Podniesienie ułamka do sześcianu. Podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi

Czas się zapoznać erekcja ułamek algebraiczny do pewnego stopnia. Ta akcja z ułamkami algebraicznymi, pod względem stopnia, sprowadza się do mnożenia identyczne ułamki. W tym artykule podamy odpowiednią regułę i rozważymy przykłady podnoszenia ułamków algebraicznych do potęg naturalnych.

Nawigacja po stronach.

Reguła podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi, jej dowód

Zanim zaczniemy mówić o podnoszeniu ułamka algebraicznego do potęgi, nie zaszkodzi przypomnieć sobie, jaki jest iloczyn tych samych czynników, które stoją u podstawy stopnia, a ich liczbę określa wskaźnik. Na przykład 2 3 =2 2 2=8 .

A teraz pamiętajmy o zasadzie podnoszenia do potęgi zwykłego ułamka - w tym celu musisz osobno podnieść licznik do wskazanej potęgi i osobno mianownik. Na przykład, . Ta zasada dotyczy podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi naturalnej.

Podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi naturalnej daje nowy ułamek, w liczniku którego jest określony stopień licznika pierwotnego ułamka, aw mianowniku - stopień mianownika. W postaci dosłownej reguła ta odpowiada równości , gdzie aib są dowolnymi wielomianami (w szczególnych przypadkach jednomianami lub liczbami), a b jest wielomianem niezerowym, a n jest .

Dowód dźwięcznej zasady podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym oraz na tym, jak zdefiniowaliśmy mnożenie ułamków algebraicznych: .

Przykłady, rozwiązania

Reguła uzyskana w poprzednim akapicie redukuje podniesienie ułamka algebraicznego do potęgi do podniesienia licznika i mianownika ułamka pierwotnego do tej potęgi. A ponieważ licznik i mianownik pierwotnego ułamka algebraicznego są wielomianami (w szczególnym przypadku jednomianami lub liczbami), pierwotne zadanie sprowadza się do podniesienia wielomianów do potęgi. Po wykonaniu tej czynności otrzymamy nowy ułamek algebraiczny, identycznie równy określonej potędze pierwotnego ułamka algebraicznego.

Przyjrzyjmy się kilku przykładom.

Przykład.

Podnieś do kwadratu ułamek algebraiczny.

Rozwiązanie.

Napiszmy stopień. Teraz przejdźmy do zasady podniesienia ułamka algebraicznego do potęgi, to daje nam równość . Pozostaje przekonwertować otrzymany ułamek do postaci ułamka algebraicznego, podnosząc jednomiany do potęgi. Więc .

Zwykle przy podnoszeniu ułamka algebraicznego do potęgi przebieg rozwiązania nie jest wyjaśniany i rozwiązanie jest pisane krótko. Nasz przykład odpowiada rekordowi .

Odpowiedź:

Gdy wielomiany, zwłaszcza dwumiany, znajdują się w liczniku i/lub mianowniku ułamka algebraicznego, to przy podnoszeniu go do potęgi zaleca się stosowanie odpowiednich skróconych wzorów mnożenia.

Przykład.

Podnieś ułamek algebraiczny do drugiego stopnia.

Rozwiązanie.

Zgodnie z zasadą podnoszenia ułamka do potęgi mamy .

Aby przekształcić wynikowe wyrażenie w liczniku, używamy wzór do kwadratu różnicy, aw mianowniku wzór na kwadrat sumy trzech wyrazów:

Odpowiedź:

Podsumowując, zauważamy, że jeśli podniesiemy nieredukowalny ułamek algebraiczny do potęgi naturalnej, to wynikiem będzie również ułamek nieredukowalny. Jeśli pierwotny ułamek można skasować, to przed podniesieniem go do potęgi zaleca się skrócenie ułamka algebraicznego, aby nie przeprowadzać redukcji po podniesieniu do potęgi.

Bibliografia.

Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich AG Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik ucznia instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkovich. - 11. ed., skasowane. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.

