Hogyan kell megoldani a négyzetgyököt. Hogyan lehet gyorsan kivonni a négyzetgyökereket

A sok ismeret között, amely az írástudás jele, az ábécé áll az első helyen. A következő, ugyanaz a "jel" elem az összeadás-szorzás készsége, és a velük szomszédos, de fordított jelentésű, a kivonás-osztás aritmetikai műveletei. A távoli iskolai gyermekkorban tanult készségek éjjel-nappal hűségesen szolgálnak: TV, újság, SMS, És mindenhol olvasunk, írunk, számolunk, összeadunk, kivonunk, szorozunk. És mondd csak, gyakran kellett gyökeret verned az életben, kivéve a vidéken? Például egy ilyen szórakoztató probléma, mint az 12345-ös szám négyzetgyöke... Van még puskapor a poros lombikban? Meg tudjuk csinálni? Igen, mi sem könnyebb! Hol van a számológépem... És anélkül, kézről-kézre, gyenge?

Először is tisztázzuk, mi az... Négyzetgyök számok. Általánosságban elmondható, hogy „a gyökér kivonása egy számból” azt jelenti, hogy a hatványra emeléssel ellentétes számtani műveletet hajtunk végre – itt az ellentétek egysége az életben való alkalmazásban. tegyük fel, hogy a négyzet egy szám önmagában való szorzása, azaz ahogy az iskolában tanították, X * X = A vagy más jelöléssel X2 = A, és szavakban - „X négyzet egyenlő A”. Ekkor az inverz probléma így hangzik: az A szám négyzetgyöke az X szám, amely négyzetre vetve egyenlő A-val.

A négyzetgyök kivonása

Az aritmetika iskolai kurzusából ismertek az "oszlopos" számítási módszerek, amelyek segítenek bármilyen számítás elvégzésében az első négy segítségével aritmetikai műveletek. Sajnos... A négyzetre, és nem csak a négyzetre, az ilyen algoritmusok gyökerei nem léteznek. És ebben az esetben hogyan lehet kivonni a négyzetgyököt számológép nélkül? A négyzetgyök definíciója alapján egyetlen következtetés vonható le - olyan számok szekvenciális felsorolásával kell kiválasztani az eredmény értékét, amelynek négyzete megközelíti a gyökkifejezés értékét. Csak és minden! Egy-két órának nem lesz ideje eltelni, hiszen a jól ismert módszerrel számolhat egy „oszlopba”, tetszőleges négyzetgyökbe. Ha megvan a képességed, pár perc elég ehhez. Még egy nem egészen haladó számológép vagy PC-felhasználó is egy csapásra megcsinálja – halad.

De komolyan, a négyzetgyök kiszámítását gyakran a „tüzérségi villa” technikával végzik: először vesznek egy számot, amelynek négyzete megközelítőleg megfelel a gyök kifejezésének. Jobb, ha a "mi négyzetünk" valamivel kisebb ennél a kifejezésnél. Ezután saját ügyességüknek megfelelően javítják a számot, például megszorozzák kettővel, és ... újra négyzetre teszik. Ha az eredmény nagyobb, mint a gyökér alatti szám, egymás után módosítva az eredeti számot, fokozatosan közelítve a gyökér alatti "kollégához". Mint látható - nincs számológép, csak az "oszlopban" való számolás képessége. Természetesen sok tudományosan megindokolt és optimalizált algoritmus létezik a négyzetgyök kiszámítására, de "otthoni használatra" a fenti technika 100%-os biztonságot ad az eredményben.

Igen, majdnem elfelejtettem, hogy megnövekedett írástudásunk megerősítése érdekében kiszámoljuk a korábban jelzett 12345 szám négyzetgyökét. Lépésről lépésre megtesszük:

1. Vegyük tisztán intuitív módon X=100-at. Számítsuk ki: X * X = 10000. Az intuíció a csúcson - az eredmény kisebb, mint 12345.

2. Próbáljuk meg, szintén tisztán intuitív módon, X = 120. Ezután: X * X = 14400. És ismét, intuícióval a sorrend - az eredmény több, mint 12345.

3. Fent 100 és 120 "villát" kapunk. Válasszunk új számokat - 110 és 115. 12100-at és 13225-öt kapunk - a villa szűkül.

4. Megpróbáljuk a "talán" X = 111-et. X * X = 12321-et kapunk. Ez a szám már egészen közel áll az 12345-höz. A megkívánt pontosságnak megfelelően az „illesztés” folytatható vagy leállítható a kapott eredménynél. Ez minden. Ahogy ígértem - minden nagyon egyszerű és számológép nélkül.

Egy kis történelem...

Használaton gondolkodik négyzetgyök még mindig a püthagoreusok, Pythagoras iskola tanítványai és követői, Kr.e. 800 éve. majd új felfedezésekbe "futott" a számok terén. És honnan jött?

