Kako rešiti kvadratni koren. Kako hitro izvleči kvadratne korene

Med številnimi znanji, ki so znak pismenosti, je na prvem mestu abeceda. Naslednji, isti "znakovni" element, so veščine seštevanja-množenja in ob njih, vendar obratno po pomenu, aritmetične operacije odštevanja-deljenja. Spretnosti, pridobljene v daljnem šolskem otroštvu, zvesto služijo dan in noč: TV, časopis, SMS, In povsod beremo, pišemo, štejemo, seštevamo, odštevamo, množimo. In povejte mi, ali ste se morali pogosto ukoreniniti v življenju, razen na podeželju? Na primer, tako zabaven problem, kot je kvadratni koren iz števila 12345 ... Ali je v smodnikih še vedno smodnik? Ali lahko to storimo? Ja, ni nič lažjega! Kje je moj kalkulator ... In brez njega, iz rok v roko, šibek?

Najprej pojasnimo, kaj je - Kvadratni korenštevilke. Na splošno "izluščiti koren iz števila" pomeni izvesti aritmetično operacijo, ki je nasprotna dvigu na pot - tukaj imate enotnost nasprotij v življenjski uporabi. recimo, da je kvadrat množenje števila samega po sebi, torej kot so učili v šoli, X * X = A ali v drugem zapisu X2 = A, in z besedami - "X na kvadrat je A". Potem se inverzni problem sliši takole: kvadratni koren iz števila A je število X, ki je, ko je na kvadrat, enako A.

Ekstrahiranje kvadratnega korena

Iz šolskega tečaja aritmetike so znane metode izračunov "v stolpcu", ki pomagajo izvesti kakršne koli izračune s pomočjo prvih štirih aritmetične operacije. Žal ... Za kvadratne in ne samo kvadratne korenine takšnih algoritmov ne obstajajo. In v tem primeru, kako izvleči kvadratni koren brez kalkulatorja? Na podlagi definicije kvadratnega korena obstaja le en sklep - vrednost rezultata je treba izbrati z zaporednim naštevanjem številk, katerih kvadrat se približuje vrednosti korenskega izraza. Samo in vse! Ura ali dve ne bosta imeli časa, saj lahko izračunate z dobro znano metodo množenja v "stolpec" poljuben kvadratni koren. Če imate veščine, je za to dovolj nekaj minut. Tudi ne povsem napreden uporabnik kalkulatorja ali osebnega računalnika to naredi v enem zamahu - napredek.

Toda resno, izračun kvadratnega korena se pogosto izvaja s tehniko "topniških vilic": najprej vzamejo številko, katere kvadrat približno ustreza korenskemu izrazu. Bolje je, če je "naš kvadrat" nekoliko manjši od tega izraza. Nato število popravijo glede na lastno spretnost-razumevanje, na primer pomnožijo z dva in ... ponovno kvadrirajo. Če je rezultat večji od števila pod korenom, zaporedoma prilagaja prvotno številko, postopoma se približuje svojemu "kolegu" pod korenom. Kot vidite - brez kalkulatorja, samo možnost štetja "v stolpcu". Seveda obstaja veliko znanstveno utemeljenih in optimiziranih algoritmov za izračun kvadratnega korena, a za "domačo uporabo" zgornja tehnika daje 100% zaupanje v rezultat.

Da, skoraj sem pozabil, da bi potrdili našo povečano pismenost, izračunamo kvadratni koren prej navedenega števila 12345. To naredimo korak za korakom:

1. Čisto intuitivno vzemite X=100. Izračunajmo: X * X = 10000. Intuicija je na vrhu - rezultat je manjši od 12345.

2. Poskusimo, tudi čisto intuitivno, X = 120. Potem: X * X = 14400. In spet z intuicijo vrstni red - rezultat je več kot 12345.

3. Zgoraj dobimo "vilice" 100 in 120. Izberemo novi številki - 110 in 115. Dobimo 12100 oziroma 13225 - vilice se zožijo.

4. Poskusimo na "morda" X = 111. Dobimo X * X = 12321. To število je že precej blizu 12345. V skladu z zahtevano natančnostjo se lahko "prilagajanje" nadaljuje ali ustavi pri dobljenem rezultatu. To je vse. Kot obljubljeno - vse je zelo preprosto in brez kalkulatorja.

Kar malo zgodovine...

Razmišljam o uporabi kvadratne korenineše vedno Pitagorejci, učenci šole in Pitagorovi privrženci, že 800 let pr. in prav tam "naletela" na nova odkritja na področju številk. In od kod je prišlo?

