REALNE ŠTEVILKE II

§ 44 Geometrijski prikaz realnih števil

Geometrijsko realna števila, tako kot racionalna števila, so predstavljena s točkami na ravni črti.

Naj bo l - poljubna ravna črta in O - nekatere njene točke (slika 58). Vsako pozitivno realno število α postavite v korespondenco točko A, ki leži desno od O na razdalji α dolžinske enote.

Če npr. α = 2,1356..., torej

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

itd. Očitno je, da mora biti točka A v tem primeru na premici l desno od točk, ki ustrezajo številkam

2; 2,1; 2,13; ... ,

ampak levo od točk, ki ustrezajo številkam

3; 2,2; 2,14; ... .

Lahko se pokaže, da so ti pogoji definirani na črti l edina točka A, ki jo obravnavamo kot geometrijsko podobo realnega števila α = 2,1356... .

Prav tako vsako negativno realno število β postavite v korespondenco točko B, ki leži levo od O na razdalji | β | dolžinske enote. Na koncu točko O dodelimo številki "nič".

Torej bo številka 1 prikazana na ravni črti l točka A, ki se nahaja desno od O na razdalji ene dolžinske enote (slika 59), številka - √2 - točka B, ki leži levo od O na razdalji √2 dolžinske enote itd.

Pokažimo, kako na ravni črti l s šestilom in ravnilom lahko najdete točke, ki ustrezajo realnim številom √2, √3, √4, √5 itd. Za to bomo najprej pokazali, kako sestaviti odseke, katerih dolžine so izražene z te številke. Naj bo AB odsek, vzet kot dolžinska enota (slika 60).

V točki A obnovimo pravokotnik na ta odsek in nanj odložimo odsek AC, ki je enak segmentu AB. Nato z uporabo Pitagorejskega izreka na pravokotnem trikotniku ABC dobimo; BC \u003d √AB 2 + AC 2 = √1 + 1 = √2

Zato ima odsek BC dolžino √2. Zdaj obnovimo pravokotno na segment BC v točki C in na njej izberemo točko D, tako da je segment CD enako ena AB dolžina. Nato od pravokotni trikotnik Najdi BCD:

VD \u003d √BC 2 + CD 2 = √2 + 1 = √3

Zato ima odsek BD dolžino √3. Z nadaljevanjem opisanega postopka bi lahko dobili odseke BE, BF, ..., katerih dolžine so izražene s številkami √4, √5 itd.

Zdaj na vrsti l enostavno je najti tiste točke, ki služijo kot geometrijski prikaz številk √2, √3, √4, √5 itd.

Če na primer desno od točke O postavimo odsek BC (slika 61), dobimo točko C, ki služi kot geometrijski prikaz števila √2. Na enak način, če odložimo segment BD desno od točke O, dobimo točko D", ki je geometrijska podoba števila √3 itd.

Vendar ne bi smeli misliti, da s pomočjo kompasa in ravnila na številski premici l lahko najdemo točko, ki ustreza kateremu koli danemu realnemu številu. Dokazano je, na primer, da je nemogoče sestaviti odsek, katerega dolžina je izražena s številom, če imate na voljo le kompas in ravnilo. π = 3,14 ... . Torej na številski premici l s takšnimi konstrukcijami je nemogoče označiti točko, ki ustreza tej številki, vendar taka točka obstaja.

Torej za vsako realno število α mogoče je povezati neko dobro definirano točko črte l . Ta točka bo ločena od začetne točke O na razdalji | α | dolžinske enote in biti desno od O če α > 0 in levo od O if α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две različne točke naravnost l . Pravzaprav, pustite številko α ustreza točki A in številki β - točka B. Potem, če α > β , potem bo A desno od B (slika 62, a); če α < β , potem bo A ležal levo od B (slika 62, b).

Ko smo v § 37 govorili o geometrijski predstavitvi racionalnih števil, smo si zastavili vprašanje: ali lahko katero koli točko ravne črte štejemo za geometrijsko podobo nekega racionalnoštevilke? Takrat na to vprašanje nismo mogli odgovoriti; zdaj lahko nanj odgovorimo povsem odločno. Na ravni črti so točke, ki služijo kot geometrijska slika iracionalna števila(npr. √2). Zato vsaka točka na ravni črti ne predstavlja racionalnega števila. Toda v tem primeru se postavlja drugo vprašanje: ali je mogoče katero koli točko realne črte obravnavati kot geometrijsko podobo nekaterih veljavenštevilke? To vprašanje je že pozitivno rešeno.

