In zlati rez. Zlato razmerje - matematika - sveta geometrija - znanost - katalog artiklov - vrtnica sveta

Vsak človek, ki se sreča z geometrijo predmetov v prostoru, dobro pozna metodo zlatega reza. Uporablja se v umetnosti, notranjem oblikovanju in arhitekturi. Tudi v prejšnjem stoletju se je zlati rez izkazal za tako priljubljenega, da so mu zdaj številni privrženci mistične vizije sveta dali drugo ime - univerzalno harmonično pravilo. Značilnosti te metode je vredno razmisliti podrobneje. To bo pomagalo ugotoviti, zakaj ga zanima več področij dejavnosti hkrati - umetnost, arhitektura, oblikovanje.

Bistvo univerzalnega razmerja

Načelo zlatega reza je samo odvisnost številk. Vendar so mnogi do tega pristranski in temu pojavu pripisujejo nekaj mističnih moči. Razlog je v nenavadnih lastnostih pravila:

• Veliko živih predmetov ima razmerja trupa in okončin, ki so blizu znakom zlatega reza.
• Odvisnosti 1,62 ali 0,63 določata razmerja velikosti samo za živa bitja. Predmeti, povezani z neživo naravo, zelo redko ustrezajo pomenu harmonskega pravila.
• Zlata razmerja telesne zgradbe živih bitij so bistven pogoj za preživetje številnih bioloških vrst.

Zlato razmerje najdemo v zgradbi teles različnih živali, drevesnih debel in grmovnih korenin. Zagovorniki univerzalnosti tega načela poskušajo dokazati, da je njegov pomen ključnega pomena za predstavnike živega sveta.

Metodo zlatega reza lahko razložite s podobo piščančjega jajca. Razmerje segmentov od točk lupine, enako oddaljenih od težišča, je enako zlatemu rezu. Najpomembnejši pokazatelj preživetja ptic je oblika jajčeca in ne moč lupine.

Pomembno! Zlati rez se izračuna na podlagi meritev številnih živih predmetov.

Izvor zlatega reza

Matematiki stare Grčije so vedeli za univerzalno pravilo. Uporabljala sta ga Pitagora in Evklid. V znameniti arhitekturni mojstrovini - Keopsovi piramidi, razmerje med dimenzijami glavnega dela in dolžine stranic, pa tudi reliefi in dekorativni detajli ustrezajo harmoničnemu pravilu.

Metodo zlatega reza so sprejeli ne le arhitekti, ampak tudi umetniki. Skrivnost harmoničnih razmerij je veljala za eno največjih skrivnosti.

Prvi, ki je dokumentiral univerzalni geometrijski delež, je bil frančiškanski menih Luca Pacioli. Njegove sposobnosti v matematiki so bile odlične. Zlati prerez je dobil široko prepoznavnost po objavi Zeisingovih rezultatov o zlatem prerezu. Preučeval je razmerja človeškega telesa, starodavne skulpture, rastline.

Kako je bil izračunan zlati rez?

Če želite razumeti, kaj je zlati rez, vam bo pomagala razlaga, ki temelji na dolžinah segmentov. Na primer, znotraj velikega je več majhnih. Nato so dolžine majhnih segmentov povezane s skupno dolžino velikega segmenta kot 0,62. Takšna definicija pomaga ugotoviti, na koliko delov je mogoče razdeliti določeno črto, tako da je v skladu s harmoničnim pravilom. Druga prednost uporabe te metode je, da lahko ugotovite, kakšno bi moralo biti razmerje največjega segmenta do dolžine celotnega predmeta. To razmerje je 1,62.

Takšne podatke lahko predstavimo kot deleže izmerjenih objektov. Sprva so jih iskali, empirično izbirali. Zdaj pa so znana natančna razmerja, zato ne bo težko zgraditi objekta v skladu z njimi. Zlato razmerje najdemo na naslednje načine:

• Sestavite pravokoten trikotnik. Razrežite eno od njegovih stranic in nato narišite pravokotnice s sečnimi loki. Pri izračunih je treba z enega konca segmenta zgraditi pravokotnik, ki je enak ½ njegove dolžine. Potem je pravokoten trikotnik dokončan. Če na hipotenuzi označite točko, ki bo pokazala dolžino pravokotnega segmenta, bo polmer, enak preostanku premice, razrezal osnovo na dve polovici. Nastale črte bodo med seboj povezane v skladu z zlatim rezom.
• Univerzalne geometrijske vrednosti dobimo tudi na drug način - z izgradnjo Durerjevega pentagrama. Ona je zvezda, ki je postavljena v krog. Vsebuje 4 segmente, katerih dolžine ustrezajo pravilu zlatega reza.
• V arhitekturi se harmonično razmerje uporablja v spremenjeni obliki. Da bi to naredili, je treba pravokoten trikotnik razdeliti vzdolž hipotenuze.

Pomembno! V primerjavi s klasičnim konceptom metode zlatega reza ima arhitektova različica razmerje 44:56.

Če je bilo v tradicionalni interpretaciji harmonskega pravila za grafiko izračunano kot 37:63, se je za arhitekturne strukture pogosteje uporabljalo 44:56. To je posledica potrebe po gradnji visokih stavb.

Skrivnost zlatega reza

Če je pri živih predmetih zlati rez, ki se kaže v razmerjih telesa ljudi in živali, mogoče razložiti s potrebo po prilagajanju okolju, potem je uporaba pravila optimalnih razmerij v 12. stoletju graditi hiše je bilo novo.

Partenon, ohranjen iz časa antične Grčije, je bil postavljen po metodi zlatega reza. Številni gradovi srednjeveških plemičev so bili ustvarjeni s parametri, ki ustrezajo harmoničnemu pravilu.

Zlato razmerje v arhitekturi

Številne antične zgradbe, ki so se ohranile do danes, so potrditev, da so arhitekti iz srednjega veka poznali harmonično pravilo. Zelo jasno je vidna želja po ohranjanju skladnega razmerja pri gradnji cerkva, pomembnih javnih zgradb, rezidenc kraljevih oseb.

Katedrala Notre Dame je bila na primer zgrajena tako, da številni njeni deli ustrezajo pravilu zlatega reza. Najdete lahko veliko arhitekturnih del 18. stoletja, ki so bila zgrajena v skladu s tem pravilom. Pravilo so uporabljali tudi številni ruski arhitekti. Med njimi je bil M. Kazakov, ki je ustvaril projekte za posestva in stanovanjske stavbe. Zasnoval je zgradbo senata in bolnišnico Golitsyn.

Seveda so bile hiše s takšnim razmerjem delov postavljene še pred odkritjem pravila zlatega reza. Takšne zgradbe na primer vključujejo cerkev priprošnje na Nerlu. Lepota stavbe postane še bolj skrivnostna, glede na to, da je bila stavba priproške cerkve postavljena v 18. stoletju. Vendar je stavba po obnovi dobila sodoben videz.

V spisih o zlatem rezu se omenja, da je v arhitekturi zaznavanje predmetov odvisno od tega, kdo opazuje. Razmerja, oblikovana z uporabo zlatega reza, dajejo najbolj sproščeno razmerje delov strukture med seboj.

Osupljiv predstavnik številnih zgradb, ki so v skladu z univerzalnim pravilom, je Partenon, arhitekturni spomenik, postavljen v petem stoletju pred našim štetjem. e. Partenon je urejen z osmimi stebri na manjših fasadah in sedemnajstimi na večjih. Tempelj je bil zgrajen iz plemenitega marmorja. Zaradi tega je uporaba barvil omejena. Višina stavbe se nanaša na njeno dolžino 0,618. Če Partenon razdelite glede na razmerja zlatega reza, boste dobili določene robove fasade.

Vse te strukture imajo eno skupno stvar - harmonijo kombinacije oblik in odlične kakovosti gradnje. To je posledica uporabe harmonskega pravila.

Pomen zlatega reza za osebo

Arhitektura starodavnih zgradb in srednjeveških hiš je za sodobne oblikovalce precej zanimiva. To je posledica naslednjih razlogov:

• Zahvaljujoč izvirni zasnovi hiš lahko preprečite nadležne klišeje. Vsaka taka zgradba je arhitekturna mojstrovina.
• Množična uporaba pravila za okrasitev skulptur in kipov.
• Zahvaljujoč spoštovanju harmoničnih razmerij je oko pritegnilo pomembnejše podrobnosti.

Pomembno! Arhitekti srednjega veka so pri izdelavi gradbenega projekta in oblikovanju zunanjega videza uporabljali univerzalne razmerje, ki temeljijo na zakonih človeškega zaznavanja.

Danes so psihologi prišli do zaključka, da načelo zlatega reza ni nič drugega kot človeška reakcija na določeno razmerje velikosti in oblik. V enem poskusu je bila skupina subjektov pozvana, naj zloži list papirja tako, da so se stranice izkazale z optimalnimi razmerji. Pri 85 rezultatih od 100 so ljudje zložili list skoraj natančno v skladu s harmoničnim pravilom.

Po mnenju sodobnih znanstvenikov so kazalniki zlatega reza bolj na področju psihologije kot pa označujejo zakone fizičnega sveta. To pojasnjuje, zakaj je zanj tako zanimanje prevarantov. Toda pri gradnji predmetov po tem pravilu jih človek zazna bolj udobno.

Uporaba zlatega reza pri oblikovanju

Načela uporabe univerzalnega deleža se vse pogosteje uporabljajo pri gradnji zasebnih hiš. Posebna pozornost je namenjena spoštovanju optimalnih razmerij strukture. Veliko pozornosti namenjamo pravilni porazdelitvi pozornosti znotraj hiše.

Sodobna interpretacija zlatega reza se ne nanaša več le na pravila geometrije in oblike. Danes načelo harmoničnih razmerij ne upošteva le dimenzij fasadnih detajlov, površine ​​​​​​ ali dolžine zatrepov, temveč tudi barvno paleto, ki se uporablja za ustvarjanje notranjosti.

Veliko lažje je zgraditi harmonično strukturo na modularni osnovi. Številni oddelki in prostori se v tem primeru izvajajo kot ločeni bloki. Zasnovani so v strogem skladu s harmoničnim pravilom. Postaviti zgradbo kot sklop ločenih modulov je veliko lažje kot ustvariti eno škatlo.

Mnoga podjetja, ki se ukvarjajo z gradnjo podeželskih hiš, pri ustvarjanju projekta upoštevajo harmonično pravilo. To omogoča strankam, da dajejo vtis, da je konstrukcija stavbe podrobno izdelana. Takšne hiše običajno opisujejo kot najbolj harmonične in udobne za uporabo. Z optimalno izbiro prostorov sob se stanovalci psihično počutijo mirne.

Če je bila hiša zgrajena brez upoštevanja harmoničnih razmerij, lahko ustvarite postavitev, ki bo glede na razmerje med velikostmi sten blizu 1: 1,61. Da bi to naredili, so v prostorih nameščene dodatne predelne stene ali pa so kosi pohištva preurejeni.

Podobno se spremenijo dimenzije vrat in oken tako, da ima odprtina širino 1,61-krat manjšo od višine.

Težje izbrati barve. V tem primeru lahko opazite poenostavljeno vrednost zlatega reza - 2/3. Glavno barvno ozadje mora zasedati 60% prostora v prostoru. Senčna senca zavzema 30% prostora. Preostala površina je prebarvana s toni, ki so blizu drug drugemu, kar izboljša zaznavanje izbrane barve.

Notranje stene prostorov so razdeljene z vodoravnim trakom. Nahaja se 70 cm od tal. Višina pohištva mora biti v harmoniji z višino sten. To pravilo velja tudi za porazdelitev dolžin. Na primer, kavč mora imeti dimenzije, ki bi bile vsaj 2/3 dolžine stene. Določeno vrednost bi morala imeti tudi površina prostora, ki jo zasedajo kosi pohištva. Nanaša se na skupno površino celotne sobe kot 1:1,61.

Zlato razmerje je težko uporabiti v praksi zaradi prisotnosti le ene številke. Zato. Oblikujem harmonične zgradbe, uporabljam vrsto Fibonaccijevih številk. To zagotavlja različne možnosti za oblike in razmerja detajlov stavbe. Niz Fibonaccijevih številk se imenuje tudi zlata. Vse vrednosti strogo ustrezajo določeni matematični odvisnosti.

Poleg serije Fibonacci sodobna arhitektura uporablja tudi drugo oblikovno metodo – princip, ki ga je postavil francoski arhitekt Le Corbusier. Pri izbiri te metode je začetna merska enota višina lastnika hiše. Na podlagi tega kazalnika se izračunajo dimenzije stavbe in notranjosti. Zahvaljujoč temu pristopu hiša ni le harmonična, ampak pridobi tudi individualnost.

Vsaka notranjost bo dobila bolj popoln videz, če boste v njej uporabili vogale. Pri uporabi univerzalnih razmerij lahko izračunate njegovo velikost. Optimalni kazalniki so 22,5, 14 in 8,5 cm Napušč je treba namestiti v skladu s pravili zlatega reza. Majhna stran dekorativnega elementa mora biti povezana z večjo stranjo, tako kot s kombiniranimi vrednostmi obeh strani. Če je velika stran enaka 14 cm, je treba majhno narediti 8,5 cm.

Prostoru lahko daste udobje z delitvijo stenskih površin s pomočjo mavčnih ogledal. Če je stena razdeljena z robnikom, je treba od preostalega večjega dela stene odšteti višino venčnega traku. Za ustvarjanje ogledala optimalne dolžine je treba enako razdaljo umakniti od robnika in venca.

Zaključek

Hiše, zgrajene po principu zlatega reza, se res izkažejo za zelo udobne. Vendar je cena gradnje takšnih stavb precej visoka, saj se stroški gradbenega materiala zaradi netipičnih velikosti povečajo za 70%. Ta pristop sploh ni nov, saj je večina hiš prejšnjega stoletja nastala na podlagi parametrov lastnikov.

Zahvaljujoč uporabi metode zlatega reza pri gradnji in oblikovanju stavbe niso le udobne, ampak tudi trpežne. Izgledajo harmonično in privlačno. Tudi notranjost je urejena v skladu z univerzalnim razmerjem. To vam omogoča pametno uporabo prostora.

V takšnih prostorih se človek počuti čim bolj udobno. Sami lahko zgradite hišo po principu zlatega reza. Glavna stvar je izračunati obremenitve elementov konstrukcije in izbrati prave materiale.

Metoda zlatega reza se uporablja pri oblikovanju notranjosti, pri čemer se v prostor postavljajo dekorativni elementi določenih velikosti. To vam omogoča, da sobi zagotovite udobje. Barvne rešitve so izbrane tudi v skladu z univerzalnimi harmonskimi razmerji.