1. A feladat megoldása a gyök kinyerésével egy új osztály számok formájában adja meg az eredményt. Irracionálisnak, más szóval „ésszerűtlennek” nevezték őket, mert. nem teljes számként vannak írva. Ennek legklasszikusabb példája a 2 négyzetgyöke. Ez az eset egy 1-es oldalú négyzet átlójának számításához felel meg – itt van a Pitagorasz iskola hatása. Kiderült, hogy egy olyan háromszögben, amelynek oldalai nagyon meghatározott egységméretűek, a hipotenusz mérete olyan számmal van kifejezve, amelynek "nincs vége". Tehát megjelent a matematikában

2. Ismeretes, hogy kiderült, hogy ez matematikai művelet tartalmaz egy másik fogást – a gyökér kinyerésével nem tudjuk, hogy egy szám pozitív vagy negatív négyzete a gyökérkifejezés. Ezt a bizonytalanságot, egy művelet kétszeres eredményét le kell írni.

A jelenséggel kapcsolatos problémák tanulmányozása a matematikában a matematikai fizikában nagy gyakorlati jelentőséggel bíró komplex változó elméletének nevezett irányzattá vált.

Érdekes, hogy a gyökmegjelölést - radikális - ugyanaz a mindenütt jelenlévő I. Newton használta az "Univerzális aritmetikában", de pontosan modern megjelenés A gyökérrekord 1690 óta ismert a francia Roll „Útmutató az algebraihoz” című könyvéből.

A matematika akkor született, amikor az ember tudatára ébredt önmagának, és a világ autonóm egységeként kezdte el pozicionálni magát. Az a vágy, hogy mérni, összehasonlítani, kiszámítani azt, ami körülvesz – ez az alapja napjaink egyik alaptudományának. Eleinte ezek az elemi matematika darabjai voltak, amelyek lehetővé tették a számok fizikai kifejezéseihez való társítását, később a következtetéseket csak elméletileg kezdték bemutatni (absztraktságuk miatt), de egy idő után, ahogy egy tudós fogalmazott, " a matematika elérte a bonyolultság felső határát, amikor minden szám." A „négyzetgyök” fogalma akkor jelent meg, amikor empirikus adatokkal könnyen alátámasztható volt, túllépve a számítási síkon.

Hogy kezdődött az egész

A gyökér első említése, amely a Ebben a pillanatban√-ként jelölve, a babiloni matematikusok írásaiban rögzítették, akik lefektették a modern aritmetika alapjait. Természetesen egy kicsit hasonlítottak a jelenlegi formájukra - az akkori évek tudósai először használtak terjedelmes tablettákat. De a Kr.e. második évezredben. e. kidolgoztak egy hozzávetőleges számítási képletet, amely megmutatta, hogyan kell venni a négyzetgyököt. Az alábbi képen egy kő látható, amelyre a babiloni tudósok a kimeneti folyamatot √2 faragták, és ez annyira helyesnek bizonyult, hogy a válasz eltérését csak a tizedik tizedes jegyben találták meg.

Ezenkívül a gyökéröt akkor használták, ha meg kellett találni egy háromszög oldalát, feltéve, hogy a másik kettő ismert. Nos, a másodfokú egyenletek megoldásánál nincs menekvés a gyökér kinyerése elől.

A babilóniai munkákkal együtt a cikk tárgyát a "Mathematics in Nine Books" című kínai mű is tanulmányozta, és az ókori görögök arra a következtetésre jutottak, hogy minden szám, amelyből a gyökér nem kerül kivonásra maradék nélkül, irracionális eredményt ad. .

E kifejezés eredete a szám arab ábrázolásához kapcsolódik: az ókori tudósok úgy vélték, hogy egy tetszőleges szám négyzete a gyökérből nő ki, mint egy növény. Latinul ez a szó úgy hangzik, mint a radix (nyomon követhető a minta - minden, aminek "gyökér" szemantikai terhelése van, mássalhangzó, legyen az retek vagy isiász).

A következő generációk tudósai felvették ezt az ötletet, és Rx-nek nevezték el. Például a 15. században annak jelzésére, hogy a négyzetgyök tetszőleges a számból származik, R 2 a-t írtak. Szokásos modern megjelenés A "pipa" √ csak a 17. században jelent meg Rene Descartesnak köszönhetően.

A mi napjaink

Matematikailag y négyzetgyöke az a z szám, amelynek négyzete y. Más szavakkal, z 2 =y ekvivalens √y=z-vel. Ez a definíció azonban csak az aritmetikai gyökérre vonatkozik, mivel a kifejezés nem negatív értékére utal. Más szavakkal, √y=z, ahol z nagyobb vagy egyenlő, mint 0.

Általában, ami érvényes egy algebrai gyök meghatározására, egy kifejezés értéke lehet pozitív vagy negatív. Így annak következtében, hogy z 2 =y és (-z) 2 =y, a következőt kapjuk: √y=±z vagy √y=|z|.

Tekintettel arra, hogy a matematika iránti szeretet a tudomány fejlődésével csak nőtt, a hozzá való kötődésnek különféle megnyilvánulásai vannak, amelyeket nem száraz számításokban fejeznek ki. Például az olyan érdekes események mellett, mint a Pi napja, a négyzetgyök ünnepeit is megünneplik. Száz év alatt kilencszer ünneplik, és a következő elv szerint határozzák meg: a napot és a hónapot sorrendben jelölő számoknak az év négyzetgyökének kell lenniük. Igen, be legközelebb Ezt az ünnepet 2016. április 4-én ünnepeljük.

