Katera števila so naravna. Preučevanje natančnega predmeta: naravna števila so kaj števila, primeri in lastnosti
Naravna števila so eden najstarejših matematičnih konceptov.
V daljni preteklosti ljudje niso poznali števil in ko so morali prešteti predmete (živali, ribe ipd.), so to počeli drugače kot mi zdaj.
Število predmetov so primerjali z deli telesa, na primer s prsti na roki, in rekli: "Imam toliko orehov, kolikor je prstov na roki."
Sčasoma so ljudje spoznali, da ima pet orehov, pet koz in pet zajcev skupno lastnost - njihovo število je pet.
Ne pozabite!
Cela števila so števila, ki se začnejo z 1, pridobljena pri štetju predmetov.
1, 2, 3, 4, 5…
najmanjše naravno število — 1 .
največje naravno število ne obstaja.
Pri štetju se številka nič ne uporablja. Zato se nič ne šteje za naravno število.
Ljudje so se naučili pisati številke veliko kasneje kot šteti. Najprej so začeli predstavljati enoto z eno palico, nato z dvema palicama - številka 2, s tremi - številka 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Nato so se pojavili posebni znaki za označevanje številk - predhodniki sodobnih številk. Številke, s katerimi pišemo številke, izvirajo iz Indije pred približno 1500 leti. Arabci so jih prinesli v Evropo, tako se imenujejo arabske številke.
Skupaj je deset števk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Te števke lahko uporabimo za zapis poljubnega naravnega števila.
Ne pozabite!
naravna serija je zaporedje vseh naravnih števil:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
V naravnem nizu je vsako število večje od prejšnjega za 1.
Naravni niz je neskončen, v njem ni največjega naravnega števila.
Sistem štetja, ki ga uporabljamo, se imenuje decimalno pozicijsko.
Decimalno, ker 10 enot vsake števke tvori 1 enoto najpomembnejše števke. Pozicijski zato, ker je vrednost števke odvisna od njenega mesta v zapisu števila, torej od števke, v kateri je zapisana.
Pomembno!
Razredi, ki sledijo milijardi, so poimenovani po latinskih imenih števil. Vsaka naslednja enota vsebuje tisoč prejšnjih.
- 1.000 milijard = 1.000.000.000.000 = 1 bilijon (»tri« je latinsko za »tri«)
- 1.000 trilijonov = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilijon (»quadra« je latinsko za »štiri«)
- 1.000 kvadrilijonov = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilijon (»quinta« je latinsko za »pet«)
Vendar pa so fiziki našli število, ki presega število vseh atomov (najmanjših delcev snovi) v celotnem vesolju.
Ta številka ima posebno ime - googol. Googol je številka, ki ima 100 ničel.
Cela števila- naravna števila so števila, ki se uporabljajo za štetje predmetov. Množico vseh naravnih števil včasih imenujemo naravna vrsta: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 itd. .
Za zapis naravnih števil se uporablja deset števk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Z njimi lahko zapišemo poljubno naravno število. Ta zapis se imenuje decimalni.
Naravni niz števil se lahko nadaljuje v nedogled. Ni številke, ki bi bila zadnja, saj lahko zadnji številki vedno dodamo eno in dobimo številko, ki je že večja od želene. V tem primeru pravimo, da v naravnem nizu ni največjega števila.
Številke naravnih števil
Pri pisanju katere koli številke s številkami je ključnega pomena mesto, na katerem številka stoji v številki. Na primer, številka 3 pomeni: 3 enote, če je zadnja v številki; 3 desetice, če bo v številu na predzadnjem mestu; 4 stotice, če bo v številki na tretjem mestu od konca.
Zadnja številka pomeni številko enot, predzadnja - številko desetic, 3 od konca - številko stotic.
Eno- in večmestno
Če je v kateri koli števki števila 0, to pomeni, da v tej števki ni enot.
Številka 0 pomeni nič. Nič je "nič".
Nič ni naravno število. Čeprav nekateri matematiki menijo drugače.
Če je število sestavljeno iz ene števke, se imenuje enomestno, dve - dvomestno, tri - trimestno itd.
Številom, ki niso enomestna, pravimo tudi večmestna.
Razredi števk za branje velikih naravnih števil
Za branje velikih naravnih števil je število razdeljeno v skupine po tri števke, začenši z desnega roba. Te skupine se imenujejo razredi.
Prve tri števke z desnega roba sestavljajo razred enot, naslednje tri tisočice, naslednje tri milijone.
Milijon je tisoč tisoč, za nameček uporabljajo okrajšavo milijon 1 milijon = 1.000.000.
Milijarda = tisoč milijonov. Za zapis se uporablja okrajšava milijarda 1 milijarda = 1.000.000.000.
Primer pisanja in branja
To število ima 15 enot v razredu milijard, 389 enot v razredu milijonov, nič enot v razredu tisočic in 286 enot v razredu enot.
Ta številka se glasi takole: 15 milijard 389 milijonov 286.
Preberite številke od leve proti desni. Nato se pokliče število enot vsakega razreda in nato doda ime razreda.
Naravna števila so človeku domača in intuitivna, saj nas obdajajo že od otroštva. V spodnjem članku bomo podali osnovno predstavo o pomenu naravnih števil, opisali osnovne veščine njihovega pisanja in branja. Celoten teoretični del bo pospremljen s primeri.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Splošna ideja o naravnih številih
Na določeni stopnji razvoja človeštva se je pojavila naloga štetja določenih predmetov in določanja njihove količine, kar je posledično zahtevalo iskanje orodja za rešitev tega problema. Takšno orodje so postala naravna števila. Jasen je tudi glavni namen naravnih števil - dati predstavo o številu predmetov ali serijski številki določenega predmeta, če govorimo o nizu.
