Kako najti razliko aritmetične progresije, če je znana. Aritmetična progresija

Na primer zaporedje \(2\); \(5\); \(osem\); \(enajst\); \(14\)… je aritmetična progresija, ker se vsak naslednji element razlikuje od prejšnjega za tri (lahko ga dobimo iz prejšnjega s seštevanjem treh):

V tej progresiji je razlika \(d\) pozitivna (enaka \(3\)), zato je vsak naslednji člen večji od prejšnjega. Takšna napredovanja se imenujejo povečevanje.

Vendar je \(d\) lahko tudi negativno število. Na primer, v aritmetični progresiji \(16\); \(deset\); \(štiri\); \(-2\); \(-8\)… progresijska razlika \(d\) je enaka minus šest.

In v tem primeru bo vsak naslednji element manjši od prejšnjega. Ta napredovanja se imenujejo zmanjševanje.

Zapis aritmetične progresije

Napredovanje je označeno z malo latinično črko.

Števila, ki tvorijo progresijo, se imenujejo člani(ali elementi).

Označeni so z isto črko kot aritmetična progresija, vendar z numeričnim indeksom, ki je enak številki elementa v vrstnem redu.

Na primer, aritmetična progresija \(a_n = \levo\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) je sestavljena iz elementov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) in tako naprej.

Z drugimi besedami, za progresijo \(a_n = \levo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Reševanje nalog z aritmetično progresijo

Načeloma so zgornje informacije že dovolj za rešitev skoraj vsake težave z aritmetično progresijo (vključno s tistimi, ki jih ponuja OGE).

Primer (OGE). Aritmetična progresija podan s pogoji \(b_1=7; d=4\). Poiščite \(b_5\).
rešitev:

odgovor: \(b_5=23\)

Primer (OGE). Podani so prvi trije členi aritmetične progresije: \(62; 49; 36…\) Poiščite vrednost prvega negativnega člena te progresije..
rešitev:

	Podani so nam prvi elementi zaporedja in vemo, da gre za aritmetično napredovanje. To pomeni, da se vsak element razlikuje od sosednjega za isto številko. Katerega ugotovite tako, da od naslednjega elementa odštejete prejšnjega: \(d=49-62=-13\).
	Zdaj lahko obnovimo naše napredovanje na želeni (prvi negativni) element.
	pripravljena Lahko napišete odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primer (OGE). Podanih je več zaporednih elementov aritmetične progresije: \(...5; x; 10; 12,5...\) Poiščite vrednost elementa, označenega s črko \(x\).
rešitev:

	Da bi našli \(x\), moramo vedeti, koliko se naslednji element razlikuje od prejšnjega, z drugimi besedami, razlika napredovanja. Poiščimo ga iz dveh znanih sosednjih elementov: \(d=12,5-10=2,5\).
	In zdaj brez težav najdemo, kar iščemo: \(x=5+2,5=7,5\).
	pripravljena Lahko napišete odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana z naslednjimi pogoji: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Poiščite vsoto prvih šestih členov tega napredovanja.
rešitev:

	Najti moramo vsoto prvih šestih členov napredovanja. Vendar ne poznamo njihovih pomenov, dan nam je le prvi element. Zato najprej po vrsti izračunamo vrednosti z uporabo danih nam: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) In ko izračunamo šest elementov, ki jih potrebujemo, najdemo njihovo vsoto.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Zahtevani znesek je bil najden.

odgovor: \(S_6=9\).

Primer (OGE). V aritmetični progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Poiščite razliko tega napredovanja.
rešitev:

odgovor: \(d=7\).

Pomembne formule aritmetične progresije

Kot lahko vidite, je veliko težav z aritmetičnim napredovanjem mogoče rešiti preprosto z razumevanjem glavne stvari - da je aritmetično napredovanje veriga števil in vsak naslednji element v tej verigi dobimo z dodajanjem istega števila prejšnjemu (razlika napredovanja).

Vendar pa včasih obstajajo situacije, ko je zelo neprijetno rešiti "na čelu". Na primer, predstavljajte si, da v prvem primeru ne moramo najti petega elementa \(b_5\), temveč tristo šestinosemdesetega \(b_(386)\). Kaj pomeni \ (385 \)-krat, da dodamo štiri? Ali pa si predstavljajte, da morate v predzadnjem primeru najti vsoto prvih triinsedemdeset elementov. Štetje je zmedeno ...

Zato v takšnih primerih ne rešujejo »na čelo«, temveč uporabljajo posebne formule, izpeljane za aritmetično progresijo. In glavni sta formula za n-ti člen napredovanja in formula za vsoto \(n\) prvih členov.

Formula za \(n\)-ti člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kjer je \(a_1\) prvi člen progresije;
\(n\) – številka zahtevanega elementa;
\(a_n\) je član progresije s številom \(n\).

Ta formula nam omogoča, da hitro najdemo vsaj tristoti, celo milijonti element, pri čemer poznamo samo prvi in ​​progresivno razliko.

Primer. Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Poiščite \(b_(246)\).
rešitev:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za vsoto prvih n členov je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kjer je

\(a_n\) je zadnji seštevek;

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji \(a_n=3,4n-0,6\). Poiščite vsoto prvih \(25\) členov tega napredovanja.
rešitev:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Za izračun vsote prvih petindvajsetih elementov moramo poznati vrednost prvega in petindvajsetega člena. Naše napredovanje je podano s formulo n-tega člena glede na njegovo število (glej podrobnosti). Izračunajmo prvi element tako, da \(n\) zamenjamo z enico.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Zdaj pa poiščimo petindvajseti člen tako, da zamenjamo petindvajset namesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		No, zdaj brez težav izračunamo zahtevano količino.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za vsoto \(n\) prvih členov lahko dobite drugo formulo: samo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namesto \(a_n\) nadomestite s formulo \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobimo:

Formula za vsoto prvih n členov je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kjer je

\(S_n\) – zahtevana vsota \(n\) prvih elementov;
\(a_1\) je prvi člen, ki ga je treba sešteti;
\(d\) – razlika napredovanja;
\(n\) - število elementov v vsoti.

Primer. Poiščite vsoto prvih \(33\)-ex členov aritmetične progresije: \(17\); \(15,5\); \(štirinajst\)…
rešitev:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Bolj zapleteni problemi aritmetične progresije

Zdaj imate vse informacije, ki jih potrebujete za rešitev skoraj vseh nalog aritmetičnega napredovanja. Zaključimo temo z obravnavo problemov, pri katerih je treba ne samo uporabiti formule, ampak tudi malo razmišljati (v matematiki je to lahko koristno ☺)

