 2. Довільний набір чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Приклад 3. Послідовність парних чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
Аналітичний метод.
Будь-який елемент послідовності можна визначити за допомогою формули.
Приклад 1. Послідовність парних чисел: y = 2n.
Приклад 2. Послідовність квадрата натуральних чисел: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ....
Приклад 3. Стаціонарна послідовність: y = C; C, C, C, ..., C, ...
Окремий випадок: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ....
Приклад 4. Послідовність y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
Рекурентний метод.
Вказується правило, що дозволяє обчислити nй елемент послідовності, якщо
відомі її попередні елементи.
Приклад 1. Арифметична прогресія: a1=a, an+1=an+d, де a та d – задані числа, d
різницю арифметичної прогресії. Нехай a1 = 5, d = 0,7, тоді арифметична прогресія
матиме вигляд: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ....
Приклад 2. Геометрична прогресія: b1= b, bn+1= bnq, де b та q – задані числа, b
0,
0; q – знаменник геометричної прогресії. Нехай b1=23, q=½, тоді геометрична
q
прогресія матиме вигляд: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ....
4) Графічний метод. Числова послідовність
задається графіком, який є
ізольовані точки. Абсциси цих точок – натуральні
числа: n = 1; 2; 3; 4; .... Ординати – значення членів
послідовності: a1; a2; a3; a4;…
Приклад: Запишіть усі п'ять членів числової послідовності,
заданою графічним способом.
Рішення.
Кожна точка в цій координатній площині має
координати (n; an). Випишемо координати зазначених точок
за зростанням абсциси n.
Отримуємо: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Отже, a1 = 3; a2=1; a3 = 4; a4 = 6; a5 =7.

Відповідь: 3; 1; 4; 6; 7.
V. Первинне закріплення вивченого матеріалу
Приклад 1. Скласти можливу формулу n-го елемента послідовності (yn):
а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Рішення.
а) Це послідовність непарних чисел. Аналітично цю послідовність можна
поставити формулою y = 2n+1.
б) Це числова послідовність, у якої наступний елемент більший за попередній
4. Аналітично цю послідовність можна задати формулою y = 4n.
Приклад 2. Виписати перші десять елементів послідовності, заданої рекурентно: y1=1,
y2 = 2, yn = yn2 + yn1, якщо n = 3, 4, 5, 6, ....
Рішення.
Кожен наступний елемент цієї послідовності дорівнює сумі двох попередніх
елементів.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8 = 13 +21 = 34;
y9 = 21 +34 = 55;
y10 = 34 +55 = 89.
VI. Підбиття підсумків уроку. Рефлексія
1. Що у вас вдалося під час виконання завдання?
2. Чи була злагоджена робота?
3. Що не вийшло, на вашу думку?

2. Визначити арифметичну дію, за допомогою якої з двох крайніх чисел отримано середню, та замість знака * вставити пропущене число: ,3104,62,51043,60,94 1,7*4,43,1*37,2*0, 8

3. Учні вирішували завдання, у якому потрібно знайти пропущені числа. Вони отримали різні відповіді. Знайдіть правила, якими хлопці заповнили клітини. Завдання Відповідь 1Відповідь

Визначення числової послідовності Кажуть, що задана числова послідовність, якщо кожному натуральному числу (номеру місця) за будь-яким законом однозначно поставлено у відповідність певне число (член послідовності). У загальному вигляді зазначену відповідність можна зобразити так: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, …, y n, … … n … Число n є n-ий член послідовності. Усю послідовність зазвичай позначають (yn).

Аналітичний спосіб завдання числових послідовностей Послідовність задана аналітично, якщо вказано формулу n-ого члена. Наприклад, 1) yn= n 2 – аналітичне завдання послідовності 1, 4, 9, 16, … 2) yn= З – постійна (стаціонарна) послідовність 2) yn= 2 n – аналітичне завдання послідовності 2, 4, 8, 16, … Вирішити 585

Рекурентний спосіб завдання числових послідовностей Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказують правило, що дозволяє обчислити n-ий член, якщо відомі її попередні члени. ) геометрична прогресія - b 1 = b, b n +1 = bn * q

Закріплення 591, 592 (a, б) 594 – 614 (a)

