Jak zdefiniować identycznie równe wyrażenie. Transformacje tożsamościowe wyrażeń

Podstawowe własności dodawania i mnożenia liczb.

Przemienność dodawania: gdy terminy są przestawiane, wartość sumy się nie zmienia. Dla dowolnych liczb a i b równość jest prawdziwa

Asocjacyjna własność dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej do pierwszej liczby. Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa

Przemienność mnożenia: permutacja czynników nie zmienia wartości iloczynu. Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa

Asocjacyjna własność mnożenia: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej.

Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa

Właściwość rozdzielcza: Aby pomnożyć liczbę przez sumę, możesz pomnożyć tę liczbę przez każdy termin i dodać wyniki. Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa

Z przemiennych i asocjacyjnych właściwości dodawania wynika, że w dowolnej sumie można dowolnie zmieniać kolejność terminów i łączyć je w grupy w dowolny sposób.

Przykład 1 Obliczmy sumę 1,23+13,5+4,27.

Aby to zrobić, wygodnie jest połączyć pierwszy termin z trzecim. Otrzymujemy:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Wynika to z przemiennych i asocjacyjnych właściwości mnożenia: w każdym produkcie można dowolnie przestawiać czynniki i dowolnie łączyć je w grupy.

Przykład 2 Znajdźmy wartość iloczynu 1,8 0,25 64 0,5.

Łącząc pierwszy czynnik z czwartym, a drugi z trzecim, otrzymamy:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Właściwość podziału obowiązuje również wtedy, gdy liczba jest pomnożona przez sumę trzech lub więcej wyrazów.

Na przykład dla dowolnych liczb a, b, c i d równość jest prawdziwa

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Wiemy, że odejmowanie można zastąpić dodawaniem, dodając do odjemnika liczbę przeciwną do odjęcia:

Pozwala to na wyrażenie liczbowe wpisz a-b rozważ sumę liczb a i -b, rozważ wyrażenie liczbowe postaci a + b-c-d jako sumę liczb a, b, -c, -d itd. Rozważane właściwości działań są również ważne dla takich sum.

Przykład 3 Znajdźmy wartość wyrażenia 3,27-6,5-2,5+1,73.

To wyrażenie jest sumą liczb 3,27, -6,5, -2,5 i 1,73. Stosując właściwości dodawania, otrzymujemy: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Przykład 4 Obliczmy iloczyn 36·().

Mnożnik można traktować jako sumę liczb i -. Korzystając z rozdzielczej własności mnożenia, otrzymujemy:

36()=36-36=9-10=-1.

Tożsamości

Definicja. Mówi się, że dwa wyrażenia, których odpowiadające wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych, są identycznie równe.

Definicja. Równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, nazywana jest tożsamością.

Znajdźmy wartości wyrażeń 3(x+y) i 3x+3y dla x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Otrzymaliśmy ten sam wynik. Z własności rozdzielczej wynika, że na ogół dla dowolnych wartości zmiennych odpowiadające wartości wyrażeń 3(x+y) i 3x+3y są równe.

Rozważmy teraz wyrażenia 2x+y i 2xy. Dla x=1, y=2 przyjmują równe wartości:

Można jednak określić wartości x i y tak, aby wartości tych wyrażeń nie były równe. Na przykład, jeśli x=3, y=4, to

Wyrażenia 3(x+y) i 3x+3y są identycznie równe, ale wyrażenia 2x+y i 2xy nie są identycznie równe.

Równość 3(x+y)=x+3y, prawdziwa dla dowolnych wartości x i y, jest identycznością.

Prawdziwe równości liczbowe są również uważane za tożsamości.

Tak więc tożsamości są równościami wyrażającymi główne właściwości działań na liczbach:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Można podać inne przykłady tożsamości:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformacje tożsamościowe wyrażeń

Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym, nazywamy transformacją identyczną lub po prostu transformacją wyrażenia.

Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi wykonywane są na podstawie właściwości operacji na liczbach.

Aby znaleźć wartość wyrażenia xy-xz przy danych wartościach x,y,z, musisz wykonać trzy kroki. Na przykład przy x=2,3, y=0,8, z=0,2 otrzymujemy:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ten wynik można uzyskać tylko w dwóch krokach, używając wyrażenia x(y-z), które jest identyczne z wyrażeniem xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Uprościliśmy obliczenia, zastępując wyrażenie xy-xz identycznym równe wyrażenie x(y-z).

