A geometriai progressziók összegének képlete. Geometriai progresszió

Az óra célja: megismertetni a tanulókkal egy újfajta sorozatot - egy végtelenül csökkenő geometriai progressziót.
Feladatok:
a numerikus sorozat határának kezdeti ötletének megfogalmazása;
megismerkedés a végtelen periodikus törtek közönségessé alakításának egy másik módszerével, a végtelenül csökkenő geometriai haladás összegének képletével;
az iskolások személyiségének intellektuális tulajdonságainak fejlesztése, mint a logikus gondolkodás, az értékelő cselekvési képesség, az általánosítás;
tevékenységre nevelés, kölcsönös segítségnyújtás, kollektivizmus, a téma iránti érdeklődés.

Letöltés:

Előnézet:

Kapcsolódó lecke „Végtelenül csökkenő geometriai progresszió” (algebra, 10. osztály)

Az óra célja: a tanulók megismertetése egy újfajta sorozattal – egy végtelenül csökkenő geometriai progresszióval.

Feladatok:

a numerikus sorozat határának kezdeti ötletének megfogalmazása; megismerkedés a végtelen periodikus törtek közönségessé alakításának egy másik módszerével, a végtelenül csökkenő geometriai haladás összegének képletével;

az iskolások személyiségének intellektuális tulajdonságainak fejlesztése, mint a logikus gondolkodás, az értékelő cselekvési képesség, az általánosítás;

tevékenységre nevelés, kölcsönös segítségnyújtás, kollektivizmus, a téma iránti érdeklődés.

Felszerelés: számítógép osztály, projektor, vetítővászon.

Az óra típusa: Lecke - új téma elsajátítása.

Az órák alatt

I. Org. pillanat. Üzenet az óra témájával és céljával kapcsolatban.

II. A tanulók tudásának frissítése.

A 9. osztályban számtani és geometriai sorozatokat tanultál.

Kérdések

1. A számtani sorozat definíciója.

(Az aritmetikai progresszió olyan sorozat, amelyben minden tag,

A másodiktól kezdve megegyezik az előző taggal, hozzáadva ugyanazzal a számmal).

2. n -a számtani sorozatnak

3. Az első összegének képlete n egy aritmetikai sorozat tagjai.

( vagy )

4. Geometriai progresszió definíciója.

(A geometriai progresszió nem nulla számok sorozata,

Ennek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző taggal, szorozva ezzel

ugyanaz a szám).

5. n. képlet egy geometriai progresszív tag

6. Az első összegének képlete n geometriai progresszió tagjai.

7. Milyen képleteket ismer még?

(, ahol ; ;

; , )

Feladatok

1. Az aritmetikai progressziót a képlet adja meg a n = 7-4n. Keress egy 10-est. (-33)

2. Aritmetikai progresszió a 3 = 7 és a 5 = 1 . Keress egy 4-est. (4)

3. Aritmetikai progresszió a 3 = 7 és a 5 = 1 . Keress egy 17-et. (-35)

4. Aritmetikai progresszió a 3 = 7 és a 5 = 1 . Keresse meg az S 17-et. (-187)

5. Geometriai progresszióhoztalálja meg az ötödik kifejezést.

6. Geometriai progresszióhoz keresse meg az n-edik tagot.

7. Exponenciálisan b 3 = 8 és b 5 = 2. Keresse meg a b 4-et. (4)

8. Exponenciálisan b 3 = 8 és b 5 = 2. Keresse meg b 1-et és q-t.

9. Exponenciálisan b 3 = 8 és b 5 = 2. Keresse meg az S 5-öt. (62)

III. Új téma felfedezése(bemutató bemutató).

Tekintsünk egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő 1-gyel. Rajzoljunk egy másik négyzetet, amelynek az oldala az első négyzet fele, majd egy másik, amelynek az oldala a második fele, majd a következő és így tovább. Minden alkalommal az új négyzet oldala fele az előzőnek.

Ennek eredményeként a négyzetek oldalainak sorozatát kaptuknevezővel geometriai progressziót képezve.

