Wspólny system ax in nazywa się nieokreślonym, jeśli. Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych, metody rozwiązywania, przykłady

System nazywa się połączenie, lub rozpuszczalny jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie. System nazywa się niekompatybilny, lub nierozpuszczalny jeśli nie ma rozwiązań.

Określony, nieokreślony SLAE.

Jeśli SLAE ma rozwiązanie i jest unikalne, nazywa się to niektórzy a jeśli rozwiązanie nie jest unikalne, to niepewny.

RÓWNANIA MACIERZYSTE

Macierze umożliwiają krótkie zapisanie układu równań liniowych. Niech będzie podany układ 3 równań z trzema niewiadomymi:

Rozważ macierz systemu i kolumny macierzowe nieznanych i wolnych członków

Znajdźmy produkt

tych. w wyniku iloczynu otrzymujemy lewe strony równań tego układu. Następnie, korzystając z definicji równości macierzy, układ ten można zapisać jako

lub krótszy A∙X=B.

Tutaj macierze A oraz B są znane, a macierz X nieznany. Trzeba ją znaleźć, ponieważ. jego elementy są rozwiązaniem tego systemu. To równanie nazywa się równanie macierzowe.

Niech wyznacznik macierzy będzie różny od zera | A| ≠ 0. Następnie równanie macierzowe rozwiązujemy w następujący sposób. Pomnóż obie strony równania po lewej stronie przez macierz A-1, odwrotność macierzy A: . O ile A-1 A = E oraz mi∙X=X, otrzymujemy rozwiązanie równania macierzowego w postaci X = A -1 B .

Zauważ, że ponieważ macierz odwrotną można znaleźć tylko dla macierzy kwadratowych, metoda macierzy może rozwiązać tylko te układy, w których liczba równań równa się liczbie niewiadomych.

Wzory Cramera

Metoda Cramera polega na tym, że sukcesywnie znajdujemy główny identyfikator systemu, tj. wyznacznik macierzy A: D = det (a i j) oraz n determinanty pomocnicze D i (i= ), które otrzymuje się z wyznacznika D przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wolnych terminów.

Wzory Cramera wyglądają następująco: D × x i = D i (i = ).

Implikuje to regułę Cramera, która daje wyczerpującą odpowiedź na pytanie o kompatybilność systemu: jeśli główny wyznacznik systemu jest różny od zera, to system ma unikalne rozwiązanie, określone wzorami: x i = D i / D.

Jeżeli główny wyznacznik układu D i wszystkie wyznaczniki pomocnicze D i = 0 (i= ), to układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Jeżeli główny wyznacznik układu D = 0, a przynajmniej jeden wyznacznik pomocniczy jest różny od zera, to układ jest niespójny.

Twierdzenie (reguła Cramera): Jeżeli wyznacznikiem układu jest Δ ≠ 0, to rozważany układ ma jedno i tylko jedno rozwiązanie oraz

Dowód: Rozważmy więc układ 3 równań z trzema niewiadomymi. Pomnóż pierwsze równanie układu przez dopełnienie algebraiczne 11 element 11, drugie równanie - włączone A21 i 3 - wł. 31:

Dodajmy te równania:

Rozważ każdy z nawiasów i prawą stronę tego równania. Zgodnie z twierdzeniem o rozwinięciu wyznacznika w zakresie elementów pierwszej kolumny.

Podobnie można wykazać, że i .

Wreszcie łatwo to zauważyć

W ten sposób otrzymujemy równość: . Stąd, .

Równości i wyprowadza się podobnie, skąd następuje stwierdzenie twierdzenia.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Układ równań liniowych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy układu jest równy rządowi macierzy rozszerzonej.

Dowód: Dzieli się na dwa etapy.

1. Niech system znajdzie rozwiązanie. Pokażmy to.

Niech zbiór liczb jest rozwiązaniem systemu. Oznaczmy -tą kolumną macierzy , . Wtedy , czyli kolumna wyrazów wolnych jest liniową kombinacją kolumn macierzy . Niech będzie. Udawajmy, że . Następnie przez . Wybieramy w podstawowym nieletnim. Ma porządek. Kolumna wolnych członków musi przejść przez tę podrzędną, w przeciwnym razie będzie to podstawa podrzędna macierzy. Kolumna wyrazów wolnych w minor jest liniową kombinacją kolumn macierzy. Z racji własności wyznacznika , gdzie jest wyznacznikiem , który otrzymuje się od elementu drugorzędnego przez zastąpienie kolumny wyrazów swobodnych kolumną . Jeśli kolumna przechodzi przez mniejsze M, to w , będą dwie identyczne kolumny, a zatem . Jeżeli kolumna nie przeszła przez kolumnę podrzędną, to będzie się różnić od kolumny podrzędnej rzędu r+1 macierzy tylko o rząd kolumn. Od tego czasu . A zatem, co jest sprzeczne z definicją podstawy mniejszej. Stąd założenie, że , jest fałszywe.

2. Niech . Pokażmy, że system ma rozwiązanie. Ponieważ , to podstawa molowa macierzy jest podstawą molową macierzy . Niech kolumny przechodzą przez minor . Wtedy, zgodnie z twierdzeniem bazowym pobocznym w macierzy, kolumna wyrazów wolnych jest kombinacją liniową wskazanych kolumn:

(1)

Ustawiamy , , , i przyjmujemy pozostałe niewiadome równe zero. Wtedy za te wartości otrzymujemy

Na mocy równości (1) . Ostatnia równość oznacza, że ​​zbiór liczb jest rozwiązaniem systemu. Udowodniono istnienie rozwiązania.

W omówionym powyżej systemie , a system jest spójny. W systemie , i system jest niespójny.

Uwaga: Chociaż twierdzenie Kroneckera-Capelliego pozwala określić, czy system jest niesprzeczny, jest ono stosowane dość rzadko, głównie w studia teoretyczne. Powodem jest to, że obliczenia wykonywane podczas znajdowania rangi macierzy są w zasadzie takie same, jak obliczenia podczas znajdowania rozwiązania systemu. Dlatego zwykle zamiast szukać i szuka się rozwiązania systemu. Jeśli można go znaleźć, to dowiadujemy się, że system jest spójny i jednocześnie uzyskujemy jego rozwiązanie. Jeśli nie można znaleźć rozwiązania, dochodzimy do wniosku, że system jest niespójny.

Algorytm znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych (metoda Gaussa)

Niech będzie dany układ równań liniowych z niewiadomymi. Wymagane jest znalezienie jego ogólnego rozwiązania, jeśli jest spójne lub ustalenie jego niespójności. Metoda, która zostanie przedstawiona w tym rozdziale, jest zbliżona do metody obliczania wyznacznika oraz metody wyznaczania rangi macierzy. Proponowany algorytm nazywa się Metoda Gaussa lub metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych.

Napiszmy macierz rozszerzoną systemu

Następujące operacje na macierzach nazywamy operacjami elementarnymi:

1. permutacja linii;

2. pomnożenie ciągu przez liczbę niezerową;

3. dodanie ciągu z innym ciągiem pomnożonym przez liczbę.

Zauważ, że przy rozwiązywaniu układu równań, w przeciwieństwie do obliczania wyznacznika i znajdowania rangi, nie można operować kolumnami. Jeżeli układ równań odtwarzany jest z macierzy otrzymanej z operacji elementarnej, to nowy system będzie równy oryginałowi.

Celem algorytmu jest, poprzez zastosowanie sekwencji elementarnych operacji na macierzy, zapewnienie, że każdy wiersz, z wyjątkiem być może pierwszego, zaczyna się od zer, a liczba zer do pierwszego niezerowego elementu w każdym następnym wiersz jest większy niż w poprzednim.

Krok algorytmu jest następujący. Znajdź pierwszą niezerową kolumnę w macierzy. Niech to będzie kolumna z liczbą . Znajdujemy w nim niezerowy element i zamieniamy linię z tym elementem z pierwszą linią. Aby nie spiętrzać dodatkowej notacji przyjmiemy, że taka zmiana wierszy w macierzy już została dokonana, czyli . Następnie do drugiego wiersza dodajemy pierwszy pomnożony przez liczbę , do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy pomnożony przez liczbę , itd. W rezultacie otrzymujemy macierz

(Zazwyczaj brakuje pierwszych pustych kolumn).

Jeżeli w macierzy jest wiersz o numerze k, w którym wszystkie elementy są równe zero, oraz , to zatrzymujemy wykonanie algorytmu i stwierdzamy, że system jest niespójny. Rzeczywiście, odtwarzając układ równań z rozszerzonej macierzy, otrzymujemy, że -te równanie będzie miało postać

To równanie nie spełnia żadnego zestawu liczb .

Macierz można zapisać jako

W odniesieniu do macierzy wykonujemy opisany krok algorytmu. Pobierz macierz

gdzie , . Tę macierz można ponownie zapisać jako

a powyższy krok algorytmu jest ponownie stosowany do macierzy.

Proces zatrzymuje się, jeśli po wykonaniu kolejnego kroku nowa zmniejszona macierz składa się wyłącznie z zer lub jeśli wszystkie wiersze zostaną wyczerpane. Należy pamiętać, że wniosek o niezgodności systemu może zatrzymać proces jeszcze wcześniej.

Gdybyśmy nie redukowali macierzy, to w końcu doszlibyśmy do macierzy postaci

Następnie wykonywany jest tak zwany odwrotny przebieg metody Gaussa. Na podstawie macierzy tworzymy układ równań. Po lewej stronie pozostawiamy niewiadome z liczbami odpowiadającymi pierwszym niezerowym elementom w każdym wierszu, czyli . Zauważ, że . Pozostałe niewiadome zostają przeniesione na prawą stronę. Biorąc pod uwagę, że niewiadome po prawej stronie są pewnymi stałymi wielkościami, łatwo jest wyrazić niewiadome po lewej stronie w ich kategoriach.