ZLATA SREDINA

1. Uvod 2 . Zlato razmerje - harmonično razmerje
3 . Drugi zlati rez
4 . Zo lotosov trikotnik (pentagram)
5 . Zgodovina zlatega reza 6 . Zlato razmerje in simetrija 7. Fibonaccijeva serija 8 . Splošni zlati rez 9 . Načela oblikovanja v naravi 1 0 . Človeško telo in zlati rez 1 1 . Zlato razmerje v kiparstvu 1 2 . Zlato razmerje v arhitekturi 1 3 . Zlati rez v glasbi 1 4 . Zlati rez v poeziji 1 5 . Zlato razmerje v pisavah in gospodinjskih predmetih 1 6 . Optimalni fizikalni parametri okolja 1 7 . Zlati rez v slikarstvu 1 8 . Zlati rez in zaznavanje slike 19. Zlato razmerje na fotografijah 2 0 . Zlato razmerje in prostor 2 1 . Zaključek 2 2 . Bibliografija
UVOD Ljudje so bili že od antičnih časov zaskrbljeni zaradi vprašanja, ali so tako izmuzljive stvari, kot sta lepota in harmonija, predmet kakršnih koli matematičnih izračunov.. Seveda vseh lepotnih zakonov ni mogoče vsebovati v nekaj formulah, a s študijem matematike lahko odkrijemo nekaj izrazov lepote.- zlata sredina. Naša naloga je ugotoviti, kaj je zlati rez in ugotoviti, kje je človeštvo našlo uporabo zlata. th razdelek. Verjetno ste bili pozorni na to, da različno obravnavamo predmete in pojave okoliške realnosti. Neurejenost, brezobličnost, nesorazmerje se nam zdijo grdi in povzročajo odvraten vtis. In predmeti in pojavi, za katere je značilna mera, smotrnost in harmonija, se dojemajo kot lepi in nam povzročajo občutek občudovanja, veselja, razveseljevanja. Človek se v svoji dejavnosti nenehno srečuje s predmeti, ki za osnovo uporabljajo zlati rez.So stvari, ki jih ni mogoče razložiti. Tako prideš do prazne klopi in se usedeš nanjo. Kje boš sedel - na sredino? Ali morda od samega roba? Ne, najverjetneje ne eno ali drugo. Sedeli boste tako, da bo razmerje enega dela klopi do drugega glede na vaše telo približno 1,62. Preprosta stvar, popolnoma instinktivna... Sedeč na klopi si ustvaril "zlati rez". Zlato razmerje so poznali v starem Egiptu in Babilonu, v Indiji in na Kitajskem. Veliki Pitagora je ustvaril skrivno šolo, kjer so preučevali mistično bistvo "zlatega reza". Evklid ga je uporabil in ustvaril svojo geometrijo, Phidias pa svoje nesmrtne skulpture. Platon je rekel, da je vesolje urejeno po "zlatem prerezu". In Aristotel je našel skladnost "zlatega reza" z etičnim zakonom. Najvišjo harmonijo »zlatega reza« bosta pridigala Leonardo da Vinci in Michelangelo, saj sta lepota in »zlati prerez« eno in isto. Krščanski mistiki bodo na stene svojih samostanov narisali pentagrame "zlatega reza" in pobegnili pred hudičem. Hkrati pa znanstveniki - iz Pacha l in pred Einsteinom - iskali bodo, a nikoli ne bodo našli njegovega točnega pomena. Neskončna serija za decimalno vejico - 1,6180339887 ... Čudna, skrivnostna, nerazložljiva stvar: ta božanski delež mistično spremlja vsa živa bitja. Neživa narava ne ve, kaj je "zlati prerez". Zagotovo pa boste ta delež videli v oblinah morskih školjk, v obliki cvetov, v obliki hroščev in v čudovitem človeškem telesu. Vse živo in vse lepo - vse je podložno božanskemu zakonu, ki mu je ime "zlati rez". Kaj je torej »zlati rez«?.. Kaj je ta idealna, božanska kombinacija? Mogoče je to zakon lepote? Ali pa je to še vedno mistična skrivnost? Znanstveni fenomen ali etično načelo? Odgovor še ni znan. Natančneje - ne, se pozna. "Zlati prerez" je tako to, kot drugo in tretje. Samo ne ločeno, ampak hkrati ... In to je njegova resnična skrivnost, njegova velika skrivnost. Verjetno je težko najti zanesljivo merilo za objektivno oceno lepote same in sama logika tukaj ne bo pomagala. Pri tem pa bodo v pomoč izkušnje tistih, ki jim je bilo iskanje lepote smisel življenja, ki so to naredili za svoj poklic. Najprej so to ljudje umetnosti, kot jim pravimo: umetniki, arhitekti, kiparji, glasbeniki, pisatelji. Toda to so tudi ljudje natančnih znanosti, najprej matematiki. Ker je bolj zaupal očesu kot drugim čutnim organom, se je človek najprej naučil razlikovati predmete okoli sebe po obliki. Zanimanje za obliko predmeta lahko narekuje vitalna nujnost ali pa lepota oblike. Oblika, ki temelji na kombinaciji simetrije in zlatega reza, prispeva k najboljši vizualni percepciji in videzu občutka za lepoto in harmonijo. Celota je vedno sestavljena iz delov, deli različnih velikosti so v določenem odnosu med seboj in s celoto.Načelo zlatega reza je najvišja manifestacija strukturne in funkcionalne popolnosti celote in njenih delov v umetnosti, znanosti, tehnologiji in naravi. ZLATI PRESEK - HARMONIČNI PROPERCIJ V matematiki je sorazmerje enakost dveh razmerij: a: b = c: d. Odsek AB lahko razdelimo na dva dela na naslednje načine: -- na dva enaka dela - AB: AC = AB: BC; -- na dva neenaka dela v poljubnem razmerju (takšni deli ne tvorijo sorazmerja); -- torej, ko je AB: AC = AC: BC. Zadnja je zlata divizija. Zlati rez je taka sorazmerna delitev segmenta na neenake dele, pri kateri se celoten odsek nanaša na večji del na enak način, kot se večji del sam nanaša na manjši; ali z drugimi besedami, manjši segment je povezan z večjim, kot je večji z vsem a: b = b: c ali c: b = b: a. Praktično spoznavanje zlatega reza se začne z delitvijo ravnega odseka v zlatem rezu s kompasom in ravnilom. Iz točke B se obnovi pravokotnica, ki je enaka polovici AB. Nastala točka C je povezana s črto s točko A. Na dobljeni črti je izrisan odsek BC, ki se konča s točko D. Odsek AD se prenese na ravno črto AB. Nastala točka E deli segment AB v razmerju zlatega reza. Segmenti zlatega reza so izraženi kot neskončen ulomek AE = 0,618 ..., če vzamemo AB kot enoto, BE = 0,382 ... Za praktične namene so približne vrednosti 0,62 in 0,38 pogosto uporablja. Če vzamemo odsek AB kot 100 delov, potem je največji del segmenta 62, manjši pa 38 delov. Lastnosti zlatega reza so opisane z enačbo: x2 - x - 1 = 0. Rešitev te enačbe:

Lastnosti zlatega reza so okoli tega števila ustvarile romantično avro skrivnosti in skoraj mistično generacijo. Na primer, v navadni peterokraki zvezdi je vsak segment razdeljen s segmentom, ki ga seka v zlatem razmerju (tj)
DRUGI ZLATI PRESEK Bolgarska revija "Fatherland" je objavila članek Tsvetana Tsekova-Karandasha "O drugem zlatem prerezu", ki sledi iz glavnega dela in daje drugo razmerje 44: 56. Ta delež najdemo v arhitekturi. Delitev se izvede na naslednji način. Odsek AB je razdeljen sorazmerno z zlatim prerezom. Iz točke C se pravokotni CD obnovi. Polmer AB je točka D, ki je s črto povezana s točko A. Pravi kot ACD je prepolovljen. Od točke C do presečišča s črto AD je potegnjena črta. Točka E deli segment AD v razmerju 56:44. Slika prikazuje položaj črte drugega zlatega reza. Nahaja se na sredini med črto zlatega reza in srednjo črto pravokotnika. ZLATI TRIKOTNIK Če želite poiskati segmente zlatega reza naraščajočih in padajočih vrstic, lahko uporabite pentagram. Če želite zgraditi pentagram, morate zgraditi navaden petkotnik. Način njegove gradnje je razvil nemški slikar in grafik Albrecht Dürer. Naj bo O središče kroga, A točka na krogu in E središče segmenta OA. Navpičnica na polmer OA, dvignjena v točki O, seka s krogom v točki D. S šestilom označimo odsek CE = ED na premeru. Dolžina stranice pravilnega peterokotnika, vpisanega v krog, je DC. Na krogu odložimo segmente DC in dobimo pet točk za risanje pravilnega peterokotnika. Skozi eno diagonalo povežemo vogale peterokotnika in dobimo pentagram. Vse diagonale peterokotnika se med seboj delijo na segmente, povezane z zlatim rezom. Vsak konec peterokotne zvezde je zlati trikotnik. Njegove stranice na vrhu tvorijo kot 36°, ob strani položena osnova pa ga deli sorazmerno z zlatim rezom. Nariši ravno črto AB. Od točke A nanjo trikrat odložimo odsek O poljubne velikosti, skozi nastalo točko P narišemo pravokotno na premico AB, na pravokotnik desno in levo od točke P odložimo segmente O. Točki d in d1 sta povezani z ravnimi črtami s točko A. Odsek dd1 smo dali na premico Ad1 in dobili točko C. Premo Ad1 je razdelila v sorazmerju z zlatim rezom. Vrstici Ad1 in dd1 se uporabljata za izgradnjo "zlatega" pravokotnika. ZGODOVINA ZLATEGA PRESEKA
Splošno sprejeto je, da je koncept zlate delitve v znanstveno uporabo uvedel Pitagora, starogrški filozof in matematik. Obstaja domneva, da si je Pitagora svoje znanje o zlati delitvi sposodil od Egipčanov in Babilonov. Dejansko razmerja Keopsove piramide, templjev, gospodinjskih predmetov in okraskov iz Tutankamonove grobnice kažejo, da so egipčanski obrtniki pri ustvarjanju uporabljali razmerja zlate delitve. Francoski arhitekt Le Corbusier je ugotovil, da na reliefu iz templja faraona Setija I. v Abydosu in na reliefu, ki prikazuje faraona Ramzesa, razmerja figur ustrezajo vrednostim zlatega razdelka. Arhitekt Khesira, upodobljen na reliefu lesene plošče iz grobnice njegovega imena, drži v rokah merilne instrumente, v katerih so določeni deleži zlatega prereza. Grki so bili spretni geometri. Tudi aritmetike so svoje otroke učili s pomočjo geometrijskih figur. Pitagorov kvadrat in diagonala tega kvadrata sta bila osnova za konstruiranje dinamičnih pravokotnikov. Platon je vedel tudi za zlati del. Pitagorejci Timej v Platonovem istoimenskem dialogu pravi: "Nemogoče je, da bi bili dve stvari popolnoma povezani brez tretje, saj se mora med njima pojaviti stvar, ki bi ju držala skupaj. To je najbolje narediti po sorazmerju, ker če tri števila imajo lastnost, da je povprečje tako za manjše, kolikor je večje za povprečje, in obratno, manjše je za povprečje, kot je povprečje za večje, potem bosta zadnja in prva sredina in sredina prva in zadnja. ker bo enaka, bo naredila celoto." Platon gradi zemeljski svet s trikotniki dveh vrst: enakokraki in neenakokraki. Za najlepši pravokoten trikotnik šteje tisti, v katerem je hipotenuza dvakrat najmanjša od krakov (takšen pravokotnik je polovica enakostraničnega, glavna figura Babilonov, ima razmerje 1: 3 1/2 , ki se od zlatega reza razlikuje za približno 1/25 in ga Thymerding imenuje "tekmec zlatega reza"). S pomočjo trikotnikov Platon zgradi štiri pravilne poliedre in jih poveže s štirimi zemeljskimi elementi (zemljo, vodo, zrakom in ognjem). In samo zadnji od petih obstoječih pravilnih poliedrov - dodekaeder, katerega vseh dvanajst obrazov je pravilnih peterokotnikov, trdi, da je simbolna podoba nebeškega sveta.

Ikosaeder in dodekaeder Čast odkritja dodekaedra (ali, kot je bilo domnevno, samega vesolja, te kvintesence štirih elementov, ki jih simbolizirajo tetraeder, oktaeder, ikozaeder in kocka) pripada Hipasu, ki je pozneje umrl v brodolomu. Ta figura res zajame številne odnose zlatega reza, zato je slednjemu dodeljena glavna vloga v nebeškem svetu, pri čemer je pozneje vztrajal še mladoletni brat Luca Pacioli. Na fasadi starogrškega templja Partenona so zlati proporci. Med njegovimi izkopavanji so bili najdeni kompasi, ki so jih uporabljali arhitekti in kiparji antičnega sveta. Pompejski kompas (Muzej v Neaplju) vsebuje tudi deleže zlatega razdelka. V starodavni literaturi, ki je prišla do nas, je bila zlata delitev prvič omenjena v "Začetkih" Evklida. V 2. knjigi "Začetki" je podana geometrijska konstrukcija zlatega razdelka. Za Evklidom so zlato delitev preučevali Hipsikle (2. stoletje pr.n.št.), Papus (3.st.n.št.) in drugi, ki so se v srednjeveški Evropi seznanjali z zlato delitvijo iz arabskih prevodov Evklidovih »Začetkov«. Prevajalec J. Campano iz Navare (3. stoletje) je komentiral prevod. Skrivnosti zlate divizije so bile ljubosumno varovane, hranjene v strogi tajnosti. Poznali so jih le posvečeni. V srednjem veku je bil pentagram demoniziran (kot pravzaprav marsikaj, kar je v starodavnem poganstvu veljalo za božansko) in našel zatočišče v okultnih znanostih. Vendar pa renesansa znova prinaša na dan tako pentagram kot zlati rez. Tako je shema, ki opisuje zgradbo človeškega telesa, pridobila široko razširjenost v tistem obdobju uveljavljanja humanizma: Tudi Leonardo da Vinci se je večkrat zatekel k takšni sliki, ki je v bistvu reproduciral pentagram. Njegova razlaga: človeško telo ima božansko popolnost, saj so razmerja, ki so mu lastna, enaka kot v glavni nebesni figuri. Leonardo da Vinci, umetnik in znanstvenik, je videl, da imajo italijanski umetniki veliko empiričnih izkušenj, a malo znanja. Zasnoval je in začel pisati knjigo o geometriji, a takrat se je pojavila knjiga meniha Luca Paciolija in Leonardo je svojo idejo opustil. Po mnenju sodobnikov in zgodovinarjev znanosti je bil Luca Pacioli prava svetilka, največji matematik v Italiji med Fibonaccijem in Galilejem. Luca Pacioli je bil učenec umetnika Piera della Francesca, ki je napisal dve knjigi, od katerih se je ena imenovala O perspektivi v slikarstvu. Velja za ustvarjalca deskriptivne geometrije.

