Kalkulator inżynierski online

Pospiesznie przedstawiamy wszystkim darmowy kalkulator inżynierski. Dzięki niemu każdy uczeń może szybko i, co najważniejsze, łatwo wykonywać różnego rodzaju obliczenia matematyczne online.

Kalkulator pochodzi ze strony - kalkulator naukowy web 2.0

Prosty i łatwy w obsłudze kalkulator inżynierski z dyskretnym i intuicyjnym interfejsem naprawdę przyda się najszerszemu gronu użytkowników Internetu. Teraz, gdy potrzebujesz kalkulatora, odwiedź naszą stronę internetową i skorzystaj z bezpłatnego kalkulatora inżynierskiego.

Kalkulator inżynierski może wykonywać zarówno proste operacje arytmetyczne, jak i dość złożone obliczenia matematyczne.

Web20calc to kalkulator inżynierski, który ma ogromną liczbę funkcji, na przykład sposób obliczania wszystkich funkcji podstawowych. Kalkulator obsługuje również funkcje trygonometryczne, macierze, logarytmy, a nawet kreślenie.

Niewątpliwie Web20calc zainteresuje tę grupę osób, która w poszukiwaniu prostych rozwiązań wpisuje w wyszukiwarce zapytanie: matematyczny kalkulator online. Bezpłatna aplikacja internetowa pomoże Ci natychmiast obliczyć wynik dowolnego wyrażenia matematycznego, na przykład odejmowanie, dodawanie, dzielenie, wyodrębnianie pierwiastka, podnoszenie do potęgi itp.

W wyrażeniu można użyć operacji potęgowania, dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, procentu, stałej PI. Do skomplikowanych obliczeń należy używać nawiasów.

Funkcje kalkulatora inżynierskiego:

1. podstawowe działania arytmetyczne;
2. pracować z liczbami w standardowej formie;
3. obliczanie pierwiastków trygonometrycznych, funkcji, logarytmów, potęgowanie;
4. obliczenia statystyczne: dodawanie, średnia arytmetyczna lub odchylenie standardowe;
5. zastosowanie komórki pamięci i funkcji użytkownika 2 zmiennych;
6. pracować z kątami w radianach i stopniach.

Kalkulator inżynierski umożliwia korzystanie z różnych funkcji matematycznych:

Ekstrakcja korzeni (korzeń kwadratowy, korzeń sześcienny, a także korzeń n-tego stopnia);
ex (e do potęgi x), wykładnik;
funkcje trygonometryczne: sinus – sin, cosinus – cos, tangens – tan;
odwrotne funkcje trygonometryczne: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arcus tangens - tan-1;
funkcje hiperboliczne: sinus – sinh, cosinus – cosh, tangens – tanh;
logarytmy: logarytm o podstawie dwa to log2x, logarytm o podstawie dziesięć to logarytm o podstawie dziesiątej to log, logarytm naturalny to ln.

Ten kalkulator inżynierski zawiera również kalkulator wielkości z możliwością przeliczania wielkości fizycznych dla różnych systemów miar - jednostek komputerowych, odległości, wagi, czasu itp. Dzięki tej funkcji możesz natychmiast zamienić mile na kilometry, funty na kilogramy, sekundy na godziny itp.

Aby wykonać obliczenia matematyczne, najpierw wprowadź sekwencję wyrażeń matematycznych w odpowiednim polu, a następnie kliknij znak równości i zobacz wynik. Możesz wprowadzać wartości bezpośrednio z klawiatury (w tym celu obszar kalkulatora musi być aktywny, dlatego przydatne będzie umieszczenie kursora w polu wprowadzania). Między innymi dane można wprowadzać za pomocą przycisków samego kalkulatora.

Aby zbudować wykresy w polu wejściowym, wpisz funkcję tak, jak wskazano w polu przykładowym lub użyj specjalnie do tego przeznaczonego paska narzędzi (aby przejść do niego, kliknij przycisk z ikoną w postaci wykresu). Aby przekonwertować wartości, naciśnij Unit, aby pracować z macierzami - Macierz.

Pierwszy poziom

Konwersja wyrażenia. Teoria szczegółowa (2019)

Często słyszymy to nieprzyjemne zdanie: „uprość wyrażenie”. Zwykle w tym przypadku mamy takiego potwora:

„Tak, o wiele łatwiej”, mówimy, ale taka odpowiedź zwykle nie działa.

Teraz nauczę Cię nie bać się takich zadań.