Teraz podając dowolne wartości niewiadomym po prawej stronie i obliczając wartości zmiennych po lewej stronie, znajdziemy różne rozwiązania oryginalny system Ax=b. Aby zapisać rozwiązanie ogólne, niewiadome po prawej stronie należy oznaczyć literami w dowolnej kolejności , w tym te niewiadome, które nie są wyraźnie zapisane po prawej stronie ze względu na zerowe współczynniki, a następnie kolumnę niewiadomych można zapisać jako kolumnę, gdzie każdy element jest kombinacją liniową dowolnych wartości (w szczególności tylko dowolna wartość ). Ten wpis będzie ogólnym rozwiązaniem systemu.

Jeżeli układ był jednorodny, to otrzymujemy rozwiązanie ogólne układu jednorodnego. Współczynniki przy brane w każdym elemencie kolumny rozwiązania ogólnego będą stanowić pierwsze rozwiązanie z podstawowego układu rozwiązań, współczynniki przy - rozwiązanie drugie i tak dalej.

Metoda 2: Podstawowy układ rozwiązań układu jednorodnego można uzyskać w inny sposób. W tym celu jednej zmiennej, przeniesionej na prawą stronę, należy przypisać wartość 1, a reszcie - zera. Obliczając wartości zmiennych po lewej stronie, otrzymujemy jedno rozwiązanie z układu podstawowego. Przypisując wartość 1 drugiej zmiennej po prawej stronie, a zera pozostałym, otrzymujemy drugie rozwiązanie z układu podstawowego i tak dalej.

Definicja: system nazywa się łącznie th, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a niespójne - w przeciwnym razie, czyli w przypadku, gdy system nie ma rozwiązań. Pytanie, czy układ ma rozwiązanie, czy nie, związane jest nie tylko ze stosunkiem liczby równań do liczby niewiadomych. Na przykład układ trzech równań z dwiema niewiadomymi

ma rozwiązanie , a nawet ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale układ dwóch równań z trzema niewiadomymi.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Ten układ jest zawsze spójny, ponieważ ma rozwiązanie trywialne x 1 =…=x n =0

Aby istniały nietrywialne rozwiązania, konieczne i wystarczające jest, aby:

warunki r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Cz Zbiór rozwiązań SLAE tworzy liniową przestrzeń wymiaru (n-r). Oznacza to, że iloczyn jego rozwiązania przez liczbę oraz suma i kombinacja liniowa skończonej liczby jego rozwiązań są rozwiązaniami tego układu. Przestrzeń rozwiązań liniowych dowolnego SLAE jest podprzestrzenią przestrzeni R n .

Dowolny zbiór (n-r) liniowo niezależnych rozwiązań SLAE (będący bazą w przestrzeni rozwiązań) jest nazywany podstawowy zestaw rozwiązań (FSR).

Niech х 1 ,…,х r będą podstawowymi niewiadomymi, х r +1 ,…,х n będą wolnymi niewiadomymi. Z kolei wolne zmienne podajemy następujące wartości:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Tworzy przestrzeń liniową S (przestrzeń rozwiązań), która jest podprzestrzenią w R n (n to liczba niewiadomych) oraz dims=k=n-r, gdzie r to rząd układu. Bazę w przestrzeni rozwiązań (x (1) ,…, x (k) ) nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań, a ogólne rozwiązanie ma postać:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Matematyka wyższa » Systemy liniowe równania algebraiczne" Podstawowe warunki. Notacja macierzowa.

Układ liniowych równań algebraicznych. Podstawowe warunki. Notacja macierzowa.

1. Definicja układu liniowych równań algebraicznych. Rozwiązanie systemowe. Klasyfikacja systemów.
2. Macierzowa postać zapisu układów liniowych równań algebraicznych.

Definicja układu liniowych równań algebraicznych. Rozwiązanie systemowe. Klasyfikacja systemów.

Pod układ liniowych równań algebraicznych(SLAE) oznacza system

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(equation)

Parametry $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) są wywoływane współczynniki oraz $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - wolni członkowie SLAU. Czasami, aby podkreślić liczbę równań i niewiadomych, mówią "$m\times n$ układ równań liniowych" - tym samym wskazując, że SLAE zawiera $m$ równania i $n$ niewiadome.

Jeśli wszystkie bezpłatne warunki $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), wówczas umowa SLAE jest wywoływana jednorodny. Jeśli wśród wolnych członków jest co najmniej jeden inny niż zero, SLAE nazywa się heterogeniczny.

Decyzja SLAU(1) dowolny uporządkowany zbiór liczb ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) jest wywoływany, jeśli elementy tego zbioru są podstawione w podanej kolejności za niewiadome $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , odwróć każde równanie SLAE na tożsamość.

Każdy jednorodny SLAE ma co najmniej jedno rozwiązanie: zero(w innej terminologii - trywialnej), tj. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Jeśli SLAE (1) ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się połączenie jeśli nie ma rozwiązań, niekompatybilny. Jeśli wspólny SLAE ma dokładnie jedno rozwiązanie, nazywa się to niektórzy, jeśli nieskończona liczba rozwiązań - niepewny.

Przykład 1

Rozważ SLAE

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(wyrównane)\prawo.\end(równanie)

Mamy układ liniowych równań algebraicznych zawierający równania $3$ i niewiadome $5$: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Można powiedzieć, że dany jest układ równań liniowych $3\razy 5$.

Współczynniki systemu (2) to liczby przed niewiadomymi. Na przykład w pierwszym równaniu te liczby to: 3,-4,1,7,-1$. Wolni członkowie systemu są reprezentowani przez liczby 11, 65,0 $. Ponieważ jest co najmniej jeden wśród darmowych członków, nie jest zero, to SLAE (2) jest niejednorodny.

Zamówiona kolekcja $(4;-1;5;-7;1)$ jest rozwiązaniem tego SLAE. Łatwo to sprawdzić, jeśli zastąpisz $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ do równań danego układu:

\begin(wyrównany) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(wyrównany)

Naturalnie pojawia się pytanie, czy zweryfikowane rozwiązanie jest jedynym. Kwestia ilości rozwiązań SLAE zostanie omówiona w odpowiednim temacie.

Przykład #2

Rozważ SLAE

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(wyrównany) \right.\end(równanie)

System (3) to SLAE zawierający równania $5$ i niewiadome $3$: $x_1,x_2,x_3$. Ponieważ wszystkie wyrazy wolne tego układu są równe zeru, to SLAE (3) jest jednorodne. Łatwo sprawdzić, czy kolekcja $(0;0;0)$ jest rozwiązaniem danego SLAE. Podstawiając $x_1=0, x_2=0,x_3=0$ do pierwszego równania układu (3), otrzymujemy poprawną równość: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$. Podstawianie do innych równań odbywa się w podobny sposób.

Macierzowa postać zapisu układów liniowych równań algebraicznych.

Z każdym SLAE można powiązać kilka macierzy; ponadto sam SLAE można zapisać jako równanie macierzowe. W przypadku SLAE (1) rozważ następujące macierze:

Macierz $A$ nazywa się macierz systemowa. Elementami tej macierzy są współczynniki danego SLAE.

Macierz $\widetilde(A)$ nazywa się rozbudowany system matrycy. Uzyskuje się go poprzez dodanie do macierzy systemowej kolumny zawierającej wolne składowe $b_1,b_2,…,b_m$. Zwykle ta kolumna jest oddzielona pionową linią - dla jasności.

Macierz kolumn $B$ nazywa się macierz wolnych terminów, a macierz kolumn $X$ - macierz niewiadomych.

Wykorzystując wprowadzoną powyżej notację, SLAE (1) można zapisać w postaci równania macierzowego: $A\cdot X=B$.

Notatka

Można zapisać macierze związane z systemem różne sposoby: wszystko zależy od kolejności zmiennych i równań rozpatrywanego SLAE. Ale w każdym razie kolejność niewiadomych w każdym równaniu danego SLAE musi być taka sama (patrz przykład nr 4).

Przykład #3

Napisz SLAE $ \left \( \begin(wyrównane) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(wyrównane) \right.$ w postaci macierzy i określ macierz rozszerzoną systemu.

Mamy cztery niewiadome, które w każdym równaniu występują w następującej kolejności: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Macierz niewiadomych będzie wyglądać następująco: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

Wolne elementy tego układu wyrażane są liczbami $-5,0,-11$, stąd macierz wolnych elementów ma postać: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(tablica)\prawo)$.

Przejdźmy do kompilacji macierzy systemu. Pierwszy wiersz tej macierzy będzie zawierał współczynniki pierwszego równania: $2.3,-5,1 $.

W drugim wierszu wpisujemy współczynniki drugiego równania: $4,0,-1,0 $. W tym przypadku należy wziąć pod uwagę, że współczynniki układu ze zmiennymi $x_2$ i $x_4$ w drugim równaniu są równe zeru (ponieważ w drugim równaniu tych zmiennych nie ma).

W trzecim wierszu macierzy układu zapisujemy współczynniki trzeciego równania: $0.14.8,1$. Uwzględniamy równość do zera współczynnika przy zmiennej $x_1$ (ta zmienna jest nieobecna w trzecim równaniu). Macierz systemu będzie wyglądać tak:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

Aby związek między macierzą systemową a samym systemem był bardziej przejrzysty, napiszę obok siebie dany SLAE i jego macierz systemową:

W formie macierzowej dany SLAE będzie wyglądał jak $A\cdot X=B$. W rozwiniętym wpisie:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array) \right) $$

Napiszmy rozszerzoną macierz systemu. Aby to zrobić, do macierzy systemowej $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ dodaj kolumnę wolnych terminów (np. $-5,0,-11$). Otrzymujemy: $\widetilde(A)=\left(\begin(tablica) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 i 8 i 1 i -11 \end(array) \right) $.