Luca Pacioli se je dobro zavedal pomena znanosti za umetnost. Leta 1496 je na povabilo vojvode Moreauskega prišel v Milano, kjer je predaval matematiko. Leonardo da Vinci je takrat deloval tudi na sodišču Moro v Milanu. Leta 1509 je v Benetkah izšla knjiga Luca Paciolija "O božanskem sorazmerju" (De divina proportione, 1497, izšla v Benetkah 1509) s sijajno izvedenimi ilustracijami, zato se domneva, da jih je izdelal Leonardo da Vinci. Knjiga je bila navdušena himna zlatemu rezu. Takšen delež je samo en, edinstvenost pa je najvišja božja lastnost. Uteleša sveto trojico. Tega deleža ni mogoče izraziti z dostopnim številom, ostaja skrito in skrivnostno, matematiki pa ga sami imenujejo iracionalnega (zato Boga ni mogoče niti definirati niti razložiti z besedami). Bog se nikoli ne spreminja in predstavlja vse v vsem in vse v vsakem svojem delu, zato je zlati rez za vsako neprekinjeno in določeno količino (ne glede na to, ali je velika ali majhna) enak, ga um ne more spremeniti ali drugače zaznati. Bog je poklical v obstoj nebeško vrlino, sicer imenovano peto substanco, z njeno pomočjo še štiri druga preprosta telesa (štirje elementi - zemljo, vodo, zrak, ogenj) in na njihovi podlagi poklical v bit vsako drugo stvar v naravi; tako naš sveti delež po Platonu v Timeju daje formalno bitje nebu samemu, saj ga pripisujejo obliki telesa, imenovanega dodekaeder, ki ga ni mogoče zgraditi brez zlatega reza. To so Paciolijevi argumenti.
Leonardo da Vinci je veliko pozornosti posvečal tudi študiju zlatega dela. Naredil je odseke stereometričnega telesa, ki ga tvorijo pravilni peterokotniki, in vsakič je dobil pravokotnike z razmerjem stranic v zlatem delu. Zato je tej diviziji dal ime zlati presek. Zato je še vedno najbolj priljubljen. Hkrati se je v severni Evropi, v Nemčiji, Albrecht Dürer ukvarjal z istimi problemi. Skicira uvod v prvi osnutek razprave o razmerjih. Durer piše. "Potreben je tisti, ki zna tega naučiti druge, ki to potrebujejo. To sem si zadal." Sodeč po enem od Dürerjevih pisem, se je med bivanjem v Italiji srečal z Luco Paciolijem. Albrecht Dürer podrobno razvija teorijo razmerij človeškega telesa. Dürer je v svojem sistemu razmerij dodelil pomembno mesto zlatemu prerezu. Višina osebe je v zlatih razmerjih razdeljena s črto pasu, pa tudi s črto, potegnjeno skozi konice srednjih prstov spuščenih rok, spodnji del obraza - z usti itd. Znan proporcionalni kompas Dürer. Veliki astronom 16. stoletja Johannes Kepler je zlati rez označil za enega od zakladov geometrije. Prvi je opozoril na pomen zlatega reza za botaniko (rast in zgradba rastlin). Kepler je zlati rez imenoval nadaljevanje. »Urejeno je tako,« je zapisal, »da dva mlajša člana tega neskončnega razmerja seštejeta tretji člen, vsaka dva zadnja člena pa, če se seštejeta, dajeta naslednji člen in enak delež ostane do neskončnosti." Konstrukcijo serije segmentov zlatega reza lahko izvedemo tako v smeri naraščanja (naraščajoče serije) kot v smeri zmanjševanja (padajoča serija). Če na ravni črti poljubne dolžine odstavimo odsek m, nato odstavimo segment M. Na podlagi teh dveh segmentov zgradimo lestvico segmentov zlatega razmerja naraščajočih in padajočih vrstic V naslednjih stoletjih se je pravilo zlatega reza spremenilo v akademski kanon, in ko se je sčasoma v umetnosti začel boj z akademsko rutino, so v žaru boja »z vodo vrgli otroka ven«. Zlati rez so spet »odkrili« sredi 19. stoletja. Leta 1855 je nemški raziskovalec zlatega reza, profesor Zeising, objavil svoje delo "Estetske raziskave". Pri Zeisingu se je moralo zgoditi prav to, kar se je zgodilo raziskovalcu, ki obravnava pojav kot tak, brez povezave z drugimi pojavi. Absolutiziral je delež zlatega reza in ga razglasil za univerzalnega za vse pojave narave in umetnosti. Zeising je imel številne privržence, vendar so bili tudi nasprotniki, ki so njegov nauk o razmerjih razglasili za "matematično estetiko". Zeising je opravil odlično delo. Izmeril je približno dva tisoč človeških teles in prišel do zaključka, da zlati rez izraža povprečni statistični zakon. Delitev telesa s točko popka je najpomembnejši pokazatelj zlatega reza. Proporci moškega telesa nihajo v povprečnem razmerju 13:8 = 1,625 in se približajo zlatemu rezu nekoliko bližje deležem ženskega telesa, glede na katerega je povprečna vrednost deleža izražena v razmerju 8:5. = 1,6. Pri novorojenčku je razmerje 1:1, pri 13. letu je 1,6, pri 21. letu pa je enako moškemu. Razmerja zlatega reza se kažejo tudi v odnosu do drugih delov telesa - dolžine rame, podlakti in roke, roke in prstov itd. Zeising je preveril veljavnost svoje teorije na grških kipih. Najbolj podrobno je razvil proporce Apolla Belvedere. Raziskane so bile grške vaze, arhitekturne strukture različnih obdobij, rastline, živali, ptičja jajca, glasbeni toni, poetični metri. Zeising je definiral zlati rez, pokazal, kako se izraža v odsekih in v številkah. Ko so bile pridobljene številke, ki izražajo dolžine segmentov, je Zeising videl, da tvorijo Fibonaccijevo vrsto, ki jo je mogoče neskončno nadaljevati v eno in drugo smer. Njegova naslednja knjiga je nosila naslov "Zlata delitev kot temeljni morfološki zakon v naravi in ​​umetnosti." Leta 1876 je v Rusiji izšla majhna knjiga, skoraj pamflet, ki je opisala Zeisingovo delo. Avtor se je zatekel pod inicialke Yu.F.V. V tej izdaji ni omenjena niti ena slika. Konec XIX - začetek XX stoletja. pojavilo se je veliko čisto formalističnih teorij o uporabi zlatega reza v umetniških in arhitekturnih delih. Z razvojem oblikovanja in tehnične estetike se je zakon zlatega reza razširil tudi na oblikovanje avtomobilov, pohištva itd. ZLATI RAZMER IN SIMETRIJA Zlatega reza ni mogoče obravnavati samo po sebi, ločeno, brez povezave s simetrijo. Veliki ruski kristalograf G.V. Wulff (1863...1925) je zlati rez smatral za eno od manifestacij simetrije. Zlati razdelek ni manifestacija asimetrije, nekaj nasprotnega simetriji.Po sodobnih pojmih je zlata delitev asimetrična simetrija. Znanost o simetriji vključuje koncepte, kot sta statična in dinamična simetrija. Statična simetrija zaznamuje počitek, ravnotežje, dinamična pa gibanje, rast. Tako je v naravi statična simetrija predstavljena s strukturo kristalov, v umetnosti pa zaznamuje mir, ravnovesje in nepremičnost. Dinamična simetrija izraža aktivnost, označuje gibanje, razvoj, ritem, je dokaz življenja. Za statično simetrijo so značilni enaki segmenti, enake velikosti. Za dinamično simetrijo je značilno povečanje segmentov ali njihovo zmanjšanje in se izraža v vrednostih zlatega reza naraščajoče ali padajoče serije. VRSTA FIBON AF H in
Ime italijanskega matematičnega meniha Leonarda iz Pise, bolj znanega kot Fibonacci, je posredno povezano z zgodovino zlatega reza. Veliko je potoval po vzhodu, Evropo seznanil z arabskimi številkami. Leta 1202 je izšlo njegovo matematično delo The Book of the Abacus (Counting Board), v katerem so bili zbrani vsi takrat znani problemi. Niz številk 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. znan kot Fibonaccijeva serija. Posebnost zaporedja števil je, da je vsak od njegovih članov, začenši s tretjim, enak vsoti prejšnjih dveh 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 itd., razmerje sosednjih številk serije pa se približuje razmerju zlate delitve. Torej, 21:34 = 0,617 in 34:55 = 0,618. To razmerje je označeno s simbolom F. Samo to razmerje - 0,618 : 0,382 - daje neprekinjeno delitev ravnega odseka v zlatem rezu, ga poveča ali zmanjša v neskončnost, ko je manjši segment povezan z večjim kot večji je za vse. Kot je prikazano na spodnji sliki, je dolžina vsakega členka prsta povezana z dolžino naslednjega členka v razmerju F. Enako razmerje je vidno pri vseh prstih na rokah in nogah. Ta povezava je nekako nenavadna, saj je en prst daljši od drugega brez vidnega vzorca, a to ni naključno – tako kot ni naključno vse v človeškem telesu. Razdalje na prstih, označene od A do B do C do D do E, so med seboj povezane v razmerju F, prav tako falange prstov od F do G do H.
Oglejte si ta žabji skelet in poglejte, kako se vsaka kost prilega modelu F razmerja, tako kot v človeškem telesu.

SPLOŠNI ZLATI RAZMER Znanstveniki so še naprej aktivno razvijali teorijo Fibonaccijevih števil in zlatega reza. Yu. Matiyasevich z uporabo Fibonaccijevih številk reši 10- Yu Hilbertov problem. Obstajajo metode za reševanje številnih kibernetskih problemov (teorija iskanja, igre, programiranje) z uporabo Fibonaccijevih števil in zlatega reza. V ZDA nastaja celo Mathematical Fibonacci Association, ki od leta 1963 izdaja posebno revijo. Eden od dosežkov na tem področju je odkritje posplošenih Fibonaccijevih števil in posplošenih zlatih razmerij. Fibonaccijeva vrsta (1, 1, 2, 3, 5, 8) in "binarna" vrsta uteži 1, 2, 4, 8, ki ju je odkril, sta na prvi pogled popolnoma različni. Toda algoritmi za njihovo konstrukcijo so si med seboj zelo podobni: v prvem primeru je vsako število vsota prejšnjega števila s samim seboj 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., v drugem - to je vsota dveh prejšnjih številk 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Ali je mogoče najti splošno matematično formulo, iz katere "binarne" serije in Fibonaccijeve vrste? Ali pa nam bo morda ta formula dala nove številčne nize z nekaj novimi edinstvenimi lastnostmi? Dejansko nastavimo številčni parameter S, ki ima lahko poljubne vrednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5... ločen od prejšnjega s S koraki. Če označimo n-ti član te serije z? S (n), potem dobimo splošno formulo? S(n) = ? S (n - 1) + ? S (n - S - 1). Očitno bomo pri S = 0 iz te formule dobili "binarni" niz, pri S = 1 - Fibonaccijevo vrsto, pri S = 2, 3, 4. novo serijo števil, ki se imenujejo S-Fibonaccijeva števila. Na splošno je zlati S-razmerje pozitivni koren enačbe zlatega S-prereza x S+1 - x S - 1 = 0. Preprosto je pokazati, da se pri S = 0 dobi delitev segmenta na polovico, pri S = 1 pa znani klasični zlati rez. Razmerja sosednjih Fibonaccijevih S-števil z absolutno matematično natančnostjo sovpadajo v meji z zlatimi S-razmerji! Matematiki v takih primerih pravijo, da so zlati S-prerezi numerične invariante Fibonaccijevih S-števil. Dejstva, ki potrjujejo obstoj zlatih S-prerezov v naravi, podaja beloruski znanstvenik E.M. Soroko v knjigi "Strukturna harmonija sistemov" (Minsk, "Znanost in tehnologija", 1984). Izkazalo se je na primer, da imajo dobro raziskane binarne zlitine posebne, izrazite funkcionalne lastnosti (toplotno stabilne, trde, odporne na obrabo, odporne na oksidacijo itd.) le, če so specifične teže začetnih komponent med seboj povezane. z enim od zlatih S-proporcev. To je avtorju omogočilo, da je postavil hipotezo, da so zlati S-prerezi numerične invariante samoorganizirajočih se sistemov. Ker je ta hipoteza eksperimentalno potrjena, je lahko temeljnega pomena za razvoj sinergetike – novega področja znanosti, ki preučuje procese v samoorganizirajočih se sistemih. Z uporabo zlatih S-razmernih kod se lahko vsako realno število izrazi kot vsota stopenj zlatih S-proporcev s celimi koeficienti. Bistvena razlika med to metodo kodiranja števil je v tem, da se osnove novih kod, ki so zlati S-razmerji, izkažejo za iracionalna števila za S > 0. Tako so novi številski sistemi z iracionalnimi osnovami tako rekoč postavili "na glavo" zgodovinsko vzpostavljeno hierarhijo razmerij med racionalnimi in iracionalnimi števili. Dejstvo je, da so sprva "odkrili" naravna števila; potem so njihova razmerja racionalna števila. In šele kasneje - potem ko so pitagorejci odkrili nesorazmerne segmente - so se pojavila iracionalna števila. Na primer, v decimalnih, kvinarnih, binarnih in drugih klasičnih pozicijskih številskih sistemih so bila naravna števila - 10, 5, 2 - izbrana kot nekakšen temeljni princip, iz katerega so izšla vsa druga naravna števila, pa tudi racionalna in iracionalna števila. zgrajena po določenih pravilih. Nekakšna alternativa obstoječim načinom številčenja je nov, iracionalni sistem kot temeljno načelo, katerega začetek je izbrano kot iracionalno število (ki je, spomnimo, koren enačbe zlatega reza); prek njega so že izražena druga realna števila. V takem številskem sistemu je vsako naravno število vedno predstavljeno kot končno število - in ne neskončno, kot se je prej mislilo! - vsote stopinj katerega koli od zlatih S-proporcev. To je eden od razlogov, zakaj se zdi, da je "iracionalna" aritmetika, ki ima neverjetno matematično preprostost in eleganco, absorbirala najboljše lastnosti klasične binarne in "Fibonaccijeve" aritmetike. NAČELA OBLIKOVANJA V NARAVI Vse, kar je dobilo neko obliko, se je oblikovalo, raslo, si prizadevalo zavzeti mesto v prostoru in se ohraniti. Ta težnja se uresničuje predvsem v dveh variantah - rast navzgor ali širjenje po površini zemlje in zavijanje v spiralo. Lupina je zavita v spiralo. Če ga odprete, dobite dolžino, ki je nekoliko manjša od dolžine kače. Majhna desetcentimetrska školjka ima spiralo dolžine 35 cm.Spirale so v naravi zelo pogoste. Koncept zlatega reza bo nepopoln, če ne rečemo o spirali. Oblika spiralno zvite školjke je pritegnila pozornost Arhimeda. Študiral ga je in izpeljal enačbo spirale. Po tej enačbi narisana spirala se imenuje po njegovem imenu. Povečanje njenega koraka je vedno enakomerno. Trenutno se Arhimedova spirala pogosto uporablja v inženirstvu. Tudi Goethe je poudarjal težnjo narave po spiralnosti. Spiralna in spiralna razporeditev listov na drevesnih vejah je bila opažena že davno.


Spirala se je videla v aranžmaju sončničnih semen, v storži, ananasu, kaktusih itd. Skupno delo botanikov in matematikov je osvetlilo te neverjetne naravne pojave. Izkazalo se je, da se v razporeditvi listov na veji (filotaksija), sončničnih semenih, borovih storžkih manifestira serija Fibonacci, zato se manifestira zakon zlatega reza. Pajek svojo mrežo vrti v spiralnem vzorcu. Orkan se vrti. Prestrašena čreda severnih jelenov se razkropi v spiralo. Molekula DNK je zavita v dvojno vijačnico. Goethe je spiralo imenoval "krivulja življenja". Zo Zlata spirala je tesno povezana s cikli. Sodobna znanost o kaosu preučuje preproste ciklične povratne operacije in fraktalne oblike, ki jih ustvarjajo, ki so bile prej neznane. Na sliki 6 je prikazana znamenita Mandelbrotova serija, stran iz slovarja neskončnosti posameznih vzorcev, imenovanih Julijanska serija. Nekateri znanstveniki povezujejo serijo Mandelbrot z genetsko kodo celičnih jeder. Dosledno povečanje odsekov razkriva neverjetne fraktale v njihovi umetniški kompleksnosti. In tudi tukaj so logaritemske spirale! To je toliko bolj pomembno, ker tako Mandelbrotova kot Julijanova serija nista izuma človeškega uma. Izhajajo iz področja Platonovih prototipov. Kot je rekel zdravnik R. Penrose, »so kot Mount Everest.« Spirala je tesno povezana s cikli. Sodobna znanost o kaosu preučuje preproste ciklične povratne operacije in fraktalne, ki jih ustvarijo.

Med obcestnimi zelišči raste nepomembna rastlina - radič. Oglejmo si ga podrobneje. Iz glavnega stebla je nastala veja. Tukaj je prvi list.

riž. . Cikorija

Postopek naredi močan izmet v prostor, se ustavi, izpusti list, vendar je krajši od prvega, spet naredi izmet v prostor, vendar z manjšo silo, sprosti še manjši list in spet izmet. Če vzamemo prvi izstop kot 100 enot, potem je drugi 62 enot, tretji 38, četrti 24 in tako naprej. Dolžina cvetnih listov je prav tako odvisna od zlatega reza. V rasti, osvajanju vesolja, je rastlina ohranila določene razmerje. Njegovi impulzi rasti so se postopoma zmanjševali sorazmerno z zlatim rezom. Pri mnogih metuljih razmerje med velikostjo prsnega in trebušnega dela telesa ustreza zlatemu rezu. Nočni metulj z zloženimi krili tvori pravilen enakostranični trikotnik. Toda vredno je razširiti krila in videli boste enako načelo delitve telesa na 2,3,5,8. Tudi kačji pastir je ustvarjen po zakonih zlatega reza: razmerje med dolžinami repa in telesa je enako razmerju med celotno dolžino in dolžino repa.

Pri kuščarju se na prvi pogled ujamejo razmerja, ki so prijetna za naše oči - dolžina njegovega repa je povezana z dolžino preostalega telesa 62 do 38.

riž. . živorodni kuščar

Tako v rastlinskem kot v živalskem svetu se vztrajno prebija oblikovna težnja narave – simetrija glede na smer rasti in gibanja. Tukaj se zlati rez pojavi v razmerjih delov, ki so pravokotni na smer rasti. Narava je izvedla delitev na simetrične dele in zlate proporcije. V delih se kaže ponovitev strukture celote. Zelo zanimivo je preučevanje oblik ptičjih jajc. Njihove različne oblike nihajo med dvema skrajnima tipoma: eno od njih je mogoče vpisati v pravokotnik zlatega reza, drugo - v pravokotnik z modulom 1,272 (koren zlatega reza)

Takšne oblike ptičjih jajc niso naključne, saj je zdaj ugotovljeno, da oblika jajc, opisana z razmerjem zlatega reza, ustreza višjim trdnostnim lastnostim jajčne lupine.

riž. . ptičje jajce

Oklosti slonov in izumrlih mamutov, kremplji levov in kljuni papige so logaritmične oblike in spominjajo na obliko osi, ki se nagiba k zavijanju v spiralo. V prostoživečih živalih so razširjene oblike, ki temeljijo na "peterokotni" simetriji (morske zvezde, morski ježki, rože). Zlati rez je prisoten v strukturi vseh kristalov, vendar je večina kristalov mikroskopsko majhnih, tako da jih s prostim očesom ne vidimo.

So pa našim očem precej dostopne snežinke, ki so tudi vodni kristali.

Vse figure izjemne lepote, ki tvorijo snežinke, vse osi, krogi in geometrijske figure v snežinkah, so tudi vedno brez izjeme zgrajene po popolni jasni formuli zlatega reza.

V mikrokozmosu so tridimenzionalne logaritemske oblike, zgrajene v skladu z zlatimi razmerji, vseprisotne. Mnogi virusi imajo na primer tridimenzionalno geometrijsko obliko ikosaedra. Morda je najbolj znan od teh virusov Adeno virus. Beljakovina Adeno virusa je sestavljena iz 252 enot beljakovinskih celic, razporejenih v določenem zaporedju. Na vsakem vogalu ikosaedra je 12 enot beljakovinskih celic v obliki peterokotne prizme, od teh vogalov pa segajo konicaste strukture.