A négyzetgyök tulajdonságai az R mezőn

Szinte minden matematikai kifejezésnek van geometriai alapja, ez a sors nem múlt el, és √y, amelyet egy négyzet y területű oldalaként határozunk meg.

Hogyan lehet megtalálni egy szám gyökerét?

Számos számítási algoritmus létezik. A legegyszerűbb, de ugyanakkor meglehetősen körülményes a szokásos aritmetikai számítás, amely a következő:

1) abból a számból, amelynek gyökére szükségünk van, a páratlan számokat sorra kivonjuk - amíg a kimenet maradéka kisebb lesz, mint a kivont, vagy páros nulla. A lépések száma végül a kívánt szám lesz. Például a 25 négyzetgyökének kiszámítása:

A következő páratlan szám 11, a maradék pedig: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Ilyen esetekre van egy Taylor sorozat bővítés:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , ahol n értéket vesz fel 0-tól

+∞, és |y|≤1.

A z=√y függvény grafikus ábrázolása

Tekintsünk egy z=√y elemi függvényt az R valós számok mezején, ahol y nullánál nagyobb vagy egyenlő. A diagramja így néz ki:

A görbe az origótól növekszik, és szükségszerűen keresztezi az (1; 1) pontot.

A z=√y függvény tulajdonságai az R valós számok mezején

1. A vizsgált függvény definíciós tartománya a nullától plusz végtelenig terjedő intervallum (nulla is benne van).

2. A vizsgált függvény értéktartománya a nullától a plusz végtelenig terjedő intervallum (a nulla is benne van).

3. A függvény csak a (0; 0) pontban veszi fel a minimális értéket (0). Nincs maximális érték.

4. A z=√y függvény se nem páros, se nem páratlan.

5. A z=√y függvény nem periodikus.

6. A z=√y függvény grafikonjának csak egy metszéspontja van a koordinátatengelyekkel: (0; 0).

7. A z=√y függvény grafikonjának metszéspontja ennek a függvénynek a nullája is.

8. A z=√y függvény folyamatosan növekszik.

9. A z=√y függvény csak pozitív értékeket vesz fel, ezért grafikonja az első koordinátaszöget foglalja el.

A z=√y függvény megjelenítési lehetőségei

A matematikában az összetett kifejezések kiszámításának megkönnyítésére néha a négyzetgyök írásának hatványformáját használják: √y=y 1/2. Ez az opció kényelmes például egy függvény hatványra emelésekor: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ez a módszer az integrációval való differenciálásra is jó reprezentáció, mivel ennek köszönhetően a négyzetgyök egy közönséges hatványfüggvényben reprezentálható.

A programozásban pedig a √ szimbólumot a sqrt betűkombináció helyettesíti.

Érdemes megjegyezni, hogy ezen a területen nagy a kereslet a négyzetgyökre, mivel ez a legtöbb számításhoz szükséges geometriai képlet része. Maga a számláló algoritmus meglehetősen bonyolult, és rekurzión (egy önmagát meghívó függvény) alapul.

A négyzetgyök a C komplex mezőben

Nagyjából ennek a cikknek a témája ösztönözte a C komplex számok területének felfedezését, mivel a matematikusokat kísértette a negatív számból páros fokgyök megszerzésének kérdése. Így jelent meg az i képzeletbeli egység, amelyet egy igen érdekes tulajdonság jellemez: négyzete -1. Ennek köszönhetően a másodfokú egyenletek és a negatív diszkrimináns megoldást kaptak. C-ben a négyzetgyökre ugyanazok a tulajdonságok érvényesek, mint az R-ben, csak az a dolog, hogy a gyökkifejezés korlátozásai megszűnnek.

Egy négyzetméteres telek területe 81 dm². Találd meg az oldalát. Tegyük fel, hogy a négyzet oldalának hossza x deciméter. Ekkor a telek területe x² négyzetdeciméter. Mivel az állapot szerint ez a terület 81 dm², akkor x² = 81. A négyzet oldalának hossza pozitív szám. Egy pozitív szám, amelynek négyzete 81, a 9. A feladat megoldásához meg kellett találni az x számot, amelynek négyzete 81, azaz meg kellett oldani az egyenletet x² = 81. Ennek az egyenletnek két gyökere van: x 1 = 9 és x 2 \u003d - 9, mivel 9² \u003d 81 és (- 9)² \u003d 81. A 9-es és -9-es számokat is a 81-es szám négyzetgyökének nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy az egyik négyzetgyök x= 9 pozitív szám. Ezt 81 számtani négyzetgyökének nevezik, és √81-nek jelöljük, tehát √81 = 9.

Szám aritmetikai négyzetgyöke de egy nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő de.

Például a 6 és -6 számok 36 négyzetgyökei. A 6 szám 36 számtani négyzetgyöke, mivel a 6 nemnegatív szám, és 6² = 36. A -6 nem számtani gyök.