Przykład #4

Napisz SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ w formie macierzy i określ rozszerzoną macierz systemu.

Jak widać, kolejność niewiadomych w równaniach tego SLAE jest inna. Na przykład w drugim równaniu kolejność to: $a,y,c$, a w trzecim: $c,y,a$. Przed zapisaniem SLAE w postaci macierzowej kolejność zmiennych we wszystkich równaniach musi być taka sama.

Możesz uporządkować zmienne w równaniach danego SLAE różne sposoby(liczba sposobów rozmieszczenia trzech zmiennych to $3!=6$). Rozważę dwa sposoby porządkowania niewiadomych.

Metoda numer 1

Wprowadźmy następującą kolejność: $c,y,a$. Przepiszmy system, umieszczając niewiadome w konieczne zamówienie: $\left \(\begin(wyrównany) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(wyrównany)\right.$

Dla jasności napiszę SLAE w następujący sposób: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(aligned)\right.$

Macierz systemowa to: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( tablica) \prawo) $. Wolna macierz składowa: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Pisząc macierz niewiadomych, pamiętaj o kolejności niewiadomych: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Tak więc forma macierzowa danego SLAE jest następująca: $A\cdot X=B$. Rozszerzony:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

Rozszerzona macierz systemu to: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(tablica) \right) $.

Metoda numer 2

Wprowadźmy następującą kolejność: $a,c,y$. Przepiszmy system, umieszczając niewiadome w wymaganej kolejności: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(aligned)\right.$

Dla jasności napiszę SLAE w następujący sposób: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(aligned)\right.$

Macierz systemowa to: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( tablica)\prawo)$. Wolna macierz składowa: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Pisząc macierz niewiadomych, pamiętaj o kolejności niewiadomych: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Tak więc forma macierzowa danego SLAE jest następująca: $A\cdot X=B$. Rozszerzony:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

Rozszerzona macierz systemu to: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.

Jak widać, zmiana kolejności niewiadomych jest równoznaczna z przestawieniem kolumn macierzy systemowej. Ale jakikolwiek może być ten układ niewiadomych, musi on pasować do wszystkich równań danego SLAE.

Równania liniowe

Równania liniowe- stosunkowo prosty temat matematyczny, dość często spotykany w zadaniach z algebry.

Układy liniowych równań algebraicznych: podstawowe pojęcia, typy

Zastanówmy się, co to jest i jak rozwiązywane są równania liniowe.

Zazwyczaj, równanie liniowe jest równaniem postaci ax + c = 0, gdzie a i c są liczbami arbitralnymi lub współczynnikami, a x jest liczbą nieznaną.

Na przykład równanie liniowe miałoby postać:

Rozwiązywanie równań liniowych.

Jak rozwiązywać równania liniowe?

Rozwiązywanie równań liniowych jest dość łatwe. W tym celu stosuje się technikę matematyczną, taką jak transformacja tożsamości. Dowiedzmy się, co to jest.

Przykład równania liniowego i jego rozwiązanie.

Niech ax + c = 10, gdzie a = 4, c = 2.

W ten sposób otrzymujemy równanie 4x + 2 = 10.

Aby rozwiązać ten problem łatwiej i szybciej, zastosujemy pierwszą metodę transformacja tożsamości- czyli przenosimy wszystkie liczby na prawą stronę równania, a niewiadome 4x zostawiamy po lewej stronie.

Otrzymać:

W ten sposób równanie sprowadza się do bardzo prostego problemu dla początkujących. Pozostaje tylko zastosować drugą metodę identycznego przekształcenia - pozostawiając x po lewej stronie równania, przenieść liczby na prawą stronę. Otrzymujemy:

Badanie:

4x + 2 = 10, gdzie x = 2.

Odpowiedź jest prawidłowa.

Wykres równania liniowego.

Przy rozwiązywaniu równań liniowych z dwiema zmiennymi często stosuje się również metodę wykreślania. Faktem jest, że równanie postaci ax + wy + c \u003d 0 z reguły ma wiele rozwiązań, ponieważ wiele liczb pasuje do zmiennych i we wszystkich przypadkach równanie pozostaje prawdziwe.

Dlatego, aby ułatwić zadanie, budowany jest wykres równania liniowego.

Aby go zbudować, wystarczy wziąć jedną parę zmiennych wartości - i zaznaczając je punktami na płaszczyźnie współrzędnych, poprowadzić przez nie linię prostą. Wszystkie punkty na tej linii będą wariantami zmiennych w naszym równaniu.

Wyrażenia, konwersja wyrażeń

Kolejność działań, zasady, przykłady.

Numeryczne, literałowe i wyrażenia ze zmiennymi w swoim rekordzie mogą zawierać znaki o różnej działania arytmetyczne. Podczas konwertowania wyrażeń i obliczania wartości wyrażeń czynności wykonywane są w określonej kolejności, innymi słowy, należy przestrzegać kolejność działań.

W tym artykule dowiemy się, które czynności należy wykonać jako pierwsze, a które po nich. Zacznijmy od najbardziej proste przypadki gdy wyrażenie zawiera tylko liczby lub zmienne połączone znakami plus, minus, mnożenia i dzielenia. Następnie wyjaśnimy, jaka kolejność wykonywania akcji powinna być przestrzegana w wyrażeniach z nawiasami. Na koniec rozważ kolejność wykonywania czynności w wyrażeniach zawierających potęgi, pierwiastki i inne funkcje.

Najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie

Szkoła zapewnia następujące reguła określająca kolejność wykonywania czynności w wyrażeniach bez nawiasów:

• akcje wykonywane są w kolejności od lewej do prawej,
• gdzie najpierw wykonuje się mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.

Podana zasada jest postrzegana całkiem naturalnie. Wykonywanie czynności w kolejności od lewej do prawej tłumaczy się tym, że zwyczajowo prowadzimy zapisy od lewej do prawej. A fakt, że mnożenie i dzielenie wykonuje się przed dodawaniem i odejmowaniem, tłumaczy się znaczeniem, jakie niosą w sobie te czynności.

Przyjrzyjmy się kilku przykładom zastosowania tej zasady. Na przykład weźmiemy najprostsze wyrażenia liczbowe, aby nie rozpraszać się obliczeniami, ale skupić się na kolejności wykonywania czynności.

Wykonaj kroki 7-3+6.

Oryginalne wyrażenie nie zawiera nawiasów ani mnożenia i dzielenia. Dlatego powinniśmy wykonać wszystkie czynności w kolejności od lewej do prawej, to znaczy najpierw odejmujemy 3 od 7, otrzymujemy 4, po czym do powstałej różnicy dodajemy 6 4, otrzymujemy 10.

Krótko mówiąc, rozwiązanie można zapisać następująco: 7−3+6=4+6=10.

Wskaż kolejność wykonywania czynności w wyrażeniu 6:2.8:3.

Aby odpowiedzieć na pytanie o problem, przejdźmy do reguły, która wskazuje kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach bez nawiasów. Oryginalne wyrażenie zawiera tylko operacje mnożenia i dzielenia i zgodnie z zasadą należy je wykonywać w kolejności od lewej do prawej.

Najpierw podziel 6 przez 2, pomnóż ten iloraz przez 8 i na koniec podziel wynik przez 3.

Podstawowe koncepcje. Układy równań liniowych

Oblicz wartość wyrażenia 17−5 6:3−2+4:2.

Najpierw ustalmy, w jakiej kolejności należy wykonać akcje w oryginalnym wyrażeniu. Obejmuje zarówno mnożenie i dzielenie oraz dodawanie i odejmowanie.

Najpierw od lewej do prawej musisz wykonać mnożenie i dzielenie. Więc mnożymy 5 przez 6, otrzymujemy 30, dzielimy tę liczbę przez 3, otrzymujemy 10. Teraz dzielimy 4 przez 2, otrzymujemy 2. W pierwotnym wyrażeniu podstawiamy zamiast 5 6: 3 znalezioną wartość 10, a zamiast 4:2 wartość 2, mamy 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

W wynikowym wyrażeniu nie ma już mnożenia i dzielenia, więc pozostaje wykonać pozostałe czynności w kolejności od lewej do prawej: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17-5 6:3-2+4:2=7.

Na początku, aby nie mylić kolejności wykonywania czynności przy obliczaniu wartości wyrażenia, wygodnie jest umieszczać liczby nad znakami czynności odpowiadających kolejności ich wykonywania. W poprzednim przykładzie wyglądałoby to tak: .

Ta sama kolejność operacji - najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie - powinna być przestrzegana podczas pracy z wyrażeniami dosłownymi.

Na górze strony

Kroki 1 i 2

W niektórych podręcznikach do matematyki istnieje podział działań arytmetycznych na operacje pierwszego i drugiego kroku. Zajmijmy się tym.

W tych terminach reguła z poprzedniego akapitu, która określa kolejność wykonywania czynności, zostanie zapisana w następujący sposób: jeśli wyrażenie nie zawiera nawiasów, to w kolejności od lewej do prawej czynności z drugiego etapu ( najpierw wykonuje się mnożenie i dzielenie), a następnie czynności pierwszego etapu (dodawanie i odejmowanie).

Na górze strony

Kolejność wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniach z nawiasami

Wyrażenia często zawierają nawiasy wskazujące kolejność wykonywania czynności. W tym przypadku reguła określająca kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach z nawiasami, jest sformułowane w następujący sposób: najpierw wykonuje się czynności w nawiasach, przy czym mnożenie i dzielenie również wykonuje się w kolejności od lewej do prawej, a następnie dodawanie i odejmowanie.

Tak więc wyrażenia w nawiasach są uważane za składniki pierwotnego wyrażenia, a kolejność znanych nam już działań jest w nich zachowana. Rozważ rozwiązania przykładów dla większej przejrzystości.

