Formula za vsoto geometrijskih progresij. Geometrijska progresija
Namen lekcije: seznaniti učence z novo vrsto zaporedja - neskončno padajočo geometrijsko progresijo.
Naloge:
oblikovanje začetne ideje o meji številčnega zaporedja;
seznanitev z drugim načinom pretvorbe neskončnih periodičnih ulomkov v navadne po formuli za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije;
razvoj intelektualnih lastnosti osebnosti šolarjev, kot so logično razmišljanje, sposobnost vrednotenja, posploševanje;
vzgoja dejavnosti, medsebojna pomoč, kolektivizem, zanimanje za predmet.
Prenesi:
Predogled:
Povezana lekcija "Neskončno padajoča geometrijska progresija" (algebra, 10. razred)
Namen lekcije: seznanjanje študentov z novo vrsto zaporedja – neskončno padajočo geometrijsko progresijo.
Naloge:
oblikovanje začetne ideje o meji številčnega zaporedja; seznanitev z drugim načinom pretvorbe neskončnih periodičnih ulomkov v navadne po formuli za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije;
razvoj intelektualnih lastnosti osebnosti šolarjev, kot so logično razmišljanje, sposobnost vrednotenja, posploševanje;
vzgoja dejavnosti, medsebojna pomoč, kolektivizem, zanimanje za predmet.
oprema: računalniški razred, projektor, platno.
Vrsta lekcije: Lekcija - obvladovanje nove teme.
Med poukom
I. Org. trenutek. Sporočilo o temi in namenu lekcije.
II. Posodabljanje znanja učencev.
V 9. razredu ste študirali aritmetično in geometrijsko progresijo.
vprašanja
1. Definicija aritmetične progresije.
(Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem vsak član,
Začenši z drugim, je enak prejšnjemu členu, dodanemu z isto številko).
2. Formula n -th član aritmetične progresije
3. Formula za vsoto prvega n člani aritmetične progresije.
( ali )
4. Definicija geometrijske progresije.
(Geometrijska progresija je zaporedje številk, ki niso nič,
Vsak člen, ki se začne z drugim, je enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z
isto število).
5. Formula n člen geometrijske progresije
6. Formula za vsoto prvega n členi geometrijske progresije.
7. Katere formule še poznate?
(, kje ; ;
; , )
Naloge
1. Aritmetična progresija je podana s formulo a n = 7 - 4n. Poiščite 10. (-33)
2. Aritmetična progresija a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite 4. (4)
3. Aritmetična progresija a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite 17. (-35)
4. Aritmetična progresija a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite S 17. (-187)
5. Za geometrijsko progresijopoišči peti člen.
6. Za geometrijsko progresijo poišči n-ti člen.
7. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2 . Poiščite b 4. (4)
8. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2 . Poiščite b 1 in q .
9. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2 . Poiščite S 5. (62)
III. Raziskovanje nove teme(demonstracijska predstavitev).
Razmislimo o kvadratu s stranico, ki je enaka 1. Narišimo še en kvadrat, katerega stranica je polovica prvega kvadrata, nato še enega, katerega stranica je polovica drugega, nato naslednjega in tako naprej. Vsakič, ko je stranica novega kvadrata polovica prejšnje.
Kot rezultat, smo dobili zaporedje stranic kvadratovtvorijo geometrijsko progresijo z imenovalcem.
In kar je zelo pomembno, več kot gradimo takšnih kvadratov, manjša bo stranica kvadrata. na primer
tiste. ko se število n povečuje, se pogoji napredovanja približujejo ničli.
S pomočjo te slike lahko upoštevamo še eno zaporedje.
Na primer, zaporedje območij kvadratov:
In spet, če n narašča neomejeno, potem se območje poljubno blizu nič približa.
Poglejmo še en primer. Enakostranični trikotnik s stranico 1 cm. Konstruirajmo naslednji trikotnik z oglišči v središčih stranic 1. trikotnika po izreku o srednji črti trikotnika - stranica 2. je enaka polovici stranice prvega, stranica 3. je polovica stranic 2. itd. Spet dobimo zaporedje dolžin stranic trikotnikov.
Ob .
Če upoštevamo geometrijsko progresijo z negativnim imenovalcem.
Potem pa spet z naraščajočim številom n pogoji napredovanja se približujejo ničli.
