Številčna zaporedja in načini za njihovo nastavitev. Naloga za praktično delo "Določanje številskih zaporedij na različne načine, računanje članov zaporedja

V tej lekciji bomo začeli preučevati napredovanje. Tu se bomo seznanili s številskim zaporedjem in kako ga nastaviti.

Najprej se spomnimo definicije in lastnosti funkcij številskih argumentov in obravnavamo poseben primer funkcije, ko x pripada množici naravna števila. Podali smo definicijo številčnega zaporedja in navedli nekaj primerov. Prikazali bomo analitični način določanja zaporedja s formulo njegovega n-toga člana in obravnavali več primerov za določanje in določanje zaporedja. Nato razmislite o besedni in ponavljajoči se dodelitvi zaporedja.

Tema: napredovanje

Lekcija: Številčno zaporedje in kako ga nastaviti

1. Ponavljanje

Številčno zaporedje, kot bomo videli, je to poseben primer funkcije, zato se spomnimo definicije funkcije.

Funkcija je zakon, po katerem je vsaki veljavni vrednosti argumenta dodeljena edinstvena vrednost funkcije.

Tukaj so primeri znanih funkcij.

riž. 1. Graf funkcije

Dovoljene so vse vrednosti razen 0. Graf te funkcije je hiperbola (glej sliko 1).

2.. Dovoljene so vse vrednosti, .

riž. 2. Graf funkcij

Urnik kvadratna funkcija- parabola, označene so tudi značilne točke (glej sliko 2).

3..

riž. 3. Graf funkcije

Dovoljene so vse vrednosti x. Graf linearne funkcije je ravna črta (glej sliko 3).

2. Definicija številskega zaporedja

Če x sprejme samo naravne vrednosti (), imamo poseben primer, in sicer številčno zaporedje.

Spomnimo se, da so naravna števila 1, 2, 3, …, n, …

Funkcija , kjer , se imenuje funkcija naravnega argumenta ali številčnega zaporedja in je označena na naslednji način: ali , ali .

Pojasnimo, kaj na primer pomeni zapis.

To je vrednost funkcije, ko je n=1, tj.

To je vrednost funkcije, ko je n=2 t.j. itd...

To je vrednost funkcije, ko je argument n, tj.

3. Vzorčna zaporedja

1. je splošni izraz formula. Nastavimo različne vrednosti n, dobimo različne vrednosti y - članov zaporedja.

Ko je n=1; , ko je n=2 itd., .

Številke so člani danega zaporedja in točke ležijo na hiperboli - grafu funkcije (glej sliko 4).

riž. 4. Graf funkcij

Če je n=1, potem ; če je n=2, potem ; če je n=3, potem itd.

Števila so člani danega zaporedja, točke pa ležijo na paraboli - grafu funkcije (glej sliko 5).

riž. 5. Funkcijski graf

riž. 6. Funkcijski graf

Če je n=1, potem ; če je n=2 potem ; če je n=3 potem itd.

Številke so člani danega zaporedja, točke pa ležijo na ravni črti - grafu funkcije (glej sliko 6).

4. Analitična metoda za določanje zaporedja

Obstajajo trije načini za določanje zaporedij: analitični, besedni in ponavljajoči se. Oglejmo si vsakega od njih podrobno.

Zaporedje je podano analitično, če je podana formula njegovega n-ega člena.

Poglejmo si nekaj primerov.

1. Poišči več članov zaporedja, ki je podana s formulo n-toga člana: (analitični način določanja zaporedja).

Odločitev. Če je n=1, potem ; če je n=2, potem ; če je n=3 potem itd.

Za dano zaporedje najdemo in .

.

.

2. Razmislite o zaporedju, podanem s formulo n-ega člana: (analitski način določanja zaporedja).

Poiščimo več članov tega zaporedja.

Če je n=1, potem ; če je n=2 potem ; če je n=3 potem itd.

Na splošno ni težko razumeti, da so člani tega zaporedja tista števila, ki, če jih delimo s 4, dajo preostanek 1.

a. Za dano zaporedje poiščite .

Odločitev: . Odgovor: .

b. Podani sta dve številki: 821, 1282. Ali sta ta števila člani danega zaporedja?

Da bi bilo število 821 član zaporedja, je potrebno, da je enakost: ali . Zadnja enakost je enačba za n. Če odločitev dano enačbo je naravno število, potem je odgovor pritrdilen.

V tem primeru je. .

Odgovor: da, 821 je član danega zaporedja, .

Pojdimo na drugo številko. Podobno sklepanje nas pripelje do rešitve enačbe: .

Odgovor: ker n ni naravno število, število 1282 ni član danega zaporedja.

Formule, ki analitično definirajo zaporedje, so lahko zelo različne: preproste, zapletene itd. Zahteva zanje je enaka: vsaka vrednost n mora ustrezati enemu številu.

3. Dano: zaporedje je podano z naslednjo formulo.

Poiščite prve tri člane zaporedja.

, , .

Odgovor: , , .

4. Ali so številke člani zaporedja?

a. , tj. Če rešimo to enačbo, dobimo to. To je naravno število.

Odgovor: prvo dano število je član tega zaporedja, in sicer njegov peti član.

b. , tj. Če rešimo to enačbo, dobimo to. To je naravno število.

Odgovor: drugo dano število je tudi član tega zaporedja, in sicer njegov devetindevetdeseti član.

5. Verbalni način postavljanja zaporedja

Razmislili smo o analitičnem načinu določanja številčnega zaporedja. Je priročen, pogost, a ne edini.

Naslednji način je verbalna dodelitev zaporedja.

Zaporedje, vsak njegov člen, možnost izračuna vsakega od njegovih članov je mogoče navesti z besedami, ne nujno s formulami.

Primer 1 Zaporedje praštevil.

Spomnimo se, da je praštevilo naravno število, ki ima natanko dva različna delitelja: 1 in samo število. Praštevila so 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 itd.