Dejansko naj je A poljubna točka na premici l , ki leži desno od O (slika 63).

Dolžina odseka OA je izražena z nekim pozitivnim realnim številom α (glej § 41). Zato je točka A geometrijska podoba števila α . Podobno je ugotovljeno, da lahko vsako točko B, ki leži levo od O, obravnavamo kot geometrijsko sliko negativnega realnega števila - β , kje β - dolžina odseka VO. Končno, točka O služi kot geometrijska predstavitev števila nič. Jasno je, da sta dve različni točki črte l ne more biti geometrijska podoba istega realnega števila.

Zaradi zgoraj navedenih razlogov se ravna črta, na kateri je neka točka O označena kot "začetna" točka (za dano dolžinsko enoto), imenuje številska črta.

Zaključek. Množica vseh realnih števil in množica vseh točk realne premice sta v korespondenci ena proti ena.

To pomeni, da vsako realno število ustreza eni, natančno določeni točki številske premice, in, nasprotno, vsaki točki številske premice, s takšno korespondenco, ustreza eno, natančno določeno realno število.

vaje

320. Ugotovi, katera od obeh točk je na številski premici levo in katera desno, če ti točki ustrezajo številkam:

a) 1,454545... in 1,455454...; c) 0 in - 1,56673...;

b) - 12,0003... in - 12,0002...; d) 13.24... in 13.00...

321. Ugotovi, katera od dveh točk je dlje od začetne točke O na številski premici, če ti točki ustrezajo številkam:

a) 5,2397... in 4,4996...; .. c) -0,3567... in 0,3557... .

d) - 15,0001 in - 15,1000...;

322. V tem razdelku je bilo prikazano, da za konstruiranje odseka dolžine √ n s šestilom in ravnilo lahko naredite naslednje: najprej sestavite odsek z dolžino √2, nato segment z dolžino √3 itd., dokler ne dosežemo segmenta dolžine √ n . Ampak za vsako fiksno P > 3 ta proces je mogoče pospešiti. Kako bi na primer začeli graditi segment dolžine √10?

323*. Kako s kompasom in ravnilom najti točko na številski premici, ki ustreza številki 1 / α , če je položaj točke, ki ustreza številki α , znano?

Številska premica, številska os, je črta, na kateri so upodobljena realna števila. Na ravni črti je izbran izvor - točka O (točka O predstavlja 0) in točka L, ki predstavlja enoto. Točka L običajno stoji desno od točke O. Odsek OL se imenuje segment enote.

Točke desno od točke O predstavljajo pozitivna števila. Pike levo od pike. Oh, upodobite negativne številke. Če točka X predstavlja pozitivno število x, potem je razdalja OX = x. Če točka X predstavlja negativno število x, potem je razdalja OX = - x.

Število, ki kaže položaj točke na ravni črti, se imenuje koordinata te točke.

Točka V, prikazana na sliki, ima koordinato 2, točka H pa koordinato -2,6.

Modul realnega števila je razdalja od izhodišča do točke, ki ustreza temu številu. Označite modul števila x, tako: | x |. Očitno, | 0 | = 0.

Če je število x večje od 0, potem | x | = x in če je x manjši od 0, potem | x | = - x. Na teh lastnostih modula temelji rešitev številnih enačb in neenakosti z modulom.

Primer: Reši enačbo | x - 3 | = 1.

Rešitev: Upoštevajte dva primera - prvi primer, ko je x -3 > 0, in drugi primer, ko je x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

V tem primeru | x - 3 | = x - 3.

Enačba ima obliko x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - izpolni prvi pogoj.

2. x -3 0, x 3.

V tem primeru | x - 3 | = - x + 3

Enačba ima obliko x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - izpolnjuje drugi pogoj.

Odgovor: x = 4, x = -2.

Številčni izrazi.