Transformacje tożsamości wyrażeń są szeroko stosowane przy obliczaniu wartości wyrażeń i rozwiązywaniu innych problemów. Pewne identyczne przekształcenia zostały już wykonane, na przykład redukcja podobnych terminów, otwarcie nawiasów. Przypomnij sobie zasady wykonywania tych przekształceń:

aby uzyskać podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i pomnożyć wynik przez wspólną część literową;

jeśli przed nawiasami znajduje się znak plus, to nawiasy można pominąć, zachowując znak każdego terminu ujętego w nawias;

jeśli przed nawiasami znajduje się znak minus, to nawiasy można pominąć, zmieniając znak każdego terminu zawartego w nawiasach.

Przykład 1 Dodajmy wyrazy podobne do sumy 5x+2x-3x.

Stosujemy regułę do redukcji podobnych terminów:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ta transformacja opiera się na rozdzielczej własności mnożenia.

Przykład 2 Rozwińmy nawiasy w wyrażeniu 2a+(b-3c).

Stosując zasadę otwierania nawiasów poprzedzonych znakiem plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Przeprowadzona transformacja opiera się na asocjacyjnej własności dodawania.

Przykład 3 Rozwińmy nawiasy w wyrażeniu a-(4b-c).

Wykorzystajmy zasadę rozwijania nawiasów poprzedzonych znakiem minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Przeprowadzona transformacja opiera się na rozdzielczej własności mnożenia i asocjacyjnej własności dodawania. Pokażmy to. Zaprezentujmy drugi wyraz -(4b-c) w tym wyrażeniu jako iloczyn (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Stosując te właściwości działań, otrzymujemy:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Wyrażenia tożsamości, tożsamość. Transformacja tożsamości wyrażenia. Dowody tożsamości

Znajdźmy wartości wyrażeń 2(x - 1) 2x - 2 dla podanych wartości zmiennej x. Wyniki zapisujemy w tabeli:

Można wnioskować, że wartości wyrażeń 2(x - 1) 2x - 2 dla każdego podana wartość zmienne x są sobie równe. Zgodnie z rozdzielczą własnością mnożenia względem odejmowania 2(x - 1) = 2x - 2. Zatem dla każdej innej wartości zmiennej x wartość wyrażenia 2(x - 1) 2x - 2 również będzie równa równe sobie. Takie wyrażenia nazywamy identycznie równymi.

Na przykład wyrażenia 2x + 3x i 5x są synonimami, ponieważ dla każdej wartości zmiennej x wyrażenia te nabywają te same wartości(wynika to z rozdzielczej własności mnożenia względem dodawania, ponieważ 2x + 3x = 5x).

Rozważmy teraz wyrażenia 3x + 2y i 5xy. Jeśli x \u003d 1 i b \u003d 1, to odpowiednie wartości tych wyrażeń są sobie równe:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Można jednak określić wartości x i y, dla których wartości tych wyrażeń nie będą sobie równe. Na przykład, jeśli x = 2; y = 0, to

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

W konsekwencji istnieją takie wartości zmiennych, dla których odpowiadające wartości wyrażeń 3x + 2y i 5xy nie są sobie równe. Dlatego wyrażenia 3x + 2y i 5xy nie są identycznie równe.

Na podstawie powyższego w szczególności tożsamości są równościami: 2(x - 1) = 2x - 2 i 2x + 3x = 5x.

Tożsamość to każda równość, która jest napisana znane właściwości działania na liczbach. Na przykład,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Istnieją również takie równości jak tożsamości:

a + 0 = a; a 0 = 0; a (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a 1 = a; a (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Jeśli zmniejszymy podobne terminy w wyrażeniu -5x + 2x - 9, otrzymamy, że 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. W tym przypadku mówią, że wyrażenie 5x + 2x - 9 zostało zastąpione wyrażeniem 7x - 9, który jest z nim identyczny.

Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi są wykonywane przez zastosowanie właściwości operacji na liczbach. W szczególności identyczne przekształcenia z otwieraniem nawiasów, konstruowaniem podobnych terminów i tym podobne.

Przy uproszczeniu wyrażenia należy wykonać identyczne przekształcenia, to znaczy zastąpić pewne wyrażenie wyrażeniem identycznym z nim, które powinno być krótsze.

Przykład 1. Uprość wyrażenie:

1) -0,3 m × 5n;

2) 2(3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mln;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Aby udowodnić, że równość jest tożsamością (innymi słowy, aby udowodnić tożsamość, używa się tożsamościowych przekształceń wyrażeń.

Możesz potwierdzić tożsamość na jeden z następujących sposobów:

wykonać identyczne przekształcenia jego lewej strony, redukując w ten sposób do postaci prawej strony;
wykonać identyczne przekształcenia jego prawej strony, redukując w ten sposób do postaci lewej strony;
wykonać identyczne przekształcenia obu jego części, podnosząc w ten sposób obie części do tych samych wyrażeń.