Nešteto jih je. Euclid je tudi dokazal, da je zaporedje teh številk neskončno, to pomeni, da ni največjega praštevila. Zaporedje je podano, vsak izraz je mogoče izračunati, dolgočasen, vendar ga je mogoče izračunati. To zaporedje je podano ustno. Formule žal niso na voljo.

Primer 2 Upoštevajte številko =1,41421…

to je iracionalno število, njegov decimalni zapis omogoča neskončno število števk. Oglejmo si zaporedje decimalnih približkov števila po pomanjkljivosti: 1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142; itd.

Članov tega zaporedja je neskončno število, vsakega od njih je mogoče izračunati. To zaporedje je nemogoče določiti s formulo, zato ga opišemo ustno.

6. Rekurzivni način določanja zaporedja

Preučili smo dva načina določanja številčnega zaporedja:

1. Analitična metoda, ko je podana formula n-ega člana.

2. Verbalna dodelitev zaporedja.

In končno, obstaja ponavljajoče se zaporedje, ko so podana pravila za izračun n-ega člena iz prejšnjih izrazov.

Razmislite

Primer 1 Fibonaccijevo zaporedje (13. stoletje).

Sklic na zgodovino:

Leonardo iz Pise (približno 1170, Pisa - približno 1250) - prvi večji matematik srednjeveška Evropa. Najbolj znan je po vzdevku Fibonacci.

Veliko tega, kar se je naučil, je predstavil v svoji izjemni knjigi Abacus (Liber abaci, 1202; do danes je ohranjen le dopolnjen rokopis iz leta 1228). Ta knjiga vsebuje skoraj vse aritmetične in algebraične informacije tistega časa, predstavljene z izjemno popolnostjo in globino. "Knjiga abakusa" se močno dvigne nad evropsko aritmetično in algebraično literaturo 12.-14. stoletja. raznolikost in moč metod, bogastvo nalog, dokazi predstavitve. Kasnejši matematiki so iz nje pogosto črpali tako probleme kot metode za njihovo reševanje. Glede na prvo knjigo so številne generacije evropskih matematikov preučevale indijski pozicijski številski sistem.

Prva dva člena sta podana in vsak naslednji člen je vsota prejšnjih dveh

ena; ena; 2; 3; 5; osem; trinajst; 21; 34; 55; ... so prvih nekaj članov Fibonaccijevega zaporedja.

To zaporedje je podano rekurzivno, n-ti član odvisno od prejšnjih dveh.

Primer 2

V tem zaporedju je vsak naslednji člen večji od prejšnjega za 2. Takšno zaporedje imenujemo aritmetična progresija.

Številke 1, 3, 5, 7 ... so prvih nekaj članov tega zaporedja.

Naj navedemo še en primer ponavljajoče se dodelitve zaporedja.

Primer 3

Zaporedje je podano kot sledi:

Vsak naslednji člen tega zaporedja dobimo tako, da prejšnji člen pomnožimo z istim številom q. Takšno zaporedje ima posebno ime - geometrijska progresija. Aritmetične in geometrijske progresije bodo predmet našega preučevanja v naslednjih urah.

Poiščimo nekaj članov navedenega zaporedja pri b=2 in q=3.

Številke 2; 6; osemnajst; 54; 162 ... je prvih nekaj članov tega zaporedja.

Zanimivo je, da je to zaporedje mogoče določiti tudi analitično, torej lahko izberete formulo. V tem primeru bo formula naslednja.

Dejansko: če je n=1, potem ; če je n=2, potem ; če je n=3 potem itd.

Tako trdimo, da lahko isto zaporedje podamo tako analitično kot ponavljajoče.

7. Povzetek lekcije

Torej, razmislili smo, kaj je številčno zaporedje in kako ga nastaviti.

V naslednji lekciji se bomo seznanili z lastnostmi številskih zaporedij.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algebra 9. razred (učbenik za srednjo šolo).-M.: Izobraževanje, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra za 9. razred s poglabljanjem. študij matematika.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Dodatna poglavja k šolskemu učbeniku algebre 9.-M .: Izobraževanje, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka problemov iz algebre za 8-9 razrede ( vadnica za učence šol in razredov s poglabljanjem. študij matematika).-M.: Izobraževanje, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebra 9. razred, učbenik za splošno izobraževalne ustanove. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9. razred, problemski zvezek za izobraževalne ustanove. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Zgodovina matematike v šoli. 7-8 razredi (vodnik za učitelje).-M.: Razsvetljenje, 1983.

1. Fakulteta sekcija. ru pri matematiki.

2. Naravoslovni portal.

3. Eksponentno. ru Izobraževalna matematična stran.

1. št. 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra 9. razred).

2. Št. 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka problemov iz algebre za 8.-9. razrede).

algebra. 9. razred
Lekcija #32
Datum:_____________
Učiteljica: Gorbenko Alena Sergejevna
Tema: Številčno zaporedje, načini za njegovo nastavitev in lastnosti
Vrsta lekcije: kombinirana
Namen lekcije: dati pojem in definicijo številčnega zaporedja, razmisliti o načinih
dodelitve številskih zaporedij
Naloge:
Izobraževalna: seznaniti učence s pojmom številčnega zaporedja in člana
številčno zaporedje; seznanite se z analitičnimi, besednimi, ponavljajočimi se in
grafični načini postavitve številčnega zaporedja; razmislite o vrstah številk
zaporedja; priprava na EAEA;
Razvijanje: razvoj matematične pismenosti, mišljenja, računske tehnike, spretnosti
primerjave pri izbiri formule; vzbujanje zanimanja za matematiko;
Izobraževalni: vzgoja veščin samostojne dejavnosti; jasnost in
organiziranost pri delu; omogočiti vsakemu študentu uspeh;
Oprema: šolske potrebščine, tabla, kreda, učbenik, izročki.
Med poukom
JAZ. Organiziranje časa
 medsebojni pozdrav;
 Popravljanje odsotnih;
 Najava teme pouka;
 Postavljanje ciljev in ciljev pouka s strani učencev.
Zaporedje je eden najosnovnejših konceptov v matematiki. Zaporedje lahko
biti sestavljen iz številk, točk, funkcij, vektorjev itd.
Danes v lekciji se bomo seznanili s pojmom "številčno zaporedje", ugotovili bomo, kaj
morda obstajajo zaporedja, seznanimo se s slavnimi sekvencami.

