Przekształcenia wyrażeń wymiernych: rodzaje przekształceń, przykłady. racjonalne wyrażenie

W odległej przeszłości, kiedy jeszcze nie wynaleziono systemu rachunku różniczkowego, ludzie liczyli wszystko na palcach. Wraz z pojawieniem się arytmetyki i podstaw matematyki prowadzenie ewidencji towarów, produktów i artykułów gospodarstwa domowego stało się znacznie łatwiejsze i bardziej praktyczne. Jednak jak to wygląda nowoczesny system rachunek różniczkowy: na jakie typy dzielą się istniejące liczby i co oznacza „racjonalna forma liczb”? Rozwiążmy to.

Ile rodzajów liczb jest w matematyce?

Samo pojęcie „liczby” oznacza pewną jednostkę dowolnego obiektu, która charakteryzuje jego wskaźniki ilościowe, porównawcze lub porządkowe. Aby poprawnie policzyć liczbę pewnych rzeczy lub wykonać pewne operacje matematyczne z liczbami (dodawanie, mnożenie itp.), przede wszystkim należy zapoznać się z odmianami tych samych liczb.

Tak więc istniejące liczby można podzielić na następujące kategorie:

Liczby naturalne to te liczby, za pomocą których liczymy liczbę obiektów (najmniejsza liczba naturalna to 1, logiczne jest, że szereg liczby naturalne jest nieskończona, to znaczy nie ma największej liczby naturalnej). Zbiór liczb naturalnych jest zwykle oznaczany literą N.
Wszystkie liczby. Ten zestaw zawiera wszystko, gdy jest dodany i wartości ujemne, w tym liczba „zero”. Notacja zbioru liczb całkowitych jest zapisana jako łacińska litera Z.
Liczby wymierne to te, które możemy w myślach zamienić na ułamek, których licznik będzie należał do zbioru liczb całkowitych, a mianownik do liczb naturalnych. Poniżej przeanalizujemy bardziej szczegółowo, co oznacza „liczba wymierna”, i podamy kilka przykładów.
- zbiór, który zawiera wszystkie wymierne i ten zbiór jest oznaczony literą R.
Liczby zespolone zawierają część liczby rzeczywistej i część zmiennej. Służą do rozwiązywania różnych równań sześciennych, które z kolei mogą mieć we wzorach wyrażenie ujemne (i 2 = -1).

Co to znaczy „racjonalny”: analizujemy to na przykładach

Jeśli liczby wymierne to te, które możemy przedstawić w postaci wspólny ułamek okazuje się, że do zbioru wymiernych należą również wszystkie liczby całkowite dodatnie i ujemne. W końcu każda liczba całkowita, na przykład 3 lub 15, może być reprezentowana jako ułamek, gdzie mianownik będzie jeden.

Frakcje: -9/3; 7/5, 6/55 to przykłady liczby wymierne.

Co oznacza „racjonalna ekspresja”?

Pójść dalej. Omówiliśmy już, co oznacza racjonalna forma liczb. Wyobraźmy sobie teraz wyrażenie matematyczne składające się z sumy, różnicy, iloczynu lub ilorazu różne liczby i zmienne. Oto przykład: ułamek, którego licznikiem jest suma dwóch lub więcej liczb całkowitych, a mianownik zawiera zarówno liczbę całkowitą, jak i pewną zmienną. To właśnie to wyrażenie nazywa się racjonalnym. W oparciu o zasadę „nie można dzielić przez zero” można się domyślać, że wartość tej zmiennej nie może być taka, aby wartość mianownika wynosiła zero. Dlatego rozwiązując wyrażenie wymierne, musisz najpierw określić zakres zmiennej. Na przykład, jeśli mianownik zawiera wyrażenie: x+5-2, to okazuje się, że „x” nie może być równe -3. Rzeczywiście, w tym przypadku całe wyrażenie zmienia się na zero, dlatego przy rozwiązywaniu konieczne jest wykluczenie liczby całkowitej -3 dla tej zmiennej.

