Przykłady ułamkowych wyrażeń wymiernych z rozwiązaniami. racjonalne wyrażenie

Artykuł mówi o transformacji wyrażenia wymierne. Rozważ rodzaje wyrażeń wymiernych, ich przekształcenia, grupowania, uwzględnienie w nawiasach wspólnego czynnika. Nauczmy się reprezentować ułamkowe wyrażenia wymierne w postaci ułamki wymierne.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definicja i przykłady wyrażeń wymiernych

Definicja 1

Wyrażenia składające się z liczb, zmiennych, nawiasów, stopni z czynnościami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia z obecnością słupka ułamka są nazywane wyrażenia racjonalne.

Na przykład mamy, że 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 xy 2 - 1 11 x 3 .

Czyli są to wyrażenia, które nie mają podziału na wyrażenia ze zmiennymi. Badanie wyrażeń wymiernych rozpoczyna się od klasy 8, gdzie nazywane są ułamkowymi wyrażeniami wymiernymi.Szczególną uwagę zwraca się na ułamki w liczniku, które są konwertowane za pomocą reguł transformacji.

To pozwala nam przejść do transformacji wymiernych ułamków dowolnej formy. Takie wyrażenie można uznać za wyrażenie z obecnością ułamków wymiernych i wyrażenia całkowite ze znakami czynności.

Główne typy przekształceń wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne służą do wykonywania identycznych przekształceń, grupowań, redukcji podobnych, wykonywania innych operacji na liczbach. Celem takich wyrażeń jest uproszczenie.

Przykład 1

Konwersja wyrażenia wymiernego 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Rozwiązanie

Można zauważyć, że takim wymiernym wyrażeniem jest różnica 3 · x x · y - 1 i 2 · x x · y - 1 . Zauważ, że mają ten sam mianownik. Oznacza to, że redukcja podobnych terminów przyjmuje formę

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Odpowiedź: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Przykład 2

Wykonaj przekształcenie 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Rozwiązanie

Początkowo wykonujemy akcje w nawiasach 3 · x − x = 2 · x . To wyrażenie jest reprezentowane jako 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Dochodzimy do wyrażenia, które zawiera akcje z jednym etapem, czyli ma dodawanie i odejmowanie.

Pozbądź się nawiasów, korzystając z właściwości podziału. Wtedy otrzymujemy, że 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Czynniki liczbowe grupujemy ze zmienną x, po czym możemy wykonywać operacje na potęgach. Rozumiemy to

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Odpowiedź: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Przykład 3

Przekształć wyrażenie w postaci x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Rozwiązanie

Najpierw przekonwertujmy licznik i mianownik. Następnie otrzymujemy wyrażenie w postaci (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, a działania w nawiasach są wykonywane jako pierwsze. W liczniku wykonywane są akcje i grupowane są czynniki. Następnie otrzymujemy wyrażenie w postaci x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Przekształcamy wzór na różnicę kwadratów w liczniku i otrzymujemy to

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Odpowiedź: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Reprezentacja jako ułamek wymierny

Ułamek algebraiczny jest najczęściej poddawany uproszczeniu podczas rozwiązywania. Każdy racjonalizm sprowadza się do tego różne sposoby. Wszystko trzeba zrobić niezbędne działania z wielomianami, aby wyrażenie wymierne mogło ostatecznie dać ułamek wymierny.

Przykład 4

Wyraź jako ułamek wymierny a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Rozwiązanie

To wyrażenie może być reprezentowane jako 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Mnożenie odbywa się przede wszystkim zgodnie z zasadami.

Powinniśmy zacząć od mnożenia, wtedy to otrzymamy

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Tworzymy reprezentację wyniku uzyskanego z oryginałem. Rozumiemy to

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Teraz zróbmy odejmowanie:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 aa (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Po tym jest oczywiste, że pierwotne wyrażenie przyjmie postać 16 a 2 - 9 .

Odpowiedź: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Przykład 5

Wyraź x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x jako ułamek wymierny.