Обмеженість зверху Послідовність (y n) називають обмеженою зверху, якщо її члени не більше деякого числа. Іншими словами, послідовність (y n) обмежена зверху, якщо існує таке число M, що для будь-якого n виконується нерівність y n M. M – верхня межа послідовності Наприклад, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Обмеженість знизу Послідовність (y n) називають обмеженою знизу, якщо всі її члени не менші за деяке число. Іншими словами, послідовність (y n) обмежена зверху, якщо існує таке число m, що для будь-якого n виконується нерівність y n m. m – нижня межа послідовності Наприклад, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Обмеженість послідовності Послідовність (y n) називають обмеженою, якщо можна вказати такі два числа A та B, між якими лежать усі члени послідовності. Виконується нерівність Ay n B A – нижня межа, B – верхня межа Наприклад, 1 – верхня межа, 0 – нижня межа

Послідовність називається спадною, якщо кожен її член менший за попередній: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Наприклад, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Наприклад,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Наприклад,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Наприклад," title="(!LANG:Зменшуюча послідовність Послідовність називається спадною, якщо кожен її член менший за попередній: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Наприклад,"> title="Послідовність називається спадною, якщо кожен її член менший за попередній: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Наприклад,"> !} 23

Перевірна робота Варіант 1Варіант 2 1. Числова послідовність задана формулою а) Обчисліть перші чотири члени даної послідовності б) Чи є членом послідовності число? б) Чи є членом послідовності число 12,25? 2. Складіть формулу -ого члена послідовності 2, 5, 10, 17, 26, ... 1, 2, 4, 8, 16, ...

1. Визначення . Послідовність ( y n} називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Визначення. Послідовність ( y n} називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

Наприклад: y 1 = 1; y n= n 2 ... - Зростаюча послідовність. y 1 = 1; – спадна послідовність. y 1 = 1; – ця послідовність не є не зростаючою, не меншою.

4. Визначення. Послідовність називається періодичною, якщо існує таке натуральне число T, що, починаючи з деякого n, виконується рівність yn = yn+T . Число T називається довжиною періоду.

5. Послідовність називається обмеженою знизу, якщо всі її члени не менші за деяке число.

6. Послідовність називається обмеженою зверху, якщо всі її члени не більші за деяке число.

7. Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і згори, і знизу, тобто. Існує таке позитивне число, що всі члени даної послідовності за модулем не перевищують це число. (Але її обмеженість із двох сторін не обов'язково означає, що вона є кінцевою).

8. Послідовність може мати лише одну межу.

9. Будь-яка неубутня і обмежена зверху послідовність має межу (lim).

10. Будь-яка зростаюча і обмежена знизу послідовність має межу.

Межа послідовності - така точка (число), на околицях якої розташована більшість членів послідовності, вони щільно підходять до цієї межі, але не досягають його.

Геометрична та арифметична прогресії є окремими випадками послідовності.

Способи завдання послідовності:

Послідовності можна задавати різними способами, серед яких особливо важливими є три: аналітичний, описовий і рекурентний.

1. Послідовність задана аналітично, якщо задана формула її n-го члена:

приклад. yn = 2n – 1 – послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описовий спосіб завдання числової послідовності у тому, що пояснюється, яких елементів будується послідовність.

Приклад 1. "Усі члени послідовності дорівнюють 1". Це означає, йдеться про стаціонарну послідовність 1, 1, 1, …, 1, ….

3. Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n член послідовності, якщо відомі її попередні члени. Назва рекурентний спосіб походить від латинського слова recurrere - повертатися. Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє виразити n-й член послідовності через попередні, і задають 1-2 початкові члени послідовності.

Приклад 1. y1 = 3; yn = yn-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4, ....

Тут y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Можна бачити, що отриману цьому прикладі послідовність може бути задана і аналітично: yn = 4n – 1.

приклад 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 , якщо n = 3, 4,….