Prawa autorskie autorstwa sprytnych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część strony internetowej, w tym materiały wewnętrzne I projekt zewnętrzny, nie mogą być powielane w żadnej formie ani używane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Kontynuując rozmowę o stopniu liczby, logiczne jest zajmowanie się znalezieniem wartości stopnia. Ten proces został nazwany potęgowanie. W tym artykule po prostu przestudiujemy, jak odbywa się potęgowanie, podczas gdy dotkniemy wszystkich możliwych wykładników - naturalnych, całkowitych, racjonalnych i irracjonalnych. I zgodnie z tradycją szczegółowo rozważymy rozwiązania przykładów podnoszenia liczb w różnym stopniu.

Nawigacja po stronach.

Co oznacza „potęgowanie”?

Zacznijmy od wyjaśnienia, co nazywa się potęgowaniem. Oto odpowiednia definicja.

Definicja.

Potęgowanie jest znalezienie wartości potęgi liczby.

Zatem znalezienie wartości potęgi a z wykładnikiem r i podniesienie liczby a do potęgi r to to samo. Na przykład, jeśli zadaniem jest „oblicz wartość potęgi (0,5) 5”, to można je przeformułować w następujący sposób: „Podnieś liczbę 0,5 do potęgi 5”.

Teraz możesz przejść bezpośrednio do reguł, według których odbywa się potęgowanie.

Podnoszenie liczby do naturalnej siły

W praktyce równość na podstawie jest zwykle stosowana w postaci . Oznacza to, że podnosząc liczbę a do potęgi ułamkowej m / n, najpierw wyodrębnia się pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, po czym wynik jest podnoszony do potęgi całkowitej m.

Rozważ rozwiązania przykładów podnoszenia do potęgi ułamkowej.

Przykład.

Oblicz wartość stopnia.

Rozwiązanie.

Pokazujemy dwa rozwiązania.

Pierwszy sposób. Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Obliczamy wartość stopnia pod znakiem pierwiastka, po czym wyodrębniamy pierwiastek sześcienny: .

Drugi sposób. Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym i na podstawie właściwości pierwiastków, równości są prawdziwe . Teraz wyodrębnij korzeń Na koniec podnosimy do potęgi całkowitej .

Oczywiście otrzymane wyniki podniesienia do potęgi ułamkowej pokrywają się.

Odpowiedź:

Należy zauważyć, że wykładnik ułamkowy można zapisać jako ułamek dziesiętny lub liczbę mieszaną, w takich przypadkach należy go zastąpić odpowiednim ułamkiem zwykłym, a następnie należy wykonać potęgowanie.

Przykład.

Oblicz (44,89) 2.5 .

Rozwiązanie.

Piszemy wykładnik w postaci zwykłego ułamka (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): . Teraz podbijamy do potęgi ułamkowej:

Odpowiedź:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Należy również powiedzieć, że podnoszenie liczb do potęg wymiernych jest dość pracochłonnym procesem (zwłaszcza, gdy licznik i mianownik wykładnika ułamkowego zawiera wystarczająco dużo duże liczby), co zwykle odbywa się przy użyciu technologii komputerowej.

Na zakończenie tego akapitu zajmiemy się konstruowaniem liczby zero do potęgi ułamkowej. Ułamkowemu stopniowi zera postaci nadaliśmy następujące znaczenie: bo mamy , natomiast zero do potęgi m/n nie jest zdefiniowane. Czyli zero do dodatniej potęgi ułamkowej zero, na przykład, . A zero w ułamkowej potędze ujemnej nie ma sensu, na przykład wyrażenia i 0-4,3 nie mają sensu.

Wznoszenie do irracjonalnej potęgi

Czasami konieczne staje się ustalenie wartości stopnia liczby z niewymiernym wykładnikiem. W takim przypadku ze względów praktycznych zwykle wystarczy uzyskać wartość stopnia do określonego znaku. Od razu zauważamy, że wartość ta jest obliczana w praktyce z wykorzystaniem technologii obliczeń elektronicznych, ponieważ podniesienie do ir racjonalny stopień ręcznie wymaga duża liczba kłopotliwe obliczenia. Jednak opiszemy W ogólnych warunkach istota działania.

Aby uzyskać przybliżoną wartość potęgi z irracjonalny wskaźnik, pobierane jest przybliżenie dziesiętne wykładnika i obliczana jest wartość wykładnika. Ta wartość jest przybliżoną wartością stopnia liczby a z niewymiernym wykładnikiem. Im dokładniejsze przybliżenie dziesiętne liczby zostanie przyjęte na początku, tym więcej Dokładna wartość stopień zostanie uzyskany w końcu.

