Kako zaokrožiti številke navzgor in navzdol z uporabo Excelovih funkcij. Enostavna pravila za zaokroževanje števil po decimalni vejici

Metode

Različna polja lahko uporabljajo različne metode zaokroževanja. Pri vseh teh metodah so "dodatni" predznaki nastavljeni na nič (zavrženi), predznak pred njimi pa se po nekem pravilu popravi.

• Zaokroževanje na najbližje celo število(Angleščina) zaokroževanje) - najpogosteje uporabljeno zaokroževanje, pri katerem je število zaokroženo na celo število, modul razlike, s katerim ima to število najmanj. Na splošno, ko je število v decimalnem sistemu zaokroženo na N-to decimalno mesto, je pravilo mogoče oblikovati na naslednji način:
  • če N+1 znakov< 5 , potem se N-ti predznak ohrani, N+1 in vse naslednje pa so nastavljene na nič;
  • če N+1 znak ≥ 5, potem se N-ti predznak poveča za eno, N + 1 in vsi naslednji pa nastavljeni na nič;
  Na primer: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
• Zaokroževanje navzdol po modulu(zaokroževanje proti nič, celo število eng. popraviti, skrajšati, celo število) je najbolj »enostavno« zaokroževanje, saj se po ničlenju »ekstra« predznakov ohrani prejšnji predznak. Na primer, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Zaokroževanje navzgor(zaokroži na +∞, zaokroži navzgor, eng. strop) - če ničelni predznaki niso enaki nič, se prejšnji predznak poveča za ena, če je število pozitivno, ali ostane, če je število negativno. V ekonomskem žargonu - zaokroževanje v korist prodajalca, upnika(osebe, ki prejme denar). Zlasti 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• Zaokroževanje navzdol(zaokroži na −∞, zaokroži navzdol, engl. nadstropje) - če ničelni predznaki niso enaki nič, se prejšnji predznak ohrani, če je število pozitivno, ali poveča za eno, če je število negativno. V ekonomskem žargonu - zaokroževanje v korist kupca, dolžnika(oseba, ki daje denar). Tukaj je 2,6 → 2, −2,6 → −3.
• Zaokroževanje po modulu(zaokroži proti neskončnosti, zaokroži stran od nič) je razmeroma redko uporabljena oblika zaokroževanja. Če ničelni znaki niso enaki nič, se prejšnji znak poveča za eno.

Možnosti zaokroževanja 0,5 na najbližje celo število

Pravila zaokroževanja zahtevajo ločen opis za poseben primer, ko (N+1)-ta številka = 5 in naslednje števke so nič. Če v vseh drugih primerih zaokroževanje na najbližje celo število zagotavlja manjšo napako pri zaokroževanju, potem je za ta primer značilno, da je za posamezno zaokroževanje formalno vseeno, ali ga narediti "navzgor" ali "dol" - v obeh primerih vnese se napaka natanko 1/2 najmanjše pomembne števke. Za ta primer obstajajo naslednje različice pravila zaokroževanja na najbližje celo število:

• Matematično zaokroževanje- zaokroževanje je vedno navzgor (prejšnja številka se vedno poveča za eno).
• Zaokroževanje bank(Angleščina) bankirjevo zaokroževanje) - zaokroževanje v tem primeru se izvede na najbližje sodo število, to je 2,5 → 2, 3,5 → 4.
• Naključno zaokroževanje- naključno zaokroževanje navzgor ali navzdol, vendar z enako verjetnostjo (lahko se uporablja v statistiki).
• Nadomestno zaokroževanje- Zaokroževanje poteka izmenično navzgor ali navzdol.

V vseh primerih, ko (N + 1)-ti predznak ni enak 5 ali naslednji predznaki niso enaki nič, se zaokroži po običajnih pravilih: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Matematično zaokroževanje preprosto formalno ustreza splošnemu pravilu zaokroževanja (glej zgoraj). Njegova pomanjkljivost je, da pri zaokroževanju velikega števila vrednosti lahko pride do kopičenja. napake pri zaokroževanju. Tipičen primer: zaokroževanje denarnih zneskov na cele rublje. Torej, če je v registru 10.000 vrstic 100 vrstic z zneski, ki vsebujejo vrednost 50 v kopejkih (in to je zelo realna ocena), potem ko so vse takšne vrstice zaokrožene "navzgor", se vsota " skupaj« po zaokroženem registru bo 50 rubljev več od natančnega .