Jak poprawnie rozwiązywać równania wymierne?

Wyrażenia wymierne mogą zawierać całkiem sporo duża liczba liczb, a nawet 2 zmiennych, więc czasami ich rozwiązanie staje się trudne. Aby ułatwić rozwiązanie takiego wyrażenia, zaleca się wykonanie pewnych operacji w sposób racjonalny. Co więc oznacza „w sposób racjonalny” i jakie zasady należy stosować przy podejmowaniu decyzji?

Pierwszy typ, gdy wystarczy uprościć wyrażenie. Aby to zrobić, możesz skorzystać z operacji redukcji licznika i mianownika do wartości nieredukowalnej. Na przykład, jeśli licznik zawiera wyrażenie 18x, a mianownik 9x, to zmniejszając oba wskaźniki o 9x, otrzymamy tylko liczbę całkowitą równą 2.
Druga metoda jest praktyczna, gdy mamy jednomian w liczniku i wielomian w mianowniku. Spójrzmy na przykład: w liczniku mamy 5x, a w mianowniku 5x + 20x 2 . W takim przypadku najlepiej wyjąć zmienną w mianowniku z nawiasów, otrzymujemy następującą postać mianownika: 5x(1+4x). A teraz możesz użyć pierwszej reguły i uprościć wyrażenie, zmniejszając 5x w liczniku i mianowniku. W rezultacie otrzymujemy ułamek postaci 1/1+4x.

Jakie operacje można wykonać na liczbach wymiernych?

Zbiór liczb wymiernych ma wiele własnych osobliwości. Wiele z nich jest bardzo podobnych do cechy występującej w liczbach całkowitych i naturalnych, ze względu na to, że te ostatnie są zawsze zawarte w zbiorze wymiernym. Oto kilka właściwości liczb wymiernych, wiedząc, które z nich można łatwo rozwiązać w dowolnym wyrażeniu wymiernym.

Właściwość przemienności pozwala zsumować dwie lub więcej liczb, niezależnie od ich kolejności. Mówiąc najprościej, suma nie zmienia się od zmiany miejsc terminów.
Własność dystrybucyjności pozwala na rozwiązywanie problemów za pomocą prawa dystrybucji.
I wreszcie operacje dodawania i odejmowania.

Nawet dzieci w wieku szkolnym wiedzą, co oznacza „liczby wymierne” i jak rozwiązywać problemy na podstawie takich wyrażeń, więc wykształcony dorosły po prostu musi pamiętać przynajmniej podstawy zbioru liczb wymiernych.

racjonalne wyrażenie wyrażenie algebraiczne nie zawiera rodników. Innymi słowy, jest to jedna lub więcej wielkości algebraicznych (liczb i liter) połączonych znakami działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie ... ... Wikipedia

Wyrażenie algebraiczne, które nie zawiera pierwiastków i zawiera tylko operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Na przykład a2 + b, x/(y z2) … Wielki słownik encyklopedyczny

Wyrażenie algebraiczne, które nie zawiera pierwiastków i zawiera tylko operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Na przykład a2 + b, x/(y z2). * * * RATIONAL EXPRESSION RATIONAL EXPRESSION, wyrażenie algebraiczne, które nie zawiera ... ... słownik encyklopedyczny

Wyrażenie algebraiczne niezawierające pierwiastków, takie jak a2 + b, x/(y z3). Jeśli zawarte w R. wieku. litery są uważane za zmienne, a następnie R. in. definiuje funkcję wymierną (patrz Funkcja wymierna) tych zmiennych ... Wielka radziecka encyklopedia

Wyrażenie algebraiczne, które nie zawiera pierwiastków i zawiera tylko operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Na przykład a2 + b, x/(y z2) ... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

WYRAŻENIE- podstawowe pojęcie matematyczne, które oznacza zapis liter i cyfr połączonych znakami działań arytmetycznych, przy czym można stosować nawiasy, oznaczenia funkcji itp.; zwykle B jest częścią wzoru w milionach. Wyróżnij w (1) ... ... Wielka Encyklopedia Politechniczna