II. Posodabljanje osnovnega znanja.
Ali poznate funkcije, definirane na celotni številski premici ali na njeni neprekinjeni
III.
intervali:
linearna funkcija y \u003d kx + v,
kvadratna funkcija y \u003d ax2 + inx + c,


 funkcija y =



 funkcija y = |x|.
Priprava na zaznavanje novega znanja
neposredna sorazmernost y \u003d kx,
obratna sorazmernost y \u003d k / x,
kubična funkcija y = x3,
,
Vendar pa so funkcije definirane v drugih nizih.
Primer. Številne družine imajo običaj, nekakšen ritual: na rojstni dan otroka
starši ga pripeljejo Vratni okvir in na njem slovesno proslavite rast rojstnodnevnega moškega.
Otrok raste in z leti se na podboju pojavi cela lestev znamenj. Tri, pet, dva: To je
zaporedje rasti iz leta v leto. Obstaja pa še eno zaporedje, namreč
njeni člani so skrbno izpisani ob serifih. To je zaporedje vrednosti rasti.
Obe sekvenci sta med seboj povezani.
Drugo dobimo iz prvega z seštevanjem.
Rast je vsota dobičkov za vsa pretekla leta.
Razmislite še o nekaj vprašanjih.
Naloga 1. V skladišču je 500 ton premoga, vsak dan jih dostavijo 30 ton Koliko premoga bo
na zalogi v 1 dnevu? 2 dan? 3 dan? 4. dan? 5. dan?
(Odgovori učencev so napisani na tabli: 500, 530, 560, 590, 620).
Naloga 2. V obdobju intenzivne rasti človek zraste v povprečju za 5 cm na leto. Zdaj narašča
študent S. je visok 180 cm Koliko bo visok leta 2026? (2 m 30 cm). Ampak tega ne bi bilo
mogoče. zakaj?
Naloga 3. Vsak dan lahko vsaka oseba z gripo okuži 4 druge.
Čez koliko dni bodo zboleli vsi učenci naše šole (300 ljudi)? (Po 4 dneh).
To so primeri funkcij, definiranih na množici naravnih števil – številskih
zaporedja.
Cilj lekcije je: poiskati načine za iskanje katerega koli člana zaporedja.
Cilji lekcije: Ugotovite, kaj je številsko zaporedje in kako
zaporedja.
IV. Učenje nove snovi
Definicija: Številčno zaporedje je funkcija, definirana na nizu
naravna števila (zaporedja tvorijo takšne elemente narave, da
se lahko oštevilči).
Koncept številčnega zaporedja je nastal in se razvil že dolgo pred nastankom doktrine o
funkcije. Tukaj so primeri neskončnih številskih zaporedij, znanih v preteklosti
starine:
1, 2, 3, 4, 5, : zaporedje naravnih števil;
2, 4, 6, 8, 10, : zaporedje sodih številk;
1, 3, 5, 7, 9, : zaporedje lihih številk;
1, 4, 9, 16, 25, : zaporedje kvadratov naravnih števil;
2, 3, 5, 7, 11, : zaporedje praštevil;
,
1,
Število članov vsake od teh serij je neskončno; prvih pet zaporedij
, : zaporedje recipročnih vrednosti naravnih števil.
,
monotono narašča, slednji monotono pada.

Oznaka: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:zaporedna številka zaporednega člana.
(yn) zaporedje, ynth člen zaporedja.
(an) zaporedje, n-ti član zaporedja.
an1 je prejšnji član zaporedja,
+1 naslednji član zaporedja.
Zaporedja so končna in neskončna, naraščajoča in padajoča.
Naloge za učence: Zapišite prvih 5 članov zaporedja:
Od prvega naravnega števila se poveča za 3.
Od 10 povečajte za 2-krat in zmanjšajte za 1.
Od števila 6 izmenično povečajte 2 in povečajte 2-krat.
Te številske serije imenujemo tudi številska zaporedja.
Metode zaporedja:
verbalni način.
Pravila zaporedja so opisana z besedami, brez formul oz
ko med elementi zaporedja ni pravilnosti.
Primer 1. Zaporedje praštevil: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Primer 2. Poljubna množica številk: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Primer 3. Zaporedje sodih številk 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
analitični način.
Vsak n-ti element zaporedja je mogoče določiti s formulo.
Primer 1. Zaporedje sodih števil: y = 2n.
Primer 2. Zaporedje kvadrata naravnih števil: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Primer 3. Stacionarno zaporedje: y = C; C, C, C, ..., C, ...
poseben primer: y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Primer 4. Zaporedje y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
rekurzivni način.
Določeno je pravilo, ki omogoča izračun n-ega elementa zaporedja if
njeni prejšnji elementi so znani.
Primer 1. Aritmetična progresija: a1=a, an+1=an+d, kjer sta a in d dane številke, d
razlika aritmetične progresije. Naj bo a1=5, d=0,7, nato pa aritmetična progresija
bo videti tako: 5; 5,7; 6.4; 7.1; 7,8; 8,5; ... .
Primer 2. Geometrijska progresija: b1= b, bn+1= bnq, kjer sta b in q podani števili, b
0,
0; q je imenovalec geometrijska progresija. Naj bo b1=23, q=½, nato geometrijski
q
napredovanje bo videti tako: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Grafični način. Številčno zaporedje
podano z grafom, ki je
izolirane pike. Abscise teh točk so naravne
števila: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinate - vrednosti članov
zaporedja: a1; a2; a3; a4;…
Primer: Zapišite vseh pet članov številskega zaporedja,
podano na grafični način.
Odločitev.
Vsaka točka v tej koordinatni ravnini ima
koordinate (n; an). Zapišite koordinate označenih točk
naraščajoče absciso n.
Dobimo: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Zato je a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Odgovor: 3; ena; 4; 6; 7.
V. Primarno utrjevanje preučenega gradiva
Primer 1. Napišite možno formulo za n-ti element zaporedja (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Odločitev.
a) To je zaporedje liha števila. Analitično je to zaporedje lahko
določeno s formulo y = 2n+1.
b) To je številčno zaporedje, v katerem je naslednji element večji od prejšnjega
s 4. Analitično lahko to zaporedje podamo s formulo y = 4n.
Primer 2. Zapišite prvih deset elementov zaporedja, ki se ponavlja: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1, če je n = 3, 4, 5, 6, ... .
Odločitev.
Vsak naslednji element tega zaporedja je enak vsoti prejšnjih dveh
elementov.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Povzetek lekcije. Odsev
1. Kaj vam je uspelo pri izvedbi naloge?
2. Ali je bilo delo usklajeno?
3. Kaj se po vašem mnenju ni izšlo?