Szám aritmetikai négyzetgyöke de a következőképpen jelöljük: √ de.

Az előjelet aritmetikai négyzetgyökjelnek nevezzük; de gyökérkifejezésnek nevezzük. Kifejezés √ de olvas így: egy szám aritmetikai négyzetgyöke de. Például √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Azokban az esetekben, amikor egyértelmű, hogy beszélgetünk a számtani gyökről röviden azt mondják: „a négyzetgyöke de«.

A szám négyzetgyökének megtalálását négyzetgyök felvételének nevezzük. Ez a művelet a négyzetesítés fordítottja.

Bármilyen szám négyzetezhető, de nem minden szám lehet négyzetgyök. Például lehetetlen kivonni a 4-es szám négyzetgyökét. Ha létezett ilyen gyök, akkor a betűvel jelölve x, akkor rossz x² \u003d - 4 egyenlőséget kapnánk, mivel a bal oldalon egy nemnegatív szám, a jobb oldalon egy negatív szám található.

Kifejezés √ de csak akkor van értelme a ≥ 0. A négyzetgyök definíciója röviden így írható fel: √ a ≥ 0, (√de)² = de. Egyenlőség (√ de)² = deérvényes a ≥ 0. Így, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy a négyzetgyök egy nem negatív szám de egyenlő b, azaz hogy √ de =b, ellenőriznie kell, hogy a következő két feltétel teljesül-e: b ≥ 0, b² = de.

A tört négyzetgyöke

Számoljunk. Vegye figyelembe, hogy √25 = 5, √36 = 6, és ellenőrizze, hogy az egyenlőség fennáll-e.

Mivel és , akkor az egyenlőség igaz. Így, .

Tétel: Ha de≥ 0 és b> 0, vagyis a tört gyöke egyenlő a gyökérrel a számlálóból osztva a nevező gyökével. Bizonyítani kell, hogy: és .

√ óta de≥0 és √ b> 0, akkor .

A tört hatványra emelésének és a négyzetgyök meghatározásának tulajdonságával a tétel bebizonyosodott. Nézzünk néhány példát.

Számítsa ki a bizonyított tétel szerint .

Második példa: Bizonyítsd be , ha de ≤ 0, b < 0. .

Egy másik példa: Számítsa ki .

.

Négyzetgyök transzformáció

A szorzót kiemelve a gyökér jele alól. Legyen megadva egy kifejezés. Ha de≥ 0 és b≥ 0, akkor a szorzat gyökér tételével felírhatjuk:

Az ilyen transzformációt a gyökérjel faktorálásának nevezzük. Vegyünk egy példát;

Számítsa ki x= 2. Közvetlen helyettesítés x= 2 a gyök kifejezésben bonyolult számításokhoz vezet. Ezeket a számításokat leegyszerűsíthetjük, ha először eltávolítjuk a gyökjel alól a tényezőket: . Ha most x = 2-t helyettesítünk, azt kapjuk:.

Tehát, amikor a faktort kivesszük a gyökjel alól, a gyökkifejezést olyan szorzatként ábrázoljuk, amelyben egy vagy több tényező nemnegatív számok négyzete. Ezután a gyökérszorzattételt alkalmazzuk, és az egyes tényezők gyökerét veszik. Tekintsünk egy példát: Egyszerűsítsük az A = √8 + √18 - 4√2 kifejezést úgy, hogy az első két tag gyökjeléből kivesszük a tényezőket, így kapjuk:. Hangsúlyozzuk, hogy az egyenlőség csak akkor érvényes de≥ 0 és b≥ 0. ha de < 0, то .

A problémák megoldása során gyakran szembesülünk nagy számokkal, amelyekből kinyernünk kell Négyzetgyök. Sok diák úgy dönt, hogy ez tévedés, és elkezdi feloldani az egész példát. Ezt semmi esetre sem szabad megtenni! Ennek két oka van:

1. Roots from nagy számok ténylegesen előfordulnak a feladatokban. Főleg szövegben;
2. Van egy algoritmus, amellyel ezeket a gyökereket szinte verbálisan veszik figyelembe.

Ezt az algoritmust fogjuk ma megvizsgálni. Talán néhány dolog érthetetlennek tűnik számodra. De ha odafigyelsz erre a leckére, akkor megkapod a legerősebb fegyvert az ellen négyzetgyök.

Tehát az algoritmus:

1. Korlátozza a kívánt gyökér felett és alatt 10 többszörösére. Így a keresési tartományt 10 számra csökkentjük;
2. Ebből a 10 számból gyomláljuk ki azokat, amelyek biztosan nem lehetnek gyökerek. Ennek eredményeként 1-2 szám marad;
3. Ezt az 1-2 számot négyzetre emeljük. Ezek közül az lesz a gyök, amelynek négyzete egyenlő az eredeti számmal.

Mielőtt ez az algoritmus a gyakorlatban működne, nézzünk meg minden egyes lépést.

