4 irracionális szám példákkal. Mik a racionális és irracionális számok

Az irracionális számok halmazát általában tőkével jelöljük latin betű I (\displaystyle \mathbb (I) ) félkövér, kitöltés nélkül. És így: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), vagyis az irracionális számok halmaza a valós és a racionális számok halmaza közötti különbség.

Az irracionális számok, pontosabban az egységnyi hosszúságú szegmenssel összemérhetetlen szegmensek létezését már az ókori matematikusok is ismerték: ismerték például a négyzet átlójának és oldalának összemérhetetlenségét, ami egyenértékű az irracionalitással. a számról.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5
Irracionálisak a következők:

Irracionalitás-bizonyító példák

2 gyöke

Mondjuk az ellenkezőjét: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionális, azaz törtként ábrázolva m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), ahol m (\displaystyle m) egy egész szám, és n (\displaystyle n)- természetes szám .
Nézzük négyzetre a feltételezett egyenlőséget:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Jobbra 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Jobbra m^(2)=2n^(2)).
Sztori

Antikvitás

Az irracionális számok fogalmát az indiai matematikusok implicit módon átvették a Kr. e. 7. században, amikor Manawa (i. e. 750 körül - ie 690 körül) megállapította, hogy négyzetgyök néhány természetes szám, mint például a 2 és a 61, nem fejezhető ki egyértelműen [ ] .
Az irracionális számok létezésének első bizonyítékát általában Metapontoszi Hippasosznak (Kr. e. 500 körül), a pitagoreusnak tulajdonítják. A pitagoreusok idejében azt hitték, hogy egyetlen hosszúságegység létezik, amely kellően kicsi és oszthatatlan, ami annyiszor van, hogy bármely szegmensben egész szám szerepel. ] .
Arról nincs pontos adat, hogy Hippasus melyik szám irracionalitását bizonyította. A legenda szerint a pentagram oldalainak hosszának tanulmányozásával találta meg. Ezért joggal feltételezhető, hogy ez volt az aranymetszés [ ] .
A görög matematikusok ezt az arányt összemérhetetlen mennyiségeknek nevezték alogos(kifejezhetetlen), de a legendák szerint Hippasust nem fizették meg kellő tiszteletben. Van egy legenda, amely szerint Hippasus tengeri utazása során fedezte fel, és más pitagoreusok kidobták a vízbe, "mert létrehozta az univerzum egy elemét, amely tagadja azt a tant, hogy az univerzumban lévő összes entitást egész számokra és azok arányaira lehetne redukálni. " Hippász felfedezése a pitagorasz matematika elé helyezte komoly probléma, megsemmisítve az egész elmélet alapjául szolgáló feltételezést, miszerint a számok és a geometriai objektumok egyek és elválaszthatatlanok.

Az egységnyi hosszúságú szegmenst már az ókori matematikusok is tudták: ismerték például az átló és a négyzet oldalának összemérhetetlenségét, ami egyenértékű a szám irracionalitásával.

Irracionálisak a következők:

Irracionalitás-bizonyító példák

2 gyöke

Tételezzük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz irreducibilis törtként van ábrázolva, ahol és egész számok. Nézzük négyzetre a feltételezett egyenlőséget:
.
Ebből az következik, hogy még, tehát páros és . Hadd hol az egész. Azután

Ezért még, ezért páros és . Ezt kaptuk és párosak, ami ellentmond a tört redukálhatatlanságának. Tehát az eredeti feltevés téves volt, és - ir racionális szám.

A 3-as szám bináris logaritmusa

Tételezzük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz törtként van ábrázolva, ahol és egész számok. óta, és pozitívnak vehető. Azután

De ez egyértelmű, furcsa. Ellentmondást kapunk.

e

Sztori

Az irracionális számok fogalmát az indiai matematikusok implicit módon átvették a Kr. e. 7. században, amikor Manawa (i.e. 750 körül - ie 690 körül) megállapította, hogy egyes természetes számok, például 2 és 61 négyzetgyöke nem fejezhető ki egyértelműen.