Bodimo pozorni na imenovalce teh zaporedij. Povsod so bili imenovalci manjši od 1 modula.
Sklepamo lahko: geometrijska progresija bo neskončno padajoča, če je modul njenega imenovalca manjši od 1.
Sprednje delo.
Opredelitev:
Za geometrijsko progresijo pravimo, da je neskončno padajoča, če je modul njenega imenovalca manjši od ena..
S pomočjo definicije je mogoče rešiti vprašanje, ali je geometrijska progresija neskončno padajoča ali ne.
Naloga
Ali je zaporedje neskončno padajoča geometrijska progresija, če je podana s formulo:
Odločitev:
Najdimo q.
; ; ; .
ta geometrijska progresija se neskončno zmanjšuje.
b) to zaporedje ni neskončno padajoča geometrijska progresija.
Razmislite o kvadratu s stranico, ki je enaka 1. Razdelite ga na polovico, eno od polovic spet na polovico in tako naprej. površine vseh nastalih pravokotnikov tvorijo neskončno padajočo geometrijsko progresijo:
Vsota površin vseh tako dobljenih pravokotnikov bo enaka površini 1. kvadrata in enaka 1.
Toda na levi strani te enakosti je vsota neskončnega števila izrazov.
Upoštevajte vsoto prvih n členov.
Po formuli za vsoto prvih n členov geometrijske progresije je enaka.
Če n potem narašča za nedoločen čas
ali . Zato, t.j. .
Vsota neskončno padajoče geometrijske progresijeobstaja omejitev zaporedja S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .
Na primer za napredovanje,
imamo
Kot
Vsota neskončno padajoče geometrijske progresijelahko najdete s formulo.
III. Refleksija in konsolidacija(izpolnitev nalog).
№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Povzetek.
Kakšno zaporedje ste danes srečali?
Določite neskončno padajočo geometrijsko progresijo.
Kako dokazati, da je geometrijska progresija neskončno padajoča?
Podajte formulo za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije.
V. Domača naloga.
2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Predogled:
Če želite uporabiti predogled predstavitev, ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com
Napisi diapozitivov:
Vsakdo bi moral biti sposoben dosledno razmišljati, dokončno presojati in zavračati napačne zaključke: fizik in pesnik, traktorist in kemik. E.Kolman Pri matematiki se je treba spomniti ne formul, ampak procesov mišljenja. VP Ermakov Lažje je najti kvadrat kroga kot prelisičiti matematika. Augustus de Morgan Katera znanost bi lahko bila bolj plemenita, bolj občudovanja vredna, koristnejša za človeštvo kot matematika? Franklin
Neskončno padajoča geometrijska progresija 10. razred
JAZ. Aritmetične in geometrijske progresije. Vprašanja 1. Definicija aritmetične progresije. Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu členu, dodanemu istemu številu. 2. Formula n-ega člana aritmetične progresije. 3. Formula za vsoto prvih n členov aritmetične progresije. 4. Definicija geometrijske progresije. Geometrijska progresija je zaporedje števil, ki niso nič, katerih vsak člen je, začenši z drugim, enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z istim številom 5. Formula n-ega člana geometrijske progresije. 6. Formula za vsoto prvih n členov geometrijske progresije.
II. Aritmetično napredovanje. Naloge Aritmetična progresija je podana s formulo a n = 7 – 4 n Najdi a 10 . (-33) 2. V aritmetični progresiji a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite 4. (4) 3. V aritmetični progresiji a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite 17. (-35) 4. V aritmetični progresiji a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite S 17. (-187)
II. Geometrijska progresija. Naloge 5. Za geometrijsko progresijo poiščite peti člen 6. Za geometrijsko progresijo poiščite n-ti člen. 7. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2. Poiščite b 4. (4) 8. V geometrijski progresiji b 3 = 8 in b 5 = 2 . Poiščite b 1 in q . 9. V geometrijski progresiji b 3 = 8 in b 5 = 2. Poiščite S 5. (62)
definicija: Za geometrijsko progresijo rečemo, da je neskončno padajoča, če je modul njenega imenovalca manjši od ena.
Problem №1 Ali je zaporedje neskončno padajoča geometrijska progresija, če je podana s formulo: Rešitev: a) ta geometrijska progresija je neskončno padajoča. b) to zaporedje ni neskončno padajoča geometrijska progresija.
Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije je meja zaporedja S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Na primer, za progresijo imamo Ker je vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije mogoče najti s formulo
Izvajanje nalog Najdi vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije s prvim členom 3, drugim 0,3. 2. št. 13; št. 14; učbenik, stran 138 3. številka 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. št. 19; št. 20.
Kakšno zaporedje ste danes srečali? Določite neskončno padajočo geometrijsko progresijo. Kako dokazati, da je geometrijska progresija neskončno padajoča? Podajte formulo za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije. vprašanja
Slavni poljski matematik Hugo Steinghaus v šali trdi, da obstaja zakon, ki je oblikovan takole: matematik bo to naredil bolje. Če namreč dvema osebama, od katerih je eden matematik, zaupaš, da opravita delo, ki ga ne poznata, bo rezultat vedno naslednji: matematik ga bo opravil bolje. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972
To število se imenuje imenovalec geometrijske progresije, to pomeni, da se vsak člen od prejšnjega razlikuje za q-krat. (Predpostavili bomo, da je q ≠ 1, sicer je vse preveč trivialno). Zlahka je videti, da je splošna formula n-ega člana geometrijske progresije b n = b 1 q n – 1 ; členi s številkama b n in b m se razlikujejo za q n – m krat.
Že v starem Egiptu so poznali ne le aritmetično, ampak tudi geometrijsko progresijo. Tukaj je na primer naloga iz Rhindovega papirusa: »Sedem obrazov ima sedem mačk; vsaka mačka poje sedem miši, vsaka miška poje sedem klasov, vsak klas lahko pridela sedem mer ječmena. Kako velika so števila v tej seriji in njihova vsota?
 |
|
riž. 1. Staregipčanski problem geometrijske progresije |
Ta naloga se je večkrat ponovila z različnimi različicami med drugimi ljudstvi v drugih časih. Na primer, napisano v XIII stoletju. "Knjiga abakusa" Leonarda iz Pise (Fibonacci) ima problem, v katerem se na poti v Rim pojavi 7 stark (očitno romarjev), od katerih ima vsaka 7 mul, od katerih ima vsaka 7 vrečk, od katerih vsaka vsebuje 7 štruc, od katerih ima vsak 7 nožev, od katerih je vsak v 7 nožih. Problem se sprašuje, koliko predmetov je.
Vsota prvih n členov geometrijske progresije S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . To formulo je mogoče dokazati na primer na naslednji način: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Dodajmo število b 1 q n v S n in dobimo:
|
Zato je S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) in dobimo potrebno formulo.
Že na eni od glinenih tablic starodavnega Babilona, ki sega v VI stoletje. pr e., vsebuje vsoto 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Res je, tako kot v številnih drugih primerih, ne vemo, kje je bilo to dejstvo znano Babiloncem .
Hitra rast geometrijske progresije v številnih kulturah, zlasti v Indiji, se vedno znova uporablja kot jasen simbol neizmernosti vesolja. V znani legendi o pojavu šaha vladar daje svojemu izumitelju možnost, da sam izbere nagrado in zahteva toliko pšeničnih zrn, kot jih bo dobil, če se eno postavi na prvo celico šahovnice. , dva na drugem, štiri na tretjem, osem na četrtem itd., vsakič, ko se število podvoji. Vladika je mislil, da gre kvečjemu za nekaj vreč, a se je zmotil. Zlahka je videti, da bi moral izumitelj za vseh 64 polj šahovnice prejeti (2 64 - 1) zrna, ki je izraženo kot 20-mestno število; tudi če bi bila posejana celotna površina Zemlje, bi trajalo vsaj 8 let, da bi zbrali zahtevano število zrn. Ta legenda se včasih razlaga kot sklicevanje na skoraj neomejene možnosti, ki se skrivajo v igri šaha.
Dejstvo, da je ta številka res 20-mestna, je enostavno videti:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 = 1,6 10 19 (natančnejši izračun daje 1,84 10 19). Zanima pa me, če lahko ugotovite, s katero številko se konča ta številka?