Ostale tri možnosti so izumljene le zato, da bi zmanjšali skupno napako vsote pri zaokroževanju velikega števila vrednosti. Zaokroževanje "na najbližji sodo" temelji na predpostavki, da bo pri velikem številu zaokroženih vrednosti, ki imajo 0,5 v zaokroženem ostanku, v povprečju polovica levo in polovica desno od najbližjega soda, torej napake pri zaokroževanju se bodo medsebojno izničile. Strogo gledano, ta predpostavka velja le, če ima niz zaokroženih številk lastnosti naključnega niza, kar običajno drži v računovodskih aplikacijah, kjer govorimo o cenah, zneskih na računih itd. Če je predpostavka kršena, lahko zaokroževanje "na sodo" povzroči sistematične napake. V takih primerih se najbolje obneseta naslednji dve metodi.

Zadnji dve možnosti zaokroževanja zagotavljata, da je približno polovica posebnih vrednosti zaokrožena v eno smer in polovica v drugo. Toda izvajanje takšnih metod v praksi zahteva dodatne napore za organizacijo računalniškega procesa.

Aplikacije

Zaokroževanje se uporablja za delo s številkami znotraj števila števk, ki ustreza dejanski natančnosti parametrov izračuna (če so te vrednosti tako ali drugače izmerjene realne vrednosti), realno dosegljivi natančnosti izračuna oz. želeno natančnost rezultata. V preteklosti je bilo zaokroževanje vmesnih vrednosti in rezultata praktičnega pomena (ker lahko pri izračunu na papirju ali uporabi primitivnih naprav, kot je abakus, upoštevanje dodatnih decimalnih mest resno poveča obseg dela). Zdaj ostaja element znanstvene in inženirske kulture. V računovodskih aplikacijah je poleg tega morda potrebna uporaba zaokroževanja, vključno z vmesnimi, za zaščito pred računskimi napakami, povezanimi s končno bitno zmogljivostjo računalniških naprav.

Uporaba zaokroževanja pri delu s številkami z omejeno natančnostjo

Realne fizikalne količine se vedno merijo z določeno končno natančnostjo, ki je odvisna od instrumentov in metod merjenja in je ocenjena z največjim relativnim ali absolutnim odklonom neznane dejanske vrednosti od izmerjene, ki v decimalnem prikazu vrednosti ustreza bodisi določeno število pomembnih števk ali na določeno mesto v zapisu števila, pri čemer so vsa števila za (desno) nepomembna (ležijo v merski napaki). Sami izmerjeni parametri so zabeleženi s tolikšnim številom znakov, da so vse številke zanesljive, morda je zadnja dvomljiva. Napaka pri matematičnih operacijah s številom omejene natančnosti se ohranja in spreminja po znanih matematičnih zakonitostih, tako da je, ko se v nadaljnjih izračunih pojavijo vmesne vrednosti in rezultati z velikim številom števk, pomemben le del teh števk. Preostale številke, prisotne v vrednostih, dejansko ne odražajo nobene fizične realnosti in zahtevajo le čas za izračune. Posledično se vmesne vrednosti in rezultati izračunov z omejeno natančnostjo zaokrožijo na število decimalnih mest, ki odraža dejansko natančnost dobljenih vrednosti. V praksi je običajno priporočljivo shraniti še eno številko v vmesnih vrednostih za dolge "verižne" ročne izračune. Pri uporabi računalnika vmesna zaokroževanja v znanstvenih in tehničnih aplikacijah največkrat izgubijo pomen, zaokroži se le rezultat.