1. Rešitev problema z ekstrakcijo korena daje rezultat v obliki številk novega razreda. Imenovali so jih iracionalni, z drugimi besedami, "nerazumni", ker. niso zapisane kot celotno število. Najbolj klasičen primer te vrste je kvadratni koren iz 2. Ta primer ustreza izračunu diagonale kvadrata s stranico, enako 1 - tukaj je vpliv pitagorejske šole. Izkazalo se je, da ima hipotenuza v trikotniku z zelo specifično enotno velikostjo stranic velikost, ki je izražena s številom, ki "nima konca". Tako se je pojavila matematika

2. Znano je, da se je izkazalo, da to matematična operacija vsebuje še en ulov - če izvlečemo koren, ne vemo, kateri kvadrat katerega števila, pozitivnega ali negativnega, je korenski izraz. Ta negotovost, dvojni rezultat ene operacije, se zapiše.

Preučevanje problemov, povezanih s tem pojavom, je postalo smer v matematiki, imenovana teorija kompleksne spremenljivke, ki je v matematični fiziki velikega praktičnega pomena.

Zanimivo je, da je korensko oznako - radikalno - uporabil v svoji "Univerzalni aritmetiki" isti vseprisotni I. Newton, vendar natančno sodoben videz Korenski zapis je znan že od leta 1690 iz knjige Francoza Rolla "Vodnik po algebri".

Matematika se je rodila, ko se je človek zavedal samega sebe in se začel postavljati kot avtonomna enota sveta. Želja po merjenju, primerjanju, izračunavanju tega, kar te obdaja, je tisto, kar je osnova ene od temeljnih znanosti naših dni. Sprva so bili to deli elementarne matematike, ki so omogočili povezovanje številk z njihovimi fizičnimi izrazi, pozneje so sklepe začeli predstavljati le teoretično (zaradi njihove abstraktnosti), a čez nekaj časa, kot je dejal en znanstvenik, " matematika je dosegla zgornjo mejo kompleksnosti, ko so vsa števila." Koncept "kvadratnega korena" se je pojavil v času, ko ga je bilo mogoče zlahka podpreti z empiričnimi podatki, ki presegajo ravnino izračunov.

Kako se je vse začelo

Prva omemba korena, ki na ta trenutek označeno z √, je bilo zabeleženo v spisih babilonskih matematikov, ki so postavili temelje sodobne aritmetike. Seveda so bili nekoliko podobni trenutni obliki - znanstveniki tistih let so najprej uporabili velike tablete. Toda v drugem tisočletju pr. e. pripravili so približno formulo za izračun, ki je pokazala, kako vzeti kvadratni koren. Spodnja fotografija prikazuje kamen, na katerem so babilonski znanstveniki vklesali izhodni proces √2, in se je izkazal za tako pravilnega, da je bilo neskladje v odgovoru ugotovljeno šele na deseti decimalki.

Poleg tega je bil koren uporabljen, če je bilo treba najti stranico trikotnika, pod pogojem, da sta bila druga dva znana. No, pri reševanju kvadratnih enačb ni mogoče izogniti ekstrakciji korena.

Poleg babilonskih del je bil predmet članka preučen tudi v kitajskem delu "Matematika v devetih knjigah", stari Grki pa so prišli do zaključka, da vsako število, iz katerega se koren ne izvleče brez ostanka, daje iracionalen rezultat .

Izvor tega izraza je povezan z arabsko predstavitvijo števila: starodavni znanstveniki so verjeli, da kvadrat poljubnega števila raste iz korena, kot rastlina. V latinščini ta beseda zveni kot radix (lahko zasledimo vzorec - vse, kar ima "korensko" pomensko obremenitev, je soglasno, naj bo to redkev ali išias).

Znanstveniki naslednjih generacij so prevzeli to idejo in jo označili kot Rx. Na primer, v 15. stoletju, da bi označili, da je kvadratni koren vzet iz poljubnega števila a, so zapisali R 2 a. Navaden sodoben videz"klop" √ se je pojavil šele v 17. stoletju po zaslugi Reneja Descartesa.

Naši dnevi

Matematično je kvadratni koren iz y število z, katerega kvadrat je y. Z drugimi besedami, z 2 =y je enakovreden √y=z. Vendar je ta definicija pomembna samo za aritmetični koren, saj implicira nenegativno vrednost izraza. Z drugimi besedami, √y=z, kjer je z večji ali enak 0.

Na splošno, kar velja za določanje algebraičnega korena, je vrednost izraza lahko pozitivna ali negativna. Torej, zaradi dejstva, da je z 2 =y in (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ali √y=|z|.