Тут: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Історія Фібоначчі:

Fibonacci (Leonardo of Pisa), прибл. 1175-1250

Італійський математик. Народився Пізі, став першим великим математиком Європи пізнього Середньовіччя. У математику його призвела практична потреба встановити ділові контакти. Він видавав свої книги з арифметики, алгебри та інших математичних дисциплін. Від мусульманських математиків він дізнався про систему цифр, вигадану в Індії і вже прийняту в арабському світі, і переконався в її перевагі (ці цифри були попередниками сучасних арабських цифр).

Леонардо з Пізи, відомий як Фібоначчі, був першим великим математиком Європи пізнього Середньовіччя. Будучи народженим у Пізі у багатій купецькій сім'ї, він прийшов у математику завдяки суто практичній потребі встановити ділові контакти. У молодості Леонардо багато подорожував, супроводжуючи батька у ділових поїздках. Наприклад, ми знаємо про його тривале перебування у Візантії та на Сицилії. Під час таких поїздок багато спілкувався з місцевими вченими.

Числовий ряд, що носить сьогодні його ім'я, виріс із проблеми з кроликами, яку Фібоначчі виклав у своїй книзі «Liber abacci», написаній у 1202 році:

Людина посадила пару кроликів у загін, оточений з усіх боків стіною. Скільки пар кроликів за рік може зробити ця пара, якщо відомо, що кожен місяць, починаючи з другого, кожна пара кроликів виробляє на світ одну пару?

Можете переконатися, що кількість пар у кожен із дванадцяти наступних місяців місяців буде відповідно 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Іншими словами, кількість пар кроликів створює ряд, кожен член у якому – сума двох попередніх. Він відомий як ряд Фібоначчі, а самі числа – числа Фібоначчі. Виявляється, ця послідовність має безліч цікавих з погляду математики властивостей. Ось приклад: ви можете розділити лінію на два сегменти, так що співвідношення між більшим та меншим сегментом буде пропорційно співвідношенню між усією лінією та великим сегментом. Цей коефіцієнт пропорційності, приблизно рівний 1,618, відомий як золотий переріз. В епоху Відродження вважалося, що ця пропорція, дотримана в архітектурних спорудах, найбільше тішить око. Якщо ви візьмете послідовні пари з ряду Фібоначчі і ділитимете більше з кожної пари на менше, ваш результат поступово наближатиметься до золотого перетину.

Відколи Фібоначчі відкрив свою послідовність, було знайдено навіть явища природи, у яких ця послідовність, схоже, грає важливу роль. Одне з них - філлотаксис (лісторозташування) - правило, за яким розташовуються, наприклад, насіння в суцвітті соняшника. Насіння у соняшника впорядковане у дві спіралі. Числа, що позначають кількість насіння в кожній із спіралей, є членами дивовижної математичної послідовності. Насіння впорядковане у два ряди спіралей, один з яких йде за годинниковою стрілкою, інший проти. І яке число насіння у кожному разі? 34 та 55.

Завдання №1:

Напишіть перші п'ять членів послідовності.

1. а n = 2 n +1/2 n

а n =2 n +1/2 n

Завдання №2:

Напишіть формулу загального члена послідовності натуральних чисел, кратних 3.

Відповідь: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, а n =3n

Завдання №3:

Напишіть формулу загального члена послідовності натуральних чисел, які при розподілі на 4 дають у залишку 1.

Відповідь:5,9,13,17,21....... 4 n +1 , а n =4n+1

№19. функція.

Функція (відображення, оператор, перетворення) - математичне поняття, що відбиває зв'язок між елементами множин. Можна сміливо сказати, що функція - це «закон», яким кожному елементу однієї множини (званому областю визначення) ставиться у відповідність певний елемент іншого множини (названого областю значень).

Функція – це залежність однієї змінної величини з іншого. Інакше кажучи, взаємозв'язок між величинами.

Математичне поняття функції виражає інтуїтивне уявлення у тому, як одна величина повністю визначає значення інший величини. Так значення змінної х однозначно визначає значення висловлювання , а значення місяця однозначно визначає значення наступного його місяця, також будь-якій людині можна зіставити іншу людину - його батька. Аналогічно, деякий задуманий заздалегідь алгоритм за вхідними даними, що варіюються, видає певні вихідні дані.

Часто під терміном "функція" розуміється числова функція; тобто функція, яка ставить одні числа у відповідність до інших. Ці функції зручно представляються на малюнках як графіків.