Przykład 2. Udowodnij tożsamość:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206-4a = 5(2a-3b)-7(2a-5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Rozwój

1) Przekształćmy lewą stronę tej równości:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Poprzez identyczne przekształcenia wyrażenie po lewej stronie równości zostało sprowadzone do postaci prawej strony i tym samym udowodniło, że ta równość jest tożsamością.

2) Przekształćmy prawą stronę tej równości:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10 a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Poprzez identyczne przekształcenia prawa strona równości została sprowadzona do postaci lewej strony i tym samym udowodniła, że ta równość jest tożsamością.

3) W takim przypadku wygodnie jest uprościć zarówno lewą, jak i prawą część równości i porównać wyniki:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Przez identyczne przekształcenia lewa i prawa część równości zostały zredukowane do tej samej postaci: 26x - 44. Zatem ta równość jest tożsamością.

Jakie wyrażenia nazywamy identycznymi? Podaj przykład identycznych wyrażeń. Jaka równość nazywa się tożsamością? Podaj przykład tożsamości. Jak nazywa się transformacja tożsamości wyrażenia? Jak udowodnić tożsamość?

(Ustny) Lub istnieją wyrażenia identycznie równe:

1) 2a + a i 3a;

2) 7x + 6 i 6 + 7x;

3) x + x + x i x 3;

4) 2(x-2) i 2x-4;

5) m - n i n - m;

6) 2a ∙ r i 2p ∙ a?

Czy wyrażenia są identycznie równe:

1) 7x - 2x i 5x;

2) 5a - 4 i 4 - 5a;

3) 4m + n i n + 4m;

4) a + a i 2;

5) 3(a-4) i 3a-12;

6) 5m ∙ n i 5m + n?

(Werbalnie) Czy tożsamość równości:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Otwórz nawias:

Otwórz nawias:

Zmniejsz podobne terminy:

Wymień kilka wyrażeń identycznych z wyrażeniami 2a + 3a.
Uprość wyrażenie, używając permutacyjnych i łączących właściwości mnożenia:

1) -2,5 x 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x 8 (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Uprość wyrażenie:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x (-3 lata);

4) - 1 m (-3n).

(Słownie) Uprość wyrażenie:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Zmniejsz podobne terminy:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Otwórz nawiasy i skróć podobne terminy:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4 (x - 20) jeśli x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 jeśli a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), jeśli m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, jeśli x = -1, y = 1.

Uprość wyrażenie i znajdź jego wartość:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4) jeśli x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, jeśli v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), jeśli a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n jeśli m = 1,8; n = -0,9.

Udowodnij tożsamość:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x-1) - 2x = -2;

3) 2(x-3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5(s + 2) - 4(s + 3).

Udowodnij tożsamość:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a-4) + 2(a+6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Długość jednego z boków trójkąta wynosi 1 cm, a długość każdego z pozostałych dwóch boków jest o 2 cm większa. Napisz obwód trójkąta jako wyrażenie i uprość wyrażenie.
Szerokość prostokąta wynosi x cm, a długość jest o 3 cm większa niż szerokość. Napisz obwód prostokąta jako wyrażenie i uprość wyrażenie.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Rozwiń nawiasy i uprość wyrażenie:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 lat - (6 lat - (7 lat - (8 lat - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Udowodnij tożsamość:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a-b-c) + 5(a-b) + 3c = 8(a-b).

Udowodnij tożsamość:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Udowodnij, że wartość wyrażenia

1,8(m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2m) nie zależy od wartości zmiennej.

Udowodnij, że dla dowolnej wartości zmiennej wartość wyrażenia

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

to ten sam numer.

Wykazać, że suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 6.
Udowodnij, że jeśli n jest liczbą naturalną, to wartość wyrażenia -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) jest liczbą parzystą.

Ćwiczenia do powtórzenia

Stop o wadze 1,6 kg zawiera 15% miedzi. Ile kg miedzi zawiera ten stop?
Jaki procent to liczba 20 z tego:

1) kwadrat;

Turysta szedł 2 godziny i jechał na rowerze przez 3 godziny. W sumie turysta przejechał 56 km. Znajdź prędkość, z jaką turysta jechał na rowerze, jeśli jest ona o 12 km/h większa niż prędkość, z jaką szedł.

Ciekawe zadania dla leniwych uczniów

W mistrzostwach miasta w piłce nożnej bierze udział 11 drużyn. Każda drużyna rozgrywa jeden mecz z innymi. Udowodnij, że w dowolnym momencie rozgrywek istnieje drużyna, która rozegrała parzystą liczbę meczów lub jeszcze żadnego nie rozegrała.