Ker se je ljubezen do matematike z razvojem znanosti le povečala, obstajajo različne manifestacije navezanosti nanjo, ki niso izražene v suhih izračunih. Na primer, poleg tako zanimivih dogodkov, kot je dan Pi, se praznujejo tudi prazniki kvadratnega korena. Praznujejo se devetkrat v stotih letih in so določene po naslednjem načelu: številke, ki po vrsti označujejo dan in mesec, morajo biti kvadratni koren leta. Da, v naslednjič Ta praznik bomo praznovali 4. aprila 2016.

Lastnosti kvadratnega korena na polju R

Skoraj vsi matematični izrazi imajo geometrijsko osnovo, ta usoda ni minila in √y, ki je opredeljena kot stranica kvadrata s površino y.

Kako najti koren števila?

Obstaja več algoritmov za izračun. Najenostavnejši, a hkrati precej okoren, je običajen aritmetični izračun, ki je naslednji:

1) od števila, katerega koren potrebujemo, se po vrsti odštevajo liha števila - dokler ostanek izhoda ni manjši od odštete ali sode nič. Število premikov bo sčasoma postalo želeno število. Na primer, izračun kvadratnega korena iz 25:

Naslednje liho število je 11, preostanek pa: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takšne primere obstaja razširitev serije Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kjer n prevzame vrednosti od 0 do

+∞ in |y|≤1.

Grafični prikaz funkcije z=√y

Razmislite o elementarni funkciji z=√y na polju realnih števil R, kjer je y večji ali enak nič. Njen grafikon izgleda takole:

Krivulja raste iz izhodišča in nujno prečka točko (1; 1).

Lastnosti funkcije z=√y na polju realnih števil R

1. Domena definicije obravnavane funkcije je interval od nič do plus neskončnosti (vključena je nič).

2. Obseg vrednosti obravnavane funkcije je interval od nič do plus neskončnost (nič je spet vključena).

3. Funkcija prevzame najmanjšo vrednost (0) samo na točki (0; 0). Najvišje vrednosti ni.

4. Funkcija z=√y ni niti soda niti liha.

5. Funkcija z=√y ni periodična.

6. Obstaja samo ena presečna točka grafa funkcije z=√y s koordinatnimi osemi: (0; 0).

7. Presečišče grafa funkcije z=√y je tudi nič te funkcije.

8. Funkcija z=√y nenehno raste.

9. Funkcija z=√y ima samo pozitivne vrednosti, zato njen graf zaseda prvi koordinatni kot.

Možnosti za prikaz funkcije z=√y

V matematiki se za lažji izračun kompleksnih izrazov včasih uporablja potenčna oblika zapisa kvadratnega korena: √y=y 1/2. Ta možnost je priročna, na primer, pri dvigu funkcije na potencio: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ta metoda je tudi dobra predstavitev za diferenciacijo z integracijo, saj je zaradi nje kvadratni koren predstavljen z navadno močnostno funkcijo.

In pri programiranju je zamenjava za simbol √ kombinacija črk sqrt.

Omeniti velja, da je na tem področju kvadratni koren v velikem povpraševanju, saj je del večine geometrijskih formul, potrebnih za izračune. Sam algoritem štetja je precej zapleten in temelji na rekurziji (funkcija, ki kliče samo sebe).

Kvadratni koren v kompleksnem polju C

Na splošno je bil predmet tega članka, ki je spodbudil odkritje polja kompleksnih števil C, saj je matematike preganjalo vprašanje pridobivanja korena sode stopnje iz negativnega števila. Tako se je pojavila imaginarna enota i, za katero je značilna zelo zanimiva lastnost: njen kvadrat je -1. Zahvaljujoč temu so kvadratne enačbe in z negativnim diskriminantom dobili rešitev. V C so za kvadratni koren pomembne enake lastnosti kot v R, edina stvar je, da so odstranjene omejitve korenskega izraza.

Površina kvadratnega zemljišča je 81 dm². Poiščite njegovo stran. Recimo, da je dolžina stranice kvadrata X decimetrov. Potem je površina parcele X² kvadratnih decimetrov. Ker je ta površina glede na pogoj 81 dm², torej X² = 81. Dolžina stranice kvadrata je pozitivno število. Pozitivno število, katerega kvadrat je 81, je število 9. Pri reševanju naloge je bilo treba najti število x, katerega kvadrat je 81, torej rešiti enačbo X² = 81. Ta enačba ima dva korena: x 1 = 9 in x 2 = - 9, saj je 9² = 81 in (- 9)² = 81. Obe številki 9 in - 9 se imenujeta kvadratni koreni števila 81.