Roots kényszer

Először is meg kell találnunk, hogy a gyökünk mely számok között található. Nagyon kívánatos, hogy a számok tíz többszörösei legyenek:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Egy számsort kapunk:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Mit adnak nekünk ezek a számok? Egyszerű: határokat kapunk. Vegyük például az 1296-os számot. 900 és 1600 között van. Ezért a gyöke nem lehet kisebb 30-nál és nem lehet nagyobb 40-nél:

[Az ábra felirata]

Ugyanez vonatkozik minden más számra, amelyből a négyzetgyök megtalálható. Például 3364:

[Az ábra felirata]

Így egy érthetetlen szám helyett egy egészen konkrét tartományt kapunk, amelyben az eredeti gyök található. A keresés hatókörének további szűkítéséhez lépjen a második lépésre.

Nyilvánvalóan felesleges számok kiiktatása

Tehát van 10 számunk - jelöltek a gyökérre. Nagyon gyorsan, komplex gondolkodás és oszlopos szorzás nélkül kaptuk meg őket. Itt az idő hogy tovább lépj.

Akár hiszi, akár nem, most kettőre csökkentjük a jelöltek számát - és ismét minden bonyolult számítás nélkül! elég tudni speciális szabály. Itt van:

A négyzet utolsó számjegye csak az utolsó számjegytől függ eredeti szám.

Más szóval, elég megnézni a négyzet utolsó számjegyét - és azonnal megértjük, hol végződik az eredeti szám.

Csak 10 számjegy állhat rajta utolsó hely. Próbáljuk meg kideríteni, hogy mivé válnak, ha négyzetbe teszik őket. Vessen egy pillantást a táblázatra:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ez a táblázat egy újabb lépés a gyökér kiszámítása felé. Mint látható, a második sorban lévő számok szimmetrikusak az öthöz képest. Például:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Mint látható, az utolsó számjegy mindkét esetben ugyanaz. Ez pedig azt jelenti, hogy például a 3364 gyöke szükségszerűen 2-re vagy 8-ra végződik. Másrészt emlékszünk az előző bekezdés korlátozására. Kapunk:

[Az ábra felirata]

A piros négyzetek azt mutatják, hogy ezt a számot még nem ismerjük. De végül is a gyök 50 és 60 között van, amelyen csak két 2-re és 8-ra végződő szám található:

[Az ábra felirata]

Ez minden! A lehetséges gyökerek közül csak két lehetőséget hagytunk meg! És ez a legnehezebb esetben, mert az utolsó számjegy lehet 5 vagy 0. És akkor marad az egyetlen jelölt a gyökerekre!

Végső számítások

Tehát maradt 2 jelöltszámunk. Honnan tudod, hogy melyik a gyökér? A válasz kézenfekvő: mindkét szám négyzetes legyen. A négyzetbe húzott az eredeti számot adja, és ez lesz a gyökér.

Például a 3364-es számhoz két jelöltszámot találtunk: 52-t és 58-at.

52 2 \u003d (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

Ez minden! Kiderült, hogy a gyökér 58! Ugyanakkor a számítások egyszerűsítése érdekében az összeg és a különbség négyzetének képletét alkalmaztam. Ennek köszönhetően nem is kellett egy oszlopban szorozni a számokat! Ez a számítások optimalizálásának egy másik szintje, de természetesen teljesen opcionális :)

Gyökérszámítási példák

Az elmélet persze jó. De teszteljük a gyakorlatban.

[Az ábra felirata]

Először nézzük meg, mely számok között található az 576-os szám:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Most nézzük az utolsó számot. Ez egyenlő 6-tal. Mikor történik ez? Csak akkor, ha a gyökér 4-re vagy 6-ra végződik. Két számot kapunk:

Marad az egyes számok négyzetbe helyezése és összehasonlítása az eredetivel:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Bírság! Az első négyzet egyenlőnek bizonyult az eredeti számmal. Tehát ez a gyökér.

Egy feladat. Számítsa ki a négyzetgyököt:

[Az ábra felirata]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Nézzük az utolsó számot:

1369 → 9;
33; 37.

Nézzük négyzetre:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Íme a válasz: 37.

Egy feladat. Számítsa ki a négyzetgyököt:

[Az ábra felirata]

Korlátozzuk a létszámot:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Nézzük az utolsó számot:

2704 → 4;
52; 58.

Nézzük négyzetre:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Megkaptuk a választ: 52. A második számot már nem kell négyzetbe tenni.

Egy feladat. Számítsa ki a négyzetgyököt:

[Az ábra felirata]

Korlátozzuk a létszámot:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Nézzük az utolsó számot:

4225 → 5;
65.

Mint látható, a második lépés után már csak egy lehetőség marad: 65. Ez a kívánt gyökér. De akkor is vegyük négyzetre, és ellenőrizzük:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Minden helyes. Leírjuk a választ.

Következtetés

Jaj, nem jobb. Nézzük az okokat. Ebből kettő van:

• Tilos számológépet használni bármely normál matematikai vizsgán, legyen az GIA vagy egységes államvizsga. Ha pedig számológépet visznek be az osztályterembe, könnyen kirúghatják őket a vizsgáról.
• Ne legyél olyan, mint a hülye amerikaiak. Amelyek nem olyanok, mint a gyökök – nem adhatnak össze két prímszámot. És a töredékek láttán általában hisztiznek.