Primer (OGE). Poiščite vsoto vseh negativnih členov napredovanja: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
rešitev:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Naloga je zelo podobna prejšnji. Reševanja začnemo na enak način: najprej poiščemo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Zdaj bi zamenjali \(d\) v formulo za vsoto ... in tukaj se pojavi majhna niansa - ne vemo \(n\). Z drugimi besedami, ne vemo, koliko izrazov bo treba dodati. Kako ugotoviti? Pomislimo. Elemente bomo prenehali dodajati, ko pridemo do prvega pozitivnega elementa. To pomeni, da morate ugotoviti število tega elementa. kako Zapišimo formulo za izračun poljubnega elementa aritmetične progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš primer.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Potrebujemo, da je \(a_n\) večji od nič. Ugotovimo, za kaj \(n\) se bo to zgodilo.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strani neenakosti delimo z \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenesemo minus ena, ne da bi pozabili spremeniti znake
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Računalništvo ...
\(n>65.333…\)		...in izkaže se, da prvi pozitivni element bo imela številko \(66\). V skladu s tem ima zadnji negativ \(n=65\). Za vsak slučaj preverimo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Tako moramo dodati prve \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Poiščite vsoto od \(26\) do vključno \(42\) elementa.
rešitev:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tem problemu morate najti tudi vsoto elementov, vendar ne od prvega, ampak od \(26\)th. Za to nimamo formule. Kako se odločiti? Enostavno - če želite dobiti vsoto od \(26\) do \(42\), morate najprej poiskati vsoto od \(1\) do \(42\) in nato od nje odšteti vsoto iz prvi do \ (25 \) th (glej sliko).
	Za naše napredovanje \(a_1=-33\) in razliko \(d=4\) (navsezadnje prejšnjemu elementu dodamo štiri, da najdemo naslednjega). Če to vemo, najdemo vsoto prvih \(42\)-uh elementov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sedaj vsota prvih \(25\)-tih elementov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	In končno izračunamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetično progresijo obstaja več formul, ki jih v tem članku nismo upoštevali zaradi njihove majhne praktične uporabnosti. Vendar jih lahko zlahka najdete.

Pozor!
Obstajajo dodatni
material v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število večje (ali manjše) od prejšnjega za enako količino.

Ta tema je pogosto težka in nerazumljiva. črkovna kazala, n-ti član napredovanja, razlika v napredovanju - vse to je nekako zmedeno, ja ... Ugotovimo pomen aritmetičnega napredovanja in vse se bo takoj izšlo.)

Koncept aritmetične progresije.

Aritmetična progresija je zelo preprost in jasen koncept. dvom? Zaman.) Prepričajte se sami.

Napisal bom nedokončano vrsto številk:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Lahko podaljšate to linijo? Katere številke bodo naslednje za petico? Vsi ... uf ..., skratka vsi bodo ugotovili, da bodo številke 6, 7, 8, 9 itd.

Zakomplicirajmo nalogo. Dajem nedokončano vrsto številk:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Lahko ujamete vzorec, razširite serijo in poimenujete sedmičštevilka vrstice?

Če ste ugotovili, da je ta številka 20 - čestitam vam! Nisi samo čutil Ključne točke aritmetična progresija, pa tudi uspešno uporabili v poslu! Če ne razumete, berite dalje.

Zdaj pa prevedimo ključne točke iz občutkov v matematiko.)

Prva ključna točka.

Aritmetična progresija obravnava serije števil. To je na začetku zmedeno. Navajeni smo reševati enačbe, graditi grafe in vse to ... In potem razširiti vrsto, najti številko serije ...

V redu je. Samo progresije so prvo spoznavanje nove veje matematike. Razdelek se imenuje "Serije" in deluje z nizi števil in izrazov. Navadi se.)

Druga ključna točka.

V aritmetični progresiji se vsako število razlikuje od prejšnjega za enak znesek.

V prvem primeru je ta razlika ena. Katero koli številko vzamete, je ena večja od prejšnje. V drugem - tri. Vsako število je trikrat večje od prejšnjega. Pravzaprav nam ta trenutek daje priložnost, da ujamemo vzorec in izračunamo naslednje številke.

Tretja ključna točka.

Ta trenutek ni osupljiv, ja ... Ampak zelo, zelo pomemben. Tukaj je: vsaka številka napredovanja je na svojem mestu. Tu je prva številka, tu je sedma, tu je petinštirideseta in tako naprej. Če jih naključno zamenjate, bo vzorec izginil. Izginila bo tudi aritmetična progresija. To je samo niz številk.

To je bistvo.

Seveda, v nova tema pojavijo se novi izrazi in zapisi. Morajo vedeti. V nasprotnem primeru naloge ne boste razumeli. Na primer, odločiti se morate za nekaj takega:

Zapišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Navdihuje?) Pisma, nekaj kazal ... In naloga, mimogrede, ne bi mogla biti lažja. Samo razumeti morate pomen izrazov in zapisov. Zdaj bomo to zadevo obvladali in se vrnili k nalogi.

Izrazi in poimenovanja.

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število drugačno od prejšnjega za enak znesek.

Ta vrednost se imenuje . Oglejmo si ta koncept podrobneje.

Razlika aritmetične progresije.

Razlika aritmetične progresije je znesek, za katerega katero koli število napredovanja več prejšnji.

ena pomembna točka. Prosimo, bodite pozorni na besedo "več". Matematično to pomeni, da je pridobljeno vsako število napredovanja dodajanje razlika aritmetične progresije glede na prejšnje število.

Za izračun, recimo drugoštevilke vrste, je treba prvištevilo dodati prav ta razlika aritmetične progresije. Za izračun peti- razlika je nujna dodati do četrti no itd.

Razlika aritmetične progresije morda pozitivno potem se bo vsaka številka serije izkazala za resnično več kot prejšnji. To napredovanje se imenuje povečevanje. Na primer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tukaj je vsaka številka dodajanje pozitivno število, +5 k prejšnjemu.

Razlika je lahko negativno potem bo vsaka številka v seriji manj kot prejšnji. To napredovanje se imenuje (ne boste verjeli!) zmanjševanje.

Na primer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tudi tu se dobi vsako število dodajanje na prejšnje, a že negativno število, -5.

Mimogrede, pri delu s progresijo je zelo koristno takoj ugotoviti njeno naravo - ali se povečuje ali zmanjšuje. Zelo pomaga, da se orientirate pri odločitvi, odkrijete svoje napake in jih popravite, preden bo prepozno.

Razlika aritmetične progresije običajno označen s črko d.

Kako najti d? Zelo preprosto. Od poljubne številke serije je treba odšteti prejšnjištevilo. Odštej. Mimogrede, rezultat odštevanja se imenuje "razlika".)

Določimo npr. d za naraščajočo aritmetično progresijo:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vzamemo poljubno številko vrstice, ki jo želimo, na primer 11. Od tega odštejemo prejšnjo številko tiste. osem:

To je pravilen odgovor. Za to aritmetično napredovanje je razlika tri.

Lahko samo vzameš poljubno število napredovanj, Ker za določeno napredovanje d-vedno isto. Vsaj nekje na začetku vrste, vsaj v sredini, vsaj kjerkoli. Ne morete vzeti samo prve številke. Samo zato, ker je prva številka ni prejšnjega.)

Mimogrede, vem, da d=3, je iskanje sedme številke tega napredovanja zelo preprosto. Petemu številu dodamo 3 - dobimo šesto, to bo 17. Šesti številki dodamo tri, dobimo sedmo številko - dvajset.

Določimo d za padajočo aritmetično progresijo:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Opozarjam vas, da ne glede na znake določite d potrebno iz katere koli številke odvzeti prejšnjega. Izberemo poljubno število napredovanja, na primer -7. Njegovo prejšnje število je -2. Nato:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetične progresije je lahko poljubno število: celo število, ulomek, iracionalno, poljubno.

Drugi izrazi in poimenovanja.

Vsaka številka v nizu je poklicana člen aritmetične progresije.