És ami nagyon fontos, minél több ilyen teret építünk, annál kisebb lesz a tér oldala. Például ,

Azok. az n szám növekedésével a progresszió tagjai közelednek a nullához.

Ennek az ábrának a segítségével még egy sorozatot lehet figyelembe venni.

Például a négyzetek területeinek sorrendje:

És ismét, ha n korlátlanul növekszik, ekkor a terület tetszőlegesen közelít a nullához.

Nézzünk még egy példát. Egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldala 1 cm. Építsük meg a következő háromszöget, amelynek csúcsai az 1. háromszög oldalainak felezőpontjaiban vannak, a háromszög középvonal tétele szerint - a 2. oldala egyenlő az első oldalának felével, a 3. oldala a háromszög oldalának felével. a 2. stb. Ismét megkapjuk a háromszögek oldalainak hosszsorozatát.

Nál nél .

Ha egy negatív nevezővel rendelkező geometriai progressziót tekintünk.

Aztán ismét növekvő számokkal n a progresszió feltételei közelítenek a nullához.

Figyeljünk ezeknek a sorozatoknak a nevezőire. A nevezők mindenhol kisebbek voltak, mint 1 modulo.

Megállapíthatjuk: egy geometriai progresszió végtelenül csökkenő lesz, ha nevezőjének modulusa kisebb, mint 1.

Elülső munka.

Meghatározás:

Egy geometriai progresszióról azt mondjuk, hogy végtelenül csökkenő, ha nevezőjének modulusa kisebb egynél..

A definíció segítségével meg lehet oldani azt a kérdést, hogy egy geometriai progresszió végtelenül csökkenő-e vagy sem.

Feladat

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió-e a sorozat, ha a következő képlettel adjuk meg:

Döntés:

Keressük q-t.

; ; ; .

ez a geometriai progresszió végtelenül csökken.

b) ez a sorozat nem egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió.

Tekintsünk egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő 1-gyel. Oszd ketté, az egyik felét ismét félbe, és így tovább. a kapott téglalapok területei végtelenül csökkenő geometriai sorozatot alkotnak:

Az így kapott összes téglalap területének összege egyenlő lesz az 1. négyzet területével és 1-gyel.

De ennek az egyenlőségnek a bal oldalán végtelen számú tag összege található.

Tekintsük az első n tag összegét.

Egy geometriai sorozat első n tagjának összegére vonatkozó képlet szerint egyenlő.

Ha n akkor korlátlanul növekszik

vagy . Ezért i.e. .

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegesorozatkorlát van S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Például egy progresszióhoz,

nekünk van

Mint

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegeképlet segítségével találhatjuk meg.

III. Reflexió és konszolidáció(feladatok elvégzése).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Összegzés.

Milyen sorozattal találkoztál ma?

Határozzon meg egy végtelenül csökkenő geometriai progressziót.

Hogyan bizonyítható, hogy a geometriai progresszió végtelenül csökken?

Adja meg egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének képletét!

V. Házi feladat.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Előnézet:

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

Mindenkinek képesnek kell lennie következetesen gondolkodni, határozottan ítélkezni és megcáfolni a téves következtetéseket: fizikusnak és költőnek, traktorosnak és vegyésznek. E.Kolman A matematikában nem képletekre, hanem gondolkodási folyamatokra kell emlékezni. VP Ermakov Könnyebb megtalálni a kör négyzetét, mint kijátszani egy matematikust. Augustus de Morgan Melyik tudomány lehetne nemesebb, csodálatraméltóbb, hasznosabb az emberiség számára, mint a matematika? Franklin

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió 10. évfolyam

ÉN. Aritmetikai és geometriai progressziók. Kérdések 1. A számtani sorozat meghatározása. Az aritmetikai sorozat egy olyan sorozat, amelyben minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előző taggal, amely ugyanahhoz a számhoz van hozzáadva. 2. Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete. 3. Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegének képlete. 4. Geometriai progresszió definíciója. A geometriai sorozat nem nulla számsor, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző taggal, szorozva ugyanannak a számnak 5-tel. A geometriai sorozat n-edik tagjának képlete. 6. Egy geometriai sorozat első n tagjának összegének képlete.