Adeno virus

Zlato razmerje v strukturi virusov je bilo prvič odkrito v petdesetih letih prejšnjega stoletja. znanstvenika z londonskega Birkbeck Collegea A.Klug in D.Kaspar. Prvo logaritemsko obliko je sam po sebi razkril virus Polyo. Videti je bilo, da je ta virus podobna obliki virusa Rhino. Postavlja se vprašanje, kako virusi tvorijo tako zapletene tridimenzionalne oblike, katerih struktura vsebuje zlati rez, ki ga je tudi z našim človeškim umom precej težko zgraditi? Odkritelj teh oblik virusov, virolog A. Klug, komentira: "Z dr. Kasparjem sva pokazala, da je za sferično lupino virusa najbolj optimalna oblika simetrija tipa ikosaedra. Ta vrstni red minimizira število povezovalnih elementov ... Večina geodetskih hemisferičnih kock Buckminster Fullerja je zgrajena na podoben geometrijski princip. 14 Sestavljanje takšnih kock zahteva izjemno natančno in podrobno shemo razlage, medtem ko nezavedni virusi sami tvorijo tako zapleteno lupino elastičnih, fleksibilnih beljakovinskih celičnih enot."
Klugov komentar znova spominja na izjemno očitno resnico: v zgradbi celo mikroskopskega organizma, ki ga znanstveniki uvrščajo med "najbolj primitivno obliko življenja", v tem primeru virusa, je jasen načrt in razumen projekt. izvedeno 16. Ta projekt je po svoji popolnosti in natančnosti izvedbe neprimerljiv z najnaprednejšimi arhitekturnimi zasnovami, ki so jih ustvarili ljudje. Na primer, projekti, ki jih je ustvaril briljanten arhitekt Buckminster Fuller. Tridimenzionalni modeli dodekaedra in ikosaedra so prisotni tudi v strukturi okostja enoceličnih morskih mikroorganizmov radiolarij (žarkov), katerih skelet je narejen iz silicijevega dioksida. Radiolarije tvorijo svoje telo zelo izvrstne, nenavadne lepote. Njihova oblika je pravilen dodekaeder. Poleg tega iz vsakega njegovega vogala rastejo psevdo-raztegnjeni udi in druge nenavadne oblike-izrastki. Veliki Goethe, pesnik, naravoslovec in umetnik (risal in slikal z akvarelom), je sanjal o ustvarjanju enotnega nauka o obliki, oblikovanju in preoblikovanju organskih teles. Prav on je uvedel izraz morfologija v znanstveno rabo. Pierre Curie je na začetku našega stoletja oblikoval številne globoke ideje simetrije. Trdil je, da simetrije katerega koli telesa ni mogoče obravnavati brez upoštevanja simetrije okolja. Pravilnosti "zlate" simetrije se kažejo v energetskih prehodih elementarnih delcev, v strukturi nekaterih kemičnih spojin, v planetarnih in vesoljskih sistemih, v genskih strukturah živih organizmov. Ti vzorci, kot je navedeno zgoraj, so v strukturi posameznih človeških organov in telesa kot celote, kažejo pa se tudi v bioritmih ter delovanju možganov in vidnem zaznavanju. ČLOVEŠKO TELO IN ZLATI PREZEK Vse človeške kosti so v sorazmerju z zlatim prerezom.

Razmerja različnih delov našega telesa sestavljajo število, ki je zelo blizu zlatemu rezu. Če ta razmerja sovpadajo s formulo zlatega reza, se šteje, da je videz ali telo osebe idealno zgrajeno.

Če kot središče človeškega telesa vzamemo točko popka, za mersko enoto pa razdaljo med človeškim stopalom in točko popka, potem je višina osebe enaka številu 1,618.

Razdalja od ravni ramen do temena in velikost glave je 1:1,618

Razdalja od točke popka do temena glave in od ravni ramen do temenu glave je 1:1,618

Razdalja točke popka do kolen in od kolen do stopal je 1:1,618

Razdalja od konice brade do vrha zgornje ustnice in od vrha zgornje ustnice do nosnic je 1:1,618

Pravzaprav je natančna prisotnost zlatega reza na obrazu osebe ideal lepote za človeško oko.

Razdalja od konice brade do zgornje črte obrvi in ​​od zgornje črte obrvi do vrha glave je 1:1,618
Višina obraza / širina obraza
Osrednja točka stičišča ustnic do dna nosu / dolžina nosu.
Višina obraza/razdalja od konice brade do središčne točke stičišča ustnic
Širina ust / širina nosu
Širina nosu / razdalja med nosnicami
Razdalja zenice / Razdalja obrvi Dovolj je le, da si zdaj približate dlan in pozorno pogledate svoj kazalec in v njem boste takoj našli formulo zlatega reza.

Vsak prst naše roke je sestavljen iz treh falang, vsota prvih dveh falang prsta glede na celotno dolžino prsta daje zlati rez (z izjemo palca).

Poleg tega je tudi razmerje med srednjim in mezincemzlata sredina
Človek ima 2 roki, prsti na vsaki roki so sestavljeni iz 3 falang (z izjemo palca). Vsaka roka ima 5 prstov, torej skupno 10, vendar je z izjemo dveh dvofalangealnih palcev ustvarjenih le 8 prstov po principu zlatega reza. Medtem ko so vsa ta števila 2, 3, 5 in 8 številke Fibonaccijevega zaporedja.
Upoštevati je treba tudi, da je pri večini ljudi razdalja med koncema razprtih rok enaka višini. Resnice zlatega reza so v nas in v nas prostor

Posebnost bronhijev, ki sestavljajo pljuča osebe, je v njihovi asimetriji. Bronhi so sestavljeni iz dveh glavnih dihalnih poti, ena (leva) je daljša, druga (desna) pa krajša.

Ugotovljeno je bilo, da se ta asimetrija nadaljuje v vejah bronhijev, v vseh manjših dihalnih poteh.

Poleg tega je razmerje dolžine kratkih in dolgih bronhijev tudi zlato razmerje in je enako 1:1,618.

Človeško notranje uho vsebuje organ Polž ("Polž"), ki opravlja funkcijo prenosa zvočnih vibracij. Ta struktura, podobna kosti, je napolnjena s tekočino in ustvarjena tudi v obliki polža, ki vsebuje stabilno logaritemsko spiralno obliko = 73? 43". Krvni tlak se spreminja, ko bije srce. Največjo vrednost doseže v levem prekatu srca v času njegovega krčenja (sistole). V arterijah med sistolo srčnih ventriklov krvni tlak pri mladi, zdravi osebi doseže največjo vrednost, ki je enaka 115-125 mm Hg. V trenutku sprostitve srčne mišice (diastola) se tlak zmanjša na 70-80 mm Hg. Razmerje med maksimalnim (sistoličnim) in minimalnim (diastoličnim) tlakom je v povprečju 1,6, torej blizu zlatega reza.

Če vzamemo povprečni krvni tlak v aorti kot enoto, potem je sistolični krvni tlak v aorti 0,382, diastolični krvni tlak pa 0,618, torej njuno razmerje ustreza zlatemu rezu. To pomeni, da se delo srca glede na časovne cikle in spremembe krvnega tlaka optimizira po istem principu – zakonu zlatega reza.

Molekula DNK je sestavljena iz dveh navpično prepletenih vijačnic. Vsaka od teh spiral je dolga 34 angstremov in široka 21 angstremov. (1 angstrom je sto milijoninka centimetra). struktura spiralnega dela molekule DNK

Torej sta 21 in 34 številki, ki si sledijo ena za drugo v zaporedju Fibonaccijevih števil, to je razmerje med dolžino in širino logaritmične vijačnice molekule DNK, ki nosi formulo zlatega reza 1: 1,618

ZLATI PREZEK V KIPARJU Kiparske zgradbe, spomeniki so postavljeni, da bi ovekovečili pomembne dogodke, da bi ohranili v spominu potomcev imena slavnih ljudi, njihove podvige in dejanja. Znano je, da je bila že v starih časih osnova kiparstva teorija razmerij. Odnos delov človeškega telesa je bil povezan s formulo zlatega reza. Proporci "zlatega reza" ustvarjajo vtis harmonije lepote, zato so jih kiparji uporabljali pri svojih delih. Kiparji trdijo, da je pas deli popolno človeško telo v odnosu do "zlatega reza". Na primer, slavni kip Apolona Belvedere je sestavljen iz delov, razdeljenih z zlatimi razmerji.Veliki starogrški kipar Phidias je v svojih delih pogosto uporabljal »zlati prerez«. Najbolj znana med njimi sta bila kip olimpskega Zevsa (ki je veljal za eno od svetovnih čudes) in Atene Partenos. Znan je zlati delež kipa Apolona Belvedereja: višina upodobljene osebe je v zlatem prerezu deljena s popkovino.

ZLATI PREZEK V ARHITEKTURI V knjigah o "zlatem prerezu" je mogoče najti pripombo, da je v arhitekturi, tako kot v slikarstvu, vse odvisno od položaja opazovalca in da če se zdi, da nekatera razmerja v stavbi na eni strani tvorijo "zlati prerez", potem bodo z vidika drugih točk videti drugače. "Zlati prerez" daje najbolj sproščeno razmerje velikosti določenih dolžin. Eno najlepših del starogrške arhitekture je Partenon (V stoletje pr.n.št.). Slike prikazujejo številne vzorce, povezane z zlatim rezom. Razmerja stavbe lahko izrazimo z različnimi stopnjami števila Ф = 0,618 ... Partenon ima 8 stebrov na kratkih in 17 na dolgih straneh. police so v celoti izdelane iz kvadratov pentilskega marmorja. Plemenitost materiala, iz katerega je bil tempelj zgrajen, je omogočila omejitev uporabe barvitosti, ki je bila običajna v grški arhitekturi, le poudari detajle in tvori barvno ozadje (modro in rdeče) za skulpturo. Razmerje med višino stavbe in njeno dolžino je 0,618. Če Partenon razdelimo po "zlatem prerezu", bomo dobili določene izbokline fasade. Na tlorisu Partenona lahko vidite tudi "zlate pravokotnike": Zlati rez lahko vidimo v zgradbi katedrale Notre Dame (Notre Dame de Paris) in v Keopsovi piramidi: Ne le egipčanske piramide so bile zgrajene v skladu s popolnimi razmerji zlatega reza; isti pojav najdemo v mehiških piramidah. Dolgo časa je veljalo, da so arhitekti starodavne Rusije vse gradili "na oko", brez posebnih matematičnih izračunov. Najnovejše raziskave pa so pokazale, da so ruski arhitekti dobro poznali matematične razsežnosti, kar dokazuje analiza geometrije starodavnih templjev. Znani ruski arhitekt M. Kazakov je v svojem delu pogosto uporabljal "zlati prerez". Njegov talent je bil večplasten, v večji meri pa se je razkril v številnih izvedenih projektih stanovanjskih stavb in posestev. Na primer, "zlati prerez" je mogoče najti v arhitekturi zgradbe senata v Kremlju. Po projektu M. Kazakova je bila v Moskvi zgrajena bolnišnica Golitsyn, ki se trenutno imenuje Prva klinična bolnišnica po imenu N.I. Pirogov (Leninski prospekt, d. Petrovska palača v Moskvi. Zgrajeno po projektu M.F. Kazakov. Druga arhitekturna mojstrovina Moskve - Paškova hiša - je eno najpopolnejših del arhitekture V. Bazhenova. Čudovito ustvarjanje V. Bazhenova je trdno vstopilo v ansambel središča sodobne Moskve, ga obogatilo. Zunanji videz hiše se je ohranil skoraj nespremenjen do danes, kljub temu, da je bila leta 1812 močno požgana. Med obnovo je stavba dobila masivnejše oblike. Ohranjena ni niti notranja razporeditev objekta, o čemer daje predstavo le izris spodnje etaže. Številne izjave arhitekta si danes zaslužijo pozornost. O svoji najljubši umetnosti je V. Bazhenov dejal: "Arhitektura ima tri glavne predmete: lepoto, umirjenost in trdnost zgradbe ... Da bi to dosegli, služi kot vodilo poznavanje sorazmerja, perspektive, mehanike ali fizike na splošno in vsi imajo skupnega vodjo je razum."

ZLATI RAZMER V GLASBI
Vsako glasbeno delo ima časovno razširitev in je razdeljeno na določene "estetske mejnike" na ločene dele, ki pritegnejo pozornost in olajšajo zaznavanje kot celoto. Ti mejniki so lahko dinamični in intonacijski vrhunci glasbenega dela. Ločeni časovni intervali glasbenega dela, ki jih povezuje "vrhunec", so praviloma v razmerju zlatega reza.

Leta 1925 je umetnostni kritik L. L. Sabaneev, ki je analiziral 1770 glasbenih del 42 avtorjev, pokazal, da je veliko večino izjemnih del mogoče zlahka razdeliti na dele bodisi po temi, bodisi po intonaciji ali modalnem sistemu, ki so povezani z vsakim. drugo zlati rez. Še več, bolj kot je skladatelj nadarjen, več zlatih rezov je bilo najdenih v njegovih delih. Po Sabanejevu zlati rez vodi do vtisa posebne harmonije glasbene kompozicije. Ta rezultat je Sabaneev preveril na vseh 27 Chopinovih etudah. V njih je našel 178 zlatih rezov. Hkrati se je izkazalo, da niso le veliki deli etud razdeljeni po trajanju glede na zlati rez, ampak so deli etud v notranjosti pogosto razdeljeni v enakem razmerju.

Skladatelj in znanstvenik M. A. Marutaev je preštel število taktov v znameniti sonati "Appassionata" in našel številna zanimiva številčna razmerja. Zlasti v razvoju - osrednji strukturni enoti sonate, kjer se teme intenzivno razvijajo in se ključi zamenjajo - obstajata dva glavna dela. Prvi ima 43,25 bara, drugi pa 26,75. Razmerje 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 daje zlati rez.

Največ del, v katerih je Zlati rez, imajo Arensky (95 %), Beethoven (97 %), Haydn (97 %), Mozart (91 %), Chopin (92 %), Schubert (91 %).

Če je glasba harmonično urejanje zvokov, potem je poezija harmonično urejenost govora. Jasen ritem, redno menjavanje poudarjenih in nenaglašenih zlogov, urejena razsežnost pesmi, njihovo čustveno bogastvo naredijo poezijo sestro glasbenih del. Zlati rez v poeziji se kaže predvsem kot prisotnost določenega trenutka pesmi (vrhunec, pomenska prelomnica, glavna ideja dela) v vrstici, ki jo je mogoče pripisati ločnici skupnega števila vrstic pesmi. v zlatem razmerju. Torej, če pesem vsebuje 100 vrstic, potem prva točka zlatega reza pade na 62. vrstico (62%), druga - na 38. (38%) itd. Dela Aleksandra Sergejeviča Puškina, vključno z "Evgenijem Onjeginom" - najboljša korespondenca z zlatim rezom! Dela Shote Rustaveli in M.Yu. Lermontov so tudi zgrajeni po principu zlatega reza.

Stradivarius je to zapisal s pomočjo

zlati rez, je določil mesta za f - v obliki izrezov na trupih njihovih slavnih violin. ZLATI PREZEK V POEZIJI Puškinova poezija Študije pesniških del s teh pozicij se šele začenjajo. In začeti morate s poezijo A. S. Puškina. Konec koncev so njegova dela primer najvidnejših stvaritev ruske kulture, primer najvišje stopnje harmonije. S poezijo A. S. Puškina bomo začeli iskanje zlatega razmerja - merila harmonije in lepote. Veliko v strukturi pesniških del to umetniško obliko povezuje z glasbo. Jasen ritem, redno menjavanje poudarjenih in nenaglašenih zlogov, urejena razsežnost pesmi, njihovo čustveno bogastvo naredijo poezijo sestro glasbenih del. Vsak verz ima svojo glasbeno obliko – svoj ritem in melodijo. Pričakovati je, da se bodo v strukturi pesmi pojavile nekatere značilnosti glasbenih del, vzorci glasbene harmonije in posledično zlatega reza. Začnimo z velikostjo pesmi, torej številom vrstic v njej. Zdi se, da se ta parameter pesmi lahko poljubno spremeni. Vendar se je izkazalo, da temu ni tako. Na primer, analiza pesmi A.S. Puškin je s tega vidika pokazal, da so velikosti verzov razporejene zelo neenakomerno; izkazalo se je, da Puškin očitno raje daje velikosti 5, 8, 13, 21 in 34 vrstic (Fibonaccijeve številke).
Mnogi raziskovalci so opazili, da so pesmi kot skladbe; imajo tudi vrhunske točke, ki delijo pesem sorazmerno z zlatim rezom. Razmislite na primer o pesmi A.S. Puškin "Čevljar": Nekoč je čevljar iskal sliko
In opozoril je na napako v čevljih;
Umetnik je takoj vzel čopič in se popravil:
Tukaj, akimbo, je čevljar nadaljeval:
"Mislim, da je obraz malo zvit ...
Ali niso ta prsa preveč gola?
Tukaj je Apelles nestrpno prekinil:
"Sodnik, prijatelj, ne nad škornjem!"