Ebben a cikkben bemutatjuk a szám gyökének fogalma. Szekvenciálisan fogunk cselekedni: a négyzetgyökkel kezdjük, és abból továbblépünk a leírásra köbgyök, ezt követően általánosítjuk a gyök fogalmát az n-edik fokú gyök meghatározásával. Ugyanakkor bemutatjuk a definíciókat, a jelöléseket, példákat adunk a gyökerekre és megadjuk a szükséges magyarázatokat, megjegyzéseket.

Négyzetgyök, aritmetikai négyzetgyök

Ahhoz, hogy megértsük egy szám gyökének definícióját, és különösen a négyzetgyökét, rendelkeznünk kell . Ezen a ponton gyakran találkozunk egy szám második hatványával - egy szám négyzetével.

Kezdjük azzal négyzetgyök definíciók.

Meghatározás

A négyzetgyöke a az a szám, amelynek négyzete a.

Annak érdekében, hogy hozza négyzetgyök példák, vegyünk több számot, például 5 , -0,3 , 0,3 , 0 , és négyzetesítsük őket, így megkapjuk a 25 , 0,09 , 0,09 és 0 számokat (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 és 0 2 = 0 0 = 0). Ekkor a fenti definíció szerint az 5 a 25 négyzetgyöke, a −0,3 és a 0,3 a 0,09 négyzetgyöke, a 0 pedig a nulla négyzetgyöke.

Megjegyzendő, hogy nem létezik olyan szám, amelynek négyzete egyenlő a-val. Ugyanis bármely negatív a számhoz nem létezik valós szám b , amelynek négyzete egyenlő lenne a -val. Valójában az a=b 2 egyenlőség nem lehetséges bármely negatív a esetén, mivel b 2 bármely b esetén nem negatív szám. Ily módon a valós számok halmazán nincs négyzetgyök negatív számnak. Más szóval, a valós számok halmazán a negatív szám négyzetgyöke nincs meghatározva, és nincs jelentése.

Ez egy logikus kérdéshez vezet: „Van-e az a négyzetgyöke bármely nem negatív a-nak”? A válasz igen. Ennek a ténynek az indoklása a négyzetgyök értékének meghatározására használt konstruktív módszernek tekinthető.

Ekkor felmerül a következő logikus kérdés: "Hány négyzetgyöke van egy adott nemnegatív a számnak – egy, kettő, három vagy még több"? Íme a válasz: ha a nulla, akkor a nulla egyetlen négyzetgyöke nulla; ha a valamilyen pozitív szám, akkor az a szám négyzetgyökeinek száma egyenlő kettővel, a gyökök pedig . Ezt igazoljuk.

Kezdjük az a=0 esettel. Először is mutassuk meg, hogy a nulla valóban a nulla négyzetgyöke. Ez következik a 0 2 =0·0=0 nyilvánvaló egyenlőségből és a négyzetgyök definíciójából.

Most bizonyítsuk be, hogy 0 a nulla egyetlen négyzetgyöke. Használjuk az ellenkező módszert. Tegyük fel, hogy van egy nem nulla b szám, amely a nulla négyzetgyöke. Ekkor teljesülnie kell a b 2 =0 feltételnek, ami lehetetlen, hiszen bármely nem nulla b esetén a b 2 kifejezés értéke pozitív. Ellentmondáshoz jutottunk. Ez bizonyítja, hogy a 0 a nulla egyetlen négyzetgyöke.

Térjünk át azokra az esetekre, amikor a pozitív szám. Fentebb azt mondtuk, hogy minden nemnegatív számnak mindig van négyzetgyöke, legyen b az a négyzetgyöke. Tegyük fel, hogy van egy c szám, amely egyben a négyzetgyöke is. Ekkor a négyzetgyök definíciója szerint a b 2 =a és c 2 =a egyenlőségek érvényesek, amiből az következik, hogy b 2 −c 2 =a−a=0, de mivel b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , akkor (b−c) (b+c)=0 . Az eredményül kapott egyenlőség érvényben valós számokkal végzett cselekvések tulajdonságai csak akkor lehetséges, ha b-c=0 vagy b+c=0. Így a b és c számok egyenlőek vagy ellentétesek.

Ha feltételezzük, hogy van egy d szám, amely az a szám másik négyzetgyöke, akkor a már megadotthoz hasonló érveléssel bebizonyítjuk, hogy d egyenlő b vagy c számmal. Tehát egy pozitív szám négyzetgyökeinek száma kettő, a négyzetgyökei pedig ellentétes számok.

A négyzetgyökökkel végzett munka kényelme érdekében negatív gyök elválik a pozitívtól. Ebből a célból bevezeti a számtani négyzetgyök meghatározása.

Meghatározás

Nemnegatív szám aritmetikai négyzetgyöke a egy nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő a .

