Jak odjąć ułamki o tych samych mianownikach. Dodawanie i odejmowanie ułamków

W tej lekcji rozważymy dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o tych samych mianownikach. Wiemy już, jak dodawać i odejmować wspólne ułamki o tych samych mianownikach. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym regułom. Umiejętność pracy z ułamkami o tym samym mianowniku jest jednym z fundamentów nauki zasad pracy z ułamkami algebraicznymi. W szczególności zrozumienie tego tematu ułatwi opanowanie bardziej złożonego tematu - dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o tych samych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów

Zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o tych samych mianownikach

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey z jednym na ciebie - mi-know-on-te-la-mi (jest to co-pa-yes-et z analogicznym prawem kciuka dla zwykłego-ale-ven-nyh-dr-bay): To jest dla dodania lub ty-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey z jednym do ciebie-mi-znam-mnie-na-te-la-mi jest konieczne -ho-di-mo z -stano z-od-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum z liczby-li-te-lei, a znak-me-on-tel wyjdź bez iz-me- nie-nie.

Przeanalizujemy to prawo-vi-lo zarówno na przykładzie zwykłych-ale-żylnych-uderzeń, jak i na przykładzie al-geb-ra-i-che-drobey.

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków zwykłych

Przykład 1. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie

Dodajmy liczbę-czy-oni-czy-czy-grać-pokonać i zostawmy bez zmian znak-me-on-tel. Następnie dzielimy numer-li-tel i znak-me-on-tel na proste mnożniki i tak-kra-tim. Chodźmy po to: .

Uwaga: błąd standardowy, uruchomię coś podczas rozwiązywania w dobrym przykładzie, dla -key-cha-et-sya w następującym-du-u-sch-tak-tak-by-tak-she-tion : . Jest to poważny błąd, ponieważ logowanie przez telefon pozostaje takie samo, jak w oryginalnych ułamkach.

Przykład 2. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie

Ta za-da-cha nie jest niczym od-czy-cha-et-sya od poprzedniego:.

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków algebraicznych

Od zwykłego-ale-vein-nyh dro-bay per-rey-dem do al-geb-ra-i-che-skim.

Przykład 3. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie: jak już wspomniano powyżej, dodanie al-geb-ra-i-che-dro-bey jest niczym z-is-cha-is-sya z zhe-niya zwykle-ale-vein-nyh dro-bay. Dlatego metoda rozwiązania jest taka sama:.

Przykład 4. Czcisz ułamki:.

Rozwiązanie

You-chi-ta-nie al-geb-ra-and-che-dro-bey from-czy-cha-et-sya z komplikacji tylko przez fakt, że w liczbie pi-sy-va-et-sya różnica w liczbie-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Dlatego .

Przykład 5. Honorujesz ułamki:.

Rozwiązanie: .

Przykład 6. Uprość:.

Rozwiązanie: .

Przykłady zastosowania reguły, po której następuje redukcja

W ułamku, ktoś-raj jest w re-zul-ta-te dodatek lub ty-chi-ta-nia, możliwe jest współpiękne niya. Ponadto nie należy zapominać o ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Przykład 7. Uprość:.

Rozwiązanie: .

W której . Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ODZ sów out-of-hot-drow-bay-pa-yes-et z ODZ całkowitego wycie, to nie można tego wskazać (w końcu ułamek, w lu-chen-naya w od-ve-tych, również nie będzie istnieć ze współ-z-vet-stu-u-s-wiedząc-che-no-yah-re-men-nyh). Ale jeśli ODZ jest źródłem działającego dro-bay i od-ve-co-co-tak-et, to ODZ wskazuje na potrzebę-ho-di-mo.

Przykład 8. Uprość:.

Rozwiązanie: . W tym samym czasie y (ODZ wychodzącej hali pociągowej nie pokrywa się z ODZ re-zul-ta-ta).

Dodawanie i odejmowanie zwykłych ułamków o różnych mianownikach

Aby przechowywać i ty-chi-tat al-geb-ra-and-che-fractions z różnymi-wiemy-mnie-na-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo-gyu od zwykłego- ale-ven-ny-mi dro-bya-mi i ponownie-nie-ponowne-semitowanie go na ułamki al-geb-ra-i-che.

Ras – spójrz na najprostszy przykład zwykłych strzałów żylnych.