RACJONALNY- (Racjonalny; Racjonalny) termin używany do opisania myśli, uczuć i działań zgodnych z umysłem; postawa oparta na obiektywnych wartościach uzyskanych w wyniku praktycznego doświadczenia.„Wartości obiektywne są ugruntowane w doświadczeniu ... ... Słownik psychologii analitycznej

RACJONALNA WIEDZA- subiektywny obraz obiektywnego świata, uzyskany za pomocą myślenia. Myślenie - aktywny proces uogólnione i zapośredniczone odbicie rzeczywistości, które zapewnia odkrycie jej regularnych powiązań na podstawie danych sensorycznych i ich ekspresję… Filozofia nauki i technologii: słownik tematyczny

RÓWNANIE, RACJONALNE- Wyrażenie logiczne lub matematyczne oparte na (racjonalnych) założeniach dotyczących procesów. Takie równania różnią się od równań empirycznych tym, że ich parametry uzyskuje się w wyniku dedukcyjnych wniosków z teorii ... ... Słownik w psychologii

RACJONALNY, racjonalny, racjonalny; racjonalny, racjonalny, racjonalny. 1. przym. do racjonalizmu (książka). racjonalna filozofia. 2. Całkiem rozsądny, uzasadniony, celowy. Przedstawił racjonalną sugestię. Racjonalne ... ... Słownik wyjaśniający Uszakowa

1) R. równanie algebraiczne f (x) = 0 stopni p równanie algebraiczne g(y)=0 podane równanie… … Encyklopedia matematyczna

Wyrażenie całkowitoliczbowe to wyrażenie matematyczne składające się z liczb i zmiennych dosłownych przy użyciu operacji dodawania, odejmowania i mnożenia. Liczby całkowite obejmują również wyrażenia zawierające dzielenie przez liczbę inną niż zero.

Przykłady wyrażeń liczb całkowitych

Poniżej kilka przykładów wyrażeń całkowitych:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*r- ((5*r+3)/5) -1;

Wyrażenia ułamkowe

Jeśli wyrażenie zawiera dzielenie przez zmienną lub przez inne wyrażenie zawierające zmienną, to takie wyrażenie nie jest liczbą całkowitą. Takie wyrażenie nazywa się wyrażeniem ułamkowym. Podajmy pełną definicję wyrażenia ułamkowego.

Wyrażenie ułamkowe to wyrażenie matematyczne, które oprócz operacji dodawania, odejmowania i mnożenia wykonywanych na liczbach i zmiennych alfabetycznych, a także dzielenia przez liczbę, nie zero, zawiera również podział na wyrażenia ze zmiennymi dosłownymi.

Przykłady wyrażeń ułamkowych:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*r+3)/(5-y)) +1;

Wyrażenia ułamkowe i całkowitoliczbowe tworzą dwa duże zestawy wyrażeń matematycznych. Jeśli te zbiory zostaną połączone, to otrzymamy nowy zbiór, który nazywamy wyrażeniami wymiernymi. Oznacza to, że wszystkie wyrażenia wymierne są wyrażeniami całkowitymi i ułamkowymi.

Wiemy, że wyrażenia całkowite mają sens dla dowolnych wartości zawartych w nich zmiennych. Wynika to z faktu, że aby znaleźć wartość wyrażenia całkowitego, należy wykonać czynności, które są zawsze możliwe: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie przez liczbę inną niż zero.

Wyrażenia ułamkowe, w przeciwieństwie do liczb całkowitych, mogą nie mieć sensu. Ponieważ istnieje operacja dzielenia przez zmienną lub wyrażenie zawierające zmienne, a to wyrażenie może zwrócić się do zera, ale dzielenie przez zero jest niemożliwe. Wartości zmiennych dla których wyrażenie ułamkowe będzie miało sens, wywołaj prawidłowe wartości zmiennych.

ułamek wymierny

Jeden ze szczególnych przypadków wyrażenia wymierne będzie ułamkiem, którego licznik i mianownik są wielomianami. Dla takiego ułamka w matematyce istnieje również nazwa - ułamek wymierny.