Az irracionális számok létezésének első bizonyítékát általában Metapontoszi Hippasusnak (Kr. e. 500 körül), egy püthagoreusnak tulajdonítják, aki egy pentagram oldalainak hosszának tanulmányozásával találta meg ezt a bizonyítékot. A pitagoreusok idejében azt hitték, hogy egyetlen hosszegység létezik, amely kellően kicsi és oszthatatlan, ami annyi, hogy bármely szegmensben egész szám szerepel. Hippasus azonban azzal érvelt, hogy nincs egyetlen hosszúsági egység, mivel a létezésének feltételezése ellentmondáshoz vezet. Megmutatta, hogy ha egy egyenlő szárú befogója derékszögű háromszög egész számú egységszegmenset tartalmaz, akkor ennek a számnak egyszerre párosnak és páratlannak kell lennie. A bizonyíték így nézett ki:
- Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogó hosszának és lábának hosszának aránya a következőképpen fejezhető ki: a:b, ahol aés b a lehető legkisebbnek választottuk.
- A Pitagorasz-tétel szerint: a² = 2 b².
- Mint a² egyenletes, a párosnak kell lennie (mivel a páratlan szám négyzete páratlan lenne).
- Amennyiben a:b nem csökkenthető b furcsanak kell lennie.
- Mint a páros, jelölje a = 2y.
- Azután a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y² tehát b akkor egyenletes b még.
- Ez azonban bebizonyosodott b páratlan. Ellentmondás.
A görög matematikusok ezt az arányt összemérhetetlen mennyiségeknek nevezték alogos(kifejezhetetlen), de a legendák szerint Hippasust nem fizették meg kellő tiszteletben. Van egy legenda, amely szerint Hippasus tengeri utazása során fedezte fel, és más pitagoreusok kidobták a vízbe, "mert létrehozta az univerzum egy elemét, amely tagadja azt a tant, hogy az univerzumban lévő összes entitást egész számokra és azok arányaira lehetne redukálni. " Hippasus felfedezése komoly problémát jelentett a pitagorasz matematika számára, megsemmisítve az egész elmélet alapjául szolgáló feltételezést, miszerint a számok és a geometriai objektumok egyek és elválaszthatatlanok.

Lásd még

Megjegyzések

Numerikus rendszerek
Számolás
készletek Természetes számok () Egész számok ()

racionális szám egy olyan szám, amelyet egy m/n közönséges tört képvisel, ahol az m számláló egész szám, az n nevező pedig egy természetes szám. Bármely racionális szám ábrázolható periodikus végtelen tizedes törtként. A racionális számok halmazát Q jelöli.

Ha egy valós szám nem racionális, akkor az irracionális szám . Az irracionális számokat kifejező tizedes törtek végtelenek és nem periodikusak. Az irracionális számok halmazát általában nagy latin I betűvel jelöljük.

A valós számot hívják algebrai, ha ez valamilyen racionális együtthatójú polinom gyöke (nem nulla fok). Bármilyen nem algebrai számot hívunk transzcendens.

Néhány tulajdonság:
A feladatok megoldása során célszerű az a + b√ c irracionális számmal együtt (ahol a, b racionális számok, c olyan egész szám, amely nem természetes szám négyzete), a számot „konjugáltnak” tekinteni it a - b√ c: összege és szorzata az eredeti - racionális számokkal. Tehát a + b√ c és a – b√ c egy egész együtthatós másodfokú egyenlet gyöke.

Problémák a megoldásokkal

1. Bizonyítsd be

a) szám √ 7;

b) szám lg 80;

c) szám √ 2 + 3 √ 3;

irracionális.

a) Tegyük fel, hogy a √ 7 szám racionális. Ekkor van olyan p és q koprím, hogy √ 7 = p/q, innen kapjuk, hogy p 2 = 7q 2 . Mivel p és q másodprím, akkor p 2, tehát p osztható 7-tel. Ekkor р = 7k, ahol k valamilyen természetes szám. Ezért q 2 = 7k 2 = pk, ami ellentmond annak, hogy p és q koprím.

Tehát a feltevés hamis, tehát a √ 7 szám irracionális.

b) Tegyük fel, hogy az lg 80 szám racionális. Ekkor van olyan természetes p és q, hogy lg 80 = p/q, vagy 10 p = 80 q , ahonnan 2 p–4q = 5 q–p . Figyelembe véve, hogy a 2 és 5 számok másodprímek, azt kapjuk, hogy az utolsó egyenlőség csak p–4q = 0 és q–p = 0 esetén lehetséges. Innen p = q = 0, ami lehetetlen, mivel p és q természetesnek választották.