Geometrijska progresija se povečuje, če je imenovalec po absolutni vrednosti večji od 1, ali pada, če je manjši od ena. V slednjem primeru lahko število q n za dovolj veliko n postane poljubno majhno. Medtem ko naraščajoči eksponent nepričakovano hitro narašča, se padajoči eksponent prav tako hitro zmanjšuje.
Večji kot je n, šibkejše se število q n razlikuje od nič in bližje je vsota n članov geometrijske progresije S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) številu S \u003d b 1 / (1 - q) . (Tako je na primer obrazložil F. Viet). Število S imenujemo vsota neskončno padajoče geometrijske progresije. Vendar pa matematikom dolga stoletja ni bilo dovolj jasno vprašanje, kaj pomeni seštevanje VSE geometrijske progresije z njenim neskončnim številom izrazov.
Upadajočo geometrijsko progresijo lahko opazimo na primer v Zenonovih aporijah "Ugrizni" in "Ahilej in želva". V prvem primeru je jasno prikazano, da je celotna cesta (predpostavimo dolžino 1) vsota neskončnega števila odsekov 1/2, 1/4, 1/8 itd. Tako je seveda z vidika idej o končni vsoti neskončne geometrijske progresije. Pa vendar – kako je to lahko?
|
riž. 2. Napredovanje s faktorjem 1/2 |
V aporiji o Ahilu je situacija nekoliko bolj zapletena, saj tukaj imenovalec napredovanja ni enak 1/2, ampak nekemu drugemu številu. Naj na primer Ahil teče s hitrostjo v, želva se premika s hitrostjo u, začetna razdalja med njima pa je l. Ahil bo to razdaljo pretekel v času l/v, želva se bo v tem času premaknila za razdaljo lu/v. Ko Ahil teče skozi ta segment, bo razdalja med njim in želvo postala enaka l (u / v) 2 itd. Izkazalo se je, da dohitevanje želve pomeni najti vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije s prvim člen l in imenovalec u / v. Ta vsota - odsek, ki ga bo Ahil na koncu tekel do točke srečanja z želvo - je enaka l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . A spet, kako je treba ta rezultat razlagati in zakaj je sploh smiseln, dolgo ni bilo povsem jasno.
|
riž. 3. Geometrijska progresija s koeficientom 2/3 |
Vsoto geometrijske progresije je Arhimed uporabil pri določanju površine segmenta parabole. Naj je dani odsek parabole razmejen s tetivo AB in naj je tangenta v točki D parabole vzporedna z AB . Naj bo C središče AB, E središče AC, F središče CB. Skozi točke A, E, F, B narišite premice, vzporedne z DC; naj se tangenta, narisana v točki D, te premice sekata v točkah K, L, M, N. Narišimo še segmenta AD in DB. Naj premica EL seka premico AD v točki G, parabola pa v točki H; premica FM seka premico DB v točki Q in parabolo v točki R. Po splošni teoriji stožčastih prerezov je DC premer parabole (to je segmenta, vzporednega z njeno osjo); in tangenta v točki D lahko služita kot koordinatni osi x in y, v katerih je enačba parabole zapisana kot y 2 = 2px (x je razdalja od D do katere koli točke danega premera, y je dolžina a segment, vzporeden z dano tangento od te točke premera do neke točke na sami paraboli).
Na podlagi enačbe parabole je DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , in ker je DK = 2DL , potem je KA = 4LH . Ker je KA = 2LG, je LH = HG. Površina odseka ADB parabole je enaka površini trikotnika ΔADB in površinam segmentov AHD in DRB skupaj. Po drugi strani je površina segmenta AHD podobno enaka površini trikotnika AHD in preostalih segmentov AH in HD, z vsakim od katerih je mogoče izvesti isto operacijo - razdeliti na trikotnik (Δ) in dva preostala segmenta () itd.:
Površina trikotnika ΔAHD je enaka polovici površine trikotnika ΔALD (imajo skupno osnovo AD, višine pa se razlikujejo za 2-krat), kar pa je enako polovici površine trikotnik ΔAKD in s tem polovico površine trikotnika ΔACD. Tako je površina trikotnika ΔAHD enaka četrtini površine trikotnika ΔACD. Podobno je površina trikotnika ΔDRB enaka četrtini površine trikotnika ΔDFB. Torej sta ploskvi trikotnikov ∆AHD in ∆DRB, vzeti skupaj, enaki četrtini površine trikotnika ∆ADB. Ponovitev te operacije, ki se uporablja za segmente AH, HD, DR in RB, bo iz njih izbrala tudi trikotnike, katerih površina bo skupaj 4-krat manjša od površine trikotnikov ΔAHD in ΔDRB, vzeto skupaj in torej 16-krat manjša od površine trikotnika ΔADB. itd:
Tako je Arhimed dokazal, da je "vsak segment, zaprt med ravno črto in parabolo, štiri tretjine trikotnika, ki ima s seboj enako osnovo in enako višino."