Logično je, da mora človek za uporabo naravnih števil imeti način, kako jih zaznati in reproducirati. Torej je naravno število mogoče izraziti ali upodobiti, kar sta naravna načina posredovanja informacij.
Razmislite o osnovnih veščinah govorjenja (branje) in podob (pisanje) naravnih števil.
Decimalni zapis naravnega števila
Spomnimo se, kako so prikazani naslednji znaki (označujemo jih ločene z vejicami): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ti znaki se imenujejo številke.
Zdaj pa vzemimo pravilo, da se pri upodabljanju (pisanju) katere koli naravne številke uporabljajo samo navedene številke brez sodelovanja drugih simbolov. Naj bodo števke pri zapisu naravnega števila enako visoke, zapisane ena za drugo v vrstici, na levi pa je vedno števka, ki je različna od nič.
Naj navedemo primere pravilnega zapisa naravnih števil: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Zamiki med števkami niso vedno enaki, o tem bomo podrobneje razpravljali v nadaljevanju pri preučevanju razredov števil. Navedeni primeri kažejo, da pri zapisu naravnega števila ni nujno, da imamo vse števke iz zgornjega niza. Nekateri ali vsi se lahko ponovijo.
Definicija 1
Zapisi oblike: 065 , 0 , 003 , 0791 niso zapisi naravnih števil, ker na levi je številka 0.
Pravilen zapis naravnega števila, narejen ob upoštevanju vseh opisanih zahtev, imenujemo decimalni zapis naravnega števila.
Kvantitativni pomen naravnih števil
Kot že omenjeno, imajo naravna števila na začetku med drugim kvantitativni pomen. Naravna števila, kot orodje za številčenje, obravnavamo v temi Primerjanje naravnih števil.
Začnimo z naravnimi števili, katerih vnosi sovpadajo z vnosi števk, tj. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Predstavljajte si določen predmet, na primer to: Ψ. Lahko zapišemo, kar vidimo 1 predmet. Naravno število 1 se bere kot "ena" ali "ena". Izraz "enota" ima tudi drug pomen: nekaj, kar je mogoče obravnavati kot celoto. Če obstaja množica, potem lahko vsak njen element označimo z enico. Na primer, od mnogih miši je vsaka miška ena; vsaka roža iz niza rož je enota.
Zdaj pa si predstavljajte: Ψ Ψ . Vidimo en in drugi predmet, tj. v zapisu bo - 2 točki. Naravno število 2 se bere kot "dva".
Nadalje po analogiji: Ψ Ψ Ψ - 3 postavke ("tri"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("štiri"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("pet"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("šest"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("sedem"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("osem"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 9 (" devet").
Iz označenega položaja je funkcija naravnega števila označevanje količino predmete.
Definicija 1
Če se vnos številke ujema z vnosom števke 0, se taka številka pokliče "ničla". Ničla ni naravno število, vendar jo obravnavamo skupaj z drugimi naravnimi števili. Nič pomeni ne, tj. nič predmetov pomeni nič.
Enomestna naravna števila
Očitno je dejstvo, da pri zapisu vsakega od zgoraj obravnavanih naravnih števil (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) uporabljamo en znak – eno števko.
Definicija 2
Enomestno naravno število- naravno število, ki ga zapišemo z enim znakom - eno števko.
Obstaja devet enomestnih naravnih števil: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dvomestna in trimestna naravna števila
Definicija 3Dvomestna naravna števila- naravna števila, ki jih zapišemo z dvema znakoma - dvema števkama. V tem primeru so lahko uporabljene številke enake ali različne.
Naravna števila 71, 64, 11 so na primer dvomestna.
Razmislite o pomenu dvomestnih števil. Oprli se bomo na kvantitativni pomen nam že znanih enovrednih naravnih števil.
Predstavimo koncept "deset".
Predstavljajte si niz predmetov, ki jih sestavlja devet in še en. V tem primeru lahko govorimo o 1 ducatu ("ena ducata") postavk. Če si predstavljate eno desetico in eno več, potem bomo govorili o 2 deseticah ("dve desetici"). Če dvema deseticama dodamo še eno desetico, dobimo tri desetice. In tako naprej: če dodajamo eno desetico naenkrat, dobimo štiri desetice, pet desetic, šest desetic, sedem desetic, osem desetic in končno devet desetic.
Oglejmo si dvomestno število kot množico enomestnih števil, od katerih je eno zapisano na desni, drugo na levi. Številka na levi bo označevala število desetic v naravnem številu, številka na desni pa število enot. V primeru, da se številka 0 nahaja na desni, potem govorimo o odsotnosti enot. Zgoraj je kvantitativni pomen naravnih dvomestnih števil. Skupaj jih je 90.
Definicija 4
Trimestna naravna števila- naravna števila, ki so zapisana s tremi znaki - tremi števkami. Številke so lahko različne ali se ponavljajo v poljubni kombinaciji.
Na primer, 413, 222, 818, 750 so trimestna naravna števila.
Da bi razumeli kvantitativni pomen trivrednih naravnih števil, uvedemo koncept "sto".
Definicija 5
sto (1 sto) je niz desetih desetic. Sto plus sto je enako dvesto. Dodajte še stotico in dobite 3 stotice. Če postopoma dodajamo sto, dobimo: štiristo, petsto, šeststo, sedemsto, osemsto, devetsto.