Jako przykład obliczmy przybliżoną wartość potęgi 2 1.174367... . Przyjmijmy następujące przybliżenie dziesiętne wskaźnika irracjonalnego: . Teraz podnosimy 2 do potęgi wymiernej 1,17 (istotę tego procesu opisaliśmy w poprzednim akapicie), otrzymujemy 2 1,17 ≈ 2,250116. W ten sposób, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jeśli weźmiemy dokładniejsze przybliżenie dziesiętne niewymiernego wykładnika, na przykład , otrzymamy dokładniejszą wartość oryginalnego stopnia: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki Zh na 5 komórek. instytucje edukacyjne.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 7 komórek. instytucje edukacyjne.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 9 komórek. instytucje edukacyjne.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnicyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

Lekcja rozważy bardziej uogólnioną wersję mnożenia ułamków - to jest potęgowanie. Przede wszystkim porozmawiamy o naturalnym stopniu ułamka i przykładach demonstrujących podobne działania z ułamkami. Na początku lekcji powtórzymy również podnoszenie do naturalnej potęgi wyrażeń całkowitych i zobaczymy, jak jest to przydatne do rozwiązywania dalszych przykładów.

Temat: Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja: Podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi

1. Zasady podnoszenia ułamków i wyrażeń całkowitych do potęg naturalnych z przykładami elementarnymi

Reguła podnoszenia ułamków zwykłych i algebraicznych do potęg naturalnych:

Możesz narysować analogię do stopnia wyrażenia całkowitego i zapamiętać, co oznacza podniesienie go do potęgi:

Przykład 1 .

Jak widać na przykładzie, podniesienie ułamka do potęgi to szczególny przypadek mnożenie ułamków, które było badane w poprzedniej lekcji.

Przykład 2. a), b) - minus znika, bo podnieśliśmy ekspresję do równej potęgi.

Dla wygody pracy ze stopniami przypominamy podstawowe zasady wznoszenia się do naturalnej mocy:

- iloczyn stopni;

- podział stopni;

Podnoszenie stopnia do potęgi;

Stopień pracy.

Przykład 3. - wiemy o tym od tematu "Podnoszenie do potęgi wyrażeń liczb całkowitych", z wyjątkiem jednego przypadku: nie istnieje.

2. Najprostsze przykłady podnoszenia ułamków algebraicznych do potęg naturalnych

Przykład 4. Podnieś ułamek do potęgi.

Rozwiązanie. Po podniesieniu do równej potęgi minus znika:

Przykład 5. Podnieś ułamek do potęgi.

Rozwiązanie. Teraz stosujemy zasady natychmiastowego podnoszenia stopnia do potęgi bez osobnego harmonogramu:

Rozważmy teraz połączone zadania, w których będziemy musieli podnieść ułamki do potęgi, pomnożyć je i podzielić.

Przykład 6: Wykonaj akcje.

Rozwiązanie. . Następnie musisz dokonać redukcji. Opiszemy raz szczegółowo, jak to zrobimy, a następnie natychmiast wskażemy wynik przez analogię:. Podobnie (lub zgodnie z zasadą podziału stopni). Mamy: .

Przykład 7: Wykonaj akcje.

Rozwiązanie. . Redukcję przeprowadza się analogicznie do omówionego wcześniej przykładu.

Przykład 8: Wykonaj akcje.

Rozwiązanie. . W ten przykład ponownie opisaliśmy bardziej szczegółowo proces redukcji mocy ułamkowych w celu utrwalenia tej metody.

3. Bardziej złożone przykłady podnoszenia ułamków algebraicznych do potęg naturalnych (z uwzględnieniem znaków i wyrazów w nawiasach)

Przykład 9: Wykonaj akcje .

Rozwiązanie. W tym przykładzie pominiemy już oddzielne mnożenie ułamków, a od razu zastosujemy regułę ich mnożenia i zapiszemy to pod jednym mianownikiem. Jednocześnie podążamy za znakami - w tym przypadku ułamki są podnoszone do równych potęg, więc minusy znikają. Zróbmy redukcję na koniec.

Przykład 10: Wykonaj akcje .

Rozwiązanie. W tym przykładzie jest dzielenie ułamków, pamiętaj, że w tym przypadku pierwszy ułamek jest mnożony przez drugi, ale odwrócony.