Co więcej, pod koniec lekcji sam uprościsz ten przykład do (tylko!) zwykłej liczby (tak, do diabła z tymi literami).

Ale zanim zaczniesz tę lekcję, musisz umieć radzić sobie z ułamkami I faktoryzować wielomiany.

Dlatego, jeśli nie robiłeś tego wcześniej, pamiętaj o opanowaniu tematów „” i „”.

Czytać? Jeśli tak, to jesteś gotowy.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga!Jeśli zamiast formuł widzisz bełkot, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na Macu)

Podstawowe operacje upraszczania wyrażeń

Teraz przeanalizujemy główne techniki używane do uproszczenia wyrażeń.

Najprostszym z nich jest

1. Wprowadzanie podobnych

Jakie są podobne? Przeszedłeś przez to w 7 klasie, kiedy w matematyce zamiast liczb pojawiły się litery.

Podobny to terminy (jednomiany) z tą samą częścią literową.

Na przykład w sumie podobne są warunki i.

Zapamiętane?

Przynieś podobne- oznacza dodanie kilku podobnych terminów ze sobą i uzyskanie jednego terminu.

Ale jak możemy połączyć litery? - ty pytasz.

Łatwo to zrozumieć, jeśli wyobrazisz sobie, że litery są jakimś rodzajem obiektów.

Na przykład list jest krzesłem. Więc jakie jest wyrażenie?

Dwa krzesła plus trzy krzesła, ile to będzie? Zgadza się, krzesła: .

Teraz spróbuj tego wyrażenia:

Aby się nie pomylić, niech różne litery oznaczają różne przedmioty.

Na przykład - to jest (jak zwykle) krzesło, a - to jest stół.

krzesła stoły krzesło stoły krzesła krzesła stoły

Liczby, przez które mnożone są litery w takich terminach, nazywa się współczynniki.

Na przykład w jednomianu współczynnik jest równy. I jest równy.

Tak więc zasada przynoszenia podobnych:

Przykłady:

Przynieś podobne:

Odpowiedzi:

2. (i są podobne, ponieważ w związku z tym terminy te mają tę samą część literową).

2. Faktoryzacja

To jest zwykle najważniejsza część w upraszczaniu wyrażeń.

Po podaniu podobnych najczęściej potrzebne jest wyrażenie wynikowe rozkładać na czynniki, czyli reprezentować jako produkt.

Zwłaszcza to ważne w ułamkach: ponieważ w celu zmniejszenia frakcji, licznik i mianownik muszą być wyrażone jako iloczyn.

Przeszedłeś przez szczegółowe metody rozkładania wyrażeń w temacie „”, więc tutaj musisz tylko zapamiętać, czego się nauczyłeś.

Aby to zrobić, rozwiąż kilka przykładów (musisz rozłożyć na czynniki)

Przykłady:

Rozwiązania:

3. Redukcja frakcji.

Cóż może być ładniejszego niż wykreślenie części licznika i mianownika i wyrzucenie ich ze swojego życia?

Na tym polega piękno skrótu.

To proste:

Jeśli licznik i mianownik zawierają te same czynniki, można je zmniejszyć, to znaczy usunąć z ułamka.

Ta zasada wynika z podstawowej właściwości ułamka:

Oznacza to, że istotą operacji redukcji jest to, że Licznik i mianownik dzielimy przez tę samą liczbę (lub przez to samo wyrażenie).

Aby zmniejszyć ułamek, potrzebujesz:

1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki

2) jeżeli licznik i mianownik zawierają Wspólne czynniki, można je usunąć.

Przykłady:

Myślę, że zasada jest jasna?

Chciałbym zwrócić uwagę na jeden typowy błąd w skrócie. Chociaż ten temat jest prosty, ale wiele osób robi wszystko źle, nie zdając sobie z tego sprawy ciąć- to znaczy dzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

Brak skrótów, jeśli licznik lub mianownik jest sumą.

Na przykład: musisz uprościć.

Niektórzy tak robią: co jest całkowicie błędne.

Inny przykład: zmniejsz.

Zrobią to „najmądrzejsi”:

Powiedz mi, co tu jest nie tak? Wydawałoby się: - to mnożnik, więc możesz zmniejszyć.

Ale nie: - jest to czynnik tylko jednego wyrazu w liczniku, ale sam licznik jako całość nie jest rozkładany na czynniki.

Oto kolejny przykład: .