Rozwiązanie

Dane wyrażenie zapisywane jest jako ułamek, w liczniku którego jest x x + 1 + 1, a w mianowniku 2 x - 1 1 + x. Konieczne jest wykonanie przekształceń x x + 1 + 1 . Aby to zrobić, musisz dodać ułamek i liczbę. Otrzymujemy, że xx + 1 + 1 = xx + 1 + 1 1 = xx + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = xx + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Wynika z tego, że x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Otrzymany ułamek można zapisać jako 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

Po dzieleniu otrzymujemy wymierny ułamek formy

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Możesz to rozwiązać inaczej.

Zamiast dzielić przez 2 x - 1 1 + x mnożymy przez odwrotność 1 + x 2 x - 1 . Stosując właściwość dystrybucji, otrzymujemy to

xx + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = xx + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Odpowiedź: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Ta lekcja obejmie podstawowe informacje o wyrażeniach wymiernych i ich przekształceniach, a także przykłady przekształceń wyrażeń wymiernych. Ten temat podsumowuje tematy, które do tej pory studiowaliśmy. Przekształcenia wyrażeń wymiernych obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie ułamki algebraiczne, redukcja, faktoryzacja itp. W ramach lekcji przyjrzymy się, czym jest wymierne wyrażenie, a także przeanalizujemy przykłady ich transformacji.

Temat:Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja:Podstawowe informacje o wyrażeniach wymiernych i ich przekształceniach

Definicja

racjonalne wyrażenie to wyrażenie składające się z liczb, zmiennych, operacji arytmetycznych i potęgowania.

Rozważ przykład wyrażenia wymiernego:

Szczególne przypadki wyrażeń wymiernych:

I stopień: ;

2. jednomian: ;

3. ułamek: .

Wymierna transformacja ekspresji jest uproszczeniem wyrażenia racjonalnego. Kolejność operacji przy konwersji wyrażeń wymiernych: najpierw są akcje w nawiasach, potem mnożenie (dzielenie), a następnie dodawanie (odejmowanie).

Rozważmy kilka przykładów transformacji wyrażeń wymiernych.

Przykład 1

Rozwiązanie:

Rozwiążmy ten przykład krok po kroku. Akcja w nawiasach jest wykonywana jako pierwsza.

Odpowiedź:

Przykład 2

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 3

Rozwiązanie:

Odpowiedź: .

Notatka: może kiedy zobaczysz ten przykład powstał pomysł: zmniejszyć ułamek przed doprowadzeniem do wspólnego mianownika. Rzeczywiście, jest to absolutnie poprawne: po pierwsze, pożądane jest maksymalne uproszczenie wyrażenia, a następnie przekształcenie go. Spróbujmy rozwiązać ten sam przykład w drugi sposób.

Jak widać odpowiedź okazała się absolutnie podobna, ale rozwiązanie okazało się nieco prostsze.

W tej lekcji przyjrzeliśmy się wyrażenia wymierne i ich przekształcenia, a także kilka konkretne przykłady dane transformacji.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8 klasa. - M.: Oświecenie, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 8. - wyd. - M.: Edukacja, 2010.

Ten artykuł jest o transformacja wyrażeń wymiernych, w większości ułamkowo racjonalne, jest jednym z kluczowych pytań kursu algebry dla klas 8. Najpierw przypominamy, jakiego rodzaju wyrażenia nazywamy racjonalnymi. Następnie skupimy się na wykonywaniu standardowych przekształceń za pomocą wyrażeń wymiernych, takich jak grupowanie terminów, usuwanie wspólnych czynników z nawiasów, zmniejszanie podobnych terminów itp. Na koniec dowiemy się, jak reprezentować ułamkowe wyrażenia wymierne jako ułamki wymierne.

Nawigacja po stronach.

Definicja i przykłady wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne to jeden z typów wyrażeń, których uczymy się na lekcjach algebry w szkole. Podajmy definicję.

Definicja.

