Як вирішити корінь квадратний. Як швидко витягувати квадратне коріння

Серед безлічі знань, які є ознакою грамотності, на першому місці стоїть абетка. Наступним, таким самим «знаковим» елементом, є навички складання-множення і, що примикають до них, але зворотні за змістом, арифметичні операції віднімання-поділу. Засвоєні в далекому шкільному дитинстві навички, служать вірою і правдою вдень і вночі: ТБ, газета, СМС, І всюди читаємо, пишемо, вважаємо, складаємо, віднімаємо, множимо. А, скажіть, чи часто вам доводилося жити, витягувати коріння, крім як на дачі? Наприклад, таке цікаве завдання, типу, корінь квадратний з числа 12345 ... Є ще порох в порохівницях? Здолаємо? Та немає нічого простішого! Де тут мій калькулятор ... А без нього, врукопашну, слабко?

Спочатку уточнимо, що ж це таке - квадратний коріньчисла. Взагалі кажучи, «витягти корінь із числа» означає виконати арифметичну дію протилежне зведенню в ступінь – ось вам і єдність протилежностей у життєвому додатку. припустимо, квадрат, це множення числа на себе, тобто, як вчили в школі, Х * Х = А або в іншому записі Х2 = А, а словами - «Х у квадраті дорівнює А». Тоді обернена задача звучить так: квадратний корінь числа А, являє собою число Х, яке, будучи зведене в квадрат, дорівнює А.

Вилучаємо квадратний корінь

Зі шкільного курсу арифметики відомі способи обчислень «у стовпчик», які допомагають виконати будь-які підрахунки із застосуванням перших чотирьох арифметичних дій. На жаль… Для квадратних, і не лише квадратних, коріння таких алгоритмів не існує. А в такому разі як витягти квадратний корінь без калькулятора? З визначення квадратного кореня висновок один - необхідно підбирати значення результату послідовним перебором чисел, квадрат яких наближається до значення підкореного виразу. Тільки і всього! Не встигне пройти годину-другу, як можна порахувати, використовуючи добре відомий прийом множення в «стовпчик», будь-який квадратний корінь. За наявності навичок для цього достатньо кількох хвилин. Навіть не зовсім просунутий користувач калькулятора чи ПК робить це одним махом – прогрес.

Якщо серйозно, то обчислення квадратного кореня часто виконують, використовуючи прийом «артилерійської вилки»: спочатку беруть число, квадрат якого, приблизно, відповідає підкореному вираженню. Краще, якщо «наш квадрат» трохи менший за цей вислів. Потім коригують число за власним вмінням-розумінням, наприклад, множать на два, і... знову зводять у квадрат. Якщо результат більший за число під коренем, послідовно коригуючи вихідне число, поступово наближаються до його «колеги» під коренем. Як бачите - жодного калькулятора, тільки вміння рахувати «в стовпчик». Звичайно ж, є безліч науково-аргументованих та оптимізованих алгоритмів обчислень квадратного кореня, але для домашнього застосування зазначений вище прийом дає 100% впевненість у результаті.

Так, мало не забув, щоб підтвердити свою збільшену грамотність, обчислимо квадратний корінь раніше зазначеного числа 12345. Робимо покроково:

1. Візьмемо, суто інтуїтивно, Х = 100. Підрахуємо: Х * Х = 10000. Інтуїція на висоті – результат менше 12345.

2. Спробуємо, теж чисто інтуїтивно, Х = 120. Тоді: Х * Х = 14400. І знову з інтуїцією порядок – результат більше 12345.

3. Вище отримана «вилка» 100 та 120. Виберемо нові числа – 110 та 115. Отримуємо, відповідно, 12100 та 13225 – вилка звужується.

4. Пробуємо на "можна" Х = 111. Отримуємо Х * Х = 12321. Це число вже досить близько до 12345. Відповідно до необхідної точності «припасування» можна продовжити або зупинитися на отриманому результаті. От і все. Як і було обіцяно – все дуже просто та без калькулятора.

Зовсім небагато історії…

Додумалися до використання квадратного корінняще піфагорійці, учні школи та послідовники Піфагора, за 800 років до н.е. і відразу, «нарвалися» на нові відкриття області чисел. І звідки що?