Rozważ dwie równości:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Ta równość będzie obowiązywać dla dowolnej wartości zmiennej a. Zakres poprawnych wartości dla tej równości będzie całym zbiorem liczb rzeczywistych.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ta nierówność utrzyma się dla wszystkich wartości zmiennej a, z wyjątkiem równej zero. Zakres dopuszczalnych wartości tej nierówności będzie całym zbiorem liczb rzeczywistych, z wyjątkiem zera.

W odniesieniu do każdej z tych równości można argumentować, że będzie to prawdą dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych a. Takie równania w matematyce nazywają się tożsamości.

Pojęcie tożsamości

Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych. Jeśli do tej równości zamiast zmiennych zostaną podstawione jakiekolwiek prawidłowe wartości, należy uzyskać poprawną równość liczbową.

Warto zauważyć, że prawdziwe równości liczbowe to także tożsamości. Na przykład tożsamości będą właściwościami działań na liczbach.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Jeżeli dwa wyrażenia dla dowolnych dopuszczalnych zmiennych są odpowiednio równe, to takie wyrażenia nazywamy identycznie równy. Poniżej kilka przykładów identycznie równych wyrażeń:

1. (a 2) 4 i 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) i -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 * x 8)/x) i x 10 .

Zawsze możemy zastąpić jedno wyrażenie dowolnym innym wyrażeniem identycznie równym pierwszemu. Taka wymiana będzie identyczną transformacją.

Przykłady tożsamości

Przykład 1: Czy następujące tożsamości równości:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Nie wszystkie powyższe wyrażenia będą tożsamościami. Spośród tych równości tylko 1,2 i 3 równości są tożsamościami. Bez względu na to, jakie liczby w nich podstawimy, zamiast zmiennych aib nadal otrzymujemy prawidłowe równości liczbowe.

Ale 4 równość nie jest już tożsamością. Ponieważ nie dla wszystkich dopuszczalnych wartości ta równość zostanie spełniona. Na przykład przy wartościach a = 5 i b = 2 otrzymujesz następujący wynik:

Ta równość nie jest prawdziwa, ponieważ liczba 3 nie jest równa liczbie -3.

Konwersje tożsamości to praca, którą wykonujemy z wyrażeniami numerycznymi i alfabetycznymi, a także z wyrażeniami zawierającymi zmienne. Wszystkie te przekształcenia przeprowadzamy w celu doprowadzenia oryginalnego wyrażenia do formy, która będzie dogodna do rozwiązania problemu. W tym temacie rozważymy główne typy identycznych przekształceń.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Transformacja tożsamości wyrażenia. Co to jest?

Po raz pierwszy spotykamy się z pojęciem identycznego przekształcenia na lekcjach algebry w klasie 7. Następnie zapoznajemy się najpierw z pojęciem wyrażeń identycznie równych. Zajmijmy się pojęciami i definicjami, aby ułatwić przyswojenie tematu.

Definicja 1

Transformacja tożsamości wyrażenia to akcje wykonywane w celu zastąpienia oryginalnego wyrażenia wyrażeniem, które będzie identyczne z oryginalnym.

Często ta definicja jest używana w formie skróconej, w której pomija się słowo „identyczny”. Zakłada się, że w każdym przypadku przekształcenie wyrażenia przeprowadzamy w taki sposób, aby uzyskać wyrażenie identyczne z oryginalnym i nie trzeba tego osobno podkreślać.

Zilustrujmy tę definicję przykładami.

Przykład 1

Jeśli zamienimy wyrażenie x + 3 - 2 do identycznie równego wyrażenia x+1, następnie przeprowadzamy identyczną transformację wyrażenia x + 3 - 2.

Przykład 2

Zamiana wyrażenia 2 na 6 na wyrażenie 3 to transformacja tożsamości, podczas gdy zastąpienie wyrażenia x do wyrażenia x2 nie jest identyczną transformacją, ponieważ wyrażenia x oraz x2 nie są identycznie równe.

Zwracamy uwagę na formę pisania wyrażeń podczas przeprowadzania identycznych przekształceń. Zwykle zapisujemy oryginalne wyrażenie i wynikowe wyrażenie jako równość. Zatem napisanie x + 1 + 2 = x + 3 oznacza, że wyrażenie x + 1 + 2 zostało zredukowane do postaci x + 3 .

Sekwencyjne wykonywanie działań prowadzi nas do łańcucha równości, który jest kilkoma następującymi po sobie identycznymi przekształceniami. Rozumiemy więc zapis x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x jako sekwencyjną implementację dwóch przekształceń: najpierw wyrażenie x + 1 + 2 zostało zredukowane do postaci x + 3 i zostało zredukowane do forma 3 + x.