Številčno zaporedje je poseben primer številske funkcije, zato se za zaporedja upoštevajo tudi številne lastnosti funkcij.

1. Opredelitev . Zaporedje ( y n} se imenuje naraščajoče, če je vsak njegov člen (razen prvega) večji od prejšnjega:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Definicija.Zaporedje ( y n} se imenuje padajoče, če je vsak njegov člen (razen prvega) manjši od prejšnjega:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Naraščajoča in padajoča zaporedja združuje skupen izraz – monotona zaporedja.

Na primer: y 1 = 1; y n= n 2… je naraščajoče zaporedje. y 1 = 1; je padajoče zaporedje. y 1 = 1; – to zaporedje ni naraščajoče, ne padajoče.

4. Opredelitev. Zaporedje imenujemo periodično, če obstaja takšno naravno število T, da od nekega n velja enakost yn = yn+T. Število T imenujemo dolžina obdobja.

5. Zaporedje se imenuje od spodaj omejeno, če so vsi njegovi člani vsaj neko število.

6. Za zaporedje pravimo, da je omejeno od zgoraj, če so vsi njegovi člani največ neko število.

7. Zaporedje se imenuje omejeno, če je omejeno tako zgoraj kot spodaj, t.j. obstaja pozitivno število, tako da vsi členi danega zaporedja ne presegajo tega števila v absolutni vrednosti. (Vendar omejenost na obeh straneh ne pomeni nujno, da je končna.)

8. Zaporedje ima lahko samo eno omejitev.

9. Vsako zgoraj omejeno nepadajoče zaporedje ima mejo (lim).

10. Vsako nenaraščajoče zaporedje, omejeno spodaj, ima mejo.

Meja zaporedja je točka (številka), v bližini katere se nahaja večina članov zaporedja, ki se tej meji približujejo, vendar je ne dosežejo.

Geometrijsko in aritmetična progresija so posebni primeri zaporedja.

Metode zaporedja:

Zaporedja je mogoče nastaviti različne poti, med katerimi so še posebej pomembni trije: analitični, opisni in ponavljajoči se.

1. Zaporedje je podano analitično, če je podana formula njegovega n-toga člana:

Primer. yn \u003d 2n - 1 - zaporedje lihih številk: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Opisni način postavitve številčnega zaporedja je, da razloži, iz katerih elementov je zaporedje zgrajeno.

Primer 1. "Vsi člani zaporedja so enaki 1." To pomeni, govorimo o stacionarnem zaporedju 1, 1, 1, …, 1, ….

Primer 2. "Zaporedje je sestavljeno iz vseh praštevil v naraščajočem vrstnem redu." Tako je podano zaporedje 2, 3, 5, 7, 11, …. S to metodo določanja zaporedja v ta primer težko je odgovoriti, čemu je recimo enak 1000. element zaporedja.

3. Ponavljajoči se način določanja zaporedja je, da je navedeno pravilo, ki omogoča izračun n-ega člana zaporedja, če so njegovi prejšnji člani znani. Ime rekurzivne metode izvira iz latinska beseda recurrere - vrniti se. Najpogosteje je v takih primerih navedena formula, ki omogoča izražanje n-ega člana zaporedja glede na prejšnje, in določena sta 1–2 začetna člana zaporedja.

Primer 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, če je n = 2, 3, 4,….

Tukaj je y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Vidimo, da je zaporedje, dobljeno v tem primeru, mogoče določiti tudi analitično: yn = 4n – 1.

Primer 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 če n = 3, 4,….

tukaj: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Zaporedje, sestavljeno v tem primeru, je posebej proučeno v matematiki, saj ima vrsto zanimive lastnosti in aplikacije. Imenuje se Fibonaccijevo zaporedje - po italijanskem matematiku iz 13. stoletja. Rekurzivno definiranje Fibonaccijevega zaporedja je zelo enostavno, analitično pa zelo težko. n th Fibonaccijevo število je izraženo v smislu njegove redne številke z naslednjo formulo.

Na prvi pogled formula za n Fibonaccijevo število se zdi neverjetno, saj vsebuje samo formula, ki določa zaporedje naravnih števil kvadratne korenine, vendar lahko za prvih nekaj "ročno" preverite veljavnost te formule n.

Fibonaccijeva zgodovina:

Fibonacci (Leonardo iz Pise), c. 1175–1250

italijanski matematik. Rojen v Pisi, je postal prvi veliki matematik Evrope v poznem srednjem veku. K matematiki ga je pripeljala praktična potreba po vzpostavitvi poslovne stike. Izdal je svoje knjige o aritmetiki, algebri in drugih matematičnih disciplinah. Od muslimanskih matematikov je spoznal sistem številk, ki so ga izumili v Indiji in že sprejeli v arabskem svetu, in bil prepričan v njegovo superiornost (te številke so bile predhodnice sodobnih arabskih številk).

Leonardo iz Pise, znan kot Fibonacci, je bil prvi od velikih evropskih matematikov poznega srednjega veka. Rojen v Pisi v premožni trgovski družini, je v matematiko vstopil zaradi povsem praktične potrebe po navezovanju poslovnih stikov. Leonardo je v mladosti veliko potoval in spremljal očeta na službenih potovanjih. Na primer, vemo za njegovo dolgo bivanje v Bizancu in na Siciliji. Med takšnimi potovanji je veliko sodeloval z lokalnimi znanstveniki.