Wyrażenia złożone z liczb, zmiennych, nawiasów, stopni z wykładnikami całkowitymi, połączone znakami działania arytmetyczne+, − i:, gdzie podział można wskazać kreską ułamka, nazywamy wyrażenia wymierne.

Oto kilka przykładów wyrażeń wymiernych: .

Wyrażenia racjonalne zaczynają być celowo studiowane w 7 klasie. Ponadto w 7 klasie podstawy pracy z tzw całe wyrażenia wymierne, czyli z wyrażeniami wymiernymi, które nie zawierają podziału na wyrażenia ze zmiennymi. Aby to zrobić, jednomiany i wielomiany są konsekwentnie badane, a także zasady wykonywania z nimi działań. Cała ta wiedza ostatecznie pozwala na przeprowadzanie transformacji wyrażeń całkowitych.

W klasie 8 przechodzą do badania wyrażeń wymiernych zawierających dzielenie przez wyrażenie ze zmiennymi, które nazywamy ułamkowe wyrażenia wymierne. W której Specjalna uwaga przekazany do tzw ułamki wymierne(nazywane również ułamki algebraiczne), czyli ułamki, których licznik i mianownik zawierają wielomiany. To ostatecznie umożliwia wykonanie transformacji ułamków wymiernych.

Zdobyte umiejętności pozwalają nam przystąpić do przekształcania wyrażeń racjonalnych o dowolnej formie. Wyjaśnia to fakt, że każde wyrażenie wymierne można uznać za wyrażenie złożone z ułamków wymiernych i wyrażeń całkowitych, połączonych znakami operacji arytmetycznych. A my już wiemy, jak pracować z wyrażeniami całkowitymi i ułamkami algebraicznymi.

Główne typy przekształceń wyrażeń wymiernych

Za pomocą wyrażeń wymiernych można przeprowadzać dowolne podstawowe przekształcenia tożsamościowe, niezależnie od tego, czy jest to grupowanie terminów lub czynników, przynoszenie podobnych terminów, wykonywanie operacji na liczbach itp. Zazwyczaj celem tych przekształceń jest: racjonalne uproszczenie wyrażeń.

Przykład.

.

Rozwiązanie.

Jasne jest, że to wymierne wyrażenie jest różnicą dwóch wyrażeń, a ponadto wyrażenia te są podobne, ponieważ mają tę samą część dosłowną. W ten sposób możemy dokonać redukcji podobnych terminów:

Odpowiedź:

.

Oczywiste jest, że dokonując przekształceń za pomocą wyrażeń racjonalnych, podobnie jak w przypadku innych wyrażeń, należy pozostać w ramach przyjętej kolejności działań.

Przykład.

Przekształć wyrażenie wymierne .

Rozwiązanie.

Wiemy, że akcje w nawiasach są wykonywane jako pierwsze. Dlatego najpierw przekształcamy wyrażenie w nawiasach: 3 x − x=2 x .

Teraz możesz zastąpić wynik w oryginalnym wyrażeniu wymiernym: . Doszliśmy więc do wyrażenia zawierającego działania jednego etapu - dodawania i mnożenia.

Pozbądźmy się nawiasów na końcu wyrażenia, stosując właściwość podziału według produktu: .

Na koniec możemy pogrupować współczynniki liczbowe i współczynniki x, a następnie wykonać odpowiednie operacje na liczbach i zastosować : .

To kończy transformację wyrażenia wymiernego, w wyniku czego otrzymaliśmy jednomian.

Odpowiedź:

Przykład.

Przekształć racjonalną ekspresję .

Rozwiązanie.

Najpierw konwertujemy licznik i mianownik. Ta kolejność transformacji ułamków tłumaczy się tym, że pociągnięcie ułamka jest w istocie innym oznaczeniem podziału, a pierwotne wyrażenie racjonalne jest zasadniczo szczególną formą , a akcje w nawiasach są wykonywane jako pierwsze.