Temat sprowadza się do tego, że musimy pomnożyć identyczne ułamki. W tym artykule dowiesz się, jakiej reguły musisz użyć, aby poprawnie podnieść ułamki algebraiczne do potęg naturalnych.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Reguła podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi, jej dowód

Zanim zaczniesz wznosić się do potęgi, musisz pogłębić swoją wiedzę za pomocą artykułu o dyplomie z naturalnym wskaźnikiem, gdzie jest iloczyn tych samych czynników, które są podstawą stopnia, a ich liczba jest określony przez wskaźnik. Na przykład liczba 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Podnosząc się do potęgi, najczęściej posługujemy się regułą. Aby to zrobić, osobno podnieś licznik i mianownik. Rozważmy przykład 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Zasada dotyczy podniesienia ułamka do potęgi naturalnej.

Na podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi naturalnej otrzymujemy nowy, gdzie licznik ma stopień pierwotnego ułamka, a mianownik ma stopień mianownika. To wszystko ma postać a b n = a n b n , gdzie aib są dowolnymi wielomianami, b jest niezerowe, a n jest liczbą naturalną.

Dowód tej reguły jest napisany jako ułamek, który należy podnieść do potęgi, w oparciu o samą definicję z naturalnym wskaźnikiem. Następnie otrzymujemy mnożenie ułamków postaci a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Przykłady, rozwiązania

Reguła podniesienia ułamka algebraicznego do potęgi jest wykonywana sekwencyjnie: najpierw licznik, potem mianownik. Gdy w liczniku i mianowniku występuje wielomian, to samo zadanie sprowadza się do podniesienia danego wielomianu do potęgi. Następnie zostanie wskazana nowa frakcja, która jest równa oryginalnej.

Przykład 1

Podnoszenie do kwadratu ułamka x 2 3 y z 3

Rozwiązanie

Konieczne jest ustalenie stopnia x 2 3 · y · z 3 2 . Zgodnie z zasadą podniesienia ułamka algebraicznego do potęgi, otrzymujemy równość postaci x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Teraz konieczne jest przekształcenie otrzymanego ułamka na formę algebraiczną przez potęgowanie. Wtedy otrzymujemy wyraz formy

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Wszystkie przypadki potęgowania nie wymagają szczegółowego wyjaśnienia, więc samo rozwiązanie ma krótki zapis. To znaczy, rozumiemy, że

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Odpowiedź: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 .

Jeśli w liczniku i mianowniku występują wielomiany, należy cały ułamek podnieść do potęgi, a następnie zastosować skrócone wzory mnożenia, aby go uprościć.

Przykład 2

Podnieś ułamek do kwadratu 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Rozwiązanie

Z reguły mamy to

2 x - 1 x 2 + 3 x r - r 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x r - r 2

Aby przekonwertować wyrażenie, należy użyć wzoru na kwadrat sumy trzech wyrazów w mianowniku, aw liczniku - na kwadrat różnicy, co uprości wyrażenie. Otrzymujemy:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 xy + 2 x 2 (- y ) + 2 3 xy - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Odpowiedź: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x r - r 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 r 2 + r 2 + 6 x 3 r - 2 x 2 r - 6 x r 2

Zauważ, że podnosząc ułamek, którego nie możemy zredukować do potęgi naturalnej, otrzymujemy również ułamek nieredukowalny. Nie ułatwia to dalszego rozwiązywania. Gdy dany ułamek można zmniejszyć, to przy wykładaniu stwierdzamy, że konieczne jest wykonanie redukcji ułamka algebraicznego, aby uniknąć wykonywania redukcji po podniesieniu do potęgi.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Ustaliliśmy, jaki jest ogólny stopień liczby. Teraz musimy zrozumieć, jak poprawnie to obliczyć, tj. podnieść liczby do potęgi. W tym materiale przeanalizujemy podstawowe zasady obliczania stopnia w przypadku wykładnika całkowitego, naturalnego, ułamkowego, wymiernego i niewymiernego. Wszystkie definicje zostaną zilustrowane przykładami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pojęcie potęgowania

Zacznijmy od sformułowania podstawowych definicji.

Definicja 1

Potęgowanie jest obliczeniem wartości potęgi pewnej liczby.