Transformacje tożsamości i ODZ

Szereg wyrażeń, które zaczynamy studiować w klasie 8, nie ma sensu dla żadnych wartości zmiennych. Przeprowadzenie identycznych przekształceń w tych przypadkach wymaga od nas zwrócenia uwagi na region dopuszczalnych wartości zmiennych (ODV). Wykonywanie identycznych przekształceń może pozostawić obszar ODZ bez zmian lub go zawęzić.

Przykład 3

Podczas wykonywania przejścia z wyrażenia a + (−b) do wyrażenia a-b zakres dozwolonych wartości zmiennych a oraz b zostaje taka sama.

Przykład 4

Przejście od wyrażenia x do wyrażenia x 2 x prowadzi do zawężenia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, z którego zostało wykluczone zero.

Przykład 5

Transformacja tożsamości wyrażenia x 2 x wyrażenie x prowadzi do rozszerzenia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych oprócz zera do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.

Zawężenie lub rozszerzenie zakresu dopuszczalnych wartości zmiennych podczas przeprowadzania identycznych przekształceń jest ważne w rozwiązywaniu problemów, ponieważ może wpływać na dokładność obliczeń i prowadzić do błędów.

Podstawowe przekształcenia tożsamości

Zobaczmy teraz, czym są identyczne przekształcenia i jak są wykonywane. Wyróżnijmy te typy identycznych przekształceń, z którymi mamy do czynienia najczęściej, do grupy głównej.

Oprócz podstawowych przekształceń tożsamości istnieje szereg przekształceń, które odnoszą się do wyrażeń określonego typu. Dla ułamków są to metody redukcji i redukcji do nowego mianownika. W przypadku wyrażeń z pierwiastkami i potęgami, wszystkie czynności wykonywane na podstawie właściwości pierwiastków i potęg. W przypadku wyrażeń logarytmicznych: czynności wykonywane na podstawie właściwości logarytmów. W przypadku wyrażeń trygonometrycznych wszystkie działania przy użyciu formuł trygonometrycznych. Wszystkie te konkretne przemiany są szczegółowo omówione w osobnych tematach, które można znaleźć w naszym zasobie. Z tego powodu nie będziemy się nad nimi rozwodzić w tym artykule.

Przejdźmy do rozważenia głównych identycznych przekształceń.

Przegrupowanie terminów, czynników

Zacznijmy od zmiany terminów. Najczęściej mamy do czynienia z tą identyczną transformacją. Za główną zasadę można uznać następujące stwierdzenie: w dowolnej sumie zmiana układu terminów w miejscach nie wpływa na wynik.

Zasada ta opiera się na przemiennych i asocjacyjnych właściwościach dodawania. Własności te pozwalają nam przestawiać terminy w miejscach i jednocześnie uzyskiwać wyrażenia identyczne z oryginalnymi. Dlatego przegrupowanie wyrazów w miejscach w sumie jest identyczną transformacją.

Przykład 6

Mamy sumę trzech wyrazów 3 + 5 + 7 . Jeśli zamienimy terminy 3 i 5, to wyrażenie przyjmie postać 5 + 3 + 7. W tym przypadku istnieje kilka opcji zmiany kolejności terminów. Wszystkie prowadzą do uzyskania wyrażeń identycznych z oryginalnym.

Nie tylko liczby, ale także wyrażenia mogą pełnić rolę terminów w sumie. Podobnie jak liczby, można je przestawiać bez wpływu na końcowy wynik obliczeń.

Przykład 7

W sumie trzech wyrazów 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 i - 12 a postaci 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) terminy można przestawiać, na przykład tak (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Z kolei możesz zmienić kolejność terminów w mianowniku ułamka 1 a + b, podczas gdy ułamek przyjmie formę 1 b + a. A wyrażenie pod znakiem korzenia a 2 + 2 a + 5 to również suma, w której terminy mogą być zamieniane.

W ten sam sposób jak terminy, w oryginalnych wyrażeniach można wymieniać czynniki i uzyskać identycznie poprawne równania. Ta akcja rządzi się następującą zasadą:

Definicja 2

W produkcie zmiana rozmieszczenia współczynników w miejscach nie wpływa na wynik obliczeń.

Zasada ta opiera się na przemiennych i łącznych własnościach mnożenia, które potwierdzają poprawność identycznego przekształcenia.

Przykład 8

Praca 3 5 7 permutację czynników można przedstawić w jednej z następujących postaci: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 lub 3 7 5.