1. Розв'язання задачі із вилученням кореня, дає результат у вигляді чисел нового класу. Їх назвали ірраціональними, інакше кажучи, "нерозумними", т.к. вони не записуються закінченим числом. Найкласичніший приклад такого роду - квадратний корінь з 2. Цей випадок відповідає обчисленню діагоналі квадрата зі стороною, що дорівнює 1 - ось воно, вплив школи Піфагора. Виявилося, що у трикутника з цілком конкретним одиничним розміром сторін, гіпотенуза має розмір, який виражається числом, у якого немає кінця. Так у математиці з'явилися

2. Відомо, що виявилося, що ця математична операціямістить ще один каверз - витягуючи корінь, ми не знаємо, квадратом якого числа, позитивного або негативного, є підкорене вираз. Ця невизначеність, подвійний результат однієї операції, так і записується.

Вивчення пов'язаних із цим явищем проблем стало напрямком у математиці під назвою теорія комплексної змінної, що має велике практичне значення у математичній фізиці.

Цікаво, що позначення кореня - радикал - застосував у своїй «Універсальній арифметиці» той самий всюдисущий І. Ньютон, а точності сучасний виглядзаписи кореня відомий з 1690 року з книги француза Роля «Керівництво алгебри».

Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і стала позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання виміряти, порівняти, порахувати те, що оточує, - ось що лежало в основі однієї з фундаментальних наук наших днів. Спочатку це були частинки елементарної математики, що дозволили пов'язати числа з їх фізичними висловлюваннями, пізніше висновки стали викладатися лише теоретично (через свою абстрактність), а через деякий час, як висловився один учений, "математика досягла стелі складності, коли з неї зникли усі числа". Поняття "квадратний корінь" з'явилося ще тоді, коли його можна було без проблем підкріпити емпіричними даними, виходячи за площину обчислень.

З чого все починалося

Перша згадка кореня, який на Наразіпозначається як √, було зафіксовано у працях вавилонських математиків, які започаткували сучасну арифметику. Звичайно, на нинішню форму вони були схожі мало - вчені тих років спочатку користувалися громіздкими табличками. Але в другому тисячолітті до н. е. ними було виведено наближену формулу обчислень, яка показувала, як витягти квадратний корінь. На фото нижче зображено камінь, на якому вавилонські вчені вирубали процес виведення √2 , причому він виявився настільки вірним, що розбіжність у відповіді знайшли лише у десятому знаку після коми.

Крім цього, корінь застосовувався, якщо потрібно було знайти бік трикутника, за умови, що дві інші відомі. Ну і при вирішенні квадратних рівнянь від вилучення кореня нікуди не подітися.

Нарівні з вавілонськими роботами об'єкт статті вивчався і в китайській роботі "Математика в дев'яти книгах", а стародавні греки дійшли висновку, що будь-яке число, з якого не вилучається корінь без залишку, дає ірраціональний результат.

Походження цього терміну пов'язують з арабським уявленням числа: давні вчені вважали, що квадрат довільного числа виростає з кореня, подібно до рослини. Латиною це слово звучить як radix (можна простежити закономірність - все, що має під собою "кореневе" смислове навантаження, співзвучно, чи то редис або радикуліт).

Вчені наступних поколінь підхопили цю думку, позначаючи як Rx. Наприклад, у XV столітті, щоб вказати, що витягується корінь квадратний із довільного числа a, писали R 2 a. Звична сучасному погляду"Галочка" - з'явилася лише в XVII столітті завдяки Рене Декарту.

Наші дні

З погляду математики, квадратний корінь із числа y - це таке число z, квадрат якого дорівнює y. Інакше кажучи, z 2 =y рівносильно √y=z. Однак це визначення актуальне лише для арифметичного кореня, оскільки воно має на увазі невід'ємне значення виразу. Іншими словами, √y=z, де z більше або одно 0.

У випадку, що діє визначення алгебраїчного кореня, значення висловлювання може бути як позитивним, і негативним. Таким чином, через те, що z 2 =y та (-z) 2 =y, маємо: √y=±z або √y=|z|.