II. Aritmetikai progresszió. Hozzárendelések A számtani progressziót a következő képlet adja meg: a n = 7 – 4 n Keresse meg a 10-et! (-33) 2. A számtani folyamatban a 3 = 7 és a 5 = 1 . Keress egy 4-est. (4) 3. A számtani folyamatban a 3 = 7 és a 5 = 1 . Keress egy 17-et. (-35) 4. A számtani folyamatban a 3 = 7 és a 5 = 1 . Keresse meg az S 17-et. (-187)

II. Geometriai progresszió. Feladatok 5. Geometriai haladás esetén keresse meg az ötödik tagot 6. Geometriai folyamathoz keresse meg az n-edik tagot! 7. Exponenciálisan b 3 = 8 és b 5 = 2. Keresse meg a b 4-et. (4) 8. Mértani haladásban b 3 = 8 és b 5 = 2 . Keresse meg b 1-et és q-t. 9. Mértani haladásban b 3 = 8 és b 5 = 2. Keresse meg az S 5-öt. (62)

definíció: Egy geometriai progressziót végtelenül csökkenőnek mondunk, ha nevezőjének modulusa kisebb egynél.

№1 feladat Végtelenül csökkenő geometriai sorozat-e a sorozat, ha a következő képlettel adjuk meg: Megoldás: a) ez a geometriai progresszió végtelenül csökkenő. b) ez a sorozat nem egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió.

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege az S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … sorozat határa. Például egy progresszióhoz megvan, mivel a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege a képlettel kereshető

Feladatok elvégzése Határozza meg egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összegét az első taggal 3, a második 0,3-mal! 2. 13. sz.; 14. sz.; tankönyv, 138. o. 3. 15. sz (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. 19. sz.; 20. sz.

Milyen sorozattal találkoztál ma? Határozzon meg egy végtelenül csökkenő geometriai progressziót. Hogyan bizonyítható, hogy a geometriai progresszió végtelenül csökken? Adja meg egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének képletét! Kérdések

A híres lengyel matematikus, Hugo Steinghaus tréfásan állítja, hogy létezik egy törvény, amely így van megfogalmazva: a matematikus jobban csinálja. Ugyanis, ha két embert bízunk meg, akik közül az egyik matematikus olyan munkával, amit nem tudnak, akkor mindig a következő lesz az eredmény: a matematikus jobban megcsinálja. Hugo Steinghaus 1887.01.14-1972.02.25

Ezt a számot a geometriai progresszió nevezőjének nevezzük, vagyis minden tag q-szeressel tér el az előzőtől. (Feltételezzük, hogy q ≠ 1, különben minden túl triviális). Könnyen belátható, hogy a geometriai haladás n-edik tagjának általános képlete b n = b 1 q n – 1 ; a b n és b m számokkal rendelkező tagok q n – m-szeresek.

Már az ókori Egyiptomban is ismerték nemcsak a számtani, hanem a geometriai progressziót is. Itt van például egy feladat a Rhindi papiruszból: „Hét arcnak hét macskája van; minden macska hét egeret eszik, minden egér hét kalász kukoricát eszik, minden kalász hét mérték árpát tud termeszteni. Mekkorák a számok ebben a sorozatban és ezek összege?

Rizs. 1. Ókori egyiptomi geometriai progressziós probléma

Ezt a feladatot sokszor megismételték különböző variációkkal más népeknél máskor. Például a XIII században írt. A Pisai Leonardo (Fibonacci) "Abakusz könyve" egy olyan problémát jelent, amelyben 7 öregasszony jelenik meg Rómába tartó úton (nyilván zarándokok), mindegyikben 7 öszvér van, mindegyikben 7 táska, 7 cipót tartalmaz, mindegyikben 7 kés van, amelyek mindegyike 7 hüvelyben van. A probléma azt kérdezi, hogy hány elem van.

Az S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) geometriai haladás első n tagjának összege. Ez a képlet például a következőképpen igazolható: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Adjuk hozzá a b 1 q n számot S n-hez, és kapjuk:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Ebből S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), és megkapjuk a szükséges képletet.

