És az aranymetszés. Aranymetszés - matematika - szakrális geometria - tudomány - cikkek katalógusa - a világ rózsája

Az aranymetszet módszerét mindenki jól ismeri, aki a térben tárgyak geometriájával találkozik. Művészetben, belsőépítészetben és építészetben használják. Még a múlt században is olyan népszerűnek bizonyult az aranymetszés, hogy most a világ misztikus víziójának sok támogatója más nevet adott neki - az univerzális harmonikus szabálynak. Ennek a módszernek a jellemzőit érdemes részletesebben megvizsgálni. Ez segít kideríteni, miért érdekli egyszerre több tevékenységi terület - művészet, építészet, design.

Az egyetemes arány lényege

Az aranymetszet elve csak a számok függősége. Sokan azonban elfogultak iránta, és némi misztikus erőt tulajdonítanak ennek a jelenségnek. Az ok a szabály szokatlan tulajdonságaiban rejlik:

• Sok élő tárgy törzsének és végtagjainak arányai közel állnak az aranymetszet jelzéseihez.
• Az 1,62 vagy 0,63 függőségek csak élőlényekre határozzák meg a méretarányokat. Az élettelen természettel kapcsolatos tárgyak nagyon ritkán felelnek meg a harmonikus szabály jelentésének.
• Az élőlények testfelépítésének arany arányai számos biológiai faj túlélésének elengedhetetlen feltétele.

Az aranymetszés a különböző állatok testének felépítésében, fatörzsekben, cserjék gyökerében található. Ezen elv egyetemességének hívei azt próbálják bebizonyítani, hogy jelentése létfontosságú az élővilág képviselői számára.

Az aranymetszet módszerét egy csirke tojás képével magyarázhatja. A héj súlypontjától egyenlő távolságra lévő pontjaitól származó szegmensek aránya megegyezik az aranymetszet. A madarak túlélésének legfontosabb mutatója a tojás alakja, nem pedig a héj erőssége.

Fontos! Az aranymetszés kiszámítása számos élő tárgy mérése alapján történik.

Az aranymetszés eredete

Az ókori Görögország matematikusai tudtak az egyetemes szabályról. Pitagorasz és Eukleidész használta. A híres építészeti remekműben - a Kheopsz piramisban - a fő rész méreteinek és az oldalak hosszának aránya, valamint a domborművek és dekoratív részletek megfelelnek a harmonikus szabálynak.

Az aranymetszet módszerét nemcsak az építészek, hanem a művészek is átvették. A harmonikus arányok rejtélyét az egyik legnagyobb rejtélynek tartották.

Az egyetemes geometriai arányt először Luca Pacioli ferences szerzetes dokumentálta. Matematikai képességei kiválóak voltak. Az aranymetszet széles körben ismertté vált Zeising aranymetszetre vonatkozó eredményeinek közzététele után. Tanulmányozta az emberi test arányait, ősi szobrokat, növényeket.

Hogyan számolták ki az aranymetszést?

Ahhoz, hogy megértsük, mi az aranymetszés, a szegmensek hosszán alapuló magyarázat segít. Például egy nagy belsejében több kicsi is van. Ekkor a kis szakaszok hosszát a nagy szegmens teljes hosszához viszonyítjuk 0,62-vel. Egy ilyen definíció segít kitalálni, hogy egy bizonyos vonal hány részre osztható úgy, hogy megfeleljen a harmonikus szabálynak. A módszer használatának másik előnye, hogy megtudhatja, hogy mekkora legyen a legnagyobb szegmens és a teljes objektum hosszának aránya. Ez az arány 1,62.

Az ilyen adatok a mért objektumok arányaiként ábrázolhatók. Először empirikusan szelektálva keresték meg őket. Mostanra azonban ismertek a pontos arányok, így nem lesz nehéz ezeknek megfelelően objektumot építeni. Az aranymetszés a következő módokon érhető el:

• Szerkesszünk derékszögű háromszöget. Vágja szét az egyik oldalát, majd rajzoljon merőlegeseket metszőívekkel. A számítások elvégzésekor a szegmens egyik végéből merőlegest kell építeni, amely megegyezik a hosszának felével. Ezután egy derékszögű háromszög készül el. Ha megjelöl egy pontot a hipotenuszon, amely megmutatja a merőleges szakasz hosszát, akkor a vonal többi részével megegyező sugár kétfelé vágja az alapot. A kapott vonalak az aranymetszés szerint lesznek egymással kapcsolatban.
• Az univerzális geometriai értékeket más módon is megkapják - a Durer-pentagram felépítésével. Ő egy körben elhelyezett csillag. 4 szegmenst tartalmaz, amelyek hossza megfelel az aranymetszet szabályának.
• Az építészetben a harmonikus arányt módosított formában alkalmazzák. Ehhez egy derékszögű háromszöget kell felosztani a hipotenusz mentén.

Fontos! Az aranymetszés módszer klasszikus koncepciójához képest az építész változat 44:56 arányú.

Ha a grafikai harmonikus szabály hagyományos értelmezésében 37:63-ra számították, akkor építészeti szerkezeteknél gyakrabban 44:56-ot használtak. Ez annak köszönhető, hogy sokemeletes épületeket kell építeni.

Az aranymetszés titka

Ha az élő tárgyak esetében az emberek és állatok testének arányaiban megnyilvánuló aranymetszés a környezethez való alkalmazkodás igényével magyarázható, akkor az optimális arányok szabályának alkalmazása a XII. házakat építeni új volt.

Az ókori Görögország idejéből fennmaradt Parthenont aranymetszet módszerrel állították fel. A középkori nemesek számos kastélya a harmonikus szabálynak megfelelő paraméterekkel készült.

Aranymetszés az építészetben

A számos, máig fennmaradt ókori épület igazolja, hogy a középkori építészek ismerik a harmonikus szabályt. A templomok, jelentős középületek, királyi személyek rezidenciáinak építésekor nagyon jól látható a harmonikus arány fenntartásának törekvése.

Például a Notre Dame-székesegyházat úgy építették, hogy sok szakasza megfelel az aranymetszet szabályának. Számos 18. századi építészeti alkotás található, amelyek ennek a szabálynak megfelelően készültek. A szabályt sok orosz építész is alkalmazta. Köztük volt M. Kazakov, aki ingatlanok és lakóépületek projektjeit készített. Ő tervezte a Szenátus épületét és a Golitsin kórházat.

Természetesen az ilyen arányú házakat még az aranymetszet-szabály felfedezése előtt emelték. Ilyen épületek közé tartozik például a Nerl-i könyörgés temploma. Az épület szépsége még titokzatosabbá válik, tekintettel arra, hogy a könyörgő templom épülete a XVIII. Az épület azonban a helyreállítás után nyerte el modern megjelenését.

Az aranymetszésről szóló írásokban megemlítik, hogy az építészetben a tárgyak észlelése attól függ, hogy ki figyel. Az aranymetszet felhasználásával kialakított arányok adják a szerkezet részeinek egymáshoz viszonyított leglazább arányát.

Számos, az egyetemes szabálynak megfelelő épület szembetűnő képviselője a Parthenon, a Kr.e. V. században emelt építészeti emlék. e. A Parthenon a kisebb homlokzatokon nyolc, a nagyobb homlokzatokon tizenhét oszloppal van elrendezve. A templom nemes márványból épült. Emiatt a színezés használata korlátozott. Az épület magassága 0,618 hosszra vonatkozik. Ha a Parthenont az aranymetszet arányai szerint osztja fel, akkor a homlokzat bizonyos párkányait kapja.

Mindezekben a szerkezetekben egy dolog közös - a formák kombinációjának harmóniája és a kiváló kivitelezési minőség. Ez a harmonikus szabály használatának köszönhető.

Az aranymetszés fontossága az ember számára

Az ókori épületek és középkori házak építészete meglehetősen érdekes a modern tervezők számára. Ennek oka a következő okok:

• A házak eredeti kialakításának köszönhetően megelőzheti a bosszantó kliséket. Minden ilyen épület építészeti remekmű.
• A szabály tömeges alkalmazása szobrok és szobrok díszítésére.
• A harmonikus arányok betartásának köszönhetően fontosabb részletek vonzzák a tekintetet.

Fontos! A középkori építészek az építési projektek és a külső megjelenés kialakítása során univerzális arányokat alkalmaztak, az emberi érzékelés törvényei alapján.

Ma a pszichológusok arra a következtetésre jutottak, hogy az aranymetszés elve nem más, mint egy emberi reakció a méretek és formák bizonyos arányára. Az egyik kísérletben egy csoport alanyot arra kértek, hogy hajtsanak össze egy papírlapot úgy, hogy az oldalak optimális arányban legyenek. 100-ból 85 eredménynél az emberek szinte pontosan a harmonikus szabály szerint hajtogatták a lapot.

A modern tudósok szerint az aranymetszet mutatói inkább a pszichológia területére vonatkoznak, mintsem a fizikai világ törvényeit jellemzik. Ez megmagyarázza, miért van iránta ekkora érdeklődés a csalók részéről. Amikor azonban e szabály szerint építenek tárgyakat, az ember kényelmesebben érzékeli azokat.

Az aranymetszés használata a tervezésben

A magánházak építésénél egyre gyakrabban alkalmazzák az univerzális arány alkalmazásának elvét. Különös figyelmet fordítanak a szerkezet optimális arányainak betartására. Nagy figyelmet fordítanak a figyelem megfelelő elosztására a házban.

Az aranymetszet modern értelmezése már nem csak a geometria és a forma szabályaira utal. A harmonikus arányok elve ma már nemcsak a homlokzati részletek méreteinek, a helyiségek alapterületének vagy az oromzatok hosszának engedelmeskedik, hanem a belső kialakításhoz használt színpalettának is.

Sokkal könnyebb harmonikus szerkezetet építeni moduláris alapon. Sok részleg és helyiség ebben az esetben külön blokkként működik. Tervezésük szigorúan a harmonikus szabály szerint történik. Egy épületet különálló modulokból álló készletként felállítani sokkal könnyebb, mint egyetlen dobozt létrehozni.

Sok vidéki házak építésével foglalkozó cég a projekt létrehozásakor követi a harmonikus szabályt. Ez lehetővé teszi a vásárlók számára, hogy azt a benyomást keltsék, hogy az épület szerkezetét részletesen kidolgozták. Az ilyen házakat általában a legharmonikusabbnak és legkényelmesebbnek mondják. A helyiségek optimális megválasztásával a lakók lelkileg nyugodtnak érzik magukat.

Ha a házat a harmonikus arányok figyelembevétele nélkül építették, akkor olyan elrendezést hozhat létre, amely a falméretek arányát tekintve közel 1: 1,61 lesz. Ehhez további válaszfalakat helyeznek el a szobákban, vagy átrendezik a bútorokat.

Hasonlóképpen az ajtók és ablakok méreteit úgy változtatják meg, hogy a nyílás szélessége 1,61-szer kisebb legyen, mint a magassági érték.

Nehezebb a színek kiválasztása. Ebben az esetben megfigyelheti az aranymetszet egyszerűsített értékét - 2/3. A fő színháttérnek a szoba területének 60% -át kell elfoglalnia. Az árnyékoló árnyék a helyiség 30%-át foglalja el. A fennmaradó felületet egymáshoz közeli tónusokkal festik át, javítva a kiválasztott szín érzékelését.

A szobák belső falait vízszintes sáv tagolja. 70 cm-re található a padlótól. A bútorok magasságának összhangban kell lennie a falak magasságával. Ez a szabály vonatkozik a hosszúságok elosztására is. Például egy kanapénak legalább a fal hosszának 2/3-ának kell lennie. A szoba területének, amelyet bútorok foglalnak el, szintén bizonyos értékkel kell rendelkezniük. Ez a teljes helyiség teljes területére vonatkozik: 1:1,61.

Az aranymetszés csak egy szám jelenléte miatt a gyakorlatban nehezen alkalmazható. Ezért. Harmonikus épületeket tervezek, Fibonacci számsort használok. Ez sokféle lehetőséget kínál az épületrészletek formáira és arányaira. A Fibonacci-számok sorozatát arany számnak is nevezik. Minden érték szigorúan megfelel egy bizonyos matematikai függőségnek.

A Fibonacci sorozat mellett egy másik tervezési módszert is alkalmaznak a modern építészetben - a Le Corbusier francia építész által lefektetett elvet. A módszer kiválasztásakor a kiindulási mértékegység a ház tulajdonosának magassága. Ezen mutató alapján számítják ki az épület és a belső tér méreteit. Ennek a megközelítésnek köszönhetően a ház nemcsak harmonikus, hanem egyéniséget is nyer.

Bármely belső tér teljesebb megjelenést kölcsönöz, ha párkányokat használ benne. Univerzális arányok használatakor kiszámíthatja a méretét. Az optimális mutatók 22,5, 14 és 8,5 cm Az eresz felszerelése az aranymetszet szabályai szerint történik. A díszítőelem kis oldalának kapcsolódnia kell a nagyobb oldalhoz, ahogyan a két oldal együttes értékéhez. Ha a nagy oldal egyenlő 14 cm-rel, akkor a kicsinek 8,5 cm-esnek kell lennie.

Kényelmet adhat a helyiségnek, ha a falfelületeket gipsztükrök segítségével osztja el. Ha a falat szegély választja el, akkor a párkánycsík magasságát le kell vonni a fennmaradó nagyobb falrészből. Az optimális hosszúságú tükör létrehozásához a járdaszegélytől és a párkánytól ugyanilyen távolságot kell visszahúzni.

Következtetés

Az aranymetszet elve szerint épült házak valóban nagyon kényelmesek. Az ilyen épületek építésének ára azonban meglehetősen magas, mivel az építőanyagok ára 70% -kal nő az atipikus méretek miatt. Ez a megközelítés egyáltalán nem új keletű, hiszen a múlt századi házak többsége a tulajdonosok paraméterei alapján jött létre.

Az aranymetszet módszer építési és tervezési alkalmazásának köszönhetően az épületek nem csak kényelmesek, de tartósak is. Harmonikusnak és vonzónak tűnnek. A belső tér is univerzális arány szerint díszített. Ez lehetővé teszi a hely okos felhasználását.

Az ilyen szobákban az ember a lehető legkényelmesebben érzi magát. Ön is építhet házat az aranymetszet elve alapján. A legfontosabb dolog a szerkezet elemeinek terhelésének kiszámítása és a megfelelő anyagok kiválasztása.

Az aranymetszet módszerét a belsőépítészetben alkalmazzák, bizonyos méretű díszítőelemeket helyeznek el a helyiségben. Ez lehetővé teszi a szoba kényelmét. A színmegoldásokat is az univerzális harmonikus arányoknak megfelelően választják ki.

ARANYMETSZÉS

1. Bevezetés 2 . Arany arány – Harmonikus arány
3 . A második aranymetszés
4. Zo lótusz háromszög (pentagram)
5 . Az aranymetszet története 6 . Aranymetszés és szimmetria 7. Fibonacci sorozat 8 . Általánosított aranymetszés 9 . A természetben való képződés alapelvei 1 0 . Az emberi test és az aranymetszés 1 1 . Arany arány a szobrászatban 1 2 . Aranymetszés az építészetben 1 3 . Az aranymetszés a zenében 1 4 . Az aranymetszés a költészetben 1 5 . Az aranymetszés betűtípusokban és háztartási cikkekben 1 6 . A környezet optimális fizikai paraméterei 1 7 . Az aranymetszés a festészetben 1 8 . Az aranymetszés és a képfelfogás 19. Az aranymetszés fotókon 2 0 . Arany arány és tér 2 1 . 2. következtetés 2 . Bibliográfia
BEVEZETÉS Az ősidők óta az embereket aggasztja a kérdés, hogy az olyan megfoghatatlan dolgok, mint a szépség és a harmónia alávethetők-e bármilyen matematikai számításnak.. Természetesen a szépség minden törvényét nem lehet néhány képletbe foglalni, de a matematikát tanulmányozva felfedezhetjük a szépség néhány fogalmát.- aranymetszés. Feladatunk, hogy kiderítsük, mi az aranymetszés, és megállapítsuk, hol találta meg az emberiség az arany felhasználását. szakasz. Valószínűleg felfigyelt arra, hogy a környező valóság tárgyait és jelenségeit másként kezeljük. A rendetlenséget, az alaktalanságot, az aránytalanságot csúnyának érzékeljük, és visszataszító benyomást keltenek. És azokat a tárgyakat és jelenségeket, amelyeket mérték, célszerűség és harmónia jellemez, szépnek érzékeljük, és csodálatot, örömet, felvidítást keltenek bennünk. Az ember tevékenységében folyamatosan találkozik olyan tárgyakkal, amelyek alapjául az aranymetszés szolgál.Vannak dolgok, amiket nem lehet megmagyarázni. Tehát odajössz egy üres padra, és leülsz rá. Hol fogsz ülni - középen? Vagy talán a széléről? Nem, valószínűleg nem az egyik vagy a másik. Úgy fog ülni, hogy a pad egyik részének a másikhoz viszonyított aránya a testéhez képest körülbelül 1,62 legyen. Egyszerű dolog, teljesen ösztönös... Leülve egy padra "aranymetszés"-et produkáltál. Az aranymetszés ismert volt az ókori Egyiptomban és Babilonban, Indiában és Kínában. A nagy Pythagoras titkos iskolát hozott létre, ahol az "aranymetszet" misztikus lényegét tanulmányozták. Eukleidész alkalmazta, létrehozta geometriáját, Phidias pedig halhatatlan szobrait. Platón azt mondta, hogy az univerzum az "aranymetszet" szerint van elrendezve. Arisztotelész pedig megtalálta az "aranymetszet" megfelelését az etikai törvénynek. Az "aranymetszet" legmagasabb harmóniáját Leonardo da Vinci és Michelangelo hirdeti majd, mert a szépség és az "aranymetszet" egy és ugyanaz. A keresztény misztikusok pedig az "aranymetszet" pentagramjait rajzolják kolostoraik falára, menekülve az Ördög elől. Ugyanakkor a tudósok - Pacho-ból l és Einstein előtt - keresni fognak, de soha nem találják meg a pontos jelentését. Végtelen sorozat a tizedesvessző után - 1,6180339887... Furcsa, titokzatos, megmagyarázhatatlan dolog: ez az isteni arány misztikusan elkísér minden élőlényt. Az élettelen természet nem tudja, mi az "aranymetszet". De biztosan látni fogja ezt az arányt a tengeri kagylók íveiben, virágok és bogarak formájában, és egy gyönyörű emberi testben. Minden élő és minden szép - minden engedelmeskedik az isteni törvénynek, melynek neve "aranymetszés". Mi tehát az "aranymetszet"?.. Mi ez az ideális, isteni kombináció? Talán ez a szépség törvénye? Vagy ez még mindig misztikus titok? Tudományos jelenség vagy etikai elv? A válasz még mindig ismeretlen. Pontosabban - nem, ez ismert. Az "aranymetszés" egyszerre az, a másik és a harmadik. Csak nem külön, de ugyanakkor... És ez az igazi rejtélye, nagy titka. Valószínűleg nehéz megbízható mércét találni magának a szépségnek az objektív értékelésére, és a logika önmagában itt nem segít. Itt azonban segíteni fog azoknak a tapasztalata, akiknek a szépség keresése volt az élet értelme, akik ezt hivatásuknak tették. Először is ezek a művészet emberei, ahogy mi nevezzük őket: művészek, építészek, szobrászok, zenészek, írók. De ezek is az egzakt tudományok emberei, - mindenekelőtt a matematikusok. A szemben jobban bízva, mint más érzékszervekben, az ember mindenekelőtt megtanulta megkülönböztetni a körülötte lévő tárgyakat alakja alapján. A tárgy formája iránti érdeklődést előidézheti a létszükséglet, vagy a forma szépsége. A szimmetria és az aranymetszés kombinációján alapuló forma hozzájárul a legjobb vizuális érzékeléshez, valamint a szépség- és harmóniaérzet megjelenéséhez. Az egész mindig részekből áll, a különböző méretű részek bizonyos viszonyban állnak egymással és az egésszel.Az aranymetszet elve az egész és részei szerkezeti és funkcionális tökéletességének legmagasabb megnyilvánulása a művészetben, a tudományban, a technikában és a természetben. ARANY SZEKCIÓ - HARMONIKUS ARÁNY A matematikában az arány két arány egyenlősége: a: b = c: d. Az AB szakasz két részre osztható a következő módokon: -- két egyenlő részre - AB: AC = AB: BC; -- két egyenlőtlen részre bármilyen arányban (az ilyen részek nem alkotnak arányokat); -- így amikor AB: AC = AC: BC. Az utolsó az aranyosztály. Az aranymetszet egy szakasznak olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz ugyanúgy viszonyul a nagyobb részhez, mint maga a nagyobb rész a kisebbhez; vagy más szóval a kisebb szegmens a nagyobbhoz kapcsolódik, mint a nagyobb mindenhez a: b = b: c vagy c: b = b: a. Az aranymetszés gyakorlati megismerése azzal kezdődik, hogy egy egyenes szakaszt aranymetszetben osztunk el egy iránytű és vonalzó segítségével. A B pontból visszaállítjuk az AB felével egyenlő merőlegest. A kapott C pontot egy egyenes köti össze az A ponttal. Az eredményül kapott egyenesen egy BC szakaszt ábrázolunk, amely a D ponttal végződik. Az AD szakasz átkerül az AB egyenesre. A kapott E pont osztja az AB szakaszt az aranymetszés arányában. Az aranymetszés szegmenseit végtelen AE \u003d 0,618 ... törtként fejezzük ki, ha az AB-t egységnek vesszük, BE \u003d 0,382 ... Gyakorlati okokból a 0,62 és 0,38 hozzávetőleges értékei gyakran használt. Ha az AB szakaszt 100 résznek vesszük, akkor a szakasz legnagyobb része 62, a kisebbé 38 rész. Az aranymetszet tulajdonságait a következő egyenlet írja le: x2 - x - 1 = 0. Ennek az egyenletnek a megoldása:

Az aranymetszés tulajdonságai e szám köré romantikus titokzatos aurát és szinte misztikus generációt teremtettek. Például egy szabályos ötágú csillagban minden szegmens el van osztva egy szegmenssel, amely aranymetszéssel metszi őket (azaz a kék és a zöld, a piros és a kék, a zöld és a lila aránya 1,618)
MÁSODIK ARANY SZEKCIÓ A „Fatherland” bolgár magazin közzétette Tsvetan Tsekov-Karandash cikkét „A második aranymetszetről”, amely a fő részből következik, és egy másik 44:56 arányt ad. Ez az arány az építészetben található. A felosztás a következőképpen történik. Az AB szakaszt az aranymetszet arányában kell felosztani. A C pontból a merőleges CD visszaáll. Az AB sugár a D pont, amelyet egy egyenes köt össze az A ponttal. Az ACD derékszög felezve van. A C pontból egy egyenest húzunk az AD egyenessel való metszéspontig. Az E pont az AD szakaszt 56:44 arányban osztja fel. Az ábra a második aranymetszet vonalának helyzetét mutatja. Középen helyezkedik el az arany metszetvonal és a téglalap középvonala között. ARANY HÁROMSZÖG A növekvő és csökkenő sorok aranymetszésének szegmenseinek megtalálásához használhatja a pentagramot. Pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell építeni. Építésének módját Albrecht Dürer német festő és grafikus dolgozta ki. Legyen O a kör középpontja, A egy pont a körön, E pedig az OA szakasz felezőpontja. Az O pontban emelt OA sugárra merőleges metszi a kört a D pontban. Iránytűvel jelölje be az átmérőn a CE = ED szakaszt. Egy szabályos ötszög körbe írt oldalának hossza DC. A körön félretesszük a DC szakaszokat, és öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásáért. Összekapcsoljuk az ötszög sarkait egy átlón keresztül, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekapcsolt szegmensekre. Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszög. Oldalai felül 36°-os szöget zárnak be, az oldalra fektetett alap pedig az aranymetszés arányában osztja szét. Rajzolj AB egyenest. Az A pontból háromszor lerakunk rá egy tetszőleges méretű O szakaszt, a kapott P ponton keresztül merőlegest húzunk az AB egyenesre, a merőlegesen a P pont jobb és bal oldalára O szakaszokat. A d és d1 pontokat egyenesek kötik össze az A ponttal. A dd1 szakaszt az Ad1 egyenesre helyezzük, így megkapjuk a C pontot. Az Ad1 egyenest az aranymetszés arányában osztotta fel. Az Ad1 és dd1 vonalak egy "arany" téglalap felépítésére szolgálnak. AZ ARANYSZAKCIÓ TÖRTÉNETE
Általánosan elfogadott, hogy az aranyfelosztás fogalmát Pythagoras, egy ókori görög filozófus és matematikus vezette be a tudományos használatba. Van egy olyan feltételezés, hogy Pythagoras az egyiptomiaktól és babilóniaiaktól kölcsönözte tudását az arany felosztásról. Valójában a Kheopsz piramis arányai, a templomok, a háztartási cikkek és a Tutanhamon sírjából származó dekorációk arra utalnak, hogy az egyiptomi kézművesek az arany felosztás arányait alkalmazták létrehozásukkor. Le Corbusier francia építész megállapította, hogy I. Seti fáraó Abydosban lévő templomának domborművében és a Ramszesz fáraót ábrázoló domborműben az alakzatok arányai megfelelnek az aranyoszlop értékeinek. A nevéhez fűződő sírboltból származó fadeszka domborművén ábrázolt Khesira építész mérőműszereket tart a kezében, amelyekben az arany osztás arányai rögzítve vannak. A görögök képzett geométerek voltak. Még a számtant is tanították gyermekeiknek geometriai alakzatok segítségével. A Pythagoras négyzete és ennek a négyzetnek az átlója volt az alapja a dinamikus téglalapok készítésének. Platón is tudott az aranyosztásról. A pitagorasz Tímea Platón azonos nevű dialógusában ezt mondja: „Lehetetlen, hogy két dolog tökéletesen összekapcsolódjon egy harmadik nélkül, hiszen meg kell jelennie közöttük egy olyan dolognak, ami összetartja őket. Ezt a legjobban az arányokkal lehet megtenni, mert ha három számnak az a tulajdonsága, hogy az átlag így a kisebbnek, mint a nagyobb az átlagnak, és fordítva, a kisebb az átlagnak, mint az átlag a nagyobbnak, akkor az utolsó és az első lesz a középső, és a középső az első és az utolsó. mivel ugyanaz lesz, egy egészet alkot." Platón kétféle háromszögből építi fel a földi világot: egyenlő szárú és nem egyenlő szárú. A legszebb derékszögű háromszögnek azt tartja, amelyben a befogó kétszer a legkisebb a lábak közül (egy ilyen téglalap fele egyenlő oldalú, a babiloniak főalakja, aránya 1:3 1/2 , amely körülbelül 1/25-tel különbözik az aranymetszéstől, és Thymerding az "aranymetszés riválisának" nevezi). A háromszögek segítségével Platón négy szabályos poliédert épít fel, összekapcsolva azokat a négy földi elemmel (föld, víz, levegő és tűz). És az öt létező szabályos poliéder közül csak az utolsó – a dodekaéder, amelynek mind a tizenkét lapja szabályos ötszög – állítja magát a mennyei világ szimbolikus képének.

Ikozaéder és dodekaéder A dodekaéder (vagy ahogy feltételezték, maga az Univerzum, a négy elem e kvintesszenciája, amelyet rendre a tetraéder, az oktaéder, az ikozaéder és a kocka szimbolizál) felfedezésének megtiszteltetése Hippasuszt illeti, aki később hajótörésben halt meg. Ez a figura valóban megragadja az aranymetszet számos kapcsolatát, így az utóbbi kapta a főszerepet a mennyei világban, amelyhez később Luca Pacioli kistestvér is ragaszkodott. A Parthenon ókori görög templomának homlokzatán arany arányok vannak. Ásatásai során iránytűkre bukkantak, amelyeket az ókori világ építészei és szobrászai használtak. A pompei iránytű (Nápolyi Múzeum) is tartalmazza az arany osztás arányait. Az ókori irodalomban, amely eljutott hozzánk, az aranyfelosztást először Eukleidész „Kezdeteiben” említették. A „Kezdetek” 2. könyvében az aranyfelosztás geometriai felépítése szerepel. Eukleidész után Hypsicles (Kr. e. 2. század), Pappus (Kr. u. 3. század) és mások foglalkoztak az aranyfelosztással, akik a középkori Európában Eukleidész „Kezdetek” című művének arab fordításaiból ismerkedtek meg az aranyfelosztással. J. Campano navarrai fordító (3. század) kommentálta a fordítást. Az arany hadosztály titkait féltékenyen őrizték, szigorú titokban tartották. Csak a beavatottak ismerték őket. A középkorban a pentagramot démonizálták (ahogy az ókori pogányságban sok minden isteninek számított), és az okkult tudományokban talált menedéket. A reneszánsz azonban ismét napvilágra hozza a pentagramot és az aranymetszetet is. Tehát az emberi test felépítését leíró séma széles körben elterjedt a humanizmus érvényesülésének korszakában: Leonardo da Vinci is többször folyamodott egy ilyen képhez, lényegében egy pentagramot reprodukálva. Értelmezése: az emberi testnek isteni tökéletessége van, mert a benne rejlő arányok megegyeznek a fő égi alakkal. Leonardo da Vinci művész és tudós látta, hogy az olasz művészek sok tapasztalati tapasztalattal, de kevés tudással rendelkeznek. Megfogant és elkezdett könyvet írni a geometriáról, de ekkor megjelent Luca Pacioli szerzetes könyve, és Leonardo feladta az ötletét. A kortársak és a tudománytörténészek szerint Luca Pacioli igazi fényes volt, a legnagyobb matematikus Olaszországban Fibonacci és Galileo között. Luca Pacioli Piero della Francesca művész tanítványa volt, aki két könyvet írt, amelyek közül az egyik a Perspektíva a festészetben címet viselte. A leíró geometria megalkotójának tartják.

Luca Pacioli nagyon is tisztában volt a tudomány fontosságával a művészet számára. 1496-ban Moreau hercegének meghívására Milánóba érkezett, ahol matematikáról tartott előadásokat. Leonardo da Vinci akkoriban a milánói Moro udvarban is dolgozott. 1509-ben Velencében adták ki Luca Pacioli „Az isteni arányról” című könyvét (De divina ratione, 1497, Velencében, 1509-ben) briliáns kivitelezésű illusztrációkkal, ezért is gondolják, hogy Leonardo da Vinci készítette. A könyv az aranymetszés lelkes himnusza volt. Csak egy ilyen arány van, és az egyediség Isten legmagasabb tulajdonsága. Megtestesíti a szentháromságot. Ez az arány nem fejezhető ki elérhető számmal, rejtett és titkos marad, és maguk a matematikusok is irracionálisnak nevezik (így Istent nem lehet szavakkal sem meghatározni, sem megmagyarázni). Isten soha nem változik és képvisel mindent mindenben és minden egyes részében, így az aranymetszés minden folytonos és meghatározott mennyiségre (függetlenül attól, hogy nagy vagy kicsi) ugyanaz, nem változtatható meg, vagy más módon nem érzékelhető az elmével. Isten a mennyei erényt, más néven ötödik szubsztanciának hívta létre, segítségével további négy egyszerű testet (négy elemet - föld, víz, levegő, tűz), és ezek alapján hívott létre minden más természeti dolgot; így a mi szakrális arányunk, Platón a Tímeában, formai létet ad magának az égnek, mert a dodekaédernek nevezett test formájának tulajdonítják, amely nem épülhet fel az aranymetszet nélkül. Ezek Pacioli érvei.
Leonardo da Vinci is nagy figyelmet fordított az aranyosztály tanulmányozására. Szabályos ötszögekből kialakított sztereometrikus test metszeteit készítette, és minden alkalommal arany osztású téglalapokat kapott. Ezért adta ennek a felosztásnak az aranymetszet nevet. Tehát továbbra is a legnépszerűbb. Ugyanakkor Észak-Európában, Németországban Albrecht Dürer ugyanezen a problémákon dolgozott. Felvázolja az arányokról szóló értekezés első tervezetének bevezetését. Durer írja. "Szükséges, hogy aki tudja, hogyan tanítsa meg másoknak, akiknek szükségük van rá. Erre vállalkoztam." Dürer egyik leveléből ítélve olaszországi tartózkodása alatt találkozott Luca Paciolival. Albrecht Dürer részletesen kidolgozza az emberi test arányainak elméletét. Dürer az aranymetszetnek fontos helyet tulajdonított arányrendszerében. Az ember magasságát arany arányban osztja fel az övvonal, valamint a leengedett kezek középső ujjainak hegyein keresztül húzott vonal, az arc alsó része - a száj stb. Ismert arányos iránytű Dürer. A 16. század nagy csillagásza Johannes Kepler az aranymetszetet a geometria egyik kincsének nevezte. Elsőként hívja fel a figyelmet az aranymetszés botanika (növénynövekedés és szerkezet) jelentőségére. Kepler úgy nevezte, hogy az aranymetszés önmagában folytatódik. „Oly módon van elrendezve – írta –, hogy ennek a végtelen aránynak a két alsó tagja összeadódik a harmadik taggal, és bármely két utolsó tag, ha összeadjuk, a következő ciklusban, és ugyanaz az arány marad a végtelenségig." Az aranymetszés szegmenseinek sorozatának felépítése történhet mind a növekedés (növekvő sorozat), mind a csökkenés irányában (csökkenő sorozat). Ha egy tetszőleges hosszúságú egyenesen félretesszük az m szakaszt, akkor ezt követően félretesszük az M szakaszt. E két szegmens alapján felállítjuk a növekvő és a csökkenő sorok arany arányának szegmenseinek skáláját. A következő évszázadokban az aranymetszés szabálya akadémiai kánonná változott, és amikor idővel a művészetben harc kezdődött az akadémiai rutinnal, a küzdelem hevében "kidobták a gyermeket a vízzel együtt. " Az aranymetszet a 19. század közepén került újra „felfedezésre”. 1855-ben az aranymetszet német kutatója, Zeising professzor kiadta "Esztétikai kutatás" című munkáját. Zeisingnél pontosan az történt, ami megtörtént azzal a kutatóval, aki a jelenséget annak tekinti, más jelenségekkel nem kapcsolódva. Abszolutizálta az aranymetszet arányát, általánossá nyilvánítva a természet és a művészet minden jelenségére. Zeisingnek számos követője volt, de voltak olyan ellenzők is, akik az arányok tanát "matematikai esztétikának" nyilvánították. Zeising nagyszerű munkát végzett. Körülbelül kétezer emberi testet mért meg, és arra a következtetésre jutott, hogy az aranymetszés az átlagos statisztikai törvényt fejezi ki. A test köldökpont szerinti felosztása az aranymetszet legfontosabb mutatója. A férfi test arányai a 13:8 = 1,625 átlagos arányon belül ingadoznak, és valamivel közelebb állnak az aranymetszethez, mint a női test arányai, amelyekhez viszonyítva az arány átlagos értéke a 8 arányban fejeződik ki: 5 = 1,6. Újszülöttnél ez az arány 1:1, 13 évesen 1,6, 21 évesen pedig a férfié. Az aranymetszet arányai a test többi részéhez viszonyítva is megnyilvánulnak - a váll, az alkar és a kéz, a kéz és az ujjak hosszához képest. Zeising a görög szobrokon tesztelte elméletének érvényességét. Ő dolgozta ki a legrészletesebben Apollo Belvedere arányait. Görög vázák, különböző korok építészeti szerkezetei, növények, állatok, madártojások, zenei hangok, költői méterek kerültek kutatásra. Zeising meghatározta az aranymetszést, megmutatta, hogyan fejeződik ki vonalszakaszokban és számokban. Amikor megkaptuk a szegmensek hosszát kifejező ábrákat, Zeising látta, hogy ezek egy Fibonacci-sorozatot alkotnak, amely végtelenségig folytatható egyik és másik irányban. Következő könyve az „Aranyfelosztás, mint a természet és a művészet alapvető morfológiai törvénye” címet viselte. 1876-ban Oroszországban megjelent egy kis könyv, szinte röpirat, amely Zeising munkásságát ismertette. A szerző a Yu.F.V. kezdőbetűk alá menekült. Ebben a kiadásban egyetlen festmény sem szerepel. A XIX. század végén - a XX. század elején. rengeteg tisztán formalista elmélet jelent meg az aranymetszet művészeti és építészeti alkotásokban való használatáról. A formatervezés és a műszaki esztétika fejlődésével az aranymetszés törvénye kiterjedt az autók, bútorok stb. ARANYARÁNY ÉS SZIMMETRIA Az aranymetszés önmagában, külön-külön, a szimmetriával való kapcsolat nélkül nem tekinthető. A nagy orosz krisztallográfus G.V. Wulff (1863...1925) az aranymetszetet a szimmetria egyik megnyilvánulásának tartotta. Az aranyfelosztás nem az aszimmetria megnyilvánulása, a szimmetriával ellentétes dolog, a modern felfogás szerint az aranyfelosztás aszimmetrikus szimmetria. A szimmetria tudománya olyan fogalmakat foglal magában, mint a statikus és a dinamikus szimmetria. A statikus szimmetria a pihenést, az egyensúlyt, a dinamikus szimmetria pedig a mozgást, a növekedést jellemzi. Tehát a természetben a statikus szimmetriát a kristályok szerkezete képviseli, a művészetben pedig a békét, az egyensúlyt és a mozdulatlanságot. A dinamikus szimmetria aktivitást fejez ki, mozgást, fejlődést, ritmust jellemez, az élet bizonyítéka. A statikus szimmetriát egyenlő szegmensek, egyenlő nagyságok jellemzik. A dinamikus szimmetriát a szegmensek növekedése vagy csökkenése jellemzi, és ez egy növekvő vagy csökkenő sorozat aranymetszetének értékeiben fejeződik ki. FIBON SOR AF H És
A pisai Leonardo olasz matematikus szerzetes, ismertebb nevén Fibonacci neve közvetve összefügg az aranymetszet történetével. Sokat utazott keleten, megismertette Európát az arab számokkal. 1202-ben jelent meg Az abakusz könyve (Számolótábla) című matematikai munkája, amelyben az összes akkor ismert feladatot összegyűjtötték. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 stb. számok sorozata. Fibonacci sorozatként ismert. A számsor sajátossága, hogy minden tagja a harmadiktól kezdve egyenlő az előző két 2 + 3 = 5 összegével; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 stb., és a sorozat szomszédos számainak aránya megközelíti az arany osztás arányát. Tehát 21:34 = 0,617 és 34:55 = 0,618. Ezt az arányt az F szimbólum jelöli. Csak ez az arány - 0,618: 0,382 - ad egy egyenes szakasz folyamatos aranymetszetű felosztását, növelve vagy csökkentve a végtelenségig, amikor a kisebbik szegmens a nagyobbhoz kapcsolódik. a nagyobb mindenhez. Amint az alábbi ábrán látható, az ujjak mindegyik bütykének hossza F-arányban összefügg a következő bütyk hosszával. Ugyanez az összefüggés látható az összes ujjon és lábujjakon. Ez a kapcsolat valahogy szokatlan, mert az egyik ujj hosszabb, mint a másik, minden látható minta nélkül, de ez nem véletlen - ahogy az emberi testben sem véletlen minden. Az ujjakon lévő távolságok, amelyek A-tól B-ig C-től D-ig E-ig vannak jelölve, mind F arányban állnak egymással, csakúgy, mint az F-től G-től H-ig tartó ujjak phalangusai.
Vessen egy pillantást erre a béka csontvázára, és nézze meg, hogy az egyes csontok hogyan illeszkednek az F arányú modellhez, akárcsak az emberi testben.

ÁLTALÁNOS ARANYARÁNY A tudósok folytatták a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletének aktív fejlesztését. Yu. Matiyasevics Fibonacci számokkal megoldja a 10-et- Yu Hilbert problémája. Számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására létezik módszer a Fibonacci-számok és az aranymetszet segítségével. Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot. Az egyik vívmány ezen a területen az általánosított Fibonacci-számok és az általánosított aranymetszés felfedezése. Az általa felfedezett Fibonacci-sorozat (1, 1, 2, 3, 5, 8) és az általa felfedezett „bináris” súlysorok első ránézésre teljesen más. De a felépítésük algoritmusai nagyon hasonlóak egymáshoz: az első esetben minden szám az előző szám összege önmagával 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., a másodikban - ez a két előző szám összege 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Lehetséges általános matematikai képletet találni, mely "bináris" sorozatból és a Fibonacci-sorból? Vagy talán ez a képlet új numerikus halmazokat ad majd néhány új egyedi tulajdonsággal? Valóban, állítsunk be egy S numerikus paramétert, amely tetszőleges értéket vehet fel: 0, 1, 2, 3, 4, 5... az előzőtől S lépéssel elválasztva. Ha ennek a sorozatnak az n-edik tagját jelöljük? S (n), akkor megkapjuk az általános képletet? S(n) = ? S (n-1) +? S (n - S - 1). Nyilvánvalóan, ha S = 0, ebből a képletből egy "bináris" sorozatot kapunk, S = 1-vel - egy Fibonacci sorozatot, ahol S = 2, 3, 4. Új számsorok, amelyeket S-Fibonacci számoknak nevezünk. Általában az arany S-arány az arany S-metszet x egyenletének pozitív gyöke. S+1 - x S - 1 = 0. Könnyen kimutatható, hogy S = 0 esetén a szakasz felezését kapjuk, S = 1-nél pedig az ismerős klasszikus aranymetszetet. A szomszédos Fibonacci S-számok abszolút matematikai pontosságú arányai a határértékben esnek egybe az arany S-arányokkal! A matematikusok ilyen esetekben azt mondják, hogy az arany S-szelvények a Fibonacci S-számok numerikus invariánsai. Az arany S-szelvények természetben való létezését megerősítő tényeket a fehérorosz tudós, E.M. Soroko a "Rendszerek strukturális harmóniája" című könyvében (Minszk, "Tudomány és technológia", 1984). Kiderül például, hogy a jól tanulmányozott bináris ötvözetek csak akkor rendelkeznek speciális, kifejezett funkcionális tulajdonságokkal (hőstabil, kemény, kopásálló, oxidációálló stb.), ha a kiindulási komponensek fajsúlya egymással összefügg. arany S-arányok egyikével. Ez lehetővé tette a szerzőnek, hogy felállítson egy hipotézist, miszerint az arany S-szelvények az önszerveződő rendszerek numerikus invariánsai. Kísérletileg alátámasztva ez a hipotézis alapvető jelentőségű lehet a szinergetika – az önszerveződő rendszerekben zajló folyamatokat vizsgáló új tudományterület – fejlődésében. Az arany S-aránykódok segítségével bármely valós szám kifejezhető az arany S-arányok fokszámainak összegeként egész együtthatókkal. Az alapvető különbség a számok kódolásának ezen módja között az, hogy az új kódok alapjai, amelyek arany S-arányok, S > 0 esetén irracionális számoknak bizonyulnak. Így az új irracionális bázisú számrendszerek mintegy „fejjel lefelé” tették a racionális és irracionális számok közötti kapcsolatok történelmileg kialakult hierarchiáját. A helyzet az, hogy először a természetes számokat "fedezték fel"; akkor arányaik racionális számok. És csak később - miután a pitagoreusok összemérhetetlen szegmenseket fedeztek fel - megjelentek az irracionális számok. Például a decimális, quináris, bináris és más klasszikus helyzetszámrendszerekben a természetes számokat - 10, 5, 2 - választották egyfajta alapelvként, amelyből bizonyos szabályok szerint minden más természetes és racionális. és irracionális számokat szerkesztettek. A létező számozási módszerek egyfajta alternatívája az új, irracionális rendszer, mint alapelv, amelynek kezdetét irracionális számnak választjuk (ez, mint emlékszünk, az aranymetszet-egyenlet gyökere); más valós számok már kifejeződnek rajta keresztül. Egy ilyen számrendszerben bármely természetes szám mindig véges számként ábrázolható – és nem végtelen, ahogy korábban gondoltuk! - bármely arany S-arány fokösszegei. Ez az egyik oka annak, hogy az „irracionális” aritmetika, amely elképesztő matematikai egyszerűséggel és eleganciával rendelkezik, úgy tűnik, magába szívta a klasszikus bináris és „Fibonacci” aritmetika legjobb tulajdonságait. AZ ALAKÍTÁS ALAPELVEI A TERMÉSZETBEN Minden, ami valamilyen formát öltött, kialakult, nőtt, igyekezett helyet foglalni a térben és megőrizni önmagát. Ez a törekvés főként két változatban valósul meg: felfelé ívelő növekedésben vagy a föld felszínén elterjedve és spirálban csavarodva. A héj spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel alacsonyabb hosszt kap. Egy kicsi, tíz centiméteres kagylón 35 cm hosszú spirál van.A spirálok nagyon gyakoriak a természetben. Az aranymetszés koncepciója hiányos lesz, ha a spirálról nem is beszélve. A spirálisan felgöndörödött kagyló alakja felkeltette Arkhimédész figyelmét. Tanulmányozta, és levezette a spirál egyenletét. Az egyenlet szerint megrajzolt spirált az ő nevén nevezik. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a mérnöki munkákban. Már Goethe is hangsúlyozta a természet spiralitásra való hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen felfigyelték.


A spirál a napraforgómagok elrendezésében, fenyőtobozokban, ananászokban, kaktuszokban stb. Botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a levelek elrendezésében egy ágon (filotaxis), napraforgómagban, fenyőtobozban megnyilvánul a Fibonacci sorozat, és ezért az aranymetszet törvénye nyilvánul meg. A pók spirálisan forgatja hálóját. Egy hurrikán spirálisan forog. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős spirálra van csavarva. Goethe a spirált "az élet görbéjének" nevezte. Zo Az aranyspirál szorosan összefügg a ciklusokkal. A modern káosztudomány egyszerű ciklikus visszacsatolási műveleteket és az általuk generált, korábban ismeretlen fraktálformákat vizsgál. A 6. ábra a híres Mandelbrot-sorozatot mutatja, egy oldalt az egyéni minták végtelenségét tartalmazó szótárból, amelyet Julian-sorozatnak neveznek. Egyes tudósok a Mandelbrot-sorozatot a sejtmagok genetikai kódjával társítják. A szekciók következetes növekedése lenyűgöző fraktálokat tár fel művészi összetettségükben. És itt is vannak logaritmikus spirálok! Ez annál is fontosabb, mert mind a Mandelbrot-sorozat, sem a Julian-sorozat nem az emberi elme találmánya. Platón prototípusainak birodalmából származnak. Ahogy az orvos R. Penrose mondta: „olyanok, mint a Mount Everest.” A spirál szorosan összefügg a ciklusokkal. A káosz modern tudománya egyszerű ciklikus visszacsatolási műveleteket és az általuk generált fraktálokat vizsgál.

Az út menti gyógynövények között egy figyelemre méltó növény nő - a cikória. Nézzük meg közelebbről. A fő szárból ág alakult ki. Itt az első levél.

Rizs. . Cikória

A folyamat erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de rövidebb, mint az első, ismét kilökést hajt végre a térbe, de kisebb erővel, egy még kisebb levelet enged ki és ismét kilökődik. Ha az első kiugró értéket 100 egységnek vesszük, akkor a második 62 egység, a harmadik 38, a negyedik 24, és így tovább. A szirmok hossza is az aranymetszés függvénye. A növekedésben, a tér meghódításában a növény megtartott bizonyos arányokat. Növekedési impulzusai az aranymetszés arányában fokozatosan csökkentek. Sok pillangónál a mellkasi és a hasi testrészek méretének aránya megfelel az aranymetszésnek. Szárnyait összecsukva az éjszakai pillangó szabályos egyenlő oldalú háromszöget alkot. De érdemes széttárni a szárnyakat, és ugyanazt az elvet fogod látni, hogy a testet 2,3,5,8-ra osztod. A szitakötőt is az aranymetszés törvényei szerint hozzák létre: a farok és a test hosszának aránya megegyezik a teljes hosszúság és a farok hosszának arányával.

A gyík első pillantásra a szemünknek kellemes arányokat ragad meg - a farkának hossza a test többi részének hosszához kapcsolódik, 62-38.

Rizs. . életre kelő gyík

Mind a növény-, mind az állatvilágban kitartóan áttör a természet formaépítő tendenciája - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg. A természet elvégezte a szimmetrikus részekre és arany arányokra való felosztást. Részekben az egész szerkezetének ismétlődése nyilvánul meg. Nagy érdeklődésre tart számot a madártojás formáinak tanulmányozása. Különböző formáik két szélsőséges típus között ingadoznak: az egyik az aranymetszet téglalapjába írható, a másik - egy téglalapba, amelynek modulja 1,272 (az aranymetszés gyökere).

A madártojás ilyen formái nem véletlenek, hiszen mára megállapították, hogy az aranymetszet arányával leírt tojásforma megfelel a tojáshéj nagyobb szilárdsági jellemzőinek.

Rizs. . madártojás

Az elefántok és a kihalt mamutok agyarai, az oroszlánok karmai és a papagájok csőrei logaritmikus formák, és egy spirálra hajlamos tengely alakjára emlékeztetnek. Az élővilágban elterjedtek az "ötszögletű" szimmetrián alapuló formák (tengeri csillag, tengeri sün, virág). Az aranymetszés minden kristály szerkezetében megtalálható, de a legtöbb kristály mikroszkopikusan kicsi, így szabad szemmel nem láthatjuk őket.

A hópelyhek azonban, amelyek egyben vízkristályok is, meglehetősen hozzáférhetőek a szemünk számára.

A hópelyheket alkotó összes gyönyörű szépségű figura, minden tengely, kör és geometriai alakzat a hópelyhekben szintén kivétel nélkül mindig az aranymetszet tökéletes tiszta képlete szerint épül fel.

A mikrokozmoszban mindenütt jelen vannak az arany arányok szerint felépített háromdimenziós logaritmikus formák. Például sok vírus háromdimenziós geometriai alakja egy ikozaéder. A vírusok közül talán a leghíresebb az Adeno vírus. Az adenovírus fehérjeköpenyét a 252 egység fehérjesejt egy bizonyos sorrendben elrendezve. Az ikozaéder minden sarkában 12 egységnyi fehérjesejt található ötszögletű prizma formájában, és ezekből a sarkokból tüskeszerű struktúrák nyúlnak ki.

Adeno vírus

A vírusok szerkezetének aranymetszetét először az 1950-es években fedezték fel. A.Klug és D.Kaspar tudósok a londoni Birkbeck College-ból. Az első logaritmikus formát önmagában a Polyo vírus tárta fel. Ennek a vírusnak a formája hasonlónak tűnt a Rhino víruséhoz. Felmerül a kérdés, hogy a vírusok hogyan alkotnak ilyen összetett háromdimenziós formákat, amelyek szerkezetében benne van az emberi elménkkel is meglehetősen nehezen megszerkeszthető aranymetszés? A vírusok ezen formáinak felfedezője, A. Klug virológus a következő megjegyzést teszi: "Dr. Kaspar és én megmutattuk, hogy egy vírus gömbhéja esetén a legoptimálisabb forma az ikozaéder típusú szimmetria. Ez a sorrend minimalizálja az összekötő elemek számát... A Buckminster Fuller geodéziai félgömb alakú kockáinak többsége egy hasonló geometriai elv. 14 Az ilyen kockák összeállítása rendkívül pontos és részletes magyarázati sémát igényel, miközben az öntudatlan vírusok maguk alkotnak egy ilyen összetett héjat rugalmas, rugalmas fehérje sejtegységekből."
Klug megjegyzése ismét emlékeztet a rendkívül nyilvánvaló igazságra: még egy mikroszkopikus élőlény felépítésében is, amelyet a tudósok az "élet legprimitívebb formájának" minősítenek, jelen esetben egy vírusnak van egy világos terv és egy ésszerű projekt. 16. Ez a projekt tökéletességében és pontos kivitelezésében összehasonlíthatatlan az emberek által készített legfejlettebb építészeti tervekkel. Például a zseniális építész, Buckminster Fuller által készített projektek. A dodekaéder és az ikozaéder háromdimenziós modelljei is jelen vannak az egysejtű tengeri mikroorganizmusok radioláriumok (beamerek) vázának szerkezetében, amelyek váza szilícium-dioxidból készül. A radiolariák nagyon finom, szokatlan szépségű testet alkotnak. Alakjuk szabályos dodekaéder. Sőt, minden sarkából pszeudonyúlvány-végtag és egyéb szokatlan formák-növések nőnek ki. A nagy Goethe költő, természettudós és művész (akvarellel festett és festett) az organikus testek formájának, kialakulásának és átalakulásának egységes tanának megalkotásáról álmodozott. Ő vezette be a morfológia kifejezést a tudományos használatba. Pierre Curie századunk elején számos mélyreható szimmetriagondolatot fogalmazott meg. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni anélkül, hogy ne vegyük figyelembe a környezet szimmetriáját. Az "arany" szimmetria mintái az elemi részecskék energiaátmeneteiben, egyes kémiai vegyületek szerkezetében, bolygó- és térrendszerekben, élő szervezetek génszerkezetében nyilvánulnak meg. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, az egyén egyes szerveinek szerkezetében és a test egészében jelennek meg, és a bioritmusokban és az agy működésében és a vizuális észlelésben is megnyilvánulnak. AZ EMBERI TEST ÉS AZ ARANYSZAKCIÓ Minden emberi csont az aranymetszet arányában van.

Testünk különböző részeinek arányai nagyon közel állnak az aranymetszethez. Ha ezek az arányok egybeesnek az aranymetszés képletével, akkor az ember megjelenése vagy teste ideálisan felépítettnek tekinthető.

Ha az emberi test középpontjának a köldökpontot vesszük, mértékegységnek pedig a láb és a köldökpont távolságát, akkor az ember magassága 1,618-nak felel meg.

A váll szintje és a fej búbja közötti távolság és a fej mérete 1:1,618

A köldök pontja és a fej búbja, valamint a váll magassága és a fej búbja közötti távolsága 1:1,618

A köldökpont távolsága a térdtől és a térdtől a lábfejig 1:1,618

Az áll hegye és a felső ajak hegye, valamint a felső ajak hegye és az orrlyukak távolsága 1:1,618

Valójában az aranymetszés pontos jelenléte az ember arcán a szépség eszménye az emberi szem számára.

A távolság az áll hegyétől a szemöldök felső vonaláig, valamint a szemöldök felső vonalától a fejtetőig 1:1,618
Arc magassága / arc szélessége
Az ajkak találkozási pontja az orr tövével / az orr hossza.
Az arc magassága / távolsága az álla hegyétől az ajkak találkozási pontjának középpontjáig
Száj szélessége / orr szélessége
Az orr szélessége / az orrlyukak közötti távolság
Pupilla távolság / Szemöldök távolság Elég, ha most közelebb hozod magadhoz a tenyeredet, és alaposan megnézed a mutatóujjadat, és azonnal megtalálod benne az aranymetszet képletét.

Kezünk minden ujja három ujjból áll.Az ujj első két ujjának az ujj teljes hosszához viszonyított összege adja az aranymetszést (a hüvelykujj kivételével).

Ráadásul a középső ujj és a kisujj aránya isaranymetszés
Egy személynek 2 keze van, mindkét kéz ujjai 3 ujjból állnak (a hüvelykujj kivételével). Mindegyik kézen 5 ujj található, azaz összesen 10, de két két-phalangealis hüvelykujj kivételével csak 8 ujj jön létre az aranymetszet elve szerint. Míg mindezek a 2, 3, 5 és 8 számok a Fibonacci-sorozat számai.
Azt is meg kell jegyezni, hogy a legtöbb embernél a széttárt karok végei közötti távolság egyenlő a magassággal. Az aranymetszés igazságai bennünk és bennünk vannak hely

Az ember tüdejét alkotó hörgők sajátossága az aszimmetriájukban rejlik. A hörgők két fő légútból állnak, az egyik (bal oldali) hosszabb, a másik (jobb) rövidebb.

Megállapították, hogy ez az aszimmetria a hörgők ágaiban, minden kisebb légútban folytatódik.

Ezenkívül a rövid és hosszú hörgők hosszának aránya egyben az aranymetszés is, és egyenlő 1:1,618-cal.

Az emberi belső fül egy szervet tartalmaz Belső fül ("Csiga"), amely a hangrezgés átvitelének funkcióját látja el. Ez a csontszerű szerkezet folyadékkal van megtöltve, és szintén csiga alakban jön létre, amely stabil logaritmikus spirál alakot tartalmaz = 73? 43" A vérnyomás változik, ahogy a szív ver. Legnagyobb értékét a szív bal kamrájában éri el összehúzódása (szisztolé) idején. Az artériákban a szívkamrák szisztolájában a vérnyomás eléri a 115-125 Hgmm-es maximális értéket egy fiatal, egészséges emberben. A szívizom ellazulásának (diasztolé) pillanatában a nyomás 70-80 Hgmm-re csökken. A maximális (szisztolés) és a minimális (diasztolés) nyomás aránya átlagosan 1,6, azaz közel van az aranymetszethez.

Ha az aortában mért átlagos vérnyomást egységnek vesszük, akkor az aortában a szisztolés vérnyomás 0,382, a diasztolés vérnyomás pedig 0,618, azaz arányuk az aranymetszésnek felel meg. Ez azt jelenti, hogy a szív munkája az időciklusokhoz és a vérnyomás változásaihoz képest ugyanazon elv szerint - az aranymetszés törvénye szerint - optimalizálódik.

A DNS-molekula két függőlegesen összefonódó hélixből áll. Ezen spirálok mindegyike 34 angström hosszú és 21 angström széles. (1 angström a centiméter százmilliomod része). a DNS-molekula hélix szakaszának szerkezete

Tehát 21 és 34 a Fibonacci-számok sorozatában egymás után következő számok, vagyis a DNS-molekula logaritmikus hélixének hosszának és szélességének aránya az aranymetszet 1 képletét hordozza: 1,618

ARANYMETSZET A SZOBORSZABÁBAN Szobrászati ​​építményeket, emlékműveket állítanak a jelentős események megörökítésére, hogy az utódok emlékezetében megőrizzék híres emberek nevét, hőstetteiket, tetteiket. Ismeretes, hogy már az ókorban is a szobrászat alapja az arányok elmélete volt. Az emberi testrészek kapcsolatát az aranymetszet képletével hozták összefüggésbe.Az „aranymetszet" arányai a szépség harmóniájának benyomását keltik, ezért a szobrászok ezeket alkalmazták alkotásaikon. A szobrászok állítják, hogy a derék felosztja a tökéletes emberi testet az "aranymetszet"-hez képest. Például Apollo Belvedere híres szobra aranymetszetekkel tagolt részekből áll.A nagy ókori görög szobrász, Phidias gyakran használta műveiben az „aranymetszetet”. Közülük a leghíresebbek az olimposzi Zeusz szobra (amelyet a világ egyik csodájának tartottak) és Athéné Parthenosz. Apollo Belvedere szobrának aranyaránya ismert: az ábrázolt személy magasságát az aranymetszetben a köldökvonal osztja.

ARANY SZEKCIÓ AZ ÉPÍTÉSZETBEN Az „aranymetszet”-ről szóló könyvekben megtalálható az a megjegyzés, hogy az építészetben, akárcsak a festészetben, minden a szemlélő helyzetétől függ, és ha úgy tűnik, hogy az épület egyik oldalán bizonyos arányok alkotják az „aranymetszetet”, akkor más szemszögből nézve másképp fognak kinézni. Az "aranymetszet" adja meg az egyes hosszúságok méreteinek leglazább arányát. Az ókori görög építészet egyik legszebb alkotása a Parthenon (Kr. e. V. század). Az ábrákon számos, az aranymetszéshez kapcsolódó mintázat látható. Az épület arányai az Ф = 0,618 szám különböző fokozataival fejezhetők ki ... A Parthenonnak 8 oszlopa van a rövid oldalakon és 17 a hosszúokon. a párkányok teljes egészében Pentile márvány négyzetekből állnak. A templom építési anyagának nemessége lehetővé tette a görög építészetben megszokott színezés korlátozását, csak kiemeli a részleteket, színes hátteret (kék és piros) képez a szobor számára. Az épület magasságának és hosszának aránya 0,618. Ha a Parthenont az "aranymetszet" szerint osztjuk fel, akkor a homlokzat bizonyos kiemelkedéseit kapjuk. A Parthenon alaprajzán az "arany téglalapok" is láthatók: Az aranymetszés a Notre Dame katedrális (Notre Dame de Paris) épületében és Kheopsz piramisában látható: Nemcsak az egyiptomi piramisok épültek az aranymetszés tökéletes arányai szerint; ugyanez a jelenség a mexikói piramisokban is megtalálható. Sokáig azt hitték, hogy az ókori Oroszország építészei mindent „szemmel” építettek, különösebb matematikai számítások nélkül. A legújabb kutatások azonban kimutatták, hogy az orosz építészek jól ismerték a matematikai arányokat, amit az ókori templomok geometriájának elemzése is bizonyít. A híres orosz építész, M. Kazakov széles körben használta az "aranymetszet" munkájában. Tehetsége sokrétű volt, de nagyobb mértékben tárult fel számos befejezett lakóépület- és ingatlanprojektben. Például az "aranymetszet" megtalálható a Kremlben található Szenátus épületének építészetében. M. Kazakov projektje szerint Moszkvában épült a Golicin Kórház, amelyet jelenleg az N. I. után elnevezett Első Klinikai Kórháznak hívnak. Pirogov (Leninszkij-prospektus, szül. Petrovszkij-palota Moszkvában. M.F. tervei alapján épült. Kazakov. Moszkva másik építészeti remeke - a Pashkov-ház - V. Bazhenov egyik legtökéletesebb építészeti alkotása. V. Bazhenov csodálatos alkotása szilárdan bekerült a modern Moszkva központjának együttesébe, gazdagította azt. A ház külső megjelenése a mai napig szinte változatlan maradt, annak ellenére, hogy 1812-ben súlyosan leégett. A helyreállítás során az épület masszívabb formákat kapott. Az épület belső elrendezése sem maradt meg, amiről csak az alsó szint rajza ad képet. Az építész számos nyilatkozata figyelmet érdemel ma. Kedvenc művészetéről V. Bazhenov így nyilatkozott: "Az építészetnek három fő témája van: az épület szépsége, nyugalma és erőssége... Ennek eléréséhez az arányok, a perspektíva, a mechanika vagy általában a fizika ismerete irányadó, ill. mindannyiuknak közös a vezetője az ész."

ARANYARÁNY A ZENÉBEN
Minden zeneműnek megvan a maga időtartama, és néhány "esztétikai mérföldkőre" van osztva különálló részekre, amelyek felkeltik a figyelmet és megkönnyítik a teljes észlelést. Ezek a mérföldkövek egy zenei alkotás dinamikus és intonációs csúcspontjai lehetnek. Egy zenemű különálló időintervallumai, amelyeket egy "klimatikus esemény" köt össze, általában az Aranymetszés arányában vannak.

Még 1925-ben L. L. Sabaneev művészetkritikus, 42 szerző 1770 zenei művét elemezte, kimutatta, hogy a kiemelkedő művek túlnyomó többsége könnyen felosztható részekre akár téma, akár intonáció, akár modális rendszer szerint, amelyek mindegyikhez viszonyulnak. egyéb.aranymetszés. Sőt, minél tehetségesebb a zeneszerző, annál több aranymetszetet találtak műveiben. Sabaneev szerint az aranymetszés egy zenei kompozíció különleges harmóniájának benyomását idézi elő. Ezt az eredményt Sabaneev mind a 27 Chopin-etűdnél ellenőrizte. 178 aranymetszetet talált bennük. Ugyanakkor kiderült, hogy az aranymetszethez képest nemcsak az etűdök nagy részeit osztják el időtartammal, hanem a benne lévő etűdök egy részét is gyakran ugyanabban az arányban.

M.A. Marutaev zeneszerző és tudós megszámolta a híres "Appassionata" szonáta ütemeinek számát, és számos érdekes számarányt talált. Különösen a fejlesztésben - a szonáta központi szerkezeti egységében, ahol a témák intenzíven dolgoznak, és a kulcsok váltják egymást - két fő szakasz van. Az első 43,25, a második 26,75 ütemű. A 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 arány adja az aranymetszést.

Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%) művei közül a legtöbb, amelyekben az Aranymetszés van jelen.

Ha a zene a hangok harmonikus rendezése, akkor a költészet a beszéd harmonikus rendezése. A tiszta ritmus, a hangsúlyos és hangsúlytalan szótagok szabályos váltakozása, a versek rendezett dimenzionalitása, érzelmi gazdagsága a költészetet a zeneművek testvérévé teszi. Az aranymetszés a költészetben elsősorban a vers egy bizonyos mozzanatának (tetőpont, szemantikai fordulópont, a mű fő gondolata) jelenléteként nyilvánul meg a sorban, amely a vers sorainak teljes számának elválasztó pontjának tulajdonítható. az aranymetszésben. Tehát, ha a vers 100 sort tartalmaz, akkor az Aranymetszet első pontja a 62. sorra esik (62%), a második - a 38. (38%) stb. Alekszandr Szergejevics Puskin munkái, köztük "Jevgene Onegin" - a legjobb megfelelés az aranymetszésnek! Shota Rustaveli és M.Yu munkái. Lermontov is az Aranymetszet elvén épül fel.

Stradivarius ezt a segítségével írta meg

az aranymetszés, ő határozta meg a helyeket f -formájú kivágások híres hegedűik testén. ARANYMETSZET A KÖLTÉSZETBEN Puskin költészete A költői művek tanulmányozása ezekből a pozíciókból még csak most kezdődik. És el kell kezdenie A. S. Puskin költészetével. Hiszen művei az orosz kultúra legkiemelkedőbb alkotásainak példái, a legmagasabb szintű harmónia példája. A. S. Puskin költészetével megkezdjük az arany arány – a harmónia és a szépség mértékének – keresését. A költői művek szerkezetében ezt a művészeti formát a zenéhez kötik. A tiszta ritmus, a hangsúlyos és hangsúlytalan szótagok szabályos váltakozása, a versek rendezett dimenzionalitása, érzelmi gazdagsága a költészetet a zeneművek testvérévé teszi. Minden versnek megvan a maga zenei formája - saját ritmusa és dallama. Arra lehet számítani, hogy a versek szerkezetében megjelennek a zeneművek bizonyos vonásai, a zenei harmónia mintái, és ebből következően az aranymetszés. Kezdjük a vers méretével, vagyis a benne lévő sorok számával. Úgy tűnik, hogy a vers ezen paramétere önkényesen változhat. Kiderült azonban, hogy ez nem így van. Például A.S. verseinek elemzése. Puskin ebből a szempontból megmutatta, hogy a versek méretei nagyon egyenetlenül oszlanak meg; kiderült, hogy Puskin egyértelműen az 5, 8, 13, 21 és 34 soros méreteket részesíti előnyben (Fibonacci számok).
Sok kutató észrevette, hogy a versek olyanok, mint a zeneművek; tetőpontjaik is vannak, amelyek az aranymetszés arányában osztják fel a verset. Vegyük például A.S. versét. Puskin "cipész": Egy cipész egyszer képet keresett
És rámutatott a cipő hibájára;
A művész azonnal elvette az ecsetet, és kijavította magát:
Tessék, csípősen folytatta a cipész:
"Azt hiszem, az arc egy kicsit ferde...
Nem túl meztelen az a láda?
Itt Apelles türelmetlenül közbeszólt:
– Bíró, barátom, ne a csizma fölött!

Egy barátra gondolok:
Nem tudom mi a téma.
Hozzáértő volt, bár szigorú, nem verbálisan,
De az ördög elviszi őt, hogy ítélje meg a világosságot:
Próbáld ki, hogy megítéld a csizmát!

Elemezzük ezt a példázatot. A vers 13 sorból áll. Két szemantikai részt emel ki: az elsőt 8 sorban és a másodikat (a példázat morálja) 5 sorban (13, 8, 5 – Fibonacci számok). Puskin egyik utolsó verse, "Nem értékelem a kiemelt jogokat..." 21 sorból áll, és két szemantikai részt különböztetnek meg benne: 13 és 8 sorban. Nem értékelem a kiemelt jogokat, Amitől egy sem szédül. Nem morogok amiatt, hogy az istenek megtagadták Benne vagyok a kihívásokkal teli adókkal Vagy akadályozza meg a királyokat, hogy egymással harcoljanak; És egy kis bánat számomra, a sajtó szabad Bolondozás, vagy érzékeny cenzúra A magazintervekben a joker kínos. Mindez, látod, szavak, szavak, szavak. Más, jobb, jogok kedvesek számomra: Egy másik, jobb, szabadságra van szükségem: A királytól függ, az emberektől függ - Mindannyiunkat nem érdekel? Isten velük van. Senki Ne adj jelentést, csak magadnak Szolgálj és kérlek; hatalomért, színért Ne hajlítsd meg sem a lelkiismeretet, sem a gondolatokat, sem a nyakat; Kényed szerint ide-oda vándorolni, Rácsodálkozva a természet isteni szépségére, És a művészet és az ihlet teremtményei előtt Örömmel remegve a gyengédség örömében, Itt a boldogság! Úgy van... Jellemző, hogy ennek a versnek az első része (13 sor) jelentéstartalmát tekintve 8 és 5 sorra tagolódik, vagyis az egész vers az aranymetszés törvényei szerint épül fel. Kétségtelenül érdekes az "Eugene Onegin" regény elemzése, amelyet N. Vasyutinskiy készített. Ez a regény 8 fejezetből áll, mindegyik átlagosan körülbelül 50 versszakot tartalmaz. A legtökéletesebb, legkifinomultabb és érzelmileg gazdagabb a nyolcadik fejezet. 51 versszaka van. Jevgenyij Tatyanának írt levelével (60 sor) együtt ez pontosan megfelel az 55-ös Fibonacci számnak! N. Vasyutinskiy kijelenti: "A fejezet csúcspontja Eugene Tatyana iránti szeretetének magyarázata - a "Sápadj el és halványulj el... ez a boldogság!" Ez a sor a teljes nyolcadik fejezetet két részre osztja - az első 477 sorban, a másodikban. - 295 sor. Arányuk 1,617 "A legfinomabb megfelelés az aranymetszés értékének! Ez a harmónia nagy csodája, amelyet Puskin zsenije vitt véghez!" Lermontov költészet E Rosenov M. Yu számos költői művét elemezte. Lermontov, Schiller, A.K. Tolsztoj és az "aranymetszetet" is felfedezte bennük.
Lermontov híres „Borodino” költeménye két részre oszlik: a narrátornak szóló bevezető, amely csak egy versszakot foglal el ("Mondd, bácsi, nem ok nélkül..."), és a fő rész, amely önálló egészet képvisel, amely két egyenértékű részre oszlik. Az elsőben a csata várakozását írják le növekvő feszültséggel, a másodikban magát a csatát a feszültség fokozatos csökkenésével a vers vége felé. E részek közötti határ a mű csúcspontja, és pontosan arra a pontra esik, ahol azt az aranymetszet osztja. A vers fő része 13 hétsorból, azaz 91 sorból áll. Az aranymetszéssel (91:1,618 = 56,238) elosztva ügyelünk arra, hogy a felosztási pont az 57. vers elejére kerüljön, ahol van egy rövid mondat: "Hát ez egy nap volt!". Ez a kifejezés jelenti az "izgatott várakozás csúcspontját", amely befejezi a vers első részét (a csata várakozása), és megnyitja a második részét (a csata leírását). Így az aranymetszés igen tartalmas szerepet tölt be a költészetben, kiemelve a vers csúcspontját. Shota Rustaveli költészete Shota Rustaveli „A lovag a párducbőrben” című versének számos kutatója felhívja a figyelmet versének kivételes harmóniájára és dallamára. A grúz tudós akadémikus, G.V. versének ezek a tulajdonságai. Tsereteli annak tulajdonítja, hogy a költő tudatosan használja az aranymetszetet mind a versforma kialakításában, mind verseinek felépítésében. Rustaveli verse 1587 strófából áll, amelyek mindegyike négy sorból áll. Minden sor 16 szótagból áll, és két egyenlő, 8 szótagos részre oszlik minden félsorban. Minden hemistiche kétféle két szegmensre oszlik: A - egyenlő szegmensű és páros számú szótagú (4 + 4) hemistich; B - aszimmetrikus felosztású félvonal két egyenlőtlen részre (5 + 3 vagy 3 + 5). Így a B félegyenesben az arányok 3:5:8, ami az aranymetszés közelítése.
Megállapítást nyert, hogy Rusztaveli versében 1587 strófa több mint fele (863) az aranymetszet elve szerint épül fel. Korunkban egy újfajta művészet született - a mozi, amely magába szívta az akció, a festészet, a zene dramaturgiáját. Jogos az aranymetszet megnyilvánulásait keresni a kiemelkedő filmművészeti alkotásokban. Az első, aki ezt megtette, a világmozi remekének, a „Potyomkin csatahajónak” alkotója, Szergej Eisenstein filmrendező volt. Ennek a képnek a felépítésében sikerült megtestesítenie a harmónia alapelvét - az aranymetszés. Ahogy maga Eisenstein is megjegyzi, a lázadó csatahajó árbocán (a film csúcspontja) a vörös zászló az aranymetszés pontján lobog, a film végétől számítva. ARANYARÁNY A BETŰTŰKÖRŰBEN ÉS HÁZTARTÁSI CIKKEKBEN Az ókori Görögország képzőművészetének egy speciális típusát kell kiemelni, mindenféle edény gyártását és festését. Elegáns formában az aranymetszet arányai könnyen kitalálhatók.


A templomok festészetében és szobrászatában, háztartási cikkeken az ókori egyiptomiak leggyakrabban isteneket és fáraókat ábrázoltak. Megállapodtak az álló ember képének kánonjai sétáló, ülő stb. A művészeknek meg kellett memorizálniuk a táblázatokból és mintákból a képek egyedi formáit és sémáit. Az ókori görög művészek különleges utazásokat tettek Egyiptomba, hogy megtanulják a kánon használatát. A KÜLSŐ KÖRNYEZET OPTIMÁLIS FIZIKAI PARAMÉTEREI Hangerő.
Ismeretes, hogy a fájdalmat okozó hang maximális hangereje 130 decibel.
Ha ezt az intervallumot elosztjuk az 1,618-as aranymetszővel, akkor 80 decibelt kapunk, ami egy emberi sikoly hangereje jellemző.
Ha most 80 decibelt elosztunk az aranymetszővel, akkor 50 decibelt kapunk, ami megfelel az emberi beszéd hangosságának.
Végül, ha 50 decibelt elosztunk a 2,618 aranymetszet négyzetével, 20 decibelt kapunk, ami egy emberi suttogásnak felel meg.
Így a hangerő összes jellemző paramétere az aranymetszésen keresztül kapcsolódik egymáshoz.

A levegő páratartalma. 18-20® hőmérsékleten a 40-60%-os páratartalom tekinthető optimálisnak.

Az optimális páratartalom tartomány határai akkor érhetők el, ha a 100%-os abszolút páratartalmat kétszer elosztjuk az aranymetszővel: 100 / 2,618 = 38,2% (alsó határ); 100/1,618 = 61,8% (felső határ).

Levegő nyomás. 0,5 MPa légnyomásnál az ember kellemetlen érzéseket tapasztal, fizikai és pszichológiai aktivitása romlik. 0,3 - 0,35 MPa nyomáson csak rövid távú működés megengedett, 0,2 MPa nyomáson pedig legfeljebb 8 percig működhet.

Mindezeket a jellemző paramétereket az aranymetszés kapcsolja össze: 0,5 / 1,618 = 0,31 MPa; 0,5 / 2,618 = 0,19 MPa.

Külső levegő hőmérséklet. A külső levegő hőmérsékletének határparaméterei, amelyeken belül egy személy normális létezése (és ami a legfontosabb, származása) lehetséges, a 0 és + (57-58) ® С közötti hőmérsékleti tartomány. Nyilvánvalóan nem kell magyarázatot adni az első határon.

A pozitív hőmérsékletek feltüntetett tartományát elosztjuk az aranymetszővel. Ez két korlátot ad:

Mindkét határ az emberi testre jellemző hőmérséklet: az első a hőmérsékletnek felel meg A második határérték az emberi test számára lehetséges maximális külső hőmérsékletnek felel meg.
ARANYMETSZET A FESTÉSZETBEN
A reneszánsz korában a művészek felfedezték, hogy minden képnek vannak bizonyos pontjai, amelyek akaratlanul is felkeltik figyelmünket, az úgynevezett vizuális központok. Ebben az esetben nem számít, milyen formátumú a kép - vízszintes vagy függőleges. Csak négy ilyen pont van, és ezek a sík megfelelő éleitől 3/8 és 5/8 távolságra helyezkednek el.


Ezt a felfedezést az akkori művészek körében a kép "arany szakaszának" nevezték. A festészet "aranymetszetének" példáira térve nem szabad megállítani a figyelmet Leonardo da Vinci munkásságán. Kiléte a történelem egyik titka. Maga Leonardo da Vinci mondta: "Aki nem matematikus, ne merje elolvasni a műveimet."
Felülmúlhatatlan művészként, nagy tudósként, zseniként szerzett hírnevet, aki számos találmányra számított, amelyeket csak a 20. században valósítottak meg.
Kétségtelen, hogy Leonardo da Vinci nagy művész volt, ezt már kortársai is felismerték, de személyisége és tevékenysége továbbra is titokzatos marad, hiszen nem elképzeléseinek koherens bemutatását hagyta az utókorra, hanem csak számos kézzel írt vázlatot, jegyzetet. amelyek azt mondják, hogy "mindenki a világon".
Olvashatatlan kézírással és bal kézzel írt jobbról balra. Ez a létező tükörírás leghíresebb példája.
Monna Lisa (La Gioconda) portréja évek óta felkelti a kutatók figyelmét, akik felfedezték, hogy a rajz kompozíciója arany háromszögeken alapul, amelyek egy szabályos csillagötszög részei. Ennek a portrénak a történetéről számos változat létezik. Íme az egyik közülük.
Egyszer Leonardo da Vinci megbízást kapott Francesco de le Giocondo bankártól, hogy fessen portrét egy fiatal nőről, a bankár feleségéről, Monna Lisáról. A nő nem volt szép, de megjelenésének egyszerűsége és természetessége vonzotta. Leonardo beleegyezett, hogy portrét fest. Modellje szomorú volt és szomorú, de Leonardo mesélt neki egy mesét, aminek hallatán a lány eleven és érdekes lett.
SZTORI
Volt egyszer egy szegény ember, négy fia volt: három okos, és egyikük erre-arra. És akkor eljött a halál az apa számára. Mielőtt megvált volna életétől, magához hívta gyermekeit, és így szólt: "Fiaim, hamarosan meghalok. Amint eltemetsz, zárd be a kunyhót, és menj el a világ végére, hogy boldoggá tegyetek. Mindenki tanuljon valamit, hogy táplálni tudja magát." Az apa meghalt, a fiak pedig szétszéledtek a világban, és beleegyeztek, hogy három év múlva visszatérjenek szülőföldjük tisztására. Jött az első testvér, aki megtanult ácsolni, fát vágott és kivágott, nőt csinált belőle, sétált egy kicsit és vár. A második testvér visszatért, meglátott egy faasszonyt, és mivel szabó volt, egy perc alatt felöltöztette: mint egy ügyes mesterember, gyönyörű selyemruhákat varrt neki. A harmadik fiú arannyal és drágakövekkel díszítette az asszonyt – elvégre ékszerész volt. Végül megérkezett a negyedik testvér. Nem tudott ácsolni és varrni, csak hallgatni tudta, mit mond a föld, a fák, a gyógynövények, az állatok és a madarak, ismerte az égitestek útját, és csodálatos dalokat is tudott énekelni. Olyan dalt énekelt, amitől a bokrok mögött megbúvó testvérek sírtak. Ezzel a dallal újjáélesztette a nőt, mosolygott és sóhajtott. A testvérek odarohantak hozzá, és mindegyik ugyanazt kiáltotta: "Bizonyára a feleségem vagy." De az asszony így válaszolt: „Te teremtettél – légy az apám, felöltöztél, feldíszítettél – legyél a testvéreim.
És te, aki belém lehelted a lelkemet, és megtanítottál élvezni az életet, szükségem van rád egyedül az életben".
Miután befejezte a történetet, Leonardo Monna Lisára nézett, arca fényben ragyogott, szeme ragyogott. Aztán, mintha álomból ébredt volna, felsóhajtott, kezét az arcára tette, és szó nélkül a helyére ment, összefonta a kezét, és felvette szokásos testtartását. De a tett megtörtént – a művész felébresztette a közömbös szobrot; a boldogság mosolya, amely lassan eltűnt az arcáról, a szája sarkában maradt és remegett, bámulatos, titokzatos és kissé ravasz kifejezést kölcsönözve az arcának, mint annak az embernek, aki megtanult egy titkot, és gondosan megőrizve nem tud. visszatartani diadalát. Leonardo csendben dolgozott, félt elszalasztani ezt a pillanatot, ezt a napsugarat, amely megvilágította unalmas modelljét...
Nehéz megjegyezni, hogy mit vettek észre ebben a remekműben, de mindenki arról beszélt, hogy Leonardo mélyen ismeri az emberi test felépítését, aminek köszönhetően sikerült elkapnia ezt a titokzatos mosolyt. Beszélgettek a kép egyes részeinek kifejezőképességéről és a tájról, a portré példátlan kísérőjéről. Beszéltek a kifejezés természetességéről, a póz egyszerűségéről, a kezek szépségéről. A művész példátlan dolgot művelt: a kép levegőt ábrázol, átlátszó homályba burkolja az alakot. Leonardo a siker ellenére komor volt, a firenzei helyzet fájdalmasnak tűnt a művész számára, indulásra készült. Az árvízi parancsokra való emlékeztetés nem segített rajta.

Az aranymetszet I. I. Shishkin "Pine Grove" című festményén I. I. Shishkin ezen a híres festményén jól láthatóak az aranymetszet motívumai. A fényesen megvilágított fenyőfa (az előtérben) aranymetszés szerint osztja fel a kép hosszát. A fenyőtől jobbra egy domb található, amelyet a nap világít meg. A kép jobb oldalát vízszintesen osztja fel az aranymetszés szerint. A fő fenyőtől balra sok fenyő található - ha kívánja, sikeresen folytathatja a kép felosztását az aranymetszet szerint és tovább.
Az aranymetszethez képest elválasztó, fényes vertikálisok és vízszintesek jelenléte a képen az egyensúly és a nyugalom karakterét adja, a művész szándékának megfelelően. Ha a művész szándéka eltérő, ha mondjuk gyorsan fejlődő akcióval alkot képet, akkor az ilyen geometrikus kompozíciós séma (a függőlegesek és vízszintesek túlsúlyával) elfogadhatatlanná válik.
V. I. Surikov. Bojár Morozova. Szerepe a kép középső részére van kijelölve. A kép cselekményének legnagyobb emelkedési és legalacsonyabb esési pontja köti össze. 1) Ez Morozova keze felemelkedése, legmagasabb pontja a kétujjas kereszt jele. 2) Ez egy tehetetlenül kinyújtott kéz ugyanannak a nemesasszonynak, de ezúttal egy öregasszony keze - egy szegény vándor, egy kéz, amely alól az üdvösség utolsó reményével együtt kicsúszik a szán vége. . És mi a helyzet a "legmagasabb ponttal"? Első pillantásra van egy látszólagos ellentmondás: elvégre az A1B1 szakasz, ami a kép jobb szélétől 0,618 ... nem megy át a kezén, még csak nem is a nemesasszony fején vagy szemén, hanem kiderül, hogy valahol a nemesasszony szája előtt van! Az aranymetszés itt tényleg a legfontosabbon vág. Benne, és pontosan benne van Morozova legnagyobb ereje. Az aranymetszés Leonardo da Vinci "La Gioconda" című festményén
	Mona Lisa portréja vonz, hogy a rajz kompozíciója "arany háromszögekre" (pontosabban olyan háromszögekre) épül fel, amelyek egy szabályos csillag alakú ötszög darabjai.
Nincs költőibb festmény Sandro Botticelli festményénél, és a nagy Sandronak nincs híresebb festménye a "Vénuszánál". Botticelli számára Vénusza a természetben uralkodó "aranymetszet" egyetemes harmóniája gondolatának megtestesülése. A Vénusz arányos elemzése meggyőz bennünket erről. Raphael "Athéni Iskola" Raphael nem volt matematikus, de a korszak sok művészéhez hasonlóan jelentős geometriai ismeretekkel rendelkezett. A híres „Athéni Iskola” freskón, ahol az ókor nagy filozófusainak társaságát tartják a tudomány templomában, figyelmünket Eukleidész, a legnagyobb ókori görög matematikus csoportja hívja fel magára, aki egy összetett rajzot elemzi. A két háromszög zseniális kombinációja is az aranymetszésnek megfelelően épül fel: 5/8-as oldalarányú téglalapba írható. Ez a rajz meglepően könnyen beilleszthető az architektúra felső részébe. A háromszög felső sarka az ív zárókövéhez támaszkodik a nézőhöz legközelebb eső területen, az alsó - a perspektívák eltűnési pontján, az oldalsó pedig az ívek két része közötti térbeli rés arányait jelzi. . Aranyspirál Raphael "Az ártatlanok mészárlásában"
Az aranymetszettől eltérően a dinamika, az izgalom érzése talán egy másik egyszerű geometriai alakzatban - a spirálban - a leghangsúlyosabb. Az 1509-1510 között Raffael által készített többfigurás kompozíció, amikor a híres festő a Vatikánban készítette freskóit, éppen a cselekmény dinamizmusával és drámaiságával tűnik ki. Rafael soha nem vitte véghez az ötletét, vázlatát azonban egy ismeretlen olasz grafikus, Marcantinio Raimondi metszette, aki e vázlat alapján készítette el az Ártatlanok mészárlása című metszetet. Ha Raphael előkészítő vázlatán valaki gondolatban vonalakat húz a kompozíció szemantikai középpontjából - abból a pontból, ahol a harcos ujjai a gyermek bokája köré zárultak - egy gyermek, egy nőt magához szorító nő, egy harcos alakja mentén. felemelt karddal, majd a vázlat jobb oldali részein ugyanannak a csoportnak a figurái mentén (az ábrán ezek a vonalak pirossal vannak megrajzolva), majd szaggatott vonallal kösd össze a görbe ezen darabjait, majd egy arany spirált kapunk. nagyon nagy pontossággal kapott. Ezt úgy ellenőrizhetjük, hogy megmérjük a spirál által metszett szakaszok hosszának arányát a görbe elején átmenő egyeneseken.
ARANYARÁNY ÉS KÉPÉRZÉKELÉS Az emberi vizuális elemző azon képessége, hogy az aranymetszet algoritmusa szerint épített objektumokat szépnek, vonzónak és harmonikusnak tudja megkülönböztetni, régóta ismert. Az aranymetszés a legtökéletesebb egységes egész érzését adja. Sok könyv formátuma az aranymetszetet követi. Ablakokhoz, festményekhez és borítékokhoz, bélyegekhez, névjegykártyákhoz választják. Lehet, hogy az ember semmit sem tud a Ф számról, de a tárgyak szerkezetében, valamint az események sorrendjében tudat alatt megtalálja az aranymetszés elemeit. Olyan tanulmányokat végeztek, amelyek során az alanyokat arra kérték, hogy válasszák ki és másolják le a különböző arányú téglalapokat. Három téglalap közül lehetett választani: egy négyzet (40:40 mm), egy "arany metszet" téglalap 1:1,62 (31:50 mm) oldalaránnyal és egy téglalap 1:2,31 (26:0) hosszúkás arányokkal. 60 mm). A normál állapotú téglalapok kiválasztásakor 1/2 esetben a négyzet részesítik előnyben. A jobb félteke az aranymetszetet részesíti előnyben, és elutasítja a hosszúkás téglalapot. Éppen ellenkezőleg, a bal félteke a megnyúlt arányok felé gravitál, és elutasítja az aranymetszetet. E téglalapok másolásakor a következőket figyeltük meg. Amikor a jobb agyfélteke aktív volt, a másolatok arányai a legpontosabban megmaradtak. Amikor a bal félteke aktív volt, az összes téglalap arányai eltorzultak, a téglalapok megnyúltak (egy négyzetet 1:1,2 oldalarányú téglalapként rajzoltak; a kinyújtott téglalap aránya meredeken nőtt, és elérte az 1:2,8-at ). Az "arany" téglalap legerősebben torzított arányai; a másolatok arányai a téglalap 1:2,08 arányai lettek. Saját rajzok készítésekor az aranymetszéshez közeli és a hosszúkás arányok érvényesülnek. Az arányok átlagosan 1:2, míg a jobb agyfélteke az aranymetszet arányait preferálja, a bal félteke eltávolodik az aranymetszet arányaitól és feszíti a mintát. Most rajzoljon néhány téglalapot, mérje meg az oldalukat, és keresse meg a képarányt. Melyik félgömböd van?

AZ ARANYARÁNY A FÉNYKÉPÉBEN
Az aranymetszés fotózásban való alkalmazására példa a keret kulcselemeinek elhelyezése a keret széleitől 3/8 és 5/8 távolságra található pontokon. Ezt a következő példával illusztrálhatjuk.

Itt van egy fénykép egy macskáról, amely a keretben tetszőleges helyen található.

Most feltételesen osszuk fel a keretet szegmensekre, a teljes hossz 1,62 arányában a keret mindkét oldaláról. A szegmensek metszéspontjában lesznek a fő "vizuális központok", amelyekbe érdemes elhelyezni a kép szükséges kulcselemeit. Vigyük át macskánkat a „vizuális központok” pontjaira. ARANYARÁNY ÉS TÉR A csillagászat történetéből ismert, hogy I. Titius, a 18. századi német csillagász ezt a sorozatot felhasználva talált szabályosra és rendre a Naprendszer bolygói közötti távolságokban.
Egy olyan eset azonban, amely a törvénybe ütközőnek tűnt: a Mars és a Jupiter között nem volt bolygó.Az égbolt ezen részének célzott megfigyelése vezetett az aszteroidaöv felfedezéséhez. Ez Titius halála után történt a 19. század elején. A Fibonacci sorozatot széles körben használják: segítségével az élőlények építészetét, az ember alkotta struktúrákat és a Galaxisok szerkezetét ábrázolják. Ezek a tények bizonyítják a számsor függetlenségét a megnyilvánulási feltételeitől, ami egyetemességének egyik jele.



A galaxis két aranyspirálja kompatibilis a Dávid-csillaggal. Figyeljen a galaxisból fehér spirálban előbukkanó csillagokra. Pontosan 180® az egyik spirálból jön egy másik kibontakozó spirál. ... Sokáig a csillagászok egyszerűen azt hitték, hogy minden, ami van, az, amit látunk; ha valami látható, akkor az létezik. A Valóság láthatatlan részét vagy egyáltalán nem vették észre, vagy nem tartották fontosnak. De Valóságunk láthatatlan oldala valójában sokkal nagyobb, mint a látható oldal, és valószínűleg fontosabb is. ... Más szóval, a Valóság látható része sokkal kevesebb, mint az egész egy százaléka – szinte semmi. Valójában az igazi otthonunk a láthatatlan univerzum... Az Univerzumban az emberiség által ismert összes galaxis és a bennük lévő összes test spirál formájában létezik, amely megfelel az aranymetszet képletének. Galaxisunk spiráljában az aranymetszés található


KÖVETKEZTETÉS A természet, mint az egész világ, formáinak sokféleségében, mintegy két részből áll: az élő és az élettelen természetből. Az élettelen természet alkotásait az emberi élet léptékéből ítélve nagy stabilitás, csekély változékonyság jellemzi. Az ember megszületik, él, megöregszik, meghal, de a gránithegyek ugyanazok maradnak, és a bolygók ugyanúgy keringenek a Nap körül, mint Pitagorasz korában. A vadon élő állatok világa egészen más módon jelenik meg előttünk – mozgékonyan, változékonyan és meglepően sokrétűen. Az élet a kreatív kombinációk sokszínűségének és eredetiségének fantasztikus karneválját mutatja be! Az élettelen természet világa mindenekelőtt a szimmetria világa, amely stabilitást és szépséget ad alkotásainak. A természet világa mindenekelőtt a harmónia világa, amelyben az "aranymetszés törvénye" működik. A modern világban a tudomány különösen fontos az ember természetre gyakorolt ​​fokozott hatása miatt. Jelen szakaszban fontos feladat az ember és a természet együttélésének új utak keresése, a társadalom előtt álló filozófiai, társadalmi, gazdasági, oktatási és egyéb problémák tanulmányozása. Ebben a cikkben az "aranymetszet" tulajdonságainak az élő és élettelen természetre, az emberiség és a bolygó egésze történelmének fejlődésének történelmi lefolyására gyakorolt ​​hatását vették figyelembe. A fentiek mindegyikét elemezve ismét rácsodálkozhatunk a világ megismerési folyamatának nagyszerűségére, egyre új mintáinak felfedezésére, és arra a következtetésre juthatunk: az aranymetszet elve a strukturális, ill. funkcionális az egésznek és részeinek tökéletessége a művészetben, a tudományban, a technológiában és a természetben. Arra lehet számítani, hogy a különböző természeti rendszerek fejlődési törvényei, a növekedés törvényei nem túl sokfélék, és a legkülönfélébb képződményekben nyomon követhetők. Ez a természet egységének megnyilvánulása. Az ilyen egység gondolata, amely ugyanazon minták heterogén természeti jelenségekben való megnyilvánulásán alapul, megőrizte jelentőségét Pythagorastól napjainkig. th. 51

Még mindig sok megfejtetlen rejtély van az univerzumban, amelyek közül néhányat a tudósok már sikerült azonosítaniuk és leírniuk. A Fibonacci-számok és az aranymetszés képezi az alapot a körülöttünk lévő világ feltárásához, alakjának kialakításához és az ember általi optimális vizuális érzékeléséhez, melynek segítségével megérezheti a szépséget és a harmóniát.

aranymetszés

Az aranymetszet méretének meghatározásának elve alapozza meg az egész világ és részei felépítésében és funkcióiban való tökéletesedését, megnyilvánulása a természetben, a művészetben és a technikában egyaránt megmutatkozik. Az aranymetszés doktrínája az ókori tudósok számok természetére vonatkozó kutatásának eredményeként született meg.

Az ókori filozófus és matematikus, Pythagoras által a szegmensfelosztások arányainak és arányainak elméletén alapul. Bebizonyította, hogy ha egy szakaszt két részre osztunk: X (kisebb) és Y (nagyobb), a nagyobb és a kisebb aránya megegyezik az összegük (a teljes szakasz) arányával:

Az eredmény egy egyenlet: x 2 - x - 1 = 0, ami úgy van megoldva x=(1±√5)/2.

Ha az arányt 1/x-nek tekintjük, akkor egyenlő 1,618…

Az aranymetszés ókori gondolkodók általi használatának bizonyítéka Eukleidész „Kezdetek” című könyve, amely még a 3. században íródott. Kr. e., aki ezt a szabályt használta szabályos 5-szögűek megalkotására. A pitagoreusok körében ezt az alakot szentnek tekintik, mivel szimmetrikus és aszimmetrikus is. A pentagram az életet és az egészséget jelképezi.

Fibonacci számok

1202-ben jelent meg a Pisai Leonardo olasz matematikus, aki később Fibonacci néven vált ismertté a Liber abaci című híres könyve. Ebben a tudós először ad számmintát, amelyben minden szám az összege. az előző 2 számjegyből. A Fibonacci-számok sorrendje a következő:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 stb.

A tudós számos mintát is idézett:

• A sorozat bármely száma, osztva a következővel, egyenlő lesz egy olyan értékkel, amely 0,618-ra hajlamos. Ráadásul az első Fibonacci-számok nem adnak ilyen számot, de ahogy haladunk a sorozat elejétől, ez az arány egyre pontosabb lesz.
• Ha a sorozat számát elosztja az előzővel, akkor az eredmény 1,618 lesz.
• Egy szám osztva a következővel 0,382-re hajló értéket mutat.

Az aranymetszet, a Fibonacci-szám (0,618) kapcsolatának és mintázatainak alkalmazása nemcsak a matematikában, hanem a természetben, a történelemben, az építészetben és az építőiparban és számos más tudományban is megtalálható.

Arkhimédész spirálja és arany téglalap

A természetben nagyon elterjedt spirálokat Arkhimédész kutatta fel, és még az egyenletét is levezette. A spirál alakja az aranymetszés törvényein alapul. Ha kicsavarjuk, akkor olyan hosszúságot kapunk, amelyre arányokat és Fibonacci-számokat lehet alkalmazni, a lépésnövekedés egyenletesen történik.

A Fibonacci-számok és az aranymetszés közötti párhuzam látható egy "arany téglalap" megalkotásával is, amelynek oldalai 1,618:1 arányúak. Úgy épül fel, hogy egy nagyobb téglalapból a kisebbek felé haladunk, így az oldalak hossza megegyezik a sorból származó számokkal. Felépítése fordított sorrendben történhet, az „1” négyzettől kezdve. Ha ennek a téglalapnak a sarkait a metszéspontjuk közepén lévő vonalakkal összekötjük, Fibonacci vagy logaritmikus spirált kapunk.

Az arany arányok használatának története

Egyiptom számos ókori építészeti emléke arany arányokkal épült: a híres Kheopsz piramisok és mások.Az ókori Görögország építészei széles körben használták őket építészeti objektumok, például templomok, amfiteátrumok, stadionok építésénél. Ilyen arányokat használtak például az ókori Parthenon-templom (Athén) és más objektumok építésénél, amelyek az ókori építészet remekeivé váltak, és a matematikai mintákon alapuló harmóniát demonstrálták.

A későbbi évszázadokban az aranymetszés iránti érdeklődés alábbhagyott, a minták feledésbe merültek, de a reneszánszban újra megjelentek L. Pacioli di Borgo ferences szerzetes „Isteni arány” (1509) című könyvével együtt. Leonardo da Vinci illusztrációit tartalmazta, aki rögzítette az új „aranymetszet” nevet. Ezenkívül az aranymetszés 12 tulajdonságát tudományosan igazolták, és a szerző arról beszélt, hogyan nyilvánul meg a természetben, a művészetben, és "a világ és a természet felépítésének elvének" nevezte.

Vitruvius ember Leonardo

A rajz, amellyel Leonardo da Vinci 1492-ben Vitruvius könyvét illusztrálta, egy férfi alakját ábrázolja két testhelyzetben, oldalra nyújtott karokkal. Az ábra körbe és négyzetbe van írva. Ezt a rajzot tekintik az emberi test (férfi) kanonikus arányainak, amelyeket Leonardo ír le Vitruvius római építész tanulmányai alapján.

A test középpontja, mint a karok és lábak végétől egyenlő távolságra lévő pont a köldök, a karok hossza megegyezik az ember magasságával, a vállak maximális szélessége = a magasság 1/8-a, a távolság a mellkastól a hajig = 1/7, a mellkas tetejétől a fejtetőig = 1/6 stb.

Azóta a rajzot az emberi test belső szimmetriáját bemutató szimbólumként használják.

Az "arany arány" kifejezést Leonardo használta az emberi alak arányos viszonyainak jelölésére. Például a deréktól a lábig mért távolság a köldöktől a fejtetőig azonos távolsághoz kapcsolódik, ugyanúgy, mint a magasság az első hosszúságig (deréktól lefelé). Ez a számítás hasonlóan történik, mint a szegmensek aránya az aranymetszés kiszámításakor, és 1,618-ra hajlamos.

Mindezeket a harmonikus arányokat a művészek gyakran használják gyönyörű és lenyűgöző alkotások létrehozására.

Az aranymetszés tanulmányozása a XVI-XIX

Az aranymetszés és a Fibonacci-számok felhasználásával több mint egy évszázada folyik a kutatás az arányok kérdésében. Leonardo da Vincivel párhuzamosan Albrecht Dürer német művész is kidolgozta az emberi test helyes arányainak elméletét. Ehhez még egy speciális iránytűt is készített.

A 16. században a Fibonacci-szám és az aranymetszet kapcsolatának kérdését I. Kepler csillagász munkásságának szentelte, aki először alkalmazta ezeket a szabályokat a botanikában.

Új „felfedezés” várt az aranymetszésre a XIX. Zeisig német tudós professzor „Esztétikai kutatás” című kiadványával. Ezeket az arányokat abszolútra emelte, és bejelentette, hogy minden természeti jelenségre egyetemesek. Nagyszámú embert, vagy inkább testi arányaikat (körülbelül 2 ezer) vizsgálta meg, aminek eredményeként következtetéseket vontak le statisztikailag megerősített mintázatokra a test különböző részeinek arányában: a vállak hossza, az alkar. , kezek, ujjak stb.

A műtárgyakat (vázák, építészeti szerkezetek), a zenei tónusokat, a versírási méreteket is tanulmányozták – Zeisig mindezt a szegmensek és számok hosszában jelenítette meg, bevezette a „matematikai esztétika” kifejezést is. Az eredmények kézhezvétele után kiderült, hogy a Fibonacci sorozatot kapjuk.

Fibonacci szám és aranymetszés a természetben

A növény- és állatvilágban megfigyelhető a szimmetria formájú kialakulási tendencia, amely a növekedés és a mozgás irányában figyelhető meg. A szimmetrikus részekre osztás, amelyben arany arányok figyelhetők meg, számos növény és állat mintája.

A minket körülvevő természet Fibonacci számokkal írható le, például:

• bármely növény leveleinek vagy ágainak elrendezése, valamint a távolságok az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 és így tovább adott számok sorozatához kapcsolódnak;
• napraforgómag (kúpokon lévő pikkelyek, ananászsejtek), két sorban, különböző irányokba csavart spirálokba rendezve;
• a farok hosszának és a gyík teljes testének aránya;
• a tojás alakja, ha feltételesen vonalat húz a széles részén;
• az ujjak méretének aránya az emberi kézen.

És természetesen a legérdekesebb formák a spirális csigaházak, a minták a hálón, a szél mozgása a hurrikánon belül, a DNS kettős hélixe és a galaxisok szerkezete - ezek mindegyike tartalmazza a Fibonacci számsort. .

Az aranymetszés alkalmazása a művészetben

Az aranymetszés művészeti alkalmazására példákat kereső kutatók részletesen vizsgálják a különböző építészeti tárgyakat, festményeket. Híres szobrászati ​​alkotások ismertek, amelyek alkotói ragaszkodtak az arany arányokhoz - az olimposzi Zeusz szobrai, Apollo Belvedere és

Leonardo da Vinci egyik alkotása - "Mona Lisa portréja" - évek óta a tudósok kutatásának tárgya. Megállapították, hogy a mű kompozíciója teljes egészében "arany háromszögekből" áll, amelyek egy szabályos ötszög csillaggá egyesülnek. Da Vinci összes munkája bizonyítja, hogy milyen mély ismeretekkel rendelkezett az emberi test felépítéséről és arányairól, aminek köszönhetően el tudta ragadni a Mona Lisa hihetetlenül titokzatos mosolyát.

Aranymetszés az építészetben

Példaként a tudósok az "aranymetszet" szabályai szerint létrehozott építészeti remekműveket tanulmányozták: az egyiptomi piramisokat, a Pantheont, a Parthenont, a Notre Dame de Paris katedrálist, a Szent Bazil-székesegyházat stb.

A Parthenon, az ókori Görögország egyik legszebb épülete (Kr. e. 5. század), 8 oszlopa és 17 oldala van, magasságának az oldalak hosszához viszonyított aránya 0,618. Homlokzatain a kiemelkedések az "aranymetszet" szerint készülnek (az alábbi kép).

Le Corbusier francia építész volt az egyik tudós, aki feltalálta és sikeresen alkalmazta az építészeti objektumok moduláris arányrendszerének javítását (az úgynevezett "modulort"). A modulor egy mérőrendszeren alapul, amely az emberi test részekre való feltételes felosztásához kapcsolódik.

M. Kazakov orosz építész, aki több lakóépületet épített Moszkvában, valamint a Kremlben található Szenátus épületeit és a Golicin Kórházat (ma N. I. Pirogovról elnevezett I. Klinika), egyike volt azoknak az építészeknek, akik a törvényeket alkalmazták a tervezés és kivitelezés az aranymetszésről.

Arányok alkalmazása a tervezésben

A divattervezésben minden divattervező új képeket és modelleket készít, figyelembe véve az emberi test arányait és az aranymetszés szabályait, bár természeténél fogva nem minden ember rendelkezik ideális arányokkal.

Tájtervezés tervezésénél és terjedelmes parkkompozíciók készítésekor növények (fák és cserjék), szökőkutak, építészeti kistárgyak segítségével az „isteni arányok” mintái is alkalmazhatók. Hiszen a park kompozíciójának arra kell irányulnia, hogy benyomást keltsen a látogatóban, aki szabadon navigálhat benne és megtalálhatja a kompozíciós központot.

A park minden eleme olyan arányban van, hogy a geometriai szerkezet, a kölcsönös elrendezés, a világítás és a fény segítségével harmónia és tökéletesség benyomását keltik az emberben.

Az aranymetszet alkalmazása a kibernetikában és a technológiában

Az aranymetszet és a Fibonacci-számok mintázata energiaátmenetekben, a kémiai vegyületeket alkotó elemi részecskékkel végbemenő folyamatokban, térrendszerekben, a DNS génszerkezetében is megnyilvánul.

Hasonló folyamatok mennek végbe az emberi testben, életének bioritmusában, szervek, például az agy vagy a látás működésében nyilvánulnak meg.

Az arany arányú algoritmusokat és mintákat széles körben alkalmazzák a modern kibernetikában és informatikában. Az egyik egyszerű feladat, amelyet a kezdő programozóknak meg kell oldaniuk, egy képlet felírása és a Fibonacci-számok összegének meghatározása programozási nyelvek segítségével egy bizonyos számig.

Az aranymetszés elméletének modern kutatása

A 20. század közepe óta drámaian megnőtt az érdeklődés az aranyarányok törvényeinek problémái és az emberi életre gyakorolt ​​hatása iránt, és számos különböző szakmát képviselő tudós részéről: matematikusok, néprajzkutatók, biológusok, filozófusok, egészségügyi dolgozók, közgazdászok, zenészek. stb.

Az 1970-es évek óta az Egyesült Államokban adják ki a The Fibonacci Quarterly-t, ahol a témában publikálnak munkákat. A sajtóban olyan művek jelennek meg, amelyekben az aranymetszet és a Fibonacci-sorozat általánosított szabályait használják a különböző tudományágakban. Például információk kódolására, kémiai kutatásokra, biológiai stb.

Mindez megerősíti az ókori és a modern tudósok azon következtetését, hogy az aranymetszés többoldalúan összefügg a tudomány alapvető kérdéseivel, és a minket körülvevő világ számos alkotásának és jelenségének szimmetriájában nyilvánul meg.

Már az ókori Egyiptomban is ismerték aranymetszés, Leonardo da Vinci és Euklidész tanulmányozta tulajdonságait.Az ember vizuális észlelése úgy van elrendezve, hogy alakjában megkülönbözteti az őt körülvevő összes tárgyat. Egy tárgy vagy annak formája iránti érdeklődését néha a szükség diktálja, vagy ezt az érdeklődést a tárgy szépsége is kiválthatja. Ha az űrlap felépítésének alapjában kombinációt használnak aranymetszetés a szimmetria törvényei, akkor ez a legjobb kombináció a harmóniát és szépséget érző személy vizuális észleléséhez. Az egész egész kisebb és nagyobb részekből áll, és ezek a különböző méretű részek bizonyos kapcsolatban állnak egymással és az egésszel is. És a funkcionális és szerkezeti tökéletesség legmagasabb megnyilvánulása a természetben, a tudományban, a művészetben, az építészetben és a technológiában az Elv aranymetszet. A koncepció aranymetszés tudományos használatba az ókori görög matematikus és filozófus (Kr. e. VI. század) Pythagorast vezette be. De maga a tudás aranymetszés az ókori egyiptomiaktól kölcsönözte. Az összes templomépület, Kheopsz piramisok, domborművek, háztartási cikkek és sírdíszek arányai azt mutatják, hogy az arány aranymetszet az ókori mesterek aktívan használták jóval Pitagorasz előtt. Példaként: I. Seti Abydos templomának domborműve és Ramszesz domborműve az elvet alkalmazza aranymetszet az ábrák arányaiban. Le Corbusier építész találta ki ezt. A Khesir építész sírjából előkerült fatáblán egy domborműrajz látható, amelyen maga az építész látható, kezében mérőműszereket tartva, amelyek az elveket rögzítő helyzetben vannak ábrázolva. aranymetszet. Ismerte az elveket aranymetszetés Platón (Kr. e. 427...347). A Tímea-dialógus ezt bizonyítja, hiszen kérdéseknek szentelték arany hadosztály, a Pythagoras iskolájának esztétikai és matematikai nézetei. Alapelvek aranymetszetókori görög építészek használták a Parthenon-templom homlokzatán. Az iránytűket, amelyeket az ókori világ ókori építészei és szobrászai használtak munkáik során, a Parthenon-templom ásatásai során fedezték fel.

Parthenon, Akropolisz, Athén Pompeji (nápolyi múzeum) arányaiban arany hadosztály is rendelkezésre állnak.Az ókori irodalomban, amely ránk szállt, az elv aranymetszet először Eukleidész Elemeiben említik. A "Kezdetek" című könyv második részében egy geometriai elvet adnak meg aranymetszet. Eukleidész követői Pappus (Kr. u. 3. század), Hypsicles (Kr. e. 2. század) és mások voltak. A középkori Európába azzal az elvvel aranymetszet Eukleidész „Kezdetek” című művének arab fordításán keresztül találkoztunk. Alapelvek aranymetszet csak a beavatottak szűk köre ismerte őket, féltékenyen őrizték, szigorú titokban tartották. Eljött a reneszánsz és az alapelvek iránti érdeklődés aranymetszet növekszik a tudósok és művészek körében, mivel ez az elv alkalmazható a tudományban, az építészetben és a művészetben. És Leonardo Da Vinci ezeket az elveket kezdte alkalmazni munkáiban, még ennél is többet, könyvet kezdett írni a geometriáról, de ekkor jelent meg Luca Pacioli szerzetes könyve, aki megelőzte őt és kiadta a könyvet. Isteni arány", amely után Leonardo otthagyta, a munka nem fejeződött be. A tudománytörténészek és a kortársak szerint Luca Pacioli igazi fényes volt, briliáns olasz matematikus, aki Galilei és Fibonacci között élt. Piero della Francesca festő tanítványaként Luca Pacioli két könyvet írt, A festészet perspektívájáról, az egyiknek a címe. Sokan a leíró geometria megteremtőjének tartják. Luca Pacioli Moreau hercegének meghívására 1496-ban Milánóba érkezett, és ott matematikáról tartott előadásokat. Leonardo da Vinci ebben az időben a Moro udvarban dolgozott. Luca Pacioli 1509-ben Velencében megjelent Isteni aránya lelkes himnusz lett. aranymetszés, gyönyörűen kivitelezett illusztrációkkal, minden okunk megvan azt hinni, hogy az illusztrációkat maga Leonardo da Vinci készítette. Luca Pacioli szerzetes, mint az egyik erény aranymetszés hangsúlyozta „isteni lényegét”. Leonardo da Vinci, aki megértette az aranymetszés tudományos és művészi értékét, sok időt szentelt annak tanulmányozására. Egy sztereometrikus test ötszögekből álló metszetét végrehajtva olyan téglalapokat kapott, amelyek oldalarányai a megfelelőek. aranymetszés. És nevet adott neki aranymetszés". Ami még kitart. Albrecht Dürer, szintén tanul aranymetszet Európában találkozik Luca Pacioli szerzetessel. Johannes Kepler, a kor legnagyobb csillagásza volt az első, aki felhívta a figyelmet a fontosságra aranymetszet a botanika számára a geometria kincsének nevezve. Az aranymetszés önmagában folytatódónak nevezte. „Úgy van elrendezve – mondta –, hogy a két végtelen arányú alsó tag összege adja a harmadik tagot, és bármely két utolsó tag, ha összeadjuk, a következő tagot adja. , és ugyanez az arány a végtelenségig megmarad.”

Arany háromszög:: Arany arány és arany arány:: Arany téglalap:: Arany spirál

Arany háromszög

A csökkenő és növekvő sorok aranymetszésének szegmenseinek megtalálásához a pentagramot használjuk.

Rizs. 5. Szabályos ötszög és pentagram felépítése

A pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell rajzolni Albrecht Dürer német festő és grafikus által kidolgozott építési módszer szerint. Ha O a kör középpontja, A a kör egy pontja, E pedig az OA szakasz felezőpontja. Az O pontban emelt OA sugárra merőleges metszi a kört a D pontban. Iránytűvel jelöljön ki egy szakaszt a CE = ED átmérőn. Ekkor egy szabályos ötszög körbe írt oldalának hossza egyenlő DC-vel. A körön félretesszük a DC szakaszokat, és öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásáért. Ezután az egyik sarkon keresztül összekötjük az ötszög sarkait átlókkal, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekapcsolt szegmensekre.

Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszög. Oldalai felül 36°-os szöget zárnak be, az oldalra fektetett alap pedig az aranymetszet arányában osztja el. Rajzolj AB egyenest. Az A pontból háromszor lerakunk rá egy tetszőleges méretű O szakaszt, a kapott P ponton keresztül merőlegest húzunk az AB egyenesre, a merőlegesen a P pont jobb és bal oldalára O szakaszokat. A d és d1 pontokat egyenesek kötik össze az A ponttal. A dd1 szakaszt az Ad1 egyenesre helyezzük, így megkapjuk a C pontot. Az Ad1 egyenest az aranymetszés arányában osztotta fel. Az Ad1 és dd1 vonalak egy "arany" téglalap felépítésére szolgálnak.

Rizs. 6. Arany építése

háromszög

Aranyarány és Aranyarány

A matematikában és a művészetben két mennyiség aranymetszésű, ha e mennyiségek összege és a nagyobb aránya megegyezik a nagyobb és a kisebb arányával. Algebrailag kifejezve: Az aranymetszést gyakran a görög phi betűvel (? vagy?) jelölik. az aranymetszés ábrája szemlélteti azokat a geometriai összefüggéseket, amelyek ezt az állandót meghatározzák. Az aranymetszés egy irracionális matematikai állandó, körülbelül 1,6180339887.

arany téglalap

Az arany téglalap olyan téglalap, amelynek oldalhossza aranymetszet, 1:? (egy-fi), azaz 1: vagy körülbelül 1:1,618. Az arany téglalapot csak vonalzóval lehet megépíteni és egy kör: 1. Szerkesszünk meg egy egyszerű négyzetet! 2. Húzzon egy vonalat a négyzet egyik oldalának közepétől a szemközti sarokig 3. Használja ezt a vonalat sugárként egy ív megrajzolásához, amely meghatározza a téglalap magasságát 4. Egészítse ki az arany téglalapot

arany spirál

A geometriában az aranyspirál egy logaritmikus spirál, amelynek b növekedési faktora összefügg? , aranymetszés. Konkrétan az aranyspirál egy tényezővel szélesebbé válik (távolabbra a kiindulási helytől). ? minden negyedfordulóra, amit megtesz.

Az arany téglalap négyzetekre osztásának egymást követő pontjai ráfekszenek logaritmikus spirál, más néven aranyspirál.

Aranymetszet az építészetben és a művészetben.

Sok építész és művész az aranymetszet arányai szerint végezte munkáját, különösen arany téglalap formájában, amelyben a nagyobb oldal és a kisebb oldal aránya az aranymetszet arányaival rendelkezik, hisz ez az arány esztétikus lenne. [Forrás: Wikipedia.org ]

Íme néhány példa:

Parthenon, Akropolisz, Athén . Ez az ősi templom szinte pontosan illeszkedik az arany téglalaphoz.

Leonardo da Vinci: Vitruvius Man ezen az ábrán sok téglalapvonalat rajzolhat. Ezután három különböző arany téglalapkészlet van: Mindegyik készlet a fej, a törzs és a lábak területére vonatkozik. Leonardo da Vinci Vitruvian Man című rajzát néha összekeverik az „arany téglalap” elveivel, ez azonban nem így van. A Vitruvius Man konstrukciója a négyzet átlójával megegyező átmérőjű kör rajzolásán alapul, felfelé mozgatásával, hogy érintse a négyzet alapját, és megrajzolja a végső kört a négyzet alapja és a négyzet felezőpontja között. a négyzet középpontjának és a kör középpontjának területe: Részletes magyarázat a geometriai felépítésről >>

Aranymetszés a természetben.

Adolf Zeising, akinek fő érdeklődési köre a matematika és a filozófia volt, megtalálta az aranymetszést a növény szára mentén elhelyezkedő ágak és a levelek ereiben. Tanulmányait a növényekről az állatokra terjesztette ki, az állatok csontvázát, ereik és idegeik ágait, valamint a kémiai vegyületek arányait és a kristályok geometriáját tanulmányozta, egészen az aranymetszés képzőművészeti alkalmazásáig. Ezekben a jelenségekben látta, hogy az aranymetszés egyetemes törvényként mindenütt használatos – írta Zeising 1854-ben: Az aranymetszés egy univerzális törvény, amely tartalmazza azt az alapelvet, amely megformálja a szépség és a teljesség vágyát olyan területeken, mint a természet és a művészet, amely minden struktúrát, formát és arányt áthat, mint legfőbb szellemi ideál, legyen szó akár kozmikusról. vagy fizikai személy, szerves vagy szervetlen, akusztikus vagy optikai, de az aranymetszet elve a legteljesebb megvalósulását, emberi formában találja meg.

Példák:

A Nautilus héj kivágása feltárja a spirális felépítés aranyelvét.

Mozart két részre osztotta szonátáit, amelyek hossza tükröződik aranymetszés, bár sok vita folyik arról, hogy vajon tudatosan tette-e. A modernebb időkben Bartók Béla magyar zeneszerző és Le Corbusier francia építész céltudatosan építették be munkáikba az aranymetszetet. Még ma is aranymetszés mindenhol mesterséges tárgyakban vesz körül bennünket. Nézd meg szinte bármelyik keresztény keresztet, a függőleges és a vízszintes aránya az aranymetszés. Az arany téglalap megtalálásához nézzen a pénztárcájába, és ott hitelkártyákat talál. Annak ellenére, hogy az évszázadok során keletkezett műalkotásokban sok bizonyíték van, jelenleg vita folyik a pszichológusok között arról, hogy az emberek valóban szebbnek érzik-e az arany arányokat, különösen az arany téglalapot, mint más formákat. Egy 1995-ös folyóiratcikkben Christopher Green, a torontói York Egyetem professzora számos olyan kísérletet tárgyal az évek során, amelyek nem mutattak előnyben az arany téglalap alakját, de megjegyzi, hogy többen is bizonyítékot szolgáltattak arra, hogy ez a preferencia. nem létezik.. De a tudománytól függetlenül az aranymetszés megőrzi misztikumát, részben azért, mert a természet sok váratlan helyén olyan jól működik. Spirál a nautilus kagyló héja meglepően közel van aranymetszés, és a mellkas és a has hosszának aránya a legtöbb méhnél szinte aranymetszés. Még az emberi DNS leggyakoribb formáinak keresztmetszete is tökéletesen illeszkedik az arany tízszögbe. aranymetszésés rokonai is számos váratlan kontextusban jelennek meg a matematikában, és továbbra is felkeltik a matematikai közösségek érdeklődését. Dr. Steven Marquardt, egykori plasztikai sebész ezt a titokzatos arányt alkalmazta aranymetszés, munkájában, aki régóta felelős a szépségért és a harmóniáért, hogy olyan maszkot készítsen, amelyet az emberi arc legszebb formájának tartott, ami csak lehet.

Maszk tökéletes emberi arc

Nefertiti egyiptomi királynő (Kr. e. 1400)

Jézus arca a torinói lepel másolata, Dr. Stephen Marquardt maszkja szerint javítva.

Egy "átlagos" (szintetizált) híresség arc. Az aranymetszet arányaival.

A webhely anyagait használtuk: http://blog.worl-mysteries.com/

Általánosan elfogadott, hogy az aranyfelosztás fogalmát Pythagoras, egy ókori görög filozófus és matematikus vezette be a tudományos használatba (Kr. e. VI. század). Van egy olyan feltételezés, hogy Pythagoras az egyiptomiaktól és babilóniaiaktól kölcsönözte tudását az arany felosztásról. Valójában a Kheopsz-piramis, a templomok, a domborművek, a háztartási cikkek és a Tutanhamon sírjából származó díszítések arányai azt jelzik, hogy az egyiptomi mesterek az arany felosztás arányait alkalmazták létrehozásuk során. Le Corbusier francia építész megállapította, hogy I. Seti fáraó Abydosban lévő templomának domborművében és a Ramszesz fáraót ábrázoló domborműben az alakzatok arányai megfelelnek az aranyoszlop értékeinek. A nevéhez fűződő sírboltból származó fadeszka domborművén ábrázolt Khesira építész mérőműszereket tart a kezében, amelyekben az arany osztás arányai rögzítve vannak.

A görögök képzett geométerek voltak. Még a számtant is tanították gyermekeiknek geometriai alakzatok segítségével. A Pythagoras négyzete és ennek a négyzetnek az átlója volt az alapja a dinamikus téglalapok készítésének.

Platón (Kr. e. 427...347) is tudott az aranyosztásról. „Timeus” című dialógusa a Pythagoras iskola matematikai és esztétikai nézeteinek, különösen az aranyfelosztás kérdéseinek szentel.

Az ókori irodalomban, amely eljutott hozzánk, az aranyfelosztást először Eukleidész „Kezdeteiben” említették. A „Kezdetek” 2. könyvében az aranyfelosztás geometriai felépítése szerepel. Eukleidész után Hypsicles (Kr. e. 2. század), Pappus (Kr. u. 3. század) és mások foglalkoztak az aranyfelosztás tanulmányozásával Navarra (3. század). Az arany hadosztály titkait féltékenyen őrizték, szigorúan titokban tartották, csak a beavatottak tudták.

A reneszánsz idején a tudósok és művészek körében megnőtt az érdeklődés az aranyfelosztás iránt, köszönhetően annak geometriai és művészeti, különösen építészeti felhasználásának. Leonardo da Vinci művész és tudós látta, hogy az olasz művészek sok tapasztalati tapasztalattal, de kevés tudással rendelkeznek. Megfogant és elkezdett könyvet írni a geometriáról, de ekkor megjelent Luca Pacioli szerzetes könyve, és Leonardo feladta az ötletét. A kortársak és a tudománytörténészek szerint Luca Pacioli igazi fényes volt, a legnagyobb matematikus Olaszországban Fibonacci és Galileo között. Luca Pacioli Piero della Francesca művész tanítványa volt, aki két könyvet írt, amelyek közül az egyik a Perspektíva a festészetben címet viselte. A leíró geometria megalkotójának tartják.

Luca Pacioli nagyon is tisztában volt a tudomány fontosságával a művészet számára. 1509-ben Velencében adták ki Luca Pacioli Isteni arány című művét, zseniálisan kivitelezett illusztrációkkal, ezért feltételezik, hogy Leonardo da Vinci készítette őket. A könyv az aranymetszés lelkes himnusza volt. Az aranymetszés számos előnye között Luca Pacioli szerzetes nem mulasztotta el „isteni lényegét” a Fiú Isten, az Atyaisten és a Szentlélek Isten isteni hármasságának kifejeződéseként megnevezni (értették, hogy a kicsi szegmens a Fiú Isten megszemélyesítése, a nagyobb szegmens az Atyaisten megszemélyesítése, az egész szegmens pedig a Szentlélek istene).

Leonardo da Vinci is nagy figyelmet fordított az aranyosztály tanulmányozására. Szabályos ötszögekből kialakított sztereometrikus test metszeteit készítette, és minden alkalommal arany osztású téglalapokat kapott. Ezért adta ennek a felosztásnak az aranymetszet nevet. És ez így megy a mai napig.

Ugyanakkor Észak-Európában, Németországban Albrecht Dürer ugyanezen a problémákon dolgozott. Felvázolja az arányokról szóló értekezés első tervezetének bevezetését. Durer írja. „Szükséges, hogy az, aki tud valamit, megtanítsa másoknak, akiknek szükségük van rá. Ezt tűztem ki magam elé.” Albrecht Dürer részletesen kidolgozza az emberi test arányainak elméletét. Arányrendszerében fontos helyet tulajdonított az aranymetszetnek. Ismert arányos iránytű Dürer.

A 16. század nagy csillagásza Johannes Kepler az aranymetszetet a geometria egyik kincsének nevezte. Elsőként hívja fel a figyelmet az aranymetszés botanika (növénynövekedés és szerkezet) jelentőségére. Kepler úgy nevezte, hogy az aranymetszés önmagában folytatódik: „Úgy van elrendezve” – írta –, hogy ennek a végtelen aránynak a két alsó tagja összeadódik a harmadik taggal, és bármely két utolsó tag, ha összeadjuk, a következőt adja. időtartamra, és ugyanaz az arány marad a végtelenségig."

Az aranymetszés szegmenseinek sorozatának felépítése történhet mind a növekedés (növekvő sorozat), mind a csökkenés irányában (csökkenő sorozat).

A következő évszázadokban az aranymetszés szabálya akadémiai kánonná változott, és amikor idővel a művészetben harc kezdődött az akadémiai rutinnal, a küzdelem hevében „kidobták a gyermeket a vízzel együtt. ” Az aranymetszés a 19. század közepén került újra „felfedezésre”. Az aranymetszet német kutatója, Zeising professzor 1855-ben adta ki Esztétikai kutatás című munkáját. Zeising úgy tekinti az aranymetszést, hogy nincs kapcsolata más jelenségekkel. Abszolutizálta az aranymetszet arányát, általánossá nyilvánítva a természet és a művészet minden jelenségére. Zeisingnek számos követője volt, de voltak olyan ellenzők is, akik az arányok tanát „matematikai esztétikának” nyilvánították.

Zeising a görög szobrokon tesztelte elméletének érvényességét. Ő dolgozta ki a legrészletesebben Apollo Belvedere arányait. Görög vázák, különböző korok építészeti szerkezetei, növények, állatok, madártojások, zenei hangok, költői méterek kerültek kutatásra. Zeising meghatározta az aranymetszést, megmutatta, hogyan fejeződik ki vonalszakaszokban és számokban. Amikor megkaptuk a szegmensek hosszát kifejező ábrákat, Zeising látta, hogy ezek egy Fibonacci-sorozatot alkotnak, amely végtelenségig folytatható egyik és másik irányban. Következő könyve az „Aranyfelosztás, mint a természet és a művészet alapvető morfológiai törvénye” címet viselte. 1876-ban Oroszországban megjelent egy kis könyv, amely Zeising e munkáját ismerteti.

A XIX. század végén - a XX. század elején. számos tisztán formalista elmélet jelent meg az aranymetszet művészeti és építészeti alkotásokban való használatáról. A formatervezés és a műszaki esztétika fejlődésével az aranymetszés törvénye kiterjedt az autók, bútorok stb.

A tudomány nem szívta magába a művészetet, de azokban a történelmi periódusokban, amikor a matematika és a művészet közeledett egymáshoz, ez mindkettő fejlődésének lendületet adott.

Az aranymetszés fogalma

Nézzük meg, mi a közös az ókori egyiptomi piramisok, Leonardo da Vinci „Mona Lisa” festménye, a napraforgó, a csiga, a hópehely, a galaxis és az emberi ujjak között?

A matematikában az arány (latin proportio) két arány egyenlősége: a: b = c: d.

Az aranymetszet egy szakasz olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben a teljes szegmens ugyanúgy viszonyul a nagyobb részhez, mint maga a nagyobb rész a kisebbhez.

Az AB szakasz a C pont által két részre osztható a következő módokon:

• két egyenlő részre - AB: AC = AB: BC;
• két egyenlőtlen részre bármilyen arányban (az ilyen részek nem alkotnak arányokat);
• szélső és átlagos arányban oly módon, hogy AB: AC \u003d AC: BC.

Az utolsó az aranyosztály.

Az aranymetszés gyakorlati megismerése azzal kezdődik, hogy egy egyenes szakaszt aranymetszetben osztunk el egy iránytű és vonalzó segítségével. BC = 1/2 AB; CD=BC

A B pontból visszaállítjuk az AB felével egyenlő merőlegest. A kapott C pontot egy egyenes köti össze az A ponttal. Az eredményül kapott egyenesen egy BC szakaszt ábrázolunk, amely a D ponttal végződik. Az AD szakasz átkerül az AB egyenesre. A kapott E pont osztja az AB szakaszt az aranymetszés arányában.

Az aranymetszés szegmenseit végtelen irracionális törtként fejezzük ki, ha az AB-t egységnek vesszük, akkor AE \u003d 0,618 ..., BE \u003d 0,382 ... Gyakorlati okokból közelítő értékek 0,62 és 0,38-at gyakran használnak. Ha az AB szakaszt 100 résznek vesszük, akkor a szakasz legnagyobb része 62, a kisebbé 38 rész.

A második aranymetszet építése. A felosztás a következőképpen történik. Az AB szakaszt az aranymetszet arányában kell felosztani. A C pontból a merőleges CD visszaáll. Az AB sugár a D pont, amelyet egy egyenes köt össze az A ponttal. Az ACD derékszög felezve van. A C pontból egy egyenest húzunk az AD egyenessel való metszéspontig. Az E pont az AD szakaszt 56:44 arányban osztja fel.

A téglalap második aranymetszetének vonala középen van az aranymetszet vonala és a téglalap középső vonala között.

Pentagram

A növekvő és csökkenő sorok aranymetszésének szegmenseinek megtalálásához használhatja a pentagramot.

Szabályos ötszög és pentagram felépítése.

Pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell építeni. Építésének módját Albrecht Dürer (1471...1528) német festő és grafikus dolgozta ki. Legyen O a kör középpontja, A egy pont a körön, E pedig az OA szakasz felezőpontja. Az O pontban emelt OA sugárra merőleges metszi a kört a D pontban. Iránytűvel jelölje be az átmérőn a CE = ED szakaszt. Egy szabályos ötszög körbe írt oldalának hossza DC. A körön félretesszük a DC szakaszokat, és öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásáért. Összekapcsoljuk az ötszög sarkait egy átlón keresztül, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója aranymetszetben szegmensekre osztja egymást. Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszög. Oldalai csúcsán 36°-os szöget zárnak be, az oldaloldalra fektetett alap pedig aranymetszéssel osztja el.

Fibonacci sorozat

A pisai Leonardo olasz matematikus szerzetes, ismertebb nevén Fibonacci (Bonacci fia) neve közvetve összefügg az aranymetszet történetével. Sokat utazott keleten, megismertette Európát az indiai (arab) számokkal. 1202-ben jelent meg „Az abakusz könyve” (számlálótábla) című matematikai munkája, amelyben az összes akkor ismert feladatot összegyűjtötték. Az egyik feladat így szólt: "Hány pár nyúl születik egy év alatt egy párból." Erre a témára reflektálva Fibonacci a következő számsorokat építette fel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 stb.

Ez a sorozat Fibonacci sorozat néven ismert. A számsor sajátossága, hogy minden tagja a harmadiktól kezdve egyenlő az előző kettő összegével, és a sorozat szomszédos számainak aránya megközelíti az aranyosztás arányát. Sőt, a sorozat 13. száma után ez az osztási eredmény állandóvá válik a sorozat végtelenjéig. Ezt az állandó számú felosztást nevezték a középkorban Isteni Aránynak, ma pedig aranymetszetnek, arany középútnak vagy arany aránynak nevezik. Az algebrában ezt a számot a görög φ (phi) betű jelöli.

Tehát az aranymetszés 1:1,618

Tehát 21:34 = 0,617 és 34:55 = 0,618. Ezt az arányt a φ szimbólum jelöli. Ez az arány - 0,618: 0,382 - egy egyenes szakasz folyamatos aranymetszetű felosztását adja.

A Fibonacci-sorozat csak matematikai incidens maradhatott volna, ha nem lett volna az a tény, hogy a növény- és állatvilág aranyfelosztásának minden kutatója, a művészetről nem is beszélve, változatlanul ehhez a sorozathoz érkezett, mint az aranyosztás törvényének számtani kifejezésére. . A tudósok folytatták a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletének aktív fejlesztését. Elegáns módszerek léteznek számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására Fibonacci számok és az aranymetszet segítségével. Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.

arany téglalap és arany spirál

A geometriában az arany oldalarányú téglalapot aranynak kezdték nevezni. Hosszú oldalai a rövidekhez kapcsolódnak - 1,168:1 arányban.

Az arany téglalapnak számos csodálatos tulajdonsága is van. Ha az arany téglalapból levágunk egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő a téglalap kisebbik oldalával, ismét egy kisebb arany téglalapot kapunk. Ez a folyamat a végtelenségig folytatható. Ahogy folyamatosan levágjuk a négyzeteket, egyre kisebb arany téglalapokat kapunk. Sőt, logaritmikus spirálban helyezkednek el, ami fontos a természeti objektumok matematikai modelljeiben. A spirál pólusa a kezdeti téglalap és az első levágott függőleges metszéspontjában fekszik. Ezenkívül az összes későbbi csökkenő arany téglalap átlója ezeken az átlókon fekszik. Természetesen van egy arany háromszög is.