Wyrażenie to jest rozkładane na czynniki, co oznacza, że ​​można zredukować, czyli podzielić licznik i mianownik przez, a następnie przez:

Możesz od razu podzielić przez:

Aby uniknąć takich błędów, pamiętaj o prostym sposobie określenia, czy wyrażenie jest rozkładane na czynniki:

Operacja arytmetyczna, która jest wykonywana jako ostatnia podczas obliczania wartości wyrażenia, to „główna”.

To znaczy, jeśli podstawisz jakieś (dowolne) liczby zamiast liter i spróbujesz obliczyć wartość wyrażenia, to jeśli ostatnią czynnością jest mnożenie, to mamy iloczyn (wyrażenie jest rozkładane na czynniki).

Jeśli ostatnią czynnością jest dodawanie lub odejmowanie, oznacza to, że wyrażenie nie jest rozkładane na czynniki (a zatem nie może być redukowane).

Aby to naprawić samodzielnie, kilka przykładów:

Przykłady:

Rozwiązania:

1. Mam nadzieję, że nie spieszył się od razu z cięciem i? Wciąż nie wystarczyło „zredukować” jednostek w ten sposób:

Pierwszym krokiem powinno być rozłożenie na czynniki:

4. Dodawanie i odejmowanie ułamków. Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Dodawanie i odejmowanie zwykłych ułamków to dobrze znana operacja: szukamy wspólnego mianownika, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki.

Zapamiętajmy:

Odpowiedzi:

1. Mianowniki i są względnie pierwsze, to znaczy nie mają wspólnych dzielników. Dlatego LCM tych liczb jest równy ich iloczynowi. To będzie wspólny mianownik:

2. Tutaj wspólnym mianownikiem jest:

3. Tutaj przede wszystkim zamieniamy ułamki mieszane na nieodpowiednie, a następnie - zgodnie ze zwykłym schematem:

To zupełnie inna sprawa, jeśli ułamki zawierają litery, na przykład:

Zacznijmy od prostych:

a) Mianowniki nie zawierają liter

Tutaj wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych ułamków liczbowych: znajdujemy wspólny mianownik, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy / odejmujemy liczniki:

teraz w liczniku możesz przynieść podobne, jeśli takie istnieją, i rozłożyć je na czynniki:

Spróbuj sam:

Odpowiedzi:

b) Mianowniki zawierają litery

Pamiętajmy o zasadzie znajdowania wspólnego mianownika bez liter:

Przede wszystkim określamy wspólne czynniki;

Następnie wypisujemy wszystkie wspólne czynniki raz;

i pomnóż je przez wszystkie inne czynniki, a nie wspólne.

Aby określić wspólne czynniki mianowników, najpierw rozkładamy je na czynniki proste:

Podkreślamy wspólne czynniki:

Teraz wypisujemy wspólne czynniki raz i dodajemy do nich wszystkie nietypowe (niepodkreślone) czynniki:

To jest wspólny mianownik.

Wróćmy do liter. Mianowniki podaje się dokładnie w ten sam sposób:

Rozkładamy mianowniki na czynniki;

określić wspólne (identyczne) mnożniki;

wypisz wszystkie wspólne czynniki raz;

Mnożymy je przez wszystkie inne czynniki, a nie wspólne.

A więc w kolejności:

1) rozłóż mianowniki na czynniki:

2) określić wspólne (identyczne) czynniki:

3) wypisz wszystkie wspólne czynniki raz i pomnóż je przez wszystkie inne (niepodkreślone) czynniki:

Więc wspólny mianownik jest tutaj. Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez, drugi przez:

Nawiasem mówiąc, jest jedna sztuczka:

Na przykład: .

Widzimy te same czynniki w mianownikach, tylko wszystkie z różnymi wskaźnikami. Wspólnym mianownikiem będzie:

w stopniu

w stopniu

w stopniu

w stopniu.

Skomplikujmy zadanie:

Jak sprawić, by ułamki miały ten sam mianownik?

Zapamiętajmy podstawową właściwość ułamka:

Nigdzie nie jest powiedziane, że tę samą liczbę można odjąć (lub dodać) od licznika i mianownika ułamka. Bo to nieprawda!

Przekonaj się sam: weź na przykład dowolny ułamek i dodaj liczbę do licznika i mianownika, na przykład . Czego się nauczyłeś?

A więc kolejna niezachwiana zasada:

Kiedy łączysz ułamki ze wspólnym mianownikiem, używaj tylko operacji mnożenia!

Ale co trzeba pomnożyć, aby uzyskać?

Tutaj dalej i pomnóż. I pomnóż przez:

Wyrażenia, których nie można podzielić na czynniki, będą nazywane „czynnikami elementarnymi”.