Tehát a feltevés hamis, tehát az lg 80 szám irracionális.

c) Jelöljük ezt a számot x-szel.

Ezután (x - √ 2) 3 \u003d 3 vagy x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). Az egyenlet négyzetre emelése után azt kapjuk, hogy x-nek teljesítenie kell az egyenletet

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Racionális gyökei csak az 1 és -1 számok lehetnek. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy 1 és -1 nem gyökér.

Tehát a megadott √ 2 + 3 √ 3 szám irracionális.

2. Ismeretes, hogy az a, b, √ a –√ b ,- racionális. Bizonyítsd √ a és √ b racionális számok is.

Vegye figyelembe a terméket

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Szám √ a + √ b , amely egyenlő az a – b és számok arányával √ a –√ b , racionális, mert két racionális szám hányadosa racionális szám. Két racionális szám összege

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

racionális szám, különbségük,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

racionális szám is, amit bizonyítani kellett.

3. Bizonyítsuk be, hogy vannak olyan a és b pozitív irracionális számok, amelyekre az a b szám természetes.

4. Vannak-e a, b, c, d racionális számok, amelyek kielégítik az egyenlőséget?

(a+b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

ahol n természetes szám?

Ha a feltételben megadott egyenlőség teljesül, és az a, b, c, d számok racionálisak, akkor az egyenlőség is teljesül:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

De 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. A kapott ellentmondás azt bizonyítja, hogy az eredeti egyenlőség lehetetlen.

Válasz: nem léteznek.

5. Ha az a, b, c hosszúságú szakaszok háromszöget alkotnak, akkor minden n = 2, 3, 4, . . . az n √ a, n √ b, n √ c hosszúságú szakaszok is háromszöget alkotnak. Bizonyítsd be.

Ha a, b, c hosszúságú szakaszok háromszöget alkotnak, akkor a háromszög-egyenlőtlenség megadja

Ezért van

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

A háromszög-egyenlőtlenség ellenőrzésének fennmaradó eseteit hasonlóan vizsgáljuk, amiből a következtetés következik.

6. Bizonyítsuk be, hogy a 0,1234567891011121314 végtelen tizedes tört... egész számok sorrendben) egy irracionális szám.

Mint tudják, a racionális számokat tizedes törtként fejezik ki, amelyeknek egy bizonyos előjellel kezdődő periódusuk van. Ezért elegendő annak bizonyítása, hogy ez a tört semmilyen előjellel nem periodikus. Tegyük fel, hogy ez nem így van, és valamilyen T sorozat, amely n számjegyből áll, egy tört periódusa, amely az m-edik tizedesjegytől kezdődik. Jól látható, hogy az m-edik számjegy után vannak nem nulla számjegyek, tehát a T számjegyek sorozatában van egy nem nulla számjegy. Ez azt jelenti, hogy a tizedesvessző utáni m-edik számjegytől kezdve bármelyik n számjegy között van egy nullától eltérő számjegy. Ennek a törtnek a tizedes jelölésében azonban a 100...0 = 10 k számhoz tizedesjegynek kell lennie, ahol k > m és k > n. Nyilvánvaló, hogy ez a bejegyzés az m-edik számjegytől jobbra található, és több mint n nullát tartalmaz egy sorban. Így kapunk egy ellentmondást, ami befejezi a bizonyítást.

7. Adott egy végtelen tizedes tört 0,a 1 a 2 ... . Bizonyítsuk be, hogy a decimális jelölésében szereplő számjegyek átrendezhetők úgy, hogy a kapott tört racionális számot fejezzen ki.