Przykład 1. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o prawej-vi-lo-slo-drow-bay. W przypadku ułamków na-cha-la konieczne jest dodanie-ve-sti do wspólnego znaku-me-to-te-lu. W roli ogólnego znaku-me-on-te-la dla zwykłych bitów-ale-draw-beat, you-stu-pa-et najmniejsza wspólna wielokrotność(NOK) źródło znaków-me-on-the-lei.

Definicja

Najmniejsza liczba od szyi do tural, czyjś rój jest jednocześnie rozświetlana na liczby i.

Aby znaleźć NOC, musisz przełożyć „know-me-on-the-czy” na proste mnożniki, a następnie zdecydować się na przyjęcie wszystkiego za – jest ich wiele, wiele, niektóre z nich są zawarte w różnicy między obydwoma podpisuje-mnie-na-lei.

; . Wtedy LCM liczb powinien zawierać dwie dwójki i dwie trójki:.

Po znalezieniu ogólnego znaku-na-te-la konieczne jest, aby każdy z dro-bay znalazł dodatkowy multi-zhi-tel (fak-ti-che-ski, w odlaniu wspólnego znaku-me- on-tel na znak-me-on-tel co-od-rep-to-th-th-th ułamek).

Następnie każdy ułamek jest mnożony przez mnożnik semi-chen-ny do połowy-no-tel-ny. Ułamki z tym samym-na-że-znasz-mnie-na-te-la-mi, magazynami i kimś, na kim jesteśmy - omówione na poprzednich lekcjach.

By-lu-cha-jedz: .

Odpowiedź:.

Ras-look-rim teraz fałda al-geb-ra-i-che-dro-bey z różnymi znakami-mnie-na-te-la-mi. Śpij-cha-la, patrzymy na ułamki, wiedz-mnie-czy-niektóre z nich to-la-yut-sya liczba-la-mi.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach

Przykład 2. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie:

Al-go-rytm re-she-niya ab-so-lyut-ale ana-lo-gi-chen previous-du-sche-mu p-me-ru. Łatwo jest wziąć wspólny mianownik na dane ułamki: i dodać do pełnych mnożników dla każdego z nich.

Odpowiedź:.

Więc sfor-mu-li-ru-em al-go-rytm komplikacji i ty-chi-ta-niya al-geb-ra-i-che-dro-beaty z różnymi-my-znamy-mnie-na-te-la-mi:

1. Znajdź najmniejsze wspólne urządzenie typu „sign-me-on-tel”.

2. Znajdź dodatkowe mnożniki dla każdej frakcji ciągnienia).

3. Zrób-pomnóż-żywe liczby-czy-to-czy-na-ko-ot-vet-stu-u-s-up-do-pół-nie-tel-nye-pomnożyć-tych.

4. Dodaj do życia lub uhonoruj ułamki, użyj prawego wi-la-mi foldu i ty-chi-ta-niya z ciągiem jeden-to-znasz-mnie-na- te-la-mi.

Ras-look-rim teraz jest przykładem z dro-bya-mi, w znam-mnie-na-le-jest-jest-jest-jest-buk-ven-nye ty-ra-tak samo - cji.

Jedną z najważniejszych nauk, której zastosowanie widać w dyscyplinach takich jak chemia, fizyka, a nawet biologia, jest matematyka. Badanie tej nauki pozwala rozwinąć pewne cechy psychiczne, poprawić zdolność koncentracji. Jednym z tematów zasługujących na szczególną uwagę na kursie „Matematyka” jest dodawanie i odejmowanie ułamków. Wielu studentów ma trudności z nauką. Być może nasz artykuł pomoże lepiej zrozumieć ten temat.

Jak odjąć ułamki, których mianowniki są takie same?

Ułamki to te same liczby, za pomocą których możesz wykonywać różne akcje. Ich różnica od liczb całkowitych polega na obecności mianownika. Dlatego wykonując akcje z ułamkami, musisz przestudiować niektóre ich cechy i zasady. Najprostszym przypadkiem jest odejmowanie zwykłych ułamków, których mianowniki są reprezentowane jako ta sama liczba. Wykonanie tej czynności nie będzie trudne, jeśli znasz prostą zasadę:

Aby odjąć sekundę od jednego ułamka, należy odjąć licznik ułamka, który ma być odjęty, od licznika ułamka zredukowanego. Zapisujemy tę liczbę do licznika różnicy i pozostawiamy mianownik taki sam: k / m - b / m = (k-b) / m.