Na przykład to elementarny czynnik. - też. Ale - nie: rozkłada się na czynniki.

A co z ekspresją? Czy to elementarne?

Nie, ponieważ można to rozłożyć na czynniki:

(już czytałeś o faktoryzacji w temacie „”).

Tak więc czynniki elementarne, na które rozkładasz wyrażenie za pomocą liter, są odpowiednikiem prostych czynników, na które rozkładasz liczby. I zrobimy z nimi to samo.

Widzimy, że oba mianowniki mają czynnik. Dojdzie do wspólnego mianownika we władzy (pamiętasz dlaczego?).

Mnożnik jest elementarny i nie mają go wspólnego, co oznacza, że ​​pierwszy ułamek trzeba będzie po prostu pomnożyć przez niego:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Zanim w panice pomnożysz te mianowniki, musisz zastanowić się, jak je rozłożyć? Obaj reprezentują:

W porządku! Następnie:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Jak zwykle rozkładamy mianowniki na czynniki. W pierwszym mianowniku po prostu wyjmujemy go z nawiasów; w drugim - różnica kwadratów:

Wydawałoby się, że nie ma wspólnych czynników. Ale jeśli przyjrzysz się uważnie, są już tak podobne ... A prawda jest taka:

Napiszmy więc:

Oznacza to, że wyszło tak: w nawiasie zamieniliśmy terminy, a jednocześnie znak przed ułamkiem zmienił się na przeciwny. Zwróć uwagę, będziesz musiał to robić często.

Teraz dochodzimy do wspólnego mianownika:

Rozumiem? Sprawdźmy teraz.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Tutaj musimy pamiętać jeszcze jedną rzecz - różnicę kostek:

Należy pamiętać, że mianownik drugiego ułamka nie zawiera formuły „kwadrat sumy”! Kwadrat sumy wyglądałby tak:

A jest tak zwanym niepełnym kwadratem sumy: drugi wyraz jest w nim iloczynem pierwszego i ostatniego, a nie ich iloczynem podwojonym. Niepełny kwadrat sumy jest jednym z czynników rozszerzania różnicy sześcianów:

Co jeśli są już trzy ułamki?

Tak to samo! Przede wszystkim upewnimy się, że maksymalna liczba czynników w mianownikach jest taka sama:

Zwróć uwagę: jeśli zmienisz znaki w jednym nawiasie, znak przed ułamkiem zmieni się na przeciwny. Kiedy zmieniamy znaki w drugim nawiasie, znak przed ułamkiem jest ponownie odwracany. W rezultacie on (znak przed frakcją) się nie zmienił.

Pierwszy mianownik wypisujemy w całości we wspólnym mianowniku, a następnie dodajemy do niego wszystkie czynniki, które jeszcze nie zostały zapisane, z drugiego, a następnie z trzeciego (i tak dalej, jeśli jest więcej ułamków). Oznacza to, że wygląda to tak:

Hmm… Z ułamkami jasne, co robić. Ale co z tymi dwoma?

To proste: wiesz, jak dodawać ułamki, prawda? Musisz więc upewnić się, że dwójka stanie się ułamkiem! Pamiętaj: ułamek to operacja dzielenia (licznik jest dzielony przez mianownik, na wypadek, gdybyś nagle zapomniał). I nie ma nic prostszego niż dzielenie liczby przez. W takim przypadku sama liczba się nie zmieni, ale zamieni się w ułamek:

Dokładnie to, czego potrzeba!

5. Mnożenie i dzielenie ułamków.

Cóż, najtrudniejsza część już się skończyła. A przed nami najprostsze, ale jednocześnie najważniejsze:

Procedura

Jaka jest procedura obliczania wyrażenia liczbowego? Pamiętaj, biorąc pod uwagę wartość takiego wyrażenia:

Czy liczyłeś?

Powinno działać.

Więc przypominam.

Pierwszym krokiem jest obliczenie stopnia.

Drugi to mnożenie i dzielenie. Jeśli jest kilka mnożeń i dzieleń jednocześnie, możesz je wykonać w dowolnej kolejności.

I na koniec wykonujemy dodawanie i odejmowanie. Znowu w dowolnej kolejności.

Ale: wyrażenie w nawiasach jest oceniane niewłaściwie!

Jeśli kilka nawiasów jest mnożonych lub dzielonych przez siebie, najpierw oceniamy wyrażenie w każdym z nawiasów, a następnie mnożymy lub dzielimy je.