Emlékezzünk vissza, hogy egy tört akkor és csak akkor fejez ki racionális számot, ha periodikus, valamilyen előjelből kiindulva. A 0-tól 9-ig terjedő számokat két osztályra osztjuk: az első osztályba azokat a számokat soroljuk be, amelyek az eredeti törtben véges sokszor fordulnak elő, a második osztályba azokat, amelyek az eredeti törtben végtelen számú alkalommal fordulnak elő. Kezdjük el kiírni a periodikus törtet, amelyet a számjegyek eredeti permutációjából kaphatunk. Először a nulla és egy vessző után véletlenszerű sorrendben felírjuk az első osztályból származó összes számot - mindegyiket annyiszor, ahányszor előfordul az eredeti tört bejegyzésében. A beírt első osztályú számjegyek a tizedesjegy törtrészében előzik meg a pontot. Ezután egyszer felírjuk a második osztályból származó számokat valamilyen sorrendben. Ezt a kombinációt időszaknak nyilvánítjuk, és végtelen számú alkalommal megismételjük. Így kiírtuk a szükséges periodikus törtet, amely valamilyen racionális számot fejez ki.

8. Bizonyítsuk be, hogy minden végtelen tizedes törtben van egy tetszőleges hosszúságú tizedesjegy sorozat, amely végtelen sokszor előfordul a tört bővítésében.

Legyen m egy tetszőlegesen megadott természetes szám. Bontsuk fel ezt a végtelen tizedes törtet m számjegyű szegmensekre. Végtelenül sok ilyen szegmens lesz. A másik oldalon, különféle rendszerek, amely m számjegyből áll, csak 10 m van, azaz véges szám. Következésképpen ezen rendszerek közül legalább egyet itt végtelenül sokszor meg kell ismételni.

Megjegyzés. Irracionális számok esetén √ 2 , π vagy e még azt sem tudjuk, hogy melyik számjegy ismétlődik végtelenül sokszor az őket reprezentáló végtelen tizedesjegyekben, bár könnyen kimutatható, hogy ezek a számok legalább két különböző számjegyet tartalmaznak.

9. Bizonyítsuk be elemi módon, hogy az egyenlet pozitív gyöke!

irracionális.

Ha x > 0, az egyenlet bal oldala növekszik x-szel, és könnyen belátható, hogy x = 1,5 esetén kisebb, mint 10, x = 1,6 esetén pedig nagyobb, mint 10. Ezért az egyetlen pozitív gyöke az egyenlet az (1,5 ; 1,6) intervallumon belül található.

A gyököt p/q irreducibilis törtként írjuk fel, ahol p és q néhány másodprím természetes szám. Ekkor x = p/q esetén az egyenlet a következő formában jelenik meg:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

amiből az következik, hogy p osztója 10-nek, ezért p egyenlő az 1, 2, 5, 10 számok egyikével. Ha azonban 1, 2, 5, 10 számlálójú törteket írunk ki, azonnal észrevesszük, hogy egyik sem intervallumon belülre esnek (1,5; 1,6).

Tehát az eredeti egyenlet pozitív gyökere nem ábrázolható közönséges tört, ami azt jelenti, hogy irracionális szám.

10. a) Van-e három olyan A, B és C pont a síkon, hogy bármely X pontra az XA, XB és XC szakaszok legalább egyikének hossza irracionális?

b) A háromszög csúcsainak koordinátái racionálisak. Bizonyítsuk be, hogy körülírt körének középpontjának koordinátái is racionálisak.

c) Létezik-e olyan gömb, amelyen pontosan egy racionális pont van? (A racionális pont olyan pont, amelynek mindhárom derékszögű koordinátája racionális szám.)

a) Igen, vannak. Legyen C az AB szakasz felezőpontja. Ekkor XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Ha az AB 2 szám irracionális, akkor az XA, XB és XC számok nem lehetnek egyszerre racionálisak.

b) Legyen (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) és (a 3 ; b 3) a háromszög csúcsainak koordinátái. A körülírt kör középpontjának koordinátáit az egyenletrendszer adja meg:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Könnyen ellenőrizhető, hogy ezek az egyenletek lineárisak-e, ami azt jelenti, hogy a vizsgált egyenletrendszer megoldása racionális.

c) Létezik ilyen gömb. Például egy gömb az egyenlettel

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Az O pont koordinátákkal (0; 0; 0) egy racionális pont, amely ezen a gömbön fekszik. A gömb többi pontja irracionális. Bizonyítsuk be.