Czyli w liczniku wykonujemy operacje na wielomianach, najpierw mnożenie, potem odejmowanie, a w mianowniku grupujemy czynniki liczbowe i obliczamy ich iloczyn: .

Wyobraźmy sobie także licznik i mianownik powstałego ułamka jako iloczyn: nagle można zredukować ułamek algebraiczny. Aby to zrobić, w liczniku używamy wzór różnicy kwadratów, a w mianowniku wyjmujemy dwójkę z nawiasów, mamy .

Odpowiedź:

.

Tak więc początkową znajomość transformacji wyrażeń wymiernych można uznać za dokonaną. Przechodzimy, że tak powiem, do najsłodszego.

Reprezentacja jako ułamek wymierny

Najczęstszym celem końcowym przekształcania wyrażeń jest uproszczenie ich formy. W tym świetle najbardziej prosty widok, na który można przekonwertować wyrażenie ułamkowo wymierne, jest ułamkiem wymiernym (algebraicznym), aw konkretnym przypadku wielomianem, jednomianem lub liczbą.

Czy można przedstawić dowolne wyrażenie wymierne jako ułamek wymierny? Odpowiedź brzmi tak. Wyjaśnijmy, dlaczego tak jest.

Jak już powiedzieliśmy, każde wyrażenie wymierne można uznać za wielomiany i ułamki wymierne, połączone znakami plus, minus, mnożyć i dzielić. Wszystkie odpowiednie operacje na wielomianach dają wielomian lub ułamek wymierny. Z kolei dowolny wielomian można przekształcić w ułamek algebraiczny, zapisując go z mianownikiem 1. A dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków wymiernych daje w wyniku nowy ułamek wymierny. Dlatego po wykonaniu wszystkich operacji z wielomianami i ułamkami wymiernymi w wyrażeniu wymiernym otrzymujemy ułamek wymierny.

Przykład.

Wyraź jako ułamek wymierny wyrażenie .

Rozwiązanie.

Pierwotne wyrażenie wymierne to różnica między ułamkiem a iloczynem ułamków postaci . Zgodnie z kolejnością działań musimy najpierw wykonać mnożenie, a dopiero potem dodawanie.

Zaczynamy od mnożenia ułamków algebraicznych:

Otrzymany wynik podstawiamy do oryginalnego wyrażenia wymiernego: .

Doszliśmy do odejmowania ułamków algebraicznych za pomocą różne mianowniki:

Po wykonaniu działań z ułamkami wymiernymi, które tworzą oryginalne wyrażenie wymierne, przedstawiliśmy je jako ułamek wymierny.

Odpowiedź:

.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie innego przykładu.

Przykład.

Wyraź wyrażenie wymierne jako ułamek wymierny.

Każdy wyrażenie ułamkowe(pozycja 48) można zapisać jako , gdzie P i Q są wyrażeniami wymiernymi, a Q koniecznie zawiera zmienne. Taki ułamek nazywa się ułamkiem wymiernym.

Przykłady ułamków wymiernych:

Główna właściwość ułamka jest wyrażona przez tożsamość obowiązującą w podanych tutaj warunkach - całe racjonalne wyrażenie. Oznacza to, że licznik i mianownik ułamka wymiernego można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę niezerową, jednomianową lub wielomianową.

Na przykład właściwość ułamka może służyć do zmiany znaków członków ułamka. Jeśli licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez -1, otrzymamy W ten sposób wartość ułamka nie zmieni się, jeśli znaki licznika i mianownika zostaną zmienione w tym samym czasie. Jeśli zmienisz znak tylko licznika lub tylko mianownika, ułamek zmieni swój znak:

Na przykład,

60. Redukcja ułamków wymiernych.

Zmniejszenie ułamka to podzielenie licznika i mianownika ułamka przez wspólny dzielnik. Możliwość takiej redukcji wynika z głównej właściwości frakcji.