A jeśli w nawiasach są inne nawiasy? Zastanówmy się: w nawiasach jest napisane jakieś wyrażenie. Jaka jest pierwsza rzecz do zrobienia podczas oceny wyrażenia? Zgadza się, oblicz nawiasy. Cóż, zorientowaliśmy się: najpierw obliczamy nawiasy wewnętrzne, potem wszystko inne.

Tak więc kolejność czynności dla powyższego wyrażenia jest następująca (bieżąca czynność jest podświetlona na czerwono, to znaczy czynność, którą wykonuję w tej chwili):

Dobra, to wszystko jest proste.

Ale to nie to samo, co wyrażenie z literami, prawda?

Nie, to jest to samo! Tylko zamiast operacji arytmetycznych konieczne jest wykonywanie operacji algebraicznych, czyli operacji opisanych w poprzednim rozdziale: przynosząc podobne, dodawanie ułamków, zmniejszanie ułamków i tak dalej. Jedyną różnicą będzie działanie faktoryzacji wielomianów (często używamy go podczas pracy z ułamkami). Najczęściej do rozkładania na czynniki należy użyć i lub po prostu wyjąć wspólny dzielnik z nawiasów.

Zwykle naszym celem jest przedstawienie wyrażenia jako iloczynu lub ilorazu.

Na przykład:

Uprośćmy wyrażenie.

1) Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasach. Tam mamy różnicę ułamków, a naszym celem jest przedstawienie jej jako iloczynu lub ilorazu. Tak więc łączymy ułamki ze wspólnym mianownikiem i dodajemy:

Nie da się dalej uprościć tego wyrażenia, wszystkie czynniki są tu elementarne (pamiętasz jeszcze, co to oznacza?).

2) Otrzymujemy:

Mnożenie ułamków zwykłych: co może być prostsze.

3) Teraz możesz skrócić:

Cóż, to wszystko. Nic skomplikowanego, prawda?

Inny przykład:

Uprość wyrażenie.

Najpierw spróbuj sam go rozwiązać, a dopiero potem spójrz na rozwiązanie.

Rozwiązanie:

Przede wszystkim zdefiniujmy procedurę.

Najpierw dodajmy ułamki w nawiasach, zamiast dwóch ułamków okaże się jeden.

Następnie dokonamy podziału ułamków. Cóż, dodajemy wynik z ostatnim ułamkiem.

Schematycznie ponumeruję kroki:

Teraz pokażę cały proces, zabarwiając bieżącą akcję na czerwono:

Na koniec dam ci dwie przydatne wskazówki:

1. Jeśli są podobne, należy je niezwłocznie przywieźć. W każdej chwili mamy podobne, warto je od razu zabrać.

2. To samo dotyczy redukcji ułamków: gdy tylko pojawi się okazja do redukcji, należy ją wykorzystać. Wyjątkiem są ułamki, które dodajesz lub odejmujesz: jeśli mają teraz te same mianowniki, skrócenie należy zostawić na później.

Oto kilka zadań do samodzielnego rozwiązania:

I obiecał na samym początku:

Odpowiedzi:

Rozwiązania (krótkie):

Jeśli poradziłeś sobie z przynajmniej pierwszymi trzema przykładami, to pomyśl, że opanowałeś temat.

Teraz do nauki!

KONWERSJA WYRAŻENIA. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA

Podstawowe operacje upraszczające:

• Przynosząc podobne: aby dodać (zredukować) podobne terminy, musisz dodać ich współczynniki i przypisać część literową.
• Faktoryzacja: wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów, zastosowanie itp.
• Redukcja frakcji: licznik i mianownik ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę niezerową, od której wartość ułamka się nie zmienia.
  1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki
  2) jeśli w liczniku i mianowniku występują wspólne czynniki, można je przekreślić.

  WAŻNE: można zmniejszyć tylko mnożniki!

• Dodawanie i odejmowanie ułamków:
  ;
• Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych:
  ;

Uwaga 1

Funkcję logiczną można zapisać za pomocą wyrażenia logicznego, a następnie przejść do obwodu logicznego. Konieczne jest uproszczenie wyrażeń logicznych, aby uzyskać jak najprostszy (a tym samym tańszy) obwód logiczny. W rzeczywistości funkcja logiczna, wyrażenie logiczne i obwód logiczny to trzy różne języki, które mówią o tej samej jednostce.

Aby uprościć wyrażenia logiczne, użyj prawa algebry logiki.