Przykłady odejmowania ułamków, których mianowniki są takie same

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od licznika ułamka zmniejszonego „7” odejmij licznik ułamka odejmowanego „3”, otrzymujemy „4”. Piszemy tę liczbę w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku umieszczamy tę samą liczbę, która była w mianownikach pierwszego i drugiego ułamka - „19”.

Poniższy obrazek pokazuje jeszcze kilka takich przykładów.

Rozważ bardziej złożony przykład, w którym odejmuje się ułamki o tych samych mianownikach:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od licznika ułamka zmniejszonego „29” odejmując kolejno liczniki wszystkich kolejnych ułamków – „3”, „8”, „2”, „7”. W rezultacie otrzymujemy wynik „9”, który wpisujemy w liczniku odpowiedzi, aw mianowniku wpisujemy liczbę, która jest w mianownikach wszystkich tych ułamków - „47”.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku

Dodawanie i odejmowanie zwykłych frakcji odbywa się na tej samej zasadzie.

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać liczniki. Wynikowa liczba jest licznikiem sumy, a mianownik pozostaje ten sam: k/m + b/m = (k + b)/m.

Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Do licznika pierwszego wyrazu ułamka - "1" - dodajemy licznik drugiego wyrazu ułamka - "2". Wynik – „3” – zapisywany jest w liczniku kwoty, a mianownik pozostaje taki sam, jak w ułamkach – „4”.

Ułamki o różnych mianownikach i ich odejmowanie

Rozważaliśmy już akcję z ułamkami, które mają ten sam mianownik. Jak widać, znając proste zasady, rozwiązywanie takich przykładów jest dość łatwe. Ale co, jeśli musisz wykonać akcję z ułamkami, które mają różne mianowniki? Wielu uczniów szkół średnich jest zdezorientowanych takimi przykładami. Ale nawet tutaj, jeśli znasz zasadę rozwiązania, przykłady nie będą już dla ciebie trudne. Jest tu też reguła, bez której rozwiązanie takich ułamków jest po prostu niemożliwe.

Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego najmniejszego mianownika.

Porozmawiamy bardziej szczegółowo o tym, jak to zrobić.

Właściwość ułamkowa

Aby zredukować kilka ułamków do tego samego mianownika, musisz użyć głównej właściwości ułamka w rozwiązaniu: po podzieleniu lub pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę otrzymujesz ułamek równy podanemu.

Na przykład ułamek 2/3 może mieć mianowniki takie jak „6”, „9”, „12” itd., czyli może wyglądać jak dowolna liczba będąca wielokrotnością „3”. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez „2” otrzymujemy ułamek 4/6. Po pomnożeniu licznika i mianownika pierwotnego ułamka przez „3” otrzymamy 6/9, a jeśli wykonamy podobną akcję z liczbą „4”, otrzymamy 8/12. W jednym równaniu można to zapisać jako:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jak sprowadzić wiele ułamków do tego samego mianownika

Zastanów się, jak zredukować kilka ułamków do tego samego mianownika. Na przykład weź ułamki pokazane na poniższym obrazku. Najpierw musisz ustalić, jaka liczba może stać się mianownikiem dla nich wszystkich. Aby to ułatwić, rozłóżmy dostępne mianowniki na czynniki.

Mianownika ułamka 1/2 i ułamka 2/3 nie można rozłożyć na czynniki. Mianownik 7/9 ma dwa współczynniki 7/9 = 7/(3 x 3), mianownik ułamka 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musisz określić, które współczynniki będą najmniejsze dla wszystkich tych czterech ułamków. Skoro pierwszy ułamek ma w mianowniku cyfrę „2”, oznacza to, że musi ona występować we wszystkich mianownikach, w ułamku 7/9 są dwie trójki, co oznacza, że muszą one również występować w mianowniku. Biorąc pod uwagę powyższe, określamy, że mianownik składa się z trzech czynników: 3, 2, 3 i jest równy 3 x 2 x 3 = 18.

Rozważ pierwszą frakcję - 1/2. Jego mianownik zawiera „2”, ale nie ma ani jednej „3”, ale powinny być dwa. Aby to zrobić, mnożymy mianownik przez dwie trójki, ale zgodnie z właściwością ułamka musimy pomnożyć licznik przez dwie trójki:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Podobnie wykonujemy akcje z pozostałymi ułamkami.