Aby zredukować ułamek wymierny, musisz rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Jeśli okaże się, że licznik i mianownik mają wspólne czynniki, to ułamek można zmniejszyć. Jeśli nie ma wspólnych czynników, przekształcenie ułamka przez redukcję jest niemożliwe.

Przykład. Zmniejsz ułamek

Rozwiązanie. Mamy

Redukcja frakcji odbywa się pod warunkiem .

61. Doprowadzenie wymiernych ułamków do wspólnego mianownika.

Wspólnym mianownikiem kilku ułamków wymiernych jest całe wyrażenie wymierne podzielone przez mianownik każdego ułamka (patrz punkt 54).

Na przykład wielomian służy jako wspólny mianownik ułamków, ponieważ jest podzielny przez i przez i przez wielomian i wielomian i wielomian itp. Zwykle przyjmuje się taki wspólny mianownik, że każdy inny wspólny mianownik jest podzielny przez Echosen. Ten najprostszy mianownik jest czasami nazywany najmniej powszechnym mianownikiem.

W powyższym przykładzie wspólnym mianownikiem jest Mamy

Zmniejszenie tych ułamków do wspólnego mianownika uzyskuje się przez pomnożenie licznika i mianownika pierwszego ułamka przez 2. Licznik i mianownik drugiego ułamka przez wielomiany są nazywane dodatkowymi współczynnikami odpowiednio dla pierwszego i drugiego ułamka. Dodatkowy współczynnik dla danego ułamka jest równy ilorazowi dzielenia wspólnego mianownika przez mianownik danego ułamka.

Aby zredukować kilka ułamków wymiernych do wspólnego mianownika, potrzebujesz:

1) rozłożyć mianownik każdego ułamka na czynniki;

2) dokonać wspólnego mianownika, włączając w niego jako czynniki wszystkie czynniki uzyskane w pkt 1) rozszerzeń; jeśli pewien czynnik istnieje w kilku rozszerzeniach, to przyjmuje się go z wykładnikiem równym największemu z dostępnych;

3) znalezienie dodatkowych współczynników dla każdego z ułamków (w tym celu wspólny mianownik jest dzielony przez mianownik ułamka);

4) mnożąc licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy czynnik, sprowadź ułamek do wspólnego mianownika.

Przykład. Zmniejsz do wspólnego mianownika ułamka

Rozwiązanie. Rozłóżmy mianowniki na czynniki:

We wspólnym mianowniku należy uwzględnić następujące czynniki: oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 12, 18, 24, czyli . Więc wspólnym mianownikiem jest

Dodatkowe mnożniki: dla pierwszego ułamka dla drugiego dla trzeciego Otrzymujemy:

62. Dodawanie i odejmowanie ułamków wymiernych.

Suma dwóch (i ogólnie dowolnej skończonej liczby) ułamków wymiernych z te same mianowniki identycznie równy ułamkowi o tym samym mianowniku i liczniku równym sumie liczników dodanych ułamków:

Podobnie sytuacja wygląda przy odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach:

Przykład 1: Uprość wyrażenie

Rozwiązanie.

Aby dodać lub odjąć ułamki wymierne z różnymi mianownikami, musisz najpierw doprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a następnie wykonać operacje na otrzymanych ułamkach o tych samych mianownikach.

Przykład 2: Uprość wyrażenie

Rozwiązanie. Mamy

63. Mnożenie i dzielenie ułamków wymiernych.

Iloczyn dwóch (i ogólnie dowolnej liczby skończonej) ułamków wymiernych jest identycznie równy ułamkowi, którego licznik jest równy iloczynowi liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników pomnożonych ułamków:

Iloraz dzielenia dwóch ułamków wymiernych jest identycznie równy ułamkowi, którego licznik jest równy iloczynowi licznika ułamka pierwszego przez mianownik ułamka drugiego, a mianownik jest iloczynem mianownika ułamka pierwszego przez licznik drugiego ułamka:

Sformułowane zasady mnożenia i dzielenia dotyczą również przypadku mnożenia lub dzielenia przez wielomian: wystarczy zapisać ten wielomian jako ułamek o mianowniku 1.