Przykład 9

Permutując czynniki w iloczynie x + 1 x 2 - x + 1 x da x 2 - x + 1 x x + 1

Rozszerzenie wspornika

Nawiasy mogą zawierać wpisy wyrażeń numerycznych i wyrażeń ze zmiennymi. Wyrażenia te można przekształcić w identycznie równe wyrażenia, w których nie będzie w ogóle nawiasów lub będzie ich mniej niż w wyrażeniach oryginalnych. Ten sposób konwersji wyrażeń nazywa się rozwinięciem nawiasów.

Przykład 10

Wykonajmy czynności z nawiasami w wyrażeniu formy 3 + x − 1 x aby otrzymać identycznie prawdziwe wyrażenie 3 + x − 1 x.

Wyrażenie 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x można przekonwertować na identycznie równe wyrażenie bez nawiasów 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Szczegółowo omówiliśmy zasady konwersji wyrażeń z nawiasami w temacie „Rozwijanie nawiasów”, który znajduje się w naszym zasobie.

Terminy grupujące, czynniki

W przypadkach, gdy mamy do czynienia z trzema lub więcej terminami, możemy uciec się do takiego typu identycznych przekształceń, jak grupowanie terminów. Przez tę metodę transformacji rozumie się połączenie kilku terminów w grupę poprzez ich przestawienie i umieszczenie w nawiasach.

Podczas grupowania terminy są wymieniane w taki sposób, że zgrupowane terminy znajdują się obok siebie w rekordzie wyrażenia. Następnie można je ująć w nawiasy.

Przykład 11

Weź wyrażenie 5 + 7 + 1 . Jeśli zgrupujemy pierwszy termin z trzecim, otrzymamy (5 + 1) + 7 .

Grupowanie czynników odbywa się podobnie jak grupowanie terminów.

Przykład 12

W pracy 2 3 4 5 można zgrupować pierwszy czynnik z trzecim, a drugi czynnik z czwartym, w tym przypadku dochodzimy do wyrażenia (2 4) (3 5). A gdybyśmy pogrupowali pierwszy, drugi i czwarty czynnik, otrzymalibyśmy wyrażenie (2 3 5) 4.

Zgrupowane terminy i czynniki mogą być reprezentowane zarówno przez liczby pierwsze, jak i przez wyrażenia. Zasady grupowania zostały szczegółowo omówione w temacie „Pojęcia i czynniki grupujące”.

Zastępowanie różnic sumami, produktami częściowymi i odwrotnie

Zastąpienie różnic sumami stało się możliwe dzięki naszej znajomości liczb przeciwnych. Teraz odejmowanie od liczby a liczby b może być postrzegany jako dodatek do liczby a liczby −b. Równość a − b = a + (− b) można uznać za sprawiedliwy i na jego podstawie dokonać zamiany różnic na kwoty.

Przykład 13

Weź wyrażenie 4 + 3 − 2 , w którym różnica liczb 3 − 2 możemy napisać jako sumę 3 + (− 2) . Otrzymać 4 + 3 + (− 2) .

Przykład 14

Wszystkie różnice w wyrazie 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 można zastąpić sumami takimi jak 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Możemy przejść do sum z dowolnych różnic. Podobnie możemy dokonać odwrotnego podstawienia.

Zastąpienie dzielenia przez mnożenie przez odwrotność dzielnika jest możliwe dzięki koncepcji liczb odwrotności. Tę transformację można zapisać jako a: b = a (b − 1).

Ta reguła była podstawą reguły dzielenia zwykłych ułamków.

Przykład 15

Prywatny 1 2: 3 5 można zastąpić produktem w formie 1 2 5 3.

Podobnie, przez analogię, dzielenie można zastąpić mnożeniem.

Przykład 16

W przypadku wyrażenia 1+5:x:(x+3) zastąp dzielenie przez x można pomnożyć przez 1x. Podział według x + 3 możemy zastąpić przez pomnożenie przez 1x + 3. Przekształcenie pozwala uzyskać wyrażenie identyczne z oryginalnym: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Zamiana mnożenia przez dzielenie odbywa się zgodnie ze schematem a b = a: (b − 1).

Przykład 17

W wyrażeniu 5 x x 2 + 1 - 3 mnożenie można zastąpić dzieleniem jako 5: x 2 + 1 x - 3.

Wykonywanie akcji z liczbami

Wykonywanie operacji na liczbach podlega zasadzie kolejności operacji. Po pierwsze, operacje wykonywane są na potęgach liczb i pierwiastkach liczb. Następnie zastępujemy ich wartościami logarytmy, funkcje trygonometryczne i inne. Następnie wykonywane są czynności w nawiasach. A potem możesz już wykonywać wszystkie inne czynności od lewej do prawej. Należy pamiętać, że mnożenie i dzielenie przeprowadza się przed dodawaniem i odejmowaniem.