Az a szám aritmetikai négyzetgyökére a jelölést elfogadjuk. Az előjelet aritmetikai négyzetgyökjelnek nevezzük. A radikális jelének is nevezik. Ezért részben hallható a "root" és a "radikális", ami ugyanazt az objektumot jelenti.

Az aritmetikai négyzetgyök jel alatti számot hívják gyökérszám, és a gyökérjel alatti kifejezés - radikális kifejezés, míg a "gyökszám" kifejezést gyakran a "gyökkifejezés" helyettesíti. Például a jelölésben a 151 szám gyökszám, a jelölésben pedig az a kifejezés egy gyök kifejezés.

Olvasáskor gyakran kimarad az „aritmetika” szó, például a bejegyzés „hét pont huszonkilenc század négyzetgyökeként” olvasható. Az "aritmetika" szót csak akkor ejtik ki, ha azt akarják hangsúlyozni, hogy egy szám pozitív négyzetgyökéről beszélünk.

A bevezetett jelölés tükrében a számtani négyzetgyök definíciójából az következik, hogy bármely nemnegatív számra a.

Egy pozitív a szám négyzetgyökét a és számtani négyzetgyök jellel írjuk fel. Például 13 négyzetgyökei és . A nulla számtani négyzetgyöke nulla, vagyis . Az a negatív számok esetében nem tulajdonítunk jelentést a bejegyzéseknek, amíg nem tanulmányozzuk komplex számok. Például a és kifejezések értelmetlenek.

A négyzetgyök definíciója alapján bizonyítást nyernek a négyzetgyök tulajdonságai, amelyeket gyakran alkalmaznak a gyakorlatban.

Az alfejezet zárásaként megjegyezzük, hogy egy szám négyzetgyökei x 2 =a alakú megoldások az x változóra vonatkozóan.

kockagyöke

A kockagyök definíciója az a számot a négyzetgyök definíciójához hasonló módon adjuk meg. Csak egy szám kocka koncepcióján alapul, nem egy négyzeten.

Meghatározás

A kockagyöke a olyan számot hívunk, amelynek kocka egyenlő a-val.

hozzuk példák kockagyökerek . Ehhez vegyünk több számot, például 7 , 0 , −2/3 , és kockázzuk fel őket: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Ekkor a kockagyök definíciója alapján azt mondhatjuk, hogy a 7-es szám a 343-nak, a 0 a nulla, a −2/3 pedig a -8/27-nek a kockagyöke.

Megmutatható, hogy az a szám köbgyöke a négyzetgyöktől eltérően mindig létezik, és nemcsak a nem negatív a, hanem bármely a valós szám esetén is. Ehhez ugyanazt a módszert használhatja, amelyet a négyzetgyök tanulmányozása során említettünk.

Ráadásul egy adott a számnak csak egy kockagyöke van. Bizonyítsuk be az utolsó állítást. Ehhez vegyünk három esetet külön: a pozitív szám, a=0 és a negatív szám.

Könnyen kimutatható, hogy pozitív a esetén a kockagyöke nem lehet sem negatív, sem nulla. Valóban, legyen b a kockagyöke, akkor definíció szerint felírhatjuk a b 3 =a egyenlőséget. Nyilvánvaló, hogy ez az egyenlőség nem igaz b-re és b=0-ra, mivel ezekben az esetekben b 3 =b·b·b negatív szám vagy nulla lesz. Tehát egy pozitív a szám kockagyöke pozitív szám.

Most tegyük fel, hogy a b számon kívül van még egy kockagyök az a számból, jelöljük c. Ekkor c 3 =a. Ezért b 3 −c 3 =a−a=0 , de b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ez a rövidített szorzási képlet kockák különbsége), ahonnan (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . A kapott egyenlőség csak akkor lehetséges, ha b−c=0 vagy b 2 +b c+c 2 =0. Az első egyenlőségből b=c van, a második egyenlőségnek pedig nincs megoldása, mivel a bal oldala egy pozitív szám bármely b és c pozitív számra három pozitív tag b 2, b c és c 2 összegeként. Ez bizonyítja az a pozitív szám kockagyökének egyediségét.

A=0 esetén a egyetlen kockagyöke nulla. Valóban, ha feltételezzük, hogy van egy b szám, amely nullától eltérő kockagyök, akkor a b 3 =0 egyenlőségnek teljesülnie kell, ami csak b=0 esetén lehetséges.

Negatív a esetén hasonlóan érvelhetünk, mint a pozitív a esetén. Először is megmutatjuk, hogy egy negatív szám kockagyöke nem lehet egyenlő sem pozitív számmal, sem nullával. Másodszor, feltételezzük, hogy van egy negatív számnak egy második kockagyöke, és megmutatjuk, hogy az szükségszerűen egybe fog esni az elsővel.

Tehát minden adott a valós számnak mindig van kockagyöke, és csak egy.

Adjunk aritmetikai kockagyök definíciója.

Meghatározás

Nemnegatív szám aritmetikai kockagyöke a olyan nemnegatív számot hívunk, amelynek kocka egyenlő a-val.