Vsak član napredovanja ima njegovo številko.Številke so strogo urejene, brez trikov. Prvi, drugi, tretji, četrti itd. Na primer, v napredovanju 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, enajst je četrti, no, razumete ...) Prosim, jasno razumejte - same številke je lahko absolutno katera koli, cela, delna, negativna, karkoli, ampak številčenje- strogo v redu!

Kako zabeležiti napredovanje v splošni pogled? Brez problema! Vsaka številka v seriji je zapisana kot črka. Za označevanje aritmetične progresije se praviloma uporablja črka a. Številka člana je označena z indeksom desno spodaj. Člani so zapisani ločeno z vejicami (ali podpičji), takole:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1 je prva številka a 3- tretji itd. Nič zapletenega. To serijo lahko na kratko zapišete takole: (a n).

Obstajajo napredovanja končno in neskončno.

končni progresija ima omejeno število članov. Pet, osemintrideset, karkoli. Ampak to je končno število.

Neskončno napredovanje - ima neskončno število članov, kot morda ugibate.)

Lahko napišete končno napredovanje skozi niz, kot je ta, vsi člani in pika na koncu:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Ali takole, če je članov veliko:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

V kratkem vnosu boste morali dodatno navesti število članov. Na primer (za dvajset članov), takole:

(a n), n = 20

Neskončno napredovanje je mogoče prepoznati po elipsi na koncu vrstice, kot v primerih v tej lekciji.

Zdaj že lahko rešujete naloge. Naloge so preproste, zgolj za razumevanje pomena aritmetičnega napredovanja.

Primeri nalog za aritmetično napredovanje.

Oglejmo si pobliže zgornjo nalogo:

1. Zapišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Nalogo prenesemo na razumljiv jezik. Podana neskončna aritmetična progresija. Druga številka tega napredovanja je znana: a 2 = 5. Znana razlika v napredovanju: d = -2,5. Najti moramo prvega, tretjega, četrtega, petega in šestega člana tega napredovanja.

Zaradi jasnosti bom zapisal vrsto glede na pogoj problema. Prvih šest članov, kjer je drugi član pet:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Nadomeščamo v izrazu a 2 = 5 in d=-2,5. Ne pozabite na minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretji izraz je manjši od drugega. Vse je logično. Če je število večje od prejšnjega negativno vrednost, zato bo samo število manjše od prejšnjega. Napredovanje se zmanjšuje. V redu, upoštevajmo to.) Menimo, da je četrti član naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Torej so izračunani členi od tretjega do šestega. Rezultat tega je serija:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Še vedno je treba najti prvi izraz a 1 na slavni drugi. To je korak v drugo smer, v levo.) Zato je razlika aritmetične progresije d ne bi smeli dodati a 2, a odnesi:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je vse. Odgovor na nalogo:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Mimogrede ugotavljam, da smo to nalogo rešili ponavljajoče se način. Ta strašna beseda pomeni le iskanje člana napredovanja po prejšnji (sosednji) številki. O drugih načinih dela z napredovanjem bomo razpravljali kasneje.

Iz te preproste naloge lahko potegnemo pomemben sklep.

Ne pozabite:

Če poznamo vsaj en člen in razliko aritmetične progresije, lahko najdemo katerikoli člen te progresije.

Se spomniš? Ta preprost zaključek nam omogoča, da rešimo večino problemov šolskega tečaja na to temo. Vse naloge se vrtijo okoli tri glavne parametri: člen aritmetične progresije, razlika progresije, število členov progresije. Vse.

Seveda vsa prejšnja algebra ni preklicana.) Neenačbe, enačbe in druge stvari so priložene napredovanju. Ampak glede na napredovanje- vse se vrti okoli treh parametrov.

Na primer, razmislite o nekaterih priljubljenih nalogah na to temo.

2. Končno aritmetično progresijo zapišite kot niz, če je n=5, d=0,4 in a 1=3,6.

Tukaj je vse preprosto. Vse je že dano. Zapomniti si morate, kako se izračunajo, preštejejo in zapišejo člani aritmetične progresije. Priporočljivo je, da ne preskočite besed v pogoju naloge: "končno" in " n=5". Da ne bi šteli, dokler ne boste popolnoma modri v obraz.) V tem napredovanju je samo 5 (pet) članov:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaja še zapisati odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Druga naloga:

3. Ugotovite, ali bo število 7 član aritmetične progresije (a n), če a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kdo ve? Kako nekaj definirati?

Kako-kako ... Ja, zapiši napredovanje v obliki serije in poglej, ali bo sedmica ali ne! Verjamemo:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Zdaj se jasno vidi, da nas je komaj sedem zdrsnil skozi med 6,5 in 7,7! Sedmica ni prišla v naš niz števil in zato sedmica ne bo član danega napredovanja.

Odgovor: ne.

In tukaj je problem, ki temelji na prava različica GIA:

4. Izpiše se več zaporednih členov aritmetične progresije:

...; petnajst; X; 9; 6; ...

Tukaj je serija brez konca in začetka. Brez številk članov, brez razlike d. V redu je. Za rešitev problema je dovolj, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja. Poglejmo in poglejmo, kaj lahko vedeti iz te vrstice? Kakšni so parametri treh glavnih?

Članske številke? Tukaj ni niti ene številke.

Ampak tam so tri številke in - pozor! - beseda "zaporedno" v stanju. To pomeni, da so številke strogo urejene, brez vrzeli. Ali sta v tej vrsti dva? sosednji znane številke? Da obstaja! To sta 9 in 6. Torej lahko izračunamo razliko aritmetične progresije! Od šestice odštejemo prejšnjištevilo, tj. devet:

Ostala so prazna mesta. Katero število bo prejšnje za x? Petnajst. Torej lahko x zlahka najdemo s preprostim seštevanjem. K 15 dodajte razliko aritmetične progresije:

To je vse. odgovor: x=12

Naslednje probleme rešujemo sami. Opomba: te uganke niso za formule. Čisto za razumevanje pomena aritmetičnega napredovanja.) Samo zapišemo niz številk-črk, pogledamo in pomislimo.

5. Poiščite prvi pozitivni člen aritmetične progresije, če je a 5 = -3; d = 1,1.

6. Znano je, da je število 5,5 člen aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 = 1,6; d = 1,3. Določite število n tega člena.

7. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Poiščite 3.

8. Izpišemo več zaporednih členov aritmetične progresije:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Poiščite člen napredovanja, ki ga označimo s črko x.

9. Vlak se je začel premikati s postaje in postopoma povečeval svojo hitrost za 30 metrov na minuto. Kolikšna bo hitrost vlaka čez pet minut? Odgovorite v km/h.

10. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Poiščite 1.

Odgovori (v razsulu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; štiri.

Je vse uspelo? čudovito! V naslednjih lekcijah se lahko naučite aritmetične progresije na višji ravni.

Se ni vse izšlo? Brez težav. V posebnem oddelku 555 so vse te težave razdeljene na koščke.) In seveda je opisana preprosta praktična tehnika, ki takoj poudari rešitev takšnih nalog jasno, jasno, kot na dlani!

Mimogrede, v uganki o vlaku sta dve težavi, na kateri se ljudje pogosto spotaknejo. Ena - izključno po napredovanju, druga pa je skupna vsem nalogam v matematiki in tudi fiziki. To je prevod dimenzij iz ene v drugo. Prikazuje, kako je treba te probleme reševati.