Operacje na liczbach pozwalają przekształcić oryginalne wyrażenie w identyczne, równe mu.

Przykład 18

Przekształćmy wyrażenie 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x wykonując wszystkie możliwe operacje na liczbach.

Decyzja

Najpierw spójrzmy na stopień 2 3 i pierwiastek 4 i obliczyć ich wartości: 2 3 = 8 i 4 = 2 2 = 2 .

Podstaw uzyskane wartości do oryginalnego wyrażenia i uzyskaj: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Teraz zróbmy nawiasy: 8 − 1 = 7 . Przejdźmy do wyrażenia 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Musimy tylko zrobić mnożenie 3 oraz 7 . Otrzymujemy: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Odpowiedź: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operacje na liczbach mogą być poprzedzone innymi rodzajami identycznych przekształceń, jak np. grupowanie liczb czy nawiasy rozszerzające.

Przykład 19

Weź wyrażenie 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Decyzja

Przede wszystkim zmienimy iloraz w nawiasach 6: 3 o jego znaczeniu 2 . Otrzymujemy: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Rozwińmy nawiasy: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Pogrupujmy czynniki liczbowe w produkcie, a także terminy będące liczbami: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Zróbmy nawiasy: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Odpowiedź:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jeśli pracujemy z wyrażeniami liczbowymi, to celem naszej pracy będzie znalezienie wartości wyrażenia. Jeśli przekształcamy wyrażenia ze zmiennymi, celem naszych działań będzie uproszczenie wyrażenia.

Nawiasowanie wspólnego czynnika

W przypadkach, gdy terminy w wyrażeniu mają ten sam czynnik, możemy usunąć ten wspólny czynnik z nawiasów. Aby to zrobić, najpierw musimy przedstawić oryginalne wyrażenie jako iloczyn wspólnego czynnika i wyrażenia w nawiasach, które składa się z oryginalnych terminów bez wspólnego czynnika.

Przykład 20

Liczebnie 2 7 + 2 3 możemy usunąć wspólny czynnik 2 poza nawiasami i uzyskać identycznie poprawny wyraz formy 2 (7 + 3).

Możesz odświeżyć pamięć o zasadach umieszczania wspólnego czynnika poza nawiasami w odpowiedniej sekcji naszego zasobu. W materiale szczegółowo omówiono zasady wyciągania wspólnego czynnika z nawiasów oraz podano liczne przykłady.

Redukcja podobnych terminów

Przejdźmy teraz do sum, które zawierają podobne terminy. Możliwe są tutaj dwie opcje: sumy zawierające te same terminy oraz sumy, których terminy różnią się współczynnikiem liczbowym. Operacje na sumach zawierających terminy podobne nazywamy redukcją terminów podobnych. Odbywa się to w następujący sposób: wyjmujemy wspólną część literową z nawiasów i obliczamy sumę współczynników liczbowych w nawiasach.

Przykład 21

Rozważ wyrażenie 1 + 4 x − 2 x. Możemy wyciągnąć dosłowną część x z nawiasów i uzyskać wyrażenie 1 + x (4 − 2). Obliczmy wartość wyrażenia w nawiasach i otrzymajmy sumę postaci 1 + x · 2 .

Zastępowanie liczb i wyrażeń identycznie równymi wyrażeniami

Liczby i wyrażenia składające się na oryginalne wyrażenie można zastąpić wyrażeniami identycznymi z nimi. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia identycznego z nim.

Przykład 22 Przykład 23

Rozważ wyrażenie 1 + a5, w którym możemy zastąpić stopień a 5 iloczynem identycznie mu równym, np. postaci 4. To da nam wyrażenie 1 + 4.

Przeprowadzona transformacja jest sztuczna. Ma to sens tylko w przygotowaniu do innych przekształceń.

Przykład 24

Rozważ przekształcenie sumy 4x3 + 2x2. Tutaj termin 4x3 możemy reprezentować jako produkt 2x2x2x. W rezultacie pierwotne wyrażenie przybiera formę 2x2 2x + 2x2. Teraz możemy wyizolować wspólny czynnik 2x2 i wyjmij go z nawiasów: 2x2 (2x+1).

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia w tym samym czasie jest techniką sztucznej transformacji wyrażeń.

Przykład 25

Rozważ wyrażenie x 2 + 2 x. Możemy dodać lub odjąć od niego jeden, co pozwoli nam następnie przeprowadzić kolejną identyczną transformację - wybrać kwadrat dwumianu: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Mając pojęcie o tożsamościach, logiczne jest przejście do znajomości. W tym artykule odpowiemy na pytanie, czym są identycznie równe wyrażenia, a także na przykładach dowiemy się, które wyrażenia są identycznie równe, a które nie.