Ułamek wymierny będzie miał sens, jeśli jego mianownik nie będzie równy zero. Oznacza to, że będą obowiązywały wszystkie wartości zmiennych, dla których mianownik ułamka jest różny od zera.

Ta lekcja obejmie podstawowe informacje o wyrażeniach wymiernych i ich przekształceniach, a także przykłady przekształceń wyrażeń wymiernych. Ten temat podsumowuje tematy, które do tej pory studiowaliśmy. Przekształcenia wyrażeń wymiernych obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie ułamki algebraiczne, redukcja, faktoryzacja itp. W ramach lekcji przyjrzymy się, czym jest racjonalne wyrażenie, a także przeanalizujemy przykłady ich transformacji.

Podmiot:Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja:Podstawowe informacje o wyrażeniach wymiernych i ich przekształceniach

Definicja

racjonalne wyrażenie to wyrażenie składające się z liczb, zmiennych, operacji arytmetycznych i potęgowania.

Rozważ przykład wyrażenia wymiernego:

Szczególne przypadki wyrażeń wymiernych:

I stopień: ;

2. jednomian: ;

3. ułamek: .

Wymierna transformacja ekspresji jest uproszczeniem wyrażenia racjonalnego. Kolejność operacji przy konwersji wyrażeń wymiernych: najpierw są akcje w nawiasach, potem mnożenie (dzielenie), a następnie dodawanie (odejmowanie).

Rozważmy kilka przykładów transformacji wyrażeń wymiernych.

Przykład 1

Decyzja:

Rozwiążmy ten przykład krok po kroku. Akcja w nawiasach jest wykonywana jako pierwsza.

Odpowiedź:

Przykład 2

Decyzja:

Odpowiedź:

Przykład 3

Decyzja:

Odpowiedź: .

Notatka: może kiedy zobaczysz ten przykład powstał pomysł: zmniejszyć ułamek przed doprowadzeniem do wspólnego mianownika. Rzeczywiście, jest to absolutnie poprawne: po pierwsze, pożądane jest maksymalne uproszczenie wyrażenia, a następnie przekształcenie go. Spróbujmy rozwiązać ten sam przykład w drugi sposób.

Jak widać odpowiedź okazała się absolutnie podobna, ale rozwiązanie okazało się nieco prostsze.

W tej lekcji przyjrzeliśmy się wyrażenia wymierne i ich przekształcenia, a także kilka konkretne przykłady dane transformacji.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8 klasa. - M.: Oświecenie, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 8. - wyd. - M.: Edukacja, 2010.

Z kursu algebry program nauczania Przejdźmy do konkretów. W tym artykule omówimy szczegółowo specjalny rodzaj wyrażenia wymierne - ułamki wymierne, a także przeanalizować, jakie cechy identyczne przekształcenia ułamków wymiernych odbywać się.

Od razu zauważamy, że w niektórych podręcznikach do algebry ułamki wymierne w sensie, w jakim je definiujemy poniżej, są nazywane ułamkami algebraicznymi. Oznacza to, że w tym artykule zrozumiemy to samo w przypadku ułamków wymiernych i algebraicznych.

Jak zwykle zaczynamy od definicji i przykładów. Następnie porozmawiajmy o doprowadzeniu ułamka wymiernego do nowego mianownika i zmianie znaków członków ułamka. Następnie przeanalizujemy, jak odbywa się redukcja frakcji. Na koniec zajmijmy się przedstawieniem ułamka wymiernego jako sumy kilku ułamków. Dostarczymy wszystkie informacje z przykładami z szczegółowe opisy rozwiązania.

Nawigacja po stronach.