Številčni izraz je zbirka enega ali več številk in funkcij, povezanih z aritmetičnimi operatorji in oklepaji.
Primeri številskih izrazov:

Vrednost številskega izraza je število.
Operacije v številskem izrazu se izvajajo v naslednjem zaporedju:

1. Dejanja v oklepajih.

2. Izračun funkcij.

3. Eksponentiranje

4. Množenje in deljenje.

5. Seštevanje in odštevanje.

6. Operacije iste vrste se izvajajo od leve proti desni.

Torej bo vrednost prvega izraza samo število 12.3
Za izračun vrednosti drugega izraza bomo izvedli dejanja v naslednjem zaporedju:

1. Izvedite dejanja v oklepajih v naslednjem zaporedju - najprej dvignemo 2 na tretjo potenco, nato pa od nastalega števila odštejemo 11:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Pomnožite 3 s 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Operacije izvedite zaporedno od leve proti desni:

12 + (-3) = 9.
Izraz s spremenljivkami je zbirka enega ali več številk, spremenljivk in funkcij, povezanih z aritmetičnimi operatorji in oklepaji. Vrednosti izrazov s spremenljivkami so odvisne od vrednosti spremenljivk, ki so vanj vključene. Zaporedje operacij je tukaj enako kot pri številskih izrazih. Včasih je koristno poenostaviti izraze s spremenljivkami z različnimi dejanji – oklepaji, razširitev oklepajev, združevanje, zmanjševanje ulomkov, redukcija podobnih itd. Tudi za poenostavitev izrazov se pogosto uporabljajo različne formule, na primer skrajšane formule za množenje, lastnosti različnih funkcij itd.

Algebraični izrazi.

Algebraični izraz je ena ali več algebrskih količin (številk in črk), ki so med seboj povezane z znaki algebrskih operacij: seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, pa tudi izvlečenje korena in dvig na celo število (poleg tega morata koren in eksponent nujno biti cela števila) in znaki zaporedja teh dejanj (običajno oklepaji različne vrste). Število količin, vključenih v algebraični izraz bi morala biti dokončna.

Primer algebraičnega izraza:

"Algebraični izraz" je skladenjski pojem, to je, da je nekaj algebraični izraz, če in samo če upošteva določena slovnična pravila (glej Formalno slovnico). Če se črke v algebrskem izrazu štejejo za spremenljivke, potem algebraični izraz pridobi pomen algebraične funkcije.

Iz velike raznolikosti kompleti posebno zanimive so t.i številski nizi, torej množice, katerih elementi so števila. Jasno je, da jih morate za udobno delo z njimi znati zapisati. Z zapisi in načeli pisanja številskih množic bomo začeli ta članek. Nato bomo razmislili, kako so številčni nizi upodobljeni na koordinatni črti.

Navigacija po straneh.

Pisanje številskih nizov

Začnimo s sprejetim zapisom. Kot je znano, se za označevanje nizov uporabljajo velike črke latinske abecede. Številčni nizi, kot so poseben primer označeni so tudi sklopi. Na primer, lahko govorimo o številskih množicah A , H , W itd. Posebej pomembni so nabori naravnih, celih, racionalnih, realnih, kompleksnih števil itd., Za katere so bile sprejete lastne oznake:

• N je množica vseh naravnih števil;
• Z je množica celih števil;
• Q je množica racionalnih števil;
• J je množica iracionalnih števil;
• R je množica realnih števil;
• C je množica kompleksnih števil.

Iz tega je jasno, da množice, ki jo sestavljata na primer dve številki 5 in −7, ni treba označiti kot Q, ta oznaka bo zavajajoča, saj črka Q običajno označuje množico vseh racionalnih števil. Za označevanje določenega številskega niza je bolje uporabiti kakšno drugo "nevtralno" črko, na primer A.

Ker govorimo o zapisu, se tukaj spomnimo tudi na zapis prazne množice, torej množice, ki ne vsebuje elementov. Označena je z znakom ∅.

Spomnimo se tudi na označevanje pripadnosti in nečlanstva elementa v množici. Za to uporabite znaka ∈ - pripada in ∉ - ne pripada. Na primer, vnos 5∈N pomeni, da število 5 pripada množici naravnih števil, 5,7∉Z pa decimalni ulomek 5,7 ne pripada množici celih števil.

Spomnimo se tudi zapisa, sprejetega za vključitev enega niza v drugega. Jasno je, da so vsi elementi množice N vključeni v množico Z, torej nabor številk N je vključen v Z, to je označeno kot N⊂Z. Uporabite lahko tudi zapis Z⊃N, kar pomeni, da množica vseh celih števil Z vključuje množico N. Relacije, ki niso vključene in niso vključene, so označene z znakoma ⊄ oziroma . Uporabljajo se tudi nestrogi znaki vključevanja v obliki ⊆ in ⊇, kar pomeni, da so vključeni ali se ujemajo in vključujejo ali se ujemajo.