Már az ókori Babilon egyik agyagtábláján, a VI. századból. időszámításunk előtt e., az 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 összeget tartalmazza. Igaz, mint számos más esetben, most sem tudjuk, honnan tudták ezt a tényt a babilóniaiak .

A geometriai progresszió gyors növekedését számos kultúrában, különösen Indiában, többször is használják az univerzum végtelenségének vizuális szimbólumaként. A sakk megjelenéséről szóló ismert legendában az uralkodó lehetőséget ad feltalálójuknak, hogy maga válasszon jutalmat, és annyi búzaszemet kér, amennyit a sakktábla első cellájára tesznek. , kettő a másodikon, négy a harmadikon, nyolc a negyediken stb., minden alkalommal, amikor a szám megduplázódik. Vladyka azt hitte, hogy legfeljebb néhány zsákról van szó, de rosszul számolt. Könnyen belátható, hogy a sakktábla mind a 64 mezőjére a feltalálónak (2 64 - 1) gabonát kellett volna kapnia, ami 20 jegyű számként van kifejezve; ha a Föld teljes felületét be is vetnék, legalább 8 évbe telne a szükséges mennyiségű szem begyűjtése. Ezt a legendát olykor úgy értelmezik, mint utalást a sakkjátékban rejlő szinte korlátlan lehetőségekre.

Az a tény, hogy ez a szám valóban 20 jegyű, könnyen belátható:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (pontosabb számítás 1,84 10 19). De kíváncsi vagyok, megtudja-e, hogy ez a szám melyik számjegyre végződik?

A geometriai progresszió növekszik, ha a nevező abszolút értéke nagyobb, mint 1, vagy csökken, ha kisebb, mint egy. Ez utóbbi esetben a q n szám tetszőlegesen kicsivé válhat kellően nagy n esetén. Míg a növekvő exponenciális váratlanul gyorsan növekszik, a csökkenő exponenciális ugyanolyan gyorsan csökken.

Minél nagyobb n, annál gyengébb a q n szám, amely eltér nullától, és minél közelebb van az S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) geometriai progresszió n tagjának összege az S \u003d b 1 számhoz. / (1 - q) . (Így érvelve például F. Viet). Az S számot egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének nevezzük. Azonban sok évszázadon át nem volt elég világos a matematikusok számára az a kérdés, hogy mit jelent az ÖSSZES geometriai progresszió összegzése a végtelen számú taggal.

Csökkenő geometriai progresszió figyelhető meg például Zénón „Biting” és „Achilles and the teknős” című apóriáiban. Az első esetben jól látható, hogy a teljes út (tegyük fel 1-es hosszúságot) végtelen számú 1/2, 1/4, 1/8 stb. szakasz összege. Ez természetesen így van a véges összegű végtelen geometriai progresszióról alkotott elképzelések szempontjából. És mégis – hogy lehet ez?

Rizs. 2. Progresszió 1/2-es tényezővel

Az Akhilleuszról szóló apóriában kicsit bonyolultabb a helyzet, mert itt a progresszió nevezője nem 1/2, hanem valami más szám. Legyen például Akhilleusz v sebességgel, a teknős u sebességgel mozog, és a köztük lévő kezdeti távolság l. Achilles ezt a távot l/v idő alatt futja meg, a teknősbéka pedig lu/v távolságot tesz meg ezalatt. Amikor Akhilleusz átfut ezen a szakaszon, a közte és a teknős közötti távolság egyenlő lesz l (u / v) 2-vel stb. Kiderült, hogy a teknős utolérése azt jelenti, hogy meg kell találni egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegét az elsővel l tag és az u / v nevező. Ez az összeg – az a szakasz, amelyet Akhilleusz végül a teknőssel találkozási pontig fut – egyenlő l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . De ismételten, hogy ezt az eredményt hogyan kell értelmezni, és miért van egyáltalán értelme, sokáig nem volt világos.