2/3 - w mianowniku brakuje jednej trójki i jednej dwójki:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 lub 7/(3 x 3) - w mianowniku brakuje dwóch:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 lub 5/(2 x 3) - w mianowniku brakuje trójki:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

W sumie wygląda to tak:

Jak odejmować i dodawać ułamki o różnych mianownikach

Jak wspomniano powyżej, aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie zastosować opisane już zasady odejmowania ułamków o tym samym mianowniku.

Rozważ to na przykładzie: 18.04 - 15.03.

Znajdowanie wielokrotności 18 i 15:

Liczba 18 składa się z 3 x 2 x 3.
Liczba 15 składa się z 5 x 3.
Wspólna wielokrotność będzie składać się z następujących czynników 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po znalezieniu mianownika konieczne jest obliczenie współczynnika, który będzie inny dla każdego ułamka, czyli liczby, przez którą konieczne będzie pomnożenie nie tylko mianownika, ale także licznika. W tym celu dzielimy znalezioną przez nas liczbę (wielokrotność wspólną) przez mianownik ułamka, dla którego należy określić dodatkowe czynniki.

90 podzielone przez 15. Wynikowa liczba „6” będzie mnożnikiem 3/15.
90 podzielone przez 18. Wynikowa liczba „5” będzie mnożnikiem dla 4/18.

Kolejnym krokiem w naszym rozwiązaniu jest doprowadzenie każdej frakcji do mianownika „90”.

Omówiliśmy już, jak to się robi. Zobaczmy, jak to jest napisane na przykładzie:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jeśli ułamki mają małe liczby, możesz określić wspólny mianownik, jak w przykładzie pokazanym na poniższym obrazku.

Podobnie produkowane i mające różne mianowniki.

Odejmowanie i posiadanie części całkowitych

Odejmowanie ułamków i ich dodawanie szczegółowo już przeanalizowaliśmy. Ale jak odjąć, jeśli ułamek ma część całkowitą? Ponownie użyjmy kilku zasad:

Przekształć wszystkie ułamki, które mają część całkowitą na niewłaściwą. W prostych słowach usuń całą część. Aby to zrobić, liczba części całkowitej jest mnożona przez mianownik ułamka, a wynikowy iloczyn jest dodawany do licznika. Liczba, która zostanie uzyskana po tych czynnościach, jest licznikiem ułamka niewłaściwego. Mianownik pozostaje niezmieniony.
Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je zredukować do tego samego.
Wykonaj dodawanie lub odejmowanie z tymi samymi mianownikami.
Odbierając ułamek niewłaściwy, wybierz całą część.

Istnieje inny sposób dodawania i odejmowania ułamków z częściami całkowitymi. W tym celu akcje są wykonywane osobno z częściami całkowitymi i osobno z ułamkami, a wyniki są rejestrowane razem.

Powyższy przykład składa się z ułamków, które mają ten sam mianownik. W przypadku, gdy mianowniki są różne, należy je zredukować do tych samych, a następnie postępować zgodnie z instrukcjami przedstawionymi w przykładzie.

Odejmowanie ułamków zwykłych od liczby całkowitej

Inną odmianą akcji z ułamkami jest przypadek, w którym ułamek trzeba odjąć od Na pierwszy rzut oka taki przykład wydaje się trudny do rozwiązania. Jednak tutaj wszystko jest dość proste. Aby go rozwiązać, konieczne jest przekształcenie liczby całkowitej na ułamek iz takim mianownikiem, który znajduje się w ułamku, który ma zostać odjęty. Następnie wykonujemy odejmowanie podobne do odejmowania z tymi samymi mianownikami. Na przykład wygląda to tak:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odejmowanie ułamków podane w tym artykule (Grade 6) jest podstawą do rozwiązywania bardziej złożonych przykładów, które są rozważane w kolejnych klasach. Znajomość tego tematu jest następnie wykorzystywana do rozwiązywania funkcji, pochodnych i tak dalej. Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie i zrozumienie działań z ułamkami omówionymi powyżej.

Dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach
Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Koncepcja NOC
Doprowadzenie ułamków do tego samego mianownika
Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek?

