Hogyan találjuk meg az aritmetikai sorozat különbségét, ha ismert. Aritmetikai progresszió

Például a \(2\); \(5\); \(nyolc\); \(tizenegy\); A \(14\)… egy aritmetikai sorozat, mert minden következő elem hárommal különbözik az előzőtől (három hozzáadásával kapható meg az előzőtől):

Ebben a progresszióban a \(d\) különbség pozitív (egyenlő \(3\)), ezért minden következő tag nagyobb, mint az előző. Az ilyen progressziókat ún növekvő.

A \(d\) azonban negatív szám is lehet. Például, aritmetikai sorozatban \(16\); \(tíz\); \(négy\); \(-2\); \(-8\)… a \(d\) progressziókülönbség mínusz hat.

És ebben az esetben minden következő elem kisebb lesz, mint az előző. Ezeket a progressziókat ún csökkenő.

Aritmetikai progressziós jelölés

A haladást kis latin betűvel jelöljük.

A progressziót alkotó számokat úgy nevezzük tagjai(vagy elemek).

Ugyanazzal a betűvel vannak jelölve, mint az aritmetikai progresszió, de numerikus indexük megegyezik az elemszámmal.

Például az \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetikai sorozat a \(a_1=2\) elemekből áll; \(a_2=5\); \(a_3=8\) és így tovább.

Más szavakkal, a \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Feladatok megoldása aritmetikai sorozaton

Elvileg a fenti információk már elégségesek ahhoz, hogy szinte minden problémát megoldjunk egy aritmetikai lépésben (beleértve az OGE-nél felkínáltakat is).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(b_1=7; d=4\) feltételek adják meg. Keresse meg a \(b_5\).
Megoldás:

Válasz: \(b_5=23\)

Példa (OGE). Adott egy aritmetikai sorozat első három tagja: \(62; 49; 36…\) Határozza meg a folyamat első negatív tagjának értékét.
Megoldás:

	Megadjuk a sorozat első elemeit, és tudjuk, hogy ez egy aritmetikai sorozat. Vagyis minden elem ugyanazzal a számmal különbözik a szomszédostól. Állapítsa meg, melyiket, ha kivonja az előzőt a következő elemből: \(d=49-62=-13\).
	Most visszaállíthatjuk a haladást a kívánt (első negatív) elemre.
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(-3\)

Példa (OGE). Egy aritmetikai sorozat több egymást követő eleme adott: \(...5; x; 10; 12,5...\) Határozza meg az \(x\) betűvel jelölt elem értékét!
Megoldás:

	Az \(x\) kereséséhez tudnunk kell, hogy a következő elem mennyiben tér el az előzőtől, más szóval a progresszió különbségétől. Keressük meg két ismert szomszédos elemből: \(d=12,5-10=2,5\).
	És most gond nélkül megtaláljuk, amit keresünk: \(x=5+2,5=7,5\).
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(7,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a következő feltételek adják meg: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Határozza meg a folyamat első hat tagjának összegét.
Megoldás:

	Meg kell találnunk a progresszió első hat tagjának összegét. De nem ismerjük a jelentésüket, csak az első elemet kapjuk. Ezért először sorra számoljuk ki az értékeket a nekünk megadottak alapján: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) És miután kiszámoltuk a hat elemet, amire szükségünk van, megtaláljuk az összegüket.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	A kért összeget megtaláltuk.

Válasz: \(S_6=9\).

Példa (OGE). Aritmetikai progresszióban \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Keresse meg ennek a progressziónak a különbségét.
Megoldás:

Válasz: \(d=7\).

Fontos aritmetikai progressziós képletek

Amint láthatja, sok aritmetikai progressziós probléma megoldható egyszerűen a fő dolog megértésével - hogy az aritmetikai progresszió számok lánca, és a lánc minden következő elemét úgy kapjuk meg, hogy ugyanazt a számot hozzáadjuk az előzőhöz (a különbség a progresszió).

Néha azonban vannak olyan helyzetek, amikor nagyon kényelmetlen a "homlokon" megoldani. Képzeljük el például, hogy a legelső példában nem az ötödik \(b_5\) elemet kell megtalálnunk, hanem a háromszáznyolcvanhatodik \(b_(386)\). Mi az, \ (385 \)-szer hozzáadunk négyet? Vagy képzeld el, hogy az utolsó előtti példában meg kell találnod az első hetvenhárom elem összegét. A számolás zavaró...

Ezért ilyenkor nem „homlokon” oldanak meg, hanem speciális, számtani haladásra levezetett képleteket használnak. A főbbek pedig a progresszió n-edik tagjának képlete és az első tagok \(n\) összegének képlete.

A \(n\)-edik tag képlete: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ahol \(a_1\) a haladás első tagja;
\(n\) – a szükséges elem száma;
\(a_n\) a \(n\) számú progresszió tagja.

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy gyorsan megtaláljuk legalább a háromszázadik, sőt a milliomod elemet is, csak az első és a progressziókülönbség ismeretében.

Példa. Az aritmetikai progressziót a feltételek adják meg: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Keresse meg a \(b_(246)\).
Megoldás:

Válasz: \(b_(246)=1850\).

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ahol

\(a_n\) az utolsó összegzett tag;

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(a_n=3,4n-0,6\) feltételek adják meg. Keresse meg ennek a progressziónak az első \(25\) tagjának összegét.
Megoldás:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Az első huszonöt elem összegének kiszámításához ismernünk kell az első és a huszonötödik tag értékét. Progressziónkat az n-edik tag képlete adja meg a számától függően (lásd a részleteket). Számítsuk ki az első elemet úgy, hogy \(n\)-t eggyel helyettesítjük.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Most keressük meg a huszonötödik tagot úgy, hogy \(n\) helyett huszonötöt helyettesítünk.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nos, most gond nélkül kiszámoljuk a szükséges mennyiséget.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(25)=1090\).

Az első tagok \(n\) összegére egy másik képletet kaphat: csak annyit kell tennie, hogy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) helyett cserélje ki a képletet \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kapunk:

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ahol

\(S_n\) – az első elemek szükséges összege \(n\);
\(a_1\) az első összeadandó tag;
\(d\) – progresszió különbség;
\(n\) - az összegben szereplő elemek száma.

Példa. Keresse meg az aritmetikai sorozat első \(33\)-ex tagjának összegét: \(17\); \(15,5\); \(tizennégy\)…
Megoldás:

Válasz: \(S_(33)=-231\).

Bonyolultabb aritmetikai progressziós feladatok

Mostantól minden olyan információ birtokában van, amelyre szüksége van szinte minden aritmetikai progressziós probléma megoldásához. Fejezzük be a témát azokkal a problémákkal, amelyekben nem csak képleteket kell alkalmazni, hanem egy kicsit gondolkodni is (matematikában ez hasznos lehet ☺)

Példa (OGE). Keresse meg a progresszió összes negatív tagjának összegét: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Megoldás:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		A feladat nagyon hasonló az előzőhöz. Ugyanígy kezdjük a megoldást: először megkeressük a \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Most behelyettesítjük a \(d\)-t az összeg képletébe... és itt felbukkan egy kis árnyalat – nem tudjuk, hogy \(n\). Más szóval, nem tudjuk, hány kifejezést kell hozzáadni. Hogyan lehet megtudni? Gondolkozzunk. Ha az első pozitív elemhez érünk, akkor abbahagyjuk az elemek hozzáadását. Vagyis meg kell találnia ennek az elemnek a számát. Hogyan? Írjuk fel a képletet egy aritmetikai sorozat bármely elemének kiszámításához: \(a_n=a_1+(n-1)d\) esetünkben.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Szükségünk van arra, hogy \(a_n\) nagyobb legyen nullánál. Nézzük meg, mi \(n\) fog történni.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Mínusz egyet áthelyezünk, nem felejtve el táblát váltani
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Számítás...
\(n>65 333…\)		…és kiderül, hogy az első pozitív elem \(66\) lesz. Ennek megfelelően az utolsó negatív értéke \(n=65\). Minden esetre nézzük meg.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Így hozzá kell adnunk az első \(65\) elemeket.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(65)=-630,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a feltételek adják meg: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Keresse meg a \(26\)-edik és \(42\) elem közötti összeget.
Megoldás:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Ebben a feladatban is meg kell találni az elemek összegét, de nem az elsőtől, hanem a \(26\)-ediktől kezdve. Erre nincs képletünk. Hogyan döntsünk? Egyszerű - a \(26\)-edik és a \(42\)-edik összeg eléréséhez először meg kell találnia az \(1\)-edik és a \(42\)-edik összeget, majd ki kell vonni belőle az összeget az elsőtől \ (25 \)-ig (lásd a képet).
	A \(a_1=-33\) progressziónkhoz és a \(d=4\) különbséghez (végül is négyet adunk az előző elemhez, hogy megtaláljuk a következőt). Ennek ismeretében megtaláljuk az első \(42\)-uh elemek összegét.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Most az első \(25\)-edik elem összege.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	És végül kiszámítjuk a választ.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Válasz: \(S=1683\).