V tej lekciji smo preučili osnovni pomen aritmetične progresije in njene glavne parametre. To je dovolj za rešitev skoraj vseh težav na to temo. Dodaj d k številkam, napišite serijo, vse se bo odločilo.

Rešitev s prsti dobro deluje pri zelo kratkih delih serije, kot v primerih v tej lekciji. Če je serija daljša, so izračuni težji. Na primer, če v težavi 9 v vprašanju zamenjajte "pet minut" na "petintrideset minut" težava bo postala veliko hujša.)

In obstajajo tudi naloge, ki so v bistvu preproste, vendar popolnoma absurdne v smislu izračunov, na primer:

Glede na aritmetično progresijo (a n). Poiščite 121, če je a 1 =3 in d=1/6.

In kaj, 1/6 bomo dodajali veliko, velikokrat?! Ali se je mogoče ubiti!?

Lahko.) Če ne poznate preproste formule, s katero lahko takšne naloge rešite v minuti. Ta formula bo v naslednji lekciji. In ta problem je tam rešen. Čez minuto.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

se lahko seznanite s funkcijami in odpeljankami.

Ja, ja: aritmetična progresija ni igrača zate :)

No, prijatelji, če berete to besedilo, potem mi interni cap dokazi pravijo, da še vedno ne veste, kaj je aritmetična progresija, vendar resnično (ne, takole: SOOOOO!) želite vedeti. Zato vas ne bom mučil z dolgimi uvodi in se bom takoj lotil dela.

Za začetek nekaj primerov. Razmislite o več nizih številk:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Kaj imajo skupnega vsi ti sklopi? Na prvi pogled nič. Toda v resnici je nekaj. namreč: vsak naslednji element se od prejšnjega razlikuje za isto številko.

Presodite sami. Prvi niz so samo zaporedne številke, vsaka večja od prejšnje. V drugem primeru je razlika med stoječe številke je že enako pet, vendar je ta razlika še vedno konstantna. V tretjem primeru so korenine na splošno. Vendar $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, medtem ko $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. v tem primeru se vsak naslednji element preprosto poveča za $\sqrt(2)$ (in naj vas ne bo strah, da je to število iracionalno).

Torej: vsa taka zaporedja se imenujejo samo aritmetične progresije. Dajmo strogo definicijo:

Opredelitev. Zaporedje števil, pri katerem se vsako naslednje razlikuje od prejšnjega za popolnoma enako količino, imenujemo aritmetična progresija. Sama količina, za katero se števila razlikujejo, se imenuje progresijska razlika in jo najpogosteje označujemo s črko $d$.

Zapis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je progresija sama, $d$ je njena razlika.

In samo nekaj pomembnih pripomb. Prvič, upošteva se samo napredovanje urejeno zaporedje številk: dovoljeno jih je brati strogo v vrstnem redu, v katerem so zapisane - in nič drugače. Številk ne morete preurediti ali zamenjati.

Drugič, samo zaporedje je lahko končno ali neskončno. Na primer, množica (1; 2; 3) je očitno končna aritmetična progresija. Če pa napišete nekaj takega (1; 2; 3; 4; ...) - je to že neskončno napredovanje. Elipsa za štirico tako rekoč namiguje, da gre precej številk dlje. Neskončno veliko npr. :)

Opozoriti bi rad tudi na to, da se napredovanja povečujejo in zmanjšujejo. Videli smo že naraščajoče - isti niz (1; 2; 3; 4; ...). Tukaj so primeri padajočih napredovanj:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

V redu, v redu: zadnji primer se morda zdi preveč zapleten. Ostalo pa mislim, da razumete. Zato uvajamo nove definicije:

Opredelitev. Aritmetična progresija se imenuje:

1. narašča, če je vsak naslednji element večji od prejšnjega;
2. padajoče, če je, nasprotno, vsak naslednji element manjši od prejšnjega.

Poleg tega obstajajo tako imenovana "stacionarna" zaporedja - sestavljena so iz istega ponavljajočega se števila. Na primer (3; 3; 3; ...).

Ostaja samo eno vprašanje: kako ločiti naraščajoče napredovanje od padajočega? Na srečo je tukaj vse odvisno samo od predznaka števila $d$, tj. razlike v napredovanju:

1. Če je $d \gt 0$, potem napredovanje narašča;
2. Če je $d \lt 0$, potem napredovanje očitno pada;
3. Končno je tu še primer $d=0$, v tem primeru se celotno napredovanje reducira na stacionarno zaporedje iste številke: (1; 1; 1; 1; ...) itd.

Poskusimo izračunati razliko $d$ za tri zgornje padajoče progresije. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete katera koli dva sosednja elementa (na primer prvi in ​​drugi) in od številke na desni odštejete številko na levi. Videti bo takole:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kot vidimo, v vseh trije primeri razlika je res negativna. In zdaj, ko smo bolj ali manj ugotovili definicije, je čas, da ugotovimo, kako so napredovanja opisana in kakšne lastnosti imajo.

Člani progresijske in ponavljajoče se formule

Ker elementov naših zaporedij ni mogoče zamenjati, jih lahko oštevilčimo:

\[\levo(((a)_(n)) \desno)=\levo\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \prav\)\]

Posamezne elemente te množice imenujemo členi progresije. Tako so označeni s pomočjo številke: prvi član, drugi član itd.

Poleg tega, kot že vemo, so sosednji členi progresije povezani s formulo:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Desna puščica ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Skratka, če želite najti $n$-ti člen napredovanja, morate poznati $n-1$-ti člen in razliko $d$. Takšna formula se imenuje ponavljajoča se, ker z njeno pomočjo lahko najdete poljubno število, če poznate le prejšnje (in pravzaprav vse prejšnje). To je zelo neprijetno, zato obstaja bolj zapletena formula, ki vsak izračun zmanjša na prvi člen in razliko:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\levo(n-1 \desno)d\]

Verjetno ste že naleteli na to formulo. Radi ga dajejo v vseh vrstah referenčnih knjig in reshebnikov. In v vsakem pametnem učbeniku matematike je eden prvih.

Vendar predlagam, da malo vadite.

Naloga številka 1. Zapišite prve tri člene aritmetične progresije $\left(((a)_(n)) \right)$, če je $((a)_(1))=8,d=-5$.

rešitev. Torej poznamo prvi člen $((a)_(1))=8$ in progresivno razliko $d=-5$. Uporabimo pravkar navedeno formulo in nadomestimo $n=1$, $n=2$ in $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\levo(1-1 \desno)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\levo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\levo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Odgovor: (8; 3; -2)

To je vse! Upoštevajte, da se naše napredovanje zmanjšuje.

Seveda $n=1$ ni bilo mogoče zamenjati - prvi člen že poznamo. Z zamenjavo enote pa smo poskrbeli, da tudi za prvi člen naša formula deluje. V drugih primerih se je vse spustilo na banalno aritmetiko.