Завдяки тому, що любов до математики з розвитком науки лише зросла, існують різноманітні прояви прихильності до неї, не виражені у сухих обчисленнях. Наприклад, нарівні з такими цікавими явищами, як день числа Пі, відзначаються і свята кореня квадратного. Відзначаються вони дев'ять разів на сто років, і визначаються за таким принципом: числа, які позначають по порядку день і місяць, має бути коренем квадратним із року. Так, у Наступного разуналежить відзначати це свято 4 квітня 2016 року.

Властивості квадратного кореня на полі R

Практично всі математичні вирази мають під собою геометричну основу, не минула ця доля і √y, яка визначається як сторона квадрата з площею y.

Як знайти корінь числа?

Алгоритмів обчислення є кілька. Найбільш простим, але при цьому досить громіздким є звичайний арифметичний підрахунок, який полягає в наступному:

1) з числа, корінь якого нам потрібен, по черзі віднімаються непарні числа - до тих пір, поки залишок на виході не вийде менше віднімається або взагалі буде дорівнює нулю. Кількість ходів і буде в результаті шуканим числом. Наприклад, обчислення квадратного кореня з 25:

Наступне непарне число – це 11, залишок у нас наступний: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Для таких випадків існує розкладання в ряд Тейлора:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n де n приймає значення від 0 до

+∞, а |y|≤1.

Графічне зображення функції z=√y

Розглянемо елементарну функцію z=√y на полі дійсних чисел R, де y більше або дорівнює нулю. Графік її виглядає так:

Крива росте з початку координат та обов'язково перетинає точку (1; 1).

Властивості функції z=√y на полі дійсних чисел R

1. Область визначення цієї функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль включений).

2. Область значень розглянутої функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль знову ж таки включений).

3. Мінімальне значення (0) функція набуває лише точці (0; 0). Максимального значення немає.

4. Функція z=√y ні парна, ні непарна.

5. Функція z=√y не є періодичною.

6. Точка перетину графіка функції z=√y з осями координат лише одна: (0; 0).

7. Точка перетину графіка функції z=√y також є нулем цієї функції.

8. Функція z=√y безперервно зростає.

9. Функція z=√y набуває лише позитивних значень, отже, графік її займає перший координатний кут.

Варіанти зображення функції z=√y

У математиці для полегшення обчислень складних виразів іноді використовують статечну форму написання кореня квадратного: √y=y 1/2 . Такий варіант зручний, наприклад, у зведенні функції у ступінь: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2 . Цей метод є вдалим уявленням і при диференціюванні з інтегруванням, так як завдяки йому корінь квадратний є звичайною статечною функцією.

А в програмуванні заміною символу є комбінація літер sqrt.

Слід зазначити, що у цій області квадратний корінь дуже затребуваний, оскільки входить у склад більшості геометричних формул, необхідні обчислень. Сам алгоритм підрахунку досить складний та будується на рекурсії (функції, що викликає сама себе).

Корінь квадратний у комплексному полі

За великим рахунком, саме предмет цієї статті стимулював відкриття поля комплексних чисел C, оскільки математикам не давав спокою питання отримання кореня парного ступеня з негативного числа. Так виникла уявна одиниця i, яка характеризується дуже цікавою властивістю: її квадратом є -1. Завдяки цьому квадратні рівняння і за негативного дискримінанта отримали рішення. В для кореня квадратного актуальні ті ж властивості, що і в R, єдине, зняті обмеження з підкореного виразу.

Площа квадратної ділянки землі дорівнює 81 дм2. Знайти його сторону. Припустимо, що довжина сторони квадрата дорівнює хдециметрів. Тоді площа ділянки дорівнює х² квадратним дециметрам. Оскільки за умовою ця площа дорівнює 81 дм², то х² = 81. Довжина сторони квадрата – позитивне число. Позитивним числом, квадрат якого дорівнює 81, є число 9. При розв'язанні задачі потрібно знайти число х, квадрат якого дорівнює 81, тобто вирішити рівняння х² = 81. Це рівняння має два корені: x 1 = 9 та x 2 = — 9, оскільки 9² = 81 і (- 9)² = 81. Обидва числа 9 і — 9 називають квадратним корінням із числа 81.