Govorili smo o zapisu, pojdimo na opis številskih množic. V tem primeru se bomo dotaknili le glavnih primerov, ki se v praksi najpogosteje uporabljajo.

Začnimo s številčnimi nizi, ki vsebujejo končno in majhno število elementov. Številčne množice, sestavljene iz končnega števila elementov, je mogoče priročno opisati s seznamom vseh njihovih elementov. Vsi številski elementi so zapisani ločeni z vejicami in zaprti v , kar je skladno s skupnim določi pravila opisa. Na primer, niz, sestavljen iz treh številk 0 , −0,25 in 4/7, lahko opišemo kot (0, −0,25, 4/7) .

Včasih, ko je število elementov številskega niza dovolj veliko, vendar se elementi pokorijo nekemu vzorcu, se za opis uporablja elipsa. Na primer, množico vseh lihih številk od 3 do vključno 99 lahko zapišemo kot (3, 5, 7, ..., 99) .

Tako smo gladko pristopili k opisu številskih množic, katerih število elementov je neskončno. Včasih jih je mogoče opisati z isto elipso. Na primer, opišimo množico vseh naravnih števil: N=(1, 2. 3, …) .

Uporabljajo tudi opis številskih množic z navedbo lastnosti njegovih elementov. V tem primeru se uporablja zapis (x| lastnosti). Na primer, zapis (n| 8 n+3, n∈N) definira množico takih naravnih števil, ki pri deljeni z 8 dajo preostanek 3 . Isti niz lahko opišemo kot (11,19, 27, ...) .

V posebnih primerih so številske množice z neskončnim številom elementov znane množice N , Z , R itd. ali številčne vrzeli. In na splošno so številski nizi predstavljeni kot unija posamezne številčne intervale, ki jih sestavljajo, in številčne množice s končnim številom elementov (o katerih smo govorili nekoliko višje).

Pokažimo primer. Naj bodo nabor številk števila −10 , −9 , −8.56 , 0 , vsa števila intervala [−5, −1.3] in števila odprtega številskega žarka (7, +∞). Na podlagi definicije unije množic lahko navedeno številčno množico zapišemo kot {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Takšen zapis pravzaprav pomeni množico, ki vsebuje vse elemente množic (−10, −9, −8,56, 0) , [−5, −1,3] in (7, +∞) .

Podobno je z združevanjem različnih številskih razponov in nizov posameznih številk mogoče opisati kateri koli niz (sestavljen iz realnih števil). Tukaj postane jasno, zakaj so takšne vrste številskih intervalov, kot so interval, polovični interval, segment, odprt številčni žarek in številski žarek: vsi skupaj z zapisom množic posameznih števil omogočajo opisovanje poljubnih številskih množic z njihovo zvezo.

Upoštevajte, da so pri pisanju številskega niza njegove sestavne številke in številčni intervali razvrščeni v naraščajočem vrstnem redu. To ni obvezen, ampak zaželen pogoj, saj je urejeno številčno množico lažje predstaviti in upodobiti na koordinatni črti. Upoštevajte tudi, da takšni zapisi ne uporabljajo številskih intervalov z skupni elementi, saj je take vnose mogoče nadomestiti z unijo številskih intervalov brez skupnih elementov. Na primer, unija številskih množic s skupnimi elementi [−10, 0] in (−5, 3) je polovični interval [−10, 3) . Enako velja za unijo številskih intervalov z enakimi mejnimi številkami, na primer, unija (3, 5]∪(5, 7] je množica (3, 7] , o tem se bomo posebej posvetili, ko se bomo naučili najti presečišče in unijo številskih množic.

Slika številskih nizov na koordinatni črti

V praksi je priročno uporabljati geometrijske podobe številskih nizov - njihove slike na . Na primer, kdaj reševanje neenakosti, pri katerem je treba upoštevati ODZ, je treba upodobiti številčne množice, da bi našli njihovo presečišče in/ali združitev. Zato bo koristno dobro razumeti vse nianse predstavitve številskih nizov na koordinatni črti.