Upoštevajte, da je eden od kvadratnih korenov X= 9 je pozitivno število. Imenuje se aritmetični kvadratni koren iz 81 in je označen z √81, torej √81 = 9.

Aritmetični kvadratni koren iz števila a je nenegativno število, katerega kvadrat je enak a.

Na primer, številki 6 in -6 sta kvadratni koreni iz 36. Število 6 je aritmetični kvadratni koren iz 36, saj je 6 nenegativno število in 6² = 36. Število -6 ni aritmetični koren.

Aritmetični kvadratni koren iz števila a označena takole: √ a.

Znak se imenuje aritmetični kvadratni korenski znak; a se imenuje korenski izraz. Izraz √ a preberite takole: aritmetični kvadratni koren iz števila a. Na primer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. V primerih, ko je jasno, da govorimo o aritmetičnem korenu na kratko pravijo: "kvadratni koren iz a«.

Dejanje iskanja kvadratnega korena iz števila se imenuje odvzem kvadratnega korena. To dejanje je obratno od kvadrature.

Vsako število je lahko na kvadrat, vendar ni vsako število kvadratni koren. Na primer, nemogoče je izluščiti kvadratni koren števila - 4. Če je tak koren obstajal, ga označite s črko X, bi dobili napačno enakost x² \u003d - 4, saj je na levi nenegativno število, na desni pa negativno.

Izraz √ a smiselno le takrat a ≥ 0. Definicijo kvadratnega korena lahko na kratko zapišemo kot: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Enakost (√ a)² = a velja za a ≥ 0. Tako se zagotovi, da je kvadratni koren nenegativnega števila a enaka b, to je, da √ a =b, morate preveriti, ali sta izpolnjena naslednja dva pogoja: b ≥ 0, b² = a.

Kvadratni koren iz ulomka

Izračunajmo. Upoštevajte, da je √25 = 5, √36 = 6, in preverite, ali enakost velja.

Kot in , potem je enakost resnična. torej .

izrek:Če a≥ 0 in b> 0, to je koren ulomka enaka korenu iz števca, deljenega s korenom imenovalca. Treba je dokazati, da: in .

Ker √ a≥0 in √ b> 0, potem .

Z lastnostjo povišanja ulomka na potenco in določanja kvadratnega korena izrek je dokazan. Poglejmo si nekaj primerov.

Izračunaj po dokazanem izreku .

Drugi primer: Dokaži to , če a ≤ 0, b < 0. .

Drug primer: Izračunaj.

.

Transformacija kvadratnega korena

Odvzem množitelja izpod znaka korena. Naj bo podan izraz. Če a≥ 0 in b≥ 0, potem lahko po izreku o korenu produkta zapišemo:

Takšna transformacija se imenuje faktorje iz korenskega znaka. Razmislite o primeru;

Izračunajte pri X= 2. Neposredna zamenjava X= 2 v radikalnem izrazu vodi do zapletenih izračunov. Te izračune lahko poenostavimo, če najprej odstranimo faktorje izpod predznaka korena: . Zdaj, če zamenjamo x = 2, dobimo:.

Torej, ko vzamemo faktor izpod predznaka korena, je radikalni izraz predstavljen kot produkt, v katerem je eden ali več faktorjev kvadrati nenegativnih števil. Nato se uporabi izrek o korenskem produktu in vzame se koren vsakega faktorja. Razmislite o primeru: Poenostavite izraz A = √8 + √18 - 4√2 tako, da vzamete faktorje izpod predznaka korena v prvih dveh členih, dobimo:. Poudarjamo, da je enakost velja samo takrat a≥ 0 in b≥ 0. če a < 0, то .

Pogosto se pri reševanju problemov soočamo z velikimi številkami, iz katerih moramo izluščiti Kvadratni koren. Veliko študentov se odloči, da je to napaka, in začnejo reševati celoten primer. V nobenem primeru tega ne bi smeli storiti! Za to sta dva razloga:

1. Korenine iz velike številke se dejansko pojavljajo pri nalogah. Še posebej v besedilu;
2. Obstaja algoritem, po katerem se te korenine obravnavajo skoraj verbalno.

Ta algoritem bomo obravnavali danes. Morda se vam bodo nekatere stvari zdele nerazumljive. Toda če boste pozorni na to lekcijo, boste dobili najmočnejše orožje proti kvadratne korenine.

Torej algoritem:

1. Omejite želeni koren zgoraj in spodaj na večkratnike 10. Tako bomo zmanjšali obseg iskanja na 10 številk;
2. Iz teh 10 številk izločite tiste, ki zagotovo ne morejo biti korenine. Posledično bo ostalo 1-2 številki;
3. Kvadrirajte ti 1-2 številki. Tisti od njih, katerega kvadrat je enak prvotnemu številu, bo koren.