Зауважимо, що одне з квадратних коренів х= 9 є позитивним числом. Його називають арифметичним квадратним коренем із числа 81 та позначають √81, таким чином √81 = 9.

Арифметичним квадратним коренем із числа аназивається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

Наприклад, числа 6 і — 6 є квадратним корінням із числа 36. При цьому число 6 є арифметичним квадратним коренем із 36, оскільки 6 — невід'ємне число і 6² = 36. Число — 6 не є арифметичним коренем.

Арифметичний квадратний корінь із числа апозначається так: √ а.

Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня; а- називається підкореним виразом. Вираз √ ачитається так: арифметичний квадратний корінь з числа а.Наприклад, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. У тих випадках, коли ясно, що мова йдепро арифметичне коріння, коротко кажуть: «корінь квадратний з а«.

Дію знаходження квадратного кореня у складі називають вилученням квадратного кореня. Ця дія є оберненою до зведення в квадрат.

Зводити в квадрат можна будь-які числа, але добувати квадратне коріння можна не з будь-якого числа. Наприклад, не можна витягти квадратний корінь із числа — 4. Якби такий корінь існував, то, позначивши його літерою х, Ми отримали б неправильну рівність х² = - 4, так як зліва стоїть невід'ємне число, а справа негативне.

Вираз √ амає сенс тільки за а ≥ 0. Визначення квадратного кореня можна коротко записати так: √ а ≥ 0, (√а)² = а. Рівність (√ а)² = асправедливо за а ≥ 0. Таким чином, щоб переконатися в тому, що квадратний корінь з негативного числа адорівнює b, тобто в тому, що √ а =b, потрібно перевірити, що виконуються такі дві умови: b ≥ 0, b² = а.

Квадратний корінь із дробу

Обчислимо. Зауважимо, що √25 = 5, √36 = 6, і перевіримо чи виконується рівність .

Так як і , то рівність вірна. Отже, .

Теорема:Якщо а≥ 0 та b> 0, тобто корінь із дробу дорівнює коренюз чисельника, поділеного на корінь із знаменника. Потрібно довести, що: .

Бо √ а≥0 та √ b> 0, то .

За якістю зведення дробу у ступінь та визначенням квадратного кореня теорему доведено. Розглянемо кілька прикладів.

Обчислити , за доведеною теоремою .

Другий приклад: Довести, що , якщо а ≤ 0, b < 0. .

Ще приклад: Обчислити .

Перетворення квадратного коріння

Винесення множника з-під знаку кореня. Нехай дано вираз. Якщо а≥ 0 та b≥ 0, то за теоремою про коріння з твору можна записати:

Таке перетворення називається винесення множника з-під знаку кореня. Розглянемо приклад;

Обчислити при х= 2. Безпосередня підстановка х= 2 у підкорене вираз призводить до складних обчислень. Ці обчислення можна спростити, якщо спочатку винести з-під знаку кореня множники: . Підставивши тепер х = 2 отримаємо:.

Отже, при винесенні множника з-під знака кореня є підкорене вираз у вигляді твору, в якому один або кілька множників є квадратами невід'ємних чисел. Потім застосовують теорему про корені з твору та витягують корінь із кожного множника. Розглянемо приклад: Спростити вираз А = √8 + √18 - 4√2 виносячи в перших двох доданків множники з-під знаку кореня, отримаємо:. Підкреслимо, що рівність справедливо тільки за а≥ 0 та b≥ 0. якщо ж а < 0, то .

Досить часто при вирішенні завдань ми стикаємося з великими числами, з яких треба витягти квадратний корінь. Багато учнів вирішують, що це помилка, і починають вирішувати весь приклад. У жодному разі не можна так чинити! На те є дві причини:

Коріння з великих чиселсправді зустрічаються у завданнях. Особливо у текстових;
Існує алгоритм, за допомогою якого це коріння вважається майже усно.

Цей алгоритм ми сьогодні розглянемо. Можливо, якісь речі здадуться вам незрозумілими. Але якщо ви уважно поставитеся до цього уроку, то отримаєте потужну зброю проти квадратного коріння.