Geometrijska progresija pri matematiki nič manj pomembna kot pri aritmetiki. Geometrijska progresija je takšno zaporedje številk b1, b2,..., b[n], katerega vsak naslednji člen dobimo tako, da prejšnjega pomnožimo s konstantnim številom. To število, ki označuje tudi stopnjo rasti ali upadanja napredovanja, se imenuje imenovalec geometrijske progresije in označi
Za popolno dodelitev geometrijske progresije je poleg imenovalca potrebno poznati oziroma določiti njen prvi člen. Za pozitivno vrednost imenovalca je napredovanje monotono zaporedje, in če je to zaporedje številk monotono padajoče in monotono naraščajoče, ko. Primera, ko je imenovalec enak ena, v praksi ne upoštevamo, saj imamo zaporedje enakih številk in njihovo seštevanje ni praktičnega interesa
Splošni izraz geometrijske progresije izračunano po formuli
Vsota prvih n členov geometrijske progresije določeno s formulo
Razmislimo o rešitvah klasičnih problemov geometrijske progresije. Začnimo z najpreprostejšim za razumevanje.
Primer 1. Prvi člen geometrijske progresije je 27, imenovalec pa 1/3. Poiščite prvih šest členov geometrijske progresije.
Rešitev: Pogoj problema zapišemo v obrazec
Za izračune uporabljamo formulo za n-ti člen geometrijske progresije
Na podlagi nje najdemo neznane člane progresije
Kot lahko vidite, izračunavanje pogojev geometrijske progresije ni težko. Sam napredek bo videti takole
Primer 2. Podani so prvi trije členi geometrijske progresije: 6; -12; 24. Poišči imenovalec in sedmi člen.
Rešitev: imenovalec geometrijske progresije izračunamo na podlagi njene definicije
Dobili smo izmenično geometrijsko progresijo, katere imenovalec je -2. Sedmi člen se izračuna po formuli
Ta naloga je rešena.
Primer 3. Geometrijsko progresijo podata dva njena člana 
. Poiščite deseti člen napredovanja.
Odločitev:
Zapišimo dane vrednosti skozi formule
Po pravilih bi bilo treba najti imenovalec in nato iskati želeno vrednost, a za deseti člen imamo
Enako formulo lahko dobimo na podlagi preprostih manipulacij z vhodnimi podatki. Šesti člen serije delimo z drugim, tako dobimo
Če dobljeno vrednost pomnožimo s šestim členom, dobimo desetega
Tako lahko za takšne probleme s pomočjo preprostih transformacij na hiter način najdete pravo rešitev.
Primer 4. Geometrijska progresija je podana s ponavljajočimi se formulami
Poiščite imenovalec geometrijske progresije in vsoto prvih šestih členov.
Odločitev:
Podane podatke zapišemo v obliki sistema enačb
Izrazite imenovalec tako, da drugo enačbo delite s prvo
Poišči prvi člen napredovanja iz prve enačbe
Izračunajte naslednjih pet členov, da najdete vsoto geometrijske progresije
Razmislimo o seriji.
7 28 112 448 1792...
Popolnoma jasno je, da je vrednost katerega koli od njegovih elementov natanko štirikrat večja od prejšnje. Torej je ta serija napredek.
Geometrijska progresija je neskončno zaporedje številk, katerega glavna značilnost je, da se naslednja številka dobi iz prejšnjega z množenjem z določenim številom. To je izraženo z naslednjo formulo.
a z +1 =a z q, kjer je z številka izbranega elementa.
V skladu s tem je z ∈ N.
Obdobje, ko se v šoli uči geometrijska progresija, je 9. razred. Primeri vam bodo pomagali razumeti koncept:
0.25 0.125 0.0625...