Az aritmetikai progresszióhoz számos további képlet van, amelyeket ebben a cikkben nem vettünk figyelembe, mivel alacsony gyakorlati hasznosságuk. Azonban könnyen megtalálhatja őket.

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Az aritmetikai sorozat olyan számsor, amelyben minden szám ugyanannyival nagyobb (vagy kisebb), mint az előző.

Ez a téma gyakran nehéz és érthetetlen. Betűindexek, a haladás n-edik tagja, a progresszió különbsége - mindez valahogy zavarba ejtő, igen... Találjuk ki az aritmetikai progresszió jelentését, és minden azonnal megoldódik.)

A számtani progresszió fogalma.

Az aritmetikai progresszió egy nagyon egyszerű és világos fogalom. Kétség? Hiába.) Nézd meg magad.

Leírok egy befejezetlen számsort:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Meg tudod hosszabbítani ezt a sort? Milyen számok lesznek ezután az ötös után? Mindenki... ööö..., egyszóval mindenki rájön, hogy a 6, 7, 8, 9 stb. számok tovább mennek.

Bonyolítsuk a feladatot. Adok egy befejezetlen számsort:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Megkaphatja a mintát, kiterjesztheti a sorozatot és elnevezheti hetedik sorszám?

Ha rájött, hogy ez a szám 20 - gratulálok! Nem csak érezted az aritmetikai progresszió kulcspontjai, hanem sikeresen alkalmazta őket az üzleti életben is! Ha nem érted, olvass tovább.

Most fordítsuk le az érzések kulcsfontosságú pontjait a matematikára.)

Első kulcspont.

Az aritmetikai progresszió számsorokkal foglalkozik. Ez elsőre zavaró. Hozzászoktunk, hogy egyenleteket oldjunk meg, grafikonokat építsünk és minden ilyesmit... Aztán kibővítjük a sorozatot, megkeressük a sorozat számát...

Ez rendben van. Csak hát a progresszió az első ismerkedés a matematika egy új ágával. A szakasz neve "Sorozat", és számsorokkal és kifejezésekkel működik. Hozzászokik.)

Második kulcspont.

A számtani sorozatban bármely szám eltér az előzőtől ugyanennyivel.

Az első példában ez a különbség egy. Bármelyik számot is választja, az eggyel több, mint az előző. A másodikban - három. Bármely szám háromszor nagyobb, mint az előző. Valójában ez a pillanat az, amely lehetőséget ad arra, hogy elkapjuk a mintát, és kiszámítsuk a következő számokat.

Harmadik kulcsfontosságú pont.

Ez a pillanat nem feltűnő, igen... De nagyon-nagyon fontos. Itt van: minden progressziószám a helyén van. Van az első szám, van a hetedik, van a negyvenötödik, és így tovább. Ha véletlenül összekeveri őket, a minta eltűnik. Az aritmetikai progresszió is eltűnik. Ez csak egy számsor.

Ez az egész lényeg.

Természetesen az új témában új kifejezések és jelölések jelennek meg. Tudniuk kell. Ellenkező esetben nem fogja megérteni a feladatot. Például valamit el kell döntenie:

Írja fel az aritmetikai sorozat (a n) első hat tagját, ha a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirál?) Levelek, néhány tárgymutató... És a feladat egyébként nem is lehetne könnyebb. Csak meg kell értened a kifejezések és a jelölések jelentését. Most elsajátítjuk ezt a kérdést, és visszatérünk a feladathoz.

Feltételek és megnevezések.

Aritmetikai progresszió olyan számsor, amelyben minden szám különbözik az előzőtől ugyanennyivel.

Ezt az értéket hívják . Foglalkozzunk ezzel a fogalommal részletesebben.

Aritmetikai progresszió különbség.

Aritmetikai progresszió különbség az az összeg, amellyel bármely progressziós szám több az előzőt.

Egy fontos pont. Kérjük, figyeljen a szóra "több". Matematikailag ez azt jelenti, hogy minden progressziószámot megkapunk hozzátéve egy aritmetikai sorozat különbsége az előző számhoz képest.

A számításhoz mondjuk második sorszámokat, akkor szükséges első szám add hozzá ez a különbség az aritmetikai sorozatban. Számításhoz ötödik- a különbség szükséges add hozzá nak nek negyedik hát stb.

Aritmetikai progresszió különbség lehet pozitív akkor a sorozat minden száma valódinak bizonyul több, mint az előző. Ezt a progressziót ún növekvő. Például:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Itt van minden szám hozzátéve pozitív szám, +5 az előzőhöz.

A különbség lehet negatív akkor a sorozat minden száma olyan lesz kevesebb, mint az előző. Ezt a folyamatot úgy hívják (nem hiszed el!) csökkenő.

Például:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Itt is minden számot kapunk hozzátéve az előző, de már negatív számra, -5.

Mellesleg, ha progresszióval dolgozunk, nagyon hasznos azonnal meghatározni annak jellegét - hogy növekszik vagy csökken. Sokat segít eligazodni a döntésben, feltárni a hibáidat és kijavítani, mielőtt túl késő lenne.

Aritmetikai progresszió különbségáltalában betűvel jelölik d.

Hogyan lehet megtalálni d? Nagyon egyszerű. A sorozat tetszőleges számából ki kell vonni előző szám. Kivonás. Egyébként a kivonás eredményét "különbségnek" nevezik.)

Határozzuk meg pl. d a növekvő aritmetikai progresszióhoz:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kivesszük a sor tetszőleges számát, például 11-et. Vonjunk ki belőle az előző szám azok. nyolc:

Ez a helyes válasz. Ennél az aritmetikai sorozatnál a különbség három.

Csak vehetsz tetszőleges számú progresszió, mert egy meghatározott progresszióhoz d-Mindig ugyanaz. Legalább valahol a sor elején, legalább a közepén, legalábbis bárhol. Nem veheti csak a legelső számot. Csak mert a legelső szám nincs előző.)

Mellesleg ennek ismeretében d=3, ennek a progressziónak a hetedik számának megtalálása nagyon egyszerű. Hozzáadunk 3-at az ötödik számhoz - megkapjuk a hatodikat, ebből 17 lesz. A hatodik számhoz hozzáadunk hármat, így a hetedik számot kapjuk - húsz.

Határozzuk meg d csökkenő számtani progresszióhoz:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Emlékeztetlek arra, hogy a jelektől függetlenül meg kell határozni d bármely számból szükséges vegye el az előzőt. Tetszőleges számú progressziót választunk, például -7. Korábbi száma -2. Akkor:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Egy aritmetikai sorozat különbsége tetszőleges szám lehet: egész, tört, irracionális, tetszőleges.

Egyéb kifejezések és megnevezések.

A sorozat minden számát hívják egy aritmetikai sorozat tagja.

A progresszió minden tagja száma van. A számok szigorúan sorrendben vannak, minden trükk nélkül. Első, második, harmadik, negyedik stb. Például a 2, 5, 8, 11, 14, ... kettes az első tag, öt a második, tizenegy a negyedik, nos, érted...) Kérem, értse világosan - maguk a számok lehet abszolút bármilyen, egész, töredékes, negatív, bármi, de számozás- szigorúan rendben!