Rizs. 3. Geometriai progresszió 2/3 együtthatóval

A geometriai progresszió összegét Arkhimédész használta a parabola szakaszának területének meghatározásakor. Határolja a parabola adott szakaszát az AB húr, és legyen a parabola D pontjában lévő érintő párhuzamos AB-vel. Legyen C az AB felezőpontja , E az AC felezőpontja , F a CB felezőpontja . Rajzoljunk egyenárammal párhuzamos egyeneseket az A , E , F , B pontokon keresztül; legyen a D pontban húzott érintő, ezek az egyenesek a K , L , M , N pontokban metszik egymást. Rajzoljunk AD és DB szegmenseket is. Az EL egyenes az AD egyenest a G pontban, a parabolát pedig a H pontban metszi; Az FM egyenes a DB egyenest a Q pontban, a parabolát pedig az R pontban metszi. A kúpszeletek általános elmélete szerint a DC egy parabola (vagyis a tengelyével párhuzamos szakasz) átmérője; ez és a D pontban lévő érintő szolgálhat x és y koordinátatengelyként, amelyben a parabola egyenlet y 2 \u003d 2px (x a távolság D-től egy adott átmérőjű bármely pontig, y az a hossza adott érintővel párhuzamos szakasz ebből az átmérőpontból magának a parabolának egy pontjába).

A parabola-egyenlet értelmében DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , és mivel DK = 2DL , akkor KA = 4LH . Mivel KA = 2LG, LH = HG. A parabola ADB szakaszának területe megegyezik az ΔADB háromszög területével és az AHD és DRB szegmensek területeivel együtt. Az AHD szegmens területe viszont megegyezik az AHD háromszög és a többi AH és HD szegmens területével, amelyek mindegyikével ugyanaz a művelet hajtható végre - háromszögre osztva (Δ) és a fennmaradó két szegmens () stb.:

A ΔAHD háromszög területe egyenlő az ΔALD háromszög területének felével (közös AD alapjuk van, és a magasságok 2-szer különböznek egymástól), ami viszont egyenlő a háromszög területének felével. a ΔAKD háromszög, tehát az ΔACD háromszög területének a fele. Így a ΔAHD háromszög területe egyenlő az ΔACD háromszög területének negyedével. Hasonlóképpen, a ΔDRB háromszög területe egyenlő a ΔDFB háromszög területének negyedével. Tehát az ∆AHD és ∆DRB háromszögek területe együttvéve egyenlő az ∆ADB háromszög területének negyedével. Ha ezt a műveletet az AH , HD , DR és RB szegmensekre alkalmazva megismételjük, ezekből is kiválasztunk háromszögeket, amelyek területe együttvéve 4-szer kisebb lesz, mint a ΔAHD és ΔDRB háromszögek területe, együttvéve, tehát 16-szor kisebb, mint az ΔADB háromszög területe. Stb:

Így Arkhimédész bebizonyította, hogy "minden szakasz, amely egy egyenes és egy parabola közé van zárva, egy háromszög négyharmada, azonos alappal és azonos magassággal."

Geometriai progresszió nem kevésbé fontos a matematikában, mint az aritmetikában. A geometriai progresszió olyan b1, b2,..., b[n] számsorozat, amelynek minden következő tagját úgy kapjuk meg, hogy az előzőt megszorozzuk egy állandó számmal. Ezt a számot, amely a progresszió növekedésének vagy csökkenésének ütemét is jellemzi, ún geometriai progresszió nevezőjeés jelöljük

Egy geometriai progresszió teljes hozzárendeléséhez a nevezőn kívül ismerni vagy meghatározni kell annak első tagját is. A nevező pozitív értéke esetén a progresszió monoton sorozat, és ha ez a számsorozat monoton csökkenő és monoton növekvő, mikor. Azt az esetet, amikor a nevező egyenlő eggyel, a gyakorlatban nem veszik figyelembe, mivel azonos számsorral rendelkezünk, és ezek összegzése gyakorlati szempontból nem érdekes

A geometriai progresszió általános tagja képlet alapján számítjuk ki

Egy geometriai sorozat első n tagjának összege képlet határozza meg

Nézzük a klasszikus geometriai progressziós feladatok megoldásait. Kezdjük a legegyszerűbben érthetővel.