Naloga številka 2. Izpišite prve tri člene aritmetične progresije, če je njen sedmi člen −40 in sedemnajsti člen enak −50.

rešitev. Pogoj problema zapišemo z običajnimi izrazi:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\levo\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \prav.\]

Postavil sem znak sistema, ker morajo biti te zahteve izpolnjene hkrati. In zdaj ugotavljamo, da če prvo enačbo odštejemo od druge enačbe (imamo pravico do tega, ker imamo sistem), dobimo to:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Takole smo ugotovili razliko v napredovanju! Najdeno število je treba nadomestiti v kateri koli enačbi sistema. Na primer, v prvem:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \konec(matrika)\]

Zdaj, ko poznamo prvi izraz in razliko, moramo najti še drugi in tretji člen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

pripravljena! Problem rešen.

Odgovor: (-34; -35; -36)

Bodite pozorni na zanimivo lastnost progresije, ki smo jo odkrili: če vzamemo $n$-ti in $m$-ti člen in ju odštejemo drug od drugega, potem dobimo razliko progresije, pomnoženo s številom $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \desno)\]

Enostavno, a zelo uporabna lastnina, ki ga vsekakor morate vedeti – z njegovo pomočjo lahko bistveno pospešite reševanje številnih težav v napredovanjih. Tu je glavni primer tega:

Naloga številka 3. Peti člen aritmetične progresije je 8,4, njegov deseti člen pa 14,4. Poiščite petnajsti člen tega napredovanja.

rešitev. Ker je $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ in moramo najti $((a)_(15))$, opazimo naslednje:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Toda po pogoju $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, torej $5d=6$, od koder imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Odgovor: 20.4

To je vse! Ni nam bilo treba sestavljati nobenih sistemov enačb in računati prvega člena in razlike - vse je bilo odločeno v samo nekaj vrsticah.

Zdaj pa razmislimo o drugi vrsti problema - iskanju negativnih in pozitivnih članov napredovanja. Ni skrivnost, da če napredovanje narašča, medtem ko je njegov prvi člen negativen, se bodo prej ali slej v njem pojavili pozitivni izrazi. In obratno: pogoji padajočega napredovanja bodo prej ali slej postali negativni.

Hkrati še zdaleč ni vedno mogoče najti tega trenutka "na čelu", zaporedno razvrščati elemente. Pogosto so težave zasnovane tako, da bi brez poznavanja formul izračuni vzeli več listov – kar zaspali bi, dokler ne bi našli odgovora. Zato bomo poskušali te težave rešiti na hitrejši način.

Naloga številka 4. Koliko negativnih členov v aritmetični progresiji -38,5; -35,8; …?

rešitev. Torej, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, iz česar takoj najdemo razliko:

Upoštevajte, da je razlika pozitivna, torej napredovanje narašča. Prvi člen je negativen, tako da bomo na neki točki dejansko naleteli na pozitivna števila. Vprašanje je le, kdaj se bo to zgodilo.

Poskusimo ugotoviti, kako dolgo (tj. do katerega naravnega števila $n$) se ohranja negativnost členov:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\levo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \levo| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\desna puščica ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Zadnjo vrstico je treba pojasniti. Torej vemo, da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. Po drugi strani pa nam bodo ustrezale le celoštevilske vrednosti števila (še več: $n\in \mathbb(N)$), tako da je največje dovoljeno število ravno $n=15$, nikakor pa 16.

Naloga številka 5. V aritmetični progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Poiščite število prvega pozitivnega člena tega napredovanja.

To bi bil popolnoma enak problem kot prejšnji, vendar ne vemo $((a)_(1))$. Toda sosednji členi so znani: $((a)_(5))$ in $((a)_(6))$, tako da lahko zlahka najdemo razliko napredovanja:

Poleg tega poskusimo izraziti peti člen glede na prvi in ​​razliko s standardno formulo:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \desno)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\ctočka 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Zdaj nadaljujemo po analogiji s prejšnjim problemom. Ugotovimo, na kateri točki našega zaporedja se bodo pojavila pozitivna števila:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \desno)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Desna puščica ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Najmanjša celoštevilska rešitev te neenačbe je število 56.

Upoštevajte, da je bilo v zadnji nalogi vse zmanjšano na strogo neenakost, zato nam možnost $n=55$ ne bo ustrezala.

Zdaj, ko smo se naučili reševati preproste probleme, pojdimo k bolj zapletenim. Najprej pa spoznajmo še eno zelo uporabno lastnost aritmetičnih progresij, ki nam bo v prihodnosti prihranila veliko časa in neenakih celic. :)

Aritmetična sredina in enake alineje

Razmislite o več zaporednih členih naraščajoče aritmetične progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Poskusimo jih označiti na številski premici:

Člani aritmetične progresije na številski premici

Posebej sem opazil poljubne člane $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ in ne katerega koli $((a)_(1)), \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Ker pravilo, ki vam ga bom zdaj povedal, deluje enako za vse "segmente".

In pravilo je zelo preprosto. Spomnimo se rekurzivne formule in jo zapišimo za vse označene člene:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Vendar lahko te enakosti prepišemo drugače:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

No, kaj pa? Toda dejstvo, da izraza $((a)_(n-1))$ in $((a)_(n+1))$ ležita na isti razdalji od $((a)_(n)) $ . In ta razdalja je enaka $d$. Enako lahko rečemo za izraza $((a)_(n-2))$ in $((a)_(n+2))$ - prav tako sta odstranjena iz $((a)_(n) )$ na enaki razdalji, ki je enaka $2d$. Lahko nadaljujete v nedogled, vendar slika dobro ponazarja pomen

Člani progresije ležijo na enaki razdalji od središča

Kaj to pomeni za nas? To pomeni, da lahko najdete $((a)_(n))$, če so sosednje številke znane:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Izpeljali smo veličastno trditev: vsak člen aritmetične progresije je enak aritmetični sredini sosednjih členov! Še več, od našega $((a)_(n))$ lahko odstopamo v levo in desno ne za en korak, ampak za $k$ korakov — in še vedno bo formula pravilna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tisti. zlahka najdemo nekaj $((a)_(150))$, če poznamo $((a)_(100))$ in $((a)_(200))$, ker $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled se morda zdi, da nam to dejstvo ne daje nič koristnega. Vendar pa je v praksi veliko nalog posebej »nabrušenih« za uporabo aritmetične sredine. Poglej:

Naloga številka 6. Poiščite vse vrednosti $x$, tako da so števila $-6((x)^(2))$, $x+1$ in $14+4((x)^(2))$ zaporedna člana aritmetična progresija (v določenem vrstnem redu).

rešitev. Ker so ta števila člana progresije, je zanje izpolnjen pogoj aritmetične sredine: osrednji element $x+1$ lahko izrazimo s sosednjimi elementi:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Izkazalo se je klasično kvadratna enačba. Njegove korenine: $x=2$ in $x=-3$ sta odgovora.

Odgovor: -3; 2.

Naloga številka 7. Poiščite vrednosti $$ tako, da števila $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvorijo aritmetično progresijo (v tem vrstnem redu).

rešitev. Spet izrazimo srednji člen v smislu aritmetične sredine sosednjih členov:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Še ena kvadratna enačba. In spet dva korena: $x=6$ in $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Če med reševanjem težave dobite nekaj brutalnih številk ali niste popolnoma prepričani o pravilnosti najdenih odgovorov, potem obstaja čudovit trik, ki vam omogoča, da preverite: ali smo težavo pravilno rešili?