Na podlagi te formule lahko najdemo imenovalec napredovanja, kot sledi:
Niti q niti b z ne moreta biti nič. Prav tako vsak od elementov napredovanja ne sme biti enak nič.
V skladu s tem, če želite izvedeti naslednjo številko v nizu, morate zadnjo pomnožiti s q.
Če želite določiti to napredovanje, morate določiti njegov prvi element in imenovalec. Po tem je mogoče najti katerega koli od naslednjih členov in njihovo vsoto.
Sorte
Glede na q in a 1 je to napredovanje razdeljeno na več vrst:
- Če sta tako a 1 kot q večja od ena, potem je takšno zaporedje geometrijska progresija, ki narašča z vsakim naslednjim elementom. Primer takega je predstavljen spodaj.
Primer: a 1 =3, q=2 - oba parametra sta večja od enega.
Nato lahko številčno zaporedje zapišemo takole:
3 6 12 24 48 ...
- Če |q| manj kot ena, to pomeni, da je množenje z njim enako deljenju, potem je progresija s podobnimi pogoji padajoča geometrijska progresija. Primer takega je predstavljen spodaj.
Primer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je večji od ena, q je manjši.
Nato lahko številčno zaporedje zapišemo na naslednji način:
6 2 2/3 ... - kateri koli element je 3-krat večji od elementa, ki mu sledi.
- Spremenljivka znaka. Če q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Primer: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametra sta manjša od nič.
Nato lahko zaporedje zapišemo takole:
3, 6, -12, 24,...
Formule
Za priročno uporabo geometrijskih progresij obstaja veliko formul:
- Formula z-tega člana. Omogoča izračun elementa pod določeno številko brez izračuna prejšnjih številk.
Primer:q = 3, a 1 = 4. Izračunati je treba četrti element napredovanja.
Odločitev:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Vsota prvih elementov, katerih število je z. Omogoča vam izračun vsote vseh elementov zaporedja doa zvključno
Od (1-q) je v imenovalcu, potem (1 - q)≠ 0, zato q ni enak 1.
Opomba: če je q=1, bi bil napredek niz neskončno ponavljajočega se števila.
Vsota geometrijske progresije, primeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunaj S 5 .
Odločitev:S 5 = 22 - izračun po formuli.
- Znesek, če |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Primer:a 1 = 2 , q= 0,5. Poiščite znesek.
Odločitev:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Nekaj lastnosti:
- značilna lastnost. Če je naslednji pogoj izvedeno za katero koliz, potem je dani niz številk geometrijska progresija:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Kvadrat poljubnega števila geometrijske progresije najdemo tudi tako, da seštejemo kvadrate drugih dveh števil v dani seriji, če sta enako oddaljena od tega elementa.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kjetje razdalja med temi številkami.
- Elementirazlikujejo v qenkrat.
- Logaritmi progresijskih elementov tvorijo tudi progresijo, vendar že aritmetično, to je, da je vsak od njih za določeno število večji od prejšnjega.
Primeri nekaterih klasičnih problemov
Za boljše razumevanje, kaj je geometrijska progresija, so lahko v pomoč primeri z rešitvijo za 9. razred.
- Pogoji:a 1 = 3, a 3 = 48. Najdiq.
Rešitev: vsak naslednji element je večji od prejšnjegaq enkrat.Nekatere elemente je treba izraziti skozi druge z imenovalcem.
zatoa 3 = q 2 · a 1
Pri zamenjaviq= 4
- Pogoji:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunaj S 6 .
Odločitev:Če želite to narediti, je dovolj, da poiščete q, prvi element in ga nadomestite v formulo.
a 3 = q· a 2 , torej,q= 2
a 2 = q a 1,Zato a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Poiščite četrti element napredovanja.
Rešitev: za to je dovolj, da četrti element izrazimo skozi prvi in skozi imenovalec.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Primer aplikacije:
- Stranka banke je položila depozit v višini 10.000 rubljev, v skladu s katerimi bo stranka vsako leto dodala 6% znesku glavnice. Koliko denarja bo na računu po 4 letih?