V mislih imam prijatelja:
Ne vem za katero temo gre.
Bil je poznavalec, čeprav strog neverbalno,
Toda hudič ga nosi, da sodi luč:
Poskusite oceniti škornje!

Analizirajmo to prispodobo. Pesem je sestavljena iz 13 vrstic. Izpostavlja dva pomenska dela: prvega v 8 vrsticah in drugega (morala prispodobe) v 5 vrsticah (13, 8, 5 - Fibonaccijeva števila). Ena zadnjih Puškinovih pesmi "Ne cenim odmevnih pravic ..." je sestavljena iz 21 vrstic, v njej pa se razlikujeta dva pomenska dela: v 13 in 8 vrsticah. Ne cenim odmevnih pravic, Od katerega se nobenemu ne vrti. Ne godrnjam nad dejstvom, da so bogovi zavrnili Sem v sladkem delu zahtevnih davkov Ali preprečiti kraljem, da bi se med seboj spopadli; In malo žalosti, je tisk brezplačen Zavajajoče sinci ali občutljiva cenzura V načrtih revije je šaljivec sramoten. Vse to, vidite, besede, besede, besede. Druge, boljše pravice so mi drage: Drugo, bolje, potrebujem svobodo: Odvisno od kralja, odvisno od ljudi - Ali nam je vsem vseeno? Bog je z njimi. Nihče Ne dajajte poročila, samo sebi Postrezi in prosim; za moč, za livrejo Ne upognite niti vesti, niti misli, niti vratu; Po tvoji muhi, da se sprehajaš sem in tja, Čuditi se božanski lepoti narave, In pred bitji umetnosti in navdiha V veselju nežnosti trepetajoč, Tukaj je sreča! Tako je... Značilno je, da je prvi del tega verza (13 vrstic) po pomenski vsebini razdeljen na 8 in 5 vrstic, torej je celotna pesem zgrajena po zakonih zlatega reza. Nedvomno zanimiva je analiza romana "Eugene Onegin", ki jo je naredil N. Vasyutinskiy. Ta roman je sestavljen iz 8 poglavij, vsako ima v povprečju približno 50 verzov. Najbolj popolno, najbolj rafinirano in čustveno bogato je osmo poglavje. Ima 51 verzov. Skupaj z Jevgenijevim pismom Tatjani (60 vrstic) to natančno ustreza Fibonaccijevemu številu 55! N. Vasyutinskiy pravi: "Vrhunec poglavja je Eugenejeva razlaga njegove ljubezni do Tatjane - vrstica "Pobledi in zbledi ... to je blaženost!" Ta vrstica deli celotno osmo poglavje na dva dela - v prvih 477 vrsticah in v drugem. - 295 vrstic. Njihovo razmerje je 1,617 "Najbolj subtilno skladnost z vrednostjo zlatega reza! To je velik čudež harmonije, ki ga je dosegel genij Puškina!" Poezija Lermontova E Rosenov je analiziral številna pesniška dela M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoja in v njih odkril tudi »zlati rez«.
Lermontova slavna pesem "Borodino" je razdeljena na dva dela: uvod, naslovljen na pripovedovalca in zavzema samo eno kitico ("Povej mi, stric, ni brez razloga ...") in glavni del, ki predstavlja samostojno celoto, ki je razdeljen na dva enakovredna dela. V prvem od njih je pričakovanje bitke opisano z naraščajočo napetostjo, v drugem - sam boj s postopnim upadanjem napetosti proti koncu pesmi. Meja med tema deli je vrhunec dela in pade točno na točko, da jo deli zlati rez. Glavni del pesmi je sestavljen iz 13 sedmih vrstic, torej 91 vrstic. Če ga delimo z zlatim rezom (91:1,618 = 56,238), poskrbimo, da je točka delitve na začetku 57. verza, kjer je kratek stavek: "No, bil je dan!". Prav ta fraza predstavlja »vrhunec vznemirjenega pričakovanja«, ki zaključuje prvi del pesmi (pričakovanje bitke) in odpira njen drugi del (opis bitke). Tako ima zlati rez zelo pomembno vlogo v poeziji, ki poudarja vrhunec pesmi. Poezija Šote Rustaveli Številni raziskovalci pesmi Shota Rustavelija "Vitez v panterjevi koži" ugotavljajo izjemno harmonijo in melodijo njegovega verza. Te lastnosti pesmi gruzijskega znanstvenika akademika G.V. Tsereteli ga pripisuje pesnikovi zavestni uporabi zlatega reza tako pri oblikovanju pesmi kot pri gradnji pesmi. Rustavelijeva pesem je sestavljena iz 1587 kitic, od katerih je vsaka sestavljena iz štirih vrstic. Vsaka vrstica je sestavljena iz 16 zlogov in je razdeljena na dva enaka dela po 8 zlogov v vsaki polovični vrstici. Vse polvrstice so razdeljene na dva segmenta dveh vrst: A - polovična vrstica z enakimi segmenti in sodim številom zlogov (4 + 4); B - pol črta z asimetrično delitvijo na dva neenaka dela (5 + 3 ali 3 + 5). Tako so v polovični črti B razmerja 3:5:8, kar je približek zlatemu rezu.
Ugotovljeno je, da je od 1587 kitic v Rustavelijevi pesmi več kot polovica (863) zgrajenih po principu zlatega reza. V našem času se je rodila nova vrsta umetnosti - kino, ki je absorbirala dramaturgijo akcije, slikarstva, glasbe. Upravičeno je iskati manifestacije zlatega reza v izjemnih kinematografskih delih. Prvi, ki je to storil, je bil ustvarjalec mojstrovine svetovne kinematografije "Battleship Potemkin", filmski režiser Sergej Eisenstein. Pri gradnji te slike mu je uspelo utelešiti osnovno načelo harmonije - zlati rez. Kot ugotavlja sam Eisenstein, rdeča zastava na jamboru uporniške bojne ladje (točka apogeja filma) vije na točki zlatega reza, ki se šteje od konca filma. ZLATI RAZMER V PISAVAH IN GOSPODINJSKIH PREDMETIH Posebno zvrst likovne umetnosti antične Grčije je treba izpostaviti izdelavo in barvanje vseh vrst posod. V elegantni obliki je razmerja zlatega reza zlahka uganiti.


V slikanju in kiparstvu templjev, na gospodinjskih predmetih so stari Egipčani najpogosteje upodabljali bogove in faraone. Vzpostavljeni so bili kanoni podobe stoječe osebe, ki hodi, sedi itd. Umetniki so si morali zapomniti posamezne oblike in sheme slik iz tabel in vzorcev. Starogrški umetniki so se na posebna potovanja v Egipt naučili uporabljati kanon. OPTIMALNI FIZIČNI PARAMETRI ZUNANJEGA OKOLJA Glasnost zvoka.
Znano je, da je največja glasnost zvoka, ki povzroča bolečino, 130 decibelov.
Če ta interval delimo z zlatim rezom 1,618, dobimo 80 decibelov, ki so značilni za glasnost človeškega krika.
Če zdaj delimo 80 decibelov z zlatim rezom, dobimo 50 decibelov, kar ustreza glasnosti človeškega govora.
Končno, če 50 decibelov delimo s kvadratom zlatega reza 2,618, dobimo 20 decibelov, kar ustreza človeškemu šepetu.
Tako so vsi značilni parametri glasnosti zvoka med seboj povezani prek zlatega reza.

Vlažnost zraka. Pri temperaturi 18-20® se za optimalno šteje razpon vlažnosti 40-60%.

Meje optimalnega območja vlažnosti lahko dobimo, če absolutno vlažnost 100 % dvakrat delimo z zlatim razmerjem: 100 / 2,618 = 38,2 % (spodnja meja); 100/1,618 = 61,8 % (zgornja meja).

Zračni tlak. Pri zračnem tlaku 0,5 MPa oseba doživi neprijetne občutke, njegova fizična in psihična aktivnost se poslabša. Pri tlaku 0,3 - 0,35 MPa je dovoljeno le kratkotrajno delovanje, pri tlaku 0,2 MPa pa je dovoljeno delovati največ 8 minut.

Vsi ti značilni parametri so med seboj povezani z zlatim razmerjem: 0,5 / 1,618 = 0,31 MPa; 0,5 / 2,618 = 0,19 MPa.

Zunanja temperatura zraka. Mejni parametri zunanje temperature zraka, znotraj katerih je možen normalen obstoj (in, kar je najpomembneje, izvor) osebe, je temperaturno območje od 0 do + (57-58) ® С. Očitno ni treba pojasnjevati prve meje.

Navedeno območje pozitivnih temperatur delimo z zlatim rezom. To nam daje dve meji:

Obe meji sta temperaturi, značilni za človeško telo: prva ustreza temperaturi Druga meja ustreza najvišji možni zunanji temperaturi za človeško telo.
ZLATI PREZEK V SLIKARSTVU
Že v renesansi so umetniki odkrili, da ima vsaka slika določene točke, ki nehote pritegnejo našo pozornost, tako imenovana vizualna središča. V tem primeru ni pomembno, kakšen format ima slika - vodoravno ali navpično. Takšne točke so le štiri in se nahajajo na razdalji 3/8 in 5/8 od ustreznih robov ravnine.


To odkritje med umetniki tistega časa so imenovali "zlati prerez" slike. Če se obrnemo na primere "zlatega reza" v slikarstvu, ne moremo ustaviti pozornosti na delu Leonarda da Vincija. Njegova identiteta je ena od skrivnosti zgodovine. Sam Leonardo da Vinci je rekel: "Naj si nihče, ki ni matematik, ne upa brati mojih del."
Zaslovel je kot neprekosljiv umetnik, velik znanstvenik, genij, ki je pričakoval številne izume, ki so bili udejanjani šele v 20. stoletju.
Nobenega dvoma ni, da je bil Leonardo da Vinci velik umetnik, to so prepoznali že njegovi sodobniki, a njegova osebnost in dejavnosti bodo ostali zaviti v skrivnost, saj zanamcem ni zapustil koherentne predstavitve svojih idej, temveč le številne ročno napisane skice, zapiske. ki pravijo "oba vsi na svetu."
Pisal je od desne proti levi z nečitljivo pisavo in z levo roko. To je najbolj znan primer zrcalne pisave, ki obstaja.
Portret Monne Lize (Gioconda) že vrsto let pritegne pozornost raziskovalcev, ki so ugotovili, da kompozicija risbe temelji na zlatih trikotnikih, ki so deli pravilnega zvezdnega peterokotnika. Obstaja veliko različic o zgodovini tega portreta. Tukaj je eden izmed njih.
Nekoč je Leonardo da Vinci od bankirja Francesca de le Gioconda prejel naročilo, naj naslika portret mlade ženske, bankirjeve žene Monne Lise. Ženska ni bila lepa, vendar jo je pritegnila preprostost in naravnost njenega videza. Leonardo se je strinjal, da bo naslikal portret. Njegova manekenka je bila žalostna in žalostna, a Leonardo ji je povedal pravljico, po slišanju katere je postala živa in zanimiva.
ZGODBA
Nekoč je bil en revež, imel je štiri sinove: tri pametne, enega pa tako in tako. In potem je prišla smrt za očeta. Preden se je ločil od življenja, je poklical svoje otroke k sebi in rekel: "Sinovi moji, kmalu bom umrl. Takoj, ko me pokopljete, zaklenite kočo in pojdite na konec sveta, da bi si sami ustvarili srečo. Naj se vsak od vas česa nauči, da se bo lahko prehranil." Oče je umrl, sinovi pa so se razkropili po svetu in se strinjali, da se bodo tri leta pozneje vrnili na jaso domačega gaja. Prišel je prvi brat, ki se je naučil mizarstva, posekal drevo in ga posekal, iz njega naredil ženo, malo hodil in čaka. Drugi brat se je vrnil, zagledal leseno žensko in jo, ker je bil krojač, v eni minuti oblekel: kot vešč mojster ji je sešil lepa svilena oblačila. Tretji sin je ženo okrasil z zlatom in dragimi kamni - navsezadnje je bil draguljar. Končno je prišel četrti brat. Ni znal mizariti in šivati, znal je le poslušati, kaj govorijo zemlja, drevesa, zelišča, živali in ptice, poznal je potek nebesnih teles in znal je tudi peti čudovite pesmi. Zapel je pesem, ki je razjokala brate, ki so se skrivali za grmovjem. S to pesmijo je obudil ženo, nasmehnila se je in vzdihovala. Bratje so hiteli k njej in vsak zavpil isto: "Ti moraš biti moja žena." Žena pa je odgovorila: "Ustvaril si me - bodi moj oče, oblekel si me in okrasil si me - bodite moji bratje."
In ti, ki si mi vdahnil dušo in me naučil uživati ​​življenje, te potrebujem samega za življenje".
Ko je končal zgodbo, je Leonardo pogledal Monna Liso, njen obraz je bil osvetljen s svetlobo, njene oči so zasijale. Potem je, kot da bi se prebudila iz sanj, vzdihnila, si prešla z roko čez obraz in brez besed odšla k sebi, prekrižila roke in zavzela običajno držo. Toda dejanje je bilo storjeno - umetnik je prebudil ravnodušni kip; nasmeh blaženosti, ki je počasi izginjal z njenega obraza, je ostal v kotičkih njenih ust in se tresel ter dal njenemu obrazu neverjeten, skrivnosten in rahlo zvit izraz, kot človek, ki se je naučil skrivnosti in jo skrbno hraniti, ne zna zadržati njegovo zmagoslavje. Leonardo je delal v tišini, v strahu, da bi zamudil ta trenutek, ta sončni žarek, ki je osvetlil njegovo dolgočasno manekenko ...
Težko je opaziti, kaj je bilo opaženo v tej mojstrovini umetnosti, vendar so vsi govorili o Leonardovem globokem poznavanju zgradbe človeškega telesa, zahvaljujoč kateremu je uspel ujeti ta tako rekoč skrivnostni nasmeh. Pogovarjali so se o izraznosti posameznih delov slike in o pokrajini, neprimerljivem spremljevalcu portreta. Pogovarjali so se o naravnosti izraza, preprostosti poze, lepoti rok. Umetnik je naredil nekaj brez primere: slika prikazuje zrak, figuro ovije s prozorno meglico. Kljub uspehu je bil Leonardo mračen, razmere v Firencah so se umetniku zdele boleče, pripravil se je na odhod. Opomini na ukaze za poplave mu niso pomagali.