Znano je, da obstaja ena proti ena korespondenca med točkami koordinatne črte in realnimi števili, kar pomeni, da je koordinatna črta sama geometrijski model množice vseh realnih števil R. Tako je za upodobitev nabora vseh realnih števil potrebno narisati koordinatno črto s šrafiranjem vzdolž celotne dolžine:

In pogosto niti ne navedejo izvora in enega samega segmenta:

Zdaj pa se pogovorimo o podobi številskih množic, ki so neko končno število posameznih številk. Na primer, narišemo nabor številk (−2, −0,5, 1,2) . Geometrijska podoba tega niza, sestavljena iz treh številk -2, -0,5 in 1,2, bodo tri točke koordinatne črte z ustreznimi koordinatami:

Upoštevajte, da običajno za potrebe prakse ni treba natančno izvesti risanja. Pogosto zadostuje shematska risba, kar pomeni, da ni treba vzdrževati merila, pomembno pa je le vzdrževati medsebojni dogovor točke med seboj: vsaka točka z manjšo koordinato mora biti levo od točke z večjo koordinato. Prejšnja risba bo shematično izgledala tako:

Posebej iz vseh možnih številskih nizov ločimo številčne intervale (intervali, polintervali, žarki ipd.), ki predstavljajo njihove geometrijske podobe, ki smo jih podrobneje preučili v poglavju. Tu se ne bomo ponavljali.

In ostane le, da se zadržujemo na podobi številskih nizov, ki so združitev več številskih intervalov in nizov, sestavljenih iz posameznih številk. Tukaj ni nič zapletenega: glede na pomen zveze morate v teh primerih na koordinatni črti prikazati vse komponente množice danega številčnega niza. Za primer pokažimo sliko številskega niza (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

In se osredotočimo na precej pogoste primere, ko je upodobljena številčna množica celoten niz realnih števil, z izjemo ene ali več točk. Takšne množice so pogosto določene s pogoji, kot so x≠5 ali x≠−1, x≠2, x≠3,7 itd. V teh primerih geometrijsko predstavljajo celotno koordinatno črto, z izjemo ustreznih točk. Z drugimi besedami, te točke je treba "izbiti" iz koordinatne črte. Upodobljeni so kot krogi s praznim središčem. Zaradi jasnosti narišemo nabor številk, v skladu s pogoji (ta komplet je v bistvu):

Povzemite. V idealnem primeru bi morale informacije iz prejšnjih odstavkov oblikovati enak pogled na zapis in predstavitev številskih nizov kot pogled na posamezne številčne intervale: zapis številčnega niza bi moral takoj dati svojo sliko na koordinatni črti in od slike naprej. koordinatno črto, bi morali biti pripravljeni enostavno opisati pripadajočo številčno množico z združitvijo posameznih vrzeli in nizov, sestavljenih iz posameznih številk.

Bibliografija.

• algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ur. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M. : Izobraževanje, 2008. - 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. algebra. 9. razred Ob 14. uri 1. del. Študentski učbenik izobraževalne ustanove/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Oblikujte številke

V digitalnih napravah obstajata dve obliki podob številk: s fiksnim і plavajoča koma.

V sprednjem odstavku je bilo vidnih le nekaj pozitivnih številk. Formula (1.14) daje možnost prikaza dvojnega števila s celim in ulomnim delom ter fiksno komo. Predznak dvomestne številke s fiksno komo daje dodatni rang, ki se postavi pred številke. Za dodatne številke je vrednost dodatnega naročila enaka " 0 ", za vizualno - " 1 ”.

Pri mizi 1.3 obstajajo tri možnosti za kodiranje zadnje in druge številke z dvojno kodo.

Tabela 1.3.

V prvi varianti, kot je razvidno iz tabel, v kodiranem dvojnem zaporedju lahko pride do dodatnih in končnih ničel, kar lahko povzroči težave pri pojavu aritmetičnih operacij.

Predstavitev danih številk v kodi vrat tudi ne rešuje zgornjega problema. Samo enkrat se ne boste zmotili, če boste videli številke dodatna koda, ki se izračuna po formuli:

Na sl. 1.12 prikazuje grafično interpretacijo podobe pozitivnih in negativnih števil, ki so podobna nič alternativam direktne in komplementarne kode. Kot bo prikazano pozneje, bo takšna oblika predstavitve desetih števil preprosto poenostavila aritmetične operacije.