Oznacza to, że słowa „obliczanie wartości stopnia” i „potęgowanie” oznaczają to samo. Jeśli więc zadaniem jest „Podnieś liczbę 0 , 5 do potęgi piątej”, należy to rozumieć jako „oblicz wartość potęgi (0 , 5) 5 .

Teraz podajemy podstawowe zasady, których należy przestrzegać w takich obliczeniach.

Przypomnij sobie, jaka jest potęga liczby z wykładnikiem naturalnym. Dla potęgi o podstawie a i wykładniku n będzie to iloczyn n-tej liczby czynników, z których każdy jest równy a. Można to napisać tak:

Aby obliczyć wartość stopnia, musisz wykonać operację mnożenia, czyli pomnożyć podstawy stopnia określoną liczbę razy. Samo pojęcie stopnia z naturalnym wskaźnikiem opiera się na umiejętności szybkiego mnożenia. Podajmy przykłady.

Przykład 1

Warunek: Podnieś - 2 do potęgi 4 .

Rozwiązanie

Korzystając z powyższej definicji, piszemy: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Następnie wystarczy wykonać te kroki i uzyskać 16 .

Weźmy bardziej skomplikowany przykład.

Przykład 2

Oblicz wartość 3 2 7 2

Rozwiązanie

Ten wpis można przepisać jako 3 2 7 · 3 2 7 . Wcześniej przyjrzeliśmy się, jak poprawnie pomnożyć liczby mieszane wymienione w warunku.

Wykonaj poniższe czynności i uzyskaj odpowiedź: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jeśli zadanie wskazuje na potrzebę podniesienia liczb niewymiernych do potęgi naturalnej, będziemy musieli najpierw zaokrąglić ich podstawy do cyfry, która pozwoli nam uzyskać odpowiedź o pożądanej dokładności. Weźmy przykład.

Przykład 3

Wykonaj podniesienie do kwadratu liczby π .

Rozwiązanie

Zaokrąglijmy najpierw do setnych. Wtedy π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jeżeli π ≈ 3 . 14159, wtedy otrzymamy dokładniejszy wynik: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Należy zauważyć, że potrzeba obliczania potęg liczb niewymiernych w praktyce pojawia się stosunkowo rzadko. Możemy następnie zapisać odpowiedź jako samą potęgę (ln 6) 3 lub przekonwertować, jeśli to możliwe: 5 7 = 125 5 .

Osobno należy wskazać, jaka jest pierwsza potęga liczby. Tutaj możesz tylko pamiętać, że każda liczba podniesiona do pierwszej potęgi pozostanie sama:

To jasno wynika z zapisów. .

Nie zależy to od stopnia.

Przykład 4

Zatem (− 9) 1 = − 9 , a 7 3 podniesione do pierwszej potęgi pozostaje równe 7 3 .

Dla wygody przeanalizujemy osobno trzy przypadki: czy wykładnik jest dodatnią liczbą całkowitą, czy jest równy zero i czy jest ujemną liczbą całkowitą.

W pierwszym przypadku jest to równoznaczne z podniesieniem do potęgi naturalnej: w końcu liczby całkowite dodatnie należą do zbioru liczb naturalnych. Opisaliśmy już jak pracować z takimi stopniami powyżej.

Zobaczmy teraz, jak prawidłowo podnieść do zerowej mocy. Przy podstawie, która jest niezerowa, to obliczenie zawsze daje wynik 1 . Wyjaśniliśmy wcześniej, że 0 potęgę a można zdefiniować dla dowolnego prawdziwy numer, nie równe 0 , a 0 = 1 .

Przykład 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - niezdefiniowane.

Pozostaje nam tylko przypadek stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym. Omówiliśmy już, że takie stopnie można zapisać jako ułamek 1 a z, gdzie a jest dowolną liczbą, a z jest ujemną liczbą całkowitą. Widzimy, że mianownik tego ułamka to nic innego jak stopień zwyczajny z dodatnią liczbą całkowitą i już nauczyliśmy się ją obliczać. Podajmy przykłady zadań.

Przykład 6

Podnieś 3 do potęgi -2.

Rozwiązanie

Korzystając z powyższej definicji piszemy: 2 - 3 = 1 2 3

Obliczamy mianownik tej frakcji i otrzymujemy 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Wtedy odpowiedź brzmi: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Przykład 7

Podnieś 1, 43 do potęgi -2.