Preden ta algoritem deluje v praksi, si oglejmo vsak posamezen korak.

Omejitev korenin

Najprej moramo ugotoviti, med katerimi številkami se nahaja naš koren. Zelo zaželeno je, da so številke večkratnik desetih:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dobimo niz številk:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Kaj nam dajejo te številke? Preprosto je: dobimo meje. Vzemimo na primer številko 1296. Leži med 900 in 1600. Zato njen koren ne more biti manjši od 30 in večji od 40:

[Napis slike]

Enako je s katerim koli drugim številom, iz katerega lahko najdete kvadratni koren. Na primer, 3364:

[Napis slike]

Tako namesto nerazumljivega števila dobimo zelo specifičen obseg, v katerem leži izvirni koren. Če želite dodatno zožiti obseg iskanja, pojdite na drugi korak.

Odprava očitno odvečnih številk

Torej imamo 10 številk - kandidatov za koren. Prejeli smo jih zelo hitro, brez kompleksnega razmišljanja in množenja v koloni. Čas je da gremo naprej.

Verjeli ali ne, zdaj bomo število kandidatnih številk zmanjšali na dve – in to spet brez zapletenih izračunov! dovolj vedeti posebno pravilo. Tukaj je:

Zadnja številka kvadrata je odvisna samo od zadnje števke originalna številka.

Z drugimi besedami, dovolj je, da pogledamo zadnjo številko kvadrata - in takoj bomo razumeli, kje se prvotna številka konča.

Obstaja samo 10 števk, ki lahko stojijo zadnje mesto. Poskusimo ugotoviti, v kaj se spremenijo, ko so na kvadrat. Poglejte si tabelo:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ta tabela je še en korak k izračunu korena. Kot lahko vidite, so se številke v drugi vrstici izkazale za simetrične glede na pet. Na primer:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kot lahko vidite, je zadnja številka v obeh primerih enaka. In to pomeni, da se na primer koren 3364 nujno konča z 2 ali 8. Po drugi strani pa se spomnimo omejitve iz prejšnjega odstavka. Dobimo:

[Napis slike]

Rdeči kvadratki kažejo, da te številke še ne poznamo. Toda navsezadnje je koren med 50 in 60, na katerem sta samo dve številki, ki se končata na 2 in 8:

[Napis slike]

To je vse! Od vseh možnih korenin smo pustili le dve možnosti! In to je v najtežjem primeru, saj je zadnja številka lahko 5 ali 0. In potem bo ostal edini kandidat za korenine!

Končni izračuni

Torej imamo še 2 številki kandidatov. Kako veš, kateri je koren? Odgovor je očiten: kvadrirajte obe številki. Tisti, ki je na kvadrat, bo dal prvotno število in bo koren.

Na primer, za število 3364 smo našli dve kandidatni številki: 52 in 58. Kvadirajmo ju:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

To je vse! Izkazalo se je, da je koren 58! Hkrati sem za poenostavitev izračunov uporabil formulo kvadratov vsote in razlike. Zahvaljujoč temu vam ni bilo treba niti pomnožiti številk v stolpcu! To je še ena stopnja optimizacije izračunov, vendar je seveda popolnoma neobvezna :)

Primeri za izračun korenin

Teorija je seveda dobra. Ampak preizkusimo v praksi.

[Napis slike]

Najprej ugotovimo, med katerimi številkami leži številka 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Zdaj pa poglejmo zadnjo številko. Enako je 6. Kdaj se to zgodi? Samo, če se koren konča s 4 ali 6. Dobimo dve številki:

Ostaja kvadrirati vsako številko in primerjati z izvirnikom:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

V redu! Izkazalo se je, da je prvi kvadrat enak prvotnemu številu. To je torej koren.

Naloga. Izračunaj kvadratni koren:

[Napis slike]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Poglejmo zadnjo številko:

1369 → 9;
33; 37.

Povejmo ga na kvadrat:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Tukaj je odgovor: 37.

Naloga. Izračunaj kvadratni koren:

[Napis slike]

Omejujemo število:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Poglejmo zadnjo številko:

2704 → 4;
52; 58.

Povejmo ga na kvadrat:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dobili smo odgovor: 52. Drugega števila ne bo več treba kvadrirati.

Naloga. Izračunaj kvadratni koren:

[Napis slike]

Omejujemo število:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Poglejmo zadnjo številko:

4225 → 5;
65.

Kot vidite, po drugem koraku ostane samo ena možnost: 65. To je želeni koren. Ampak še vedno ga kvadrirajmo in preverimo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Vse je pravilno. Odgovor zapišemo.