Hogyan írjunk előrehaladást általános formában? Nincs mit! A sorozat minden száma betűként van írva. Az aritmetikai progresszió jelölésére általában a betűt használják a. A tagszámot a jobb alsó sarokban található index jelzi. A tagokat vesszővel (vagy pontosvesszővel) elválasztva írjuk, így:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

egy 1 az első szám a 3- harmadik stb. Semmi trükkös. Ezt a sorozatot röviden így írhatod: (a n).

Vannak előrehaladások véges és végtelen.

végső a progressziónak korlátozott számú tagja van. Öt, harmincnyolc, bármi. De ez egy véges szám.

Végtelen progresszió – végtelen számú tagja van, ahogy sejtheti.)

Írhatsz egy végső haladást egy ilyen sorozaton keresztül, minden taggal és egy ponttal a végén:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Vagy így, ha sok tag van:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Egy rövid bejegyzésben még meg kell adni a tagok számát. Például (húsz tag esetében) így:

(a n), n = 20

A végtelen haladás felismerhető a sor végén lévő ellipszisről, mint az ebben a leckében szereplő példákban.

Most már lehet feladatokat megoldani. A feladatok egyszerűek, pusztán az aritmetikai sorozat jelentésének megértését szolgálják.

Példák a számtani progresszió feladatára.

Nézzük meg közelebbről a fenti feladatot:

1. Írja fel az aritmetikai sorozat első hat tagját (a n), ha a 2 = 5, d = -2,5!

A feladatot lefordítjuk érthető nyelvre. Adott egy végtelen számtani progresszió. Ennek a haladásnak a második száma ismert: a 2 = 5. Ismert progresszióbeli különbség: d = -2,5. Meg kell találnunk ennek a haladásnak az első, harmadik, negyedik, ötödik és hatodik tagját.

Az érthetőség kedvéért leírok egy sorozatot a probléma állapotának megfelelően. Az első hat tag, ahol a második tag öt:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,...

a 3 = a 2 + d

Behelyettesítjük a kifejezésben a 2 = 5és d=-2,5. Ne felejtsd el a mínuszt!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

A harmadik tag rövidebb, mint a második. Minden logikus. Ha a szám nagyobb, mint az előző negatívértéket, így maga a szám kisebb lesz, mint az előző. A progresszió csökken. Oké, vegyük figyelembe.) Sorozatunk negyedik tagját tekintjük:

egy 4 = a 3 + d

egy 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

egy 5 = egy 4 + d

egy 5=0+(-2,5)= - 2,5

egy 6 = egy 5 + d

egy 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Tehát a harmadiktól a hatodikig terjedő feltételeket kiszámítottuk. Ennek eredménye egy sorozat:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Már csak az első kifejezést kell megtalálni egy 1 a jól ismert második szerint. Ez egy lépés a másik irányba, balra.) Ebből adódik az aritmetikai progresszió különbsége d nem szabad hozzáadni a 2, a elvitel:

egy 1 = a 2 - d

egy 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ez minden. Feladat válasz:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Mellékesen megjegyzem, hogy ezt a feladatot megoldottuk visszatérőút. Ez a szörnyű szó csak annyit jelent, hogy a fejlődés egy tagját keresik az előző (szomszédos) számmal. A progresszióval való munka egyéb módjairól később lesz szó.

Ebből az egyszerű feladatból egy fontos következtetést lehet levonni.

Emlékezik:

Ha ismerjük egy aritmetikai sorozat legalább egy tagját és különbségét, akkor ennek a sorozatnak bármelyik tagját megtalálhatjuk.

Emlékezik? Ez az egyszerű következtetés lehetővé teszi számunkra, hogy megoldjuk az iskolai tanfolyam legtöbb problémáját ebben a témában. Minden feladat három fő paraméter körül forog: egy aritmetikai sorozat tagja, egy szakasz különbsége, egy progresszió tagjának száma. Minden.

Természetesen az összes korábbi algebra nem törlődik.) Egyenlőtlenségek, egyenletek és egyéb dolgok kapcsolódnak a progresszióhoz. De a progresszió szerint- minden három paraméter körül forog.

Vegyünk például néhány népszerű feladatot ebben a témában.

2. Írja fel a végső számtani folyamatot sorozatként, ha n=5, d=0,4 és a 1=3,6.

Itt minden egyszerű. Már minden adott. Emlékeznie kell az aritmetikai sorozat tagjainak kiszámítására, számolására és lejegyzésére. Javasoljuk, hogy ne hagyja ki a feladatfeltételben szereplő szavakat: "végső" és " n=5". Hogy ne számoljon addig, amíg teljesen elkékül az arca.) Csak 5 (öt) tag van ebben a folyamatban:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 \u003d 4,4

egy 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

egy 5 = egy 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Már csak le kell írni a választ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Egy másik feladat:

3. Határozza meg, hogy a 7-es szám tagja-e egy aritmetikai sorozatnak (a n), ha a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Ki tudja? Hogyan definiáljunk valamit?

Hogyan-hogyan... Igen, írd le a haladást sorozat formájában, és nézd meg, lesz-e hetes vagy sem! Hisszük:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

egy 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Most már jól látható, hogy csak heten vagyunk átcsúszott 6,5 és 7,7 között! A hetes nem került be a számsorunkba, így a hetes nem lesz tagja az adott haladásnak.

Válasz: nem.

És itt van egy feladat, amely a GIA valódi verzióján alapul:

4. Az aritmetikai sorozat több egymást követő tagja van kiírva:

...; tizenöt; X; 9; 6; ...

Itt van egy sorozat kezdet és vége nélkül. Nincs tagszám, nincs különbség d. Ez rendben van. A probléma megoldásához elég megérteni egy aritmetikai sorozat jelentését. Lássuk és lássuk, mit tudunk tudni ebből a sorból? Melyek a három fő paraméter paraméterei?

Tagszámok? Itt nincs egyetlen szám sem.

De van három szám és - figyelem! - szó "egymást követő"állapotban. Ez azt jelenti, hogy a számok szigorúan rendben vannak, hézagok nélkül. Kettő van ebben a sorban? szomszédos ismert számok? Igen van! Ezek 9 és 6. Így ki tudjuk számolni egy számtani sorozat különbségét! A hatból kivonjuk előző szám, azaz kilenc:

Maradtak üres helyek. Melyik lesz az előző szám x-hez? Tizenöt. Tehát x könnyen megtalálható egyszerű összeadással. A 15-höz hozzáadjuk az aritmetikai sorozat különbségét:

Ez minden. Válasz: x=12

Az alábbi problémákat magunk oldjuk meg. Megjegyzés: ezek a rejtvények nem képletekhez valók. Pusztán azért, hogy megértsük a számtani sorozat jelentését.) Csak felírunk egy sor számot-betűt, nézzünk és gondolkodjunk.

5. Határozza meg az aritmetikai sorozat első pozitív tagját, ha a 5 = -3; d = 1,1.

6. Ismeretes, hogy az 5,5 szám az aritmetikai sorozat (a n) tagja, ahol a 1 = 1,6; d = 1,3. Határozzuk meg ennek a tagnak az n számát!

7. Ismeretes, hogy egy aritmetikai sorozatban a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Keress egy 3-ast.

8. A számtani sorozat több egymást követő tagját kiírjuk:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Keresse meg a progresszió tagját, amelyet x betű jelöl!

9. A vonat elindult az állomásról, fokozatosan, percenként 30 méterrel növelve a sebességét. Mekkora lesz a vonat sebessége öt perc múlva? Válaszát km/h-ban adja meg.

10. Ismeretes, hogy egy aritmetikai sorozatban a 2 = 5; a 6 = -5. Keress egy 1.

Válaszok (rendetlenségben): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; négy.

Minden sikerült? Csodálatos! A számtani progressziót magasabb szinten tanulhatja meg a következő leckéken.