Niektóre przekształcenia są podobne do przekształceń wzorów w klasycznej algebrze (w nawiasach wspólnego, przy użyciu praw przemiennych i asocjacyjnych itp.), podczas gdy inne przekształcenia opierają się na właściwościach, których nie mają klasyczne operacje algebry (wykorzystywanie prawa rozkładu dla koniunkcji, prawa absorpcji, sklejania, reguły de Morgana itp.).

Prawa algebry logiki są sformułowane dla podstawowych operacji logicznych - „NIE” - inwersja (negacja), „AND” - koniunkcja (mnożenie logiczne) i „LUB” - alternatywa (dodawanie logiczne).

Prawo podwójnej negacji oznacza, że ​​operacja „NIE” jest odwracalna: jeśli zastosujesz ją dwukrotnie, to ostatecznie wartość logiczna się nie zmieni.

Prawo wyłączonego środka mówi, że każde wyrażenie logiczne jest albo prawdziwe, albo fałszywe („nie ma trzeciego”). Zatem, jeśli $A=1$, to $\bar(A)=0$ (i odwrotnie), co oznacza, że ​​koniunkcja tych wielkości jest zawsze równa zeru, a alternatywa równa się jeden.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Uprośćmy tę formułę:

Rysunek 3

Oznacza to, że $A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

Odpowiedź: studenci $B$, $C$ i $D$ grają w szachy, ale student $A$ nie gra.

Upraszczając wyrażenia logiczne, możesz wykonać następującą sekwencję działań:

1. Zastąp wszystkie „niepodstawowe” operacje (równoważność, implikacja, wyłączne OR itp.) ich wyrażeniami za pomocą podstawowych operacji odwrócenia, koniunkcji i alternatywy.
2. Rozszerz inwersje wyrażeń złożonych zgodnie z regułami de Morgana w taki sposób, aby tylko poszczególne zmienne miały operacje negacji.
3. Następnie uprość wyrażenie, używając rozwinięcia w nawiasy, ujmowania w nawias wspólnych czynników i innych praw algebry logiki.

Przykład 2

Tutaj kolejno stosuje się regułę de Morgana, prawo podziału, prawo wyłączonego środka, prawo przemienności, prawo powtórzenia, prawo ponownie przemienne i prawo wchłonięcia.

Za pomocą dowolnego języka możesz wyrazić te same informacje za pomocą różnych słów i fraz. Język matematyczny nie jest wyjątkiem. Ale to samo wyrażenie można równoważnie napisać na różne sposoby. A w niektórych sytuacjach jeden z wpisów jest prostszy. W tej lekcji porozmawiamy o uproszczeniu wyrażeń.

Ludzie komunikują się w różnych językach. Dla nas ważnym porównaniem jest para „Język rosyjski - język matematyczny”. Te same informacje mogą być przekazywane w różnych językach. Ale poza tym może być inaczej wymawiane w jednym języku.

Na przykład: „Piotr jest przyjacielem Wasyi”, „Wasja przyjaźni się z Petyą”, „Piotr i Wasia są przyjaciółmi”. Mówiąc inaczej, ale jedno i to samo. Dzięki którymkolwiek z tych zwrotów zrozumielibyśmy, o co toczy się gra.

Spójrzmy na to zdanie: „Chłopiec Petya i chłopiec Wasia są przyjaciółmi”. Rozumiemy, o co toczy się gra. Jednak nie podoba nam się, jak brzmi to zdanie. Czy nie możemy tego uprościć, powiedzieć to samo, ale prościej? „Chłopiec i chłopiec” - możesz raz powiedzieć: „Chłopcy Petya i Vasya są przyjaciółmi”.

„Chłopcy”… Czy z ich imion nie wynika jasno, że nie są dziewczynami. Usuwamy „chłopców”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. A słowo „przyjaciele” można zastąpić słowem „przyjaciele”: „Petya i Wasia są przyjaciółmi”. W rezultacie pierwsza, długa, brzydka fraza została zastąpiona równoważnym stwierdzeniem, które jest łatwiejsze do powiedzenia i łatwiejsze do zrozumienia. Uprościliśmy to zdanie. Upraszczać znaczy mówić łatwiej, ale nie tracić, nie zniekształcać sensu.

To samo dzieje się w języku matematycznym. To samo można powiedzieć inaczej. Co to znaczy uprościć wyrażenie? Oznacza to, że dla pierwotnego wyrażenia istnieje wiele równoważnych wyrażeń, to znaczy takich, które oznaczają to samo. I z całej tej mnogości musimy wybrać najprostszy naszym zdaniem lub najbardziej odpowiedni dla naszych dalszych celów.