Tegyük fel az ellenkezőjét: legyen (x; y; z) a gömb racionális pontja, amely különbözik az O ponttól. Nyilvánvaló, hogy x különbözik 0-tól, mivel x = 0 esetén létezik egy egyedi megoldás (0; 0). ; 0), amelyet most nem tudunk érdekelni. Bontsuk ki a zárójeleket, és fejezzük ki a √ 2-t:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

amely nem lehet racionális x, y, z és irracionális √ 2 esetén. Tehát O(0; 0; 0) az egyetlen racionális pont a vizsgált gömbön.

Problémák megoldások nélkül

1. Bizonyítsuk be, hogy a szám

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

irracionális.

2. Milyen m és n egész számokra teljesül az (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n egyenlőség?

3. Van-e olyan a szám, amelyre az a - √ 3 és az 1/a + √ 3 számok egészek?

4. Az 1, √ 2, 4 számok lehetnek tagjai (nem feltétlenül szomszédosak) egy aritmetikai sorozatnak?

5. Bizonyítsuk be, hogy bármely n pozitív egész számra az (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 egyenletnek nincs megoldása racionális számokban (x; y).

A racionális szám olyan szám, amely törtként ábrázolható, ahol . Q az összes racionális szám halmaza.

A racionális számokat pozitívra, negatívra és nullára osztják.

Minden racionális szám hozzárendelhető a koordinátaegyenes egyetlen pontjához. A pontok "balra" relációja megfelel a pontok koordinátáira vonatkozó "kisebb, mint" relációnak. Látható, hogy minden negatív szám kisebb nullánál és minden pozitív szám; két negatív szám közül az, amelyik modulusa nagyobb, az kisebb. Tehát -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Bármely racionális szám ábrázolható decimális periodikus törtként. Például, .

A racionális számokkal végzett műveletek algoritmusai a nulla és pozitív törtek megfelelő műveleteinek előjeleinek szabályaiból következnek. Q a nullával való osztástól eltérő osztást hajt végre.

Bármi lineáris egyenlet, azaz az ax+b=0 alakú egyenlet, ahol , megoldható a Q halmazon, de nem bármelyik másodfokú egyenlet kedves , racionális számokban megoldható. A koordinátaegyenesen nem minden pontnak van racionális pontja. Még a Kr.e. 6. század végén is. n. e Pythagoras iskolájában bebizonyosodott, hogy egy négyzet átlója nincs arányban a magasságával, ami egyenértékű a következő állítással: "Az egyenletnek nincsenek racionális gyökerei." A fentiek mindegyike a Q halmaz bővítésének szükségességéhez vezetett, bevezették az irracionális szám fogalmát. Jelölje betűvel az irracionális számok halmazát J .

Egy koordinátaegyenesen minden olyan pont, amelynek nincs racionális koordinátája, irracionális koordinátákkal rendelkezik. , ahol r– halmazok valós számok. univerzális módon A valós számok hozzárendelése decimális. A periodikus tizedesjegyek a racionális számokat, a nem periodikus tizedesek pedig az irracionális számokat határozzák meg. Tehát a 2,03 (52) egy racionális szám, a 2,03003000300003 ... (minden következő „3” számjegy periódusa egy nullával többre van írva) irracionális szám.

A Q és R halmazok a pozitivitás tulajdonságaival rendelkeznek: bármely két racionális szám között van egy racionális szám, például ecoi a
Minden irracionális számra α tetszőleges pontossággal megadhatunk egy racionális közelítést hiányos és többlet esetén is: a< α
Az a művelet, amikor néhány racionális számból gyökot vonunk ki, irracionális számokhoz vezet. A természetes fok gyökének kinyerése algebrai művelet, i.e. bevezetése egy alak algebrai egyenletének megoldásához kapcsolódik . Ha n páratlan, pl. n=2k+1, ahol , akkor az egyenletnek egyetlen gyöke van. Ha n páros, n=2k, ahol , akkor a=0 esetén az egyenletnek egyetlen gyöke van x=0, a<0 корней нет, при a>A 0-nak két egymással ellentétes gyöke van. A gyökér kivonása a természetes hatványra emelés fordított művelete.

A nem negatív a szám n-edik fokának számtani gyöke (a rövidség kedvéért a gyöke) egy nem negatív b szám, amely az egyenlet gyöke. Az a szám n-edik fokának gyökerét a szimbólum jelöli. n=2 esetén a 2. gyök foka nincs feltüntetve: .