Zlati rez na sliki I. I. Shishkina "Pine Grove" Na tej slavni sliki I. I. Šiškina so jasno vidni motivi zlatega reza. Močno osvetljen bor (stoji v ospredju) deli dolžino slike po zlatem rezu. Desno od bora je s soncem obsijan grič. Desno stran slike razdeli vodoravno v skladu z zlatim rezom. Levo od glavnega bora je veliko borovcev - če želite, lahko uspešno nadaljujete z delitvijo slike po zlatem prerezu in naprej.
Prisotnost na sliki svetlih navpičnic in horizontal, ki jo delijo v odnosu do zlatega reza, ji daje značaj ravnovesja in umirjenosti v skladu z umetnikovim namenom. Ko je umetnikova namera drugačna, če recimo ustvari sliko s hitro razvijajočo se akcijo, postane takšna geometrijska shema kompozicije (s prevlado vertikale in horizontale) nesprejemljiva.
V. I. Surikov. Boyar Morozova. Njena vloga je dodeljena srednjemu delu slike. Vezana je na točko najvišjega vzpona in točko najnižjega padca ploskve slike. 1) To je dvig Morozove roke z znakom križa z dvema prstoma kot najvišjo točko. 2) To je nemočno iztegnjena roka isti plemkinji, a tokrat je to roka stare ženske - uboge potepuške, roka, izpod katere skupaj z zadnjim upanjem na odrešitev zdrsne konec sani . Kaj pa "najvišja točka"? Na prvi pogled imamo navidezno protislovje: navsezadnje odsek A1B1, ki je 0,618 ... od desnega roba slike, ne poteka skozi roko, niti ne skozi glavo ali oko plemkinje, ampak je nekje pred plemkinjinimi usti! Zlati rez tukaj res vpliva na najpomembnejšo stvar. V njem in prav v njem je največja moč Morozove. Zlato razmerje na sliki Leonarda da Vincija "La Gioconda"
	Portret Mona Lise pritegne dejstvo, da je kompozicija slike zgrajena na "zlatih trikotnikih" (natančneje na trikotnikih, ki so kosi pravilnega peterokotnika v obliki zvezde).
Ni slike bolj poetične od slike Sandra Botticellija in veliki Sandro nima slike, ki bi bila bolj znana kot njegova "Venera". Za Botticellija je njegova Venera utelešenje ideje o univerzalni harmoniji "zlatega reza", ki prevladuje v naravi. O tem nas prepriča proporcionalna analiza Venere. Raphael "Atenska šola" Raphael ni bil matematik, vendar je imel, tako kot mnogi umetniki tiste dobe, precejšnje znanje o geometriji. Na znameniti freski "Atenska šola", kjer se v templju znanosti nahaja društvo velikih filozofov antike, našo pozornost pritegne skupina Evklida, največjega starogrškega matematika, ki analizira zapleteno risbo. Iznajdljiva kombinacija dveh trikotnikov je prav tako zgrajena v skladu z zlatim rezom: vpiše se lahko v pravokotnik z razmerjem stranic 5/8. To risbo je presenetljivo enostavno vstaviti v zgornji del arhitekture. Zgornji vogal trikotnika se naslanja na temeljni kamen loka v območju, ki je najbližje gledalcu, spodnji - na izginjajoči se točki perspektiv, stranski del pa označuje razmerja prostorske vrzeli med obema deloma lokov. . Zlata spirala v Raphaelovem "Masakru nedolžnih"
Za razliko od zlatega reza je občutek dinamike, vznemirjenosti morda najbolj izrazit pri drugi preprosti geometrijski figuri – spirali. Večfiguralno kompozicijo, ki jo je v letih 1509 - 1510 izdelal Rafael, ko je slavni slikar ustvaril svoje freske v Vatikanu, odlikujeta le dinamičnost in dramatičnost zapleta. Rafael svoje ideje ni nikoli izpeljal do konca, vendar je njegovo skico vgraviral neznani italijanski grafik Marcantinio Raimondi, ki je na podlagi te skice ustvaril gravuro Massacre of the Innocents. Če na Raphaelovi pripravljalni skici miselno potegnemo črte, ki potekajo od pomenskega središča kompozicije - točke, kjer so se bojevnikovi prsti sklenili okoli otrokovega gležnja - vzdolž figur otroka, ženske, ki ga stiska k sebi, bojevnika z dvignjen meč, nato pa vzdolž figur iste skupine na desnih delih skice (na sliki so te črte narisane z rdečo), nato pa te kose krivulje povežite s pikčasto črto, nato je zlata spirala pridobljeno z zelo visoko natančnostjo. To je mogoče preveriti z merjenjem razmerja dolžin segmentov, ki jih prereže spirala, na ravnih črtah, ki potekajo skozi začetek krivulje.
ZLATO RAZMERJE IN PERCEPCIJA SLIKE Sposobnost človeškega vizualnega analizatorja, da predmete, zgrajene po algoritmu zlatega reza, razloči kot lepe, privlačne in harmonične je že dolgo znana. Zlati rez daje občutek najbolj popolne enotne celote. Oblika številnih knjig sledi zlatemu rezu. Izbrana je za okna, slike in ovojnice, znamke, vizitke. Človek morda ne ve ničesar o številu Ф, vendar v strukturi predmetov, pa tudi v zaporedju dogodkov, podzavestno najde elemente zlatega reza. Izvedene so bile študije, v katerih so subjekti morali izbrati in kopirati pravokotnike različnih razmerij. Na izbiro so bili trije pravokotniki: kvadrat (40:40 mm), pravokotnik "zlatega prereza" z razmerjem stranic 1:1,62 (31:50 mm) in pravokotnik z podolgovatimi razmerji 1:2,31 (26: 60 mm). Pri izbiri pravokotnikov v običajnem stanju se v 1/2 primerih daje prednost kvadratu. Desna hemisfera ima raje zlati rez in zavrača podolgovat pravokotnik. Nasprotno, leva hemisfera gravitira k podolgovatim razmerjem in zavrača zlati rez. Pri kopiranju teh pravokotnikov je bilo opaženo naslednje. Ko je bila desna hemisfera aktivna, so se razmerja v kopijah ohranila najbolj natančno. Ko je bila leva hemisfera aktivna, so bili deleži vseh pravokotnikov popačeni, pravokotniki so bili raztegnjeni (kvadrat je bil narisan kot pravokotnik z razmerjem stranic 1:1,2; razmerja raztegnjenega pravokotnika so se močno povečali in dosegli 1:2,8 ). Najbolj izkrivljena razmerja "zlatega" pravokotnika; njegova razmerja v kopijah so postala razmerja pravokotnika 1:2,08. Pri risanju lastnih risb prevladujejo razmerja blizu zlatega reza in podolgovate. V povprečju so razmerja 1:2, medtem ko desni polobli daje prednost razmerjem zlatega reza, leva hemisfera se odmakne od razmerij zlatega reza in raztegne vzorec. Zdaj narišite nekaj pravokotnikov, izmerite njihove stranice in poiščite razmerje stranic. katero hemisfero imaš?

ZLATI RAZMER V FOTOGRAFJI
Primer uporabe zlatega reza v fotografiji je lokacija ključnih komponent okvirja na točkah, ki se nahajajo 3/8 in 5/8 od robov okvirja. To lahko ponazorimo z naslednjim primerom.

Tukaj je fotografija mačke, ki se nahaja na poljubnem mestu v okvirju.

Zdaj pa pogojno razdelimo okvir na segmente, v razmerju 1,62 celotne dolžine z vsake strani okvirja. Na presečišču segmentov bodo glavni "vizualni centri", v katere je vredno postaviti potrebne ključne elemente slike. Prenesimo našo mačko na točke "vizualnih centrov". ZLATI RAZMER IN PROSTOR Iz zgodovine astronomije je znano, da je I. Titius, nemški astronom iz 18. stoletja, s pomočjo te serije našel pravilnost in red v razdaljah med planeti sončnega sistema.
Vendar pa je en primer, ki se je zdel v nasprotju z zakonom: med Marsom in Jupitrom ni bilo planeta. Osredotočeno opazovanje tega dela neba je pripeljalo do odkritja asteroidnega pasu. To se je zgodilo po Titijevi smrti v začetku 19. stoletja. Fibonaccijeva serija se pogosto uporablja: z njeno pomočjo predstavljajo arhitektoniko živih bitij, umetne strukture in strukturo galaksij. Ta dejstva dokazujejo neodvisnost številske vrste od pogojev njene manifestacije, kar je eden od znakov njene univerzalnosti.



Dve zlati spirali galaksije sta združljivi z Davidovo zvezdo. Bodite pozorni na zvezde, ki izhajajo iz galaksije v beli spirali. Točno 180® iz ene od spiral prihaja druga spirala, ki se odvija. ... Dolgo časa so astronomi preprosto verjeli, da je vse, kar je tam, tisto, kar vidimo; če je nekaj vidno, potem obstaja. Ali nevidnega dela Realnosti sploh niso opazili ali pa se jim ni zdel pomemben. Toda nevidna stran naše Realnosti je pravzaprav veliko večja od vidne in verjetno pomembnejša. ... Z drugimi besedami, vidni del Realnosti je veliko manj kot en odstotek celote – skoraj nič. Pravzaprav je naš pravi dom nevidno vesolje ... V vesolju vse galaksije, ki jih pozna človeštvo, in vsa telesa v njih obstajajo v obliki spirale, ki ustreza formuli zlatega reza. V spirali naše galaksije leži zlati rez


ZAKLJUČEK Narava, razumljena kot ves svet v raznolikosti njegovih oblik, je tako rekoč sestavljena iz dveh delov: žive in nežive narave. Za stvaritve nežive narave je značilna visoka stabilnost, nizka variabilnost, sodeč po obsegu človeškega življenja. Človek se rodi, živi, ​​stara, umira, a granitne gore ostajajo enake in planeti se vrtijo okoli Sonca na enak način kot v času Pitagore. Svet divjih živali se nam kaže na povsem drugačen način - gibljiv, spremenljiv in presenetljivo raznolik. Življenje nam pokaže fantastičen karneval raznolikosti in izvirnosti ustvarjalnih kombinacij! Svet nežive narave je najprej svet simetrije, ki daje njegovim stvaritvam stabilnost in lepoto. Svet narave je najprej svet harmonije, v katerem deluje »zakon zlatega reza«. V sodobnem svetu je znanost še posebej pomembna zaradi vse večjega vpliva človeka na naravo. Pomembne naloge na današnji stopnji so iskanje novih načinov sobivanja človeka in narave, preučevanje filozofskih, družbenih, ekonomskih, izobraževalnih in drugih problemov, s katerimi se sooča družba. V tem prispevku je bil obravnavan vpliv lastnosti "zlatega reza" na živo in neživo naravo, na zgodovinski potek razvoja zgodovine človeštva in planeta kot celote. Če analiziramo vse našteto, se lahko ponovno načudimo veličastnosti procesa spoznavanja sveta, odkrivanju njegovih vedno novih vzorcev in sklepamo: načelo zlatega reza je najvišja manifestacija strukturnega in delujoč njena popolnost celote in njenih delov v umetnosti, znanosti, tehnologiji in naravi. Pričakovati je, da zakoni razvoja različnih sistemov narave, zakoni rasti, niso zelo raznoliki in jih je mogoče zaslediti v najrazličnejših formacijah. To je manifestacija enotnosti narave. Ideja takšne enotnosti, ki temelji na manifestaciji istih vzorcev v heterogenih naravnih pojavih, je ohranila svojo pomembnost od Pitagore do danes. th. 51

V vesolju je še veliko nerešenih skrivnosti, nekatere so znanstveniki že lahko identificirali in opisali. Fibonaccijeva števila in zlati rez so osnova za odkrivanje sveta okoli nas, gradnjo njegove oblike in optimalne vizualne percepcije s strani človeka, s pomočjo katerega lahko začuti lepoto in harmonijo.

zlata sredina

Načelo določanja velikosti zlatega reza je osnova popolnosti celotnega sveta in njegovih delov v njegovi strukturi in funkcijah, njegovo manifestacijo je mogoče videti v naravi, umetnosti in tehnologiji. Nauk o zlatem rezu je bil ustanovljen kot rezultat raziskav starodavnih znanstvenikov o naravi številk.

Temelji na teoriji razmerij in razmerij delitev segmentov, ki jo je izdelal antični filozof in matematik Pitagora. Dokazal je, da bo pri delitvi segmenta na dva dela: X (manjši) in Y (večji), razmerje večjega proti manjšemu enako razmerju njune vsote (celotnega segmenta):

Rezultat je enačba: x 2 - x - 1=0, ki je rešen kot x=(1±√5)/2.

Če upoštevamo razmerje 1/x, potem je enako 1,618…

Dokazi o uporabi zlatega reza s strani antičnih mislecev so podani v knjigi Evklidovih "Začetki", napisani že v 3. stoletju. BC, ki je to pravilo uporabil za konstruiranje pravilnih 5-kotnikov. Med Pitagorejci ta figura velja za sveto, saj je tako simetrična kot asimetrična. Pentagram je simboliziral življenje in zdravje.

Fibonaccijeva števila

Znamenita knjiga Liber abaci italijanskega matematika Leonarda iz Pise, ki je kasneje postal znan kot Fibonacci, je izšla leta 1202. V njej znanstvenik prvič poda vzorec števil, v nizu katerih je vsako število vsota od 2 prejšnjih števk. Zaporedje Fibonaccijevih števil je naslednje:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd.

Znanstvenik je navedel tudi številne vzorce:

• Vsako število iz niza, deljeno z naslednjim, bo enako vrednosti, ki teži k 0,618. Poleg tega prva Fibonaccijeva števila ne dajejo takšne številke, a ko se premikate od začetka zaporedja, bo to razmerje vedno bolj natančno.
• Če število iz serije delite s prejšnjim, se bo rezultat nagibal k 1,618.
• Ena številka, deljena z naslednjo, bo pokazala vrednost, ki se nagiba k 0,382.

Uporaba povezave in vzorcev zlatega reza, Fibonaccijevega števila (0,618), najdemo ne le v matematiki, ampak tudi v naravi, v zgodovini, v arhitekturi in gradbeništvu ter v mnogih drugih znanostih.

Arhimedova spirala in zlati pravokotnik

Spirale, ki so v naravi zelo pogoste, je raziskoval Arhimed, ki je celo izpeljal njeno enačbo. Oblika spirale temelji na zakonih zlatega reza. Ko ga odvijemo, dobimo dolžino, na katero je mogoče uporabiti razmerja in Fibonaccijeva števila, povečanje koraka poteka enakomerno.

Vzporednico med Fibonaccijevimi števili in zlatim razmerjem lahko vidimo tudi tako, da zgradimo "zlati pravokotnik", katerega stranice so sorazmerne kot 1,618:1. Zgrajena je s premikanjem iz večjega pravokotnika v manjše, tako da bodo dolžine stranic enake številkam iz vrstice. Njegova konstrukcija se lahko izvede v obratnem vrstnem redu, začenši s kvadratom "1". Ko povežemo vogale tega pravokotnika s črtami v središču njihovega presečišča, dobimo Fibonaccijevo ali logaritmično spiralo.

Zgodovina uporabe zlatih razmerij

Številni starodavni arhitekturni spomeniki Egipta so bili zgrajeni z zlatimi razmerji: znamenite Keopsove piramide in drugi, ki so jih arhitekti antične Grčije pogosto uporabljali pri gradnji arhitekturnih objektov, kot so templji, amfiteatri, stadioni. Na primer, takšna razmerja so bila uporabljena pri gradnji starodavnega templja Partenona (Atene) in drugih predmetov, ki so postali mojstrovine starodavne arhitekture, ki kažejo harmonijo na podlagi matematičnih vzorcev.

V kasnejših stoletjih se je zanimanje za zlati rez umirilo, vzorci pa so bili pozabljeni, a se v renesansi znova obnovili, skupaj s knjigo frančiškanskega meniha L. Pacioli di Borgo "Božanski delež" (1509). Vključeval je ilustracije Leonarda da Vincija, ki je določil novo ime "zlati rez". Prav tako je bilo znanstveno dokazanih 12 lastnosti zlatega reza, avtor pa je spregovoril o tem, kako se manifestira v naravi, v umetnosti in ga poimenoval »načelo gradnje sveta in narave«.

Vitruvijski človek Leonardo

Risba, s katero je Leonardo da Vinci ponazoril Vitruvijevo knjigo leta 1492, prikazuje lik moškega v dveh položajih z rokami, iztegnjenimi ob straneh. Lik je vpisan v krog in kvadrat. Ta risba velja za kanonična razmerja človeškega telesa (moškega), ki jih je opisal Leonardo na podlagi njihove študije v razpravah rimskega arhitekta Vitruvija.

Središče telesa kot enako oddaljena točka od konca rok in nog je popek, dolžina rok je enaka višini osebe, največja širina ramen = 1/8 višine, razdalja od vrha prsi do las = 1/7, od vrha prsi do vrha glave = 1/6 itd.

Od takrat se risba uporablja kot simbol, ki prikazuje notranjo simetrijo človeškega telesa.

Izraz "zlati rez" je Leonardo uporabil za označevanje sorazmernih razmerij v človeški podobi. Na primer, razdalja od pasu do stopal je povezana z enako razdaljo od popka do vrha glave na enak način kot višina do prve dolžine (od pasu navzdol). Ta izračun se izvede podobno kot razmerje segmentov pri izračunu zlatega reza in teži k 1,618.

Vsa ta harmonična razmerja umetniki pogosto uporabljajo za ustvarjanje čudovitih in impresivnih del.

Študije zlatega reza v 16.-19. stoletju

Z uporabo zlatega reza in Fibonaccijevih številk raziskovalno delo o proporcih poteka že več kot eno stoletje. Vzporedno z Leonardom da Vincijem je teorijo pravilnih razmerij človeškega telesa razvijal tudi nemški umetnik Albrecht Dürer. Za to je ustvaril celo poseben kompas.

V 16. stoletju vprašanje povezave med Fibonaccijevim številom in zlatim prerezom je bilo posvečeno delu astronoma I. Keplerja, ki je ta pravila prvi uporabil v botaniki.