Rešitev: Začetni znesek je 10 tisoč rubljev. Torej bo leto po naložbi na računu znesek 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06
V skladu s tem bo znesek na računu po naslednjem letu izražen na naslednji način:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
To pomeni, da se vsako leto znesek poveča za 1,06-krat. To pomeni, da je za iskanje zneska sredstev na računu po 4 letih dovolj najti četrti element napredovanja, ki ga daje prvi element, ki je enak 10 tisoč, imenovalec pa 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Primeri nalog za izračun vsote:
Pri različnih problemih se uporablja geometrijska progresija. Primer za iskanje vsote je lahko naslednji:
a 1 = 4, q= 2, izračunajS5.
Rešitev: vsi podatki, potrebni za izračun, so znani, samo jih morate nadomestiti v formulo.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj vsoto prvih šestih elementov.
Odločitev:
Geom. napredovanje, je vsak naslednji element q-krat večji od prejšnjega, torej za izračun vsote morate poznati elementa 1 in imenovalecq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Podobno moramo najtia 1 , vedoča 2 inq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Zdaj razmislite o vprašanju seštevanja neskončne geometrijske progresije. Poimenujmo delno vsoto dane neskončne progresije vsota njenih prvih členov. Delno vsoto označimo s simbolom
Za vsako neskončno napredovanje
lahko sestavimo (tudi neskončno) zaporedje njegovih delnih vsot
Naj ima zaporedje z neomejenim povečanjem mejo
V tem primeru se število S, torej meja delnih vsot progresije, imenuje vsota neskončne progresije. Dokazali bomo, da ima neskončna padajoča geometrijska progresija vedno vsoto, in izpeljali formulo za to vsoto (lahko tudi pokažemo, da za neskončno progresijo ni vsote, ne obstaja).
Izraz za delno vsoto zapišemo kot vsoto članov progresije po formuli (91.1) in upoštevamo mejo delne vsote pri
Iz izreka točke 89 je znano, da za padajočo progresijo; torej z uporabo mejnega izreka razlike ugotovimo
(tudi tukaj se uporablja pravilo: konstantni faktor je vzet iz predznaka meje). Obstoj je dokazan, hkrati pa se dobi formula za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije:
Enakost (92.1) lahko zapišemo tudi kot
Tukaj se morda zdi paradoksalno, da je vsoti neskončnega niza izrazov pripisana dobro definirana končna vrednost.
Za razlago te situacije je mogoče dati jasno ponazoritev. Razmislite o kvadratu s stranico, ki je enaka ena (slika 72). Ta kvadrat razdelimo z vodoravno črto na dva enaka dela in zgornji del nanesemo na spodnjega, tako da nastane pravokotnik s stranicama 2 in . Po tem desno polovico tega pravokotnika ponovno razdelimo na polovico z vodoravno črto in zgornji del pritrdimo na spodnji (kot je prikazano na sliki 72). V nadaljevanju tega postopka nenehno pretvarjamo prvotni kvadrat s površino 1 v figure enake velikosti (v obliki stopnišča s tanjšimi stopnicami).
Z neskončnim nadaljevanjem tega procesa se celotna površina kvadrata razpade na neskončno število členov - površine pravokotnikov z osnovami enakimi 1 in višine. Površine pravokotnikov tvorijo samo neskončno padajočo progresijo, njena vsota
je, kot je bilo pričakovano, enako površini kvadrata.
Primer. Poiščite vsote naslednjih neskončnih progresij:
Rešitev, a) Opažamo, da to napredovanje Zato po formuli (92.2) najdemo
b) Tukaj pomeni, da imamo po isti formuli (92.2).
c) Ugotovimo, da ta progresija Zato ta progresija nima vsote.
V 5. razdelku je bila prikazana uporaba formule za vsoto členov neskončno padajoče progresije za pretvorbo periodičnega decimskega ulomka v navaden ulomek.
vaje
1. Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije je 3/5, vsota njenih prvih štirih členov pa 13/27. Poiščite prvi člen in imenovalec napredovanja.
2. Poišči štiri števila, ki tvorijo izmenično geometrijsko progresijo, pri kateri je drugi člen manjši od prvega za 35, tretji pa večji od četrtega za 560.
3. Pokaži zaporedje kaj če
tvori neskončno padajočo geometrijsko progresijo, nato zaporedje
za katero koli obliko neskončno padajoča geometrijska progresija. Ali ta trditev drži za
Izpelji formulo za produkt členov geometrijske progresije.
Nalaganje...