Zaključek

Aja, nič bolje. Poglejmo si razloge. Dva sta:

• Prepovedana je uporaba kalkulatorjev na katerem koli običajnem izpitu iz matematike, pa naj bo to GIA ali enotni državni izpit. In ker nosijo kalkulator v učilnico, jih je mogoče zlahka vrgli iz izpita.
• Ne bodi kot neumni Američani. Ki niso kot korenine - ne morejo sešteti dveh praštevil. In ob pogledu na ulomke na splošno postanejo histerični.

V tem članku vam bomo predstavili koncept korena števila. Delovali bomo zaporedno: začeli bomo s kvadratnim korenom, od njega bomo prešli na opis kockasti koren, nato posplošimo pojem korena z opredelitvijo korena n-te stopnje. Hkrati bomo predstavili definicije, zapise, navedli primere korenin ter dali potrebna pojasnila in komentarje.

Kvadratni koren, aritmetični kvadratni koren

Če želite razumeti definicijo korena števila in zlasti kvadratnega korena, morate imeti . Na tej točki se bomo pogosto srečali z drugo potenco števila – kvadrat števila.

Začnimo z definicije kvadratnega korena.

Opredelitev

Kvadratni koren a je število, katerega kvadrat je a .

Da bi prinesel primeri kvadratnih korenov, vzemite več številk, na primer 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , in jih kvadratirajte, dobimo številke 25 , 0,09 , 0,09 in 0 (5 2 = 5 5 = 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 in 0 2 =0 0=0). Potem je po zgornji definiciji 5 kvadratni koren iz 25, −0,3 in 0,3 so kvadratni koreni iz 0,09, 0 pa je kvadratni koren iz nič.

Treba je opozoriti, da za nobeno število ne obstaja a, katerega kvadrat je enak a. Za vsako negativno število a namreč ni pravo število b , katerega kvadrat bi bil enak a . Dejansko je enakost a=b 2 nemogoča za katero koli negativno a , saj je b 2 nenegativno število za katero koli b . tako, na množici realnih številk ni kvadratnega korena negativnega števila. Z drugimi besedami, na množici realnih števil kvadratni koren negativnega števila ni definiran in nima pomena.

To vodi do logičnega vprašanja: "Ali obstaja kvadratni koren od a za katero koli nenegativno a"? Odgovor je pritrdilen. Utemeljitev tega dejstva se lahko šteje za konstruktivno metodo, ki se uporablja za iskanje vrednosti kvadratnega korena.

Potem se pojavi naslednje logično vprašanje: "Koliko je število vseh kvadratnih korenov danega nenegativnega števila a - ena, dva, tri ali celo več"? Tukaj je odgovor na to: če je a nič, je edini kvadratni koren iz nič nič; če je a neko pozitivno število, potem je število kvadratnih korenov iz števila a enako dvema, koreni pa so . Utemeljimo to.

Začnimo s primerom a=0. Najprej pokažimo, da je nič dejansko kvadratni koren iz nič. To izhaja iz očitne enakosti 0 2 =0·0=0 in definicije kvadratnega korena.

Zdaj pa dokažimo, da je 0 edini kvadratni koren iz nič. Uporabimo nasprotno metodo. Predpostavimo, da obstaja nekaj neničelnega števila b, ki je kvadratni koren iz nič. Potem mora biti izpolnjen pogoj b 2 =0, kar je nemogoče, saj je za vsako b, ki ni nič, vrednost izraza b 2 pozitivna. Prišli smo do protislovja. To dokazuje, da je 0 edini kvadratni koren iz nič.

Pojdimo na primere, ko je a pozitivno število. Zgoraj smo rekli, da vedno obstaja kvadratni koren katerega koli nenegativnega števila, naj bo b kvadratni koren a. Recimo, da obstaja število c , ki je tudi kvadratni koren a . Potem po definiciji kvadratnega korena veljata enakosti b 2 =a in c 2 =a, iz česar sledi, da je b 2 −c 2 =a−a=0, ker pa b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , potem (b−c) (b+c)=0 . Nastala enakost velja lastnosti dejanj z realnimi števili možno samo, če je b−c=0 ali b+c=0. Tako sta številki b in c enaki ali nasprotni.

Če predpostavimo, da obstaja število d, ki je še en kvadratni koren iz števila a, potem s podobnimi sklepi, kot so že podani, dokažemo, da je d enako številu b ali številu c. Torej je število kvadratnih korenov pozitivnega števila dva, kvadratni koreni pa so nasprotna števila.