Nem sikerült minden? Nincs mit. A Speciális 555-ös szekcióban mindezeket a problémákat darabokra bontjuk.) És természetesen egy egyszerű gyakorlati technika is le van írva, amely azonnal világosan, világosan kiemeli az ilyen feladatok megoldását, mint a tenyerében!

Mellesleg, a vonattal kapcsolatos rejtvényben két olyan probléma van, amelyeken az emberek gyakran megbotlik. Az egyik - pusztán a progresszió alapján, a második - minden matematikai és fizika feladatra jellemző. Ez a dimenziók egyikről a másikra fordítása. Megmutatja, hogyan kell ezeket a problémákat megoldani.

Ebben a leckében egy aritmetikai progresszió elemi jelentését és főbb paramétereit vizsgáltuk. Ez elég ahhoz, hogy megoldja szinte az összes problémát ebben a témában. Hozzáadás d a számokhoz, írj egy sorozatot, minden eldől.

Az ujjmegoldás jól működik a sorozat nagyon rövid darabjainál, mint az ebben a leckében található példákban. Ha a sorozat hosszabb, a számítások bonyolultabbá válnak. Például, ha a kérdésben a 9. feladatban van, cserélje ki "öt perc" a "harmincöt perc" a probléma sokkal súlyosabb lesz.)

És vannak olyan feladatok is, amelyek lényegében egyszerűek, de számítási szempontból teljesen abszurdak, például:

Adott egy aritmetikai sorozat (a n). Keressen 121-et, ha 1 = 3 és d = 1/6.

És mi van, sokszor-sokszor adjuk hozzá az 1/6-ot?! Lehetséges öngyilkosság!?

Megteheti.) Ha nem tud egy egyszerű képletet, amellyel egy perc alatt meg tud oldani ilyen feladatokat. Ez a képlet a következő leckében lesz. És ott ez a probléma megoldódik. Egy perc.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Igen, igen: a számtani progresszió nem játékszer neked :)

Nos, barátaim, ha ezt a szöveget olvassátok, akkor a belső sapka bizonyítékai azt sugallják, hogy még mindig nem tudjátok, mi az aritmetikai progresszió, de nagyon (nem, így: NAGYON!) szeretnétek tudni. Ezért nem gyötörlek hosszú bemutatkozásokkal, és azonnal nekilátok a dolognak.

Kezdésnek egy-két példa. Tekintsünk több számkészletet:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mi a közös ezekben a készletekben? Első pillantásra semmi. De valójában van valami. Ugyanis: minden következő elem ugyanazzal a számmal tér el az előzőtől.

Ítélje meg maga. Az első készlet csak egymást követő számok, mindegyik több, mint az előző. A második esetben a szomszédos számok különbsége már egyenlő öttel, de ez a különbség továbbra is állandó. A harmadik esetben általában vannak gyökerek. Azonban $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, míg $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, azaz. ebben az esetben minden következő elem egyszerűen növekszik $\sqrt(2)$-val (és ne ijedj meg attól, hogy ez a szám irracionális).

Tehát: minden ilyen sorozatot csak aritmetikai progressziónak nevezünk. Adjunk egy szigorú definíciót:

Meghatározás. Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben minden következő pontosan ugyanannyival különbözik az előzőtől. Pont azt az összeget, amellyel a számok különböznek, progressziós különbségnek nevezzük, és leggyakrabban $d$ betűvel jelöljük.

Jelölés: $\left(((a)_(n)) \right)$ maga a progresszió, $d$ a különbsége.

És csak néhány fontos megjegyzés. Először is csak a progressziót veszik figyelembe szabályos számsor: szigorúan a beírásuk sorrendjében olvashatóak - és semmi más. A számokat nem lehet átrendezni vagy felcserélni.

Másodszor, maga a sorozat lehet véges vagy végtelen. Például az (1; 2; 3) halmaz nyilvánvalóan véges aritmetikai sorozat. De ha olyasmit ír, hogy (1; 2; 3; 4; ...) - ez már végtelen előrehaladás. A négy utáni ellipszis mintegy arra utal, hogy elég sok szám továbbmegy. Például végtelenül sok. :)

Azt is szeretném megjegyezni, hogy a progresszió növekszik és csökken. Láttunk már növekvőeket - ugyanaz a halmaz (1; 2; 3; 4; ...). Íme, példák a progresszió csökkenésére:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oké, oké: az utolsó példa túl bonyolultnak tűnhet. De a többit szerintem érted. Ezért új definíciókat vezetünk be:

Meghatározás. Az aritmetikai progressziót nevezzük:

1. növekszik, ha minden következő elem nagyobb, mint az előző;
2. csökken, ha éppen ellenkezőleg, minden következő elem kisebb, mint az előző.

Ezen kívül vannak úgynevezett „stacionárius” sorozatok – ezek ugyanabból az ismétlődő számból állnak. Például (3; 3; 3; ...).

Csak egy kérdés marad: hogyan lehet megkülönböztetni a növekvő progressziót a csökkenőtől? Szerencsére itt minden csak a $d$ szám előjelén múlik, pl. Előrehaladási különbségek:

1. Ha $d \gt 0$, akkor a progresszió növekszik;
2. Ha $d \lt 0$, akkor a progresszió nyilvánvalóan csökken;
3. Végül van a $d=0$ eset – ebben az esetben a teljes haladás azonos számok stacionárius sorozatára redukálódik: (1; 1; 1; 1; ...) stb.

Próbáljuk meg kiszámítani a $d$ különbséget a fenti három csökkenő progresszióhoz. Ehhez elegendő bármely két szomszédos elemet (például az elsőt és a másodikat) kivenni, és kivonni a bal oldali számot a jobb oldali számból. Így fog kinézni:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Mint látható, a különbség mindhárom esetben valóban negatívnak bizonyult. És most, hogy többé-kevésbé kitaláltuk a definíciókat, ideje kitalálni, hogyan írják le a progressziókat, és milyen tulajdonságaik vannak.

A progresszió és a visszatérő képlet tagjai

Mivel sorozataink elemei nem cserélhetők fel, ezért számozhatók:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \jobb\)\]

Ennek a halmaznak az egyes elemeit a progresszió tagjainak nevezzük. Ezeket így egy szám segítségével jelezzük: az első tag, a második tag stb.

Ezenkívül, mint már tudjuk, a progresszió szomszédos tagjai a következő képlettel kapcsolódnak egymáshoz:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Jobbra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Röviden, a progresszió $n$-edik tagjának megtalálásához ismernünk kell az $n-1$-edik tagot és a $d$ különbséget. Az ilyen képletet ismétlődőnek nevezzük, mert segítségével bármilyen számot megtalálhat, csak az előző (és tulajdonképpen az összes korábbi) ismeretében. Ez nagyon kényelmetlen, ezért van egy bonyolultabb képlet, amely minden számítást az első tagra és a különbségre redukál:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Valószínűleg Ön is találkozott már ezzel a képlettel. Szeretik mindenféle segédkönyvekben és reshebnikekben megadni. És minden értelmes matematikai tankönyvben az elsők közé tartozik.

Azt javaslom azonban, hogy gyakoroljon egy kicsit.

1. számú feladat. Írja fel a $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetikai sorozat első három tagját, ha $((a)_(1))=8,d=-5$.

Megoldás. Tehát ismerjük az első tagot $((a)_(1))=8$ és a progressziókülönbséget $d=-5$. Használjuk az imént megadott képletet, és cseréljük be a $n=1$, $n=2$ és $n=3$ értékeket:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: (8; 3; -2)

Ez minden! Vegyük észre, hogy a fejlődésünk csökken.

Természetesen a $n=1$ nem helyettesíthető – az első kifejezést már ismerjük. Az egység cseréjével azonban megbizonyosodtunk arról, hogy képletünk már az első félévben is működik. Más esetekben minden a banális aritmetikára dőlt el.

2. számú feladat. Írja fel egy aritmetikai sorozat első három tagját, ha a hetedik tagja –40, a tizenhetedik tagja pedig –50.