Можна дати інше визначення. Функція – це певне діянад змінною.

Це означає, що ми беремо величину, робимо з нею певну дію (наприклад, зводимо в квадрат або обчислюємо її логарифм) – і отримуємо величину.

Дамо ще одне визначення функції – те, що найчастіше зустрічається у підручниках.

Функція – це відповідність між двома множинами, причому кожному елементу першої множини відповідає один і лише один елемент другої множини.

Наприклад, функція кожному дійсному числу ставить у відповідність число вдвічі більше, ніж .

Багато елементів деякої Ф., підставлюються замість х, називають областю її визначення, а безліч елементів у деякій Ф. називають областю її значень.

Історія терміна:

Термін «функція» (в деякому вужчому сенсі) був вперше використаний Лейбніцем (1692). У свою чергу, Йоганн Бернуллі в листі до того ж Лейбніцу вжив цей термін у сенсі, ближчому до сучасного. Спочатку, поняття функції не відрізнялося від поняття аналітичного уявлення. Згодом з'явилося визначення функції, дане Ейлером (1751), потім - у Лакруа (1806) - вже практично в сучасному вигляді. Нарешті, загальне визначення функції (у сучасній формі, але для числових функцій) було дано Лобачевським (1834) і Діріхле (1837). До кінця XIX століття поняття функції переросло рамки числових систем. Першими це зробили векторні функції, невдовзі Фреге ввів логічні функції (1879), а після появи теорії множин Дедекінд (1887) та Пеано (1911) сформулювали сучасне універсальне визначення.

№20. Способи завдання функції.

Розрізняють 4 способи завдання функції:

1. табличнийДосить поширений, полягає в заданні таблиці окремих

значень аргументу та відповідних їм значень функції. Такий спосіб завдання функції застосовується у разі, коли область визначення функції є дискретним кінцевим безліччю.

Зручний, коли f -кінцева множина, коли ж f нескінченне, вказується лише обрані пари (х, у).

При табличному способі завдання функції можна приблизно обчислити значення функції, що не містяться в таблиці, відповідні проміжним значенням аргументу. Для цього використовують спосіб інтерполяції.

Переваги: точність, швидкість, таблиці значень легко знайти потрібне значення функції. Переваги табличного способу завдання функції полягають у тому, що дає можливість визначити ті чи інші конкретні значення відразу, без додаткових вимірів чи обчислень.

Недоліки: неповнота, відсутність наочності У деяких випадках таблиця визначає функцію в повному обсязі, лише для деяких значень аргументу і дає наочного зображення характеру зміни функції залежно від зміни аргументу.

2. аналітичний(Формули). Найчастіше закон, що встановлює зв'язок між

аргументом та функцією, задається за допомогою формул. Такий спосіб завдання функції називається аналітичним. Є найважливішим для МА (мат.анализу), оскільки методи МА (диференціального, інтегрального числення) припускають цей спосіб завдання. Одна й та сама функція може бути задана різними формулами: y=∣sin( x)∣y=√1−cos2( x) Іноді в різних частинах своїх областей функція, що визначається, може бути задана різними формулами f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f). Часто у своїй способі завдання функції область визначення не вказується, тоді під областю визначення розуміється природна область визначення, тобто. безліч всіх значень x, при яких функція набуває дійсного значення.

Цей спосіб дає можливість за кожним чисельним значенням аргументу x знайти відповідне йому чисельне значення функції y точно або з деякою точністю.

Приватним випадком аналітичного способу завдання функції є завдання функції рівнянням виду F(x,y)=0 (1) Якщо це рівняння має властивість, що ∀ x∈Доставляється єдине y, таке, що F(x,y)=0, то кажуть, що рівняння (1) на Д неявно задає функцію. Ще один окремий випадок завдання функції - параметричний, при цьому кожна пара ( x,y)∈fзадається за допомогою пари функцій x=ϕ( t),y=ψ( t) де t∈M.

Головна > Виробництво харчових продуктів

Способи завдання числової послідовності. Визначення числової послідовності

Властивості числових послідовностей.

Геометрична прогресія.

Межа послідовності.

Рекомендуємо також