Biorąc pod uwagę możliwość zmniejszenia ułamka wymiernego uzyskanego przez pomnożenie lub podzielenie ułamków wymiernych, zwykle dąży się do faktoryzacji liczników i mianowników pierwotnych ułamków przed wykonaniem tych operacji.

Przykład 1. Mnożenie

Rozwiązanie. Mamy

Korzystając z zasady mnożenia ułamków otrzymujemy:

Przykład 2: Wykonaj dzielenie

Rozwiązanie. Mamy

Stosując regułę dzielenia otrzymujemy:

64. Podnoszenie ułamka wymiernego do potęgi całkowitej.

Aby podnieść ułamek wymierny - do potęgi naturalnej, musisz podnieść licznik i mianownik ułamka osobno do tej potęgi; pierwsze wyrażenie jest licznikiem, a drugie wyrażenie jest mianownikiem wyniku:

Przykład 1. Zamień na ułamek potęgę 3.

Rozwiązanie Rozwiązanie.

Podnosząc ułamek do ujemnej potęgi całkowitej, używana jest tożsamość, która jest ważna dla wszystkich wartości zmiennych, dla których .

Przykład 2. Konwersja wyrażenia na ułamek

65. Transformacja wyrażeń wymiernych.

Przekształcenie dowolnego wyrażenia wymiernego sprowadza się do dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia ułamków wymiernych, a także podnoszenia ułamka do potęgi naturalnej. Każde wyrażenie wymierne można przekonwertować na ułamek, którego licznik i mianownik są wyrażeniami wymiernymi całkowitoliczbowymi; to jest zwykle cel identyczne przekształcenia wyrażenia racjonalne.

Przykład. Uprość wyrażenie

66. Najprostsze przekształcenia pierwiastków arytmetycznych (rodniki).

Przy przeliczaniu korii arytmetycznych wykorzystuje się ich własności (patrz punkt 35).

Rozważ kilka przykładów wykorzystania właściwości pierwiastki arytmetyczne dla najprostszych przemian rodników. W takim przypadku wszystkie zmienne będą traktowane jako przyjmujące tylko wartości nieujemne.

Przykład 1. Wyodrębnij korzeń produktu

Rozwiązanie. Stosując właściwość 1°, otrzymujemy:

Przykład 2. Wyjmij czynnik spod znaku pierwiastka

Rozwiązanie.

Taka transformacja nazywa się faktoringiem spod znaku pierwiastka. Celem transformacji jest uproszczenie radykalnego wyrażenia.

Przykład 3: Uprość.

Rozwiązanie. Zgodnie z własnością 3°, zwykle staramy się uprościć wyrażenie radykalne, dla którego usuwają mnożniki poza znak corium. Mamy

Przykład 4: Uprość

Rozwiązanie. Przekształcamy wyrażenie, wprowadzając czynnik pod znakiem pierwiastka: Według własności 4° mamy

Przykład 5: Uprość

Rozwiązanie. Własnością 5° mamy prawo podzielić wykładnik pierwiastka i wykładnik wyrażenia pierwiastka na to samo Liczba naturalna. Jeśli w rozważanym przykładzie podzielimy wskazane wskaźniki przez 3, otrzymamy .

Przykład 6. Uprość wyrażenia:

Rozwiązanie: a) Z właściwości 1° otrzymujemy, że aby pomnożyć pierwiastki tego samego stopnia, wystarczy pomnożyć wyrażenia pierwiastka i wyciągnąć pierwiastek tego samego stopnia z otrzymanego wyniku. Oznacza,

b) Przede wszystkim musimy zredukować rodniki do jednego wskaźnika. Zgodnie z własnością 5° możemy pomnożyć wykładnik pierwiastka przez tę samą liczbę naturalną. Dlatego Dalej mamy teraz wynik uzyskany przez podzielenie wskaźników pierwiastka i stopnia radykalnego wyrażenia przez 3, otrzymujemy .