VALÓDI SZÁMOK II

44. § Valós számok geometriai ábrázolása

A geometriailag valós számokat, akárcsak a racionális számokat, egy egyenes pontja ábrázolja.

Legyen l - tetszőleges egyenes, és O - néhány pontja (58. ábra). Minden pozitív valós szám α tegyük megfeleltetésbe az A pontot, amely az O-tól jobbra fekszik, távolságra α hosszegységek.

Ha pl. α = 2,1356..., akkor

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

stb. Nyilvánvaló, hogy az A pontnak ebben az esetben az egyenesen kell lennie l a számoknak megfelelő pontoktól jobbra

2; 2,1; 2,13; ... ,

hanem a számoknak megfelelő pontoktól balra

3; 2,2; 2,14; ... .

Megmutatható, hogy ezek a feltételek a vonalon határozódnak meg l az egyetlen A pont, amelyet egy valós szám geometriai képének tekintünk α = 2,1356... .

Hasonlóképpen minden negatív valós szám β tedd megfeleltetésnek az O-tól balra fekvő B pontot | távolságra β | hosszegységek. Végül az O pontot a „nulla” számhoz rendeljük.

Tehát az 1-es szám egyenes vonalban jelenik meg l az O-tól jobbra egy egységnyi hosszúságra elhelyezkedő A pont (59. ábra), a - √2 szám - B pont, O-tól balra √2 egységnyi távolságra stb.

Mutassuk meg, hogyan egy egyenesen l egy iránytű és egy vonalzó segítségével megtalálhatja a √2, √3, √4, √5 stb. valós számoknak megfelelő pontokat. Ehhez először is bemutatjuk, hogyan lehet olyan szakaszokat készíteni, amelyek hosszát ezeket a számokat. Legyen AB egy hosszegységnek vett szakasz (60. ábra).

Az A pontban visszaállítjuk a merőlegest erre a szakaszra, és félretesszük rajta az AC szakaszt, amely megegyezik az AB szakasszal. Ekkor a Pitagorasz-tételt az ABC derékszögű háromszögre alkalmazva azt kapjuk; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Ezért a BC szakasz hossza √2. Most állítsuk vissza a BC szakasz merőlegesét a C pontban, és válasszuk ki rajta a D pontot úgy, hogy a CD szakasz legyen egyenlő eggyel AB hossz. Aztán attól derékszögű háromszög BCD lelet:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Ezért a BD szakasz hossza √3. A leírt folyamatot tovább folytatva BE, BF, ... szakaszokat kaphatunk, amelyek hosszát a √4, √5 stb. számokkal fejezzük ki.

Most a vonalon l könnyű megtalálni azokat a pontokat, amelyek a √2, √3, √4, √5 stb. számok geometriai ábrázolásaként szolgálnak.

Ha például az O ponttól jobbra helyezzük a BC szakaszt (61. ábra), megkapjuk a C pontot, amely a √2 szám geometriai ábrázolásaként szolgál. Ugyanígy, az O ponttól jobbra elhelyezve a BD szakaszt, megkapjuk a D" pontot, amely a √3 szám geometriai képe stb.

Nem szabad azonban azt gondolni, hogy egy körző és egy számegyenes vonalzó segítségével l bármely adott valós számnak megfelelő pontot találhatunk. Bebizonyosodott például, hogy ha csak egy körző és egy vonalzó áll a rendelkezésére, lehetetlen olyan szakaszt építeni, amelynek hosszát szám fejezi ki. π = 3,14 ... . Tehát a számegyenesen l ilyen konstrukciók segítségével lehetetlen ennek a számnak megfelelő pontot megjelölni, de létezik ilyen pont.

Tehát minden valós számra α lehetőség van az egyenes néhány jól meghatározott pontjához társítani l . Ez a pont az O kezdőponttól | távolságra lesz elválasztva α | hosszegységek, és az O-tól jobbra legyen, ha α > 0, és az O-tól balra, ha α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две különböző pontokat egyenes l . Valóban, legyen a szám α megfelel az A pontnak és a számnak β - B pont Akkor, ha α > β , akkor A B-től jobbra lesz (62. ábra, a); ha α < β , akkor A B-től balra fog feküdni (62. ábra, b).