Razmislite o samem zapisu trimestnega števila: enomestna naravna števila, ki so v njem, so zapisana eno za drugim od leve proti desni. Skrajna desna ena številka označuje število enot; naslednja enomestna številka na levi - s številom desetic; skrajna leva enomestna številka je število stotin. Če je pri vnosu vključena številka 0, pomeni, da ni enot in/ali desetic.
Trimestno naravno število 402 torej pomeni: 2 enoti, 0 desetic (ni desetic, ki ne bi bile sestavljene v stotice) in 4 stotice.
Po analogiji je podana definicija štirimestnih, petmestnih in tako naprej naravnih števil.
Večvredna naravna števila
Iz vsega zgoraj navedenega je zdaj mogoče nadaljevati z definicijo večvrednih naravnih števil.
Opredelitev 6
Večvredna naravna števila- naravna števila, ki so zapisana z dvema ali več znaki. Večmestna naravna števila so dvomestna, trimestna itd.
Tisoč je niz, ki vključuje deset sto; en milijon je sestavljen iz tisoč tisoč; ena milijarda - tisoč milijonov; en bilijon je tisoč milijard. Tudi večji sklopi imajo tudi imena, vendar je njihova uporaba redka.
Podobno kot zgornje načelo lahko vsako večmestno naravno število obravnavamo kot niz enomestnih naravnih števil, od katerih vsako na določenem mestu označuje prisotnost in število enot, desetic, stotic, tisočic, desetic. na tisoče, stotisoče, milijone, desetine milijonov, stotine milijonov, milijarde in tako naprej (od desne proti levi).
Na primer, večmestno število 4 912 305 vsebuje: 5 enot, 0 desetic, tristotice, 2 tisočake, 1 desettisočico, 9 stotisočic in 4 milijone.
Če povzamemo, smo preverili spretnost združevanja enot v različne množice (desetice, stotice itd.) in ugotovili, da so števila v zapisu večmestnega naravnega števila oznaka za število enot v vsaki od takih množic.
Branje naravnih števil, razredi
V zgornji teoriji smo označevali imena naravnih števil. V tabeli 1 navajamo, kako pravilno uporabljati imena enomestnih naravnih števil v govoru in v abecednem zapisu:
| številka | moški | Ženstveno | Srednji spol |
|
1 |
ena |
ena |
ena |
| številka | imenski primer | Genitiv | dajalnik | Tožilnik | Instrumentalni primer | Predložni |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
ena Dva tri štiri Pet Šest Sedem Osem Devet |
ena Dva tri štiri Pet šest Semi osem Devet |
enemu dva Trem štiri Pet šest Semi osem Devet |
ena Dva tri štiri Pet Šest Sedem Osem Devet |
ena dva tri štiri Pet šest družina osem Devet |
Približno enega Približno dva Približno tri Približno štiri Ponovno Približno šest Približno sedem Približno osem Okrog devetih |
Za kompetentno branje in pisanje dvomestnih števil se morate naučiti podatkov v tabeli 2:
| številka |
Moški, ženski in srednji rod |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
deset Enajst Dvanajst trinajst Štirinajst Petnajst Šestnajst Sedemnajst Osemnajst Devetnajst Dvajset Trideset Štirideset Petdeset šestdeset sedemdeset Osemdeset Devetdeset |
| številka | imenski primer | Genitiv | dajalnik | Tožilnik | Instrumentalni primer | Predložni |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
deset Enajst Dvanajst trinajst Štirinajst Petnajst Šestnajst Sedemnajst Osemnajst Devetnajst Dvajset Trideset Štirideset Petdeset šestdeset sedemdeset Osemdeset Devetdeset |
deset |
deset Enajst dvanajst trinajst štirinajst petnajst šestnajst sedemnajst osemnajst devetnajst dvajset trideset Sraka petdeset šestdeset sedemdeset osemdeset devetdeset |
deset Enajst Dvanajst trinajst Štirinajst Petnajst Šestnajst Sedemnajst Osemnajst Devetnajst Dvajset Trideset Štirideset Petdeset šestdeset sedemdeset Osemdeset Devetdeset |
deset Enajst dvanajst trinajst štirinajst petnajst šestnajst sedemnajst osemnajst devetnajst dvajset trideset Sraka petdeset šestdeset sedemdeset osemdeset Devetdeset |
Približno deset Okrog enajstih Okrog dvanajstih Približno trinajst Približno štirinajst Okoli petnajst Okoli šestnajst Približno sedemnajst Približno osemnajst Okoli devetnajst Okoli dvajset Okoli trideset Oh sraka Okoli petdeset Okoli šestdeset Okrog sedemdeset Okoli osemdeset Okoli devetdeset |
Za branje drugih naravnih dvomestnih števil bomo uporabili podatke iz obeh tabel, razmislite o tem na primeru. Recimo, da moramo prebrati naravno dvomestno število 21. To število vsebuje 1 enoto in 2 desetici, tj. 20 in 1. Če se obrnemo na tabele, preberemo navedeno številko kot "enaindvajset", medtem ko zveze "in" med besedama ni treba izgovoriti. Recimo, da moramo v nekem stavku uporabiti določeno številko 21, ki označuje število predmetov v rodilniku: "ni 21 jabolk." V tem primeru bo izgovorjava zvenela takole: "ni enaindvajsetih jabolk."
Za jasnost navedimo še en primer: številko 76, ki se bere kot "šestinsedemdeset" in na primer "šestinsedemdeset ton".
| številka | Imenski primer | Genitiv | dajalnik | Tožilnik | Instrumentalni primer | Predložni |
| 100 200 300 400 500 600 700 800 900 |
sto Dvesto Tristo Štiri sto Petsto Šeststo Sedemsto Osemsto Devetsto |
Sta dvesto tristo štiri sto petsto šeststo Sedemsto osemsto devetsto |
Sta dvesto Tremstam štiri sto petsto Šeststo sedemsto osemsto Devetsto |
sto Dvesto Tristo Štiri sto Petsto Šeststo Sedemsto Osemsto Devetsto |
Sta dvesto Tristo štiri sto petsto šeststo sedemsto osemsto Devetsto |
Približno sto Okoli dvesto Okoli tristo Okrog štiristo Okrog petsto Okoli šeststo Okrog sedemsto Okrog osemsto Okoli devetsto |
Za popolno branje trimestnega števila uporabimo tudi podatke vseh navedenih tabel. Na primer, dano naravno število 305. To število ustreza 5 enotam, 0 deseticam in 3 stoticam: 300 in 5. Če vzamemo tabelo kot osnovo, beremo: "tristo pet" ali v deklinaciji po primerih, na primer takole: "tristo pet metrov."
Preberimo še eno številko: 543. V skladu s pravili tabel bo navedena številka zvenela takole: "petsto triinštirideset" ali v deklinaciji, na primer takole: "ne petsto triinštirideset rubljev."
Preidimo k splošnemu principu branja večmestnih naravnih števil: če želite prebrati večmestno število, ga morate razdeliti od desne proti levi v skupine po tri števke, skrajna leva skupina pa ima lahko 1, 2 ali 3 števke. . Take skupine imenujemo razredi.
Skrajno desni razred je razred enot; nato naslednji razred, levo - razred tisočih; nadalje - milijonski razred; potem pride razred milijard, ki mu sledi razred bilijonov. Naslednji razredi imajo tudi ime, vendar se naravna števila, sestavljena iz velikega števila znakov (16, 17 in več), redko uporabljajo pri branju, jih je precej težko zaznati na uho.
Za udobje zaznavanja zapisa so razredi ločeni drug od drugega z majhno alineo. Na primer 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .
| Razred bilijon |
Razred milijarde |
Razred milijonov |
Razred tisoč | Razred enote |
| 134 | 678 | |||
| 31 | 013 | 736 | ||
| 23 | 476 | 009 | 434 | |
| 2 | 533 | 467 | 001 | 222 |
Za branje večmestnega števila izmenično kličemo števila, ki ga sestavljajo (od leve proti desni, po razredih, dodamo ime razreda). Ime razreda enot se ne izgovori, prav tako se ne izgovorijo tisti razredi, ki sestavljajo tri števke 0. Če sta v enem razredu na levi strani ena ali dve števki 0, se pri branju nikakor ne uporabljata. Na primer, 054 se bere kot "štiriinpetdeset" ali 001 kot "ena".
Primer 1
Podrobno preučimo branje številke 2 533 467 001 222:
Število 2 beremo kot sestavino razreda bilijonov - "dva";
Če dodamo ime razreda, dobimo: "dva bilijona";
Preberemo naslednjo številko in dodamo ime ustreznega razreda: "petsto triintrideset milijard";
Nadaljujemo po analogiji in beremo naslednji razred na desni: "štiristo sedeminšestdeset milijonov";
V naslednjem razredu vidimo dve števki 0 na levi strani. Po zgornjih pravilih branja se števke 0 zavržejo in ne sodelujejo pri branju zapisa. Potem dobimo: "en tisoč";
Zadnji razred enot beremo, ne da bi dodali njegovo ime - "dvesto dvaindvajset".
Tako bo številka 2 533 467 001 222 zvenela takole: dva trilijona petsto triintrideset milijard štiristo sedeminšestdeset milijonov tisoč dvesto dvaindvajset. Po tem principu lahko preberemo tudi druga podana števila:
31 013 736 - enaintrideset milijonov trinajst tisoč sedemsto šestintrideset;
134 678 - sto štiriintrideset tisoč šeststo oseminsedemdeset;
23 476 009 434 - triindvajset milijard štiristo šestinsedemdeset milijonov devet tisoč štiristo štiriintrideset.
Tako je osnova za pravilno branje večmestnih števil sposobnost razdelitve večmestnega števila na razrede, poznavanje ustreznih imen in razumevanje principa branja dvo- in trimestnih števil.
Kot je že razvidno iz vsega zgoraj navedenega, je njegova vrednost odvisna od položaja, na katerem je številka v zapisu številke. To pomeni, da na primer številka 3 v naravnem številu 314 označuje število stotin, in sicer 3 stotice. Število 2 je število desetic (1 desetica), število 4 pa število enot (4 enote). V tem primeru bomo rekli, da je število 4 na mestu enic in je vrednost mesta enot v danem številu. Število 1 je na mestu desetic in služi kot vrednost mesta desetic. Število 3 se nahaja na mestu stotic in je vrednost mesta stotic.
Opredelitev 7
praznjenje je položaj števke v zapisu naravnega števila, pa tudi vrednost te števke, ki je določena z njenim položajem v danem številu.
Razelektritve imajo svoja imena, uporabili smo jih že zgoraj. Od desne proti levi si sledijo števke: enote, desetice, stotine, tisočice, desettisočice itd.
Za udobje pomnjenja lahko uporabite naslednjo tabelo (označujemo 15 števk):
Razjasnimo to podrobnost: število števk v dani večmestni številki je enako številu znakov v vnosu številke. Na primer, ta tabela vsebuje imena vseh števk za številko s 15 znaki. Naslednji izpusti imajo tudi imena, vendar se uporabljajo zelo redko in so zelo neprijetni za poslušanje.
S pomočjo takšne tabele je možno razvijati spretnost določanja ranga tako, da dano naravno število vpišemo v tabelo tako, da skrajno desno števko zapišemo v števko enot in nato še v vsako števko za števko. Na primer, zapišimo večmestno naravno število 56 402 513 674 takole:
Bodite pozorni na številko 0, ki se nahaja v izpustu deset milijonov - pomeni odsotnost enot te kategorije.
Uvedemo tudi pojma najnižje in najvišje števke večmestnega števila.
Opredelitev 8
Najnižji (mlajši) rang vsako večvredno naravno število je števka enote.
Najvišja (starejša) kategorija poljubnega večmestnega naravnega števila - števka, ki ustreza skrajno levi števki v zapisu danega števila.
Tako je na primer v številu 41.781: najnižji rang je rang enot; najvišji rang je številka desettisoč.
Iz tega logično sledi, da je mogoče govoriti o seniornosti števk med seboj. Vsaka naslednja številka pri premikanju od leve proti desni je nižja (mlajša) od prejšnje. In obratno: pri premikanju z desne proti levi je vsaka naslednja števka višja (starejša) od prejšnje. Na primer, številka tisočic je starejša od številke stotic, vendar mlajša od številke milijonov.
Naj pojasnimo, da se pri reševanju nekaterih praktičnih primerov ne uporablja samo naravno število, temveč vsota bitnih členov danega števila.
Na kratko o decimalnem številskem sistemu
Opredelitev 9Notacija- metoda zapisovanja števil z uporabo znakov.
Pozicijski številski sistemi- tiste, pri katerih je vrednost števke v številu odvisna od njenega položaja v zapisu števila.
Glede na to definicijo lahko rečemo, da smo pri preučevanju naravnih števil in njihovega zgornjega zapisa uporabljali pozicijski številski sistem. Številka 10 ima tukaj posebno mesto. Kar naprej štejemo desetice: deset enot naredi desetico, deset desetic se združi v stotico itd. Število 10 služi kot osnova tega številskega sistema, sam sistem pa se imenuje tudi decimalni.
Poleg njega obstajajo še drugi številski sistemi. Računalništvo na primer uporablja binarni sistem. Ko merimo čas, uporabljamo šestdesetinski številski sistem.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Matematika se je pojavila iz splošne filozofije okoli šestega stoletja pr. e., in od tega trenutka se je začel njen zmagoviti pohod po svetu. Vsaka razvojna stopnja je prinesla nekaj novega – elementarno štetje se je razvilo, preoblikovalo v diferencialni in integralni račun, stoletja so se spreminjala, formule so postajale vse bolj zmedene in prišel je trenutek, ko se je »začela najbolj zapletena matematika – iz nje so izginila vsa števila«. Toda kaj je bila osnova?
Začetek časa
Naravna števila so se pojavila skupaj s prvimi matematičnimi operacijami. Enkrat hrbtenica, dve hrbtenici, tri hrbtenice ... Pojavili so se zahvaljujoč indijskim znanstvenikom, ki so izpeljali prvo položajno
Beseda "pozicionalnost" pomeni, da je lokacija vsake števke v številu strogo določena in ustreza njeni kategoriji. Na primer, števili 784 in 487 sta enaki števili, vendar števili nista enakovredni, saj prvo vključuje 7 stotic, drugo pa le 4. Inovacijo Indijcev so povzeli Arabci, ki so številki prinesli v obliki, ki jo poznamo zdaj.
V starih časih so številke dobile mističen pomen, Pitagora je verjel, da je število osnova za nastanek sveta skupaj z glavnimi elementi - ognjem, vodo, zemljo, zrakom. Če vse obravnavamo samo z matematične strani, kaj je potem naravno število? Polje naravnih števil označujemo z N in je neskončen niz celih in pozitivnih števil: 1, 2, 3, … + ∞. Nič je izključena. Uporablja se predvsem za štetje predmetov in označevanje vrstnega reda.
Kaj je v matematiki? Peanovi aksiomi
Polje N je osnovno polje, na katerem sloni elementarna matematika. Sčasoma so polja celih števil, racionalna,
Delo italijanskega matematika Giuseppeja Peana je omogočilo nadaljnje strukturiranje aritmetike, doseglo njeno formalnost in utrlo pot nadaljnjim zaključkom, ki so presegli področje N.
Kaj je naravno število, je bilo pojasnjeno prej v preprostem jeziku, v nadaljevanju pa bomo obravnavali matematično definicijo, ki temelji na Peanovih aksiomih.
- Ena velja za naravno število.
- Število, ki sledi naravnemu številu, je naravno število.
- Pred ena ni naravnega števila.
- Če število b sledi številu c in številu d, potem je c=d.
- Aksiom indukcije, ki posledično pokaže, kaj je naravno število: če neka trditev, ki je odvisna od parametra, velja za število 1, potem predpostavimo, da velja tudi za število n iz polja naravnih števil N. Potem trditev velja tudi za n =1 iz polja naravnih števil N.
Osnovne operacije za polje naravnih števil
Ker je polje N postalo prvo za matematične izračune, se nanj nanašajo tako domene definicije kot obsegi vrednosti številnih operacij spodaj. So zaprti in ne. Glavna razlika je v tem, da zaprte operacije zajamčeno pustijo rezultat znotraj nabora N, ne glede na to, za katera števila gre. Dovolj je, da so naravne. Rezultat preostalih številskih interakcij ni več tako nedvoumen in je neposredno odvisen od tega, kakšna števila so vključena v izraz, saj je lahko v nasprotju z glavno definicijo. Torej, zaprte operacije:
- seštevanje - x + y = z, kjer so x, y, z vključeni v polje N;
- množenje - x * y = z, kjer so x, y, z vključeni v polje N;
- potenciranje - x y , kjer sta x, y vključena v polje N.
Preostale operacije, katerih rezultat morda ne obstaja v kontekstu definicije "kaj je naravno število", so naslednje:
Lastnosti števil, ki pripadajo polju N
Vse nadaljnje matematično razmišljanje bo temeljilo na naslednjih lastnostih, najbolj trivialnih, a nič manj pomembnih.
- Komutativna lastnost seštevanja je x + y = y + x, kjer sta števili x, y vključeni v polje N. Ali dobro znano "vsota se ne spremeni zaradi spremembe mest členov."
- Komutativna lastnost množenja je x * y = y * x, kjer sta števili x, y vključeni v polje N.
- Asociativna lastnost seštevanja je (x + y) + z = x + (y + z), kjer so x, y, z vključeni v polje N.
- Asociativna lastnost množenja je (x * y) * z = x * (y * z), kjer so števila x, y, z vključena v polje N.
- porazdelitvena lastnost - x (y + z) = x * y + x * z, kjer so števila x, y, z vključena v polje N.
Pitagorejska tabela
Eden od prvih korakov v poznavanju celotne strukture elementarne matematike s strani šolarjev, potem ko so sami razumeli, katera števila se imenujejo naravna, je Pitagorejska tabela. Lahko ga štejemo ne samo z vidika znanosti, ampak tudi kot dragocen znanstveni spomenik.
Ta tabela množenja je skozi čas doživela številne spremembe: iz nje so odstranili ničlo, številke od 1 do 10 pa označujejo same sebe, ne da bi upoštevale vrstni red (stotine, tisočice ...). Je tabela, v kateri so naslovi vrstic in stolpcev številke, vsebina celic njihovega presečišča pa je enaka njihovemu produktu.
V praksi poučevanja v zadnjih desetletjih se je pojavila potreba po pomnjenju Pitagorejske tabele »po vrsti«, torej pomnjenje je šlo najprej. Množenje z 1 je bilo izključeno, ker je bil rezultat 1 ali več. Medtem lahko v tabeli s prostim očesom vidite vzorec: produkt številk raste za en korak, kar je enako naslovu vrstice. Tako nam drugi faktor pokaže, kolikokrat moramo vzeti prvega, da dobimo želeni izdelek. Ta sistem je veliko bolj priročen od tistega, ki so ga uporabljali v srednjem veku: ljudje so kljub razumevanju, kaj je naravno število in kako nepomembno je, uspeli zakomplicirati vsakodnevno štetje s sistemom, ki temelji na potencah dvojke.
Podmnožica kot zibelka matematike
Polje naravnih števil N trenutno obravnavamo le kot eno od podmnožic kompleksnih števil, vendar to ne pomeni, da so v znanosti manj vredni. Naravno število je prva stvar, ki se jo otrok nauči s preučevanjem sebe in sveta okoli sebe. En prst, dva prsta ... Zahvaljujoč njemu oseba razvije logično razmišljanje, pa tudi sposobnost ugotavljanja vzroka in sklepanja posledice, s čimer utira pot velikim odkritjem.
Opredelitev
Naravna števila imenujemo števila, namenjena štetju predmetov. Za zapis naravnih števil se uporablja 10 arabskih številk (0–9), ki tvorijo osnovo decimalnega številskega sistema, ki je splošno sprejet za matematične izračune.
Zaporedje naravnih števil
Naravna števila sestavljajo vrsto, ki se začne pri 1 in zajema množico vseh pozitivnih celih števil. Tako zaporedje sestavljajo števila 1,2,3, ... . To pomeni, da v naravni seriji:
- Obstaja najmanjše število in ni največjega.
- Vsako naslednje število je večje od prejšnjega za 1 (izjema je enota sama).
- Ko gredo števila v neskončnost, rastejo v nedogled.
Včasih se v vrsto naravnih števil vnese tudi 0. To je dopustno in takrat govorijo o podaljšan naravna serija.
Razredi naravnih števil
Vsaka števka naravnega števila izraža določeno števko. Zadnji je vedno število enot v številu, tisti pred njim je število desetic, tretji od konca je število stotic, četrti je število tisočic itd.
- pri številu 276: 2 stotici, 7 desetic, 6 enot
- v številu 1098: 1 tisoč, 9 desetic, 8 enic; mesta stotic tukaj ni, ker je izraženo kot nič.
Pri velikih in zelo velikih številkah lahko opazite stalen trend (če številko pregledate od desne proti levi, to je od zadnje števke do prve):
- zadnje tri števke v številu so enote, desetice in stotice;
- prejšnji trije so enote, desetice in stotisoči;
- trije pred njimi (tj. 7., 8. in 9. številka števila, šteto od konca) so enote, desetice in stotine milijonov itd.
To pomeni, da imamo vedno opravka s tremi števkami, kar pomeni enote, desetice in stotice večjega imena. Takšne skupine tvorijo razrede. In če se morate v vsakdanjem življenju bolj ali manj pogosto ukvarjati s prvimi tremi razredi, potem je treba našteti druge, saj se vsi ne spomnijo njihovih imen na pamet.
- 4. razred, ki sledi razredu milijonov in predstavlja števila 10-12 števk, se imenuje milijarda (ali milijarda);
- 5. razred - bilijon;
- 6. razred - kvadrilijon;
- 7. razred - kvintiljon;
- 8. razred - sextillion;
- 9. razred - septiljon.