Wykonaj wskazane kroki 5+(7-2 3) (6-4):2.

Wyrażenie zawiera nawiasy, więc najpierw wykonajmy operacje na wyrażeniach zawartych w tych nawiasach. Zacznijmy od wyrażenia 7−2 3. W nim musisz najpierw wykonać mnożenie, a dopiero potem odejmowanie, mamy 7−2 3=7−6=1. Przechodzimy do drugiego wyrażenia w nawiasach 6-4. Jest tu tylko jedna akcja - odejmowanie, wykonujemy ją 6−4=2.

Otrzymane wartości podstawiamy do oryginalnego wyrażenia: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. W otrzymanym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a następnie odejmowanie, otrzymujemy 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Na tym wszystkie czynności zostały zakończone, zachowaliśmy następującą kolejność ich wykonywania: 5+(7−2 3) (6−4):2.

Zapiszmy krótkie rozwiązanie: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7-2 3)(6-4):2=6.

Zdarza się, że wyrażenie zawiera nawiasy w nawiasach. Nie powinieneś się tego bać, wystarczy konsekwentnie stosować dźwięczną zasadę wykonywania czynności w wyrażeniach z nawiasami. Pokażmy przykładowe rozwiązanie.

Wykonaj czynności w wyrażeniu 4+(3+1+4 (2+3)).

Jest to wyrażenie w nawiasach, co oznacza, że ​​wykonanie akcji musi rozpocząć się od wyrażenia w nawiasach, czyli od 3+1+4 (2+3).

To wyrażenie zawiera również nawiasy, więc musisz najpierw wykonać w nich czynności. Zróbmy to: 2+3=5. Podstawiając znalezioną wartość, otrzymujemy 3+1+4 5. W tym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie, potem dodawanie, mamy 3+1+4 5=3+1+20=24. Wartość początkowa po podstawieniu tej wartości przyjmuje postać 4+24 i pozostaje tylko dokończenie akcji: 4+24=28.

4+(3+1+4 (2+3))=28.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli w wyrażeniu występują nawiasy w nawiasach, często wygodnie jest zacząć od nawiasów wewnętrznych i przejść do nawiasów zewnętrznych.

Na przykład powiedzmy, że musimy wykonać operacje na wyrażeniu (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Najpierw wykonujemy czynności w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4−6:2=4−3=1, po czym oryginalne wyrażenie przyjmie postać (4+(4+1)−1)−1. Ponownie wykonujemy akcję w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4+1=5, otrzymujemy następujące wyrażenie (4+5−1)−1. Ponownie wykonujemy czynności w nawiasach: 4+5−1=8, podczas gdy dochodzimy do różnicy 8−1, która jest równa 7.

Na górze strony

Kolejność wykonywania operacji w wyrażeniach z pierwiastkami, potęgami, logarytmami i innymi funkcjami

Jeżeli wyrażenie zawiera potęgi, pierwiastki, logarytmy, sinus, cosinus, tangens i cotangens oraz inne funkcje, to ich wartości są obliczane przed wykonaniem innych czynności, natomiast reguły z poprzednich akapitów określające kolejność w brane są również pod uwagę czynności, które są wykonywane. Innymi słowy, wymienione rzeczy, z grubsza mówiąc, można uznać za ujęte w nawiasy i wiemy, że działania w nawiasach są wykonywane jako pierwsze.

Rozważmy przykłady.

Wykonaj operacje w wyrażeniu (3+1) 2+6 2:3−7.

To wyrażenie zawiera potęgę 6 2 , jego wartość musi zostać obliczona przed wykonaniem pozostałych kroków. Tak więc wykonujemy potęgowanie: 6 2 \u003d 36. Podstawimy tę wartość do pierwotnego wyrażenia, przybierze ono formę (3+1) 2+36:3−7.

Wtedy wszystko jest jasne: wykonujemy czynności w nawiasach, po czym pozostaje wyrażenie bez nawiasów, w którym w kolejności od lewej do prawej wykonujemy najpierw mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie. Mamy (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1) 2+6 2:3-7=13.

Inne, w tym więcej złożone przykłady wykonując akcje w wyrażeniach z pierwiastkami, stopniami itp., Możesz zobaczyć obliczenia wartości wyrażeń w artykule.

Na górze strony

Akcje pierwszego kroku nazywane są dodawaniem i odejmowaniem, a mnożenie i dzielenie nazywane są działania drugiego kroku.

• Matematyka: studia. na 5 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. ed., wymazane. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 s.: chor. ISBN 5-346-00699-0.

Napisz układ liniowych równań algebraicznych w postaci ogólnej

Co to jest rozwiązanie SLAE?

Rozwiązaniem układu równań jest zbiór n liczb,

Kiedy który zostanie podstawiony do systemu, każde równanie staje się tożsamością.

Jaki system nazywa się wspólnym (nie połączonym)?

Układ równań nazywamy niesprzecznym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie.

System nazywany jest niespójnym, jeśli nie ma rozwiązań.

Jaki system nazywa się określonym (nieokreślonym)?

Wspólny system nazywa się określony, jeśli ma unikalne rozwiązanie.

Wspólny system nazywany jest nieokreślonym, jeśli ma więcej niż jedno rozwiązanie.

Macierzowa forma zapisu układu równań

Ranga systemu wektorów

Rząd układu wektorów to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów.

Ranking macierzy i sposoby na jej znalezienie

Ranga macierzy- najwyższy z rzędów małoletnich tej macierzy, którego wyznacznik jest różny od zera.

Pierwsza metoda, metoda obrzeży, wygląda następująco:

Jeśli wszyscy nieletni są pierwszego rzędu, tj. elementy macierzy są równe zero, to r=0 .

Jeżeli co najmniej jedno z drugorzędnych 1. rzędu nie jest równe zeru i wszystkie drugorzędne 2. rzędu są równe zeru, wtedy r=1.

Jeśli drugorzędna wartość drugorzędna jest niezerowa, to badamy drugorzędne drugorzędne. W ten sposób odnajduje się drugorzędne k-tego rzędu i sprawdza się, czy drugorzędne k+1-go rzędu nie są równe zeru.

Jeżeli wszystkie drugorzędne rzędu k+1 są równe zeru, to ranga macierzy jest równa liczbie k. Takie elementy drugorzędne rzędu k+1 są zwykle znajdowane przez „obramowanie” elementu drugorzędnego k-tego rzędu.

Drugą metodą określania rangi macierzy jest zastosowanie elementarnych przekształceń macierzy, gdy jest ona podnoszona do postaci ukośnej. Ranga takiej macierzy jest równa liczbie niezerowych elementów przekątnych.

Ogólne rozwiązanie niejednorodnego układu równań liniowych, jego własności.

Właściwość 1. Suma dowolnego rozwiązania układu równań liniowych i dowolnego rozwiązania odpowiadającego mu układu jednorodnego jest rozwiązaniem układu równań liniowych.

Właściwość 2.

Układy równań liniowych: pojęcia podstawowe

Różnica dowolnych dwóch rozwiązań niejednorodnego układu równań liniowych jest rozwiązaniem odpowiedniego układu jednorodnego.

Metoda Gaussa do rozwiązywania SLAE

Podciąg:

1) kompilowana jest rozszerzona macierz układu równań

2) za pomocą elementarnych przekształceń macierz zostaje zredukowana do postaci schodkowej

3) ustala się rangę rozszerzonej macierzy systemu i rangę macierzy systemu oraz ustala się pakt zgodności lub niekompatybilności systemu

4) w przypadku zgodności zapisywany jest równoważny układ równań

5) znaleziono rozwiązanie systemu. Główne zmienne są wyrażone w postaci wolnej

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie Kroneckera - Capelli- kryterium zgodności układu liniowych równań algebraicznych:

Układ liniowych równań algebraicznych jest zgodny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd jego macierzy głównej jest równy rządowi jego macierzy rozszerzonej, a układ ma jednoznaczne rozwiązanie, jeśli rząd jest równy liczbie niewiadomych, a nieskończony zbiór rozwiązań, jeśli ranga mniej niż liczba nieznany.

Aby układ liniowy był niesprzeczny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd rozszerzonej macierzy tego układu był równy rządowi jego macierzy głównej.

Kiedy system nie ma rozwiązania, kiedy ma jedno rozwiązanie, czy ma wiele rozwiązań?

Jeżeli liczba równań systemowych jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jej głównej macierzy nie jest równy zero, to takie układy równań mają jednoznaczne rozwiązanie, a w przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.

Układ równań liniowych, który ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się zgodnym. W przeciwnym razie, tj. jeśli system nie ma rozwiązań, nazywa się to niespójnym.

równania liniowe nazywamy niespójnymi, jeśli mają co najmniej jedno rozwiązanie, i niespójnymi, jeśli nie ma rozwiązań. W przykładzie 14 system jest kompatybilny, jego rozwiązaniem jest kolumna:

To rozwiązanie można również zapisać bez macierzy: x = 2, y = 1.

Układ równań będzie nazywany nieokreślonym, jeśli ma więcej niż jedno rozwiązanie, i określony, jeśli rozwiązanie jest jednoznaczne.

Przykład 15. System jest nieokreślony. Na przykład… są jego rozwiązaniami. Czytelnik może znaleźć wiele innych rozwiązań tego systemu.

Wzory określające współrzędne wektorów w starej i nowej bazie

Nauczmy się najpierw rozwiązywać układy równań liniowych w konkretnym przypadku. Układ równań AX = B nazwiemy Cramera, jeśli jego macierz główna А jest kwadratowa i niezdegenerowana. Innymi słowy, liczba niewiadomych w układzie kramerskim pokrywa się z liczbą równań i |A| = 0.