A nem negatív a szám aritmetikai kockagyökét , az előjelet a kockagyök előjelének, a 3-as számot ebben a jelölésben ún. gyökérjelző. A gyökérjel alatti szám a gyökérszám, a gyökjel alatti kifejezés az radikális kifejezés.

Bár az aritmetikai kockagyök csak a nem negatív a számokra van definiálva, célszerű olyan bejegyzéseket is használni, amelyekben a negatív számok a számtani kockagyök előjele alatt vannak. Ezeket a következőképpen fogjuk értelmezni: , ahol a pozitív szám. Például, .

A kockagyökerek tulajdonságairól a gyökerek általános cikktulajdonságainál fogunk beszélni.

A kockagyök értékének kiszámítását kockagyökér-kinyerésnek nevezzük, ezt a műveletet a gyökerek kinyerése című cikk tárgyalja: módszerek, példák, megoldások.

Az alfejezet zárásaként elmondjuk, hogy a kockagyöke x 3 =a alakú megoldás.

N-edik gyöke, n számtani gyöke

A gyök fogalmát egy számból általánosítjuk - bevezetjük az n-edik gyökér meghatározása az n.

Meghatározás

n-edik gyöke az a olyan szám, amelynek n-edik hatványa egyenlő a-val.

Ebből a definícióból jól látható, hogy az a számból származó első fok gyöke maga az a szám, hiszen a fok természetes mutatójával való tanulmányozásakor 1 = a-t vettünk.

Fentebb megvizsgáltuk az n-edik fok gyökének speciális eseteit n=2 és n=3 esetén - a négyzetgyök és a kockagyök. Vagyis a négyzetgyök a másodfokú, a kockagyök pedig a harmadik fok gyöke. Az n-edik fok gyökeinek tanulmányozásához n=4, 5, 6, ... esetén célszerű két csoportra osztani őket: az első csoport - a páros fokok gyökerei (azaz n=4, 6 esetén , 8, ...), a második csoport - a gyökök páratlan fokai (azaz n=5, 7, 9, ... esetén). Ez annak köszönhető, hogy a páros fokok gyökerei a négyzetgyökhöz, a páratlanok pedig a köbgyökhöz hasonlóak. Foglalkozzunk velük sorra.

A gyökerekkel kezdjük, amelyek ereje van páros számok 4, 6, 8, ... Mint már említettük, analógiák a négyzetgyökével. Vagyis az a szám bármely páros fokának gyöke csak a nem negatív a esetén létezik. Sőt, ha a=0, akkor a gyöke egyedi és egyenlő nullával, ha pedig a>0, akkor van két páros fokú gyöke az a számból, és ezek ellentétes számok.

Indokoljuk meg az utolsó állítást. Legyen b páros fokú gyöke (2 m-nek jelöljük, ahol m néhány természetes szám) a számból. Tegyük fel, hogy van egy c szám - egy másik fokú gyök 2 m-re az a számtól. Ekkor b 2 m −c 2 m =a−a=0 . De ismerjük a b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) alakot. (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), akkor (b-c) (b+c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2)=0. Ebből az egyenlőségből az következik, hogy b−c=0 , vagy b+c=0 , vagy b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2 =0. Az első két egyenlőség azt jelenti, hogy a b és c számok egyenlőek, vagy b és c ellentétesek. Az utolsó egyenlőség pedig csak b=c=0 esetén érvényes, mivel a bal oldala nemnegatív számok összegeként olyan kifejezést tartalmaz, amely nem negatív bármely b-re és c-re.

Ami a páratlan n n-edik fokú gyökereit illeti, ezek hasonlóak a kockagyökhöz. Vagyis az a szám bármely páratlan fokának gyöke létezik bármely a valós számra, és egy adott a számra egyedi.

Az a számból származó 2·m+1 páratlan fokú gyök egyediségét az a számból származó kockagyök egyediségének bizonyításával analógia bizonyítja. Csak itt egyenlőség helyett a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = alakú egyenlőség (b–c) (b 2 m +b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m). Az utolsó zárójelben lévő kifejezés átírható így b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m-4 +c 2 m-4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Például m=2 esetén megvan b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b–c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Ha a és b mindkettő pozitív vagy negatív, akkor a szorzatuk egy pozitív szám, akkor a b 2 +c 2 +b·c kifejezés, amely a legmagasabb beágyazási fok zárójelében van, pozitív a pozitív összegeként számok. Most, egymás után haladva az előző beágyazási fokozatok zárójelben lévő kifejezéseire, megbizonyosodunk arról, hogy ezek is pozitívak, mint pozitív számok összege. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy a b 2 m+1 −c 2 m+1 = egyenlőség (b–c) (b 2 m +b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m)=0 csak akkor lehetséges, ha b−c=0, vagyis ha a b egyenlő c számmal.

Ideje foglalkozni az n-edik fok gyökereinek jelölésével. Erre az adott n-edik fok számtani gyökének meghatározása.

Meghatározás

Egy nemnegatív szám n-edik fokának számtani gyöke a nemnegatív számot nevezünk, melynek n-edik hatványa egyenlő a-val.