Za udobje dela s kvadratnimi koreni negativni koren loči od pozitivnega. V ta namen uvaja definicija aritmetičnega kvadratnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kvadratni koren nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega kvadrat je enak a .

Za aritmetični kvadratni koren iz števila a je zapis sprejet. Znak se imenuje aritmetični kvadratni korenski znak. Imenuje se tudi znak radikala. Zato lahko delno slišite tako "koren" kot "radikal", kar pomeni isti predmet.

Število pod znakom aritmetičnega kvadratnega korena se imenuje korenska številka in izraz pod korenskim znakom - radikalen izraz, medtem ko se izraz "radikalno število" pogosto nadomesti z "radikalnim izrazom". Na primer, v zapisu je število 151 radikalno število, v zapisu pa je izraz a radikalni izraz.

Pri branju je beseda »aritmetika« pogosto izpuščena, na primer vnos se bere kot »kvadratni koren iz sedmih točk devetindvajset stotink«. Besedo »aritmetika« izgovorijo le, ko želijo poudariti, da govorimo o pozitivnem kvadratnem korenu števila.

V luči uvedenega zapisa iz definicije aritmetičnega kvadratnega korena izhaja, da je za vsako nenegativno število a .

Kvadratni koreni pozitivnega števila a so zapisani z uporabo aritmetičnega znaka kvadratnega korena kot in . Na primer, kvadratni koreni iz 13 so in . Aritmetični kvadratni koren iz nič je nič, to je. Za negativna števila a vpisom ne bomo pripisovali pomena, dokler ne preučimo kompleksna števila. Na primer, izrazi in so brez pomena.

Na podlagi definicije kvadratnega korena so dokazane lastnosti kvadratnih korenov, ki se pogosto uporabljajo v praksi.

Za zaključek tega pododdelka ugotavljamo, da so kvadratni koreni števila rešitve v obliki x 2 =a glede na spremenljivko x .

kockasti koren

Definicija kockastega korenaštevila a je podana na podoben način kot definicija kvadratnega korena. Samo temelji na konceptu kocke števila, ne kvadrata.

Opredelitev

Kockasti koren a se imenuje število, katerega kocka je enaka a.

Prinesemo primeri kockastih korenin . Če želite to narediti, vzemite več številk, na primer 7 , 0 , −2/3 , in jih kockirajte: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Potem lahko na podlagi definicije kubnega korena rečemo, da je število 7 kubični koren iz 343, 0 je kubični koren iz nič in −2/3 je kubični koren iz −8/27.

Lahko se pokaže, da kubični koren števila a, za razliko od kvadratnega korena, vedno obstaja, in to ne samo za nenegativno a, ampak tudi za vsako realno število a. Če želite to narediti, lahko uporabite isto metodo, ki smo jo omenili pri preučevanju kvadratnega korena.

Poleg tega obstaja samo en kubni koren danega števila a. Dokažimo zadnjo trditev. Če želite to narediti, upoštevajte tri primere ločeno: a je pozitivno število, a=0 in a je negativno število.

Preprosto je pokazati, da za pozitivno a kubični koren a ne more biti niti negativen niti nič. Dejansko naj je b kubni koren a , potem lahko po definiciji zapišemo enakost b 3 =a . Jasno je, da ta enakost ne more veljati za minus b in za b=0, saj bo v teh primerih b 3 =b·b·b negativno število oziroma nič. Torej je kubni koren pozitivnega števila a pozitivno število.

Zdaj pa predpostavimo, da je poleg števila b še en kubni koren iz števila a, označimo ga c. Potem je c 3 =a. Zato je b 3 −c 3 =a−a=0 , vendar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(to je skrajšana formula za množenje razlika kock), od koder (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Nastala enakost je možna le, če je b−c=0 ali b 2 +b c+c 2 =0 . Iz prve enakosti imamo b=c , druga enakost pa nima rešitev, saj je njena leva stran pozitivno število za poljubna pozitivna števila b in c kot vsota treh pozitivnih členov b 2 , b c in c 2 . To dokazuje edinstvenost kubnega korena pozitivnega števila a.

Za a=0 je edini kubni koren a nič. Dejansko, če predpostavimo, da obstaja število b , ki je neničelni kubni koren iz nič, potem mora veljati enakost b 3 =0, kar je možno le, če je b=0 .

Za negativno a je mogoče trditi podobno kot v primeru pozitivnega a. Najprej pokažemo, da kubični koren negativnega števila ne more biti enak niti pozitivnemu številu niti nič. Drugič, predpostavimo, da obstaja drugi kubni koren negativnega števila in pokažemo, da bo nujno sovpadal s prvim.