Številčno zaporedje, ki danes nosi njegovo ime, je zraslo iz težave z zajci, ki jo je Fibonacci opisal v svojem Liber abacci, napisanem leta 1202:

Moški je dal par zajcev v obor, obdan z vseh strani z zidom. Koliko parov kuncev lahko ta par skoti v enem letu, če je znano, da vsak mesec, od drugega, vsak par kuncev rodi en par?

Poskrbite lahko, da bo število parov v vsakem od naslednjih dvanajstih mesecev v mesecu oziroma 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Z drugimi besedami, število parov zajcev ustvari serijo, v kateri je vsak člen vsota prejšnjih dveh. Znana je kot Fibonaccijeva vrsta, sama števila pa so Fibonaccijeva števila. Izkazalo se je, da ima to zaporedje veliko matematično zanimivih lastnosti. Tukaj je primer: črto lahko razdelite na dva segmenta, tako da je razmerje med večjim in manjšim segmentom sorazmerno z razmerjem med celotno črto in večjim segmentom. Ta faktor sorazmernosti, ki je približno enak 1,618, je znan kot zlata sredina. V renesansi je veljalo, da je ta delež, opažen v arhitekturnih strukturah, najbolj prijeten za oko. Če vzamete zaporedne pare iz Fibonaccijeve serije in jih razdelite več od vsakega para do manjšega, se bo vaš rezultat postopoma približal zlatemu rezu.

Odkar je Fibonacci odkril svoje zaporedje, so bili najdeni celo naravni pojavi, pri katerih se zdi, da ima to zaporedje pomembno vlogo. Eden od njih je filotaksis (razporeditev listov) - pravilo, po katerem se na primer semena nahajajo v sončničnem socvetju. Sončnična semena so razporejena v dve spirali. Številke, ki označujejo število semen v vsaki od spiral, so člani neverjetnega matematičnega zaporedja. Semena so razporejena v dveh vrstah spiral, od katerih ena gre v smeri urinega kazalca, druga proti. In kakšno je število semen v posameznem primeru? 34 in 55.

Naloga št. 1:

Napiši prvih pet členov zaporedja.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

in n \u003d 2 n + 1/2 n

Naloga številka 2:

Napišite formulo za skupni člen zaporedja naravnih števil, ki so večkratniki 3.

Odgovor: 0,3,6,9,12,15,.... 3n in n = 3n

Naloga številka 3:

Napišite formulo za skupni člen zaporedja naravnih števil, ki imajo, če jih delite s 4, ostanek 1.

Odgovor: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 in n = 4n+1

št. 19. Funkcija.

Funkcija (prikaz, operater, transformacija) je matematični koncept, ki odraža razmerje med elementi množic. Lahko rečemo, da je funkcija "zakon", po katerem je vsakemu elementu enega niza (imenovanega domena definicije) dodeljen nek element drugega niza (imenovano domena vrednosti).

Funkcija je odvisnost od enega spremenljivka od drugega. Z drugimi besedami, razmerje med količinami.

Matematični koncept funkcije izraža intuitivno predstavo o tem, kako ena količina v celoti določa vrednost druge količine. Torej vrednost spremenljivke x enolično določa vrednost izraza, vrednost meseca pa enolično določa vrednost meseca, ki ji sledi, in vsako osebo lahko primerjamo z drugo osebo - njegovim očetom. Podobno nek vnaprej zasnovan algoritem, glede na različne vhodne podatke, ustvari določene izhodne podatke.

Pogosto se izraz "funkcija" nanaša na numerično funkcijo; to je funkcija, ki postavi nekatere številke v korespondenco z drugimi. Te funkcije so priročno predstavljene na slikah v obliki grafov.

Lahko damo še eno definicijo. Funkcija je specifična dejanje nad spremenljivko.

To pomeni, da vzamemo vrednost, naredimo z njo nekaj dejanj (na primer, kvadriramo ali izračunamo njen logaritem) - in dobimo vrednost.

Dajmo še eno definicijo funkcije – tisto, ki jo najpogosteje najdemo v učbenikih.

Funkcija je korespondenca med dvema nizoma, pri čemer vsak element prvega niza ustreza enemu in samo enemu elementu drugega niza.

Na primer, funkcija za vsako pravo število ujema s številom, ki je dvakrat večje od .

Množico elementov nekega F., zamenjanega z x, imenujemo njegova domena definicije, množico elementov y neke F. pa njeno območje vrednosti.

Zgodovina mandata:

Izraz "funkcija" (v nekoliko ožjem pomenu) je prvi uporabil Leibniz (1692). Po drugi strani je Johann Bernoulli v pismu istemu Leibnizu uporabil ta izraz v smislu, ki je bližje sodobnemu. Sprva se koncept funkcije ni mogel razlikovati od koncepta analitične reprezentacije. Kasneje se je pojavila definicija funkcije, ki jo je dal Euler (1751), nato pa - Lacroix (1806) - skoraj v moderna oblika. Končno, splošna definicija funkcije (v moderna oblika, vendar za številčne funkcije) sta podala Lobačevski (1834) in Dirichlet (1837). Za konec XIX stoletja je koncept funkcije prerasel okvire numeričnih sistemov. Vektorske funkcije so bile prve, ki so to storile, Frege je kmalu uvedel logične funkcije (1879), po pojavu teorije množic pa sta Dedekind (1887) in Peano (1911) oblikovala sodobno univerzalno definicijo.

št. 20. Načini nastavitve funkcije.

Obstajajo 4 načini za definiranje funkcije:

1. tabelarni Precej pogosta je postavitev mize posameznikov

vrednosti argumentov in njihove ustrezne vrednosti funkcij. Ta metoda definiranja funkcije se uporablja, kadar je domena funkcije diskretna končna množica.

Primerno je, če je f končna množica, ko pa je f neskončna, so označeni samo izbrani pari (x, y).