A 37. §-ban a racionális számok geometriai ábrázolásáról szólva feltettük a kérdést: tekinthető-e az egyenes bármely pontja valamilyen geometriai képének? racionális számok? Erre a kérdésre akkor még nem tudtunk választ adni; most már egészen határozottan válaszolhatunk rá. Az egyenesen vannak olyan pontok, amelyek geometriai képként szolgálnak irracionális számok(pl. √2 ). Ezért az egyenesen nem minden pont jelent racionális számot. De ebben az esetben egy másik kérdés is felmerül: a valódi egyenes bármely pontja tekinthető-e egyesek geometriai képének érvényes számok? Ezt a problémát már pozitívan megoldották.

Valóban, legyen A tetszőleges pont az egyenesen l , az O-tól jobbra fekszik (63. ábra).

Az OA szakasz hosszát valamilyen pozitív valós szám fejezi ki α (lásd 41. §). Ezért az A pont a szám geometriai képe α . Hasonlóképpen megállapítható, hogy minden O-tól balra fekvő B pont egy negatív valós szám geometriai képének tekinthető - β , ahol β - a VO szakasz hossza. Végül az O pont a nulla szám geometriai ábrázolásaként szolgál. Nyilvánvaló, hogy a vonal két különböző pontja l nem lehet ugyanannak a valós számnak a geometriai képe.

A fent említett okokból kifolyólag egy egyenest, amelyen valamely O pont „kezdeti” pontként van feltüntetve (adott hosszegységhez) ún. számsor.

Következtetés. Az összes valós szám halmaza és a valós egyenes összes pontjának halmaza egy az egyhez megfeleltetésben van.

Ez azt jelenti, hogy minden valós szám a számegyenes egy, jól definiált pontjának felel meg, és fordítva, a számegyenes minden pontjának, ilyen megfeleltetés mellett egy, jól definiált valós szám felel meg.

Feladatok

320. Állapítsa meg, hogy a két pont közül melyik van a számegyenesen balra és melyik jobbra, ha ezek a pontok számoknak felelnek meg:

a) 1,454545... és 1,455454...; c) 0 és -1,56673...;

b) - 12,0003... és - 12,0002...; d) 13.24... és 13.00....

321. Állapítsa meg, hogy a két pont közül melyik van távolabb a számegyenes O kezdőpontjától, ha ezek a pontok számoknak felelnek meg:

a) 5,2397... és 4,4996...; .. c) -0,3567... és 0,3557... .

d) - 15,0001 és - 15,1000...;

322. Ebben a szakaszban megmutattuk, hogy egy √ hosszúságú szakasz megalkotásához n iránytű és egyenes él segítségével a következőket teheti: először konstruáljon egy √2 hosszúságú szakaszt, majd egy √3 hosszúságú szakaszt stb., amíg el nem érjük a √ hosszúságú szakaszt n . De minden javítottnál P > 3 ez a folyamat felgyorsítható. Hogyan kezdené el például egy √10 hosszúságú szegmens felépítését?

323*. Hogyan használjunk iránytűt és vonalzót az 1-es számnak megfelelő pont megtalálásához a számegyenesen / α , ha a számnak megfelelő pont helyzete α , ismert?

A számegyenes, egy számtengely olyan egyenes, amelyen valós számok vannak ábrázolva. Az egyenes vonalon az origót választjuk - az O pontot (az O pont 0-t jelent) és az L pontot, amely az egységet jelenti. Az L pont általában az O ponttól jobbra áll. Az OL szakaszt egységszakasznak nevezzük.

Az O ponttól jobbra lévő pontok pozitív számokat jelentenek. Pontok a ponttól balra. Ó, ábrázoljon negatív számokat. Ha az X pont egy pozitív x számot jelöl, akkor az OX távolság = x. Ha az X pont egy negatív x számot jelöl, akkor az OX távolság = - x.

Azt a számot, amely egy pont helyzetét mutatja egy egyenesen, a pont koordinátájának nevezzük.

Az ábrán látható V pont koordinátája 2, a H pont pedig -2,6.