1 Dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki, a mianownik pozostawić bez zmian, na przykład:

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, odejmij licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostaw mianownik taki sam, na przykład:

Aby dodać ułamki mieszane, należy osobno dodać ich całe części, a następnie dodać ich części ułamkowe i zapisać wynik jako ułamek mieszany,

Jeżeli przy dodawaniu części ułamkowych uzyskamy ułamek niewłaściwy, wybieramy z niego część całkowitą i dodajemy ją do części całkowitej, na przykład:

2 Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, musisz najpierw doprowadzić je do tego samego mianownika, a następnie postępować tak, jak wskazano na początku tego artykułu. Wspólnym mianownikiem kilku ułamków jest LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność). Dla licznika każdego z ułamków, dodatkowe czynniki znajdują się poprzez podzielenie LCM przez mianownik tego ułamka. Przyjrzymy się przykładowi później, gdy dowiemy się, czym jest LCM.

3 Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb (LCM) to najmniejsza liczba naturalna, która jest podzielna przez obie te liczby bez reszty. Czasami LCM można znaleźć ustnie, ale częściej, zwłaszcza przy pracy z dużymi liczbami, trzeba znaleźć LCM na piśmie, korzystając z następującego algorytmu:

Aby znaleźć LCM kilku liczb, potrzebujesz:

Rozłóż te liczby na czynniki pierwsze
Weź największe rozszerzenie i zapisz te liczby jako produkt
Wybierz w innych rozszerzeniach liczby, które nie występują w największym rozwinięciu (lub występują w nim mniejszą liczbę razy) i dodaj je do produktu.
Pomnóż wszystkie liczby w produkcie, to będzie LCM.

Na przykład znajdźmy LCM liczb 28 i 21:

4Redukcja ułamków do tego samego mianownika

Wróćmy do dodawania ułamków o różnych mianownikach.

Kiedy zmniejszamy ułamki do tego samego mianownika, równego LCM obu mianowników, musimy pomnożyć liczniki tych ułamków przez dodatkowe mnożniki. Możesz je znaleźć, dzieląc LCM przez mianownik odpowiedniej frakcji, na przykład:

Tak więc, aby sprowadzić ułamki do jednego wskaźnika, należy najpierw znaleźć LCM (czyli najmniejszą liczbę podzielną przez oba mianowniki) mianowników tych ułamków, a następnie dodać dodatkowe współczynniki do liczników ułamków. Możesz je znaleźć, dzieląc wspólny mianownik (LCD) przez mianownik odpowiedniego ułamka. Następnie należy pomnożyć licznik każdego ułamka przez dodatkowy czynnik i umieścić LCM jako mianownik.

5Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek?

Aby dodać liczbę całkowitą i ułamek, wystarczy dodać tę liczbę przed ułamkiem, a otrzymasz na przykład ułamek mieszany.

Twoje dziecko przyniosło ze szkoły pracę domową i nie wiesz jak ją rozwiązać? W takim razie ten mini samouczek jest dla Ciebie!

Jak dodać ułamki dziesiętne

Wygodniej jest dodawać ułamki dziesiętne w kolumnie. Aby dodać ułamki dziesiętne, musisz przestrzegać jednej prostej zasady:

Cyfra musi znajdować się pod cyfrą, przecinek pod przecinkiem.

Jak widać na przykładzie, całe jednostki leżą pod sobą, dziesiąte i setne leżą pod sobą. Teraz dodajemy liczby, ignorując przecinek. Co zrobić z przecinkiem? Przecinek jest przenoszony do miejsca, w którym stał w wyładowaniu liczb całkowitych.

Dodawanie ułamków o równych mianownikach

Aby wykonać dodawanie ze wspólnym mianownikiem, musisz zachować mianownik bez zmian, znaleźć sumę liczników i uzyskać ułamek, który będzie sumą.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach poprzez znajdowanie wspólnej wielokrotności

Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, są mianowniki. Mianowniki są różne, czy jeden jest podzielny przez drugi, czy są to liczby pierwsze. Najpierw musisz doprowadzić do jednego wspólnego mianownika, można to zrobić na kilka sposobów:

1/3 + 3/4 = 13/12, aby rozwiązać ten przykład, musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM), która będzie podzielna przez 2 mianowniki. Aby oznaczyć najmniejszą wielokrotność aib - LCM (a; b). W tym przykładzie LCM (3;4)=12. Sprawdź: 12:3=4; 12:4=3.
Mnożymy czynniki i dodajemy otrzymane liczby, otrzymujemy 13/12 - ułamek niewłaściwy.

Aby zamienić ułamek niewłaściwy na prawidłowy, dzielimy licznik przez mianownik, otrzymujemy liczbę całkowitą 1, reszta 1 to licznik, a 12 to mianownik.

Dodawanie ułamków za pomocą mnożenia krzyżowego

Istnieje inny sposób dodawania ułamków o różnych mianownikach, zgodnie z formułą „krzyżyk po krzyżu”. Jest to gwarantowany sposób wyrównania mianowników, w tym celu należy pomnożyć liczniki przez mianownik jednego ułamka i odwrotnie. Jeśli jesteś dopiero na początkowym etapie uczenia się ułamków, ta metoda jest najłatwiejszym i najdokładniejszym sposobem na uzyskanie właściwego wyniku przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach.

W tej lekcji rozważymy dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Wiemy już, jak dodawać i odejmować wspólne ułamki o różnych mianownikach. Aby to zrobić, ułamki muszą zostać zredukowane do wspólnego mianownika. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym regułom. Jednocześnie wiemy już, jak zredukować ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach to jeden z najważniejszych i najtrudniejszych tematów w 8 klasie. Co więcej, ten temat znajdzie się w wielu tematach kursu algebry, których będziesz się uczyć w przyszłości. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów.

Rozważ najprostszy przykład zwykłych ułamków.

Przykład 1 Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Zapamiętaj zasadę dodawania ułamków. Na początek ułamki muszą zostać zredukowane do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem zwykłych ułamków jest najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) pierwotnych mianowników.

Definicja

Najmniejsza liczba naturalna podzielna przez obie liczby i .

Aby znaleźć LCM, należy rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze, a następnie wybrać wszystkie czynniki pierwsze uwzględnione w rozwinięciu obu mianowników.

; . Wtedy LCM liczb musi zawierać dwie 2 i dwie 3: .

Po znalezieniu wspólnego mianownika konieczne jest znalezienie dodatkowego współczynnika dla każdego ułamka (w rzeczywistości podziel wspólny mianownik przez mianownik odpowiedniego ułamka).

Następnie każdy ułamek jest mnożony przez uzyskany dodatkowy czynnik. Otrzymujemy ułamki o tych samych mianownikach, które nauczyliśmy się dodawać i odejmować na poprzednich lekcjach.

Otrzymujemy: .

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz dodawanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Najpierw rozważ ułamki, których mianownikami są liczby.

Przykład 2 Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Algorytm rozwiązania jest całkowicie podobny do poprzedniego przykładu. Łatwo jest znaleźć wspólny mianownik dla tych ułamków: oraz dodatkowe współczynniki dla każdego z nich.

Odpowiedź:.

Więc sformułujmy algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

1. Znajdź najmniejszy wspólny mianownik ułamków.

2. Znajdź dodatkowe współczynniki dla każdego ułamka (dzieląc wspólny mianownik przez mianownik tego ułamka).

3. Pomnóż liczniki przez odpowiednie czynniki dodatkowe.

4. Dodaj lub odejmij ułamki, korzystając z reguł dodawania i odejmowania ułamków o tych samych mianownikach.

Rozważmy teraz przykład z ułamkami w mianowniku, których są wyrażenia dosłowne.

Przykład 3 Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrażenia dosłowne w obu mianownikach są takie same, powinieneś znaleźć wspólny mianownik dla liczb. Ostateczny wspólny mianownik będzie wyglądał następująco: . Tak więc rozwiązanie tego przykładu to:

Odpowiedź:.

Przykład 4 Odejmij ułamki: .

Rozwiązanie:

Jeśli nie możesz „oszukiwać” przy wyborze wspólnego mianownika (nie możesz go rozłożyć na czynniki lub użyć skróconego wzoru mnożenia), to musisz wziąć iloczyn mianowników obu ułamków jako wspólny mianownik.

Odpowiedź:.

Ogólnie rzecz biorąc, przy rozwiązywaniu takich przykładów najtrudniejszym zadaniem jest znalezienie wspólnego mianownika.

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 5 Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Szukając wspólnego mianownika, musisz najpierw spróbować rozłożyć na czynniki mianowniki oryginalnych ułamków (aby uprościć wspólny mianownik).

W tym konkretnym przypadku:

Wtedy łatwo określić wspólny mianownik: .

Określamy dodatkowe czynniki i rozwiązujemy ten przykład:

Odpowiedź:.

Teraz naprawimy zasady dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Przykład 6 Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:.

Przykład 7 Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz przykład, w którym nie dwa, ale trzy ułamki są dodawane (w końcu zasady dodawania i odejmowania dla większej liczby ułamków pozostają takie same).

Przykład 8 Uproszczać: .