Twierdzenie 6 (reguła Cramera). Układ równań liniowych Cramera ma unikalne rozwiązanie podane wzorami:

gdzie Δ = |A| jest wyznacznikiem macierzy głównej, Δi jest wyznacznikiem uzyskanym z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów swobodnych.

Dowód przeprowadzimy dla n = 3, ponieważ w ogólnym przypadku argumenty są podobne.

Tak więc istnieje system Cramer:

Załóżmy najpierw, że istnieje rozwiązanie systemu, tj. są

Pomnóżmy pierwszy. równość na algebraicznym uzupełnieniu do elementu aii, drugiej równości - na A2i, trzeciej - na A3i i dodać powstałe równości:

Układ równań liniowych ~ Rozwiązanie układu ~ Układy zgodne i niespójne ~ Układ jednorodny ~ Zgodność układu jednorodnego ~ Ranga macierzy układu ~ Warunek nietrywialnej zgodności ~ Podstawowy układ rozwiązań. Rozwiązanie ogólne ~ Badanie układu jednorodnego

Rozważ system m liniowe równania algebraiczne względem n nieznany
x 1 , x 2 , …, x n :

Decyzja system nazywa się całością n nieznane wartości

x 1 \u003d x’ 1, x 2 \u003d x’ 2, ..., x n \u003d x’ n,

po podstawieniu którego wszystkie równania układu zamieniają się w tożsamości.

Układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej:

gdzie A- macierz systemowa, b- część prawa, x- pożądane rozwiązanie Ap - rozszerzona macierz systemy:

.

System, który ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się połączenie; system, który nie ma rozwiązania niekompatybilny.

Jednorodny układ równań liniowych to układ, którego prawa strona jest równa zeru:

Widok macierzowy układu jednorodnego: topór=0.

Układ jednorodny jest zawsze spójny, ponieważ każdy jednorodny układ liniowy ma co najmniej jedno rozwiązanie:

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.

Jeśli jednorodny system ma unikalne rozwiązanie, to to unikalne rozwiązanie wynosi zero, a system nazywa się banalnie wspólny. Jeśli układ jednorodny ma więcej niż jedno rozwiązanie, to są wśród nich rozwiązania niezerowe i w tym przypadku układ nazywa się nietrywialnie wspólne.

Udowodniono, że kiedy m=n dla nietrywialnej kompatybilności systemowej konieczne i wystarczające aby wyznacznik macierzy układu był równy zero.

PRZYKŁAD 1. Nietrywialna zgodność jednorodnego układu równań liniowych z macierzą kwadratową.

Stosując algorytm eliminacji Gaussa do macierzy systemu, redukujemy macierz systemu do postaci krokowej

.

Numer r niezerowe wiersze w postaci krokowej macierzy nazywa się ranking macierzy, oznaczać
r=rg(A) lub r=Rg(A).

Poniższe twierdzenie jest prawdziwe.

Układ liniowych równań algebraicznych

Aby system jednorodny był nietrywialnie spójny, konieczne i wystarczające jest, aby ranga r macierz systemu była mniejsza niż liczba niewiadomych n.

PRZYKŁAD 2. Nietrywialna zgodność układu jednorodnego trzech równań liniowych z czterema niewiadomymi.

Jeżeli układ jednorodny jest nietrywialnie niesprzeczny, to ma nieskończoną liczbę rozwiązań, a jego rozwiązaniem jest również kombinacja liniowa dowolnych rozwiązań układu.
Udowodniono, że wśród nieskończonego zbioru rozwiązań układu jednorodnego dokładnie n-r liniowo niezależne rozwiązania.
Agregat n-r liniowo niezależne rozwiązania układu jednorodnego nazywa się podstawowy system decyzyjny. Każde rozwiązanie systemu jest wyrażane liniowo w kategoriach systemu podstawowego. Tak więc, jeśli ranga r matryce A jednorodny układ liniowy topór=0 mniej niewiadomych n i wektory
e 1 , e 2 , …, e n-r tworzą jej podstawowy system rozwiązań ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), następnie dowolne rozwiązanie x systemy topór=0 można zapisać w formie

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

gdzie c 1 , c 2 , …, c n-r są arbitralnymi stałymi. Wyrażenie pisane nazywa się wspólne rozwiązanie jednorodny system .

Badania

system jednorodny oznacza ustalenie, czy jest nietrywialnie niesprzeczny, a jeśli tak, to znalezienie podstawowego systemu rozwiązań i zapisanie wyrażenia na ogólne rozwiązanie systemu.

Badamy układ jednorodny metodą Gaussa.

macierz badanego układu jednorodnego, którego ranga wynosi r< n .

Taka macierz sprowadza się poprzez eliminację Gaussa do postaci schodkowej

.

Odpowiedni system równoważny ma postać

Stąd łatwo uzyskać wyrażenia dla zmiennych x 1 , x 2 , …, x r poprzez x r+1 , x r+2 , …, x n. Zmienne
x 1 , x 2 , …, x r nazywa podstawowe zmienne i zmienne x r+1 , x r+2 , …, x n - wolne zmienne.

Przenosząc wolne zmienne na prawą stronę otrzymujemy wzory

które określają całościowe rozwiązanie systemu.

Ustawmy kolejno wartości wolnych zmiennych równe

i oblicz odpowiednie wartości podstawowych zmiennych. Otrzymane n-r rozwiązania są liniowo niezależne i dlatego tworzą podstawowy układ rozwiązań badanego układu jednorodnego:

Badanie kompatybilności układu jednorodnego metodą Gaussa.

Jednak w praktyce rozpowszechnione są jeszcze dwa przypadki:

– system jest niespójny (brak rozwiązań);
System jest spójny i posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Notatka : termin „spójność” sugeruje, że system ma przynajmniej jakieś rozwiązanie. W wielu zadaniach wymagane jest wstępne sprawdzenie systemu pod kątem kompatybilności, jak to zrobić - zobacz artykuł na temat ranga macierzy.

W przypadku tych systemów stosowana jest najbardziej uniwersalna ze wszystkich metod rozwiązania - Metoda Gaussa. W rzeczywistości droga „szkolna” również doprowadzi do odpowiedzi, ale w wyższa matematyka Zwyczajowo stosuje się metodę Gaussa sukcesywnej eliminacji niewiadomych. Osoby, które nie są zaznajomione z algorytmem metody Gaussa, proszę najpierw zapoznać się z lekcją metoda Gaussa dla manekinów.

Same podstawowe transformacje macierzy są dokładnie takie same, różnica będzie na końcu rozwiązania. Najpierw rozważ kilka przykładów, w których system nie ma rozwiązań (niespójne).

Przykład 1

Co od razu rzuca się w oczy w tym systemie? Liczba równań jest mniejsza niż liczba zmiennych. Jeśli liczba równań jest mniejsza niż liczba zmiennych, to możemy od razu powiedzieć, że system jest albo niespójny, albo ma nieskończenie wiele rozwiązań. I pozostaje tylko się dowiedzieć.

Początek rozwiązania jest dość zwyczajny - piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci krokowej:

(1) W lewym górnym kroku musimy uzyskać +1 lub -1. W pierwszej kolumnie nie ma takich liczb, więc zmiana kolejności wierszy nie zadziała. Jednostka będzie musiała zostać zorganizowana niezależnie i można to zrobić na kilka sposobów. Zrobiłem tak: do pierwszej linii dodaj trzecią linię pomnożoną przez -1.

(2) Teraz otrzymujemy dwa zera w pierwszej kolumnie. Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 3. Do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 5.

(3) Po wykonaniu transformacji zawsze warto sprawdzić, czy możliwe jest uproszczenie łańcuchów wynikowych? Mogą. Drugą linię dzielimy przez 2, jednocześnie uzyskując w drugim kroku żądane -1. Podziel trzecią linię przez -3.

(4) Dodaj drugą linię do trzeciej linii.

Prawdopodobnie wszyscy zwracali uwagę na złą linię, która okazała się wynikiem elementarnych przekształceń: . Oczywiste jest, że tak być nie może. Rzeczywiście przepisujemy wynikową macierz powrót do układu równań liniowych:

Jeżeli w wyniku przekształceń elementarnych otrzymamy ciąg postaci, gdzie jest liczbą niezerową, to układ jest niespójny (nie ma rozwiązań) .

Jak nagrać zakończenie zadania? Narysujmy białą kredą: „w wyniku elementarnych przekształceń uzyskuje się linię formy, gdzie” i podajmy odpowiedź: układ nie ma rozwiązań (niespójne).

Jeżeli zgodnie z warunkiem wymagane jest BADANIE systemu pod kątem kompatybilności, to konieczne jest wydanie rozwiązania w bardziej solidnym stylu uwzględniającym koncepcję rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Należy pamiętać, że nie ma tu ruchu wstecznego algorytmu Gaussa - nie ma rozwiązań i po prostu nie ma nic do znalezienia.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań liniowych

To jest przykład zrób to sam. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Ponownie przypominam, że twoja ścieżka rozwiązania może różnić się od mojej ścieżki rozwiązania, algorytm Gaussa nie ma silnej „sztywności”.

Inny funkcja techniczna rozwiązania: przekształcenia elementarne można zatrzymać Natychmiast, jak tylko linia jak , gdzie . Rozważać przykład warunkowy: załóżmy, że po pierwszej transformacji otrzymujemy macierz . Matryca nie została jeszcze zredukowana do formy schodkowej, ale nie ma potrzeby dalszych elementarnych przekształceń, gdyż pojawiła się linia formy, gdzie . Należy od razu odpowiedzieć, że system jest niezgodny.

Gdy układ równań liniowych nie ma rozwiązań, jest to prawie dar, ponieważ otrzymuje się krótkie rozwiązanie, czasami dosłownie w 2-3 krokach.