Torej, na primer, če je sila 5815 gf podana z natančnostjo grama sile in dolžino ramen 1,4 m s natančnostjo centimetra, potem je moment sile v kgf po formuli, v primeru formalnega izračuna z vsemi predznaki bo enako: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Če pa upoštevamo merilno napako, potem dobimo, da je mejna relativna napaka prve vrednosti 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , drugič - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , bo relativna napaka rezultata po pravilu napake operacije množenja (pri množenju približnih vrednosti se relativne napake seštejejo) enaka 7,3 10 −3 , kar ustreza največji absolutni napaki rezultata ±0,059 kgf m! To pomeni, da je v resnici ob upoštevanju napake lahko rezultat od 8,082 do 8,200 kgf m, tako da je pri izračunani vrednosti 8,141 kgf m samo prva številka popolnoma zanesljiva, tudi druga je že dvomljiva! Pravilno bo zaokrožiti rezultat izračuna na prvo dvomljivo številko, to je na desetinke: 8,1 kgf m, ali, če je potrebno, natančnejšo navedbo stopnje napake, predstaviti v obliki, zaokroženi na eno ali dve decimalna mesta z navedbo napake: 8,14 ± 0,06 kgf m.

Empirična pravila aritmetike z zaokroževanjem

V primerih, ko ni treba natančno upoštevati računskih napak, ampak je treba le približno oceniti število natančnih števil kot rezultat izračuna po formuli, lahko uporabite niz preprostih pravil za zaokrožene izračune:

1. Vse neobdelane vrednosti so zaokrožene na dejansko merilno natančnost in zabeležene z ustreznim številom pomembnih števk, tako da so vse številke v decimalnem zapisu zanesljive (dovoljeno je, da je zadnja številka dvomljiva). Po potrebi se vrednosti zabeležijo s pomembnimi ničlami ​​na desni strani, tako da je v zapisu navedeno dejansko število zanesljivih znakov (na primer, če je dolžina 1 m dejansko izmerjena na najbližji centimeter, je "1,00 m" napisano tako, da je razvidno, da sta dva znaka v zapisu za decimalno vejico zanesljiva), ali pa je natančnost izrecno navedena (na primer 2500 ± 5 m - tukaj so zanesljive samo desetice in jih je treba zaokrožiti navzgor) .
2. Vmesne vrednosti so zaokrožene z eno "nadomestno" številko.
3. Pri seštevanju in odštevanju se rezultat zaokroži na zadnjo decimalno mesto najmanj natančnega parametra (npr. pri izračunu vrednosti 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m se rezultat zaokroži na desetinke metra, tj. je do 2,6 m). Hkrati je priporočljivo izvajati izračune v takem vrstnem redu, da se izognemo odštevanju bližnjih številk, in izvajati operacije s številkami, če je mogoče, v naraščajočem vrstnem redu njihovih modulov.
4. Pri množenju in deljenju se rezultat zaokroži na najmanjše število pomembnih števk, ki jih imajo parametri (na primer pri izračunu hitrosti enakomernega gibanja telesa na razdalji 2,5 10 2 m za 600 s mora biti rezultat zaokroženo na 4,2 m/s, saj ima razdalja dve številki, čas pa tri, ob predpostavki, da so vse številke v vnosu pomembne).
5. Pri izračunu vrednosti funkcije f(x) treba je oceniti vrednost modula izvoda te funkcije v bližini računske točke. Če (|f"(x)| ≤ 1), potem je rezultat funkcije natančen na isto decimalno mesto kot argument. V nasprotnem primeru rezultat vsebuje manj natančnih decimalnih mest za znesek dnevnik 10 (|f"(x)|), zaokroženo na najbližje celo število.

Kljub nestrogosti se zgornja pravila v praksi dokaj dobro obnesejo, predvsem zaradi precej velike verjetnosti medsebojnega odpravljanja napak, ki se pri natančnem upoštevanju napak običajno ne upošteva.

Napake

Pogosto pride do zlorabe neokroglih številk. Na primer:

• Zapišite številke, ki imajo nizko natančnost, v nezaokroženi obliki. V statistiki: če so 4 osebe od 17 odgovorile z "da", potem napišejo "23,5%" (medtem ko je "24%" pravilno).
• Uporabniki kazalca včasih razmišljajo takole: "kazalec se je ustavil med 5,5 in 6 bližje 6, naj bo 5,8" - tudi to je prepovedano (gradacija naprave običajno ustreza njeni dejanski točnosti). V tem primeru morate reči "5,5" ali "6".