A valós szám modulusa az origótól a számnak megfelelő pontig mért távolság. Jelölje ki az x szám modulusát, tehát: | x |. Nyilvánvaló, | 0 | = 0.

Ha az x szám nagyobb, mint 0, akkor | x | = x, és ha x kisebb, mint 0, akkor | x | = - x. A modul ezen tulajdonságain alapul számos egyenlet és egyenlőtlenség megoldása a modullal.

Példa: Oldja meg az egyenletet | x - 3 | = 1.

Megoldás: Tekintsünk két esetet - az első esetet, amikor x -3 > 0, és a második esetet, amikor x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

Ebben az esetben | x - 3 | = x - 3.

Az egyenlet a következőképpen alakul: x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - teljesíti az első feltételt.

2. x -3 0, x 3.

Ebben az esetben | x - 3 | = - x + 3

Az egyenlet x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - teljesíti a második feltételt.

Válasz: x = 4, x = -2.

Numerikus kifejezések.

A numerikus kifejezés egy vagy több szám és függvény gyűjteménye, amelyeket aritmetikai operátorok és zárójelek kapcsolnak össze.
Példák numerikus kifejezésekre:

A numerikus kifejezés értéke egy szám.
A numerikus kifejezés műveleteit a következő sorrendben hajtjuk végre:

1. Műveletek zárójelben.

2. Függvényszámítás.

3. Hatványozás

4. Szorzás és osztás.

5. Összeadás és kivonás.

6. Az azonos típusú műveleteket balról jobbra hajtjuk végre.

Tehát az első kifejezés értéke maga a szám lesz 12.3
A második kifejezés értékének kiszámításához a műveleteket a következő sorrendben hajtjuk végre:

1. Hajtsa végre a zárójelben lévő műveleteket a következő sorrendben - először 2-t emelünk a harmadik hatványra, majd a kapott számból kivonjuk a 11-et:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Szorozd meg 3-at 4-gyel:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Végezze el a műveleteket egymás után balról jobbra:

12 + (-3) = 9.
A változókat tartalmazó kifejezés egy vagy több szám, változó és függvény gyűjteménye, amelyeket aritmetikai operátorok és zárójelek kapcsolnak össze. A változókat tartalmazó kifejezések értéke a benne szereplő változók értékétől függ. A műveletek sorrendje itt ugyanaz, mint a numerikus kifejezéseknél. Néha hasznos a változókkal történő kifejezések egyszerűsítése különféle műveletek végrehajtásával - zárójelek, zárójelek bővítése, csoportosítás, törtek csökkentése, hasonlók csökkentése stb. Ezenkívül a kifejezések egyszerűsítése érdekében gyakran használnak különféle képleteket, például rövidített szorzóképleteket, különféle függvények tulajdonságait stb.

Algebrai kifejezések.

Az algebrai kifejezés egy vagy több algebrai mennyiség (számok és betűk), amelyeket algebrai műveletek jelei kapcsolnak össze: összeadás, kivonás, szorzás és osztás, valamint a gyök kivonása és az egész hatványra emelés (a gyökérnek és a kitevőnek szükségszerűen kell egész számok) és a műveletek sorozatának jelei (általában zárójelek). másfajta). A benne foglalt mennyiségek száma algebrai kifejezés véglegesnek kell lennie.

Példa algebrai kifejezésre:

Az "algebrai kifejezés" egy szintaktikai fogalom, vagyis valami akkor és csak akkor algebrai kifejezés, ha bizonyos nyelvtani szabályoknak engedelmeskedik (lásd Formális nyelvtan). Ha egy algebrai kifejezésben lévő betűket változóknak tekintjük, akkor az algebrai kifejezés elnyeri az algebrai függvény jelentését.

A sokféleségből készletek különösen érdekesek az ún számkészletek, azaz olyan halmazok, amelyek elemei számok. Nyilvánvaló, hogy a velük való kényelmes munkához le kell tudni írni őket. A numerikus halmazok írásának jelölésével és elveivel kezdjük ezt a cikket. Ezután megvizsgáljuk, hogyan ábrázolják a numerikus halmazokat a koordinátavonalon.