Megoldás. A probléma feltételét a szokásos módon írjuk le:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(igazítás) \jobb.\]

Azért tettem a rendszer jelét, mert ezeknek a követelményeknek egyszerre kell megfelelni. És most megjegyezzük, hogy ha kivonjuk az első egyenletet a második egyenletből (jogunk van erre, mert van rendszerünk), ezt kapjuk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(igazítás)\]

Pont így, megtaláltuk a progresszió különbséget! Marad a talált szám behelyettesítése a rendszer bármely egyenletében. Például az elsőben:

\[\begin(mátrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(mátrix)\]

Most, az első kifejezés és a különbség ismeretében, meg kell találni a második és a harmadik kifejezést:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(igazítás)\]

Kész! Probléma megoldódott.

Válasz: (-34; -35; -36)

Figyeljünk a progresszió egy érdekes tulajdonságára, amit felfedeztünk: ha vesszük a $n$-edik és a $m$-adik tagot, és kivonjuk őket egymástól, akkor megkapjuk a progresszió különbségét megszorozva a $n-m$ számmal:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Egy egyszerű, de nagyon hasznos tulajdonság, amit feltétlenül ismernie kell - segítségével számos progressziós probléma megoldását jelentősen felgyorsíthatja. Íme egy kiváló példa erre:

3. számú feladat. A számtani sorozat ötödik tagja 8,4, tizedik tagja 14,4. Keresse meg ennek a progressziónak a tizenötödik tagját.

Megoldás. Mivel $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, és meg kell találnunk a $((a)_(15))$-t, a következőket jegyezzük meg:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(igazítás)\]

De a $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, tehát $5d=6$ feltétellel, ahonnan:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: 20.4

Ez minden! Nem kellett egyenletrendszert összeállítanunk és kiszámolnunk az első tagot és a különbséget – minden csak pár sorban dőlt el.

Most nézzünk egy másik típusú problémát - a progresszió negatív és pozitív tagjainak keresését. Nem titok, hogy ha a progresszió növekszik, miközben az első tagja negatív, akkor előbb-utóbb pozitív kifejezések jelennek meg benne. És fordítva: a csökkenő progresszió feltételei előbb-utóbb negatívvá válnak.

Ugyanakkor korántsem mindig lehetséges ezt a pillanatot „a homlokon” megtalálni, egymás után válogatva az elemek között. A feladatokat gyakran úgy tervezik meg, hogy a képletek ismerete nélkül a számítások több lapot is igénybe vennének - csak elaludnánk, amíg meg nem találjuk a választ. Ezért ezeket a problémákat igyekszünk gyorsabban megoldani.

4. számú feladat. Hány negatív tag egy számtani sorozatban -38,5; -35,8; …?

Megoldás. Tehát $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, amiből azonnal megtaláljuk a különbséget:

Vegye figyelembe, hogy a különbség pozitív, tehát a progresszió növekszik. Az első tag negatív, tehát valamikor valóban pozitív számokba botlunk. A kérdés csak az, hogy ez mikor fog megtörténni.

Próbáljuk meg kideríteni: meddig (vagyis hány $n$ természetes számig) őrzi meg a tagok negativitását:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Jobbra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \jobbra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Jobbra ((n)_(\max ))=15. \\ \end(igazítás)\]

Az utolsó sor pontosításra szorul. Tehát tudjuk, hogy $n \lt 15\frac(7)(27)$. Másrészt csak a szám egész értékei felelnek meg nekünk (sőt: $n\in \mathbb(N)$), így a legnagyobb megengedett szám pontosan $n=15$, semmi esetre sem 16.

5. számú feladat. Aritmetikai haladásban $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Keresse meg ennek a progressziónak az első pozitív tagjának számát.

Ez pontosan ugyanaz a probléma lenne, mint az előző, de nem tudjuk, hogy $((a)_(1))$. De a szomszédos tagok ismertek: $((a)_(5))$ és $((a)_(6))$, így könnyen megtaláljuk a progresszió különbséget:

Ezenkívül próbáljuk meg kifejezni az ötödik tagot az első és a különbség szempontjából a standard képlet segítségével:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(igazítás)\]

Most az előző feladat analógiájával járunk el. Megtudjuk, hogy sorozatunk melyik pontján jelennek meg a pozitív számok:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Jobbra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(igazítás)\]

Ennek az egyenlőtlenségnek a minimális egész megoldása az 56.

Felhívjuk figyelmét, hogy az utolsó feladatban mindent szigorú egyenlőtlenségre redukáltunk, így a $n=55$ opció nem felel meg nekünk.

Most, hogy megtanultuk az egyszerű problémák megoldását, térjünk át a bonyolultabbakra. De először ismerjük meg az aritmetikai progresszió egy másik nagyon hasznos tulajdonságát, amivel sok időt és egyenlőtlen cellákat takaríthatunk meg a jövőben. :)

Számtani átlag és egyenlő behúzások

Tekintsük a $\left(((a)_(n)) \right)$ növekvő számtani progresszió több egymást követő tagját. Próbáljuk meg megjelölni őket egy számegyenesen:

A számegyenes számtani progressziótagjai

Külön megjegyeztem a $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ tetszőleges tagokat, és nem bármelyik $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ stb. Mert a szabály, amit most elmondok, ugyanúgy működik minden "szegmensre".

És a szabály nagyon egyszerű. Emlékezzünk a rekurzív képletre, és írjuk le az összes megjelölt tagra:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(igazítás)\]

Ezeket az egyenlőségeket azonban másképpen is át lehet írni:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(igazítás)\]

Nos, akkor mi van? De az a tény, hogy a $((a)_(n-1))$ és $((a)_(n+1))$ kifejezések ugyanolyan távolságra vannak a $((a)_(n)) $-tól . És ez a távolság egyenlő: $d$. Ugyanez mondható el a $((a)_(n-2))$ és $((a)_(n+2))$ kifejezésekről is - ezek szintén kikerülnek a $((a)_(n) )$ ugyanolyan távolságra, mint $2d$. Folytathatod a végtelenségig, de a kép jól szemlélteti a jelentést

A progresszió tagjai azonos távolságra helyezkednek el a középponttól

Mit jelent ez számunkra? Ez azt jelenti, hogy megtalálhatja a $((a)_(n))$, ha a szomszédos számok ismertek:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Pompás állítást vontunk le: egy számtani sorozat minden tagja egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával! Sőt, a $((a)_(n))$-tól balra és jobbra nem egy, hanem $k$ lépéssel térhetünk el – és így is helyes lesz a képlet:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Azok. könnyen találhatunk néhány $((a)_(150))$-t, ha ismerjük $((a)_(100))$ és $((a)_(200))$, mert $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez a tény nem ad nekünk semmi hasznosat. A gyakorlatban azonban sok feladat kifejezetten a számtani átlag használatára van "kihegyezve". Nézd meg:

6. számú feladat. Keresse meg a $x$ összes értékét úgy, hogy a $-6((x)^(2))$, $x+1$ és $14+4((x)^(2))$ számok egymást követő tagjai egy aritmetikai sorozat (meghatározott sorrendben).

Megoldás. Mivel ezek a számok egy progresszió tagjai, a számtani átlag feltétele teljesül rájuk: a $x+1$ központi elem a szomszédos elemekkel fejezhető ki:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(igazítás)\]

Az eredmény egy klasszikus másodfokú egyenlet. Gyökerei: $x=2$ és $x=-3$ a válaszok.

Válasz: -3; 2.

7. számú feladat. Keresse meg a $$ értékeit úgy, hogy a $-1;4-3;(()^(2))+1$ számok egy aritmetikai sorozatot képezzenek (ebben a sorrendben).

Megoldás. A középső tagot ismét a szomszédos tagok számtani középértékével fejezzük ki:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(igazítás)\]

Egy másik másodfokú egyenlet. És ismét két gyök: $x=6$ és $x=1$.

Válasz: 1; 6.

Ha egy probléma megoldása során brutális számokat kap, vagy nem teljesen biztos a talált válaszok helyességében, akkor van egy csodálatos trükk, amellyel ellenőrizheti: helyesen oldottuk meg a problémát?