Poglej tudi

• Obdelava opazovanja
• Napake pri zaokroževanju

Opombe

Literatura

• Henry S. Warren, ml. 3. poglavje// Algoritemski triki za programerje = Hacker's Delight. - M .: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4

Da bi razmislili o posebnosti zaokroževanja določenega števila, je treba analizirati konkretne primere in nekaj osnovnih informacij.

Kako zaokrožiti številke na stotinke

• Če želite število zaokrožiti na stotinke, morate za decimalno vejico pustiti dve števki, ostale pa seveda zavržemo. Če je prva številka, ki jo je treba zavreči, 0, 1, 2, 3 ali 4, potem prejšnja številka ostane nespremenjena.
• Če je zavržena številka 5, 6, 7, 8 ali 9, morate prejšnjo številko povečati za eno.
• Na primer, če morate zaokrožiti številko 75,748, potem po zaokroževanju dobimo 75,75. Če imamo 19,912 , potem kot rezultat zaokroževanja ali bolje rečeno, če ni potrebe po uporabi, dobimo 19,91 . V primeru 19.912 številka za stotinkami ni zaokrožena, zato jo preprosto zavržemo.
• Če govorimo o številu 18,4893 , nato se zaokroži na stotinke, kot sledi: prva številka, ki jo je treba zavreči, je 3, torej ne pride do spremembe. Izkazalo se je 18.48.
• Pri številu 0,2254 imamo prvo številko, ki jo pri zaokroževanju na stotinke zavržemo. To je pet, kar pomeni, da je treba prejšnjo številko povečati za eno. To pomeni, da dobimo 0,23.
• Obstajajo tudi primeri, ko zaokroževanje spremeni vse števke v številu. Če na primer zaokrožimo število 64,9972 na stotinke, vidimo, da število 7 zaokroži prejšnje. Dobimo 65,00.

Kako zaokrožiti števila na cela števila

Pri zaokroževanju števil na cela števila je situacija enaka. Če imamo na primer 25,5, potem po zaokroževanju dobimo 26. Če je za decimalno vejico dovolj števk, gre zaokroževanje takole: po zaokroženju 4,371251 dobimo 4 .

Zaokroževanje na desetinke poteka na enak način kot v primeru stotink. Na primer, če moramo zaokrožiti število 45,21618, dobimo 45,2. Če je druga številka za deseto 5 ali več, se prejšnja številka poveča za eno. Na primer, lahko zaokrožite 13,6734, da dobite 13,7.

Pomembno je biti pozoren na številko, ki se nahaja pred tisto, ki je odrezana. Na primer, če imamo številko 1,450, potem po zaokroževanju dobimo 1,4. Vendar pa je v primeru 4,851 priporočljivo zaokrožiti na 4,9, saj je za petico še ena.

Zaokroževanje pogosto uporabljamo v vsakdanjem življenju. Če je razdalja od doma do šole 503 metre. Z zaokroževanjem vrednosti lahko rečemo, da je razdalja od doma do šole 500 metrov. To pomeni, da smo število 503 približali lažje zaznani številki 500. Na primer, štruca kruha tehta 498 gramov, potem lahko z zaokroževanjem rezultata rečemo, da štruca kruha tehta 500 gramov.

zaokroževanje- to je približek števila "lažji" številki za človeško zaznavanje.

Rezultat zaokroževanja je približenštevilko. Zaokroževanje je označeno s simbolom ≈, tak simbol se glasi "približno enako".

Lahko napišete 503≈500 ali 498≈500.

Tak vnos se bere kot "petsto tri je približno enako petsto" ali "štiristo osemindevetdeset je približno enako petsto".

