Rozwiązanie wykresów kwadratowych. Jak obliczyć minimum lub maksimum za pomocą operacji matematycznych

Każdy wie, czym jest parabola. Ale jak prawidłowo go używać, kompetentnie w rozwiązywaniu różnych praktycznych problemów, zrozumiemy poniżej.

Najpierw oznaczmy podstawowe pojęcia, które algebra i geometria nadają temu terminowi. Rozważ wszystko możliwe typy ten wykres.

Poznajemy wszystkie główne cechy tej funkcji. Rozumiemy podstawy konstruowania krzywej (geometrii). Nauczmy się, jak znaleźć górne, inne podstawowe wartości wykresu tego typu.

Dowiemy się: jak poprawnie skonstruowana jest wymagana krzywa zgodnie z równaniem, na co należy zwrócić uwagę. Zobaczmy główne praktyczne użycie ta wyjątkowa wartość w życiu człowieka.

Czym jest parabola i jak wygląda

Algebra: termin ten odnosi się do wykresu funkcja kwadratowa.

Geometria: Jest to krzywa drugiego rzędu, która ma kilka specyficznych cech:

Kanoniczne równanie paraboli

Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych (XOY), ekstremum, kierunek rozgałęzienia funkcji rysującej wzdłuż osi odciętej.

Równanie kanoniczne to:

y 2 \u003d 2 * p * x,

gdzie współczynnik p jest ogniskowym parametrem paraboli (AF).

W algebrze zapisuje się to inaczej:

y = a x 2 + b x + c (rozpoznawalny wzór: y = x 2).

Własności i wykres funkcji kwadratowej

Funkcja ma oś symetrii i środek (ekstremum). Domeną definicji są wszystkie wartości osi x.

Zakres wartości funkcji - (-∞, M) lub (M, +∞) zależy od kierunku gałęzi krzywej. Parametr M oznacza tutaj wartość funkcji na górze wiersza.

Jak określić, gdzie skierowane są gałęzie paraboli?

Aby znaleźć kierunek tego typu krzywej z wyrażenia, musisz określić znak przed pierwszym parametrem wyrażenie algebraiczne. Jeśli ˃ 0, to są skierowane w górę. W przeciwnym razie w dół.

Jak znaleźć wierzchołek paraboli za pomocą wzoru

Znalezienie ekstremum jest głównym krokiem w rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów. Oczywiście możesz otworzyć specjalne kalkulatory online ale lepiej móc zrobić to samemu.

Jak to zdefiniować? Istnieje specjalna formuła. Gdy b nie jest równe 0, musimy szukać współrzędnych tego punktu.

Formuły na znalezienie szczytu:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Przykład.

Istnieje funkcja y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Znajdźmy wierzchołki tej funkcji.

Dla takiej linii:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Otrzymujemy współrzędne wierzchołka (-2, -41).

Przesunięcie paraboli

Klasyczny przypadek ma miejsce, gdy w funkcji kwadratowej y = a x 2 + b x + c, drugi i trzeci parametr mają wartość 0, a = 1 - wierzchołek znajduje się w punkcie (0; 0).

Ruch wzdłuż osi odciętych lub rzędnych jest spowodowany zmianą parametrów odpowiednio b i c. Przesunięcie linii na płaszczyźnie zostanie wykonane dokładnie o liczbę jednostek, która jest równa wartości parametru.

Przykład.

Mamy: b = 2, c = 3.

Oznacza to, że klasyczny widok krzywej przesunie się o 2 segmenty wzdłuż osi odciętej i o 3 wzdłuż osi rzędnych.

Jak zbudować parabolę za pomocą równania kwadratowego

Ważne jest, aby dzieci w wieku szkolnym nauczyły się poprawnie rysować parabolę zgodnie z podanymi parametrami.

Analizując wyrażenia i równania, możesz zobaczyć:

Punkt przecięcia żądanej prostej z wektorem rzędnych będzie miał wartość równą c.
Wszystkie punkty wykresu (wzdłuż osi x) będą symetryczne względem głównego ekstremum funkcji.

Ponadto przecięcia z OX można znaleźć znając dyskryminator (D) takiej funkcji:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Aby to zrobić, musisz zrównać wyrażenie z zero.

Obecność korzeni paraboli zależy od wyniku:

D ˃ 0, a następnie x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, następnie x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, to nie ma punktów przecięcia z wektorem OX.

Otrzymujemy algorytm konstruowania paraboli:

określić kierunek gałęzi;
znajdź współrzędne wierzchołka;
znajdź przecięcie z osią y;
znajdź przecięcie z osią X.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę funkcję y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Konieczne jest zbudowanie paraboli. Działamy zgodnie z algorytmem:

a \u003d 1, dlatego gałęzie są skierowane w górę;
współrzędne skrajne: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
przecina się z osią y przy wartości y = 4;
znajdź wyróżnik: D = 25 - 16 = 9;
szukam korzeni

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10).

Przykład 2

Dla funkcji y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 musisz zbudować parabolę. Działamy według powyższego algorytmu:

a \u003d 3, dlatego gałęzie są skierowane w górę;
współrzędne skrajne: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
z osią y przetnie się przy wartości y \u003d -1;
znajdź dyskryminator: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Więc korzenie:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Z uzyskanych punktów możesz zbudować parabolę.

Directrix, ekscentryczność, ognisko paraboli

Na podstawie równania kanonicznego ognisko F ma współrzędne (p/2, 0).

Linia prosta AB to kierownica (rodzaj paraboli o określonej długości). Jej równanie to x = -p/2.

Mimośród (stała) = 1.

Wniosek

Rozważaliśmy temat, na którym studiują studenci Liceum. Teraz już wiesz, patrząc na kwadratową funkcję paraboli, jak znaleźć jej wierzchołek, w jakim kierunku będą skierowane gałęzie, czy istnieje przesunięcie wzdłuż osi, a mając algorytm konstrukcji, możesz narysować jej wykres.