Tegyük fel, hogy a 6. feladatban -3-as és 2-es választ kaptunk. Hogyan ellenőrizhetjük, hogy ezek a válaszok helyesek-e? Csak csatlakoztassuk őket az eredeti állapotba, és meglátjuk, mi történik. Hadd emlékeztesselek arra, hogy van három számunk ($-6(()^(2))$, $+1$ és $14+4(()^(2))$), amelyeknek számtani progressziót kell alkotniuk. $x=-3$ helyettesítő:

\[\begin(align) & x=-3\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(igazítás)\]

A -54-es számokat kaptuk; −2; Az 50, amely 52-vel különbözik, kétségtelenül egy aritmetikai progresszió. Ugyanez történik $x=2$ esetén is:

\[\begin(align) & x=2\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(igazítás)\]

Ismét egy progresszió, de 27-es különbséggel. Így a probléma helyesen megoldott. Aki szeretné, a második feladatot maga is leellenőrizheti, de rögtön leszögezem: ott is minden rendben van.

Általánosságban elmondható, hogy az utolsó problémák megoldása során egy másik érdekes tényre bukkantunk, amelyet szintén emlékezni kell:

Ha három szám olyan, hogy a második az első és az utolsó átlaga, akkor ezek a számok egy aritmetikai sorozatot alkotnak.

A jövőben ennek az állításnak a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy a probléma körülményei alapján szó szerint „megkonstruáljuk” a szükséges előrelépéseket. Mielőtt azonban belevágnánk egy ilyen „konstrukcióba”, még egy tényre kell figyelnünk, amely közvetlenül következik a már megvizsgáltakból.

Az elemek csoportosítása és összegzése

Térjünk vissza ismét a számsorhoz. Megjegyezzük ott a progresszió több tagját, amelyek között talán. megér sok más tagot:

6 elem a számegyenesen jelölt

Próbáljuk meg kifejezni a "bal farkát" $((a)_(n))$ és $d$, a "jobb farok" pedig $((a)_(k))$ és $ kifejezésekkel d$. Nagyon egyszerű:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(igazítás)\]

Most vegye figyelembe, hogy a következő összegek egyenlőek:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(igazítás)\]

Egyszerűen fogalmazva, ha a progresszió két elemét tekintjük kezdetnek, amelyek összesen megegyeznek valamilyen $S$ számmal, majd ezektől az elemektől ellentétes irányba (egymás felé, vagy fordítva távolodni) kezdünk el lépni, akkor azoknak az elemeknek az összegei is egyenlőek lesznek, amelyekbe belebotlunk$S$. Ezt grafikusan lehet legjobban ábrázolni:

Ugyanazok a behúzások egyenlő összegeket adnak

Ennek a ténynek a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy alapvetően magasabb szintű bonyolultságú problémákat oldjunk meg, mint a fent említettek. Például ezek:

8. számú feladat. Határozzuk meg egy olyan aritmetikai sorozat különbségét, amelyben az első tag 66, a második és a tizenkettedik tag szorzata pedig a lehető legkisebb!

Megoldás. Írjunk le mindent, amit tudunk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(igazítás)\]

Tehát nem ismerjük a $d$ progresszió különbségét. Tulajdonképpen az egész megoldás a különbség köré épül fel, mivel a $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ szorzat a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(igazítás)\]

A tankban lévőknek: a közös 11-es tényezőt kivettem a második zárójelből. Így a kívánt szorzat egy másodfokú függvény a $d$ változóhoz képest. Ezért tekintsük a $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ függvényt - a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágazva, mert ha kinyitjuk a zárójeleket, a következőket kapjuk:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Mint látható, a legmagasabb tagú együttható 11 - ez egy pozitív szám, tehát valóban felfelé ágazó parabolával van dolgunk:

egy másodfokú függvény grafikonja - parabola

Figyelem: ez a parabola minimális értékét a $((d)_(0))$ abszcissza csúcsánál veszi fel. Természetesen ezt az abszcisszát a standard séma szerint is kiszámíthatjuk (van egy $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ képlet), de sokkal ésszerűbb lenne, ha vegye figyelembe, hogy a kívánt csúcs a parabola tengelyszimmetriáján fekszik, így a $((d)_(0))$ pont egyenlő távolságra van a $f\left(d \right)=0$ egyenlet gyökétől:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(igazítás)\]

Éppen ezért nem siettem a zárójelek kinyitásával: az eredeti formában a gyökereket nagyon-nagyon könnyű megtalálni. Ezért az abszcissza egyenlő a -66 és -6 számok számtani átlagával:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Mi adja a felfedezett számot? Vele a szükséges szorzat a legkisebb értéket veszi fel (mellesleg nem $((y)_(\min ))$-t számoltunk - ezt nem követelik meg tőlünk). Ugyanakkor ez a szám a kezdeti progresszió különbsége, azaz. megtaláltuk a választ. :)

Válasz: -36

9. számú feladat. Szúrjon be három számot a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac(1)(6)$ számok közé úgy, hogy a megadott számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkossanak.

Megoldás. Valójában öt számból álló sorozatot kell készítenünk, az első és az utolsó szám már ismert. Jelölje a hiányzó számokat a $x$, $y$ és $z$ változókkal:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Vegye figyelembe, hogy a $y$ szám a sorozatunk "közepe" - egyenlő távolságra van a $x$ és $z$ számoktól, valamint a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac számoktól (1) (6) $. És ha pillanatnyilag nem tudunk $y$-t kapni a $x$ és $z$ számokból, akkor a progresszió végeinél más a helyzet. Emlékezzen a számtani átlagra:

Most $y$ ismeretében megtaláljuk a fennmaradó számokat. Ne feledje, hogy az $x$ $-\frac(1)(2)$ és $y=-\frac(1)(3)$ között van. Ezért

Hasonlóan érvelve megtaláljuk a fennmaradó számot:

Kész! Mindhárom számot megtaláltuk. A válaszba írjuk le őket abban a sorrendben, ahogyan az eredeti számok közé kell beilleszteni őket.

Válasz: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

10. számú feladat. A 2-es és 42-es számok közé illesszen be több olyan számot, amelyek a megadott számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkotnak, ha ismert, hogy a beszúrt első, második és utolsó szám összege 56.

Megoldás. Egy még nehezebb feladat, amelyet azonban az előzőekhez hasonlóan - a számtani átlagon keresztül - oldanak meg. A probléma az, hogy nem tudjuk pontosan, hány számot kell beszúrni. Ezért a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy a beillesztés után pontosan $n$ számok lesznek, amelyek közül az első 2, az utolsó pedig 42. Ebben az esetben a kívánt aritmetikai progresszió a következőképpen ábrázolható:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \jobbra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Megjegyzendő azonban, hogy a $((a)_(2))$ és a $((a)_(n-1))$ számokat a 2 és 42 számokból kapjuk, amelyek a szélén, egy lépéssel egymás felé állnak. , azaz . a sorozat közepére. Ez pedig azt jelenti

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

De akkor a fenti kifejezés így átírható:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(igazítás)\]

A $((a)_(3))$ és $((a)_(1))$ ismeretében könnyen megtalálhatjuk a progressziókülönbséget:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Jobbra d=5. \\ \end(igazítás)\]

Már csak a fennmaradó tagokat kell megtalálni:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(igazítás)\]

Így már a 9. lépésnél a sorozat bal végéhez érünk - a 42-es számhoz. Összesen csak 7 számot kellett beszúrni: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Válasz: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Szöveges feladatok előrehaladással

Befejezésül néhány viszonylag egyszerű problémát szeretnék megvizsgálni. Nos, mint egyszerűek: a legtöbb olyan diák számára, aki matematikát tanul az iskolában, és nem olvasta el a fent leírtakat, ezek a feladatok gesztusnak tűnhetnek. Ennek ellenére az OGE-ben és a USE matematikában pontosan ilyen feladatok találkoznak, ezért azt javaslom, hogy ismerkedjen meg velük.