Отже, алгоритм:

Обмежити корінь, що шукається, зверху і знизу числами, кратними 10. Таким чином, ми скоротимо діапазон пошуку до 10 чисел;
З цих 10 чисел відсіяти ті, які точно не можуть бути корінням. В результаті залишаться 1-2 числа;
Звести ці 1-2 числа у квадрат. Те, квадрат якого дорівнює вихідному числу, і буде коренем.

Перш ніж застосовувати цей алгоритм працює на практиці, погляньмо на кожен окремий крок.

Обмеження коріння

Насамперед треба з'ясувати, між якими числами розташований наш корінь. Дуже бажано, щоб числа були кратні десяти:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Отримаємо ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Що нам дають ці цифри? Все просто: ми маємо кордони. Візьмемо, наприклад, число 1296. Воно лежить між 900 і 1600. Отже, його корінь може бути менше 30 і більше 40:

[Підпис до малюнка]

Те саме — з будь-яким іншим числом, з якого можна знайти квадратний корінь. Наприклад, 3364:

[Підпис до малюнка]

Таким чином, замість незрозумілого числа ми отримуємо конкретний діапазон, в якому лежить вихідний корінь. Щоб ще більше звузити область пошуку, переходимо на другий крок.

Відсів свідомо зайвих чисел

Отже, ми маємо 10 чисел — кандидатів на корінь. Ми отримали їх дуже швидко, без складних роздумів та множень у стовпчик. Час рухатися далі.

Не повірите, але зараз ми скоротимо кількість чисел-кандидатів до двох — і знову без складних обчислень! Достатньо знати спеціальне правило. Ось воно:

Остання цифра квадрата залежить лише від останньої цифри вихідного числа.

Іншими словами, досить поглянути на останню цифру квадрата — і ми одразу зрозуміємо, на що закінчується вихідне число.

Існує всього 10 цифр, які можуть стояти на останньому місці. Спробуємо з'ясувати, на що вони перетворюються при зведенні на квадрат. Погляньте на таблицю:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ця таблиця є ще одним кроком на шляху до обчислення кореня. Як бачите, цифри у другому рядку виявилися симетричними щодо п'ятірки. Наприклад:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Як бачите, остання цифра обох випадках однакова. А це означає, що, наприклад, корінь із 3364 обов'язково закінчується на 2 або на 8. З іншого боку, ми пам'ятаємо обмеження з попереднього пункту. Отримуємо:

[Підпис до малюнка]

Червоні квадрати показують, що ми поки що не знаємо цієї цифри. Але корінь лежить у межах від 50 до 60, на якому є тільки два числа, що закінчуються на 2 і 8:

[Підпис до малюнка]

От і все! З усіх можливих коренів ми залишили лише два варіанти! І це у найважчому випадку, адже остання цифра може бути 5 або 0. І тоді залишиться єдиний кандидат у корені!

Фінальні обчислення

Отже, у нас залишилося 2 числа-кандидати. Як дізнатися, яке є корінням? Відповідь очевидна: звести обидва числа у квадрат. Те, що у квадраті дасть вихідне число, і буде коренем.

Наприклад, для числа 3364 ми знайшли два числа-кандидати: 52 та 58. Зведемо їх у квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

От і все! Вийшло, що корінь дорівнює 58! При цьому, щоб спростити обчислення, я скористався формулою квадратів суми та різниці. Завдяки чому навіть не довелося множити числа у стовпчик! Це ще один рівень оптимізації обчислень, але, зрозуміло, не обов'язковий:)

Приклади обчислення коренів

Теорія – це, звичайно, добре. Але перевіримо її на практиці.

[Підпис до малюнка]

Для початку з'ясуємо, між якими числами лежить число 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Тепер дивимось на останню цифру. 6. Коли це відбувається? Тільки якщо корінь закінчується на 4 або 6. Отримуємо два числа:

Залишилося звести кожне число квадрат і порівняти з вихідним:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Чудово! Перший квадрат виявився дорівнює вихідному числу. Значить, це є корінь.

Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Дивимося на останню цифру:

1369 → 9;
33; 37.

Зводимо у квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Ось і відповідь: 37.

Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]

Обмежуємо число:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Дивимося на останню цифру:

2704 → 4;
52; 58.

Зводимо у квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Отримали відповідь: 52. Друге число зводити до квадрата вже не потрібно.

Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]

Обмежуємо число:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Дивимося на останню цифру:

4225 → 5;
65.

Як бачимо, після другого кроку залишився лише один варіант: 65. Це і шуканий корінь. Але давайте все-таки зведемо його в квадрат і перевіримо:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записуємо відповідь.

Висновок

На жаль, не краще. Давайте розберемося у причинах. Їх дві:

На будь-якому нормальному іспиті з математики, чи то ГІА чи ЄДІ, користуватися калькуляторами заборонено. І за пронесений до класу калькулятор можуть легко вигнати з іспиту.
Не уподібнюйтесь тупим американцям. Які не те що коріння - вони два простих числа скласти не можуть. А побачивши дробів вони взагалі починається істерика.

У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальним поняття кореня, визначивши корінь n-ого ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня, зокрема, потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

Визначення

Квадратний корінь із числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5 · 5 = 25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний корінь з нуля.

Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – невід'ємне число за будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обґрунтуванням цього факту можна вважати конструктивний спосіб, який використовується для знаходження значення квадратного кореня.

Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, або ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем із нуля є нуль; якщо ж a – деяке позитивне число, то кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.

Почнемо з нагоди a=0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це випливає з очевидної рівності 02 = 00 = 0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, тому що при будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.

Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді за визначенням квадратного кореня справедливі рівність b 2 =a і c 2 =a , з них випливає, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів із позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь"відокремлюється" від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

Визначення

Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.

При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що йдеться саме про позитивне квадратне коріння з числа.

У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .

Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь з нуля дорівнює нулю, тобто . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу висловлювання та .

За підсумками визначення квадратного кореня доводяться якості квадратного коріння , які найчастіше застосовуються практично.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .

Кубічний корінь із числа

Визначення кубічного кореняу складі a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно виходить з понятті куба числа, а чи не квадрата.

Визначення

Кубічним коренем у складі aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічного коріння . Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 , і зведемо їх у куб: 7 3 =7 · 7 · 7 = 343, 0 3 = 0 · 0 · 0 = 0 . Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний корінь із 343 , 0 є кубічний корінь із нуля, а −2/3 є кубічним коренем із −8/27 .

Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, який ми згадували при вивченні квадратного кореня.

Понад те, існує лише єдиний кубічний корінь із цього числа a . Доведемо останнє твердження. Для цього окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 та a – негативне число.

Легко показати, що з позитивному a кубічний корінь з a може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність не має рішень, тому що ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 , b c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b, яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то має виконуватись рівність b3=0, яка можлива лише при b=0.

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково співпадатиме з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

Визначення

Арифметичним кубічним коренем з негативної кількості aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як , знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 у цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише негативних чисел a , але зручно також використовувати записи, у яких під знаком арифметичного кубічного кореня перебувають негативні числа. Розуміти їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, .

Про властивості кубічного коріння ми поговоримо у загальній статті властивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, це дію розібрано у статті вилучення коренів: способи, приклади, рішення .

На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .

Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.

Визначення

Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a.

З цього визначення зрозуміло, що корінь першого ступеня з числа a є саме число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показником ми прийняли a 1 =a .

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь та кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – корені парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коріння, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a. Тобто, корінь будь-якого парного ступеня у складі a існує лише для неотрицательного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2·m, де m – деяке натуральне число) у складі a . Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2m −c 2m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.

Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто, корінь будь-якої непарної міри з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a є єдиним.

Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a та b обидва позитивні або обидва негативні їх твір є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що знаходиться в дужках найвищого ступеня вкладеності, є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємось, що вони також позитивні як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо тільки тоді, коли b−c=0 , тобто коли число дорівнює числу c .

Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.

Визначення

Арифметичним коренем n-ого ступеня з невід'ємного числа aназивається неотрицательное число, n -я ступінь якого дорівнює a.