1. példa Egy geometriai sorozat első tagja 27, nevezője pedig 1/3. Keresse meg a geometriai progresszió első hat tagját.

Megoldás: Az űrlapba írjuk a feladat feltételét

A számításokhoz a geometriai sorozat n-edik tagjának képletét használjuk

Ennek alapján a progresszió ismeretlen tagjait találjuk

Mint látható, a geometriai progresszió feltételeinek kiszámítása nem nehéz. Maga a haladás így fog kinézni

2. példa Adott egy geometriai sorozat első három tagja: 6; -12; 24. Keresse meg a nevezőt és a hetedik tagot!

Megoldás: Meghatározása alapján számítjuk ki a geometriai progresszió nevezőjét

Kaptunk egy váltakozó geometriai progressziót, amelynek a nevezője -2. A hetedik tagot a képlet számítja ki

Ezen a feladaton meg van oldva.

3. példa Egy geometriai progressziót ad meg annak két tagja . Keresse meg a progresszió tizedik tagját.

Döntés:

Írjuk fel a megadott értékeket a képletekkel

A szabályok szerint meg kellene találni a nevezőt, majd megkeresni a kívánt értéket, de a tizedik tagra megvan

Ugyanez a képlet nyerhető a bemeneti adatokkal végzett egyszerű manipulációk alapján. A sorozat hatodik tagját elosztjuk egy másikkal, eredményül kapjuk

Ha a kapott értéket megszorozzuk a hatodik taggal, akkor a tizedet kapjuk

Így az ilyen problémákra egyszerű átalakítások segítségével, gyorsan megtalálhatja a megfelelő megoldást.

4. példa A geometriai progressziót ismétlődő képletekkel adjuk meg

Keresse meg a geometriai progresszió nevezőjét és az első hat tag összegét!

Döntés:

A megadott adatokat egyenletrendszer formájában írjuk fel

Fejezd ki a nevezőt úgy, hogy a második egyenletet elosztod az elsővel

Keresse meg az első egyenletből származó haladás első tagját!

Számítsa ki a következő öt tagot, hogy megtalálja a geometriai progresszió összegét!

Nézzünk egy sorozatot.

7 28 112 448 1792...

Teljesen egyértelmű, hogy bármelyik elemének értéke pontosan négyszer nagyobb, mint az előzőé. Tehát ez a sorozat egy előrelépés.

A geometriai progresszió egy végtelen számsorozat, amelynek fő jellemzője, hogy a következő számot az előzőből valamilyen meghatározott számmal megszorozva kapjuk. Ezt a következő képlet fejezi ki.

a z +1 =a z q, ahol z a kiválasztott elem száma.

Ennek megfelelően z ∈ N.

Az az időszak, amikor a geometriai haladást az iskolában tanulják, a 9. évfolyam. Példák segítenek megérteni a koncepciót:

0.25 0.125 0.0625...

A képlet alapján a progresszió nevezője a következőképpen kereshető:

Sem q, sem b z nem lehet nulla. Ezenkívül a progresszió egyik eleme sem lehet egyenlő nullával.

Ennek megfelelően, hogy megtudja a sorozat következő számát, meg kell szoroznia az utolsót q-val.

Ennek a folyamatnak a megadásához meg kell adnia annak első elemét és nevezőjét. Ezt követően meg lehet találni bármelyik következő kifejezést és azok összegét.

Fajták

q-tól és a 1-től függően ez a folyamat több típusra oszlik:

• Ha a 1 és q is nagyobb, mint egy, akkor egy ilyen sorozat minden következő elemmel növekvő geometriai sorozat. Az alábbiakban egy ilyen példát mutatunk be.

Példa: a 1 =3, q=2 - mindkét paraméter nagyobb egynél.

Ekkor a numerikus sorozat a következőképpen írható fel:

3 6 12 24 48 ...

• Ha |q| egynél kisebb, azaz a vele való szorzás osztásnak felel meg, akkor a hasonló feltételek melletti progresszió csökkenő geometriai haladás. Az alábbiakban egy ilyen példát mutatunk be.

Példa: a 1 =6, q=1/3 - a 1 nagyobb, mint egy, q kisebb.

Ekkor a numerikus sorozat a következőképpen írható fel:

6 2 2/3 ... - bármely elem 3-szor nagyobb, mint az őt követő elem.

• Jel-változó. Ha q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Példa: a 1 = -3 , q = -2 - mindkét paraméter kisebb, mint nulla.

Ekkor a sorozat így írható fel:

3, 6, -12, 24,...

Képletek

A geometriai progressziók kényelmes használatához számos képlet létezik:

• A z-edik tag képlete. Lehetővé teszi egy adott szám alatti elem kiszámítását az előző számok kiszámítása nélkül.

Példa:q = 3, a 1 = 4. Ki kell számítani a progresszió negyedik elemét.

Döntés:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Azon első elemek összege, amelyek száma z. Lehetővé teszi a sorozat összes elemének összegének kiszámításáta zinkluzív.

óta (1-q) a nevezőben van, akkor (1 - q)≠ 0, ezért q nem egyenlő 1-gyel.

Megjegyzés: ha q=1, akkor a progresszió egy végtelenül ismétlődő szám sorozata lenne.

Geometriai progresszió összege, példák:a 1 = 2, q= -2. Számítsd ki az S 5-öt!

Döntés:S 5 = 22 - számítás képlet alapján.

• Összeg, ha |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Példa:a 1 = 2 , q= 0,5. Keresse meg az összeget.

Döntés:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Néhány tulajdonság:

• jellemző tulajdonság. Ha a következő feltétel végeztek bármelyz, akkor az adott számsor egy geometriai progresszió:

a z 2 = a z -1 · az+1

• A geometriai haladás tetszőleges számának négyzetét úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk egy adott sorozat bármely másik két számának négyzetét, ha azok egyenlő távolságra vannak ettől az elemtől.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , aholta távolság ezek között a számok között.

• Elemekq-ban különbözikegyszer.
• A progressziós elemek logaritmusai is egy progressziót képeznek, de már aritmetikusak, vagyis mindegyik egy bizonyos számmal nagyobb, mint az előző.

Példák néhány klasszikus problémára

Ahhoz, hogy jobban megértsük, mi a geometriai progresszió, a 9. évfolyamra vonatkozó megoldási példák segíthetnek.

• Körülmények:a 1 = 3, a 3 = 48. Keresse megq.

Megoldás: minden következő elem nagyobb, mint az előzőq egyszer.Egyes elemeket másokon keresztül kell kifejezni nevező használatával.

Ennélfogva,a 3 = q 2 · a 1

Cserekorq= 4

• Körülmények:a 2 = 6, a 3 = 12. Számítsd ki az S 6 -ot!

Döntés:Ehhez elég megkeresni q-t, az első elemet, és behelyettesíteni a képletbe.

a 3 = q· a 2 , ennélfogva,q= 2

a 2 = q egy 1,Ezért a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Keresse meg a progresszió negyedik elemét.

Megoldás: ehhez elég a negyedik elemet az elsőn és a nevezőn keresztül kifejezni.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Alkalmazási példa:

• A bank ügyfele 10 000 rubel összegű letétet helyezett el, amelynek feltételei szerint az ügyfél minden évben ennek 6% -át hozzáadja a tőkeösszeghez. Mennyi pénz lesz a számlán 4 év múlva?

Megoldás: A kezdeti összeg 10 ezer rubel. Tehát egy évvel a befektetés után a számlán 10 000 + 10 000 lesz az összeg · 0,06 = 10000 1,06

Ennek megfelelően a számlán lévő összeg egy év elteltével a következőképpen jelenik meg:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

Vagyis minden évben 1,06-szorosára nő az összeg. Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy 4 év elteltével meg lehessen találni a számlán lévő pénzeszközök összegét, elég megkeresni a progresszió negyedik elemét, amelyet az első 10 ezerrel egyenlő elem, a nevező pedig 1,06 ad meg.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Példák az összeg kiszámításához szükséges feladatokra:

Különféle problémák esetén geometriai progressziót használnak. Az összeg megállapítására a következő példa adható:

a 1 = 4, q= 2, számítsd kiS5.