Például , mert 22=4 és 2>0; , mert 3 3 = 27 és 3>0; nem létezik, mert -4<0.

Ha n=2k és a>0, akkor az (1) egyenlet gyökeit és -ként írjuk fel. Például az x 2 \u003d 4 egyenlet gyöke 2 és -2.

n páratlan esetén az (1) egyenletnek egyetlen gyöke van bármely . Ha a≥0, akkor - ennek az egyenletnek a gyöke. Ha egy<0, то –а>0 és - az egyenlet gyöke. Tehát az x 3 \u003d 27 egyenletnek van gyöke.

Minden racionális szám közönséges törtként ábrázolható. Ez vonatkozik az egész számokra (például 12, -6, 0), a végső tizedes törtekre (például 0,5; -3,8921), valamint a végtelen időszakos tizedes törtekre (például 0,11(23); -3 , (87) )).

azonban végtelen nem ismétlődő tizedesjegyek nem ábrázolható közönséges törtként. Ilyenek irracionális számok(azaz irracionális). Ilyen szám például a π, amely megközelítőleg 3,14. Azt azonban nem lehet meghatározni, hogy pontosan mivel egyenlő, mivel a 4-es szám után végtelen sora van további számoknak, amelyekben nem lehet megkülönböztetni az ismétlődő periódusokat. Ugyanakkor, bár a π számot nem lehet pontosan kifejezni, sajátos geometriai jelentése van. A π szám bármely kör hosszának és átmérőjének hosszának aránya. Így az irracionális számok léteznek a természetben, akárcsak a racionális számok.

Az irracionális számok másik példája a pozitív számok négyzetgyöke. Egyes számokból gyökök kinyerése racionális értékeket ad, másokból irracionális értékeket. Például √4 = 2, azaz a 4 gyöke racionális szám. De √2, √5, √7 és még sokan mások irracionális számokat eredményeznek, vagyis csak közelítéssel, bizonyos tizedesjegyre kerekítve kinyerhetők. Ebben az esetben a tört nem periodikus. Vagyis nem lehet pontosan és határozottan megmondani, hogy mi ezeknek a számoknak a gyökere.

Tehát √5 egy 2 és 3 közötti szám, mivel √4 = 2, és √9 = 3. Arra is következtethetünk, hogy √5 közelebb van 2-hez, mint 3-hoz, mivel √4 közelebb van √5-höz, mint √9 √5. Valóban, √5 ≈ 2,23 vagy √5 ≈ 2,24.

Az irracionális számokat más számításoknál is megkapjuk (és nem csak a gyökök kinyerésekor), ezek negatívak.

Az irracionális számokkal kapcsolatban azt mondhatjuk, hogy akármelyik egységszakaszt vesszük is az ilyen számmal kifejezett hossz mérésére, nem tudjuk biztosan mérni.

Az aritmetikai műveletekben az irracionális számok is részt vehetnek a racionális számok mellett. Ugyanakkor számos törvényszerűség van. Például, ha egy aritmetikai műveletben csak racionális számok vesznek részt, akkor az eredmény mindig racionális szám. Ha csak irracionálisak vesznek részt a műveletben, akkor nem lehet egyértelműen megmondani, hogy racionális vagy irracionális szám fog kiderülni.

Például, ha megszoroz két irracionális számot √2 * √2, akkor 2-t kap – ez egy racionális szám. Másrészt, √2 * √3 = √6 irracionális szám.

Ha egy aritmetikai művelet egy racionális és egy irracionális számot tartalmaz, akkor irracionális eredményt kapunk. Például 1 + 3,14... = 4,14... ; √17-4.

Miért irracionális szám a √17 - 4? Képzeld el, hogy kapsz egy x racionális számot. Ekkor √17 = x + 4. De x + 4 racionális szám, mivel azt feltételeztük, hogy x racionális. A 4-es szám is racionális, tehát x + 4 racionális. Egy racionális szám azonban nem lehet egyenlő az irracionális √17-tel. Ezért az a feltevés, hogy √17 - 4 racionális eredményt ad, téves. Egy aritmetikai művelet eredménye irracionális lesz.

Van azonban kivétel ez alól a szabály alól. Ha egy irracionális számot megszorozunk 0-val, akkor 0 racionális számot kapunk.
Azt is ajánljuk