Recimo, da smo v nalogi 6 dobili odgovora -3 in 2. Kako lahko preverimo, ali sta ta odgovora pravilna? Samo priključimo jih v prvotno stanje in poglejmo, kaj se bo zgodilo. Naj vas spomnim, da imamo tri števila ($-6(()^(2))$, $+1$ in $14+4(()^(2))$, ki naj tvorijo aritmetično progresijo. Nadomestite $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dobili smo številke -54; −2; 50, ki se razlikujejo za 52, je nedvomno aritmetična progresija. Enako se zgodi za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Spet napredovanje, vendar z razliko 27. Tako je problem rešen pravilno. Tisti, ki želijo, lahko drugo nalogo preverijo sami, vendar bom takoj rekel: tudi tam je vse pravilno.

Sploh pri reševanju zadnjih nalog smo naleteli na drugo zanimivo dejstvo, kar si je treba zapomniti tudi:

Če so tri številke takšne, da je druga povprečje najprej aritmetika in zadnje, te številke tvorijo aritmetično napredovanje.

V prihodnosti nam bo razumevanje te izjave omogočilo, da dobesedno "konstruiramo" potrebna napredovanja na podlagi stanja problema. Preden pa se lotimo takšne »konstrukcije«, moramo biti pozorni še na eno dejstvo, ki neposredno izhaja iz že obravnavanega.

Združevanje in vsota elementov

Vrnimo se spet k številski premici. Opažamo tam več členov progresije, med katerimi morda. vreden veliko drugih članov:

Na številski premici označenih 6 elementov

Poskusimo izraziti "levi rep" z $((a)_(n))$ in $d$, "desni rep" pa z $((a)_(k))$ in $ d$. Zelo preprosto je:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Upoštevajte, da sta naslednji vsoti enaki:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Preprosto povedano, če za začetek upoštevamo dva elementa progresije, ki sta skupaj enaka nekemu številu $S$, nato pa začnemo iz teh elementov stopati v nasprotni smeri (drug proti drugemu ali obratno, da se oddaljimo), potem enake bodo tudi vsote elementov, ob katere se bomo spotaknili$S$. To lahko najbolje predstavimo grafično:

Enake alineje dajejo enake vsote

Razumevanje to dejstvo nam bo omogočil bistveno večjo rešitev težav visoka stopnja zapletenost od zgoraj obravnavanih. Na primer te:

Naloga številka 8. Določite razliko aritmetične progresije, v kateri je prvi člen 66, zmnožek drugega in dvanajstega člena pa je najmanjši možni.

rešitev. Zapišimo vse, kar vemo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Torej ne poznamo razlike progresije $d$. Pravzaprav bo celotna rešitev zgrajena okoli razlike, saj je produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mogoče prepisati na naslednji način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\levo(66+d \desno)\cdot \levo(66+11d \desno)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \desno)\cdot \left(d+6 \desno). \end(align)\]

Za tiste v rezervoarju: skupni faktor 11 sem vzel iz drugega oklepaja. Tako je želeni produkt kvadratna funkcija glede na spremenljivko $d$. Zato razmislite o funkciji $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - njen graf bo parabola z vejami navzgor, ker če odpremo oklepaje, dobimo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kot lahko vidite, je koeficient z najvišjim členom 11 - to je pozitivno število, tako da imamo res opravka s parabolo z vejami navzgor:

urnik kvadratna funkcija- parabola

Prosimo, upoštevajte: ta parabola ima najmanjšo vrednost na svojem oglišču z absciso $((d)_(0))$. Seveda lahko to absciso izračunamo z uporabo standardna shema(obstaja formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), vendar bi bilo veliko bolj smiselno opozoriti, da leži želeno oglišče na simetrični osi parabolo, zato je točka $((d) _(0))$ enako oddaljena od korenin enačbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \desno)\cdot \left(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Zato se mi ni mudilo odpreti oklepajev: v prvotni obliki je bilo korenine zelo, zelo enostavno najti. Zato je abscisa enaka sredini aritmetična števila-66 in -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Kaj nam daje odkrito število? Z njim potrebuje zahtevani izdelek najmanjša vrednost(Mimogrede, nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - tega nam ni treba narediti). Hkrati je to število razlika začetne progresije, tj. smo našli odgovor. :)

Odgovor: -36

Naloga številka 9. Med števili $-\frac(1)(2)$ in $-\frac(1)(6)$ vstavi tri števila tako, da skupaj z danimi števili tvorijo aritmetično progresijo.

rešitev. Pravzaprav moramo sestaviti zaporedje petih števil, pri čemer sta prva in zadnja številka že znani. Manjkajoča števila označimo s spremenljivkami $x$, $y$ in $z$:

\[\levo(((a)_(n)) \desno)=\levo\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]

Upoštevajte, da je število $y$ "sredina" našega zaporedja - je enako oddaljeno od števil $x$ in $z$ ter od števil $-\frac(1)(2)$ in $-\frac (1)( 6)$. In če smo iz števil $x$ in $z$ v ta trenutek ne moremo dobiti $y$, potem je situacija drugačna s konci napredovanja. Zapomni si aritmetično sredino:

Zdaj, ko poznamo $y$, bomo našli preostala števila. Upoštevajte, da je $x$ med $-\frac(1)(2)$ in $y=-\frac(1)(3)$ pravkar najdeno. Zato

S podobnim argumentom najdemo preostalo število:

pripravljena! Našli smo vse tri številke. Zapišimo jih v odgovor v vrstnem redu, v katerem naj bodo vstavljene med prvotna števila.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Naloga številka 10. Med števili 2 in 42 vstavi več števil, ki skupaj z danimi števili tvorijo aritmetično progresijo, če vemo, da je vsota prvega, drugega in zadnjega vstavljenega števila 56.

rešitev. Še več težka naloga, ki pa se rešuje na enak način kot prejšnji - preko aritmetične sredine. Težava je v tem, da ne vemo natančno, koliko številk vstaviti. Zato za določnost predpostavimo, da bo po vstavitvi natanko $n$ števil, od katerih je prvo 2, zadnje pa 42. V tem primeru lahko želeno aritmetično progresijo predstavimo kot:

\[\levo(((a)_(n)) \desno)=\levo\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Upoštevajte pa, da sta števili $((a)_(2))$ in $((a)_(n-1))$ dobljeni iz števil 2 in 42, ki stojita na robovih za en korak drug proti drugemu. , tj. v središče zaporedja. In to pomeni to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Toda potem lahko zgornji izraz prepišemo takole:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \levo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Če poznamo $((a)_(3))$ in $((a)_(1))$, zlahka najdemo razliko napredovanja:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\levo(3-1 \desno)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Desna puščica d=5. \\ \end(align)\]

Ostaja le še najti preostale člane:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Tako bomo že na 9. koraku prišli do levega konca zaporedja - številke 42. Skupaj je bilo treba vstaviti samo 7 številk: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Besedilne naloge z napredovanjem

Na koncu bi rad razmislil o nekaj preproste naloge. No, preproste: za večino učencev, ki se v šoli učijo matematiko in niso prebrali zgoraj zapisanega, se te naloge morda zdijo kot gesta. Kljub temu se ravno takšne naloge srečujejo v OGE in USE v matematiki, zato priporočam, da se seznanite z njimi.

Naloga številka 11. Ekipa je januarja izdelala 62 delov, v vsakem naslednjem mesecu pa 14 delov več kot v prejšnjem. Koliko delov je brigada izdelala novembra?

rešitev. Očitno bo število delov, poslikanih po mesecih, naraščajoča aritmetična progresija. in:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\levo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November je 11. mesec v letu, zato moramo najti $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Novembra bodo torej izdelali 202 dela.

Naloga številka 12. Knjigoveška delavnica je v januarju zvezala 216 knjig in vsak mesec zvezala 4 knjige več kot prejšnji mesec. Koliko knjig je zvezala delavnica v decembru?

rešitev. Vse enako:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\levo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

December je zadnji, 12. mesec v letu, zato iščemo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

To je odgovor – decembra bo vezanih 260 knjig.

No, če ste prebrali tako daleč, vam hitim čestitati: uspešno ste zaključili »tečaj mladega borca« v aritmetičnih progresijah. Lahko mirno preidemo na naslednjo lekcijo, kjer bomo preučevali formulo vsote napredovanja ter pomembne in zelo uporabne posledice iz nje.

Mnogi so slišali za aritmetično progresijo, vendar se vsi ne zavedajo dobro, kaj to je. V tem članku bomo podali ustrezno definicijo in razmislili tudi o tem, kako najti razliko aritmetičnega napredovanja, in navedli številne primere.

Matematična definicija

Torej če pogovarjamo se o aritmetični ali algebrski progresiji (ta koncepta definirata isto stvar), to pomeni, da obstaja neka vrsta števil, ki ustreza naslednjemu zakonu: vsaki dve sosednji števili v seriji se razlikujeta za isto vrednost. Matematično je to zapisano takole:

Pri tem n pomeni število elementa a n v zaporedju, število d pa je razlika progresije (njegovo ime izhaja iz predstavljene formule).

Kaj pomeni poznati razliko d? O tem, kako oddaljena so sosednja števila. Je pa poznavanje d nujen, a ne zadosten pogoj za določitev (obnovo) celotnega napredovanja. Poznati morate še eno številko, ki je lahko absolutno kateri koli element obravnavane serije, na primer 4, a10, vendar se praviloma uporablja prva številka, to je 1.

Formule za določanje elementov progresije

Na splošno so zgornje informacije že dovolj za nadaljevanje odločitve posebne naloge. Kljub temu, preden je podana aritmetična progresija in bo treba najti njeno razliko, predstavljamo nekaj uporabnih formul, s čimer olajšamo kasnejši postopek reševanja problemov.

Preprosto je pokazati, da lahko vsak element zaporedja s številko n najdemo na naslednji način:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Pravzaprav lahko vsakdo preveri to formulo s preprostim naštevanjem: če zamenjate n = 1, dobite prvi element, če nadomestite n = 2, izraz poda vsoto prvega števila in razlike itd. .

Pogoji mnogih problemov so sestavljeni tako, da je treba za znani par števil, katerih številke so tudi podane v zaporedju, obnoviti celotno številsko vrsto (poišči razliko in prvi element). Zdaj bomo to težavo rešili na splošen način.

Torej, recimo, da imamo dva elementa s številkama n in m. Z uporabo zgornje formule lahko sestavimo sistem dveh enačb:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Za iskanje neznanih količin uporabimo znane preprost trik rešitve takega sistema: po paru odštejemo levi in ​​desni del, enakost pa ostane veljavna. Imamo:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tako smo izločili eno neznanko (a 1). Zdaj lahko zapišemo končni izraz za določitev d:

d = (a n - a m) / (n - m), kjer je n > m

Dobili smo zelo preprosto formulo: da bi izračunali razliko d v skladu s pogoji problema, je treba vzeti le razmerje med razlikami med samimi elementi in njihovimi serijskimi številkami. Pozornost je treba posvetiti eni pomembni točki: razlike se upoštevajo med "starejšimi" in "mlajšimi" člani, to je n> m ("starejši" - kar pomeni, da stoji dlje od začetka zaporedja, njegova absolutna vrednost je lahko bolj ali manj bolj "mlajši" element).

Izraz za razliko d progresije je treba na začetku reševanja naloge nadomestiti v katero koli od enačb, da dobimo vrednost prvega člena.

V naši dobi razvoja računalniške tehnologije mnogi šolarji poskušajo najti rešitve za svoje naloge na internetu, zato se pogosto pojavljajo tovrstna vprašanja: poiščite razliko aritmetične progresije na spletu. Na takšno zahtevo bo iskalnik prikazal več spletnih strani, ob obisku katerih boste morali vnesti podatke, ki so znani iz pogoja (lahko sta to dva člana progresije ali vsota nekaterih izmed njih) in takoj dobite odgovor. Kljub temu je takšen pristop k reševanju problema neproduktiven z vidika razvoja študenta in razumevanja bistva naloge, ki mu je dodeljena.

Rešitev brez uporabe formul

Rešimo prvi problem, medtem ko ne bomo uporabili nobene od zgornjih formul. Podani so elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Poiščite razliko aritmetične progresije.

Znani elementi so blizu drug drugemu v vrsti. Kolikokrat je treba razliko d prišteti najmanjši, da dobimo največjo? Trikrat (prvič, ko dodamo d, dobimo sedmi element, drugič - osmi, končno, tretjič - deveti). Katero število je treba trikrat prišteti k tri, da dobimo 18? To je številka pet. res:

Tako je neznana razlika d = 5.

Seveda bi se dalo rešiti z ustrezno formulo, vendar to ni bilo storjeno namerno. Podrobna razlaga rešitve problema bi morala postati jasen in nazoren primer, kaj je aritmetična progresija.

Naloga, podobna prejšnji

Zdaj pa rešimo podoben problem, vendar spremenimo vhodne podatke. Torej bi morali ugotoviti, če je a3 = 2, a9 = 19.

Seveda se lahko ponovno zatečete k metodi reševanja "na čelo". Ker pa so podani elementi niza, ki so razmeroma oddaljeni, taka metoda postane neprimerna. Toda uporaba dobljene formule nas bo hitro pripeljala do odgovora:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Tukaj smo zaokrožili končno številko. Koliko je to zaokroževanje povzročilo napako, lahko presodite s preverjanjem rezultata:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ta rezultat se le za 0,1 % razlikuje od vrednosti, navedene v pogoju. Zato je mogoče upoštevati uporabljeno zaokroževanje na stotinke uspešna izbira.

Naloge za uporabo formule za člana

Razmislimo o klasičnem primeru problema določanja neznanke d: poiščite razliko aritmetične progresije, če je a1 = 12, a5 = 40.

Ko sta podani dve števili neznanega algebrskega zaporedja in je eno od njih element a 1 , potem vam ni treba dolgo razmišljati, ampak morate takoj uporabiti formulo za člen a n. V tem primeru imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Pri deljenju smo dobili točno število, zato nima smisla preverjati pravilnosti izračunanega rezultata, kot je bilo storjeno v prejšnjem odstavku.

Rešimo še en podoben problem: poiskati moramo razliko aritmetične progresije, če je a1 = 16, a8 = 37.

Uporabimo podoben pristop kot prejšnji in dobimo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Kaj še morate vedeti o aritmetični progresiji

Poleg nalog iskanja neznane razlike oz posamezne elemente, je pogosto potrebno rešiti probleme vsote prvih členov zaporedja. Obravnava teh problemov presega obseg teme članka, vendar za popolnost informacij predstavljamo splošna formula za vsoto n števil serije:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Tema "aritmetična progresija" se preučuje v splošni tečaj algebra v šolah v 9. razredu. Ta tema je pomembna za nadaljnji poglobljen študij matematike številskih vrst. V tem članku se bomo seznanili z aritmetično progresijo, njeno razliko, pa tudi s tipičnimi nalogami, s katerimi se lahko srečujejo šolarji.

Koncept algebraične progresije

Številčno napredovanje je zaporedje števil, v katerem je vsak naslednji element mogoče dobiti iz prejšnjega, če je nekaj matematični zakon. Znana sta dva enostavne vrste progresije: geometrijske in aritmetične, ki ji rečemo tudi algebraična. Oglejmo si podrobneje.

Predstavljajte si nekaj racionalno število, jo označimo s simbolom a 1 , kjer indeks označuje njeno vrstno številko v obravnavani seriji. Enici prištejmo še kakšno drugo številko, označimo jo z d. Potem se lahko drugi element niza odraža na naslednji način: a 2 = a 1 + d. Zdaj znova dodamo d, dobimo: a 3 = a 2 + d. Nadaljevanje tega matematična operacija, lahko dobite celo vrsto števil, ki se imenuje aritmetična progresija.

Kot je razvidno iz zgoraj navedenega, morate za iskanje n-tega elementa tega zaporedja uporabiti formulo: a n = a 1 + (n-1) * d. Če v izraz nadomestimo n=1, dobimo a 1 = a 1, če je n = 2, potem formula pomeni: a 2 = a 1 + 1*d in tako naprej.

Na primer, če je razlika aritmetičnega napredovanja 5 in 1 \u003d 1, potem to pomeni, da je številska serija zadevne vrste videti tako: 1, 6, 11, 16, 21, ... Kot ste vidi, da je vsak njegov član 5 večji od prejšnjega.

Formule razlike aritmetične progresije

Iz zgornje definicije obravnavanega niza števil izhaja, da morate za njegovo določitev poznati dve števili: a 1 in d. Slednje se imenuje razlika tega napredovanja. Edinstveno določa vedenje celotne serije. Dejansko, če je d pozitiven, se bo številska vrsta stalno povečevala, nasprotno, v primeru negativnega d se bodo števila v seriji povečevala samo modulo, medtem ko se bo njihova absolutna vrednost z naraščanjem števila n zmanjševala.

Kakšna je razlika med aritmetično progresijo? Razmislite o dveh glavnih formulah, ki se uporabljata za izračun te vrednosti:

1. d = a n+1 -a n , ta formula izhaja neposredno iz definicije obravnavanega niza števil.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), ta izraz dobimo z izražanjem d iz formule, podane v prejšnjem odstavku članka. Upoštevajte, da ta izraz postane nedoločen (0/0), če je n=1. To je posledica dejstva, da je treba poznati vsaj 2 elementa serije, da bi ugotovili njeno razliko.

Ti dve osnovni formuli se uporabljata za reševanje katerega koli problema iskanja razlike napredovanja. Vendar pa obstaja še ena formula, ki jo morate poznati.

Vsota prvih elementov

Formulo, s katero je mogoče po zgodovinskih dokazih določiti vsoto poljubnega števila članov algebraične progresije, je prvi pridobil "princ" matematike XVIII stoletja Carl Gauss. Nemški znanstvenik, ko je bil še deček v osnovna šola vaški šoli, opazil, da da bi zložil cela števila v nizu od 1 do 100 morate najprej sešteti prvi in ​​zadnji element (dobljena vrednost bo enaka vsoti predzadnjega in drugega, predzadnjega in tretjega elementa in tako naprej), nato pa je treba to število pomnoženo s številom teh vsot, torej s 50.

Formulo, ki odraža navedeni rezultat na določenem primeru, je mogoče posplošiti na poljuben primer. Videti bo takole: S n = n/2*(a n + a 1). Upoštevajte, da za iskanje določene vrednosti ni potrebno poznavanje razlike d, če sta znana dva člana progresije (a n in a 1).

Primer #1. Določite razliko ob poznavanju dveh členov vrste a1 in an

Pokazali bomo, kako uporabiti zgoraj navedene formule v članku. Navedimo preprost primer: razlika aritmetične progresije ni znana, treba je ugotoviti, čemu bo enaka, če je 13 \u003d -5,6 in 1 \u003d -12,1.

Ker poznamo vrednosti obeh elementov številčno zaporedje, medtem ko je ena od njih prva številka, potem lahko uporabite formulo št. 2 za določitev razlike d. Imamo: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. V izrazu smo uporabili vrednost n=13, saj je člen s to zaporedno številko znan.

Nastala razlika kaže, da se napredovanje povečuje, kljub dejstvu, da elementi, podani v pogoju problema, imajo negativen pomen. Vidimo lahko, da je a 13 >a 1 , čeprav |a 13 |<|a 1 |.

Primer #2. Pozitivni pogoji napredovanja v primeru št. 1

Uporabimo rezultat, dobljen v prejšnjem primeru, za rešitev novega problema. Formulirano je takole: od katere redne številke začnejo elementi progresije v primeru št. 1 dobivati ​​pozitivne vrednosti?

Kot je bilo prikazano, se progresija, v kateri je a 1 = -12,1 in d = 0,54167, povečuje, zato bodo števila od določenega števila dobila samo pozitivne vrednosti. Za določitev tega števila n je potrebno rešiti preprosto neenačbo, ki jo matematično zapišemo takole: a n>0 ali z ustrezno formulo neenačbo prepišemo: a 1 + (n-1)*d>0. Treba je najti neznano n, izrazimo jo: n> -1 * a 1 / d + 1. Zdaj je treba zamenjati znane vrednosti razlika in prvi člen zaporedja. Dobimo: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 ali n>23,338. Ker lahko n zavzema le celoštevilske vrednosti, iz dobljene neenakosti sledi, da bodo vsi členi niza, ki imajo število večje od 23, pozitivni.

Preverimo naš odgovor z uporabo zgornje formule za izračun 23. in 24. elementa te aritmetične progresije. Imamo: a 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​​​0,54167 \u003d -0,18326 (negativno število); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (pozitivna vrednost). Tako je dobljeni rezultat pravilen: od n=24 bodo vsi členi številske serije večji od nič.

Primer #3. Koliko polen bo ustrezalo?

Tukaj je ena zanimiva težava: med sečnjo je bilo odločeno, da se razžagana hloda zložijo enega na drugega, kot je prikazano na spodnji sliki. Koliko hlodov lahko zložimo na ta način, če vemo, da bo skupaj 10 vrst?

Pri tem načinu zlaganja hlodov lahko opazimo eno zanimivost: vsaka naslednja vrstica bo vsebovala en hlod manj kot prejšnja, to pomeni, da gre za algebraično progresijo, katere razlika je d=1. Ob predpostavki, da je število polen v vsaki vrstici član te progresije, in tudi ob upoštevanju, da je a 1 = 1 (samo eno polene se prilega na sam vrh), najdemo število a 10 . Imamo: a 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. To pomeni, da bo v 10. vrstici, ki leži na tleh, 10 hlodov.

Celotno količino te "piramidalne" konstrukcije lahko dobimo z uporabo Gaussove formule. Dobimo: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 hlodov.