Torej, vedno obstaja kubni koren katerega koli realnega števila a in samo ena.

dajmo definicija aritmetičnega kubnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kubni koren nenegativnega števila a se imenuje nenegativno število, katerega kocka je enaka a.

Aritmetični kubusni koren nenegativnega števila a je označen kot , znak se imenuje znak aritmetičnega kubnega korena, število 3 v tem zapisu se imenuje koreninski indikator. Številka pod korenskim znakom je korenska številka, izraz pod korenskim znakom je radikalen izraz.

Čeprav je aritmetični kubusni koren definiran samo za nenegativna števila a, je prav tako priročno uporabiti vnose, v katerih so negativna števila pod znakom aritmetičnega kubnega korena. Razumeli jih bomo takole: , kjer je a pozitivno število. na primer .

O lastnostih kockastih korenin bomo govorili v splošnem članku Lastnosti korenin.

Izračun vrednosti kubičnega korena se imenuje ekstrahiranje kubičnega korena, to dejanje je obravnavano v članku ekstrahiranje korenov: metode, primeri, rešitve.

Za zaključek tega pododdelka pravimo, da je kubni koren a rešitev v obliki x 3 =a.

N-ti koren, aritmetični koren n

Pojem korena posplošimo iz števila - uvedemo določitev n-tega korena za n.

Opredelitev

n-ti koren a je število, katerega n-ta potenca je enaka a.

Iz te definicije je jasno, da je koren prve stopnje iz števila a samo število a, saj smo pri preučevanju stopnje z naravnim kazalnikom vzeli a 1 = a.

Zgoraj smo obravnavali posebne primere korena n-te stopnje za n=2 in n=3 - kvadratni koren in kubni koren. To pomeni, da je kvadratni koren koren druge stopnje, kubni koren pa koren tretje stopnje. Za preučevanje korenin n-te stopnje za n=4, 5, 6, ... jih je priročno razdeliti v dve skupini: prva skupina - korenine sodih stopinj (to je za n=4, 6 , 8, ...), druga skupina - korenine lihe stopnje (to je za n=5, 7, 9, ... ). To je posledica dejstva, da so korenine sodih stopinj podobne kvadratnemu korenu, korenine lihih stopinj pa so podobne kubičnemu korenu. Opravimo se z njimi po vrsti.

Začnemo s koreninami, katerih moči so Soda števila 4, 6, 8, ... Kot smo že rekli, so analogni kvadratnemu korenu a. To pomeni, da koren katere koli sode stopnje iz števila a obstaja samo za nenegativno a. Poleg tega, če je a=0, potem je koren a edinstven in enak nič, in če a>0, potem obstajata dva korena sode stopnje od števila a in sta nasprotni števili.

Upravičimo zadnjo trditev. Naj je b koren sode stopnje (označujemo ga kot 2 m, kjer je m nekaj naravno število) od številke a. Recimo, da obstaja število c - še 2 m koren a . Potem b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Toda poznamo obliko b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), potem (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iz te enakosti sledi, da je b−c=0 , ali b+c=0 , oz b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvi dve enakosti pomenita, da sta številki b in c enaki ali pa sta si b in c nasprotni. In zadnja enakost velja samo za b=c=0 , saj njena leva stran vsebuje izraz, ki ni negativen za kateri koli b in c kot vsota nenegativnih števil.

Kar zadeva korene n-te stopnje za liho n, so podobni kubnemu korenu. To pomeni, da koren katere koli lihe stopnje iz števila a obstaja za vsako realno število a, za dano število a pa je edinstven.

Edinstvenost korena lihe stopnje 2·m+1 iz števila a je dokazana po analogiji z dokazom edinstvenosti kubnega korena iz a . Samo tukaj namesto enakosti a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) enakost v obliki b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Izraz v zadnjem oklepaju lahko prepišemo kot b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primer, za m=2 imamo b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Če sta a in b oba pozitivna ali oba negativna, je njun produkt pozitivno število, potem je izraz b 2 +c 2 +b·c , ki je v oklepaju najvišje stopnje gnezdenja, pozitiven kot vsota pozitivnih številke. Zdaj, ko se zaporedoma premikamo na izraze v oklepajih prejšnjih stopenj gnezdenja, poskrbimo, da so tudi ti pozitivni kot vsote pozitivnih števil. Kot rezultat dobimo, da je enakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 možno le, če je b−c=0, torej ko je število b enako številu c.

Čas je, da se ukvarjamo z zapisom korenin n. stopnje. Za to je dano določitev aritmetičnega korena n. stopnje.

Opredelitev

Aritmetični koren n-te stopnje nenegativnega števila a imenujemo nenegativno število, katerega n-ta potenca je enaka a.