S tabelarno metodo določanja funkcije je mogoče približno izračunati vrednosti funkcije, ki niso v tabeli in ustrezajo vmesnim vrednostim argumenta. Če želite to narediti, uporabite metodo interpolacije.

Prednosti: natančnost, hitrost, enostavno najti v tabeli vrednosti želeno vrednost funkcije. Prednosti tabelarnega načina določanja funkcije so, da omogoča določitev določenih specifičnih vrednosti naenkrat, brez dodatnih meritev ali izračunov.

slabosti: nepopolnost, pomanjkanje jasnosti. V nekaterih primerih tabela funkcije ne definira v celoti, temveč le za nekatere vrednosti argumenta in ne zagotavlja vizualne predstavitve narave spremembe funkcije glede na spremembo argumenta.

2. analitična(formule). Najpogosteje zakon, ki vzpostavlja povezavo med

argument in funkcija, je določena s pomočjo formul. Ta način definiranja funkcije se imenuje analitičen. Za MA (mah. analiza) je najpomembnejši, saj metode MA (diferencialni, integralni račun) predlagajo tak način postavljanja. Ista funkcija je lahko podana z različnimi formulami: y=∣greh( x)∣y=√1−cos2( x) Včasih v različni deli njegovih domen je definirana funkcija lahko podana z različnimi formulami f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f) . Pogosto pri tej metodi definiranja funkcije obseg definicije ni naveden, potem se domena definicije razume kot naravno območje definicije, tj. nabor vseh vrednosti x, za katere funkcija prevzame realno vrednost.

Ta metoda omogoča, da vsaka številčna vrednost argumenta x najde ustrezno številčno vrednost funkcije y natančno ali z določeno natančnostjo.

Poseben primer analitičnega načina definiranja funkcije je definiranje funkcije z enačbo oblike F(x,y)=0 (1) Če ima ta enačba lastnost, da je ∀ x∈D se ujema samo y, tako da F(x,y)=0, potem rečemo, da enačba (1) na D implicitno definira funkcijo. Drug poseben primer definiranja funkcije je parametrični, z vsakim parom ( x,y)∈f nastavite z uporabo para funkcij x=ϕ( t),y=ψ( t) kje t∈M.

Podana je definicija številčnega zaporedja. Upoštevani so primeri neskončno naraščajočih, konvergentnih in divergentnih zaporedij. Upošteva se zaporedje, ki vsebuje vsa racionalna števila.

Opredelitev .
Številčno zaporedje ( x n ) imenujemo zakon (pravilo), po katerem je za vsako naravno število n = 1, 2, 3, . . . določeno je neko število x n.
Imenuje se element x n n-ti član ali element zaporedja.

Zaporedje je označeno kot n-ti član v zavitih oklepajih: . Možno tudi naslednji zapis: . Eksplicitno navajajo, da indeks n pripada množici naravnih števil in da ima zaporedje samo neskončno število članov. Tukaj je nekaj primerov zaporedij:
, , .

Z drugimi besedami, številčno zaporedje je funkcija, katere domena je množica naravnih števil. Število elementov v zaporedju je neskončno. Med elementi so lahko tudi člani, ki imajo enake vrednosti. Tudi zaporedje lahko obravnavamo kot oštevilčen niz številk, sestavljen iz neskončnega števila članov.

Zanimalo nas bo predvsem vprašanje - kako se obnašajo zaporedja, ko n teži k neskončnosti: . Ta material je predstavljen v razdelku Meja zaporedja - osnovni izreki in lastnosti. In tukaj si bomo ogledali nekaj primerov zaporedij.

Primeri zaporedja

Primeri neskončno naraščajočih zaporedij

Razmislimo o zaporedju. Splošni izraz tega zaporedja je . Zapišimo prvih nekaj izrazov:
.
Vidimo lahko, da z naraščanjem števila n elementi rastejo v nedogled proti pozitivni vrednosti. Lahko rečemo, da se to zaporedje nagiba k : pri .

Zdaj razmislite o zaporedju s skupnim izrazom. Tukaj je nekaj njegovih prvih članov:
.
Ko število n raste, se elementi tega zaporedja v absolutni vrednosti povečujejo za nedoločen čas, vendar nimajo konstantnega predznaka. To pomeni, da se to zaporedje nagiba k: pri .

Primeri zaporedij, ki konvergirajo k končnemu številu

Razmislimo o zaporedju. Njen skupni član Prvi izrazi so naslednji:
.
Vidimo lahko, da se z naraščanjem števila n elementi tega zaporedja približujejo svoji mejni vrednosti a = 0 : pri . Vsak naslednji člen je torej bližje nič od prejšnjega. V nekem smislu lahko domnevamo, da obstaja približna vrednost za število a = 0 z napako. Jasno je, da z naraščanjem n ta napaka teži k nič, torej z izbiro n lahko napako naredimo poljubno majhno. Poleg tega za vsako dano napako ε > 0 možno je določiti tako število N , da za vse elemente s številkami večjimi od N : odstopanje števila od mejne vrednosti a ne bo preseglo napake ε : .

Nato razmislite o zaporedju. Njen skupni član Tukaj je nekaj njegovih prvih članov:
.
V tem zaporedju so sodi izrazi nič. Člani z liho n so . Zato se z naraščanjem n njihove vrednosti približajo mejni vrednosti a = 0 . To izhaja tudi iz dejstva, da
.
Kot v prejšnjem primeru lahko podamo poljubno majhno napako ε > 0 , za katerega je mogoče najti takšno število N, da bodo elementi s številkami, večjimi od N, odstopali od mejne vrednosti a = 0 za vrednost, ki ne presega navedene napake. Zato to zaporedje konvergira k vrednosti a = 0 : pri .

Primeri divergentnih zaporedij

Razmislite o zaporedju z naslednjim skupnim izrazom:

Tukaj so njeni prvi člani:


.
Vidi se, da so izrazi s sodimi številkami:
,
približati vrednosti a 1 = 0 . Člani z lihimi številkami:
,
približati vrednosti a 2 = 2 . Zaporedje samo, ko n raste, se ne približa nobeni vrednosti.