Oldalnavigáció.

Numerikus halmazok írása

Kezdjük az elfogadott jelöléssel. Mint ismeretes, a latin ábécé nagybetűi a halmazok jelölésére szolgálnak. Numerikus halmazok, mint különleges eset halmazokat is jelöljük. Például beszélhetünk A , H , W numerikus halmazokról stb. Különös jelentőséggel bírnak a természetes, egész, racionális, valós, komplex számok stb. halmazai, amelyekre saját elnevezést alkalmaztak:

• N az összes természetes szám halmaza;
• Z az egész számok halmaza;
• Q a racionális számok halmaza;
• J az irracionális számok halmaza;
• R a valós számok halmaza;
• C a komplex számok halmaza.

Ebből világosan látszik, hogy nem szükséges egy például két 5-ből és -7-ből álló halmazt Q-ként jelölni, ez a megjelölés félrevezető lesz, mivel a Q betű általában az összes racionális szám halmazát jelöli. A megadott számkészlet megjelöléséhez jobb, ha más „semleges” betűt használunk, például A.

Mivel jelölésről beszélünk, itt felidézzük az üres halmaz jelölését is, vagyis az elemeket nem tartalmazó halmazt. ∅ jellel jelöljük.

Emlékezzünk vissza egy halmazbeli elem tagságának és nem tagságának megjelölésére is. Ehhez használja a ∈ - tartozik és ∉ - nem tartozik jeleket. Például az 5∈N bejegyzés azt jelenti, hogy az 5 a természetes számok halmazához tartozik, és az 5,7∉Z - az 5,7 tizedes tört nem tartozik az egész számok halmazához.

Emlékezzünk vissza arra a jelölésre is, amelyet az egyik halmaznak a másikba foglalására alkalmaztunk. Nyilvánvaló, hogy az N halmaz minden eleme benne van a Z halmazban, így számkészlet N benne van Z-ben, ezt N⊂Z-ként jelöljük. Használhatja a Z⊃N jelölést is, ami azt jelenti, hogy az összes Z egész szám halmaza tartalmazza az N halmazt. A nem szereplő és nem szereplő kapcsolatokat a ⊄ és a jelek jelölik. A ⊆ és ⊇ formájú nem szigorú befoglaló jelek is használatosak, jelentése rendre tartalmazza a vagy illeszkedik, illetve tartalmazza vagy egyezik.

Beszéltünk a jelölésről, térjünk át a numerikus halmazok leírására. Ebben az esetben csak a gyakorlatban leggyakrabban használt fő eseteket érintjük.

Kezdjük a véges és kis számú elemet tartalmazó numerikus halmazokkal. A véges számú elemből álló numerikus halmazok kényelmesen leírhatók az összes elemük felsorolásával. Az összes számelemet vesszővel elválasztva írjuk, és zárjuk közé, ami összhangban van a közös értékkel állítsa be a leírási szabályokat. Például egy három számból (0 , -0,25 és 4/7) álló halmaz leírható a következővel: (0, -0,25, 4/7).

Néha, amikor egy numerikus halmaz elemeinek száma elég nagy, de az elemek engedelmeskednek valamilyen mintának, ellipszist használnak a leírásra. Például a 3-tól 99-ig terjedő páratlan számok halmaza felírható így (3, 5, 7, ..., 99).

Így simán megközelítettük a numerikus halmazok leírását, amelyek elemszáma végtelen. Néha ugyanazzal az ellipszissel írhatók le. Például írjuk le az összes természetes szám halmazát: N=(1, 2. 3, …) .

A numerikus halmazok leírását is használják elemeinek tulajdonságainak feltüntetésével. Ebben az esetben az (x| tulajdonságok) jelölést használjuk. Például az (n| 8 n+3, n∈N) jelölés olyan természetes számok halmazát határozza meg, amelyek 8-cal osztva 3 maradékot adnak. Ugyanez a halmaz így írható le (11,19, 27, ...) .

Speciális esetekben a végtelen számú elemű numerikus halmazok ismert halmazok N , Z , R stb. vagy számhézagok. És általában a numerikus halmazokat a következőképpen ábrázoljuk Unió az őket alkotó egyes numerikus intervallumok és véges számú elemű numerikus halmazok (amiről kicsit magasabbról beszéltünk).

Mutassunk egy példát. Legyen a számhalmaz a −10 , −9 , −8.56 , 0 számok, a [−5, −1.3] intervallum összes száma és a nyitott számsugár (7, +∞) számai. A halmazok uniójának definíciója értelmében a jelzett numerikus halmaz így írható fel {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Egy ilyen jelölés valójában egy halmazt jelent, amely tartalmazza a (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] és (7, +∞) halmazok összes elemét.

Hasonlóképpen, különféle numerikus tartományok és egyedi számhalmazok kombinálásával bármely (valós számokból álló) számhalmaz leírható. Itt világossá válik, hogy miért nyitottak az olyan típusú numerikus intervallumok, mint az intervallum, félintervallum, szegmens számsugárés egy számsugár: ezek mindegyike az egyes számok halmazainak jelölésével együtt lehetővé teszi tetszőleges számhalmazok uniójukon keresztül történő leírását.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy egy numerikus halmaz írásakor az alkotószámok és a numerikus intervallumok növekvő sorrendben vannak rendezve. Ez nem kötelező, de kívánatos feltétel, hiszen egy rendezett numerikus halmazt könnyebb koordinátavonalon ábrázolni és ábrázolni. Vegye figyelembe azt is, hogy az ilyen rekordok nem használnak numerikus intervallumokat közös elemek, mivel az ilyen bejegyzések helyettesíthetők a közös elemek nélküli numerikus intervallumok uniójával. Például a [−10, 0] és (−5, 3) közös elemekkel rendelkező numerikus halmazok uniója egy félintervallum [−10, 3) . Ugyanez vonatkozik az azonos határszámú numerikus intervallumok uniójára is, például a (3, 5]∪(5, 7]) unió egy halmaz (3, 7] , erre külön kitérünk, amikor megtanuljuk, hogy keresse meg a numerikus halmazok metszetét és unióját.

Számhalmazok képe a koordinátavonalon

A gyakorlatban kényelmesen használható a numerikus halmazok geometriai képei - ezek képei a -n. Például mikor egyenlőtlenségek megoldása, amelyben figyelembe kell venni az ODZ-t, a numerikus halmazokat kell ábrázolni, hogy megtaláljuk metszéspontjukat és/vagy uniójukat. Tehát hasznos lesz jól megérteni a numerikus halmazok koordinátaegyenesen történő ábrázolásának minden árnyalatát.

Ismeretes, hogy a koordinátaegyenes pontjai és a valós számok között egy az egyhez egyezés van, ami azt jelenti, hogy maga a koordinátaegyenes az összes R valós szám halmazának geometriai modellje. Így az összes valós szám halmazának ábrázolásához egy koordinátavonalat kell rajzolni a teljes hosszában sraffozással:

És gyakran nem is jelzik az eredetet és egyetlen szegmenst sem:

Most beszéljünk a numerikus halmazok képéről, amelyek néhány véges számú egyedi szám. Például rajzoljuk fel a számhalmazt (−2, −0.5, 1.2) . A három -2, -0,5 és 1,2 számból álló halmaz geometriai képe a koordinátavonal három pontja lesz a megfelelő koordinátákkal:

Vegye figyelembe, hogy általában a gyakorlati igényekhez nincs szükség a rajz pontos végrehajtására. Gyakran elegendő egy vázlatos rajz, ami azt jelenti, hogy nem szükséges a méretarányt fenntartani, míg csak a tartás fontos kölcsönös megegyezés pontok egymáshoz képest: minden kisebb koordinátájú pontnak balra kell lennie egy nagyobb koordinátájú ponttól. Az előző rajz sematikusan így fog kinézni:

Külön-külön az összes lehetséges numerikus halmaz közül megkülönböztetünk numerikus intervallumokat (intervallumokat, félintervallumokat, sugarakat stb.), amelyek azok geometriai képét reprezentálják, a részben részletesen megvizsgáltuk. Itt nem ismételjük magunkat.

És csak a numerikus halmazok képén kell elidőzni, amelyek több numerikus intervallum és egyedi számokból álló halmaz unióját alkotják. Nincs itt semmi trükkös: az unió jelentése szerint ezekben az esetekben a koordináta egyenesen egy adott numerikus halmaz halmazának összes összetevőjét kell ábrázolni. Példaként mutassuk meg egy számkészlet képét (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

És térjünk ki az elég gyakori esetekre, amikor az ábrázolt numerikus halmaz a valós számok teljes halmaza, egy vagy több pont kivételével. Az ilyen halmazokat gyakran olyan feltételek határozzák meg, mint az x≠5 vagy x≠−1, x≠2, x≠3,7 stb. Ezekben az esetekben geometriailag a teljes koordinátavonalat reprezentálják, kivéve a megfelelő pontokat. Más szavakkal, ezeket a pontokat „ki kell lyukasztani” a koordinátavonalból. Üres középpontú körökként vannak ábrázolva. Az érthetőség kedvéért rajzoljunk egy számkészletet, feltételeknek megfelelően (ez a készlet lényegében a következő):

Összesít. Ideális esetben az előző bekezdések információi a numerikus halmazok rögzítésének és ábrázolásának ugyanazt a nézetét alkotják, mint az egyes numerikus intervallumok nézete: egy numerikus halmaz rögzítése azonnal adja meg a képét a koordinátavonalon, a képtől pedig tovább A koordinátaegyenes, akkor készen kell állnunk arra, hogy az egyes hézagok és az egyes számokból álló halmazok uniója révén könnyen leírjuk a megfelelő numerikus halmazt.

Bibliográfia.

• Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. évfolyam 14 órakor 1. rész Tanulói tankönyv oktatási intézmények/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. kiadás, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

Alakítsd meg a számokat

A digitális eszközökben kétféle számkép létezik: fixtel і lebegő kóma.

Az első bekezdésben csak néhány pozitív szám volt látható. Az (1.14) képlet lehetőséget ad dupla szám megjelenítésére egész és tört résszel, valamint fix kómával. A rögzített kómával rendelkező kétjegyű szám előjelét egy további rang adja, amely a számok elé kerül. További számok esetén a kiegészítő rendelés értéke egyenlő " 0 ", látványelemekhez - " 1 ”.

Az asztalnál 1.3 Az utolsó és a második szám kettős kóddal történő kódolására három lehetőség van.

1.3. táblázat.

Az első változatban, mint a táblázatokból kiderül, a kódolt kettős sorozatban további és végső nullák is lehetnek, ami problémákhoz vezethet a vikonann aritmetikai műveleteknél.

A megadott számok megjelenítése a kapukódban szintén nem oldja meg a fenti problémát. Nem tévedsz csak egyszer, ha látod a számokat kiegészítő kód, amelyet a következő képlettel számítanak ki:

ábrán Az 1.12 a pozitív és negatív számok képének grafikus értelmezését mutatja, amelyek nullához hasonlóak a közvetlen és komplementer kódok alternatíváihoz. Amint azt később látni fogjuk, a tizedik számok ilyen ábrázolási formája egyszerűen leegyszerűsíti az aritmetikai műveleteket.

1.10. példa. Ismerje meg a tizedes számok kiegészítő kódját: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazannya. Adott számoknak két megfelelőjét ismerjük:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Ismerjük a kódot, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110.

Ismeretes a megadott számok kódjainak kiegészítése: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Most elmagyarázzuk a számok rögzített kómával történő rögzítésének lényegét. Függetlenül attól, hogy a digitális rendszerekben lévő számokat speciális memóriaeszközök foglalják el, meghatározott számú elemből skinek sora jön létre. A kóma, amely a lövésszámba beleszámította a lövésszám egy részét, a memória sorában fix pozíciót foglal el - a rangidős előtt vagy a fiatal után.

Az első típusnál a szám abszolút értéke kisebb egynél – például 0,110101 2 . 1.13, a végső leviy rang a szám jelét, a reshta pedig a modul rangját mutatja. A vilni fiatal kisülések nullákkal vannak feltöltve. Oskіlki a felülvizsgált vipadku egy sor memória át, hogy rögzítse csak a töredéke a szám, akkor az eredmények az összes művelet miatt abszolút értékek, kevesebb, mint egy. A Wikonnannya tsієї feltétlenül válassza ki a megfelelő léptéktényezőket, amelyeken a külső adatok szorozódnak. Ha a rezgések skálaegyütthatója nem megfelelő, akkor előfordulhat a kisülések átrendezése és az egész alkatrész megjelenése, mivel ha elhasználódik, a kisülési rácsban lévő szilánkok nem kerülnek át a її megjelenésbe. Mindazonáltal a pokolba viszem az eredményt, ami hiányzik egy ilyen módszerből.

Más hangulatban, ha a legfiatalabb sorrend után rögzítik a kómát, az egész számokkal lehet helyes. Így például a memóriasorban lévő 10011 2 szám az 1. ábra láthatóságába kerül. 1.14, de livy rang jel, és ezt követően jobbra a üres számjegyek nullákkal vannak feltöltve. Ily módon a modul értéke egy elkerített memóriasor.

A lebegő kómával rendelkező számok a szám képét a sáskára adják, amelyet megszoroznak a sorba állított szakaszban a számrendszer alapján. Például a 200-as szám 0,2 × 10 3, a 0,000312 szám pedig 0,312 × 10 -3. Vidpovidno zapisyutsya és dvіykovі számok. A sáska és a sorrend dupla kódban jelenik meg, az alap pedig kettős. Például a 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 szám a tizedik rendszerben 0,875 × 2 2 \u003d 3,5 10 formában jelenik meg. A memóriasorban az ilyen számokat két számcsoportból veszik: az első csoport - a sáska - magát a számot határozza meg, a másik - a sorrend - a komi helyét a számban (1.15. ábra).

A memória sor nulla eleménél a szám előjele jelenik meg (az adott dupla számhoz, ami a memória sorba van írva - " 0 ”). A távolságok a számok sorrendjében vannak beállítva (1…8-ig). Ha kisebb sorszámmal adjuk meg, akkor a szám jobb oldalán lévő memóriaelemeket nullákkal töltjük fel. A kilencedik sorrendnél a sorrend jele jelenik meg, a másikban pedig a mantisszához hasonlóan - a sorrendet jelző szám. Egy ilyen rekordnál a szám értéke úgy van beállítva, hogy a sáska első jelentős számjegye ne legyen egyenlő " 0 ". Ezt a beviteli formát ún Normál.

A memória sorba normál formában írható minimális további számot a minimális mantissza 0,1000..0 2 és a maximális vizuális sorrend 111..1 2 határozza meg. Egy mennyiséggel k a minimum tízes sorrendben a felírható számot a következő képlet határozza meg:

. (1.15)

A matimemók maximális száma a sáska maximális értékénél (0,111 ... 1) 2 és a maximális kiegészítő sorrend (111 ... 1 2) = 2 k– akkor 1

Hatótávolság D a normál formában, az (1.15) és (1.16) képletek csavarjaként ábrázolt számok csak egy számot jelentenek k. Például azért k= 6 ismert:

; .

A szám rögzítésének pontosságát a megrendelések száma határozza meg m mantici. Ha a szám rangjainak száma megfordítja a sáskába beírt rangok számát, akkor a szám felfelé kerekítve lesz a kívánt számra. A két szám ilyen módon történő kerekítésének szabálya a következő: ha a látható szórész elsőbbségi sorrendje egy, akkor a sáska legfiatalabb rendjéhez adunk egyet. Ilyen lekerekített abszolút szám mellett a sáska képe nem haladja meg a fiatal sáska kategória együtthatójának felét, amelyet figyelembe vettünk, tobto:

Vrakhovuchi, hogy a sáska rekordjának normál formájában nem lehet kevesebb 0,5-nél, nyilvánvaló η hiba:

Például mikor m= 24 maєmo:

.

A mai digitális rendszerekben a számok lebegő kómával történő megjelenítésére egy sor dozhinoy chotiri bájtot használnak. 23 kisüléssel állítsa be a sáskát, és 7 - a sorrend nagyságát. A megjelenített számok tartománya ± 2 127-ről ± 2-127-re van meghajtva.

A számok lebegő kómával történő variálása kibővíti és leegyszerűsíti a számok ábrázolását, de az ilyen számokkal végzett műveletek sokoldalúsága jobban együttműködik, alacsonyabb a rögzített kómával rendelkező számoknál.

A racionális számok rendszerének kifejező geometriai ábrázolása a következőképpen érhető el.

Rizs. 8. Számtengely

Valamilyen egyenesen, a "numerikus tengelyen" jelöljük a szakaszt 0-tól 1-ig (8. ábra). Ez beállítja az egységszegmens hosszát, amely általában tetszőlegesen választható. A pozitív és negatív egész számokat ezután a számtengelyen egyenlő távolságra lévő pontok halmazaként ábrázoljuk, vagyis a pozitív számokat a 0 ponttól jobbra, a negatívakat pedig balra jelöljük. A nevezővel ellátott számok ábrázolásához mindegyiket elosztjuk. a kapott egységnyi hosszúságú szegmensekből egyenlő részekre; Az osztási pontok nevezővel rendelkező törteket jelentenek. Ha ezt az összes természetes számnak megfelelő értékekre tesszük, akkor minden racionális számot a numerikus tengely valamely pontja ábrázol. Egyetértünk abban, hogy ezeket a pontokat "racionálisnak" nevezzük; általában a "racionális szám" és a "racionális pont" kifejezéseket szinonimákként használják.

Az I. fejezet 1. §-ában meghatározásra került a természetes számok egyenlőtlenségi relációja. A számtengelyen ez az arány a következőképpen jelenik meg: ha természetes szám A kisebb, mint egy B természetes szám, akkor az A pont a B ponttól balra fekszik. Mivel a megadott geometriai összefüggés bármely racionális pontpárra létrejön, természetes, hogy megpróbáljuk általánosítani az aritmetikai egyenlőtlenségi összefüggést egy ilyen módja annak, hogy megőrizzük ezt a geometriai sorrendet a vizsgált pontoknál. Ez akkor lehetséges, ha elfogadjuk a következő definíciót: azt mondjuk, hogy az A racionális szám kisebb, mint racionális szám vagy hogy a B szám nagyobb, mint a szám, ha a különbség pozitív. Ebből (for ) következik, hogy a pontok (számok) között azok, amelyek

egyidejűleg Minden ilyen pontpárt a köztük lévő összes ponttal együtt szegmensnek (vagy szakasznak) nevezünk és jelöljük (a közbenső pontok halmazát pedig önmagában intervallumnak (vagy intervallumnak) nevezzük, jelöljük

Egy tetszőleges A pont távolságát a 0 origótól, amelyet pozitív számnak tekintünk, A abszolút értékének nevezzük, és szimbólummal jelöljük.

Az "abszolút érték" fogalmát a következőképpen definiáljuk: ha , akkor ha akkor Nyilvánvaló, hogy ha a számok előjele megegyezik, akkor az egyenlőség akkor igaz, ha különböző jelek, azután . A két eredményt összevonva az általános egyenlőtlenséghez jutunk

amely a jelektől függetlenül érvényes

Egy alapvető fontosságú tényt fejez ki a következő állítás: a racionális pontok mindenütt sűrűn helyezkednek el a számegyenesen. Ennek az állításnak az a jelentése, hogy minden intervallumon belül, bármilyen kicsi is az, vannak racionális pontok. A kimondott állítás érvényességének ellenőrzéséhez elegendő egy akkora számot felvenni, hogy a ( intervallum kisebb legyen, mint az adott intervallum ; akkor az űrlap legalább egy pontja ezen az intervallumon belül lesz. Tehát van a számtengelyen nincs olyan intervallum (még a legkisebb, ami elképzelhető), amelyen belül ne lennének racionális pontok. Ebből következik egy további következmény: minden intervallum végtelen számú racionális pontot tartalmaz. Valóban, ha egy intervallum tartalmazna csak véges sok racionális pont, akkor a két szomszédos ilyen pont által alkotott intervallumon belül már nem lennének racionális pontok, és ez ellentmond a most bebizonyítottaknak.