11. számú feladat. A csapat januárban 62 alkatrészt gyártott le, minden következő hónapban pedig 14 alkatrészt gyártottak többet, mint az előzőben. Hány alkatrészt gyártott a brigád novemberben?

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy az alkatrészek száma, havonta festve, egyre növekvő számtani sorozat lesz. És:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November az év 11. hónapja, ezért meg kell találnunk $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ezért novemberben 202 alkatrészt gyártanak le.

12. számú feladat. A könyvkötő műhely januárban 216 könyvet kötött be, és minden hónapban 4 könyvvel többet kötött be, mint az előző hónapban. Hány könyvet kötött be decemberben a műhely?

Megoldás. Minden a régi:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December az év utolsó, 12. hónapja, ezért keresünk $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ez a válasz – decemberben 260 könyvet kötnek be.

Nos, ha idáig olvastad, sietve gratulálok: sikeresen teljesítetted a „fiatal harcos tanfolyamot” számtani sorozatokban. Nyugodtan áttérhetünk a következő leckére, ahol tanulmányozzuk a progressziós összeg képletét, valamint annak fontos és nagyon hasznos következményeit.

Sokan hallottak már a számtani progresszióról, de nem mindenki tudja jól, mi az. Ebben a cikkben megadjuk a megfelelő definíciót, és megvizsgáljuk azt a kérdést is, hogyan lehet megtalálni az aritmetikai progresszió különbségét, és számos példát adunk.

Matematikai meghatározás

Tehát ha aritmetikai vagy algebrai progresszióról beszélünk (ezek a fogalmak ugyanazt definiálják), akkor ez azt jelenti, hogy van olyan számsor, amely eleget tesz a következő törvénynek: a sorozatban minden két szomszédos szám azonos értékkel tér el. Matematikailag ez így van leírva:

Itt n az a n elem számát jelenti a sorozatban, a d pedig a progresszió különbségét (a neve a bemutatott képletből következik).

Mit jelent a d különbség ismerete? Arról, hogy milyen messze vannak egymástól a szomszédos számok. A d ismerete azonban szükséges, de nem elégséges feltétele a teljes progresszió meghatározásának (helyreállításának). Tudnia kell még egy számot, amely a szóban forgó sorozat bármely eleme lehet, például egy 4, a10, de általában az első számot használják, azaz 1-et.

Képletek a progresszió elemeinek meghatározásához

Általánosságban elmondható, hogy a fenti információk már elegendőek a konkrét problémák megoldásához. Mindazonáltal, mielőtt egy aritmetikai sorozatot megadnánk, és meg kell találni a különbségét, bemutatunk néhány hasznos képletet, megkönnyítve ezzel a későbbi feladatmegoldási folyamatot.

Könnyen kimutatható, hogy az n számú sorozat bármely eleme megtalálható a következőképpen:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Valójában ezt a képletet mindenki ellenőrizheti egy egyszerű felsorolással: ha n = 1-et helyettesítünk, akkor megkapjuk az első elemet, ha n = 2-t, akkor a kifejezés megadja az első szám és a különbség összegét, és így tovább .

Sok feladat feltételeit úgy állítják össze, hogy egy ismert számpárhoz, amelyeknek a számai is adottak a sorozatban, vissza kell állítani a teljes számsort (meg kell keresni a különbséget és az első elemet). Most ezt a problémát általánosan fogjuk megoldani.

Tehát tegyük fel, hogy kapunk két elemet n és m számokkal. A fenti képlet segítségével két egyenletrendszert állíthatunk össze:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Az ismeretlen mennyiségek megtalálásához egy jól ismert egyszerű módszert alkalmazunk egy ilyen rendszer megoldására: a bal és jobb részt páronként kivonjuk, miközben az egyenlőség érvényben marad. Nekünk van:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Így kiszűrtünk egy ismeretlent (a 1). Most felírhatjuk a végső kifejezést d meghatározásához:

d = (a n - a m) / (n - m), ahol n > m

Nagyon egyszerű képletet kaptunk: ahhoz, hogy a d különbséget a feladat feltételeinek megfelelően számítsuk ki, csak maguknak az elemeknek és azok sorszámának különbségeinek arányát kell felvenni. Egy fontos pontra kell figyelni: a különbségeket a "senior" és a "junior" tagok között vesszük, azaz n> m ("senior" - vagyis a sorozat elejétől távolabb állva abszolút értéke lehet vagy többé-kevésbé "fiatalabb" elem).

A progresszió d különbségének kifejezését be kell cserélni bármelyik egyenletbe a feladat megoldásának elején, hogy megkapjuk az első tag értékét.

Számítástechnika-fejlődés korunkban sok iskolás az interneten próbál megoldást találni a feladataira, ezért gyakran felmerülnek az ilyen típusú kérdések: keresse meg az aritmetikai sorozat különbségét az interneten. Ilyen kérésre a kereső számos weboldalt jelenít meg, amelyekre fellépve meg kell adni a feltételből ismert adatokat (lehet akár a progresszió két tagja, akár ezek egy részének összege) és azonnal választ kap. Mindazonáltal a probléma megoldásának ilyen megközelítése nem produktív a tanuló fejlődése és a rábízott feladat lényegének megértése szempontjából.

Megoldás képletek használata nélkül

Oldjuk meg az első feladatot, miközben nem használjuk a fenti képleteket. Legyenek adottak a sorozat elemei: a6 = 3, a9 = 18. Határozzuk meg a számtani progresszió különbségét!

Az ismert elemek sorban egymáshoz közel helyezkednek el. Hányszor kell hozzáadni a d különbséget a legkisebbhez, hogy a legnagyobb legyen? Háromszor (első alkalommal d hozzáadásával a 7. elemet kapjuk, a második alkalommal a nyolcadik, végül a harmadik alkalommal a kilencedik elemet). Milyen számot kell háromszor hozzáadni a háromhoz, hogy 18 legyen? Ez az ötös szám. Igazán:

Így az ismeretlen különbség d = 5.

Természetesen a megoldást a megfelelő képlet segítségével is meg lehetett csinálni, de ez nem szándékosan történt. A probléma megoldásának részletes magyarázata világos és szemléletes példává kell, hogy váljon annak, hogy mi is az aritmetikai progresszió.

Az előzőhöz hasonló feladat

Most oldjunk meg egy hasonló problémát, de változtassuk meg a bemeneti adatokat. Tehát meg kell találnia, ha a3 = 2, a9 = 19.

Természetesen ismét folyamodhat a „homlokon” megoldási módszerhez. De mivel a sorozat elemei adottak, amelyek viszonylag távol vannak egymástól, egy ilyen módszer nem válik túl kényelmessé. De a kapott képlet használata gyorsan elvezet minket a válaszhoz:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Itt kerekítettük a végső számot. Hogy ez a kerekítés mennyi hibához vezetett, az az eredmény ellenőrzésével ítélhető meg:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ez az eredmény mindössze 0,1%-kal tér el a feltételben megadott értéktől. Ezért a használt századokra kerekítés jó választásnak tekinthető.

Feladatok egy tagra vonatkozó képlet alkalmazásához

Nézzünk egy klasszikus példát az ismeretlen d meghatározásának problémájára: keressük meg az aritmetikai haladás különbségét, ha a1 = 12, a5 = 40.

Ha egy ismeretlen algebrai sorozat két számot adunk meg, és az egyik az a 1 elem, akkor nem kell sokáig gondolkodni, hanem azonnal alkalmazni kell az a n tag képletét. Ebben az esetben a következőkkel rendelkezünk:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Pontos számot kaptunk osztáskor, így nincs értelme a kiszámított eredmény pontosságát ellenőrizni, ahogy az előző bekezdésben is történt.

Oldjunk meg egy másik hasonló feladatot: meg kell találnunk az aritmetikai sorozat különbségét, ha a1 = 16, a8 = 37.

Az előzőhöz hasonló megközelítést alkalmazunk, és megkapjuk:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Mit kell még tudni az aritmetikai progresszióról?