Zaporedje s členi, porazdeljenimi v intervalu (0;1)

Zdaj razmislite o bolj zanimivem zaporedju. Vzemite segment na številski premici. Razdelimo ga na pol. Dobimo dva segmenta. Naj bo
.
Vsak od segmentov je ponovno razdeljen na polovico. Dobimo štiri segmente. Naj bo
.
Vsak segment ponovno razdelite na polovico. Vzemimo


.
itd.

Kot rezultat dobimo zaporedje, katerega elementi so razporejeni v odprtem intervalu (0; 1) . Ne glede na točko, ki jo vzamemo iz zaprtega intervala , vedno lahko najdemo člane zaporedja, ki so poljubno blizu tej točki ali sovpadajo z njo.

Potem lahko iz prvotnega zaporedja izpostavimo podzaporedje, ki se bo približalo poljubni točki iz intervala . To pomeni, da ko število n raste, se bodo člani podzaporedja vedno bolj približevali vnaprej izbrani točki.

Na primer, za točko a = 0 lahko izberete naslednje podzaporedje:
.
= 0 .

Za točko a = 1 izberite naslednje podzaporedje:
.
Člani tega podzaporedja konvergirajo k vrednosti a = 1 .

Ker obstajajo podzaporedja, ki se konvergirajo različne pomene, potem izvirno zaporedje samo ne konvergira v nobeno število.

Zaporedje, ki vsebuje vsa racionalna števila

Zdaj pa sestavimo zaporedje, ki vsebuje vsa racionalna števila. Poleg tega bo vsako racionalno število vključeno v takšno zaporedje neskončno število krat.

Racionalno število r lahko predstavimo na naslednji način:
,
kjer je celo število; - naravno.
Vsakemu naravnemu številu n moramo dodeliti par številk p in q, tako da je kateri koli par p in q vključen v naše zaporedje.

Če želite to narediti, na ravnini narišite osi p in q. Mrežne črte narišemo skozi celi vrednosti p in q. Potem bo vsako vozlišče te mreže s ustrezalo racionalno število. Celoten niz racionalnih števil bo predstavljen z nizom vozlišč. Najti moramo način, kako oštevilčiti vsa vozlišča, da ne zamudimo niti enega vozlišča. To je enostavno narediti, če oštevilčimo vozlišča glede na kvadrate, katerih središča se nahajajo na točki (0; 0) (glej sliko). V tem primeru so spodnji deli kvadratov s q < 1 ne potrebujemo. Zato na sliki niso prikazani.

Torej, za zgornjo stran prvega kvadrata imamo:
.
Nadalje oštevilčimo zgornji del naslednji kvadrat:

.
Oštevilčimo zgornji del naslednjega kvadrata:

.
itd.

Na ta način dobimo zaporedje, ki vsebuje vsa racionalna števila. Vidimo lahko, da se vsako racionalno število pojavi v tem zaporedju neskončno število krat. Dejansko bo to zaporedje poleg vozlišča vključevalo tudi vozlišča, kjer je naravno število. Toda vsa ta vozlišča ustrezajo istemu racionalnemu številu.

Nato iz zaporedja, ki smo ga zgradili, lahko izberemo podzaporedje (z neskončnim številom elementov), ​​katerega vsi elementi so enaki vnaprej določenemu racionalnemu številu. Ker ima zaporedje, ki smo ga zgradili, podzaporedja, ki se približujejo različne številke, potem zaporedje ne konvergira v nobeno število.

Zaključek

Tukaj smo podali natančno definicijo številčnega zaporedja. Dotaknili smo se tudi vprašanja njegove konvergence, ki temelji na intuitivnih idejah. Natančna definicija konvergence je obravnavana na strani Določanje meje zaporedja. Povezane lastnosti in izreki so opisani na strani

Lekcija #32 Datum ____________

algebra

Razred: 9 "B"

Tema: "Številčno zaporedje in načini za njegovo nastavitev."

Namen lekcije: učenci bi morali vedeti, kaj je številsko zaporedje; načini za nastavitev številčnega zaporedja; znati razlikovati med različnimi načini določanja številskih zaporedij.

Didaktični materiali: izročki, referenčne opombe.

Tehnična sredstva učenje: predstavitev na temo »Številska zaporedja«.

Med poukom.

1. Organizacijski trenutek.

2. Postavitev ciljev pouka.

Danes v lekciji se boste naučili:

Kaj je zaporedje?

Kakšne vrste zaporedij obstajajo?

Kako je določeno številsko zaporedje?

Naučite se napisati zaporedje s formulo in njenimi številnimi elementi.

Naučite se najti člane zaporedja.

3. Delajte na preučenem gradivu.

3.1. Pripravljalna faza.

Fantje, preizkusimo vaše logične sposobnosti. Navedem nekaj besed, vi pa nadaljujte:

-Ponedeljek torek,…..

- januar februar marec…;

- Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G, ... .. (seznam razredov);

–10,11,12,…99;

Iz odgovorov fantov se sklepa, da so zgornje naloge zaporedja, torej nekakšna urejena serija številk ali pojmov, ko je vsaka številka ali pojem strogo na svojem mestu, in če se člani zamenjajo, se zaporedje bo kršen (torek, četrtek, ponedeljek je le seznam dni v tednu). Torej, tema lekcije je številčno zaporedje.

3.1. Razlaga novega gradiva. (Demo material)

Analizirajte odgovore učencev, določite številsko zaporedje in pokažite, kako nastaviti številska zaporedja.

(Delo z učbenikom str. 66 - 67)

Opredelitev 1. Funkcija y = f(x), xN se imenuje funkcija naravnega argumenta ali številčnega zaporedja in jo označimo: y = f(n) ali y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... ali (y n).

V tem primeru je neodvisna spremenljivka naravno število.

Najpogosteje bodo zaporedja označena na naslednji način: ( a n), (b n), (z n) itd.

Opredelitev 2. Člani zaporedja.

Elementi, ki tvorijo zaporedje, se imenujejo člani zaporedja.