Zlati rez je v 19. stoletju čakalo novo »odkritje«. z objavo "Aesthetic Research" nemškega znanstvenika profesorja Zeisiga. Ta razmerja je povzdignil na absolutno in oznanil, da so univerzalni za vse naravne pojave. Izvedel je študije ogromnega števila ljudi oziroma njihovih telesnih razmerij (približno 2 tisoč), na podlagi katerih so bili narejeni sklepi o statistično potrjenih vzorcih v razmerjih različnih delov telesa: dolžina ramen, podlakti , roke, prsti itd.

Proučevali so tudi umetniške predmete (vaze, arhitekturne konstrukcije), glasbene tone, velikosti pri pisanju pesmi – vse to je Zeisig prikazal skozi dolžine segmentov in številk, uvedel je tudi izraz »matematična estetika«. Po prejemu rezultatov se je izkazalo, da se dobi Fibonaccijeva serija.

Fibonaccijevo število in zlati rez v naravi

V rastlinskem in živalskem svetu obstaja težnja po oblikovanju v obliki simetrije, ki jo opazimo v smeri rasti in gibanja. Razdelitev na simetrične dele, v katerih so opaženi zlati deleži, je vzorec, ki je značilen za številne rastline in živali.

Naravo okoli nas lahko opišemo s Fibonaccijevimi številkami, na primer:

• razporeditev listov ali vej katere koli rastline, pa tudi razdalje, so povezane z nizom danih številk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 in tako naprej;
• sončnična semena (luske na storžkih, celice ananasa), razporejena v dveh vrstah v zavitih spiralah v različnih smereh;
• razmerje dolžine repa in celotnega telesa kuščarja;
• oblika jajca, če skozi njegov širok del pogojno potegnemo črto;
• razmerje velikosti prstov na človeški roki.

In, seveda, najbolj zanimive oblike so spiralne polžje lupine, vzorci na spletu, gibanje vetra v orkanu, dvojna vijačnica v DNK in struktura galaksij – vse to vključuje zaporedje Fibonaccijevih števil. .

Uporaba zlatega reza v umetnosti

Raziskovalci, ki iščejo primere uporabe zlatega reza v umetnosti, podrobno preučujejo različne arhitekturne objekte in slike. Znana so znana kiparska dela, katerih ustvarjalci so se držali zlatih razsežnosti - kipi olimpskega Zevsa, Apolona Belvedere in

Ena od stvaritev Leonarda da Vincija - "Portret Mona Lise" - je že vrsto let predmet raziskav znanstvenikov. Ugotovili so, da je kompozicija dela v celoti sestavljena iz "zlatih trikotnikov", združenih v pravilen peterokotnik-zvezdo. Vsa da Vincijeva dela so dokaz, kako globoko je bilo njegovo poznavanje strukture in proporcev človeškega telesa, zahvaljujoč kateremu je lahko ujel neverjetno skrivnosten nasmeh Mona Lise.

Zlato razmerje v arhitekturi

Kot primer so znanstveniki preučevali arhitekturne mojstrovine, ustvarjene po pravilih "zlatega reza": egipčanske piramide, Panteon, Partenon, katedralo Notre Dame de Paris, katedralo svetega Vasilija itd.

Partenon, ena najlepših zgradb v stari Grčiji (5. stoletje pr.n.št.), ima 8 stebrov in 17 na različnih straneh, razmerje med višino in dolžino stranic je 0,618. Izrastki na njegovih fasadah so izdelani po "zlatem prerezu" (fotografija spodaj).

Eden od znanstvenikov, ki je izumil in uspešno uporabil izboljšanje modularnega sistema proporcij za arhitekturne objekte (tako imenovani "modulor"), je bil francoski arhitekt Le Corbusier. Modul temelji na merilnem sistemu, ki je povezan s pogojno delitvijo na dele človeškega telesa.

Ruski arhitekt M. Kazakov, ki je zgradil več stanovanjskih zgradb v Moskvi, pa tudi zgradbe senata v Kremlju in bolnišnico Golitsyn (danes 1. klinika po imenu N. I. Pirogova), je bil eden od arhitektov, ki so uporabljali zakone v načrtovanje in konstrukcija o zlatem rezu.

Uporaba proporcev pri oblikovanju

V modnem oblikovanju vsi modni oblikovalci ustvarjajo nove podobe in modele, pri čemer upoštevajo razmerja človeškega telesa in pravila zlatega reza, čeprav po naravi vsi ljudje nimajo idealnih razmerij.

Pri načrtovanju krajinskega oblikovanja in ustvarjanju obsežnih parkovnih kompozicij s pomočjo rastlin (dreves in grmovnic), vodnjakov in majhnih arhitekturnih objektov je mogoče uporabiti tudi vzorce "božanskih razsežnosti". Konec koncev bi morala biti sestava parka osredotočena na ustvarjanje vtisa na obiskovalca, ki bo lahko prosto krmaril po njem in našel kompozicijsko središče.

Vsi elementi parka so v takšnih razmerjih, da s pomočjo geometrijske strukture, medsebojne razporeditve, osvetlitve in svetlobe dajejo človeku vtis harmonije in popolnosti.

Uporaba zlatega reza v kibernetiki in tehnologiji

Vzorci zlatega reza in Fibonaccijevih števil se kažejo tudi v energetskih prehodih, v procesih, ki se dogajajo z elementarnimi delci, ki sestavljajo kemične spojine, v vesoljskih sistemih, v strukturi gena DNK.

Podobni procesi se pojavljajo v človeškem telesu, kar se kaže v bioritmih njegovega življenja, v delovanju organov, na primer možganov ali vida.

Algoritmi in vzorci zlatih razsežnosti se pogosto uporabljajo v sodobni kibernetiki in informatiki. Ena izmed preprostih nalog, ki jih rešijo programerji začetniki, je napisati formulo in določiti vsoto Fibonaccijevih števil do določenega števila z uporabo programskih jezikov.

Sodobne raziskave o teoriji zlatega reza

Od sredine 20. stoletja se je zanimanje za problematiko in vpliv zakonov zlatih razsežnosti na človeško življenje močno povečalo, in to s strani številnih znanstvenikov različnih strok: matematikov, raziskovalcev etnosa, biologov, filozofov, zdravstvenih delavcev, ekonomistov, glasbeniki itd.

Od sedemdesetih let prejšnjega stoletja v ZDA izhaja The Fibonacci Quarterly, kjer so objavljena dela na to temo. V tisku se pojavljajo dela, v katerih se v različnih vejah znanja uporabljajo posplošena pravila zlatega prereza in Fibonaccijeve vrste. Na primer za kodiranje informacij, kemijske raziskave, biološke itd.

Vse to potrjuje sklepe starodavnih in sodobnih znanstvenikov, da je zlati rez večstransko povezan s temeljnimi vprašanji znanosti in se kaže v simetriji številnih stvaritev in pojavov sveta okoli nas.

Že v starem Egiptu so ga poznali zlata sredina, Leonardo da Vinci in Euclid sta preučevala njegove lastnosti.Vizualna percepcija osebe je urejena tako, da po obliki razlikuje vse predmete, ki ga obdajajo. Njegovo zanimanje za predmet ali njegovo obliko včasih narekuje nujnost ali pa je to zanimanje lahko posledica lepote predmeta. Če je v sami osnovi konstrukcije obrazca uporabljena kombinacija zlata sredina in zakoni simetrije, potem je to najboljša kombinacija za vizualno percepcijo osebe, ki čuti harmonijo in lepoto. Celota je sestavljena iz delov, velikih in majhnih, in te različne velikosti delov imajo določen odnos, tako med seboj kot s celoto. In najvišja manifestacija funkcionalne in strukturne popolnosti v naravi, znanosti, umetnosti, arhitekturi in tehnologiji je Princip zlata sredina. Koncept oz zlata sredina je v znanstveno uporabo uvedel starogrškega matematika in filozofa (VI stoletje pr.n.št.) Pitagora. Toda samo poznavanje zlata sredina izposodil od starih Egipčanov. Razmerja vseh tempeljskih zgradb, Keopsovih piramid, reliefov, gospodinjskih predmetov in okraskov iz grobnic kažejo, da je razmerje zlata sredina so jo aktivno uporabljali starodavni mojstri že dolgo pred Pitagoro. Kot primer: relief iz templja Setija I v Abydosu in relief Ramzesa uporabljata načelo zlata sredina v razmerjih številk. To je ugotovil arhitekt Le Corbusier. Na leseni plošči, najdeni iz grobnice arhitekta Khesira, je upodobljena reliefna risba, na kateri je viden sam arhitekt, ki v rokah drži merilne instrumente, ki so upodobljeni v položaju, ki pritrjuje načela. zlata sredina. Poznal načela zlata sredina in Platon (427...347 pr.n.št.). Dialog Timaeus je dokaz za to, saj je posvečen vprašanjem zlata divizija, estetski in matematični pogledi na Pitagorovo šolo. Načela zlati rez ki so ga uporabljali starogrški arhitekti za fasado templja Partenona. Kompasi, ki so jih pri svojem delu uporabljali starodavni arhitekti in kiparji antičnega sveta, so bili odkriti med izkopavanji templja Partenona.

Partenon, Akropola, Atene V Pompejih (muzej v Neaplju) razmerja zlata divizija so tudi na voljo.V starodavni literaturi, ki je prišla do nas, načelo zlata sredina prvič omenjen v Evklidovih elementih. V knjigi "Začetki" v drugem delu je podan geometrijski princip zlata sredina. Evklidovi privrženci so bili Papus (3. stoletje n.št.), Hipsikle (2. stoletje pr.n.št.) in drugi V srednjeveško Evropo z načelom zlata sredina Spoznala sva se prek prevodov iz arabščine Evklidovih "Začetkov". Načela zlata sredina so bili poznani le ozkemu krogu posvečenih, so bili ljubosumno varovani, varovani v strogi tajnosti. Prišla je renesansa in zanimanje za načela zlata sredina narašča med znanstveniki in umetniki, saj je to načelo uporabno v znanosti, arhitekturi in umetnosti. In Leonardo Da Vinci je ta načela začel uporabljati v svojih delih, še več kot to, začel je pisati knjigo o geometriji, a takrat se je pojavila knjiga meniha Luca Paciolija, ki ga je prehitel in izdal knjigo " Divine Proportion", po katerem je Leonardo zapustil svoje delo, ni končano. Po mnenju zgodovinarjev znanosti in sodobnikov je bil Luca Pacioli prava svetilka, sijajen italijanski matematik, ki je živel med Galilejem in Fibonaccijem. Kot učenec slikarja Piera della Francesca je Luca Pacioli napisal dve knjigi O perspektivi v slikarstvu, naslov ene od njih. Mnogi ga štejejo za ustvarjalca deskriptivne geometrije. Luca Pacioli je na povabilo vojvode Moreauskega leta 1496 prispel v Milano in tam predaval matematiko. Leonardo da Vinci je v tem času delal na sodišču Moro. Divine Proportion Luca Paciolija, ki je bila objavljena v Benetkah leta 1509, je postala navdušena himna zlata sredina, z lepo izvedenimi ilustracijami, obstajajo vsi razlogi za domnevo, da je ilustracije izdelal Leonardo da Vinci sam. Menih Luca Pacioli, kot ena od vrlin zlata sredina poudaril njeno "božansko bistvo". Ker je Leonardo da Vinci razumel znanstveno in umetniško vrednost zlatega reza, je posvetil veliko časa njegovemu preučevanju. Z izvedbo preseka stereometričnega telesa, sestavljenega iz peterokotnikov, je dobil pravokotnike z razmerjem stranic v skladu z zlata sredina. In dal mu je ime zlata sredina". Kar se še vedno drži. Albrecht Dürer, prav tako študira zlata sredina v Evropi se sreča z menihom Luco Paciolijem. Na pomembnost je prvi opozoril Johannes Kepler, največji astronom tistega časa zlata sredina za botaniko ga imenujejo zaklad geometrije. Zlati rez je poimenoval samonadaljevanje. »Tako je urejeno,« je rekel, »vsota dveh mlajših členov v neskončnem razmerju daje tretji člen, vsaka zadnja dva člena pa, če se seštejeta, dajeta naslednji člen , enak delež pa ostaja za nedoločen čas.«

Zlati trikotnik:: Zlati rez in zlati rez:: Zlati pravokotnik:: Zlata spirala

Zlati trikotnik

Za iskanje segmentov zlatega reza padajoče in naraščajoče vrstice bomo uporabili pentagram.

riž. 5. Konstrukcija pravilnega peterokotnika in pentagrama

Če želite zgraditi pentagram, morate narisati pravilen petkotnik po metodi gradnje, ki jo je razvil nemški slikar in grafik Albrecht Dürer. Če je O središče kroga, je A točka na krogu in E središče segmenta OA. Navpičnica na polmer OA, dvignjena v točki O, seka krog v točki D. S šestilom označimo segment na premeru CE = ED. Potem je dolžina stranice pravilnega peterokotnika, vpisanega v krog, enaka DC. Na krogu odložimo segmente DC in dobimo pet točk za risanje pravilnega peterokotnika. Nato skozi en vogal povežemo vogale peterokotnika z diagonalami in dobimo pentagram. Vse diagonale peterokotnika se med seboj delijo na segmente, povezane z zlatim rezom.

Vsak konec peterokotne zvezde je zlati trikotnik. Njegove stranice na vrhu tvorijo kot 36°, ob strani položena osnova pa ga deli sorazmerno z zlatim rezom. Nariši ravno črto AB. Od točke A nanjo trikrat odložimo odsek O poljubne velikosti, skozi nastalo točko P narišemo pravokotno na premico AB, na pravokotnik desno in levo od točke P odložimo segmente O. Točki d in d1 sta povezani z ravnimi črtami s točko A. Odsek dd1 smo dali na premico Ad1 in dobili točko C. Premo Ad1 je razdelila v sorazmerju z zlatim rezom. Vrstici Ad1 in dd1 se uporabljata za izgradnjo "zlatega" pravokotnika.

riž. 6. Gradnja zlatega

trikotnik

Zlato razmerje in zlato razmerje

V matematiki in umetnosti sta dve količini v zlatem razmerju, če je razmerje med vsoto teh količin in večjo enako razmerju med večjo in manjšo. Izraženo algebraično: Zlati rez je pogosto označen z grško črko phi (? ali?). slika zlatega reza ponazarja geometrijske odnose, ki opredeljujejo to konstanto. Zlati rez je iracionalna matematična konstanta, približno 1,6180339887.

zlati pravokotnik

Zlati pravokotnik je pravokotnik, katerega dolžine stranic so v zlatem razmerju, 1:? (en-to-fi), 1: ali približno 1:1,618. Zlati pravokotnik je mogoče zgraditi samo z ravnilom in krog: 1. Konstruiraj preprost kvadrat 2. Nariši črto od sredine ene strani kvadrata do nasprotnega vogala 3. Uporabite to črto kot polmer za risanje loka, ki določa višino pravokotnika 4. Dokončajte zlati pravokotnik

zlata spirala

V geometriji je zlata spirala logaritmična spirala, s katero je povezan rastni faktor b? , zlata sredina. Zlasti zlata spirala postane širša (dlje od mesta, kjer se je začela) za faktor ? za vsako četrt obrata, ki ga naredi.

Zaporedne točke delitve zlatega pravokotnika na kvadratke ležijo na logaritmična spirala, včasih znana kot zlata spirala.

Zlati rez v arhitekturi in umetnosti.

Številni arhitekti in umetniki so svoje delo izvajali v skladu z razmerji zlatega reza, predvsem v obliki zlatega pravokotnika, v katerem je razmerje večje strani proti manjšem deležu zlatega reza, saj menijo, da je to razmerje bi bilo estetsko. [Vir: Wikipedia.org ]

Tukaj je nekaj primerov:

Partenon, Akropola, Atene . Ta starodavni tempelj se skoraj natančno prilega zlatemu pravokotniku.

Vitruvianski človek Leonarda da Vincija na tej sliki lahko narišete veliko črt pravokotnikov. Nato obstajajo trije različni nizi zlatih pravokotnikov: Vsak komplet je namenjen predelu glave, trupa in nog. Risbo Leonarda da Vincija Vitruvian Man včasih zamenjujejo z načeli "zlatega pravokotnika", vendar temu ni tako. Konstrukcija Vitruvskega človeka temelji na risanju kroga s premerom, ki je enak diagonali kvadrata, ga premakne navzgor, tako da se dotakne osnove kvadrata, in nariše končni krog med osnovo kvadrata in središčem med površina središča kvadrata in središča kroga: Podrobna razlaga geometrijske konstrukcije >>

Zlato razmerje v naravi.