Megoldás: a számításhoz szükséges összes adat ismert, csak be kell cserélni a képletbe.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Számítsd ki az első hat elem összegét!

Döntés:

Geom. progresszió, minden következő elem q-szor nagyobb, mint az előző, vagyis az összeg kiszámításához ismerni kell az elemeta 1 és nevezőq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Hasonlóképpen meg kell találnunka 1 , tudvána 2 ésq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Tekintsük most a végtelen geometriai progresszió összegzésének kérdését. Nevezzük egy adott végtelen progresszió részösszegét az első tagok összegének. Jelölje a részösszeget szimbólummal

Minden végtelen fejlődéshez

részösszegeiből összeállíthatunk egy (szintén végtelen) sorozatot

Legyen egy korlátlan növekedésű sorozatnak korlátja

Ebben az esetben az S számot, vagyis a haladás részösszegeinek határát végtelen progresszió összegének nevezzük. Bebizonyítjuk, hogy a végtelenül csökkenő geometriai haladásnak mindig van összege, és ennek az összegnek egy képletét vezetjük le (azt is megmutathatjuk, hogy végtelen haladás esetén nincs összeg, nem létezik).

A részösszeg kifejezését a (91.1) képlet szerinti progresszió tagjainak összegeként írjuk fel, és tekintsük a részösszeg határát

A 89. tétel tételéből ismert, hogy csökkenő progresszió esetén ; ezért a különbséghatártételt alkalmazva azt találjuk

(itt is használatos a szabály: a konstans tényezőt kivesszük a határ előjeléből). A létezés bizonyítást nyer, és egyúttal megkapjuk a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének képletét:

Az egyenlőség (92.1) így is felírható

Itt paradoxnak tűnhet, hogy egy jól meghatározott véges értéket rendelünk egy végtelen taghalmaz összegéhez.

Világos szemléltetéssel magyarázható ez a helyzet. Vegyünk egy négyzetet, amelynek oldala eggyel egyenlő (72. ábra). Osszuk ezt a négyzetet egy vízszintes vonallal két egyenlő részre, és a felső részt vigyük rá az alsóra úgy, hogy téglalap legyen 2 és oldalakkal. Ezután ennek a téglalapnak a jobb felét ismét kettéosztjuk egy vízszintes vonallal, és a felső részt az alsóhoz rögzítjük (a 72. ábra szerint). Folytatva ezt a folyamatot, az eredeti, 1-es területű négyzetet folyamatosan egyforma méretű figurákká alakítjuk (egy vékonyabb lépcsőfokozatú lépcső formáját öltve).

Ennek a folyamatnak a végtelen folytatásával a négyzet teljes területe végtelen számú tagra bomlik - az 1-es alappal és magassággal rendelkező téglalapok területére. A téglalapok területei végtelenül csökkenő progressziót alkotnak, annak összege

azaz a várakozásoknak megfelelően egyenlő a négyzet területével.

Példa. Határozza meg a következő végtelen folyamatok összegét:

Megoldás, a) Megjegyezzük, hogy ez a progresszió Ezért a (92.2) képlet alapján megtaláljuk

b) Itt azt jelenti, hogy ugyanazzal a (92.2) képlettel rendelkezünk

c) Azt találjuk, hogy ez a progresszió Ezért ennek a progressziónak nincs összege.

Az 5. részben a végtelenül csökkenő progresszió tagok összegének képletének alkalmazását mutattuk be egy periodikus tizedes tört közönséges törtté való átalakítására.

Feladatok

1. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege 3/5, első négy tagjának összege 13/27. Keresse meg a progresszió első tagját és nevezőjét!

2. Keressen négy olyan számot, amelyek egy váltakozó geometriai sorozatot alkotnak, amelyekben a második tag 35-tel kisebb, mint az első, a harmadik pedig 560-al nagyobb, mint a negyedik.

3. Mutassa meg a mi lenne, ha sorozatot

végtelenül csökkenő geometriai progressziót alkot, akkor a sorozat

bármely alakra végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Ez az állítás érvényes-e

Vezess le egy képletet a geometriai progresszió tagjainak szorzatára!