Definicja i przykłady ułamków wymiernych

Ułamki wymierne są studiowane na lekcjach algebry w klasie 8. Użyjemy definicji ułamka wymiernego, która jest podana w podręczniku algebry dla klas 8 autorstwa Yu N. Makarycheva i innych.

Definicja ta nie określa, czy wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka wymiernego muszą być wielomianami standardowy widok albo nie. Dlatego założymy, że ułamki wymierne mogą zawierać zarówno standardowe, jak i niestandardowe wielomiany.

Tu jest kilka przykłady ułamków wymiernych. Więc , x/8 i - ułamki wymierne. I ułamki i nie pasują do brzmiącej definicji ułamka wymiernego, ponieważ w pierwszym z nich licznik nie jest wielomianem, a w drugim zarówno licznik, jak i mianownik zawierają wyrażenia, które nie są wielomianami.

Zamiana licznika i mianownika ułamka wymiernego

Licznik i mianownik dowolnego ułamka są samowystarczalnymi wyrażeniami matematycznymi, w przypadku ułamków wymiernych są to wielomiany, w konkretnym przypadku są to jednomiany i liczby. Dlatego z licznikiem i mianownikiem ułamka wymiernego, jak z każdym wyrażeniem, można przeprowadzić identyczne przekształcenia. Innymi słowy, wyrażenie w liczniku ułamka wymiernego można zastąpić wyrażeniem identycznie z nim równym, podobnie jak mianownik.

W liczniku i mianowniku ułamka wymiernego można wykonać identyczne przekształcenia. Na przykład w liczniku można grupować i redukować podobne terminy, a w mianowniku iloczyn kilku liczb można zastąpić jego wartością. A ponieważ licznik i mianownik ułamka wymiernego są wielomianami, możliwe jest dokonywanie za ich pomocą przekształceń charakterystycznych dla wielomianów, na przykład redukcja do postaci standardowej lub przedstawienie jako iloczyn.

Dla jasności rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Konwertować ułamek wymierny tak, że licznik jest wielomianem postaci standardowej, a mianownik jest iloczynem wielomianów.

Decyzja.

Redukcja ułamków wymiernych do nowego mianownika jest używana głównie podczas dodawania i odejmowania ułamków wymiernych.

Zmieniające się znaki przed ułamkiem, a także w jego liczniku i mianowniku

Podstawowa właściwość ułamka może służyć do zmiany znaków terminów ułamka. Rzeczywiście pomnożenie licznika i mianownika ułamka wymiernego przez -1 jest równoznaczne ze zmianą ich znaków, a wynikiem jest ułamek identycznie równy danemu. Taka transformacja musi być stosowana dość często podczas pracy z ułamkami wymiernymi.

Tak więc, jeśli jednocześnie zmienisz znaki licznika i mianownika ułamka, otrzymasz ułamek równy oryginalnemu. To stwierdzenie odpowiada równości.

Weźmy przykład. Ułamek wymierny można zastąpić identycznie równym ułamkiem z odwróconymi znakami licznika i mianownika formy.

Z ułamkami możesz zrobić jeszcze jeden transformacja tożsamości, przy której znak zmienia się w liczniku lub mianowniku. Przejdźmy do odpowiedniej zasady. Jeśli zastąpisz znak ułamka razem ze znakiem licznika lub mianownika, otrzymasz ułamek identyczny z oryginałem. Pisemne oświadczenie odpowiada równości i .

Nie jest trudno udowodnić te równości. Dowód opiera się na własnościach mnożenia liczb. Udowodnijmy pierwszy z nich: . Za pomocą podobnych przekształceń udowodniono również równość.

Na przykład ułamek można zastąpić wyrażeniem lub .

Na zakończenie tego podrozdziału przedstawiamy jeszcze dwie przydatne równości i . Oznacza to, że jeśli zmienisz znak tylko licznika lub tylko mianownika, ułamek zmieni swój znak. Na przykład, oraz .

Rozważane przekształcenia, które umożliwiają zmianę znaku wyrażeń ułamka, są często używane podczas przekształcania wyrażeń wymiernych ułamkowo.