Novi koncepti: prejšnji in naslednji član zaporedja,

a 1 …a P. (1. in n. člen zaporedja)

Metode za nastavitev številčnega zaporedja.

analitični način.

Kaj n-ti element zaporedja je mogoče določiti s formulo. (demo)

Razčlenite primere

Primer 1 Zaporedje sodih števil: y = 2n.

Primer 2 Zaporedje kvadrata naravnih števil: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

Primer 3 Stacionarno zaporedje: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Poseben primer: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Primer 4. Zaporedje y = 2 n;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

verbalni način.

Pravila za nastavitev zaporedja so opisana z besedami, brez navajanja formul ali kadar med elementi zaporedja ni vzorcev.

Primer 1. Številski približkiπ.

Primer 2 Zaporedje praštevil: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Primer 3 Zaporedje številk, deljivo s 5.

Primer 2 Naključni nabor številk: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Primer 3 Zaporedje sodih številk 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

rekurzivni način.

Ponavljajoča metoda je sestavljena iz podajanja pravila, ki vam omogoča izračun n-ega člana zaporedja, če je določenih njegovih prvih nekaj članov (vsaj en prvi član), in formule, ki vam omogoča, da izračunate naslednjega člana iz prejšnjih članov. Termin ponavljajoča se izhaja iz latinske besede ponoviti , kar pomeni Pridi nazaj . Pri izračunu članov zaporedja po tem pravilu se nekako ves čas vračamo in izračunamo naslednjega člana na podlagi prejšnjega. Značilnost te metode je, da morate za določitev na primer 100. člana zaporedja najprej določiti vseh prejšnjih 99 članov.

Primer 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Naj bo a 1 = 5, potem bo zaporedje videti tako: 5; 5,7; 6.4; 7.1; 7,8; 8,5; ... .

Primer 2 b 1 = b, b n +1 \u003d ½ b n. Naj bo b 1 =23, potem bo zaporedje videti tako: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Primer 3 Fibonaccijevo zaporedje. To zaporedje je enostavno definirati rekurzivno: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1, če je n=3, 4, 5, 6, ... . Videti bo tako:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P th člen tega zaporedja je enak vsoti dveh prejšnjih členov)

Fibonaccijevo zaporedje je težko analitično definirati, vendar je mogoče. Formula, s katero se določi kateri koli element tega zaporedja, izgleda takole:

Dodatne informacije:

Italijanski trgovec Leonardo iz Pise (1180-1240), bolj znan po vzdevku Fibonacci, je bil pomemben srednjeveški matematik. S pomočjo tega zaporedja je Fibonacci določil število φ (phi); φ=1,618033989.

Grafični način

Člane zaporedja lahko predstavimo kot točke na koordinatni ravnini. V ta namen se število nariše vzdolž vodoravne osi, vrednost ustreznega člana zaporedja pa vzdolž navpične osi.

Za utrjevanje metod dodeljevanja vas prosim, da navedete več primerov zaporedij, ki so določeni bodisi verbalno, bodisi analitično ali ponavljajoče se.

Vrste številskih zaporedij

(Na spodaj navedenih zaporedjih so izdelane vrste zaporedij).

Delo z učbenikom str.69-70

1) Naraščajoče - če je vsak člen manjši od naslednjega, t.j. a n a n +1.

2) Padajoče - če je vsak člen večji od naslednjega, t.j. a n a n +1 .

3) Neskončno.

4) Končni.

5) Izmenični.

6) Konstantno (nepremično).

Naraščajoče ali padajoče zaporedje se imenuje monotono.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Delo z učbenikom: ustno št. 150, 159 str. 71, 72

3.2. Utrjevanje novega gradiva. Reševanje problema.

Za utrjevanje znanja so primeri izbrani glede na stopnjo pripravljenosti študentov.

Primer 1 Napišite možno formulo za n-ti element zaporedja (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Odločitev.

a) Je zaporedje lihih številk. Analitično lahko to zaporedje podamo s formulo y = 2n+1.

b) To je številsko zaporedje, v katerem je naslednji element za 4 večji od prejšnjega.Analitično lahko to zaporedje določimo s formulo y = 4n.

Primer 2. Zapišite prvih deset elementov zaporedja, danega ponavljajoče se: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, če je n = 3, 4, 5, 6, ... .

Odločitev.

Vsak naslednji element tega zaporedja je enak vsoti dveh prejšnjih elementov.

Primer 3 Zaporedje (y n) je podano ponavljajoče: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . To zaporedje določite analitično.

Odločitev.

Poiščite prvih nekaj elementov zaporedja.

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

y 4 = 5y 3 -6y 2 \u003d 20-12 \u003d 8;

y 5 = 5y 4 -6y 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

y 6 = 5y 5 -6y 4 \u003d 80-48 \u003d 32;

y 7 = 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64.

Dobimo zaporedje: 1; 2; 4; osem; šestnajst; 32; 64; ... ki ga lahko predstavimo kot

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Z analizo zaporedja dobimo naslednjo pravilnost: y = 2 n -1 .

Primer 4 Dano zaporedje y n =24n+36-5n 2 .

a) Koliko pozitivnih izrazov ima?

b) Poišči največji element zaporedja.

c) Ali je v tem zaporedju najmanjši element?

To številsko zaporedje je funkcija oblike y = -5x 2 +24x+36, kjer je x

a) Poiščite vrednosti funkcije, za katere je -5x 2 +24x+360. Rešimo enačbo -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 \u003d 6, X 2 = -1,2.

Enačbo simetrične osi parabole y = -5x 2 +24x + 36 lahko najdemo po formuli x \u003d, dobimo: x = 2.4.

Neenakost -5x 2 +24x+360 velja za -1,2 Ta interval vsebuje pet naravnih števil (1, 2, 3, 4, 5). Torej v danem zaporedju pet pozitivni elementi zaporedja.

b) Največji element zaporedja je določen z izbirno metodo in je enak y 2 =64.

c) Ni najmanjšega elementa.

3.4 Naloge za samostojno delo