Az ismeretlen különbség vagy egyes elemek megtalálásának problémái mellett gyakran meg kell oldani a sorozat első tagjainak összegével kapcsolatos problémákat is. Ezeknek a problémáknak a mérlegelése túlmutat a cikk témáján, azonban az információk teljessége érdekében bemutatunk egy általános képletet a sorozat n számának összegére:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

A „számtani progresszió” témát az általános algebrai kurzusban tanulják az iskolákban a 9. osztályban. Ez a téma a számsorok matematikájának további mélyreható tanulmányozása szempontjából fontos. Ebben a cikkben megismerkedünk a számtani haladással, annak különbségével, valamint azokkal a tipikus feladatokkal, amelyekkel az iskolások szembesülhetnek.

Az algebrai progresszió fogalma

A numerikus progresszió olyan számsorozat, amelyben minden következő elem levonható az előzőből, ha valamilyen matematikai törvényt alkalmazunk. A progressziónak két egyszerű típusa van: a geometriai és az aritmetikai, amelyet algebrainak is neveznek. Foglalkozzunk vele részletesebben.

Képzeljünk el valamilyen racionális számot, jelöljük a 1 szimbólummal, ahol az index a sorszámát jelzi a vizsgált sorozatban. Adjunk hozzá egy másik számot 1-hez, jelöljük d-vel. Ekkor a sorozat második eleme a következőképpen tükrözhető: a 2 = a 1 + d. Most adjunk hozzá ismét d-t, így kapjuk: a 3 = a 2 + d. Ezt a matematikai műveletet folytatva egy egész számsort kaphat, amelyet aritmetikai sorozatnak nevezünk.

Amint a fentiekből kiderül, a sorozat n-edik elemének megtalálásához a következő képletet kell használni: a n = a 1 + (n-1) * d. Valóban, ha n=1-et behelyettesítünk a kifejezésbe, azt kapjuk, hogy a 1 = a 1, ha n = 2, akkor a képletből következik: a 2 = a 1 + 1*d, és így tovább.

Például, ha az aritmetikai progresszió különbsége 5, és egy 1 = 1, akkor ez azt jelenti, hogy a kérdéses típus számsorai így néznek ki: 1, 6, 11, 16, 21, ... Ahogy Ön láthatja, minden tagja 5-tel több, mint az előző .

Aritmetikai progresszió különbség képletek

A vizsgált számsor fenti definíciójából az következik, hogy annak meghatározásához két számot kell ismerni: a 1-et és d-t. Ez utóbbit e progresszió különbségének nevezzük. Egyedülállóan meghatározza az egész sorozat viselkedését. Valóban, ha d pozitív, akkor a számsorok folyamatosan növekszenek, ellenkezőleg, negatív d esetén a sorozatban szereplő számok csak modulo nőnek, míg abszolút értékük csökken az n szám növekedésével.

Mi a különbség az aritmetikai sorozat között? Tekintsük az érték kiszámításához használt két fő képletet:

1. d = a n+1 -a n, ez a képlet közvetlenül következik a vizsgált számsor definíciójából.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), ezt a kifejezést úgy kapjuk meg, hogy kifejezzük d-t a cikk előző bekezdésében megadott képletből. Vegye figyelembe, hogy ez a kifejezés határozatlan (0/0) lesz, ha n=1. Ez annak köszönhető, hogy a sorozat legalább 2 elemét ismerni kell a különbség meghatározásához.

Ez a két alapképlet a progressziókülönbség megtalálásával kapcsolatos bármely probléma megoldására használható. Van azonban egy másik képlet, amelyet szintén tudnia kell.

Az első elemek összege

A képletet, amellyel a történelmi bizonyítékok szerint egy algebrai progresszió tetszőleges számú tagjának összegét meg lehet határozni, először a XVIII. századi matematika "hercege", Carl Gauss szerezte meg. Egy német tudós, amikor még egy falusi iskola általános osztályába járt, észrevette, hogy a természetes számok 1-től 100-ig tartó sorozatba való összeadásához először az első és az utolsó elemet kell összeadni (a kapott érték egyenlő lesz az utolsó előtti és a második, az utolsó előtti és a harmadik elem összegére, és így tovább), majd ezt a számot meg kell szorozni ezen összegek számával, azaz 50-nel.

Az a képlet, amely egy adott példán a megadott eredményt tükrözi, tetszőleges esetre általánosítható. Így fog kinézni: S n = n/2*(a n + a 1). Megjegyezzük, hogy a megadott érték megtalálásához nem szükséges a d különbség ismerete, ha a progresszió két tagja (a n és a 1) ismert.

1. példa. Határozza meg a különbséget az a1 és an sorozat két tagjának ismeretében

Megmutatjuk, hogyan kell alkalmazni a fent jelzett képleteket a cikkben. Adjunk egy egyszerű példát: az aritmetikai progresszió különbsége ismeretlen, meg kell határozni, hogy mi lesz egyenlő, ha egy 13 \u003d -5,6 és egy 1 \u003d -12,1.

Mivel a numerikus sorozat két elemének értékét ismerjük, és ezek közül az egyik az első szám, a d különbség meghatározásához a 2-es képletet használhatjuk. Van: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. A kifejezésben az n=13 értéket használtuk, mivel az ezzel a sorszámmal rendelkező tag ismert.

Az így kapott különbség a progresszió növekedését jelzi, annak ellenére, hogy a probléma feltételében megadott elemek negatív értékűek. Látható, hogy egy 13 >a 1 , bár |a 13 |<|a 1 |.

2. példa. Pozitív progressziós kifejezések az 1. példában

Használjuk az előző példában kapott eredményt egy új feladat megoldására. A következőképpen fogalmazódik meg: melyik sorszámtól kezdenek pozitív értékeket felvenni az 1. példában szereplő progresszió elemei?

Amint látható, az a progresszió, amelyben a 1 = -12,1 és d = 0,54167 növekszik, tehát egy bizonyos számtól a számok csak pozitív értékeket vesznek fel. Ennek az n számnak a meghatározásához egy egyszerű egyenlőtlenséget kell megoldani, amelyet matematikailag a következőképpen írunk fel: a n>0 vagy a megfelelő képlet segítségével átírjuk az egyenlőtlenséget: a 1 + (n-1)*d>0. Meg kell találni az ismeretlen n-t, fejezzük ki: n>-1*a 1 /d + 1. Most már hátra van a különbség ismert értékeinek és a sorozat első tagjának helyettesítése. A következőt kapjuk: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 vagy n>23,338. Mivel n csak egész értékeket vehet fel, a kapott egyenlőtlenségből következik, hogy a sorozat bármely tagja, amelynek száma 23-nál nagyobb, pozitív lesz.

Ellenőrizzük válaszunkat a fenti képlettel, hogy kiszámítsuk ennek az aritmetikai sorozatnak a 23. és 24. elemét. Van: 23 = -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (negatív szám); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (pozitív érték). Így a kapott eredmény helyes: n=24-től kezdve a számsor minden tagja nagyobb lesz nullánál.

3. példa. Hány rönk fér bele?

Itt van egy érdekes probléma: a fakitermelés során úgy döntöttek, hogy a fűrészelt rönköket egymásra rakják az alábbi ábrán látható módon. Hány rönköt lehet így egymásra rakni, ha tudjuk, hogy összesen 10 sor fér el?

A rönkök ilyen összehajtásánál egy érdekesség figyelhető meg: minden következő sor eggyel kevesebb rönköt fog tartalmazni, mint az előző, vagyis van egy algebrai progresszió, melynek különbsége d=1. Feltételezve, hogy az egyes sorban lévő rönkök száma ennek a progressziónak a tagja, és figyelembe véve azt is, hogy a 1 = 1 (csak egy napló fér el a legfelül), a 10 számot kapjuk. Van: egy 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Vagyis a 10. sorban, amely a földön fekszik, 10 rönk lesz.

Ennek a "piramis" konstrukciónak a teljes mennyiségét a Gauss-képlet segítségével kaphatjuk meg. A következőt kapjuk: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 rönk.