Redukcja ułamków wymiernych

Następujące przekształcenie ułamków wymiernych, zwane redukcją ułamków wymiernych, opiera się na tej samej podstawowej własności ułamka. Ta transformacja odpowiada równości , gdzie a , b i c są niektórymi wielomianami, a b i c są różne od zera.

Z powyższej równości wynika, że redukcja ułamka wymiernego oznacza pozbycie się wspólnego czynnika w jego liczniku i mianowniku.

Przykład.

Zmniejsz ułamek racjonalny.

Decyzja.

Współczynnik wspólny 2 jest od razu widoczny, zmniejszmy go (przy pisaniu wygodnie jest wykreślić współczynniki wspólne, według których dokonuje się redukcji). Mamy . Ponieważ x 2 \u003d x x i y 7 \u003d y 3 y 4 (patrz, jeśli to konieczne), jasne jest, że x jest wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika wynikowego ułamka, podobnie jak y 3 . Zmniejszmy o te czynniki: . To kończy redukcję.

Powyżej przeprowadziliśmy sekwencyjną redukcję ułamka wymiernego. I można było przeprowadzić redukcję w jednym kroku, natychmiast redukując frakcję o 2·x·y 3 . W takim przypadku rozwiązanie wyglądałoby tak: .

Odpowiedź:

Podczas redukcji ułamków wymiernych głównym problemem jest to, że wspólny czynnik licznika i mianownika nie zawsze jest widoczny. Co więcej, nie zawsze istnieje. Aby znaleźć wspólny dzielnik lub upewnić się, że nie istnieje, musisz rozłożyć na czynniki licznik i mianownik ułamka wymiernego. Jeśli nie ma wspólnego czynnika, pierwotna racjonalna frakcja nie musi być redukowana, w przeciwnym razie przeprowadzana jest redukcja.

W procesie redukcji ułamków wymiernych mogą powstać różne niuanse. Główne subtelności wraz z przykładami i szczegółami zostały omówione w artykule redukcja ułamków algebraicznych.

Kończąc rozmowę o redukcji ułamków wymiernych, zauważamy, że ta transformacja jest identyczna, a główna trudność w jej realizacji polega na faktoryzacji wielomianów w liczniku i mianowniku.

Reprezentacja ułamka wymiernego jako suma ułamków

Dość specyficzna, ale w niektórych przypadkach bardzo przydatna, jest przekształcenie ułamka wymiernego, polegające na przedstawieniu go jako sumy kilku ułamków lub sumy wyrażenia całkowitego i ułamka.

Ułamek wymierny, w liczniku którego znajduje się wielomian będący sumą kilku jednomianów, zawsze można zapisać jako sumę ułamków o te same mianowniki, których liczniki zawierają odpowiednie jednomiany. Na przykład, . Reprezentację tę wyjaśnia zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o tych samych mianownikach.

Ogólnie rzecz biorąc, każdy ułamek wymierny może być reprezentowany jako suma ułamków na wiele różnych sposobów. Na przykład ułamek a/b może być reprezentowany jako suma dwóch ułamków — dowolnego ułamka c/d i ułamka równego różnicy między ułamkami a/b i c/d. To stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ równość . Na przykład ułamek wymierny może być reprezentowany jako suma ułamków różne sposoby: Reprezentujemy oryginalny ułamek jako sumę wyrażenia całkowitego i ułamka. Po podzieleniu licznika przez mianownik przez kolumnę otrzymujemy równość . Wartość wyrażenia n 3 +4 dla dowolnej liczby całkowitej n jest liczbą całkowitą. A wartość ułamka jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy jego mianownik to 1, -1, 3 lub -3. Wartości te odpowiadają odpowiednio wartościom n=3, n=1, n=5 i n=−1.

Odpowiedź:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografia.

Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich AG Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik ucznia instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkovich. - 13 wyd., ks. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ch. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovich AG Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A.G. Mordkovich. - 11. ed., skasowane. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.