Rozważmy na przykład wyrażenie liczbowe. Będzie to odpowiednik .

Będzie również odpowiednikiem dwóch pierwszych: .

Okazuje się, że uprościliśmy nasze wyrażenia i znaleźliśmy najkrótszy odpowiednik.

W przypadku wyrażeń liczbowych zawsze musisz wykonać całą pracę i uzyskać równoważne wyrażenie jako pojedynczą liczbę.

Rozważ przykład wyrażenia dosłownego . Oczywiście będzie prostsze.

Upraszczając wyrażenia dosłowne, musisz wykonać wszystkie możliwe czynności.

Czy zawsze konieczne jest uproszczenie wyrażenia? Nie, czasami odpowiednik, ale dłuższy zapis będzie dla nas wygodniejszy.

Przykład: Odejmij liczbę od liczby.

Można to obliczyć, ale gdyby pierwsza liczba była reprezentowana przez jej odpowiednik: , to obliczenia byłyby natychmiastowe: .

Oznacza to, że uproszczone wyrażenie nie zawsze jest dla nas korzystne dla dalszych obliczeń.

Niemniej jednak bardzo często stajemy przed zadaniem, które brzmi jak „uprość wyrażenie”.

Uprość wyrażenie: .

Rozwiązanie

1) Wykonaj czynności w pierwszym i drugim nawiasie: .

2) Oblicz produkty: .

Oczywiście ostatnie wyrażenie ma prostszą formę niż początkowe. Uprościliśmy to.

Aby uprościć wyrażenie, należy je zastąpić odpowiednikiem (równym).

Aby określić równoważne wyrażenie, musisz:

1) wykonać wszystkie możliwe czynności,

2) wykorzystywać właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w celu uproszczenia obliczeń.

Własności dodawania i odejmowania:

1. Przemienność dodawania: suma nie zmienia się po przekształceniu wyrazów.

2. Asocjacyjna własność dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej liczby do pierwszej liczby.

3. Właściwość odejmowania sumy od liczby: aby odjąć sumę od liczby, możesz odjąć każdy wyraz z osobna.

Własności mnożenia i dzielenia

1. Przemienność mnożenia: iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników.

2. Własność asocjacyjna: aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, możesz najpierw pomnożyć ją przez pierwszy czynnik, a następnie pomnożyć otrzymany iloczyn przez drugi czynnik.

3. Dystrybucyjna własność mnożenia: aby pomnożyć liczbę przez sumę, należy ją pomnożyć przez każdy wyraz z osobna.

Zobaczmy, jak faktycznie wykonujemy obliczenia umysłowe.

Oblicz:

Rozwiązanie

1) Wyobraź sobie jak

2) Przedstawmy pierwszy mnożnik jako sumę wyrazów bitowych i wykonajmy mnożenie:

3) możesz sobie wyobrazić, jak i wykonać mnożenie:

4) Zastąp pierwszy czynnik sumą równoważną:

Prawo podziału może być również użyte w odwrotnym kierunku: .

Wykonaj następujące kroki:

1) 2)

Rozwiązanie

1) Dla wygody możesz użyć prawa dystrybucji, po prostu użyj go w przeciwnym kierunku - usuń wspólny czynnik z nawiasów.

2) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów

W kuchni i przedpokoju należy kupić linoleum. Część kuchenna - przedpokój. Istnieją trzy rodzaje linoleum: za i ruble za. Ile będzie kosztował każdy z trzech rodzajów linoleum? (rys. 1)

Ryż. 1. Ilustracja przedstawiająca stan problemu

Rozwiązanie

Metoda 1. Możesz osobno sprawdzić, ile pieniędzy potrzeba na zakup linoleum w kuchni, a następnie dodać je do przedpokoju i zsumować powstałe prace.

§ 1 Pojęcie uproszczenia wyrażenia dosłownego

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem „podobnych terminów” i na przykładach nauczymy się przeprowadzać redukcję podobnych terminów, upraszczając w ten sposób wyrażenia dosłowne.

Dowiedzmy się, co oznacza pojęcie „uproszczenia”. Słowo „uproszczenie” pochodzi od słowa „uprościć”. Upraszczać znaczy upraszczać, upraszczać. Dlatego uproszczenie wyrażenia dosłownego oznacza skrócenie go przy minimalnej liczbie działań.