Ale wszystko na tym świecie jest zrównoważone, a problem, w którym system ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest po prostu dłuższy.

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych

Istnieją 4 równania i 4 niewiadome, więc układ może mieć albo pojedyncze rozwiązanie, albo nie mieć rozwiązań, albo mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Cokolwiek to było, ale metoda Gaussa w każdym przypadku doprowadzi nas do odpowiedzi. Na tym polega jego wszechstronność.

Początek znów jest standardowy. Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

To wszystko, a ty się bałeś.

(1) Zwróć uwagę, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2, więc 2 jest w porządku w lewym górnym szczeblu. Do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez -4. Do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez -2. Do czwartej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez -1.

Uwaga! Wielu może ulec pokusie z czwartej linii odjąć Pierwsza linia. Można to zrobić, ale nie jest to konieczne, doświadczenie pokazuje, że prawdopodobieństwo błędu w obliczeniach wzrasta kilkakrotnie. Po prostu dodaj: do czwartej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -1 - Dokładnie!

(2) Ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, dwa z nich można usunąć.

Tutaj znowu trzeba pokazać zwiększona uwaga, ale czy linie są naprawdę proporcjonalne? W przypadku reasekuracji (zwłaszcza w przypadku czajnika) nie byłoby zbyteczne pomnożenie drugiego rzędu przez -1 i podzielenie czwartego rzędu przez 2, co daje trzy identyczne rzędy. I dopiero potem usuń dwa z nich.

W wyniku elementarnych przekształceń rozszerzona macierz układu zostaje zredukowana do postaci schodkowej:

Podczas wykonywania zadania w zeszycie wskazane jest, aby te same notatki zrobić ołówkiem dla jasności.

Przepisujemy odpowiedni układ równań:

„Zwykłe” jedyne rozwiązanie systemu tutaj nie pachnie. Nie ma też złej linii. Oznacza to, że jest to trzeci pozostały przypadek – system ma nieskończenie wiele rozwiązań. Czasami, pod warunkiem, konieczne jest zbadanie kompatybilności systemu (czyli udowodnienie, że rozwiązanie w ogóle istnieje), możesz o tym przeczytać w ostatnim akapicie artykułu Jak znaleźć rangę macierzy? Ale na razie podzielmy podstawy:

Nieskończony zbiór rozwiązań systemu jest w skrócie zapisany w postaci tzw ogólne rozwiązanie systemowe .

Znajdziemy ogólne rozwiązanie układu wykorzystując ruch wsteczny metody Gaussa.

Najpierw musimy określić, jakie mamy zmienne podstawowy, a jakie zmienne wolny. Nie trzeba zawracać sobie głowy pojęciami algebry liniowej, wystarczy pamiętać, że takie są zmienne bazowe oraz wolne zmienne.

Zmienne podstawowe zawsze „siedzą” ściśle na stopniach macierzy.
W ten przykład podstawowe zmienne to i

Darmowe zmienne to wszystko pozostały zmienne, które nie uzyskały kroku. W naszym przypadku są dwa z nich: – zmienne wolne.

Teraz potrzebujesz wszystko zmienne bazowe wyrazić tylko przez wolne zmienne.

Odwrotny ruch algorytmu Gaussa tradycyjnie działa od dołu do góry.
Z drugiego równania układu wyrażamy zmienną podstawową:

Teraz spójrz na pierwsze równanie: . Najpierw podstawiamy do niego znalezione wyrażenie:

Pozostaje wyrazić zmienną podstawową w postaci zmiennych swobodnych:

Rezultat jest tym, czego potrzebujesz - wszystko zmienne bazowe ( i ) są wyrażone tylko przez wolne zmienne :

Właściwie ogólne rozwiązanie jest gotowe:

Jak zapisać ogólne rozwiązanie?
Zmienne swobodne są wpisywane do rozwiązania ogólnego „samodzielnie” i ściśle na swoich miejscach. W takim przypadku wolne zmienne należy zapisać na drugiej i czwartej pozycji:
.

Otrzymane wyrażenia dla podstawowych zmiennych i oczywiście musi być napisany na pierwszej i trzeciej pozycji:

Dając darmowe zmienne wartości arbitralne, jest nieskończenie wiele prywatne decyzje. Najpopularniejszymi wartościami są zera, ponieważ dane rozwiązanie jest najłatwiejsze do uzyskania. Zastąp w ogólnym rozwiązaniu:

to prywatna decyzja.

One to kolejna słodka para, podstawmy do ogólnego rozwiązania:

jest kolejnym szczególnym rozwiązaniem.

Łatwo zauważyć, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań(ponieważ możemy podać darmowe zmienne każdy wartości)

Każdy konkretne rozwiązanie musi spełniać do każdego równanie systemowe. To podstawa do „szybkiego” sprawdzenia poprawności rozwiązania. Weźmy na przykład konkretne rozwiązanie i wstawmy je po lewej stronie każdego równania w oryginalnym układzie:

Wszystko musi się ułożyć. I przy każdym konkretnym rozwiązaniu, które otrzymasz, wszystko powinno również zbiegać się.

Ale, ściśle mówiąc, weryfikacja konkretnego rozwiązania czasami myli; jakieś konkretne rozwiązanie może spełnić każde równanie systemu, a samo rozwiązanie ogólne jest faktycznie znalezione niepoprawnie.

Dlatego weryfikacja rozwiązania ogólnego jest bardziej dokładna i wiarygodna. Jak sprawdzić wynikowe rozwiązanie ogólne ?

To proste, ale dość żmudne. Musimy wziąć wyrażenia podstawowy zmienne, w tym przypadku i i wstaw je po lewej stronie każdego równania układu.

Po lewej stronie pierwszego równania układu:

Po lewej stronie drugiego równania układu:


Otrzymano prawą stronę oryginalnego równania.

Przykład 4

Rozwiąż system za pomocą metody Gaussa. Znajdź rozwiązanie ogólne i dwa prywatne. Sprawdź ogólne rozwiązanie.

To jest przykład zrób to sam. Tutaj, nawiasem mówiąc, znowu liczba równań jest mniejsza niż liczba niewiadomych, co oznacza, że ​​od razu wiadomo, że układ będzie albo niespójny, albo będzie miał nieskończoną liczbę rozwiązań. Co jest ważne w samym procesie decyzyjnym? Uwaga i znowu uwaga. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

I jeszcze kilka przykładów wzmacniających materiał

Przykład 5

Rozwiąż układ równań liniowych. Jeśli system ma nieskończenie wiele rozwiązań, znajdź dwa konkretne rozwiązania i sprawdź rozwiązanie ogólne

Decyzja: Napiszmy macierz rozszerzoną systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadzamy ją do postaci schodkowej:

(1) Dodaj pierwszą linię do drugiej linii. Do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 2. Do czwartego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 3.
(2) Do trzeciej linii dodaj drugą linię pomnożoną przez -5. Do czwartej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -7.
(3) Trzecia i czwarta linia są takie same, usuwamy jedną z nich.

Oto takie piękno:

Zmienne bazowe znajdują się na stopniach, więc są zmiennymi bazowymi.
Jest tylko jedna wolna zmienna, która nie uzyskała kroku:

Ruch wsteczny:
Podstawowe zmienne wyrażamy w postaci zmiennej swobodnej:
Z trzeciego równania:

Rozważ drugie równanie i wstaw do niego znalezione wyrażenie:

Rozważ pierwsze równanie i zastąp znalezione wyrażenia i do niego:

Tak, kalkulator liczący zwykłe ułamki jest nadal wygodny.

Więc ogólne rozwiązanie to:

Po raz kolejny, jak to się stało? Wolna zmienna zajmuje samotnie swoje czwarte miejsce. Otrzymane wyrażenia dla zmiennych podstawowych również zajęły swoje miejsca porządkowe.

Sprawdźmy natychmiast rozwiązanie ogólne. Praca dla czarnych, ale już to zrobiłem, więc łap =)

Podstawiamy trzech bohaterów , , po lewej stronie każdego równania układu:

Otrzymane są odpowiednie prawe strony równań, więc rozwiązanie ogólne jest znalezione poprawnie.

Teraz od znalezionego ogólnego rozwiązania otrzymujemy dwa konkretne rozwiązania. Szef kuchni jest tutaj jedyną wolną zmienną. Nie musisz łamać sobie głowy.

Niech więc to prywatna decyzja.
Niech , to będzie inne szczególne rozwiązanie.

Odpowiedź: Wspólna decyzja: , rozwiązania szczególne: , .

Nie powinienem był tutaj pamiętać o czarnych... ...bo przeróżne sadystyczne motywy przyszły mi do głowy i przypomniałem sobie słynną fotozhaba, w której Ku Klux Klansmeni w białych kombinezonach biegają po boisku po czarnej piłce gracz. Siedzę i uśmiecham się cicho. Wiesz, jak rozpraszające….

Dużo matematyki szkodzi, więc podobny końcowy przykład samodzielnego rozwiązania.

Przykład 6

Znajdź ogólne rozwiązanie układu równań liniowych.

Sprawdziłem już ogólne rozwiązanie, odpowiedzi można zaufać. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego, najważniejsze jest to, że ogólne rozwiązania są zgodne.

Zapewne wiele osób zauważyło w rozwiązaniach nieprzyjemny moment: bardzo często, podczas odwrotnego przebiegu metody Gaussa, musieliśmy bawić się zwykłe ułamki. W praktyce jest to prawdą, przypadki, w których nie ma ułamków, są znacznie rzadsze. Bądź przygotowany mentalnie, a co najważniejsze technicznie.

Zajmę się niektórymi cechami rozwiązania, których nie znaleziono w rozwiązanych przykładach.

Ogólne rozwiązanie systemu może czasami zawierać stałą (lub stałe), na przykład: . Tutaj jedna z podstawowych zmiennych jest równa liczbie stałej: . Nie ma w tym nic egzotycznego, to się zdarza. Oczywiście w tym przypadku każde konkretne rozwiązanie będzie zawierało piątkę na pierwszej pozycji.

Rzadko, ale są systemy, w których liczba równań więcej ilości zmienne. Metoda Gaussa sprawdza się w najcięższych warunkach, należy spokojnie sprowadzić rozszerzoną macierz układu do postaci schodkowej według standardowego algorytmu. Taki system może być niespójny, może mieć nieskończenie wiele rozwiązań i, co dziwne, może mieć unikalne rozwiązanie.

Przypisanie usługi. Kalkulator online jest przeznaczony do badania układu równań liniowych. Zwykle w stanie problemu należy go znaleźć ogólne i szczegółowe rozwiązanie systemu. Podczas badania układów równań liniowych rozwiązywane są następujące problemy:

1. czy system jest oparty na współpracy;
2. jeśli system jest niesprzeczny, to jest określony lub nieokreślony (kryterium zgodności systemu określa twierdzenie);
3. jeśli system jest zdefiniowany, to jak znaleźć jego unikalne rozwiązanie (stosuje się metodę Cramera, metodę macierzy odwrotnej lub metodę Jordana-Gaussa);
4. jeśli system jest nieokreślony, to jak opisać zbiór jego rozwiązań.

Klasyfikacja układów równań liniowych

Dowolny układ równań liniowych ma postać:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. Układy liniowych równań niejednorodnych (liczba zmiennych równa się liczbie równań, m = n).
2. Arbitralne układy liniowych równań niejednorodnych (m > n lub m< n).

Definicja. Rozwiązaniem systemu jest dowolny zbiór liczb c 1 ,c 2 ,...,c n , których podstawienie do systemu zamiast odpowiadających im niewiadomych powoduje, że każde równanie systemu staje się identycznością.

Definicja. Mówi się, że dwa systemy są równoważne, jeśli rozwiązanie pierwszego jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Definicja. System, który ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się połączenie. System, który nie ma żadnego rozwiązania, nazywany jest niespójnym.

Definicja. System z unikalnym rozwiązaniem nazywa się niektórzy, a posiadanie więcej niż jednego rozwiązania jest nieokreślone.

Algorytm rozwiązywania układów równań liniowych

1. Znajdź szeregi macierzy głównej i rozszerzonej. Jeśli nie są równe, to według twierdzenia Kroneckera-Capelliego system jest niespójny i na tym kończy się badanie.
2. Niech ranga(A) = ranga(B) . Wybieramy podstawowy nieletni. W tym przypadku wszystkie nieznane układy równań liniowych są podzielone na dwie klasy. Niewiadome, których współczynniki są zawarte w podstawowej mniejszej, nazywamy zależnymi, a niewiadome, których współczynniki nie są zawarte w podstawowej mniejszej, nazywamy wolnymi. Zauważ, że wybór zależnych i wolnych niewiadomych nie zawsze jest wyjątkowy.
3. Wykreślamy te równania układu, których współczynniki nie zostały uwzględnione w podrzędnym podrzędnym, ponieważ są konsekwencjami reszty (zgodnie z podstawowym podrzędnym twierdzeniem).
4. Na prawą stronę zostaną przeniesione wyrazy równań zawierających wolne niewiadome. W rezultacie otrzymujemy układ r równań z r niewiadomymi, równoważne danemu, którego wyznacznik jest różny od zera.
5. Otrzymany układ jest rozwiązywany na jeden z następujących sposobów: metoda Cramera, metoda macierzy odwrotnej lub metoda Jordana-Gaussa. Znaleziono relacje wyrażające zmienne zależne w kategoriach wolnych.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszym tematem kursu algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich dziedzin matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Te czynniki wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest dobrany i ustrukturyzowany tak, aby z jego pomocą można było

• wybrać optymalną metodę rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych,
• studiować teorię wybranej metody,
• rozwiąż swój układ równań liniowych, po szczegółowym rozważeniu rozwiązań typowych przykładów i problemów.

Krótki opis materiału artykułu.

Dajmy to wszystko najpierw niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzić notację.

Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Najpierw skupmy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby skonsolidować teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.

Następnie przechodzimy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych ogólny widok, w którym liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest zdegenerowana. Formułujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie systemów (w przypadku ich kompatybilności) z wykorzystaniem pojęcia bazy minorowej macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.

Pamiętaj, aby zastanowić się nad strukturą ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie fundamentalnego układu rozwiązań i pokażmy, jak za pomocą wektorów fundamentalnego układu rozwiązań napisane jest ogólne rozwiązanie SLAE. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.

Podsumowując, rozważamy układy równań, które sprowadzają się do liniowych, a także różne problemy, w rozwiązaniu których powstają SLAE.

Nawigacja po stronach.

Definicje, pojęcia, oznaczenia.

Rozważymy układy p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n ) postaci

Zmienne nieznane, - współczynniki (niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone), - wolne elementy (także liczby rzeczywiste lub zespolone).

Ta forma SLAE nazywa się koordynować.

W forma macierzowa ten układ równań ma postać ,
gdzie - macierz główna układu, - macierz-kolumna nieznanych zmiennych, - macierz-kolumna wolnych elementów.

Jeżeli do macierzy A jako (n+1)-tej kolumny dodamy macierz-kolumnę wyrazów wolnych, to otrzymamy tzw. rozszerzona macierz układy równań liniowych. Zwykle macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych elementów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli

Rozwiązując układ liniowych równań algebraicznych nazwany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również zamienia się w tożsamość.

Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się to połączenie.

Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, to nazywa się niekompatybilny.

Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się to niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to - niepewny.

Jeśli wyrazy wolne wszystkich równań układu są równe zeru , wtedy system nazywa się jednorodny, Inaczej - heterogeniczny.

Rozwiązywanie układów elementarnych liniowych równań algebraicznych.

Jeżeli liczba równań systemowych jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jej głównej macierzy nie jest równy zero, to takie SLAE będziemy nazywać podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, aw przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.

Zaczęliśmy badać takie SLAE w Liceum. Rozwiązując je, wzięliśmy jedno równanie, wyraziliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i wstawiliśmy ją do pozostałych równań, następnie wzięliśmy następne równanie, wyraziliśmy kolejną nieznaną zmienną i wstawiliśmy ją do innych równań i tak dalej. Albo użyli metody dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy się rozwodzić nad tymi metodami szczegółowo, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.

Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Rozwiążmy je.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Rozwiążmy układ liniowych równań algebraicznych

w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik głównej macierzy układu jest różny od zera, czyli .

Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu, a są wyznacznikami macierzy otrzymywanych z A przez zastąpienie 1., 2., …, nth kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków:

Przy takim zapisie nieznane zmienne obliczane są ze wzorów metody Cramera jako . W ten sposób metoda Cramera znajduje rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych.

Przykład.

Metoda Cramera .

Decyzja.

Główna macierz systemu ma postać . Oblicz jego wyznacznik (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Ponieważ wyznacznik głównej macierzy systemu jest niezerowy, system posiada unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.

Skomponuj i oblicz niezbędne wyznaczniki (wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę w macierzy A kolumną wolnych prętów, wyznacznik - zastępując drugą kolumnę kolumną wolnych prętów, - zastępując trzecią kolumnę macierzy A kolumną wolnych prętów ):

Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą formuł :

Odpowiedź:

Główną wadą metody Cramera (jeśli można ją nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań układu jest większa niż trzy.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (przy użyciu macierzy odwrotnej).

Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie podany w postaci macierzowej , gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest niezerowy.

Ponieważ , wtedy macierz A jest odwracalna, czyli istnieje macierz odwrotna . Jeśli pomnożymy obie części równości przez po lewej stronie, to otrzymamy wzór na znalezienie macierzy kolumnowej nieznanych zmiennych. Więc otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych metoda macierzowa.

Decyzja.

Przepiszmy układ równań w postaci macierzowej:

Jak

wtedy SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Korzystając z macierzy odwrotnej, rozwiązanie tego systemu można znaleźć jako .

Zbudujmy macierz odwrotną używając macierzy dopełnień algebraicznych elementów macierzy A (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Pozostaje do obliczenia - macierz nieznanych zmiennych przez pomnożenie macierzy odwrotnej na macierzowej kolumnie wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Odpowiedź:

lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Głównym problemem w znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierzy kwadratowych rzędu wyższego niż trzecia.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.

Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi
wyznacznik głównej macierzy której jest różny od zera.

Istota metody Gaussa polega na sukcesywnym wykluczaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, począwszy od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego, i tak dalej, aż do samej nieznanej zmiennej x n pozostaje w ostatnim równaniu. Taki proces przekształcania równań układu dla sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po zakończeniu biegu do przodu metodą Gaussa, x n jest znajdowane z ostatniego równania, x n-1 jest obliczane z przedostatniego równania przy użyciu tej wartości, i tak dalej, x 1 jest znajdowane z pierwszego równania. Proces obliczania nieznanych zmiennych przy przechodzeniu od ostatniego równania układu do pierwszego nazywa się odwrotna metoda Gaussa.

Opiszmy krótko algorytm eliminowania nieznanych zmiennych.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wykluczamy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. Aby to zrobić, dodaj pierwsze równanie pomnożone przez do drugiego równania układu, pierwsze pomnożone przez do trzeciego równania i tak dalej, dodaj pierwsze pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w postaci innych nieznanych zmiennych i wstawili otrzymane wyrażenie do wszystkich innych równań. W ten sposób zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od drugiego.