Vzemimo še en primer:

44 71≈4000 45 71≈5000

43 71≈4000 46 71≈5000

42 71≈4000 47 71≈5000

41 71≈4000 48 71≈5000

40 71≈4000 49 71≈5000

V tem primeru so bile številke zaokrožene na tisočice. Če pogledamo vzorec zaokroževanja, bomo videli, da so v enem primeru številke zaokrožene navzdol, v drugem pa navzgor. Po zaokroževanju so bile vse druge številke za mestom tisočaka zamenjane z ničlami.

Pravila zaokroževanja številk:

1) Če je številka, ki jo je treba zaokrožiti, enaka 0, 1, 2, 3, 4, se številka števke, na katero poteka zaokroževanje, ne spremeni, preostale številke pa se nadomestijo z ničlami.

2) Če je številka, ki jo je treba zaokrožiti, enaka 5, 6, 7, 8, 9, se številka števke, do katere poteka zaokroževanje, poveča za 1 več, preostale številke pa se nadomestijo z ničlami.

Na primer:

1) Zaokrožite na mesto desetic 364.

Številka desetic v tem primeru je številka 6. Za šestico je številka 4. Po pravilu zaokroževanja številka 4 ne spremeni števke desetic. Namesto 4 zapišemo nič. Dobimo:

36 4 ≈360

2) Zaokrožite na mesto stotk 4781.

Številka stotine v tem primeru je številka 7. Za sedmimi je številka 8, ki vpliva na to, ali se številka stotine spremeni ali ne. Po pravilu zaokroževanja število 8 poveča mesto za stotine za 1, preostala števila pa se nadomestijo z ničlami. Dobimo:

47 8 1≈48 00

3) Zaokrožite na mesto tisočaka 215936.

V tem primeru je mesto tisočic številka 5. Za petico je številka 9, ki vpliva na to, ali se mesto tisočic spremeni ali ne. Po pravilu zaokroževanja število 9 poveča število tisočakov za 1, preostale številke pa se nadomestijo z ničlami. Dobimo:

215 9 36≈216 000

4) Zaokrožite na desetine tisoč 1.302.894.

Tisočka v tem primeru je številka 0. Za ničlo je številka 2, ki vpliva na to, ali se številka desettisočkov spremeni ali ne. Po pravilu zaokroževanja številka 2 ne spremeni števke deset tisoč, to številko in vse števke spodnjih števk zamenjamo z ničlo. Dobimo:

130 2 894≈130 0000

Če natančna vrednost števila ni pomembna, se vrednost števila zaokroži in lahko izvajate računske operacije z približne vrednosti. Rezultat izračuna se imenuje ocena rezultata dejanj.

Na primer: 598⋅23≈600⋅20≈12000 je primerljivo s 598⋅23=13754

Za hiter izračun odgovora se uporablja ocena rezultata dejanj.

Primeri nalog na temo zaokroževanje:

Primer #1:
Ugotovite, na katero zaokroževanje števk je opravljeno:
a) 3457987≈3500000 b) 4573426≈4573000 c) 16784≈17000
Spomnimo se, katere številke so na številki 3457987.

7 - številka enote,

8 - desetice mesto,

9 - sto mesto,

7 - tisoč mesto,

5 - številka deset tisoč,

4 - sto tisoč števk,
3 je številka milijonov.
Odgovor: a) 3 4 57 987≈3 5 00 000 števk sto tisoč b) 4 573 426 ≈ 4 573 000 števk tisoč c) 16 7 841 ≈17 0 000 števk.

Primer #2:
Število zaokrožite na 5.999.994 mest: a) desetine b) stotine c) milijone.
Odgovor: a) 5.999.994 ≈5.999.990 b) 5.999,99 4≈6.000.000 6.000.000.

Razumeti pomen števil v decimalkah. V katerem koli številu različne števke predstavljajo različne števke. Na primer, v številki 1872 ena predstavlja tisoče, osem predstavlja stotine, sedem predstavlja desetine in dva predstavljata enoto. Če je v številu decimalna vejica, potem odražajo številke desno od nje ulomki celega števila.

Določite decimalno mesto, na katerega ga želite zaokrožiti. Prvi korak pri zaokroževanju decimalk je določitev mesta, na katero želite zaokrožiti število. Če delate domačo nalogo, potem to običajno določa pogoj naloge. Pogosto lahko pogoj kaže na potrebo po zaokroževanju odgovora na desetinke, stotinke ali tisočinke decimalne vejice.

• Na primer, če je naloga zaokrožiti število 12,9889 na tisočinke, morate začeti z določitvijo lokacije teh tisočin. Preštejte decimalna mesta kot desetinke, stotinke, tisočinke, sledi deset tisočin. Drugih osem bo ravno tisto, kar potrebujete (12.98 8 9).
• Včasih lahko pogoj določa, kje zaokrožiti (na primer "zaokrožiti na tri decimalna mesta" pomeni isto kot "zaokrožiti na tisočinke").

Poglejte številko desno od mesta, kjer želite zaokrožiti. Zdaj bi morali ugotoviti številko, ki je desno od mesta, na katerega zaokrožujete. Glede na to številko boste zaokrožili navzgor ali navzdol (navzgor ali navzdol).

• V primeru prej vzetega števila (12,9889) je potrebno zaokrožiti na tisočinke (12,98 8 9), zato zdaj poglejte številko desno od tisočinke, in sicer zadnjih devet (12.988 9 ).

Če je ta številka večja ali enaka pet, se izvede zaokrožitev navzgor. Za večjo jasnost, če je številka 5, 6, 7, 8 ali 9 desno od točke zaokroževanja, se izvede zaokroževanje navzgor. Z drugimi besedami, številko na zaokroženem mestu je treba povečati za eno, preostale številke pa zavreči desno od nje.

• V vzetem primeru (12,9889) je zadnjih devet večjih od pet, zato bomo zaokrožili tisočinke na veliko stran. Zaokroženo število bo prikazano kot 12,989 . Upoštevajte, da se po točki zaokroževanja številke zavržejo.

Če je ta številka manjša od pet, se izvede zaokrožitev navzdol. To pomeni, da če je številka 4, 3, 2, 1 ali 0 desno od točke zaokroževanja, se izvede zaokroževanje navzdol. Kar pomeni, da je treba številko pustiti namesto zaokroževanja v obliki, v kateri je, in zavreči številke desno od nje.

• Ne morete zaokrožiti navzdol 12,9889, ker zadnjih devet ni štiri ali manj. Vendar, če bi bila zadevna številka 12.988 4 , potem bi ga lahko zaokrožili na 12,988 .
• Se vam postopek zdi znan? To je posledica dejstva, da so cela števila zaokrožena na enak način in prisotnost vejice ne spremeni ničesar.

Uporabite isto metodo za zaokrožitev decimalk na cela števila. Pogosto naloga ugotovi potrebo po zaokroževanju odgovora na cela števila. V tem primeru morate uporabiti zgornjo metodo.

• Z drugimi besedami, poiščite lokacijo celih enot števila, poglejte številko na desni. Če je večje ali enako pet, potem celotno število zaokrožite navzgor. Če je manjše ali enako štiri, potem celotno število zaokrožite navzdol. Prisotnost vejice med celim delom števila in njegovim decimalnim ulomkom ne spremeni ničesar.
• Na primer, če želite zgornje število (12,9889) zaokrožiti na cela števila, bi začeli z iskanjem celih enot števila: 1 2 .9889. Ker je devetka desno od tega mesta večja od pet, zaokrožimo na 13 cel. Ker je odgovor predstavljen s celim številom, vejice ni več treba pisati.

Bodite pozorni na navodila za zaokroževanje. Zgornja navodila za zaokroževanje so splošno sprejeta. Vendar pa obstajajo situacije, ko so podane posebne zahteve za zaokroževanje, ne pozabite jih prebrati, preden se takoj zatečete k splošno sprejetim pravilom zaokroževanja.

• Na primer, če zahteve pravijo zaokrožiti navzdol na desetinke, potem boste pri številki 4,59 pustili petico, kljub temu, da bi devetka desno od nje običajno pomenila zaokroževanje navzgor. To vam bo dalo rezultat 4,5 .
• Podobno, če vam rečejo, da zaokrožite število 180,1 na celo na veliko stran, potem ti bo uspelo 181 .