Rozważmy wyrażenie 9x + 4x. To jest dosłowne wyrażenie, które jest sumą. Terminy są tutaj przedstawione jako iloczyny liczby i litery. Współczynnik liczbowy takich terminów nazywa się współczynnikiem. W tym wyrażeniu współczynnikami będą liczby 9 i 4. Należy zauważyć, że mnożnik reprezentowany przez literę jest taki sam w obu kategoriach tej sumy.

Przypomnij sobie rozdzielcze prawo mnożenia:

Aby pomnożyć sumę przez liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę i dodać otrzymane iloczyny.

Ogólnie jest to napisane w następujący sposób: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Prawo to obowiązuje w obu kierunkach ac + bc = (a + b) ∙ c

Zastosujmy to do naszego dosłownego wyrażenia: suma iloczynów 9x i 4x jest równa iloczynowi, którego pierwszy czynnik to suma 9 i 4, drugi czynnik to x.

9 + 4 = 13 daje 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Zamiast trzech czynności w wyrażeniu pozostała jedna czynność - mnożenie. Dlatego uprościliśmy nasze dosłowne wyrażenie, tj. uprościł to.

§ 2 Redukcja podobnych terminów

Wyrażenia 9x i 4x różnią się tylko współczynnikami – takie terminy nazywa się podobnymi. Część literowa podobnych terminów jest taka sama. Podobne terminy obejmują również liczby i terminy równe.

Na przykład w wyrażeniu 9a + 12 - 15 liczby 12 i -15 będą wyrazami podobnymi, a w sumie iloczynów 12 i 6a liczby 14 oraz iloczynów 12 i 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), równe wyrazy reprezentowane przez iloczyn 12 i 6a.

Należy zauważyć, że terminy o równych współczynnikach i różnych czynnikach dosłownych nie są podobne, chociaż czasami przydatne jest zastosowanie do nich rozdzielczego prawa mnożenia, na przykład suma iloczynów 5x i 5y jest równa iloczynowi liczby 5 i sumy x i y

5x + 5y = 5(x + y).

Uprośćmy wyrażenie -9a + 15a - 4 + 10.

W tym przypadku terminy -9a i 15a są terminami podobnymi, ponieważ różnią się tylko współczynnikami. Mają ten sam mnożnik literowy, a terminy -4 i 10 są również podobne, ponieważ są liczbami. Dodajemy podobne terminy:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Otrzymujemy: 6a + 6.

Upraszczając wyrażenie, znaleźliśmy sumy terminów podobnych, w matematyce nazywa się to redukcją terminów podobnych.

Jeśli przyniesienie takich terminów jest trudne, możesz wymyślić dla nich słowa i dodać przedmioty.

Rozważmy na przykład wyrażenie:

Dla każdej litery bierzemy własny obiekt: b-jabłko, c-gruszka, wtedy okaże się: 2 jabłka minus 5 gruszek plus 8 gruszek.

Czy możemy odjąć gruszki od jabłek? Oczywiście nie. Ale możemy dodać 8 gruszek do minus 5 gruszek.

Podajemy podobne terminy -5 gruszek + 8 gruszek. Terminy podobne mają tę samą część dosłowną, dlatego redukując terminy podobne, wystarczy dodać współczynniki i dodać część dosłowną do wyniku:

(-5 + 8) gruszki - otrzymujesz 3 gruszki.

Wracając do naszego dosłownego wyrażenia, mamy -5s + 8s = 3s. Zatem po zredukowaniu podobnych członów otrzymujemy wyrażenie 2b + 3c.

Tak więc w tej lekcji zapoznałeś się z pojęciem „podobnych terminów” i nauczyłeś się, jak uprościć wyrażenia dosłowne, wprowadzając podobne terminy.

Lista wykorzystanej literatury:

1. Matematyka. Klasa 6: konspekty lekcji do podręcznika autorstwa I.I. Zubareva, AG Mordkovich // autor-kompilator L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla uczniów placówek oświatowych. II Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych / G.V. Dorofiejew, I.F. Sharygin, S.B. Suworow i inni / pod redakcją G.V. Dorofeeva, I.F. Szarygin; Rosyjska Akademia Nauk, Rosyjska Akademia Edukacji. M.: "Oświecenie", 2010.
4. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla ogólnych instytucji edukacyjnych / N.Ya. Vilenkin, V.I. Żochow, A.S. Czesnokow, S.I. Schwarzburda. – M.: Mnemozina, 2013.
5. Matematyka. Klasa 6: podręcznik / G.K. Muravin, O.V. Mrówka. – M.: Drop, 2014.

Wykorzystane obrazy: