Numerikus sorozatok és beállításuk módjai. Feladat gyakorlati munkához "Numerikus sorozatok különböző módon történő meghatározása, sorozat tagjainak kiszámítása

Ebben a leckében elkezdjük a progresszió tanulmányozását. Itt megismerkedünk a számsorral és annak beállításával.

Először felidézzük a numerikus argumentumok függvényeinek definícióját és tulajdonságait, és megvizsgáljuk egy függvény speciális esetét, amikor x a halmazhoz tartozik. természetes számok. Adunk egy numerikus sorozat definícióját, és adunk néhány példát. Megmutatjuk a sorozat megadásának analitikus módját az n-edik tagjának képletén keresztül, és számos példát tekintünk meg egy sorozat megadására és meghatározására. Ezután fontolja meg egy sorozat verbális és ismétlődő hozzárendelését.

Téma: Haladás

Lecke: Numerikus sorozatés hogyan kell beállítani

1. Ismétlés

Numerikus sorozat, mint látni fogjuk, ez egy függvény speciális esete, ezért emlékezzünk a függvénydefinícióra.

A függvény olyan törvény, amely szerint egy argumentum minden érvényes értékéhez hozzárendeljük a függvény egyedi értékét.

Íme néhány példa az ismert függvényekre.

Rizs. 1. Egy függvény grafikonja

A 0 kivételével minden érték megengedett. Ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola (lásd 1. ábra).

2.. Minden érték megengedett, .

Rizs. 2. Függvénygrafikon

Menetrend másodfokú függvény- parabola, jellemző pontok is ki vannak jelölve (lásd 2. ábra).

3..

Rizs. 3. Egy függvény grafikonja

Minden x érték megengedett. A lineáris függvény grafikonja egy egyenes (lásd 3. ábra).

2. Numerikus sorozat definíciója

Ha x csak természetes értékeket vesz fel (), akkor van egy speciális esetünk, mégpedig egy numerikus sorozat.

Emlékezzünk vissza, hogy a természetes számok 1, 2, 3, …, n, …

A függvényt, ahol , egy természetes argumentum függvényének vagy numerikus sorozatnak nevezzük, és a következőképpen jelöljük: vagy , vagy .

Magyarázzuk meg, mit jelent például a jelölés.

Ez a függvény értéke, amikor n=1, azaz .

Ez a függvény értéke, amikor n=2, azaz stb...

Ez a függvény értéke, ha az argumentum n, azaz .

3. Mintasorozatok

1. a képlet általános kifejezése. Különböző n értékeket állítunk be, különböző y értékeket kapunk - a sorozat tagjai.

Ha n=1; , ha n=2 stb., .

A számok egy adott sorozat tagjai és pontjai feküdj a hiperbolán - a függvény grafikonján (lásd 4. ábra).

Rizs. 4. Függvénygrafikon

Ha n=1, akkor ; ha n=2, akkor ; ha n=3, akkor stb.

A számok egy adott sorozat tagjai, a pontok pedig egy parabolán, egy függvény grafikonján helyezkednek el (lásd 5. ábra).

Rizs. 5. Függvénygrafikon

Rizs. 6. Függvénygrafikon

Ha n=1, akkor ; ha n=2 akkor ; ha n=3 akkor stb.

Számok egy adott sorozat tagjai, és a pontok egy egyenesen fekszenek - a függvény grafikonján (lásd 6. ábra).

4. Analitikai módszer a sorozat meghatározására

A sorozatok háromféleképpen határozhatók meg: analitikus, verbális és ismétlődő. Tekintsük mindegyiket részletesen.

A sorozat analitikusan adott, ha n-edik tagjának képlete adott.

Nézzünk néhány példát.

1. Keresse meg a sorozat több tagját, amelyet az n-edik tag képlete ad meg: (a sorozat megadásának analitikus módja).

Döntés. Ha n=1, akkor ; ha n=2, akkor ; ha n=3 akkor stb.

Adott sorozatra megtaláljuk és .

.

.

2. Tekintsük az n-edik tag képletével adott sorozatot: (a sorozat megadásának analitikus módja).

Keressük ennek a sorozatnak több tagját.

Ha n=1, akkor ; ha n=2 akkor ; ha n=3 akkor stb.

Általában nem nehéz megérteni, hogy ennek a sorozatnak a tagjai azok a számok, amelyek 4-gyel osztva 1 maradékot adnak.

a. Adott sorozathoz keresse meg a .

Döntés: . Válasz: .

b. Két szám van megadva: 821, 1282. Ezek a számok az adott sorozat tagjai?

Ahhoz, hogy a 821-es szám a sorozat tagja legyen, szükséges, hogy az egyenlőség: vagy . Az utolsó egyenlőség n egyenlete. Ha a döntés adott egyenlet természetes szám, akkor a válasz igen.

Ebben az esetben az. .

Válasz: igen, a 821 az adott sorozat tagja, .

Térjünk át a második számra. Hasonló érvelés vezet el bennünket a következő egyenlet megoldásához: .

Válasz: mivel n nem természetes szám, ezért az 1282-es szám nem tagja az adott sorozatnak.

A sorozatot analitikusan definiáló képletek nagyon különbözőek lehetnek: egyszerűek, összetettek stb. A követelmény velük szemben ugyanaz: n minden értékének egyetlen számnak kell megfelelnie.

3. Adott: a sorozatot a következő képlet adja meg.

Keresse meg a sorozat első három tagját!

, , .

Válasz: , , .

4. A számok a sorozat tagjai?

a. , azaz . Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy . Ez egy természetes szám.

Válasz: az első megadott szám ennek a sorozatnak a tagja, vagyis az ötödik tagja.

b. , azaz . Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy . Ez egy természetes szám.

Válasz: a második megadott szám is ennek a sorozatnak a tagja, mégpedig a kilencvenkilencedik tagja.

5. A sorrend beállításának verbális módja

Megvizsgáltuk a numerikus sorozat meghatározásának analitikus módját. Kényelmes, gyakori, de nem az egyetlen.

A következő módszer a sorozat szóbeli hozzárendelése.

A sorozat, annak minden tagja, minden tagjának kiszámításának lehetősége szavakkal, nem feltétlenül képletekkel adható meg.

1. példa Prímszámok sorozata.

Emlékezzünk vissza, hogy a prímszám olyan természetes szám, amelynek pontosan két osztója van: 1 és maga a szám. A prímszámok 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 stb.

Számtalan ilyen van. Eukleidész azt is bebizonyította, hogy ezeknek a számoknak a sorozata végtelen, vagyis nincs legnagyobb prímszám. A sorrend adott, minden tag kiszámítható, fárasztó, de kiszámítható. Ez a sorrend szóban van megadva. Sajnos a képletek nem állnak rendelkezésre.

2. példa Tekintsük az =1,41421 számot…

Ez irracionális szám, decimális jelölése végtelen számú számjegyet biztosít. Tekintsük egy szám tizedes közelítéseinek sorozatát hiányosság szerint: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; stb.

Ennek a sorozatnak végtelen számú tagja van, mindegyik kiszámítható. Ezt a sorozatot képlettel nem lehet beállítani, ezért szóban írjuk le.

6. Rekurzív mód egy sorozat megadására

A numerikus sorozat meghatározásának két módját vizsgáltuk:

1. Analitikai módszer, amikor az n-edik tag képlete adott.

2. A sorozat szóbeli hozzárendelése.

És végül van egy ismétlődő szekvencia, amikor megadjuk az n-edik tag kiszámításának szabályait az előző tagokból.

Fontolgat

1. példa Fibonacci-szekvencia (13. század).

Történeti hivatkozás:

Leonardo Pisa (körülbelül 1170, Pisa - körülbelül 1250) - az első jelentős matematikus középkori Európa. Leginkább Fibonacci becenéven ismerik.

A tanultak nagy részét kimagasló Abakusz-könyvében (Liber abaci, 1202; csak az 1228-as kiegészített kézirat maradt fenn a mai napig) leírta. Ez a könyv szinte az összes akkori számtani és algebrai információt tartalmazza, kivételes teljességgel és mélységgel bemutatva. Az „Abakusz könyve” meredeken felülemelkedik a 12-14. századi európai aritmetikai és algebrai irodalmon. a módszerek változatossága és erőssége, a feladatok gazdagsága, a bemutatás bizonyítékai. A későbbi matematikusok széles körben merítettek belőle problémákat és megoldási módszereket. Az első könyv szerint európai matematikusok sok generációja tanulmányozta az indiai helyzetszámrendszert.

Az első két tag adott, és minden további tag az előző kettő összege

egy; egy; 2; 3; 5; nyolc; tizenhárom; 21; 34; 55; ... a Fibonacci sorozat első néhány tagja.

Ezt a sorozatot rekurzívan adjuk meg, n-edik tag az előző kettőtől függ.

2. példa

Ebben a sorozatban minden következő tag 2-vel nagyobb, mint az előző. Az ilyen sorozatot aritmetikai sorozatnak nevezzük.

Az 1, 3, 5, 7... számok a sorozat első néhány tagja.

Adjunk még egy példát egy sorozat ismétlődő hozzárendelésére.

3. példa

A sorrendet a következőképpen adjuk meg:

Ennek a sorozatnak minden további tagját úgy kapjuk meg, hogy az előző tagot megszorozzuk ugyanazzal a q számmal. Egy ilyen sorozatnak különleges neve van - geometriai progresszió. A következő leckékben az aritmetikai és a geometriai progressziók lesznek a tárgyaink.

Keressük meg a megadott sorozat néhány tagját b=2 és q=3 helyen.

2. számok; 6; tizennyolc; 54; 162 ... ennek a sorozatnak az első néhány tagja.

Érdekes módon ez a sorozat analitikusan is megadható, azaz választhat egy képletet. Ebben az esetben a képlet a következő lesz.

Valóban: ha n=1, akkor ; ha n=2, akkor ; ha n=3 akkor stb.

Így kijelentjük, hogy ugyanaz a sorozat megadható analitikusan és ismétlődően is.

7. A lecke összefoglalása

Tehát megvizsgáltuk, mi az a numerikus sorozat, és hogyan kell beállítani.

A következő leckében a numerikus sorozatok tulajdonságaival ismerkedünk meg.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algebra 9. osztály (tankönyv a középiskola számára).-M.: Oktatás, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra 9. osztályhoz elmélyítéssel. tanulmány matematika.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. További fejezetek az algebra 9.-M osztályos iskolai tankönyvéhez: Oktatás, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebrai feladatok gyűjteménye 8-9 osztály számára ( oktatóanyag elmélyítéssel járó iskolák és osztályok tanulói számára. tanulmány matematika).-M.: Nevelés, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebra 9. évfolyam, tankönyv általános oktatási intézmények számára. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9. évfolyam, problémakönyv oktatási intézmények számára. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Matematika története az iskolában. 7-8. osztály (útmutató tanároknak).-M.: Felvilágosodás, 1983.

1. Főiskolai tagozat. ru a matematikában.

2. Természettudományi Portál.

3. Exponenciális. ru Oktatási matematikai oldal.

1. No. 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra Grade 9).

2. No. 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebrai feladatok gyűjteménye 8-9. osztály számára).

Algebra. 9. évfolyam
32. lecke
Dátum:_____________
Tanár: Gorbenko Alena Sergeevna
Téma: Numerikus sorrend, beállítási módok és tulajdonságok
Az óra típusa: kombinált
Az óra célja: a numerikus sorozat fogalmának, definíciójának megadása, módozatok mérlegelése
numerikus sorozatok hozzárendelése
Feladatok:
Oktatási: megismertetni a tanulókkal a numerikus sorozat és a tag fogalmát
numerikus sorozat; ismerkedjen meg az elemző, verbális, visszatérő és
a numerikus sorozat beállításának grafikus módjai; Vegye figyelembe a számok típusait
szekvenciák; felkészülés az EAEA-ra;
Fejlesztő: matematikai műveltség, gondolkodás, számítási technikák, készségek fejlesztése
összehasonlítások a képlet kiválasztásakor; a matematika iránti érdeklődés felkeltése;
Oktatás: önálló tevékenység készségeinek oktatása; tisztaság és
szervezettség a munkában; lehetővé tenni minden tanuló számára, hogy sikeres legyen;
Felszerelés: Iskolaszerek, tábla, kréta, tankönyv, segédanyagok.
Az órák alatt
ÉN. Idő szervezése
 Kölcsönös üdvözlés;
 távollévők rögzítése;
 Az óra témájának meghirdetése;
 Az óra céljainak és célkitűzéseinek meghatározása a tanulók által.
A szekvencia a matematika egyik legalapvetőbb fogalma. A szekvencia lehet
álljon számokból, pontokból, függvényekből, vektorokból stb.
Ma a leckében megismerkedünk a "numerikus sorozat" fogalmával, megtudjuk, mit
sorozatok lehetnek, ismerkedjünk meg a híres képsorokkal.

II. Alapvető ismeretek felfrissítése.
Ismer-e a teljes számegyenesen vagy annak folytonosán definiált függvényeket?
III.
intervallumok:
lineáris függvény y \u003d kx + v,
másodfokú függvény y \u003d ax2 + inx + c,


 függvény y =



 függvény y = |x|.
Felkészülés az új ismeretek észlelésére
egyenes arányosság y \u003d kx,
fordított arányosság y \u003d k / x,
köbfüggvény y = x3,
,
De vannak más halmazokon meghatározott függvények.
Példa. Sok családnak van szokása, egyfajta rituáléja: a gyermek születésnapján
a szülők hozzák ajtókeretés ünnepélyesen megünnepeljük rajta a születésnapi férfi növekedését.
A gyerek növekszik, és az évek múlásával egy egész nyomlétra jelenik meg az ajtófélfán. Három, öt, kettő: ez van
évről évre történő növekedési sorrend. De van egy másik sorozat is, mégpedig
tagjai gondosan ki vannak írva a serifek mellé. Ez a növekedési értékek sorozata.
A két sorozat összefügg egymással.
A másodikat az elsőből hozzáadás útján kapjuk.
A növekedés az összes korábbi év nyereségének összege.
Fontolja meg még néhány kérdést.
Feladat 1. 500 tonna szén van a raktárban, naponta 30 tonnát szállítanak. Mennyi lesz a szén
1 napon belül raktáron? 2 nap? 3 nap? 4. nap? 5. nap?
(A tanulók válaszait felírják a táblára: 500, 530, 560, 590, 620).
2. feladat Az intenzív növekedés időszakában egy ember átlagosan 5 cm-t nő évente. Most növekedés
S. diák 180 cm Milyen magas lesz 2026-ban? (2m 30 cm). De ennek nem kell lennie
talán. Miért?
3. feladat Minden nap minden influenzás ember 4 másikat megfertőzhet.
Hány nap múlva betegszik meg iskolánk összes tanulója (300 fő)? (4 nap után).
Ezek példák a természetes számok halmazán - numerikus - meghatározott függvényekre
sorozatok.
A lecke célja: Találja meg a módját, hogy megtalálja a sorozat bármely tagját.
Az óra céljai: Ismerje meg, mi és hogyan egy numerikus sorozat
sorozatok.
IV. Új anyagok tanulása
Definíció: A numerikus sorozat egy halmazon meghatározott függvény
természetes számok (a sorozatok olyan természeti elemeket alkotnak, amelyek
számozható).
A numerikus sorozat fogalma jóval a tan megalkotása előtt keletkezett és fejlődött
funkciókat. Íme példák a régről ismert végtelen számsorozatokra
régiségek:
1, 2, 3, 4, 5, : természetes számok sorozata;
2, 4, 6, 8, 10, : páros számok sorozata;
1, 3, 5, 7, 9, : páratlan számok sorozata;
1, 4, 9, 16, 25, : természetes számok négyzeteinek sorozata;
2, 3, 5, 7, 11, : prímszámok sorozata;
,
1,
E sorozatok mindegyikének tagjainak száma végtelen; első öt sorozat
, : természetes számok reciprok sorozata.
,
monoton növekvő, utóbbi monoton csökkenő.

Megnevezés: y1, y2, y3, y4, y5,:
A sorozattag 1, 2, 3, 4, 5, :p,:sorszáma.
(yn) sorozat, a sorozat yn-edik tagja.
(an) sorozat, a sorozat n-edik tagja.
an1 a sorozat előző tagja,
a sorozat egy+1 következő tagja.
A sorozatok végesek és végtelenek, növekednek és csökkennek.
Feladatok tanulóknak: Írd le a sorozat első 5 tagját:
Az első természetes számtól növekedjen 3-mal.
10-ről növelje 2-szeresét és csökkentse 1-gyel.
A 6-os számtól váltakozva 2-szeres növekedést és 2-szeres növekedést.
Ezeket a számsorokat számsorozatoknak is nevezik.
Szekvenálási módszerek:
verbális módon.
A szekvenciaszabályok leírása szavakkal, képletek nélkül ill
amikor a sorozat elemei között nincsenek szabályszerűségek.
1. példa Prímszámok sorozata: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
2. példa Tetszőleges számhalmaz: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
3. példa Páros számok sorozata 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
elemző módon.
A sorozat bármely n-edik eleme meghatározható egy képlet segítségével.
1. példa Páros számok sorozata: y = 2n.
2. példa A természetes számok négyzetének sorozata: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
3. példa Stacionárius sorozat: y = C; C, C, C, ..., C, ...
különleges eset y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
4. példa: y = 2n sorozat;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
rekurzív módon.
Meg van adva egy szabály, amely lehetővé teszi a sorozat n-edik elemének kiszámítását, ha
korábbi elemei ismertek.
1. példa Aritmetikai progresszió: a1=a, an+1=an+d, ahol a és d adott számokat, d
egy aritmetikai sorozat különbsége. Legyen a1=5, d=0,7, majd a számtani progresszió
így fog kinézni: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
2. példa Geometriai progresszió: b1= b, bn+1= bnq, ahol b és q adott számok, b
0,
0; q a nevező geometriai progresszió. Legyen b1=23, q=½, majd a geometria
q
a progresszió így fog kinézni: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Grafikus mód. Numerikus sorozat
egy gráf adja meg, amely az
elszigetelt pontok. Ezen pontok abszcisszán természetesek
számok: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordináták – tagértékek
sorozatok: a1; a2; a3; a4;…
Példa: Írd le egy számsorozat mind az öt tagját,
grafikusan adjuk meg.
Döntés.
Ezen a koordinátasíkon minden pont rendelkezik
koordináták (n; an). Írd le a megjelölt pontok koordinátáit!
növekvő abszcissza n.
A következőt kapjuk: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Ezért a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Válasz: 3; egy; 4; 6; 7.
V. A vizsgált anyag elsődleges konszolidációja
Példa 1. Írjon egy lehetséges képletet a sorozat n-edik elemére (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Döntés.
a) Ez egy sorozat páratlan számok. Analitikailag ez a sorrend lehet
az y = 2n+1 képlettel beállítva.
b) Ez egy olyan numerikus sorozat, amelyben a következő elem nagyobb, mint az előző
4-gyel. Ez a sorozat analitikailag az y = 4n képlettel adható meg.
2. példa Írja ki egy ismétlődően megadott sorozat első tíz elemét: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1, ha n = 3, 4, 5, 6, ... .
Döntés.
Ennek a sorozatnak minden következő eleme egyenlő az előző kettő összegével
elemeket.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Összegezve a tanulságot. Visszaverődés
1. Miben sikerült a feladat megoldása?
2. Összehangolt volt a munka?
3. Ön szerint mi nem sikerült?

A numerikus sorozat a numerikus függvény speciális esete, ezért a függvények számos tulajdonságát is figyelembe veszik a sorozatoknál.

1. Meghatározás . Sorozat ( y n} növekvőnek nevezzük, ha minden tagja (az első kivételével) nagyobb, mint az előző:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Definition.Sequence ( y n} csökkenőnek nevezzük, ha minden tagja (az első kivételével) kisebb, mint az előző:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. A növekvő és csökkenő sorozatokat egy közös fogalom egyesíti - a monoton sorozatok.

Például: y 1 = 1; y n= n 2… egy növekvő sorozat. y 1 = 1; egy csökkenő sorozat. y 1 = 1; – ez a sorrend nem nem növekvő, nem csökkenő.

4. Meghatározás. Egy sorozatot periodikusnak nevezünk, ha létezik olyan T természetes szám, amelyre valamilyen n-ből kiindulva teljesül az yn = yn+T egyenlőség. A T számot periódushossznak nevezzük.

5. Egy sorozatot alulról korlátosnak nevezünk, ha minden tagja legalább valamilyen szám.

6. Egy sorozatot felülről korlátosnak mondunk, ha minden tagja legfeljebb valamilyen szám.

7. Egy sorozatot korlátosnak nevezünk, ha fent és lent is korlátos, azaz. van olyan pozitív szám, hogy az adott sorozat egyetlen tagja sem haladja meg ezt a számot abszolút értékben. (De az, hogy mindkét oldalon korlátozott, nem feltétlenül jelenti azt, hogy véges.)

8. Egy sorozatnak csak egy korlátja lehet.

9. Bármely nem csökkenő sorozatnak van határa (lim).

10. Bármely, alább behatárolt nem növekvő sorozatnak van határa.

A sorozat határa egy olyan pont (szám), amelynek közelében a sorozat tagjainak többsége található, közel közelítik ezt a határt, de nem érik el.

Geometriai és aritmetikai progresszió a sorozat speciális esetei.

Szekvenálási módszerek:

A szekvenciák beállíthatók különböző utak, amelyek közül három különösen fontos: elemző, leíró és visszatérő.

1. A sorozat analitikusan adott, ha n-edik tagjának képlete adott:

Példa. yn \u003d 2n - 1 - páratlan számok sorozata: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. A numerikus sorozat beállításának leíró módja az, hogy elmagyarázza, milyen elemekből épül fel a sorozat.

1. példa: "A sorozat minden tagja egyenlő 1-gyel." Azt jelenti, beszélgetünk a stacionárius sorozatról 1, 1, 1, …, 1, ….

2. példa: "A sorozat az összes prímszámból áll növekvő sorrendben." Így a 2, 3, 5, 7, 11, … sorozat adott. A sorrend megadásának ezzel a módszerével ezt a példát nehéz megválaszolni, hogy mondjuk a sorozat 1000. eleme mivel egyenlő.

3. Egy sorozat megadásának visszatérő módja az, hogy egy olyan szabályt jelölünk meg, amely lehetővé teszi a sorozat n-edik tagjának kiszámítását, ha az előző tagjai ismertek. A rekurzív metódus elnevezés innen ered latin szó recurrere – visszatérni. Ilyen esetekben leggyakrabban olyan képletet tüntetnek fel, amely lehetővé teszi a sorozat n-edik tagjának kifejezését az előzőekhez képest, és a sorozat 1-2 kezdőtagját adják meg.

1. példa y1 = 3; yn = yn–1 + 4, ha n = 2, 3, 4,….

Itt y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Látható, hogy az ebben a példában kapott sorozat analitikusan is megadható: yn = 4n – 1.

2. példa y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 ha n = 3, 4,….

Itt: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Az ebben a példában összeállított sorozatot kifejezetten a matematika tanulmányozza, mivel sorozata van érdekes tulajdonságokés alkalmazások. Fibonacci-szekvenciának hívják – a 13. századi olasz matematikus után. A Fibonacci-sorozat rekurzív meghatározása nagyon egyszerű, de analitikailag nagyon nehéz. n A Fibonacci-számot a sorszámban fejezzük ki a következő képlettel.

Első pillantásra a képlet n a Fibonacci-szám valószínűtlennek tűnik, mivel a természetes számok sorozatát meghatározó képlet önmagában tartalmazza négyzetgyök, de "manuálisan" ellenőrizheti ennek a képletnek az érvényességét az első néhány esetében n.

Fibonacci története:

Fibonacci (Pisai Leonardo), Kr. e. 1175–1250

olasz matematikus. Pisában született, Európa első nagy matematikusa lett a késő középkorban. A matematika felé a megállapítás gyakorlati igénye vezette üzleti kapcsolatok. Kiadta könyveit a számtanról, algebráról és más matematikai tudományágakról. Muszlim matematikusoktól megismerte az Indiában feltalált és az arab világban már elfogadott számrendszert, és meggyőződött annak felsőbbrendűségéről (ezek a számok voltak a modern arab számok előfutárai).

Fibonacciként ismert pisai Leonardo volt a késő középkor első nagy európai matematikusa. Pisában született egy gazdag kereskedő családban, és pusztán gyakorlati igénye miatt lépett matematikába, hogy üzleti kapcsolatokat létesítsen. Fiatalkorában Leonardo sokat utazott, és elkísérte apját üzleti utakra. Például tudjuk, hogy hosszú ideig tartózkodott Bizáncban és Szicíliában. Az ilyen utazások során sokat érintkezett helyi tudósokkal.

A ma nevét viselő számsor abból a nyulakkal kapcsolatos problémából nőtt ki, amelyet Fibonacci vázolt fel 1202-ben írt Liber abaccijában:

Egy férfi egy pár nyulat egy karámba helyezett, minden oldalról fallal körülvéve. Hány pár nyulat tud világra hozni ez a pár egy év alatt, ha tudjuk, hogy minden hónapban, a másodiktól kezdődően, minden nyúl pár hoz egy párat?

Győződjön meg arról, hogy a párok száma a hónapok következő tizenkét hónapjában rendre 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Más szóval, a nyúlpárok száma egy sorozatot hoz létre, amelyben minden tag az előző kettő összege. Fibonacci-sorozatként ismert, és maguk a számok a Fibonacci-számok. Kiderült, hogy ennek a sorozatnak számos matematikailag érdekes tulajdonsága van. Íme egy példa: feloszthat egy vonalat két szegmensre úgy, hogy a nagyobb és a kisebb szakasz aránya arányos legyen a teljes vonal és a nagyobb szakasz arányával. Ez az arányossági tényező, amely megközelítőleg egyenlő 1,618-cal, az úgynevezett aranymetszés. A reneszánszban azt hitték, hogy ez az építészeti szerkezeteknél megfigyelt arány a leggyönyörűbb a szemnek. Ha a Fibonacci sorozatból egymást követő párokat veszünk és osztunk több minden párról egy kisebbre, az eredményed fokozatosan megközelíti az aranymetszést.

Mióta Fibonacci felfedezte a sorozatát, még olyan természeti jelenségeket is találtak, amelyekben úgy tűnik, hogy ez a szekvencia fontos szerepet játszik. Az egyik a filotaxis (levélelrendezés) - az a szabály, amely szerint például a magvak a napraforgóvirágzatban helyezkednek el. A napraforgómagok két spirálban vannak elrendezve. Az egyes spirálokban lévő magok számát jelző számok egy csodálatos matematikai sorozat tagjai. A magvak két spirálsorban helyezkednek el, amelyek közül az egyik az óramutató járásával megegyező, a másik ellentétes irányban halad. És mennyi a magok száma minden esetben? 34 és 55.

1. feladat:

Írd le a sorozat első öt tagját!

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

és n \u003d 2 n + 1/2 n

2. feladat:

Írd fel a 3 többszörösei természetes számsorozat közös tagjának képletét!

Válasz: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, és n = 3n

3. feladat:

Írja fel a természetes számsorozat közös tagjának képletét, amelynek 4-gyel osztva a maradéka 1.

Válasz: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 és n = 4n+1

19. sz. Funkció.

A függvény (megjelenítés, operátor, transzformáció) egy matematikai fogalom, amely a halmazok elemei közötti kapcsolatot tükrözi. Azt mondhatjuk, hogy a függvény egy "törvény", amely szerint az egyik halmaz (amelyet definíciós tartománynak nevezünk) minden eleméhez hozzárendelnek egy másik halmaz valamely elemét (ezt értéktartománynak nevezzük).

Egy függvény az egyik függősége változó másiktól. Más szóval a mennyiségek közötti kapcsolat.

A függvény matematikai fogalma egy intuitív elképzelést fejez ki arról, hogy egy mennyiség hogyan határozza meg teljesen egy másik mennyiség értékét. Tehát az x változó értéke egyértelműen meghatározza a kifejezés értékét, a hónap értéke pedig egyértelműen az azt követő hónap értékét, és bármely személy összehasonlítható egy másik személlyel - az apjával. Hasonlóképpen, bizonyos előre megalkotott algoritmusok változó bemeneti adatok mellett bizonyos kimeneti adatokat állítanak elő.

A „függvény” kifejezés gyakran numerikus függvényre utal; vagyis olyan függvény, amely egyes számokat másokkal összhangban állít. Ezek a függvények kényelmesen ábrázolhatók az ábrákon grafikonok formájában.

Más definíció is megadható. A függvény egy specifikus akció egy változó felett.

Ez azt jelenti, hogy vesszük az értéket, csinálunk vele valamilyen műveletet (például négyzetre emeljük vagy kiszámoljuk a logaritmusát) - és megkapjuk az értéket.

Adjunk egy másik definíciót a függvénynek – a tankönyvekben leggyakrabban megtalálhatót.

A függvény két halmaz közötti megfelelés, ahol az első halmaz minden eleme a második halmaz egy elemének felel meg.

Például mindegyikhez egy függvény valós szám kétszer akkora számmal egyezik, mint .

Valamelyik F. x-szel helyettesített elemhalmazát definíciós tartományának, egyes F. y elemeinek halmazát pedig értéktartományának nevezzük.

Kifejezés előzményei:

A „funkció” kifejezést (valamivel szűkebb értelemben) Leibniz (1692) használta először. Johann Bernoulli pedig ugyanannak Leibniznek írt levelében ezt a kifejezést a modernhez közelebb álló értelemben használta. Kezdetben a függvény fogalma megkülönböztethetetlen volt az analitikus reprezentáció fogalmától. Ezt követően jelent meg a függvény Euler (1751) által adott definíciója, majd - Lacroix (1806) - szinte ben. modern forma. Végül egy függvény általános meghatározása (in modern forma, hanem numerikus függvényekre) Lobacsevszkij (1834) és Dirichlet (1837) adta meg. Nak nek késő XIX században a függvény fogalma túlnőtt a numerikus rendszerek keretein. A vektorfüggvények tették ezt először, Frege hamarosan bevezette a logikai függvényeket (1879), majd a halmazelmélet megjelenése után Dedekind (1887) és Peano (1911) megfogalmazta a modern univerzális definíciót.

20. sz. A funkció beállításának módjai.

A függvény meghatározásának 4 módja van:

1. táblázatos Elég gyakori, hogy egy asztalt az egyéni

argumentumértékek és a hozzájuk tartozó függvényértékek. A függvény meghatározásának ezt a módszerét akkor használjuk, ha a függvény tartománya egy diszkrét véges halmaz.

Kényelmes, ha f véges halmaz, de ha f végtelen, akkor csak a kiválasztott párok (x, y) jelennek meg.

A függvény meghatározásának táblázatos módszerével megközelítőleg ki lehet számítani a függvény azon értékeit, amelyek nem szerepelnek a táblázatban, az argumentum közbenső értékeinek megfelelően. Ehhez használja az interpolációs módszert.

Előnyök: pontosság, gyorsaság, könnyen megtalálható az értéktáblázatban kívánt értéket funkciókat. A táblázatos függvénymegadási mód előnye, hogy lehetővé teszi bizonyos értékek egyidejű meghatározását, további mérések és számítások nélkül.

hátrányai: hiányosság, áttekinthetetlenség. Egyes esetekben a táblázat nem határozza meg teljesen a függvényt, hanem csak az argumentum egyes értékeire vonatkozóan, és nem ad vizuális megjelenítést a függvény változásának természetéről az argumentum változásától függően.

2. elemző(képletek). Leggyakrabban olyan törvény, amely kapcsolatot teremt között

argumentum és függvény, képletek segítségével van megadva. A függvény meghatározásának ezt a módját analitikusnak nevezzük. Ez a legfontosabb az MA (matematikai elemzés) számára, mivel az MA (differenciál-, integrálszámítás) módszerei ezt a beállítási módot javasolják. Ugyanaz a függvény különböző képletekkel adható meg: y=∣sin( x)∣y=√1-cos2( x) Néha be különböző részek tartományai közül a definiált függvény különféle képletekkel adható meg f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f) . Gyakran előfordul, hogy ezzel a függvénydefiníciós módszerrel nincs megadva a definíció hatóköre, akkor a definíciós tartományt úgy értjük, mint természeti terület definíciók, azaz. az összes x érték halmaza, amelyre a függvény valós értéket vesz fel.

Ez a módszer lehetővé teszi, hogy az x argumentum minden egyes számértéke pontosan vagy bizonyos pontossággal megtalálja az y függvény megfelelő számértékét.

A függvény definiálásának analitikus módjának egy speciális esete, ha egy függvényt F(x,y)=0 (1) alakú egyenlettel határozunk meg. Ha ennek az egyenletnek az a tulajdonsága, hogy ∀ x∈D csak egyező y, oly módon, hogy F(x,y)=0, akkor azt mondjuk, hogy az (1) egyenlet D-n implicit módon definiál egy függvényt. Egy függvény definiálásának másik sajátos esete a parametrikus, minden pár ( x,y)∈f függvénypár segítségével állítsa be x=ϕ( t),y=ψ( t) ahol t∈M.

A numerikus sorozat definíciója adott. Példákat veszünk a végtelenül növekvő, konvergens és divergens sorozatokra. Az összes racionális számot tartalmazó sorozatot tekintjük.

Meghatározás .
Numerikus sorozat (x n) törvénynek (szabálynak) nevezzük, amely szerint minden természetes számra n = 1, 2, 3, . . . valamilyen x n szám van hozzárendelve.
Az x n elemet nevezzük n-edik tag vagy egy sorozat eleme.

A sorozatot az n-edik tagként jelöljük, zárójelek között: . Szintén lehetséges a következő jelölést: . Kifejezetten kijelentik, hogy az n index a természetes számok halmazához tartozik, és magának a sorozatnak is végtelen számú tagja van. Íme néhány példa a sorozatokra:
, , .

Más szavakkal, a numerikus sorozat olyan függvény, amelynek tartománya a természetes számok halmaza. A sorozat elemeinek száma végtelen. Az elemek között lehetnek olyan tagok is, amelyek rendelkeznek ugyanazok az értékek. Ezenkívül a sorozatot számok számhalmazának tekinthetjük, amely végtelen számú tagból áll.

Elsősorban az a kérdés fog érdekelni, hogy hogyan viselkednek a sorozatok, amikor n a végtelenbe hajlik: . Ezt az anyagot a Sorozathatár - alapvető tételek és tulajdonságok részben mutatjuk be. És itt megnézünk néhány példát a sorozatokra.

Példák sorozatra

Példák végtelenül növekvő sorozatokra

Nézzünk egy sorozatot. Ennek a sorozatnak az általános tagja . Írjuk ki az első néhány kifejezést:
.
Látható, hogy az n szám növekedésével az elemek korlátlanul növekednek a pozitív értékek felé. Azt mondhatjuk, hogy ez a sorozat hajlamos: at .

Most vegyünk egy sorozatot egy közös kifejezéssel. Íme néhány első tagja:
.
Az n szám növekedésével ennek a sorozatnak az elemeinek abszolút értéke korlátlanul növekszik, de nincs állandó előjelük. Vagyis ez a sorozat hajlamos: at .

Példák véges számhoz konvergáló sorozatokra

Nézzünk egy sorozatot. Közös tagja Az első feltételek a következők:
.
Látható, hogy az n szám növekedésével ennek a sorozatnak az elemei megközelítik az a határértéküket = 0 : nál nél . Tehát minden következő tag közelebb van a nullához, mint az előző. Bizonyos értelemben feltételezhetjük, hogy az a számnak van hozzávetőleges értéke = 0 hibával. Jól látható, hogy az n növekedésével ez a hiba nullára hajlik, azaz n kiválasztásával tetszőlegesen kicsire tehető a hiba. Sőt, bármely adott hibához ε > 0 meg lehet adni olyan N számot, hogy minden N :-nél nagyobb elemnél a szám eltérése az a határértéktől ne haladja meg az ε : hibát.

Ezután vegye figyelembe a sorrendet. Közös tagja Íme néhány első tagja:
.
Ebben a sorozatban a páros számú tagok nullák. A páratlan n-nel rendelkező tagok . Ezért, ahogy n növekszik, értékeik megközelítik az a határértéket = 0 . Ez abból is következik, hogy
.
Az előző példához hasonlóan itt is megadhatunk tetszőlegesen kis ε hibát > 0 , amelyre olyan N számot találhatunk, hogy az N-nél nagyobb számú elemek eltérnek az a határértéktől = 0 a megadott hibát meg nem haladó értékkel. Ezért ez a sorozat az a értékhez konvergál = 0 : nál nél .

Példák divergens sorozatokra

Tekintsünk egy sorozatot a következő gyakori kifejezéssel:

Íme az első tagjai:


.
Látható, hogy a páros számokkal rendelkező kifejezések:
,
konvergál az a értékhez 1 = 0 . Páratlan számmal rendelkező tagok:
,
konvergál az a értékhez 2 = 2 . Maga a sorozat, ahogy n növekszik, nem konvergál semmilyen értékhez.

Sorozat a (0;1) intervallumban elosztott kifejezésekkel

Most nézzünk meg egy érdekesebb sorozatot. Vegyünk egy szakaszt a számegyenesen. Osszuk ketté. Két szegmenst kapunk. Legyen
.
A szegmensek mindegyike ismét felére van osztva. Négy szegmenst kapunk. Legyen
.
Osszuk újra az egyes részeket felére. Vessünk


.
Stb.

Ennek eredményeként olyan sorozatot kapunk, amelynek elemei egy nyitott intervallumban oszlanak el (0; 1) . Bármilyen pontot is vegyünk ki a zárt intervallumból , mindig megtalálhatjuk a sorozat tagjait, amelyek tetszőlegesen közel vannak ehhez a ponthoz, vagy egybeesnek vele.

Ekkor az eredeti sorozatból kiemelhető egy részsorozat, amely az intervallum egy tetszőleges pontjához fog konvergálni . Vagyis az n szám növekedésével a részsorozat tagjai egyre közelebb kerülnek az előre kiválasztott ponthoz.

Például az a ponthoz = 0 a következő alsorozatot választhatja:
.
= 0 .

Az a) ponthoz = 1 válassza ki a következő alsorozatot:
.
Ennek a részsorozatnak a tagjai az a értékhez konvergálnak = 1 .

Mivel vannak olyan részszekvenciák, amelyekhez konvergálnak különböző jelentések, akkor maga az eredeti sorozat nem konvergál egyetlen számhoz sem.

Az összes racionális számot tartalmazó sorozat

Most készítsünk egy sorozatot, amely az összes racionális számot tartalmazza. Sőt, minden racionális szám végtelen számú alkalommal szerepelni fog egy ilyen sorozatban.

Az r racionális szám a következőképpen ábrázolható:
,
ahol egy egész szám; - természetes.
Minden n természetes számhoz hozzá kell rendelnünk egy p és q számpárt, hogy a sorozatunkban minden p és q pár szerepeljen.

Ehhez rajzoljunk p és q tengelyeket a síkra. Rácsvonalakat rajzolunk a p és q egész értékeken keresztül. Ezután ennek a rácsnak minden csomópontja megfelel a racionális szám. A racionális számok teljes halmazát csomópontok halmaza fogja képviselni. Meg kell találnunk a módot az összes csomópont számozására, hogy egyetlen csomópontot se hagyjunk ki. Ez könnyen megtehető, ha a csomópontokat azon négyzetek szerint számozzuk meg, amelyek középpontja a pontban található (0; 0) (Lásd a képen). Ebben az esetben a négyzetek alsó részei q-val < 1 nincs szükségünk. Ezért az ábrán nem láthatók.

Tehát az első négyzet felső oldala:
.
Továbbra is számozunk felső rész következő négyzet:

.
Számozzuk meg a következő négyzet felső részét:

.
Stb.

Ily módon az összes racionális számot tartalmazó sorozatot kapjuk. Látható, hogy ebben a sorozatban bármely racionális szám végtelen sokszor előfordul. Valójában a csomóponttal együtt ez a sorozat a csomópontokat is tartalmazza, ahol egy természetes szám. De mindezek a csomópontok ugyanannak a racionális számnak felelnek meg.

Ezután az általunk megszerkesztett sorozatból kiválaszthatunk egy (végtelen számú elemű) részsorozatot, amelynek minden eleme egyenlő egy előre meghatározott racionális számmal. Mivel az általunk megszerkesztett sorozatnak vannak olyan részszekvenciái, amelyekhez konvergálnak különböző számok, akkor a sorozat nem konvergál egyetlen számhoz sem.

Következtetés

Itt adtuk meg a numerikus sorozat pontos definícióját. Kitértünk a konvergenciájának kérdésére is, intuitív elképzelések alapján. A konvergencia pontos definícióját a Sorozat határának meghatározása oldalon tárgyaljuk. A kapcsolódó tulajdonságok és tételek az oldalon találhatók

32. lecke dátuma ____________

Algebra

osztály: 9 "B"

Téma: "Numerikus sorrend és beállítási módok."

Az óra célja: a tanulóknak tudniuk kell, mi az a számsorozat; a numerikus sorozat beállításának módjai; tudjon különbséget tenni a numerikus sorozatok megadásának különböző módjai között.

Didaktikai anyagok: segédanyagok, referenciajegyzetek.

Technikai eszközök tanulás: előadás a "Numerikus sorozatok" témában.

Az órák alatt.

1. Szervezési mozzanat.

2. Az óra céljainak kitűzése.

A mai leckében a következőket tanuljátok:

Mi az a sorozat?

Milyen típusú sorozatok léteznek?

Hogyan van megadva a számsor?

Ismerje meg, hogyan írhat sorozatot egy képlet és annak számos eleme segítségével.

Tanuld meg megtalálni a sorozat tagjait.

3. Munka a tanult anyagon.

3.1. Előkészületi szakasz.

Srácok, teszteljük a logikai képességeiket. Nevezek néhány szót, és folytassa:

-Hétfő kedd,…..

- Január február március…;

- Glebova L, Ganovichev E, Dryahlov V, Ibraeva G, ... .. (osztálylista);

–10,11,12,…99;

A srácok válaszaiból az a következtetés vonható le, hogy a fenti feladatok sorozatok, vagyis valamiféle rendezett szám- vagy fogalomsorok, amikor minden szám vagy fogalom szigorúan a helyén van, és ha a tagokat felcseréljük, akkor a sorozat megsértik (kedd, csütörtök, hétfő csak a hét napjainak listája). Tehát az óra témája egy numerikus sorozat.

3.1. Új anyag magyarázata. (Demo anyag)

Elemezze a tanulók válaszait, határozza meg a számsort, és mutassa meg, hogyan állíthat be számsorokat.

(Munka a tankönyvvel 66-67. o.)

1. definíció. Az y = f(x), xN függvényt természetes argumentum vagy numerikus sorozat függvényének nevezzük, és a következőképpen jelöljük: y = f(n) vagy y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... vagy (y n).

Ebben az esetben a független változó egy természetes szám.

A sorozatokat leggyakrabban a következőképpen jelöljük: ( a n), (b n), (val vel n) stb.

2. definíció. Sorozat tagjai.

A sorozatot alkotó elemeket a sorozat tagjainak nevezzük.

Új fogalmak: a sorozat előző és következő tagja,

a 1 …a P. (a sorozat 1. és n. tagja)

Numerikus sorozat beállításának módszerei.

elemző módon.

Bármi n-edik elem szekvenciák meghatározhatók egy képlet segítségével. (demo)

Példák elemzése

1. példa A páros számok sorozata: y = 2n.

2. példa A természetes számok négyzetének sorozata: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, ... .

3. példaÁlló sorrend: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Speciális eset: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

4. példa. y = 2 n sorozat;

2, 2 2, 2 3, 2 4, ..., 2 n, ....

verbális módon.

A sorozat beállításának szabályai szavakban vannak leírva, képletek megadása nélkül, vagy ha a sorozat elemei között nincs minta.

1. példa: Számközelítésekπ.

2. példa Prímszámsorozat: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

3. példa 5-tel osztható számsorozat.

2. példa Véletlen számhalmaz: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

3. példa A páros számok sorozata 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

rekurzív módon.

Az ismétlődő módszer egy szabály megadása, amely lehetővé teszi a sorozat n-edik tagjának kiszámítását, ha annak első néhány tagja meg van adva (legalább egy első tag), és egy képletet, amely lehetővé teszi a következő tag kiszámítását az előző tagokból. Term visszatérő a latin szóból származik ismétlődő , ami azt jelenti Gyere vissza . Amikor a sorozat tagjait e szabály szerint számoljuk, valahogy mindig visszafelé megyünk, és az előző alapján számítjuk ki a következő tagot. Ennek a módszernek az a jellemzője, hogy például a sorozat 100. tagjának meghatározásához először meg kell határozni az összes korábbi 99 tagot.

Példa 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Legyen a 1 =5, akkor a sorozat így fog kinézni: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

2. példa b 1 \u003d b, b n +1 \u003d ½ b n. Legyen b 1 =23, akkor a sorozat így fog kinézni: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

3. példa Fibonacci sorozat. Ez a sorozat könnyen definiálható rekurzív módon: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1, ha n=3, 4, 5, 6, ... . Így fog kinézni:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P ennek a sorozatnak a harmadik tagja egyenlő az előző két tag összegével)

Nehéz analitikusan meghatározni a Fibonacci-sorozatot, de lehetséges. A képlet, amellyel a sorozat bármely eleme meghatározható, így néz ki:

további információ:

A Pisai Leonardo (1180-1240) olasz kereskedő, ismertebb nevén Fibonacci, fontos középkori matematikus volt. Ezzel a sorozattal Fibonacci meghatározta a számot φ (phi); φ=1,618033989.

Grafikus mód

Egy sorozat tagjai a koordinátasíkon pontokként ábrázolhatók. Ehhez a számot a vízszintes tengely mentén, a sorozat megfelelő tagjának értékét pedig a függőleges tengely mentén ábrázoljuk.

A hozzárendelési módszerek megszilárdítása érdekében arra kérem Önt, hogy mondjon néhány példát a szóban, analitikusan vagy ismétlődő módon meghatározott sorozatokra.

A számsorok típusai

(Az alább felsorolt ​​szekvenciákon a sorozatok típusai vannak kidolgozva).

Munka a tankönyvvel 69-70.o

1) Növekedés - ha minden tag kisebb, mint a következő, azaz. a n a n +1.

2) Csökkenő - ha minden tag nagyobb, mint a következő, azaz. a n a n +1 .

3) Végtelen.

4) Végső.

5) Váltakozó.

6) Állandó (stacionárius).

A növekvő vagy csökkenő sorozatot monotonnak nevezzük.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Munka a tankönyvvel: szóban 150., 159. sz. 71., 72.

3.2. Új anyag összevonása. Problémamegoldás.

Az ismeretek megszilárdítása érdekében a példákat a tanulók felkészültségi szintjétől függően választják ki.

1. példaÍrjon egy lehetséges képletet a sorozat n-edik elemére (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Döntés.

a) Páratlan számok sorozata. Analitikailag ez a sorozat az y = 2n+1 képlettel adható meg.

b) Ez egy olyan numerikus sorozat, amelyben a következő elem 4-gyel nagyobb, mint az előző, ez a sorozat analitikailag az y = 4n képlettel adható meg.

2. példa. Írjuk ki az ismétlődően megadott sorozat első tíz elemét: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, ha n = 3, 4, 5, 6, ... .

Döntés.

Ennek a sorozatnak minden következő eleme egyenlő az előző két elem összegével.

3. példa Az (y n) sorozatot ismétlődően adjuk meg: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2. Adja meg ezt a sorrendet analitikusan.

Döntés.

Keresse meg a sorozat első néhány elemét.

y3=5y2-6y1=10-6=4;

y 4 = 5 év 3 - 6 év 2 = 20-12 \u003d 8;

y 5 = 5 év 4 - 6 év 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

y 6 \u003d 5y 5 -6y 4 = 80-48 \u003d 32;

y 7 \u003d 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64.

A következő sorrendet kapjuk: 1; 2; 4; nyolc; tizenhat; 32; 64; ... ami úgy ábrázolható

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

A sorozatot elemezve a következő szabályszerűséget kapjuk: y = 2 n -1 .

4. példa Adott egy y n =24n+36-5n 2 sorozat.

a) Hány pozitív feltétele van?

b) Keresse meg a sorozat legnagyobb elemét!

c) Van ebben a sorozatban a legkisebb elem?

Ez a számsor az y = -5x 2 +24x+36 alakú függvény, ahol x

a) Keresse meg annak a függvénynek az értékeit, amelyre -5x 2 +24x+360! Oldjuk meg a -5x 2 +24x+36=0 egyenletet.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 = 6, X 2 = -1,2.

Az y \u003d -5x 2 +24x + 36 parabola szimmetriatengelyének egyenlete megtalálható az x \u003d képlettel, így kapjuk: x \u003d 2.4.

A -5x 2 +24x+360 egyenlőtlenség a -1.2-re érvényes Ez az intervallum öt természetes számot tartalmaz (1, 2, 3, 4, 5). Tehát a megadott sorrendben öt pozitív elemek sorozatok.

b) A sorozat legnagyobb elemét a kiválasztási módszer határozza meg, és egyenlő y 2 =64-gyel.

c) Nincs legkisebb elem.

3.4.Az önálló munkavégzés feladatai