Adolf Zeising, katerega glavna zanimanja sta bila matematika in filozofija, je zlati rez našel v razporeditvi vej vzdolž stebla rastline in žil v listih. Svoje študije je razširil z rastlin na živali, proučeval je okostja živali in veje njihovih žil in živcev, pa tudi razmerja kemičnih spojin in geometrijo kristalov, vse do uporabe zlatega reza v likovni umetnosti. V teh pojavih je videl, da se zlati rez povsod uporablja kot univerzalni zakon, je Zeising leta 1854 zapisal: Zlato razmerje je univerzalni zakon, ki vsebuje osnovno načelo, ki oblikuje željo po lepoti in popolnosti na področjih, kot sta narava in umetnost, ki kot najpomembnejši duhovni ideal prežema vse strukture, oblike in razmerja, pa naj gre za kozmično. ali fizična oseba, organska ali anorganska, akustična ali optična, vendar se načelo zlatega reza najbolj popolno uresniči v človeški obliki.

Primeri:

Rez školjke Nautilus razkriva zlati princip spiralne konstrukcije.

Mozart je svoje sonate razdelil na dva dela, katerih dolžina se odraža zlata sredina, čeprav je veliko razprav o tem, ali je to storil zavestno. V sodobnejšem času sta madžarski skladatelj Béla Bartók in francoski arhitekt Le Corbusier namenoma vključevala zlati rez v svoja dela. Celo danes zlata sredina povsod nas obdaja v umetnih predmetih. Poglejte skoraj vsak krščanski križ, razmerje med navpičnim in vodoravnim je zlato razmerje. Če želite najti zlati pravokotnik, poglejte v svojo denarnico in tam boste našli kreditne kartice. Kljub številnim dokazom, podanim v umetniških delih, ki so nastala skozi stoletja, trenutno med psihologi poteka razprava o tem, ali ljudje res dojemajo zlata razmerja, zlasti zlati pravokotnik, kot lepše od drugih oblik. V članku v reviji iz leta 1995 profesor Christopher Green z Univerze York v Torontu razpravlja o številnih poskusih v preteklih letih, ki niso pokazali nikakršne prednosti glede oblike zlatega pravokotnika, vendar ugotavlja, da je več drugih zagotovilo dokaze, da je takšna prednost ne obstaja.. Toda ne glede na znanost zlati rez ohranja svojo mističnost, deloma zato, ker tako dobro deluje na številnih nepričakovanih mestih v naravi. Spiralna školjke školjke nautilus so presenetljivo blizu zlata sredina, razmerje dolžine prsnega koša in trebuha pri večini čebel pa je skoraj zlata sredina. Tudi preseki najpogostejših oblik človeške DNK se popolnoma prilegajo zlatemu desetkotniku. zlata sredina in njeni sorodniki se pojavljajo tudi v številnih nepričakovanih kontekstih v matematiki in še naprej vzbujajo zanimanje matematičnih skupnosti. Dr. Steven Marquardt, nekdanji plastični kirurg, je uporabil to skrivnostno razmerje zlata sredina, pri svojem delu, ki je dolgo časa skrbel za lepoto in harmonijo, izdelati masko, ki jo je imel za najlepšo obliko človeškega obraza, kar je lahko.

Maska popoln človeški obraz

Egiptovska kraljica Nefertiti (1400 pr.n.št.)

Jezusov obraz je kopija iz Torinskega plašča in popravljen po maski dr. Stephena Marquardta.

"Povprečen" (sintetiziran) obraz slavnih. Z razmerji zlatega reza.

Uporabljeni so bili materiali spletnega mesta: http://blog.world-mysteries.com/

Splošno sprejeto je, da je koncept zlate delitve v znanstveno uporabo uvedel Pitagora, starogrški filozof in matematik (VI stoletje pr.n.št.). Obstaja domneva, da si je Pitagora svoje znanje o zlati delitvi sposodil od Egipčanov in Babilonov. Dejansko razmerja Keopsove piramide, templjev, reliefov, gospodinjskih predmetov in okraskov iz Tutankamonove grobnice kažejo, da so egipčanski obrtniki pri ustvarjanju uporabljali razmerja zlate delitve. Francoski arhitekt Le Corbusier je ugotovil, da na reliefu iz templja faraona Setija I. v Abydosu in na reliefu, ki prikazuje faraona Ramzesa, razmerja figur ustrezajo vrednostim zlatega razdelka. Arhitekt Khesira, upodobljen na reliefu lesene plošče iz grobnice njegovega imena, drži v rokah merilne instrumente, v katerih so določeni deleži zlatega prereza.

Grki so bili spretni geometri. Tudi aritmetike so svoje otroke učili s pomočjo geometrijskih figur. Pitagorov kvadrat in diagonala tega kvadrata sta bila osnova za konstruiranje dinamičnih pravokotnikov.

Za zlato delitev je vedel tudi Platon (427...347 pr.n.št.). Njegov dialog "Timaeus" je posvečen matematičnim in estetskim nazorom Pitagorove šole, zlasti vprašanjem zlate delitve.

V starodavni literaturi, ki je prišla do nas, je bila zlata delitev prvič omenjena v "Začetkih" Evklida. V 2. knjigi "Začetki" je podana geometrijska konstrukcija zlatega razdelka. Po Evklidu so se s proučevanjem zlate delitve ukvarjali Hipsikle (2. st. pr.n.št.), Papus (3. st. n.št.) in drugi Navaro (3. stoletje). Skrivnosti zlatega oddelka so ljubosumno varovali, hranili v strogi tajnosti, poznali so jih le posvečeni.

V času renesanse se je zanimanje za zlato delitev povečalo med znanstveniki in umetniki zaradi njegove uporabe tako v geometriji kot umetnosti, zlasti arhitekturi. Leonardo da Vinci, umetnik in znanstvenik, je videl, da imajo italijanski umetniki veliko empiričnih izkušenj, a malo znanja. Zasnoval je in začel pisati knjigo o geometriji, a takrat se je pojavila knjiga meniha Luca Paciolija in Leonardo je svojo idejo opustil. Po mnenju sodobnikov in zgodovinarjev znanosti je bil Luca Pacioli prava svetilka, največji matematik v Italiji med Fibonaccijem in Galilejem. Luca Pacioli je bil učenec umetnika Piera della Francesca, ki je napisal dve knjigi, od katerih se je ena imenovala O perspektivi v slikarstvu. Velja za ustvarjalca deskriptivne geometrije.

Luca Pacioli se je dobro zavedal pomena znanosti za umetnost. Leta 1509 je v Benetkah izšel Božanski delež Luca Paciolija s sijajno izvedenimi ilustracijami, zato naj bi jih izdelal Leonardo da Vinci. Knjiga je bila navdušena himna zlatemu rezu. Med številnimi prednostmi zlatega reza je menih Luca Pacioli poimenoval njegovo »božansko esenco« kot izraz božanske trojice Boga Sina, Boga Očeta in Boga Svetega Duha (razumevalo se je, da majhen segment je poosebljenje Boga Sina, večji segment je personifikacija Boga Očeta, celoten segment pa bog svetega duha).

Leonardo da Vinci je veliko pozornosti posvečal tudi študiju zlatega dela. Naredil je odseke stereometričnega telesa, ki ga tvorijo pravilni peterokotniki, in vsakič je dobil pravokotnike z razmerjem stranic v zlatem delu. Zato je tej diviziji dal ime zlati presek. In tako se nadaljuje še danes.

Hkrati se je v severni Evropi, v Nemčiji, Albrecht Dürer ukvarjal z istimi problemi. Skicira uvod v prvi osnutek razprave o razmerjih. Durer piše. »Potrebno je, da tisti, ki nekaj ve, tega nauči druge, ki to potrebujejo. To je tisto, kar sem si zadal.” Albrecht Dürer podrobno razvija teorijo razmerij človeškega telesa. V svojem sistemu razmerij je pripisal pomembno mesto zlatemu prerezu. Znan proporcionalni kompas Dürer.

Veliki astronom 16. stoletja Johannes Kepler je zlati rez označil za enega od zakladov geometrije. Prvi je opozoril na pomen zlatega reza za botaniko (rast in zgradba rastlin). Kepler je zlati rez, ki se nadaljuje, poimenoval: »Urejeno je tako,« je zapisal, »da dva mlajša člana tega neskončnega razmerja seštejeta tretji člen in vsaka dva zadnja člena, če se seštejeta, dajeta naslednji in enak delež ostane do neskončnosti."

Konstrukcijo serije segmentov zlatega reza lahko izvedemo tako v smeri naraščanja (naraščajoče serije) kot v smeri zmanjševanja (padajoča serija).

V naslednjih stoletjih se je pravilo zlatega reza spremenilo v akademski kanon, in ko se je sčasoma v umetnosti začel boj z akademsko rutino, so v žaru boja »odvrgli otroka skupaj z vodo. ” Zlati rez so spet »odkrili« sredi 19. stoletja. Leta 1855 je nemški raziskovalec zlatega reza, profesor Zeising, objavil svoje delo Estetske raziskave. Zeising obravnava zlati rez brez povezave z drugimi pojavi. Absolutiziral je delež zlatega reza in ga razglasil za univerzalnega za vse pojave narave in umetnosti. Zeising je imel številne privržence, vendar so bili tudi nasprotniki, ki so njegov nauk o razmerjih razglasili za »matematično estetiko«.

Zeising je preveril veljavnost svoje teorije na grških kipih. Najbolj podrobno je razvil proporce Apolla Belvedere. Raziskane so bile grške vaze, arhitekturne strukture različnih obdobij, rastline, živali, ptičja jajca, glasbeni toni, poetični metri. Zeising je definiral zlati rez, pokazal, kako se izraža v odsekih in v številkah. Ko so bile pridobljene številke, ki izražajo dolžine segmentov, je Zeising videl, da tvorijo Fibonaccijevo vrsto, ki jo je mogoče neskončno nadaljevati v eno in drugo smer. Njegova naslednja knjiga je nosila naslov "Zlata delitev kot temeljni morfološki zakon v naravi in ​​umetnosti." Leta 1876 je v Rusiji izšla majhna knjiga, ki je opisala to Zeisingovo delo.

Konec XIX - začetek XX stoletja. pojavile so se številne čisto formalistične teorije o uporabi zlatega reza v umetniških in arhitekturnih delih. Z razvojem oblikovanja in tehnične estetike se je zakon zlatega reza razširil tudi na oblikovanje avtomobilov, pohištva itd.

Znanost ni absorbirala umetnosti, toda v tistih zgodovinskih obdobjih, ko sta se matematika in umetnost zbližali, je to dalo zagon razvoju obeh.

Koncept zlatega reza

Ugotovimo, kaj je skupnega med staroegipčanskimi piramidami, sliko Leonarda da Vincija "Mona Lisa", sončnico, polžem, snežinko, galaksijo in človeškimi prsti?

V matematiki je sorazmerje (latinsko proportio) enakost dveh razmerij: a: b = c: d.

Zlati prerez je takšna sorazmerna delitev segmenta na neenake dele, pri kateri se celoten odsek nanaša na večji del na enak način, kot se večji del sam nanaša na manjši.

Odsek premice AB lahko s točko C razdelimo na dva dela na naslednje načine:

• na dva enaka dela - AB: AC = AB: BC;
• na dva neenaka dela v poljubnem razmerju (takšni deli ne tvorijo sorazmerja);
• v skrajnem in povprečnem razmerju tako, da AB: AC \u003d AC: BC.

Zadnja je zlata divizija.

Praktično spoznavanje zlatega reza se začne z delitvijo ravnega odseka v zlatem rezu s kompasom in ravnilom. BC = 1/2 AB; CD=BC

Iz točke B se obnovi pravokotnica, ki je enaka polovici AB. Nastala točka C je povezana s črto s točko A. Na dobljeni črti je izrisan odsek BC, ki se konča s točko D. Odsek AD se prenese na ravno črto AB. Nastala točka E deli segment AB v razmerju zlatega reza.

Segmenti zlatega reza so izraženi kot neskončen iracionalni ulomek, če vzamemo AB kot enoto, potem AE = 0,618 ..., BE = 0,382 ... Za praktične namene so približne vrednosti 0,62 in 0,38 se pogosto uporabljajo. Če vzamemo odsek AB kot 100 delov, potem je največji del segmenta 62, manjši pa 38 delov.

Gradnja drugega zlatega reza. Delitev se izvede na naslednji način. Odsek AB je razdeljen sorazmerno z zlatim prerezom. Iz točke C se pravokotni CD obnovi. Polmer AB je točka D, ki je s črto povezana s točko A. Pravi kot ACD je prepolovljen. Od točke C do presečišča s črto AD je potegnjena črta. Točka E deli segment AD v razmerju 56:44.

Črta drugega zlatega reza pravokotnika je na sredini med črto zlatega reza in srednjo črto pravokotnika.

Pentagram

Če želite poiskati segmente zlatega reza naraščajočih in padajočih vrstic, lahko uporabite pentagram.

Konstrukcija pravilnega peterokotnika in pentagrama.

Če želite zgraditi pentagram, morate zgraditi navaden petkotnik. Način njegove gradnje je razvil nemški slikar in grafik Albrecht Dürer (1471...1528). Naj bo O središče kroga, A točka na krogu in E središče segmenta OA. Navpičnica na polmer OA, dvignjena v točki O, seka s krogom v točki D. S šestilom označimo odsek CE = ED na premeru. Dolžina stranice pravilnega peterokotnika, vpisanega v krog, je DC. Na krogu odložimo segmente DC in dobimo pet točk za risanje pravilnega peterokotnika. Skozi eno diagonalo povežemo vogale peterokotnika in dobimo pentagram. Vse diagonale peterokotnika se med seboj delijo na segmente v zlatem razmerju. Vsak konec peterokotne zvezde je zlati trikotnik. Njegove stranice na vrhu tvorijo kot 36°, osnova, položena na stranski strani, pa ga deli v zlatem razmerju.

Fibonaccijeva serija

Ime italijanskega matematičnega meniha Leonarda iz Pise, bolj znanega kot Fibonacci (Bonaccijev sin), je posredno povezano z zgodovino zlatega reza. Veliko je potoval po vzhodu, Evropo seznanil z indijskimi (arabskimi) številkami. Leta 1202 je izšlo njegovo matematično delo »Knjiga o abakusu« (števec), v katerem so bili zbrani vsi takrat znani problemi. Ena od nalog se je glasila "Koliko parov kuncev v enem letu se bo rodilo en par." Glede na to temo je Fibonacci zgradil naslednje serije števil: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 itd.

Ta serija je znana kot serija Fibonacci. Posebnost zaporedja številk je, da je vsak njegov član, začenši s tretjim, enak vsoti dveh prejšnjih, razmerje med sosednjimi števili serije pa se približuje razmerju zlate delitve. Poleg tega po 13. številki v zaporedju postane ta rezultat delitve konstanten do neskončnosti serije. Prav to stalno število delitev v srednjem veku so imenovali božanski delež, danes pa se imenuje zlati prerez, zlata sredina ali zlati delež. V algebri je to število označeno z grško črko φ (phi).

Torej je zlati rez 1:1,618

Torej, 21:34 = 0,617 in 34:55 = 0,618. To razmerje je označeno s simbolom φ. To razmerje - 0,618: 0,382 - daje neprekinjeno delitev ravnega segmenta v zlatem razmerju.

Fibonaccijeva serija bi lahko ostala le matematični incident, če ne bi bilo dejstva, da so vsi raziskovalci zlate delitve v rastlinskem in živalskem svetu, da ne omenjamo umetnosti, vedno prišli do te serije kot aritmetičnega izraza zakona o zlatem delitvi. . Znanstveniki so še naprej aktivno razvijali teorijo Fibonaccijevih števil in zlatega reza. Obstajajo elegantne metode za reševanje številnih kibernetskih problemov (teorija iskanja, igre, programiranje) z uporabo Fibonaccijevih števil in zlatega reza. V ZDA nastaja celo Mathematical Fibonacci Association, ki od leta 1963 izdaja posebno revijo.

zlati pravokotnik in zlata spirala

V geometriji se je pravokotnik z zlatim razmerjem stranic začel imenovati zlati. Njegove dolge stranice so povezane s kratkimi - v razmerju 1,168: 1.

Zlati pravokotnik ima tudi veliko neverjetnih lastnosti. Če od zlatega pravokotnika odrežemo kvadrat, katerega stranica je enaka manjši strani pravokotnika, ponovno dobimo manjši zlati pravokotnik. Ta proces se lahko nadaljuje neskončno. Ko bomo odrezali kvadratke, bomo dobili vse manjše zlate pravokotnike. Poleg tega bodo nameščeni v logaritmični spirali, kar je pomembno pri matematičnih modelih naravnih objektov. Pol spirale leži na presečišču diagonal začetnega pravokotnika in prve odrezane navpičnice. Poleg tega diagonale vseh naslednjih padajočih zlatih pravokotnikov ležijo na teh diagonalah. Seveda obstaja tudi zlati trikotnik.