Primer 1.10. Poznajte komplementarno kodo do desetih številk: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazannya. Poznamo dva ekvivalenta danih števil:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Poznamo kodo, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110.

Znano je, da dopolnimo kode danih številk: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Zdaj razložimo bistvo snemanja številk s fiksno komo. Ne glede na to, ali število v digitalnih sistemih prevzamejo posebne pomnilniške naprave, se iz določenega števila elementov oblikuje vrsta preoblek. Koma, ki je v število strelov vključila del števila strelov, zaseda v vrsti spomina fiksen položaj - pred starejšim ali za mlajšim.

Za prvo vrsto je absolutna vrednost števila manjša od ena - na primer 0,110101 2 . 1.13, končni leviy rank kaže predznak števila, reshta pa - rang modula. Vilni mladi izpusti so napolnjeni z ničlami. Oskіlki v pregledanem vipadku v vrstici pomnilnika se prenese za zapis samo ulomnega dela števila, nato pa so rezultati vseh operacij posledica absolutnih vrednosti, manjših od ena. Wikonnannya tsієї se prepričajte, da izberete ustrezne faktorje lestvice, na katerih se pomnožijo zunanji podatki. Če je merilni koeficient tresljajev napačen, potem lahko pride do prerazporeditve izpustov in videza celotnega dela, kot da bo porabljen, drobci v izpustni mreži ne bodo preneseni na njen videz. Vseeno vas bom v rezultatu pripeljal v pekel, ki mu takšne metode manjka.

V drugem razpoloženju, če je koma popravljena po najmlajšem naročilu, je lahko prav s celimi številkami. Tako je na primer številka 10011 2 v vrstici pomnilnika postavljena v vidnost na sl. 1.14, de livy rank je predznak, za njim na desni strani pa so prazne števke zapolnjene z ničlami. Na ta način je vrednost modula ograjena vrstica pomnilnika.

Številke s plavajočo komo prenesejo podobo števila na bogomolko, ki se pomnoži z osnovo številskega sistema na stopnji, ki je postavljena po vrstnem redu. Na primer, število 200 je zapisano kot 0,2 × 10 3, število 0,000312 pa kot 0,312 × 10 -3. Vidpovidno zapisyutsya in dvіykovі številke. Bogomolka in vrstni red sta prikazana v dvojni kodi, osnova pa je dvojka. Na primer, število 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 v desetem sistemu je prikazano kot 0,875 × 2 2 = 3,5 10. V vrsti pomnilnika so takšne številke vzete iz dveh skupin številk: prva skupina - bogomolka - določa samo število, druga - vrstni red - mesto Komija v številu (slika 1.15).

Pri ničelnem elementu pomnilniške vrstice se prikaže predznak števila (za dano dvojno število, ki je zapisano v pomnilniški vrstici - “ 0 ”). Razdalje so nastavljene po vrstnem redu števila (stowpts 1…8). Če je podano z manjšim številom vrstic, so pomnilniški elementi na desni strani števila napolnjeni z ničlami. V devetem vrstnem redu je prikazan znak reda, v reshtu pa po analogiji z mantiso - številka, ki označuje red. S takšnim zapisom je vrednost števila nastavljena tako, da prva pomembna številka bogomolke ni enaka " 0 ". Ta oblika vnosa se imenuje normalno.

Najmanjše dodatno število, ki ga lahko v običajni obliki zapišemo v pomnilniško vrstico, je določeno z minimalno mantiso 0,1000..0 2 in največjim vizualnim redom 111..1 2 . S količino k v vrstnem redu najmanj desetih se število, ki ga je mogoče zapisati, določi s formulo:

. (1.15)

Največje število matimemojev pri največji vrednosti bogomolke (0,111 ... 1) 2 in največjem dodatnem vrstnem redu (111 ... 1 2) = 2 k– 1 torej

Razpon Dštevila, predstavljena v normalni obliki, kot se izkaže iz formul (1.15) in (1.16), označuje samo število k. Na primer, za k= 6 je znano:

; .