Seštevanje naravnih števil
Seštevanje naravnih števil je aritmetična operacija, ki vam omogoča, da dobite število, ki vsebuje toliko enot, kot jih je seštevanih števil.
Znak za seštevanje je znak "+". Seštevana števila imenujemo členi, rezultat pa vsota.
Majhna števila se dodajajo (seštevajo) ustno, pisno pa so takšna dejanja zapisana v vrstici.
Večmestna števila, ki jih je težko sešteti v mislih, so običajno seštevana v stolpcu. Za to številke zapišemo drugo pod drugo, poravnane z zadnjo števko, to pomeni, da pod številko enot zapišemo številko enot, pod številko stotic itd. Nato morate števke sešteti v parih. Če pride do dodajanja števk s prehodom skozi deset, potem je ta deset fiksirana kot enota nad števko na levi (to je za njo) in se dodaja skupaj s števkami te števke.
Če v stolpec ne dodate 2, ampak več številk, potem pri seštevanju števk kategorije morda ni 1 ducat, ampak več, odveč. V tem primeru se število takih deset prenese na naslednjo številko.
Odštevanje naravnih števil
Odštevanje je aritmetična operacija, obratna od seštevanja, ki se zmanjša na dejstvo, da morate glede na količino in enega od izrazov najti drugega - neznanega izraza. Število, od katerega se odšteje, se imenuje minuend; število, ki se odšteje, je odštevanec. Rezultat odštevanja imenujemo razlika. Znak, ki označuje operacijo odštevanja, je "-".
Pri prehodu k seštevanju se odštevanec in razlika spremenita v člen, zmanjšano pa v vsoto. S seštevanjem običajno preverjamo pravilnost izvedenega odštevanja in obratno.
Tukaj je 74 manjšec, 18 odštevanec, 56 razlika.
Predpogoj za odštevanje naravnih števil je naslednji: odštevanec mora biti nujno večji od odštevalca. Samo v tem primeru bo razlika tudi naravno število. Če se dejanje odštevanja izvede za razširjeno naravno vrsto, potem je dovoljeno, da je odštevanec enak odštevancu. In rezultat odštevanja bo v tem primeru 0.
Opomba: če je odštevanec enak nič, potem operacija odštevanja ne spremeni vrednosti odštevalca.
Odštevanje večmestnih števil običajno poteka v stolpcu. Števila zapišite na enak način kot pri seštevanju. Odštevanje se izvede za ustrezne števke. Če se izkaže, da je minuend manjši od subtrahenda, se iz prejšnje (leve) števke vzame ena, ki se po prenosu seveda spremeni v 10. Ta desetica se sešteje s številko zmanjšanega dano števko in nato odštejemo. Nadalje, pri odštevanju naslednje številke je treba upoštevati, da je zmanjšano postalo 1 manj.
Produkt naravnih števil
Zmnožek (ali množenje) naravnih števil je aritmetična operacija, ki je iskanje vsote poljubnega števila enakih členov. Za zapis operacije množenja uporabite znak "·" (včasih "×" ali "*"). Na primer: 3 5=15.
Dejanje množenja je nepogrešljivo, ko je treba dodati veliko število členov. Na primer, če morate število 4 sešteti 7-krat, potem je množenje 4 s 7 lažje kot tole seštevanje: 4+4+4+4+4+4+4.
Števila, ki jih pomnožimo, imenujemo faktorji, rezultat množenja je produkt. V skladu s tem lahko izraz "delo" glede na kontekst izraža tako proces množenja kot njegov rezultat.
Večmestna števila množimo v stolpcu. Kajti to število je zapisano na enak način kot za seštevanje in odštevanje. Priporočljivo je, da najprej (zgoraj) napišete, katera od 2 številk je daljša. V tem primeru bo postopek množenja preprostejši in zato bolj racionalen.
Pri množenju v stolpcu se števke vsake števke drugega števila zaporedno pomnožijo s števkami prvega števila, začenši z njegovega konca. Ko najdejo prvo takšno delo, zapišejo število enot in upoštevajo število desetic. Pri množenju števke 2. števila z naslednjo števko 1. števila se zmnožku prišteje število, ki ga imamo v mislih. In spet zapišejo število enot dobljenega rezultata in si zapomnijo število desetic. Pri množenju z zadnjo števko 1. števila se tako dobljeno število zapiše v celoti.
Rezultate množenja števk 2. števke drugega števila zapišemo v drugo vrstico in jo premaknemo za 1 celico v desno. In tako naprej. Kot rezultat bo pridobljena "lestev". Vse nastale vrstice številk je treba sešteti (po pravilu seštevanja v stolpcu). Za prazne celice velja, da so napolnjene z ničlami. Dobljena vsota je končni produkt.
Opomba
- Zmnožek katerega koli naravnega števila z 1 (ali 1 s številom) je enak številu samemu. Na primer: 376 1=376; 1 86=86.
- Če je eden od faktorjev ali oba faktorja enaka 0, je produkt enak 0. Na primer: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.
Deljenje naravnih števil
Deljenje imenujemo aritmetična operacija, s pomočjo katere lahko glede na znani zmnožek in enega od faktorjev najdemo drugega - neznanega faktorja. Deljenje je obratno od množenja in se uporablja za preverjanje, ali je bilo množenje pravilno izvedeno (in obratno).
Število, ki se deli, se imenuje deljivo; število, s katerim se deli, je delitelj; rezultat deljenja imenujemo količnik. Znak delitve je ":" (včasih, manj pogosto - "÷").
Tukaj je 48 dividenda, 6 je delitelj in 8 je količnik.