Dalej postępujemy podobnie, ale tylko z częścią powstałego systemu, która jest zaznaczona na rysunku

Aby to zrobić, dodaj drugie równanie pomnożone przez do trzeciego równania układu, drugie pomnożone przez do czwartego i tak dalej, dodaj drugie pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie . W ten sposób zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomego x 3, zachowując się podobnie z częścią układu zaznaczoną na rysunku

Kontynuujemy więc bezpośredni przebieg metody Gaussa, aż układ przybierze formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotny przebieg metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , korzystając z otrzymanej wartości x n znajdujemy x n-1 z przedostatniego równania, i tak dalej znajdujemy x 1 z równania pierwsze równanie.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych Metoda Gaussa.

Decyzja.

Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. W tym celu do obu części równania drugiego i trzeciego dodajemy odpowiednie części równania pierwszego, pomnożone odpowiednio przez i przez:

Teraz wykluczamy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej części lewą i prawą część drugiego równania pomnożoną przez:

Na tym kończy się kurs do przodu metody Gaussa, zaczynamy kurs odwrotny.

Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3:

Z drugiego równania otrzymujemy .

Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i to dopełnia odwrotny przebieg metody Gaussa.

Odpowiedź:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

W ogólnym przypadku liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:

Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy również układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i zdegenerowana.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych konieczne jest ustalenie jego zgodności. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest zgodny, a kiedy nie, daje Twierdzenie Kroneckera-Capellego:
aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równy n ) był niesprzeczny konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli Rank( A)=Ranga (T) .

Rozważmy jako przykład zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Cappelli do wyznaczania zgodności układu równań liniowych.

Przykład.

Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma rozwiązania.

Decyzja.

. Skorzystajmy z metody graniczenia nieletnich. Nieletni drugiego rzędu różne od zera. Przyjrzyjmy się otaczającym go nieletnim trzeciego rzędu:

Ponieważ wszystkie graniczące nieletnie trzeciorzędne są równe zeru, ranga głównej macierzy wynosi dwa.

Z kolei ranga rozszerzonej macierzy jest równy trzy, ponieważ młodszy trzeciego rzędu

różne od zera.

Zatem, Rang(A) , zatem zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.

Odpowiedź:

Nie ma systemu rozwiązań.

Tak więc nauczyliśmy się ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego.

Ale jak znaleźć rozwiązanie SLAE, jeśli ustalono jego kompatybilność?

Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia bazy minorowej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.

Najwyższego rzędu minor macierzy A, inny niż zero, nazywa się podstawowy.

Z definicji bazy minor wynika, że ​​jej kolejność jest równa randze macierzy. Dla niezerowej macierzy A może być kilka podstawowych drugorzędnych; zawsze jest jedna podstawowa drugorzędna.

Rozważmy na przykład macierz .

Wszystkie podrzędne trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.

Następujące drugorzędne drugorzędne są podstawowe, ponieważ są niezerowe

Małoletni nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.

Twierdzenie o rangach macierzy.

Jeżeli rang macierzy rzędu p przez n wynosi r, to wszystkie elementy wierszy (i kolumn) macierzy, które nie tworzą wybranej bazy pomocniczej, są wyrażane liniowo w kategoriach odpowiadających im elementów wierszy (i kolumn ), które stanowią podstawę małoletnią.

Co daje nam twierdzenie o rangach macierzy?

Jeżeli za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną podrzędną podrzędną macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wyłączamy z układu wszystkie równania, które nie z wybranego podstawowego nieletniego. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny z pierwotnym, ponieważ odrzucone równania są nadal nadmiarowe (zgodnie z twierdzeniem o rangach macierzy są to liniowa kombinacja pozostałych równań).

W rezultacie, po odrzuceniu nadmiernych równań układu, możliwe są dwa przypadki.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie jest równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie ona określona i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Przykład.

.

Decyzja.

Ranga głównej macierzy systemu jest równy dwóm, ponieważ młodszy drugiego rzędu różne od zera. Rozszerzona ranga macierzy jest również równa dwóm, ponieważ jedyny mniejszy trzeciego rzędu jest równy zero

a molowy drugiego rzędu rozważanego powyżej jest różny od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, ponieważ Rank(A)=Rank(T)=2 .

Jako podstawę małoletnią przyjmujemy . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania:


Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu podstawowego minora, więc wyłączamy je z układu opartego na twierdzeniu o rangach macierzy:


Więc mamy system elementarny liniowe równania algebraiczne. Rozwiążmy to metodą Cramera:


Odpowiedź:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n, to wyrazy tworzące podstawową część mniejszą pozostawiamy w lewej części równań, a pozostałe wyrazy przenosimy do prawych części równań system z przeciwnym znakiem.

Nieznane zmienne (jest ich r) pozostałe po lewej stronie równań nazywamy Główny.

Nieznane zmienne (jest ich n - r), które znalazły się po prawej stronie, nazywają się wolny.

Teraz zakładamy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne będą wyrażone w postaci wolnych nieznanych zmiennych w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć rozwiązując wynikowy SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Weźmy przykład.

Przykład.

Rozwiąż układ liniowych równań algebraicznych .

Decyzja.

Znajdź rangę głównej macierzy systemu metodą graniczących nieletnich. Przyjmijmy 1 1 = 1 jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego drugorzędnego małoletniego otaczającego go:


Więc znaleźliśmy niezerową molową drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego granicznego małoletniego trzeciego rzędu:


Tak więc ranga głównej matrycy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.

Znaleziony niezerowy minor trzeciego rzędu będzie traktowany jako podstawowy.

Dla jasności pokazujemy elementy, które tworzą podstawę drobną:


Po lewej stronie równań układu pozostawiamy wyrazy uczestniczące w podstawowym minorowym, a pozostałe o przeciwnych znakach przenosimy na prawą stronę:


Podajemy wolne nieznane zmienne x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli bierzemy , gdzie są arbitralne liczby. W tym przypadku SLAE przyjmuje formę


Otrzymany układ elementarny liniowych równań algebraicznych rozwiązujemy metodą Cramera:


Stąd, .

W odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.

Odpowiedź:

Gdzie są dowolne liczby.

Podsumować.

Aby rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, najpierw dowiadujemy się o jego zgodności za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego. Jeżeli ranga macierzy głównej nie jest równa randze macierzy rozszerzonej, to dochodzimy do wniosku, że system jest niespójny.

Jeżeli rząd macierzy głównej jest równy rządowi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy podstawową podrzędną i odrzucamy równania układu, które nie uczestniczą w tworzeniu wybranej podstawowej podrzędnej.

Jeżeli rząd bazy minor jest równy liczbie nieznanych zmiennych, to SLAE ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną znaną nam metodą.

Jeżeli kolejność podstawowych zmiennych mniejszych jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu zostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawe strony i przypisujemy dowolne wartości​ ​do wolnych nieznanych zmiennych. Z powstałego układu równań liniowych główne nieznane zmienne znajdujemy metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Metodą Gaussa można rozwiązywać dowolne układy liniowych równań algebraicznych bez ich wstępnego badania zgodności. Proces sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych pozwala wyciągnąć wniosek zarówno o zgodności, jak i niezgodności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.

Z punktu widzenia prac obliczeniowych preferowana jest metoda Gaussa.

Obejrzyj to szczegółowy opis oraz przeanalizowane przykłady w artykule Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Zapis ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.

W tej sekcji skupimy się na połączonych jednorodnych i niejednorodnych układach liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.

Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.

Podstawowy system decyzyjny jednorodnego układu p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi jest zbiorem (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rzędem bazy minorowej głównej macierzy układu.

Jeżeli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) to kolumny macierzowe o wymiarze n przez 1 ), to ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań z dowolnymi stałymi współczynnikami С 1 , С 2 , …, С (n-r), czyli .

Co oznacza termin rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?

Znaczenie jest proste: formuła ustawia wszystko możliwe rozwiązania oryginalny SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zestaw wartości dowolnych stałych С 1 , С 2 , …, С (n-r) , zgodnie ze wzorem otrzymujemy jedno z rozwiązań oryginalnego jednorodnego SLAE.

Tak więc, jeśli znajdziemy fundamentalny układ rozwiązań, to możemy ustawić wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .

Pokażmy proces konstruowania fundamentalnego systemu rozwiązań dla jednorodnego SLAE.

Wybieramy podstawowy minor z pierwotnego układu równań liniowych, wyłączamy z układu wszystkie inne równania i przenosimy na prawą stronę równań układu o przeciwnych znakach wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne. Nadajmy wolnym nieznanym zmiennym wartości 1,0,0,…,0 i obliczmy główne niewiadome, rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W ten sposób otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeżeli wolnym niewiadomym damy wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (2) . Itp. Jeśli wolnym nieznanym zmiennym nadamy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (n-r) . W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy układ rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci .

Dla niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne przedstawia się jako

Spójrzmy na przykłady.

Przykład.

Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych .

Decyzja.

Rząd macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równy rządowi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rangę macierzy głównej metodą marginalizacji nieletnich. Jako niezerową moll pierwszego rzędu, bierzemy element a 1 1 = 9 głównej macierzy układu. Znajdź graniczący niezerowy minor drugiego rzędu:

Znaleziono molowy drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez graniczących z nim nieletnich trzeciego rzędu w poszukiwaniu niezerowego:

Wszystkie graniczące nieletnie trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej wynosi dwa. Weźmy podstawowy nieletni. Dla jasności zwracamy uwagę na elementy systemu, które go tworzą:

Trzecie równanie oryginalnego SLAE nie uczestniczy w tworzeniu podstawowego małoletniego, dlatego można go wykluczyć:

Wyrazy zawierające główne niewiadome zostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony równań:

Zbudujmy podstawowy układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązań tego SLAE składa się z dwóch rozwiązań, ponieważ oryginalny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a kolejność jego podstawowej podrzędnej to dwie. Aby znaleźć X (1), nadajemy wolnym nieznanym zmiennym wartości x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań
.