Natančnost zapisa števila je določena s številom naročil m mantici. Če število rangov števila obrne število rangov, vnesenih v bogomoljko, se število zaokroži navzgor na zahtevano število. Pravilo za zaokroževanje dveh številk na ta način je naslednje: če je višji vrstni red dela besede, ki se vidi, ena, se ena doda najmlajšemu vrstnemu redu bogomolke. S tako zaokroženo absolutno številko podoba bogomolke ne presega polovice koeficienta kategorije mlade bogomoljke, ki se vzame do:

Vrakhovuchi, da v običajni obliki zapisa bogomolke ne more biti manjša od 0,5, očitna napaka η:

Na primer, kdaj m= 24 maêmo:

.

V današnjih digitalnih sistemih za prikazovanje številk s plavajočo komo se uporablja vrsta bajtov dozhinoy chotiri. S 23 izpusti nastavite bogomoljko in 7 - velikost reda. Razpon prikazanih številk je prepognjen z ± 2 127 na ± 2 -127 .

Različica številk s plavajočo komo bo razširila in poenostavila predstavitev števil, vendar je vsestranskost operacij s takšnimi številkami bolj kolaborativne, manjša pri številkah s fiksno komo.

Ekspresivno geometrijsko predstavitev sistema racionalnih števil lahko dobimo na naslednji način.

riž. 8. Številčna os

Na neki ravni črti, "številčni osi", označimo odsek od 0 do 1 (slika 8). To nastavi dolžino segmenta enote, ki jo lahko na splošno izberemo poljubno. Pozitivna in negativna cela števila so nato prikazana kot niz enako razmaknjenih točk na številski osi, in sicer so pozitivna števila označena desno, negativna pa levo od točke 0. Za prikaz števil z imenovalcem vsako razdelimo dobljenih odsekov enotne dolžine na enake dele; točke delitve bodo predstavljale ulomke z imenovalcem. Če to naredimo za vrednosti, ki ustrezajo vsem naravnim številom, bo vsako racionalno število upodobljeno z neko točko na številski osi. Strinjali se bomo, da te točke imenujemo "racionalne"; na splošno se izraza "racionalno število" in "racionalna točka" uporabljata kot sinonima.

V poglavju I, § 1, je bilo opredeljeno razmerje neenakosti za naravna števila. Na številski osi se to razmerje odraža na naslednji način: če naravno število A je manjše od naravnega števila B, potem točka A leži levo od točke B. Ker je navedena geometrijska relacija vzpostavljena za kateri koli par racionalnih točk, je naravno, da poskušamo posplošiti razmerje aritmetične neenakosti v takem način za ohranitev tega geometrijskega reda za obravnavane točke. To je mogoče, če sprejmemo naslednjo definicijo: pravimo, da je racionalno število A manjše od racionalno število ali da je število B večje od števila, če je razlika pozitivna. Iz tega (za ) sledi, da so točke (številke) med tistimi, ki

hkrati Vsak tak par točk, skupaj z vsemi točkami med njimi, se imenuje segment (ali segment) in je označen (in množica vmesnih točk sam se imenuje interval (ali interval), označen z

Razdalja poljubne točke A od izhodišča 0, ki velja za pozitivno število, se imenuje absolutna vrednost A in je označena s simbolom

Koncept "absolutne vrednosti" je opredeljen na naslednji način: če , potem če potem Jasno je, da če imajo številke enak predznak, potem je enakost resnična, če imajo različni znaki, potem . Če združimo ta dva rezultata skupaj, pridemo do splošne neenakosti

ki velja ne glede na znake

Dejstvo temeljnega pomena je izraženo z naslednjim predlogom: racionalne točke so povsod gosto na številski premici. Pomen te izjave je, da znotraj katerega koli intervala, ne glede na to, kako majhen je, obstajajo racionalne točke. Za preverjanje veljavnosti navedene izjave je dovolj, da vzamete tako veliko število, da bo interval ( manjši od podanega intervala ; potem bo vsaj ena od točk obrazca znotraj tega intervala. Torej obstaja ni takega intervala na številski osi (tudi najmanjšega, ki si ga lahko zamislimo), znotraj katerega ne bi bilo racionalnih točk. Iz tega sledi nadaljnji rezultat: vsak interval vsebuje neskončno število racionalnih točk. Dejansko, če bi nek interval vseboval le končno število racionalnih točk, potem znotraj intervala, ki ga tvorita dve sosednji takšni točki, racionalnih točk ne bi bilo več, kar je v nasprotju s pravkar dokazanim.