Nawigacja po stronach.

Czym są identycznie równe wyrażenia?

Równolegle z definicją tożsamości podaje się definicję identycznie równych wyrażeń. Dzieje się tak na zajęciach z algebry w 7 klasie. W podręczniku do algebry na 7 klas autor Yu N. Makarychev podaje następujące sformułowanie:

Definicja.

są wyrażeniami, których wartości są równe dla dowolnych wartości zawartych w nich zmiennych. Wyrażenia liczbowe odpowiadające tym samym wartościom są również nazywane identycznie równymi.

Ta definicja jest używana do klasy 8, jest ważna dla wyrażeń całkowitych, ponieważ mają sens dla dowolnych wartości zawartych w nich zmiennych. A w klasie 8 określono definicję identycznie równych wyrażeń. Wyjaśnijmy, z czym to się wiąże.

W klasie 8 rozpoczyna się badanie innych typów wyrażeń, które w przeciwieństwie do wyrażeń całkowitych mogą nie mieć sensu dla niektórych wartości zmiennych. Powoduje to konieczność wprowadzenia definicji dopuszczalnych i nieważnych wartości zmiennych, a także zakresu dopuszczalnych wartości ODV zmiennej, a co za tym idzie doprecyzowania definicji wyrażeń identycznie równych.

Definicja.

Wywoływane są dwa wyrażenia, których wartości są równe dla wszystkich dopuszczalnych wartości ich zmiennych identycznie równe wyrażenia. Mówi się, że dwa wyrażenia numeryczne, które mają tę samą wartość, są identycznie równe.

W tej definicji identycznie równych wyrażeń warto doprecyzować znaczenie wyrażenia „dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w nich zmiennych”. Oznacza to wszystkie takie wartości zmiennych, dla których oba identycznie równe wyrażenia mają jednocześnie sens. Ta idea zostanie wyjaśniona w następnej sekcji na podstawie przykładów.

Definicja identycznie równych wyrażeń w podręczniku A.G. Mordkovicha jest podana nieco inaczej:

Definicja.

Identyczne wyrażenia równości są wyrażeniami po lewej i prawej stronie tożsamości.

Oznacza to, że ta i poprzednie definicje są zbieżne.

Przykłady identycznie równych wyrażeń

Definicje wprowadzone w poprzednim podrozdziale pozwalają nam przybliżyć przykłady identycznie równych wyrażeń.

Zacznijmy od identycznie równych wyrażeń liczbowych. Wyrażenia liczbowe 1+2 i 2+1 są identyczne, ponieważ odpowiadają równym wartościom 3 i 3 . Wyrażenia 5 i 30:6 są również identyczne, podobnie jak wyrażenia (2 2) 3 i 2 6 (wartości ostatnich wyrażeń są równe ze względu na ). Ale wyrażenia liczbowe 3+2 i 3−2 nie są identyczne, ponieważ odpowiadają odpowiednio wartościom 5 i 1, ale nie są równe.

Teraz podajemy przykłady identycznie równych wyrażeń ze zmiennymi. Są to wyrażenia a+b i b+a . Rzeczywiście, dla dowolnych wartości zmiennych a i b, wyrażenia pisane przyjmują te same wartości (co wynika z liczb). Na przykład dla a=1 i b=2 mamy a+b=1+2=3 i b+a=2+1=3 . Dla dowolnych innych wartości zmiennych a i b otrzymamy również równe wartości tych wyrażeń. Wyrażenia 0·x·y·z i 0 są również identycznie równe dla dowolnych wartości zmiennych x , y i z . Ale wyrażenia 2 x i 3 x nie są identycznie równe, ponieważ np. przy x=1 ich wartości nie są równe. Rzeczywiście, dla x=1, wyrażenie 2 x to 2 1=2 , a wyrażenie 3 x to 3 1=3 .

Gdy obszary dopuszczalnych wartości zmiennych w wyrażeniach pokrywają się, jak na przykład w wyrażeniach a+1 i 1+a , lub a b 0 i 0 , lub i , a wartości tych wyrażeń są równe dla wszystkie wartości zmiennych z tych obszarów, to tutaj wszystko jest jasne - wyrażenia te są identycznie równe dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w nich zmiennych. Zatem a+1≡1+a dla dowolnego a , wyrażenia a b 0 i 0 są identycznie równe dla dowolnych wartości zmiennych a i b , a wyrażenia i są identycznie równe dla wszystkich x od ; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich AG Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A.G. Mordkovich. - 17. ed., dodaj. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ch. ISBN 978-5-346-02432-3.