Vseh naravnih števil ni mogoče deliti med seboj. V tem primeru se deljenje izvede z ostankom. Sestavljen je iz dejstva, da je za delitelj izbran tak faktor, da bi bil njegov produkt z deliteljem število, ki je čim bližje vrednosti dividende, vendar manjše od nje. Delitelj se pomnoži s tem faktorjem in odšteje od dividende. Razlika bo preostanek delitve. Zmnožek delitelja s faktorjem imenujemo nepopolni količnik. Pozor: ostanek mora biti manjši od izbranega množitelja! Če je ostanek večji, to pomeni, da je množitelj napačno izbran in ga je treba povečati.
Izberemo faktor za 7. V tem primeru je to število 5. Najdemo nepopoln količnik: 7 5 \u003d 35. Izračunaj ostanek: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).
Večmestna števila so razdeljena v stolpec. Da bi to naredili, sta dividenda in delitelj napisana drug ob drugem, pri čemer sta delitelj ločena z navpično in vodoravno črto. V dividendi se izbere prva števka ali prvih nekaj števk (na desni), ki naj bo število, ki minimalno zadošča za deljenje z deliteljem (to pomeni, da mora biti to število večje od delitelja). Za to število je izbran nepopolni količnik, kot je opisano v pravilu deljenja z ostankom. Pod deliteljem je zapisano število množitelja, s katerim najdemo delni količnik. Nepopoln količnik zapišemo pod številom, ki smo ga delili, poravnano desno. Poiščite njihovo razliko. Naslednjo števko dividende porušimo tako, da jo zapišemo poleg te razlike. Pri dobljenem številu nepopoln količnik znova poiščemo tako, da zapišemo številko izbranega faktorja, poleg prejšnjega pod deliteljem. In tako naprej. Takšna dejanja se izvajajo, dokler ne zmanjka številk dividende. Po tem se delitev šteje za dokončano. Če sta dividenda in delitelj razdeljena v celoti (brez ostanka), bo zadnja razlika dala nič. V nasprotnem primeru bo vrnjena preostala številka.
Potencevanje
Potenciranje je matematična operacija, ki sestoji iz množenja poljubnega števila enakih števil. Na primer: 2 2 2 2.
Takšni izrazi so zapisani kot: a x,
kje a je število, pomnoženo s samim seboj x je število takšnih dejavnikov.
Praštevila in sestavljena naravna števila
Vsako naravno število, razen 1, lahko delimo z najmanj 2 številoma - enico in samim seboj. Na podlagi tega kriterija delimo naravna števila na praštevila in sestavljena.
Praštevila so števila, ki so deljiva samo z 1 in samim seboj. Števila, ki so deljiva z več kot ti dvema številoma, se imenujejo sestavljena števila. Enota, ki je deljiva samo sama s seboj, ni niti praštevilna niti sestavljena.
Števila so praštevila: 2,3,5,7,11,13,17,19 itd. Primeri sestavljenih števil: 4 (deljivo z 1,2,4), 6 (deljivo z 1,2,3,6), 20 (deljivo z 1,2,4,5,10,20).
Vsako sestavljeno število je mogoče razstaviti na prafaktorje. V tem primeru praštevila razumemo kot njegove delitelje, ki so praštevila.
Primer faktorizacije na prafaktorje:
Delitelji naravnih števil
Delitelj je število, s katerim lahko dano število delimo brez ostanka.
V skladu s to definicijo imajo preprosta naravna števila 2 delitelja, sestavljena števila pa več kot 2 delitelja.
Veliko števil ima skupne delitelje. Skupni delitelj je število, s katerim so dana števila deljiva brez ostanka.
- Števili 12 in 15 imata skupni delitelj 3
- Števili 20 in 30 imata skupne delitelje 2,5,10
Posebej pomemben je največji skupni delitelj (GCD). To število je še posebej uporabno, če ga lahko najdemo za zmanjševanje ulomkov. Da bi ga našli, je potrebno razstaviti dana števila na prafaktorje in jih predstaviti kot produkt njihovih skupnih prafaktorjev, vzetih v njihovih najmanjših potencah.
Potrebno je najti GCD števil 36 in 48.
Deljivost naravnih števil
Še zdaleč ni vedno mogoče "na oko" ugotoviti, ali je eno število deljivo z drugim brez ostanka. V takšnih primerih je uporaben ustrezen test deljivosti, to je pravilo, s katerim lahko v nekaj sekundah ugotovite, ali je mogoče številke deliti brez ostanka. Za označevanje deljivosti se uporablja znak »«.
Najmanjši skupni večkratnik
Ta vrednost (označena z LCM) je najmanjše število, ki je deljivo z vsako od danih enic. LCM lahko najdemo za poljubno množico naravnih števil.
LCM, tako kot GCD, ima pomemben uporabni pomen. Torej je LCM tisti, ki ga je treba najti tako, da navadne ulomke zreduciramo na skupni imenovalec.
LCM se določi s faktorjenjem danih števil na prafaktorje. Za njegovo tvorbo se vzame produkt, sestavljen iz vsakega od pojavljajočih se (vsaj za 1 število) prafaktorjev, predstavljenih do največje stopnje.
Potrebno je najti LCM števil 14 in 24.
Povprečje
Aritmetična sredina poljubnega (vendar končnega) števila naravnih števil je vsota vseh teh števil, deljena s številom členov:
Aritmetična sredina je neka povprečna vrednost za množico števil.
Podana so števila 2,84,53,176,17,28. Potrebno je najti njihovo aritmetično sredino.
Nalaganje...