Rozwiązanie

Przeformułuj: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Obliczamy kwadrat w mianowniku: 1,43 1,43. Ułamki dziesiętne można mnożyć w ten sposób:

W rezultacie otrzymaliśmy (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Pozostaje nam napisać ten wynik w postaci zwykłego ułamka, dla którego należy go pomnożyć przez 10 tysięcy (patrz materiał dotyczący konwersji ułamków).

Odpowiedź: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Osobnym przypadkiem jest podnoszenie liczby do minus pierwszej potęgi. Wartość takiego stopnia jest równa liczbie przeciwnej do pierwotnej wartości podstawy: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Przykład 8

Przykład: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Jak podnieść liczbę do potęgi ułamkowej

Aby wykonać taką operację, musimy przypomnieć podstawową definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym: a m n \u003d a m n dla dowolnego dodatniego a, liczby całkowitej m i naturalnego n.

Definicja 2

Zatem obliczenie stopnia ułamkowego musi być wykonane w dwóch krokach: podniesienie do potęgi całkowitej i znalezienie pierwiastka n-tego stopnia.

Mamy równość a m n = a m n , która, biorąc pod uwagę właściwości pierwiastków, jest zwykle używana do rozwiązywania problemów w postaci a m n = a n m . Oznacza to, że jeśli podnosimy liczbę a do potęgi ułamkowej m/n, to najpierw wyciągamy pierwiastek n-tego stopnia z a, a następnie podnosimy wynik do potęgi o wykładniku całkowitym m.

Zilustrujmy przykładem.

Przykład 9

Oblicz 8 - 2 3 .

Rozwiązanie

Metoda 1. Zgodnie z podstawową definicją możemy to przedstawić jako: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Teraz obliczmy stopień pod pierwiastkiem i wyodrębnijmy trzeci pierwiastek z wyniku: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Przekształćmy podstawową równość: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Następnie wyciągamy pierwiastek 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 i podwajamy wynik: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Widzimy, że rozwiązania są identyczne. Możesz używać w dowolny sposób.

Zdarzają się przypadki, gdy stopień ma wskaźnik wyrażony jako liczba mieszana lub ułamek dziesiętny. Dla ułatwienia obliczeń lepiej jest zastąpić go zwykłym ułamkiem i policzyć, jak wskazano powyżej.

Przykład 10

Podbij 44,89 do potęgi 2,5.

Rozwiązanie

Konwertuj wartość wskaźnika na wspólny ułamek - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

A teraz wykonujemy wszystkie czynności wskazane powyżej w kolejności: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Odpowiedź: 13501, 25107.

Jeśli w liczniku i mianowniku wykładnika ułamkowego są duże liczby, obliczenie takich wykładników za pomocą wykładników wymiernych jest dość trudnym zadaniem. Zwykle wymaga technologii komputerowej.

Osobno zajmujemy się stopniem o podstawie zerowej i wykładniku ułamkowym. Wyrażeniu postaci 0 m n można nadać następujące znaczenie: jeśli m n > 0, to 0 m n = 0 m n = 0 ; jeśli m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Jak podnieść liczbę do irracjonalnej potęgi?

Konieczność obliczania wartości stopnia, we wskaźniku którego występuje liczba niewymierna, nie pojawia się tak często. W praktyce zadanie ogranicza się zwykle do obliczenia przybliżonej wartości (do określonej liczby miejsc po przecinku). Jest to zwykle obliczane na komputerze ze względu na złożoność takich obliczeń, więc nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić, wskażemy tylko główne przepisy.

Jeśli musimy obliczyć wartość stopnia a z niewymiernym wykładnikiem a , to bierzemy dziesiętne przybliżenie wykładnika i od niego liczymy. Wynik będzie przybliżoną odpowiedzią. Im dokładniejsze przybliżenie dziesiętne, tym dokładniejsza odpowiedź. Pokażmy na przykładzie:

Przykład 11

Oblicz przybliżoną wartość 21 , 174367 ....

Rozwiązanie

Ograniczamy się do przybliżenia dziesiętnego a n = 1 , 17 . Zróbmy obliczenia używając tej liczby: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Jeśli weźmiemy na przykład przybliżenie a n = 1 , 1743 , to odpowiedź będzie nieco dokładniejsza: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter