Milyen számok természetesek. Az egzakt tárgy tanulmányozása: a természetes számok milyen számok, példák és tulajdonságok
A természetes számok az egyik legrégebbi matematikai fogalmak.
A távoli múltban az emberek nem ismerték a számokat, és amikor tárgyakat (állatokat, halakat stb.) kellett megszámolniuk, másképp csinálták, mint mi.
A tárgyak számát összehasonlították a testrészekkel, például a kézen lévő ujjakkal, és azt mondták: "Annyi dióm van, ahány ujj a kezemen."
Idővel az emberek rájöttek, hogy öt dió, öt kecske és öt nyúl közös tulajdonnal rendelkezik - számuk öt.
Emlékezik!
Egész számok 1-gyel kezdődő számok, amelyeket az objektumok számlálásakor kapunk.
1, 2, 3, 4, 5…
legkisebb természetes szám — 1 .
legnagyobb természetes szám nem létezik.
Számláláskor a nullát nem használjuk. Ezért a nulla nem tekinthető természetes számnak.
Az emberek sokkal később tanultak meg számokat írni, mint számolni. Először is egy bottal kezdték ábrázolni az egységet, majd két pálcával - a 2-es számmal, hárommal - a 3-as számmal.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Ezután speciális jelek jelentek meg a számok kijelölésére - a modern számok előfutárai. A számok írásához használt számok Indiából származnak körülbelül 1500 évvel ezelőtt. Az arabok hozták őket Európába, így hívják őket Arab számok.
Összesen tíz számjegy van: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ezekkel a számjegyekkel bármilyen természetes szám írható.
Emlékezik!
természetes sorozat az összes természetes szám sorozata:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
A természetes sorozatban minden szám 1-gyel nagyobb, mint az előző.
A természetes sorozat végtelen, nincs benne legnagyobb természetes szám.
Az általunk használt számlálórendszert ún decimális pozíciós.
Tizedes, mert minden számjegyből 10 egység alkotja a legjelentősebb számjegy 1 egységét. Pozíciós, mert egy számjegy értéke a szám jelölésében elfoglalt helyétől, vagyis attól a számjegytől függ, amelyben írják.
Fontos!
A milliárdot követő osztályokat a számok latin nevei szerint nevezik el. Minden következő egység ezer előzőt tartalmaz.
- 1 000 milliárd = 1 000 000 000 000 = 1 billió (a „három” latinul „három”)
- 1 000 billió = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadrillió (a „quadra” latinul „négy”)
- 1000 kvadrillió = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintimillió (a „quinta” latinul „öt”)
A fizikusok azonban találtak egy számot, amely meghaladja az összes atom (az anyag legkisebb részecskéi) számát az egész univerzumban.
Ennek a számnak különleges neve van - googol. A googol olyan szám, amelynek 100 nullája van.
Egész számok- A természetes számok olyan számok, amelyeket az objektumok megszámlálására használnak. A természetes számok halmazát néha természetes sorozatnak is nevezik: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 stb. .
A természetes számok írásához tíz számjegyet használnak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Segítségükkel bármilyen természetes számot felírhatunk. Ezt a jelölést decimálisnak nevezik.
A természetes számsor a végtelenségig folytatható. Nincs olyan szám, ami az utolsó lenne, mert az utolsó számhoz mindig hozzá lehet adni egyet, és az ember a kívántnál már nagyobb számot kap. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a természetes sorozatban nincs legnagyobb szám.
Természetes számok számjegyei
Bármilyen szám számokkal írásakor döntő jelentőségű, hogy a szám melyik helyen áll a számban. Például a 3-as szám jelentése: 3 egység, ha az utolsó a számban; 3 tízes, ha az utolsó előtti számban lesz; 4 százas, ha a végétől a harmadik helyen lesz.
Az utolsó számjegy a mértékegység számjegyet jelenti, az utolsó előtti - a tízes számjegyet, a 3 a végétől a százas számjegyet.
Egy- és több számjegyű
Ha a szám bármely számjegyében 0 van, ez azt jelenti, hogy ebben a számjegyben nincsenek mértékegységek.
A 0 szám nullát jelent. A nulla a "nincs".
A nulla nem természetes szám. Bár egyes matematikusok másként gondolják.
Ha egy szám egy számjegyből áll, akkor egyjegyűnek, két-kétjegyűnek, három-háromjegyűnek stb.
Azokat a számokat, amelyek nem egyjegyűek, többjegyűnek is nevezik.
Számjegyosztályok nagy természetes számok olvasásához
Nagy természetes számok olvasásához a számot három számjegyű csoportokra osztjuk, a jobb széltől kezdve. Ezeket a csoportokat osztályoknak nevezzük.
A jobb széltől az első három számjegy az egységek osztályát, a következő három az ezres osztályt, a következő három a milliós osztályt alkotja.
A millió az ezerezer, a rekordnál a millió 1 millió = 1 000 000 rövidítést használják.
Egy milliárd = ezer millió. A rögzítéshez a milliárd 1 milliárd = 1 000 000 000 rövidítést használjuk.
Példa írása és olvasása
Ez a szám 15 darab a milliárdos osztályban, 389 egység a milliós osztályban, nulla egység az ezres osztályban és 286 egység a befektetési jegyek osztályában.
Ez a szám így hangzik: 15 milliárd 389 millió 286.
Olvassa el a számokat balról jobbra. Felváltva az egyes osztályok egységeinek számát hívják meg, majd hozzáadják az osztály nevét.
A természetes számok ismerősek az ember számára és intuitívak, mert gyermekkorunk óta körülvesznek bennünket. Az alábbi cikkben alapötletet adunk a természetes számok jelentéséről, leírjuk az írás és az olvasás alapvető készségeit. A teljes elméleti részt példák kísérik.
Yandex.RTB R-A-339285-1
A természetes számok általános elképzelése
Az emberiség fejlődésének egy bizonyos szakaszában felmerült a feladat bizonyos tárgyak megszámlálása és mennyiségük megjelölése, amihez viszont eszközt kellett találni a probléma megoldására. Ilyen eszközzé váltak a természetes számok. A természetes számok fő célja is egyértelmű - képet adni az objektumok számáról vagy egy adott objektum sorozatszámáról, ha egy halmazról beszélünk.
Logikus, hogy ahhoz, hogy valaki természetes számokat használhasson, meg kell találnia a módját, hogy érzékelje és reprodukálja azokat. Tehát egy természetes szám hangozható vagy ábrázolható, ami az információtovábbítás természetes módja.
Tekintsük a természetes számok hangzásának (olvasásának) és képeinek (írásának) alapvető készségeit.
Természetes szám decimális jelölése
Emlékezzünk vissza, hogyan jelennek meg a következő karakterek (vesszővel elválasztva jelezzük őket): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ezeket a karaktereket számoknak nevezzük.
Vegyük most azt a szabályt, hogy bármilyen természetes szám ábrázolásakor (írásakor) csak a jelzett számjegyeket használjuk, más szimbólumok részvétele nélkül. Legyenek a számjegyek egy természetes szám írásakor azonos magasságúak, egymás után íródnak egy sorba, és mindig legyen a bal oldalon egy nullától eltérő számjegy.
Mutassunk példákat a természetes számok helyes jelölésére: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. A számjegyek közötti behúzások nem mindig azonosak, erről az alábbiakban a számosztályok tanulmányozása során részletesebben lesz szó. A megadott példák azt mutatják, hogy egy természetes szám felírásakor nem szükséges, hogy a fenti sorozatból minden számjegy szerepeljen. Ezek egy része vagy mindegyike megismétlődhet.
1. definíció
A 065 , 0 , 003 , 0791 formátumú rekordok nem természetes számok rekordjai, mert a bal oldalon a 0.
A természetes szám helyes, az összes leírt követelmény figyelembevételével történő jelölését hívjuk természetes szám decimális jelölése.
A természetes számok mennyiségi jelentése
Mint már említettük, a természetes számok kezdetben többek között mennyiségi jelentést is hordoznak. A természetes számokkal, mint számozási eszközzel a természetes számok összehasonlítása témakörben foglalkozunk.
Kezdjük a természetes számokkal, amelyek bejegyzései egybeesnek a számjegyek bejegyzéseivel, azaz: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Képzeljünk el egy bizonyos objektumot, például ezt: Ψ . Leírhatjuk, amit látunk 1 dolog. Az 1-es természetes szám „egy”-ként vagy „egyként” olvasható. Az "egység" kifejezésnek van egy másik jelentése is: valami, ami egy egésznek tekinthető. Ha van halmaz, akkor annak bármely eleme jelölhető eggyel. Például sok egér közül bármelyik egér egy; minden virág egy virághalmazból egy egység.
Most képzeljük el: Ψ Ψ . Egy tárgyat látunk és egy másik tárgyat, i.e. a nyilvántartásban ez lesz - 2 elem. A 2-es természetes számot „kettőnek” kell olvasni.
Továbbá, analógia szerint: Ψ Ψ Ψ - 3 elem ("három"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("négy"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("öt"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("hat"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("hét"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("nyolc"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (" Ψ - 9" kilenc").
A jelzett pozícióból egy természetes szám funkciója a jelzés mennyiségeket tételeket.
1. definíció
Ha egy szám bevitele megegyezik a 0 számjegy bevitelével, akkor egy ilyen számot hívunk "nulla". A nulla nem természetes szám, hanem más természetes számokkal együtt tekintendő. A nulla azt jelenti, hogy nem, azaz. a nulla elem azt jelenti, hogy nincs.
Egyjegyű természetes számok
Nyilvánvaló tény, hogy a fent tárgyalt természetes számok (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) felírásakor egy jelet használunk - egy számjegyet.
2. definíció
Egyjegyű természetes szám- természetes szám, amelyet egy előjellel írnak le - egy számjegyet.
Kilenc egyjegyű természetes szám létezik: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Két- és háromjegyű természetes számok
3. definícióKétjegyű természetes számok- természetes számok, amelyeket két előjellel írnak le - két számjegyet. Ebben az esetben a használt számok lehetnek azonosak vagy eltérőek.
Például a 71, 64, 11 természetes számok kétjegyűek.
Tekintsük a kétjegyű számok jelentését! Az egyértékű természetes számok általunk már ismert mennyiségi jelentésére fogunk támaszkodni.
Vezessünk be egy olyan fogalmat, mint a „tíz”.
Képzeljünk el egy objektumkészletet, amely kilencből és még egyből áll. Ebben az esetben 1 tucat ("egy tucat") elemről beszélhetünk. Ha elképzel egy tucat és még egy, akkor 2 tízről („két tízről”) beszélünk. Két tízeshez hozzáadva még egy tízest, három tízest kapunk. És így tovább: folytatva az egy tucat hozzáadását, négy tízest, öt tízest, hat tízest, hét tízest, nyolc tízest és végül kilenc tízest kapunk.
Tekintsünk egy kétjegyű számot egyjegyű számok halmazának, amelyek közül az egyik a jobb, a másik a bal oldalra van írva. A bal oldali szám a természetes szám tízeseinek számát, a jobb oldali pedig az egységek számát jelöli. Abban az esetben, ha a 0 szám a jobb oldalon található, akkor az egységek hiányáról beszélünk. A fentiek a természetes kétjegyű számok mennyiségi jelentése. Összesen 90 db van belőlük.
4. definíció
Háromjegyű természetes számok- természetes számok, amelyeket három karakterrel írnak le - három számjegyet. A számok eltérőek lehetnek, vagy bármilyen kombinációban ismétlődnek.
Például a 413, 222, 818, 750 háromjegyű természetes számok.
A háromértékű természetes számok kvantitatív jelentésének megértéséhez bemutatjuk a fogalmat "Száz".
5. definíció
száz (1 száz) egy tíz tízes halmaz. Száz plusz száz egyenlő kétszáz. Adjunk hozzá még százat, és kapjunk 3 százat. Fokozatosan százat hozzáadva a következőt kapjuk: négyszáz, ötszáz, hatszáz, hétszáz, nyolcszáz, kilencszáz.
Tekintsük magát a háromjegyű szám rekordját: a benne szereplő egyjegyű természetes számokat egymás után balról jobbra írjuk. A jobb szélső egyjegyű szám az egységek számát jelzi; a következő egyjegyű szám balra - a tízesek számával; a bal szélső egyjegyű a százak száma. Ha a 0 szám szerepel a bejegyzésben, az egységek és/vagy tízesek hiányát jelzi.
Tehát a 402-es háromjegyű természetes szám jelentése: 2 egység, 0 tízes (nincs olyan tízes, amely ne lett volna százas) és 4 száz.
Analógia útján megadjuk a négyjegyű, ötjegyű és így tovább természetes számok definícióját.
Többértékű természetes számok
A fentiek alapján most már továbbléphetünk a többértékű természetes számok meghatározásához.
6. definíció
Többértékű természetes számok- természetes számok, amelyek két vagy több karaktert használnak. A többjegyű természetes számok kétjegyűek, háromjegyűek és így tovább.
Ezer egy készlet, amely tízszázat tartalmaz; az egymillió ezerezerből tevődik össze; egymilliárd - ezer millió; egy billió ezermilliárd. Még nagyobb készleteknek is van neve, de ritka a használatuk.
A fenti elvhez hasonlóan tetszőleges többjegyű természetes számot tekinthetünk egyjegyű természetes számok halmazának, amelyek mindegyike egy adott helyen jelzi a tízes, százas, ezres, tízes egységek jelenlétét és számát. ezrek, százezrek, milliók, tízmilliók, százmilliók, milliárdok és így tovább (jobbról balra).
Például a 4 912 305 többjegyű szám a következőket tartalmazza: 5 egység, 0 tíz, háromszáz, 2 ezer, 1 tízezer, 9 százezer és 4 millió.
Összefoglalva, megvizsgáltuk az egységek különféle halmazokba (tízes, százas stb.) csoportosításának készségét, és azt láttuk, hogy a többjegyű természetes szám rekordjában szereplő számok az egyes ilyen halmazok egységeinek a megjelölését jelentik.
Természetes számok, osztályok olvasása
A fenti elméletben a természetes számok nevét jelöltük. Az 1. táblázatban megmutatjuk, hogyan kell helyesen használni az egyjegyű természetes számok nevét beszédben és alfabetikus jelölésben:
| Szám | férfias | Nőies | Semleges nem |
|
1 |
Egy |
Egy |
Egy |
| Szám | névelős eset | Birtokos | Részeshatározó | Tárgyeset | Eszközhatározói eset | Elöljárószó |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Egy Kettő Három Négy Öt Hat Hét Nyolc Kilenc |
Egy Kettő Három négy Öt hat Félig nyolc Kilenc |
egyhez kettő Trem négy Öt hat Félig nyolc Kilenc |
Egy Kettő Három Négy Öt Hat Hét Nyolc Kilenc |
Egy kettő Három négy Öt hat család nyolc Kilenc |
Körülbelül egy Körülbelül kettő Körülbelül három Körülbelül négy Újra Körülbelül hat Körülbelül hét Körülbelül nyolc Körülbelül kilenc |
A kétjegyű számok kompetens olvasásához és írásához meg kell tanulnia a 2. táblázat adatait:
| Szám |
Férfias, nőies és semleges |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Tíz Tizenegy Tizenkét Tizenhárom Tizennégy Tizenöt Tizenhat Tizenhét Tizennyolc Tizenkilenc Húsz Harminc Negyven Ötven Hatvan Hetven Nyolcvan Kilencven |
| Szám | névelős eset | Birtokos | Részeshatározó | Tárgyeset | Eszközhatározói eset | Elöljárószó |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Tíz Tizenegy Tizenkét Tizenhárom Tizennégy Tizenöt Tizenhat Tizenhét Tizennyolc Tizenkilenc Húsz Harminc Negyven Ötven Hatvan Hetven Nyolcvan Kilencven |
tíz |
tíz Tizenegy tizenkét tizenhárom tizennégy tizenöt tizenhat tizenhét tizennyolc tizenkilenc húsz harminc Szarka ötven hatvan Hetven nyolcvan kilencven |
Tíz Tizenegy Tizenkét Tizenhárom Tizennégy Tizenöt Tizenhat Tizenhét Tizennyolc Tizenkilenc Húsz Harminc Negyven Ötven Hatvan Hetven Nyolcvan Kilencven |
tíz Tizenegy tizenkét tizenhárom tizennégy tizenöt tizenhat tizenhét tizennyolc tizenkilenc húsz harminc Szarka ötven hatvan Hetven nyolcvan Kilencven |
Körülbelül tíz Tizenegy körül Tizenkettő körül Körülbelül tizenhárom Úgy tizennégy Körülbelül tizenöt Tizenhat körül Körülbelül tizenhét Tizennyolc körül Körülbelül tizenkilenc Úgy húsz Harminc körül Ó szarka Úgy ötvenen Körülbelül hatvan Körülbelül hetven Körülbelül nyolcvan Kilencven körül |
Más természetes kétjegyű számok olvasásához mindkét tábla adatait használjuk, nézzük meg ezt egy példán keresztül. Tegyük fel, hogy be kell olvasnunk egy természetes kétjegyű 21-es számot. Ez a szám 1 egységet és 2 tízest tartalmaz, azaz. 20 és 1. A táblázatokra lapozva a jelzett számot „huszonegynek” olvassuk, míg a szavak közötti „és” egységet nem kell kiejteni. Tegyük fel, hogy valamilyen mondatban a megadott 21-es számot kell használnunk, jelezve az objektumok számát genitivusban: "nincs 21 alma". Ebben az esetben a kiejtés így hangzik: „nincs huszonegy alma”.
Mondjunk egy másik példát az érthetőség kedvéért: a 76-os számot, amelyet „hetvenhat”-nak és például „hetvenhat tonnának” kell olvasni.
| Szám | Jelölő | Birtokos | Részeshatározó | Tárgyeset | Eszközhatározói eset | Elöljárószó |
| 100 200 300 400 500 600 700 800 900 |
Száz Kétszáz Háromszáz Négyszáz Ötszáz Hatszáz Hétszáz Nyolcszáz Kilencszáz |
Sta kétszáz háromszáz Négyszáz ötszáz hatszáz Hétszáz nyolcszáz kilencszáz |
Sta kétszáz Tremstam Négyszáz ötszáz Hatszáz hétszáz nyolcszáz Kilencszáz |
Száz Kétszáz Háromszáz Négyszáz Ötszáz Hatszáz Hétszáz Nyolcszáz Kilencszáz |
Sta kétszáz Háromszáz Négyszáz ötszáz hatszáz hétszáz nyolcszáz Kilencszáz |
Körülbelül száz Körülbelül kétszáz Körülbelül háromszáz Körülbelül négyszáz Körülbelül ötszáz Körülbelül hatszáz Körülbelül hétszáz Körülbelül nyolcszáz Körülbelül kilencszáz |
Egy háromjegyű szám teljes olvasásához az összes megadott táblázat adatait is felhasználjuk. Például adott egy 305 természetes szám. Ez a szám 5 egységnek, 0 tízesnek és 3 száznak felel meg: 300 és 5. A táblázatot alapul véve ezt olvassuk: "háromszázöt" vagy esetenkénti elhajlásban, például így: "háromszázöt méter".
Olvassunk még egy számot: 543. A táblázatok szabályai szerint a feltüntetett szám így hangzik: „ötszáznegyvenhárom”, vagy elhajlás esetén például így: „nem ötszáznegyvenhárom rubel”.
Térjünk át a többjegyű természetes számok olvasásának általános elvére: egy többjegyű szám olvasásához jobbról balra kell bontani háromjegyű csoportokra, és a bal szélső csoport 1, 2 vagy 3 számjegyű lehet. . Az ilyen csoportokat osztályoknak nevezzük.
A szélsőjobb osztály az egységek osztálya; majd a következő osztály, balra - az ezres osztály; tovább - a milliók osztálya; majd jön a milliárdok osztálya, majd a billiók osztálya. A következő osztályoknak is van neve, de a nagyszámú (16, 17 és több) karakterből álló természetes számokat ritkán használjuk az olvasás során, elég nehéz füllel felfogni őket.
A rekord könnyebb érzékelhetősége érdekében az osztályokat egy kis behúzással választják el egymástól. Például 31 013 736, 134 678, 23 476 009 434, 2 533 467 001 222.
| Osztály billió |
Osztály milliárd, ezermillió |
Osztály millió |
Ezer osztály | Egységosztály |
| 134 | 678 | |||
| 31 | 013 | 736 | ||
| 23 | 476 | 009 | 434 | |
| 2 | 533 | 467 | 001 | 222 |
Többjegyű szám olvasásához sorra hívjuk az azt alkotó számokat (balról jobbra, osztályonként, az osztály nevének hozzáadásával). Az egységek osztályának nevét nem ejtik ki, és azokat az osztályokat sem ejtik ki, amelyek a három 0 számjegyet alkotják. Ha az egyik osztályban a bal oldalon egy vagy két 0 számjegy szerepel, akkor az olvasás során semmilyen módon nem kerül felhasználásra. Például a 054-et „ötvennégy”-ként, vagy a 001-et „egyként” olvassuk.
1. példa
Vizsgáljuk meg részletesen a 2 533 467 001 222 szám leolvasását:
A 2-es számot a trilliók osztályának összetevőjeként olvassuk - "kettő";
Az osztály nevét hozzáadva a következőt kapjuk: "két billió";
A következő számot olvassuk, hozzáadva a megfelelő osztály nevét: „ötszázharminchárom milliárd”;
Hasonlattal folytatjuk, a következő osztályt olvasva jobbra: „négyszázhatvanhét millió”;
A következő osztályban két 0 számjegyet látunk a bal oldalon. A fenti olvasási szabályok szerint a 0 számjegyeket el kell dobni, és nem vesznek részt a rekord beolvasásában. Ekkor kapjuk: "ezer";
Az egységek utolsó osztályát a nevének hozzáadása nélkül olvastuk - "kétszázhuszonkettő".
Így a 2 533 467 001 222 szám így fog hangzani: két billió ötszázharminchárom milliárd négyszázhatvanhét millió ezerkétszázhuszonkettő. Ezzel az elvvel a többi megadott számot is leolvashatjuk:
31 013 736 - harmincegymillió tizenháromezer-hétszázharminchat;
134 678 - százharmincnégyezer-hatszázhetvennyolc;
23 476 009 434 - huszonhárom milliárd négyszázhetvenhat millió kilencezer négyszázharmincnégy.
Így a többjegyű számok helyes olvasásának alapja a többjegyű számok osztályokra bontásának képessége, a megfelelő nevek ismerete és a két- és háromjegyű számok olvasásának elvének megértése.
Amint a fentiekből már kiderül, értéke attól függ, hogy a számjegy milyen pozícióban áll a szám rekordjában. Vagyis például a 3-as szám a 314-es természetes számban a százak számát jelöli, nevezetesen a 3 százat. A 2-es szám a tízesek száma (1 tíz), a 4-es pedig az egységek száma (4 egység). Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a 4-es szám az egyesek helyén van, és az adott számban elhelyezett egységek értéke. Az 1-es szám a tízes helyen áll, és a tízes hely értékeként szolgál. A 3-as szám a százas helyen található, és a százas hely értéke.
7. definíció
Kisülés egy számjegy pozíciója egy természetes szám jelölésében, valamint ennek a számjegynek az értéke, amelyet az adott számban elfoglalt helye határoz meg.
A kisüléseknek saját elnevezésük van, fentebb már használtuk. Jobbról balra a számjegyek következnek: egységek, tízesek, százak, ezrek, tízezrek stb.
A memorizálás megkönnyítése érdekében a következő táblázatot használhatja (15 számjegyet jelölünk):
Tisztázzuk ezt a részletet: egy adott többjegyű szám számjegyeinek száma megegyezik a számbevitelben szereplő karakterek számával. Ez a táblázat például egy 15 karakterből álló szám összes számjegyének nevét tartalmazza. A későbbi kisütéseknek is van neve, de rendkívül ritkán használják, és nagyon kényelmetlenek a hallgatáshoz.
Egy ilyen táblázat segítségével fejleszthető a rangmeghatározás készsége úgy, hogy egy adott természetes számot beírunk a táblázatba úgy, hogy a jobb szélső számjegyet írjuk be az egységjegyekbe, majd minden számjegybe számjegyenként. Például írjunk fel egy többjegyű természetes számot 56 402 513 674 így:
Ügyeljen a 0 számra, amely több tízmilliós kisülésben található - ez azt jelenti, hogy nincsenek ebbe a kategóriába tartozó egységek.
Bemutatjuk a többjegyű számok legalacsonyabb és legmagasabb számjegyének fogalmát is.
8. definíció
Legalacsonyabb (junior) fokozat bármely többértékű természetes szám az egységszámjegy.
Legmagasabb (senior) kategória bármely többjegyű természetes szám - az adott szám jelölésében a bal szélső számjegynek megfelelő számjegy.
Így például a 41 781 számban: a legalacsonyabb rang az egységek rangja; a legmagasabb rang a tízezres számjegy.
Ebből logikusan következik, hogy lehet beszélni a számjegyek egymáshoz viszonyított szenioritásáról. Minden következő számjegy balról jobbra haladva alacsonyabb (fiatalabb), mint az előző. És fordítva: jobbról balra haladva minden következő számjegy magasabb (régebbi), mint az előző. Például az ezres számjegy régebbi, mint a százas számjegy, de fiatalabb, mint a milliós számjegy.
Tisztázzuk, hogy néhány gyakorlati példa megoldásánál nem magát a természetes számot használjuk, hanem egy adott szám bittagjainak összegét.
Röviden a decimális számrendszerről
9. definícióJelölés- a számok jelek segítségével történő írásának módszere.
Helyzetszámrendszerek- azok, amelyekben egy számjegy értéke a szám jelölésében elfoglalt helyétől függ.
E definíció szerint azt mondhatjuk, hogy a természetes számok és a fenti írásmód tanulmányozása során a helyzetszámrendszert használtuk. A 10-es szám különleges helyet foglal el itt. Folyamatosan tízben számolunk: tíz egységből tíz, tíz tízből száz és így tovább. A 10-es szám szolgál ennek a számrendszernek az alapjaként, magát a rendszert decimálisnak is nevezik.
Rajta kívül más számrendszerek is léteznek. Például a számítástechnika a bináris rendszert használja. Amikor követjük az időt, a hatszázalékos számrendszert használjuk.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
A matematika az általános filozófiából a Kr.e. 6. század körül jelent meg. e., és ettől a pillanattól kezdve megkezdte győzelmes menetét a világ körül. A fejlődés minden egyes szakasza bevezetett valami újat – az elemi számolás fejlődött, átalakult differenciál- és integrálszámítássá, változtak az évszázadok, a képletek egyre zavarosabbak lettek, és eljött a pillanat, amikor „a legbonyolultabb matematika elkezdődött – minden szám eltűnt belőle”. De mi volt az alapja?
Az idő kezdete
A természetes számok az első matematikai műveletekkel együtt jelentek meg. Egyszer egy gerinc, két tüske, három tüske... Az indiai tudósoknak köszönhetően jelentek meg, akik levezették az első pozíciót
A „pozicionalitás” szó azt jelenti, hogy egy számban minden egyes számjegy helye szigorúan meghatározott, és megfelel a kategóriájának. Például a 784-es és a 487-es számok ugyanazok, de a számok nem ekvivalensek, hiszen az első 7 százast tartalmaz, míg a második csak 4-et. Az indiánok újítását az arabok vették át, és hozták a számokat a formában, amit most ismerünk.
Az ókorban a számoknak misztikus jelentést adtak, Pythagoras úgy gondolta, hogy a szám a világ teremtésének alapja a fő elemekkel - tűz, víz, föld, levegő - együtt. Ha mindent csak a matematikai oldalról nézünk, akkor mi a természetes szám? A természetes számok mezőjét N-ként jelöljük, és egész számok és pozitív számok végtelen sorozata: 1, 2, 3, … + ∞. A nulla kizárt. Főleg cikkek számlálására és sorrend jelzésére használják.
Mi van a matematikában? Peano axiómái
Az N mező az az alapmező, amelyre az elemi matematika támaszkodik. Idővel az egész számok mezői, racionális,
Giuseppe Peano olasz matematikus munkája lehetővé tette az aritmetika további strukturálását, elérte formalitását, és megnyitotta az utat az N területen túlmutató további következtetések előtt.
Korábban egyszerű nyelven tisztáztuk, hogy mi a természetes szám, az alábbiakban egy Peano-féle axiómákon alapuló matematikai definíciót veszünk figyelembe.
- Az egyiket természetes számnak tekintjük.
- A természetes számot követő szám természetes szám.
- Egy előtt nincs természetes szám.
- Ha a b szám a c és a d számot is követi, akkor c=d.
- Az indukció axiómája, ami viszont megmutatja, hogy mi a természetes szám: ha valamely paramétertől függő állítás igaz az 1-es számra, akkor feltételezzük, hogy az N természetes számok mezőjéből az n számra is működik. az állítás n =1-re is igaz az N természetes számok mezőjéből.
Alapműveletek a természetes számok területén
Mivel az N mező lett az első a matematikai számításoknál, mind a definíciós tartományok, mind az alábbi műveletek értéktartományai erre utalnak. Zárva vannak és nem. A fő különbség az, hogy a zárt műveletek garantáltan az N halmazon belül hagynak eredményt, függetlenül attól, hogy milyen számokról van szó. Elég, ha természetesek. A fennmaradó numerikus kölcsönhatások eredménye már nem olyan egyértelmű, és közvetlenül attól függ, hogy milyen számok szerepelnek a kifejezésben, mivel ez ellentmondhat a fő definíciónak. Tehát zárt műveletek:
- összeadás - x + y = z, ahol x, y, z szerepel az N mezőben;
- szorzás - x * y = z, ahol x, y, z szerepel az N mezőben;
- hatványozás - x y , ahol x, y szerepel az N mezőben.
A fennmaradó műveletek, amelyek eredménye nem feltétlenül létezik a "mi a természetes szám" definíciójában, a következők:
Az N mezőbe tartozó számok tulajdonságai
Minden további matematikai érvelés a következő tulajdonságokon fog alapulni, amelyek a legtriviálisabbak, de nem kevésbé fontosak.
- Az összeadás kommutatív tulajdonsága x + y = y + x, ahol az x, y számok az N mezőben szerepelnek. Vagy a jól ismert "az összeg nem változik a tagok helyének változásától".
- A szorzás kommutatív tulajdonsága x * y = y * x, ahol az x, y számok az N mezőben szerepelnek.
- Az összeadás asszociatív tulajdonsága (x + y) + z = x + (y + z), ahol x, y, z az N mezőben szerepel.
- A szorzás asszociatív tulajdonsága (x * y) * z = x * (y * z), ahol az x, y, z számok az N mezőben szerepelnek.
- eloszlási tulajdonság - x (y + z) = x * y + x * z, ahol az x, y, z számok az N mezőben szerepelnek.
Pitagorasz-tábla
Az egyik első lépés abban, hogy az iskolások megismerjék az elemi matematika teljes szerkezetét, miután maguk is megértették, mely számokat nevezik természetesnek, a Pitagorasz-tábla. Nemcsak tudomány szempontjából, hanem értékes tudományos műemléknek is tekinthető.
Ez a szorzótábla az idők során számos változáson ment keresztül: a nullát eltávolították belőle, és az 1-től 10-ig tartó számok önmagukat jelölik, a sorrendek (százas, ezres ...) figyelembevétele nélkül. Ez egy olyan táblázat, amelyben a sorok és oszlopok fejlécei számok, és a metszéspontjuk celláinak tartalma megegyezik a szorzatukkal.
A tanítás gyakorlatában az elmúlt évtizedekben felmerült az igény a Pitagorasz-tábla „sorrendben” memorizálására, vagyis a memorizálás ment az első helyre. Az 1-gyel való szorzást kizártuk, mert az eredmény 1 vagy nagyobb volt. Eközben a táblázatban szabad szemmel egy minta látható: a számok szorzata egy lépéssel nő, ami megegyezik a sor címével. Így a második faktor megmutatja, hogy az elsőt hányszor kell bevennünk, hogy megkapjuk a kívánt terméket. Ez a rendszer sokkal kényelmesebb, mint a középkorban alkalmazott: az emberek még ha megértették is, mi a természetes szám, és mennyire triviális, a kettős hatványokon alapuló rendszer segítségével sikerült megbonyolítani a mindennapi számolást.
Részhalmaz, mint a matematika bölcsője
Jelenleg az N természetes számok mezőjét csak a komplex számok egyik részhalmazának tekintik, de ez nem teszi kevésbé értékessé a tudományban. A természetes szám az első dolog, amit a gyermek saját maga és a körülötte lévő világ tanulmányozása során tanul meg. Egy ujj, két ujj... Neki köszönhetően az emberben fejlődik a logikus gondolkodás, valamint az ok meghatározásának és a hatás kikövetkeztetésének képessége, ami megnyitja az utat a nagy felfedezések előtt.
Meghatározás
A természetes számokat tárgyak számlálására szolgáló számoknak nevezzük. A természetes számok rögzítéséhez 10 arab számot (0–9) használnak, amelyek a matematikai számításoknál általánosan elfogadott decimális számrendszer alapját képezik.
Természetes számok sorozata
A természetes számok egy 1-től kezdődő sorozatot alkotnak, amely lefedi az összes pozitív egész halmazát. Egy ilyen sorozat 1,2,3, ... számokból áll. Ez azt jelenti, hogy a természetes sorozatban:
- Van legkisebb szám és nincs legnagyobb.
- Minden következő szám 1-gyel nagyobb, mint az előző (a kivétel maga az egység).
- Ahogy a számok a végtelenbe mennek, a végtelenségig nőnek.
Néha a természetes számok sorozatába 0 is bekerül, ez megengedett, és akkor beszélnek róla kiterjedt természetes sorozat.
Természetes számok osztályai
A természetes szám minden számjegye egy bizonyos számjegyet fejez ki. Az utolsó mindig a szám egységeinek száma, az előtte lévő a tízesek száma, a végétől a harmadik a százasok száma, a negyedik az ezresek száma, és így tovább.
- a 276-os számban: 2 százas, 7 tízes, 6 egység
- az 1098-as számban: 1 ezer, 9 tízes, 8 egyes; a százas hely itt hiányzik, mivel nullaként van kifejezve.
Nagy és nagyon nagy számok esetén állandó trendet láthat (ha jobbról balra, azaz az utolsó számjegytől az elsőig vizsgálja a számot):
- a szám utolsó három számjegye egység, tíz és száz;
- az előző három egység, tíz- és százezer;
- az előttük lévő három (azaz a szám 7., 8. és 9. számjegye, a végétől számítva) egységek, tíz- és százmilliók stb.
Vagyis minden alkalommal, amikor három számjeggyel, vagyis mértékegységekkel, egy nagyobb név tízesével és százával van dolgunk. Az ilyen csoportok osztályokat alkotnak. Ha pedig a hétköznapokban az első három osztállyal kell foglalkozni gyakrabban-ritkábban, akkor másokat is érdemes sorolni, mert nem mindenki emlékszik fejből a nevére.
- A milliós osztályt követő, 10-12 számjegyű számokat képviselő 4. osztályt milliárdnak (vagy milliárdnak) nevezzük;
- 5. évfolyam - billió;
- 6. évfolyam - kvadrillió;
- 7. évfolyam - ötmilliárd;
- 8. évfolyam - sextillion;
- 9. évfolyam - septillion.
Természetes számok összeadása
A természetes számok összeadása egy aritmetikai művelet, amely lehetővé teszi, hogy olyan számot kapjunk, amely annyi egységet tartalmaz, ahány szám van összeadva.
Az összeadás jele a "+" jel. Az összeadott számokat tagoknak, az eredményt összegnek nevezzük.
A kis számokat szóban összeadjuk (összeadjuk), írásban az ilyen műveleteket egy sorba írjuk.
A fejben nehezen összeadható többjegyű számokat általában egy oszlopban adják hozzá. Ehhez a számokat egymás alá írják, az utolsó számjegyhez igazítva, vagyis az egységszámjegy alá írják az egységszámjegyet, a százas számjegy alá a százas számjegyet, és így tovább. Ezután páronként össze kell adnia a számjegyeket. Ha a számjegyek összeadása egy tízes átmenettel történik, akkor ez a tíz egységként kerül rögzítésre a bal oldali számjegy felett (azaz utána), és összeadódik ennek a számjegynek a számjegyeivel.
Ha nem 2, hanem több szám kerül az oszlopba, akkor a kategória számjegyeinek összegzésekor nem 1 tucat, hanem több lehet felesleges. Ebben az esetben az ilyen tízesek száma átkerül a következő számjegyre.
Természetes számok kivonása
A kivonás egy aritmetikai művelet, az összeadás fordítottja, ami arra a tényre vezethető vissza, hogy az összeg és az egyik kifejezés alapján találni kell egy másikat - egy ismeretlen kifejezést. Azt a számot, amelyből kivonjuk, mineendnek nevezzük; a kivonandó szám a kivonandó rész. A kivonás eredményét különbségnek nevezzük. A kivonás műveletét jelző jel a "-".
Az összeadásra való átmenet során a részrész és a különbség tagokká, a redukált pedig összeggé alakul. Az összeadás általában ellenőrzi a végrehajtott kivonás helyességét, és fordítva.
Itt 74 a minuend, 18 a részfej, 56 a különbség.
A természetes számok kivonásának előfeltétele a következő: a minuendnek szükségszerűen nagyobbnak kell lennie, mint a kivonórésznek. Csak ebben az esetben a kapott különbség is természetes szám lesz. Ha a kivonási műveletet kiterjesztett természetes sorozatra hajtjuk végre, akkor megengedett, hogy a minuend egyenlő a kivonóval. És a kivonás eredménye ebben az esetben 0 lesz.
Megjegyzés: ha a részösszeg egyenlő nullával, akkor a kivonási művelet nem változtatja meg a minuend értékét.
A többjegyű számok kivonása általában egy oszlopban történik. Írja le a számokat ugyanúgy, mint az összeadásnál. A megfelelő számjegyekre kivonás történik. Ha kiderül, hogy a minuend kisebb, mint a részrész, akkor az előző (bal oldalon található) számjegyből veszünk egyet, ami az átvitel után természetesen 10-re változik. Ezt a tízet a redukált számjegyével összegezzük. adott számjegyet, majd kivonjuk. Továbbá a következő számjegy kivonásakor figyelembe kell venni, hogy a csökkentett 1-gyel kevesebb lett.
Természetes számok szorzata
A természetes számok szorzata (vagy szorzása) egy aritmetikai művelet, amely tetszőleges számú azonos tag összegének megállapítása. A szorzás műveletének rögzítéséhez használja a "·" jelet (néha "×" vagy "*"). Például: 3 5=15.
A szorzás nélkülözhetetlen, ha nagyszámú tagot kell összeadni. Például, ha a 4-es számot 7-szer kell összeadni, akkor a 4-et 7-tel könnyebb megszorozni, mint ezt az összeadást: 4+4+4+4+4+4+4.
A szorzott számokat faktoroknak nevezzük, a szorzás eredménye a szorzat. Ennek megfelelően a „munka” kifejezés a kontextustól függően egyaránt kifejezheti a szorzás folyamatát és annak eredményét.
A többjegyű számok egy oszlopban szorozódnak. Ehhez a számhoz ugyanúgy kell írni, mint az összeadáshoz és a kivonáshoz. Javasoljuk, hogy először (feljebb) írja le, hogy a 2 szám közül melyik a hosszabb. Ebben az esetben a szorzási folyamat egyszerűbb, ezért racionálisabb lesz.
Oszlopban történő szorzáskor a második szám minden egyes számjegyét a végétől kezdve sorban megszorozzuk az 1. szám számjegyeivel. Miután megtalálták az első ilyen munkát, felírják az egységek számát, és szem előtt tartják a tízesek számát. Ha a 2. szám számjegyét megszorozza az 1. szám következő számjegyével, akkor a szem előtt tartott szám hozzáadódik a termékhez. És ismét felírják a kapott eredmény egységeinek számát, és emlékeznek a tízesek számára. Az 1. szám utolsó számjegyével való szorzáskor az így kapott számot teljes egészében felírjuk.
A második szám 2. számjegye számjegyeinek szorzásának eredményét a második sorba írjuk, 1 cellával jobbra tolva. Stb. Ennek eredményeként egy "létra" keletkezik. Az összes eredményül kapott számsort össze kell adni (az oszlopban való összeadás szabálya szerint). Az üres cellákat nullákkal kitöltöttnek kell tekinteni. Az így kapott összeg a végtermék.
jegyzet
- Bármely természetes szám szorzata 1-gyel (vagy 1-gyel egy számmal) egyenlő magával a számmal. Például: 376 1=376; 1 86=86.
- Ha az egyik vagy mindkét tényező 0, akkor a szorzat 0. Például: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.
Természetes számok osztása
Az osztást aritmetikai műveletnek nevezzük, melynek segítségével egy ismert szorzat és az egyik tényező szerint egy másik - ismeretlen - tényezőt találhatunk. Az osztás a szorzás inverze, és annak ellenőrzésére szolgál, hogy a szorzás helyesen történt-e (és fordítva).
Az osztható számot oszthatónak nevezzük; a szám, amellyel osztva van, az osztó; az osztás eredményét hányadosnak nevezzük. Az osztásjel a ":" (néha, ritkábban - "÷").
Itt 48 az osztalék, a 6 az osztó, és a 8 a hányados.
Nem minden természetes szám osztható fel egymás között. Ebben az esetben az osztás a maradékkal történik. Abból áll, hogy az osztóhoz egy olyan tényezőt választanak ki, hogy az osztóval való szorzata olyan szám legyen, amely értékében a lehető legközelebb van az osztalékhoz, de annál kisebb. Az osztót megszorozzuk ezzel a tényezővel, és kivonjuk az osztalékból. A különbség a felosztás hátralévő része lesz. Az osztó szorzatát egy tényezővel nem teljes hányadosnak nevezzük. Figyelem: a maradéknak kisebbnek kell lennie, mint a kiválasztott szorzó! Ha a maradék nagyobb, akkor ez azt jelenti, hogy a szorzót rosszul választották meg, és növelni kell.
Kiválasztunk egy tényezőt a 7-hez. Ebben az esetben ez a szám 5. Találunk egy hiányos hányadost: 7 5 \u003d 35. Számítsa ki a maradékot: 38-35=3. 3 óta<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).
A többjegyű számok egy oszlopba vannak osztva. Ehhez az osztót és az osztót egymás mellé írjuk, az osztót függőleges és vízszintes vonallal elválasztva. Az osztalékban az első számjegy vagy az első néhány számjegy (jobb oldalon) kerül kiválasztásra, aminek olyan számnak kell lennie, amely minimálisan elegendő az osztóval való osztáshoz (vagyis ennek a számnak nagyobbnak kell lennie az osztónál). Ehhez a számhoz egy hiányos hányadost választunk, a maradékkal való osztás szabályában leírtak szerint. Az osztó alá írjuk a parciális hányados megtalálásához használt szorzószámot. A hiányos hányadost a felosztott szám alá írjuk, jobbra igazítva. Találd meg a különbségüket. Az osztalék következő számjegyét lebontjuk, ha e különbség mellé írjuk. A kapott számhoz ismét egy hiányos hányadost találunk úgy, hogy a kiválasztott tényező számjegyét felírjuk az előző mellé az osztó alá. Stb. Az ilyen műveleteket addig hajtják végre, amíg az osztalék számai el nem fogynak. Ezt követően a felosztás befejezettnek tekintendő. Ha az osztalékot és az osztót teljesen felosztjuk (maradék nélkül), akkor az utolsó különbség nullát ad. Ellenkező esetben a fennmaradó számot visszaküldjük.
Hatványozás
A hatványozás egy matematikai művelet, amely tetszőleges számú azonos szám szorzásából áll. Például: 2 2 2 2.
Az ilyen kifejezéseket így írják: egy x,
ahol a egy önmagával szorzott szám x az ilyen tényezők száma.
Prím- és összetett természetes számok
Bármely természetes szám, kivéve 1, osztható legalább 2 számmal - eggyel és önmagával. E kritérium alapján a természetes számokat prímszámra és összetettre osztják.
A prímszámok olyan számok, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Azokat a számokat, amelyek e két számnál többel oszthatók, összetett számoknak nevezzük. A kizárólag önmagával osztható egység nem prím és nem összetett.
A számok prímszámok: 2,3,5,7,11,13,17,19 stb. Példák összetett számokra: 4 (osztható 1,2,4-gyel), 6 (osztható 1,2,3,6-tal), 20 (osztható 1,2,4,5,10,20-al).
Bármely összetett szám prímtényezőkre bontható. Ebben az esetben a prímtényezők annak osztói, amelyek prímszámok.
Példa a főtényezőkké történő faktorizálásra:
Természetes számok osztói
Az osztó olyan szám, amellyel egy adott szám maradék nélkül osztható.
E definíció szerint az egyszerű természetes számoknak 2, az összetett számoknak több mint 2 osztójuk van.
Sok számnak van közös osztója. A közös osztó az a szám, amellyel az adott számok maradék nélkül oszthatók.
- A 12 és 15 számoknak közös osztója 3
- A 20 és 30 számok közös osztói 2, 5, 10
Különösen fontos a legnagyobb közös osztó (GCD). Ez a szám különösen hasznos a törtek redukálásához. Megtalálásához az adott számokat prímtényezőkre kell bontani, és a legkisebb hatványukban vett közös prímtényezőik szorzataként kell bemutatni.
Meg kell találni a 36 és 48 számok GCD-jét.
Természetes számok oszthatósága
Nem mindig lehet „szemmel” meghatározni, hogy egy szám osztható-e egy másikkal maradék nélkül. Ilyen esetekben hasznos a megfelelő oszthatósági teszt, vagyis az a szabály, amellyel pillanatok alatt megállapítható, hogy lehet-e számokat maradék nélkül osztani. A "" jel az oszthatóság jelzésére szolgál.
Legkisebb közös többszörös
Ez az érték (jelölése LCM) a legkisebb szám, amely osztható a megadott számokkal. Az LCM a természetes számok tetszőleges halmazára található.
Az LCM-nek a GCD-hez hasonlóan jelentős alkalmazott jelentése van. Tehát az LCM-et kell megtalálni a közönséges törtek közös nevezőre való redukálásával.
Az LCM-et úgy határozzák meg, hogy a megadott számokat prímtényezőkké alakítják. Kialakításához egy szorzatot veszünk, amely minden előforduló (legalább 1 számra) maximálisan reprezentált prímtényezőből áll.
Meg kell találni a 14 és 24 számok LCM-jét.
Átlagos
A természetes számok tetszőleges (de véges) számának számtani átlaga ezeknek a számoknak az összege osztva a tagok számával:
A számtani átlag egy számhalmaz átlagos értéke.
A 2,84,53,176,17,28 számok adottak. Meg kell találni a számtani átlagukat.
Azt is ajánljuk
Betöltés...