Másodfokú függvény megoldási példák 9. Másodfokú függvény és grafikonja

Fontos jegyzetek!
1. Ha a képletek helyett abrakadabra jelenik meg, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt böngészőben csinálni:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen leginkább navigátorunkra hasznos forrás számára

Ahhoz, hogy megértsük, mi lesz itt írva, jól kell tudnod, mi az a másodfokú függvény, és mivel eszik meg. Ha profinak tartja magát a kvadratikus függvények terén, üdvözöljük. De ha nem, akkor érdemes elolvasni a topikot.

Kezdjük egy kicsivel ellenőrzi:

Hogyan néz ki egy másodfokú függvény általános formában (képletben)?
Mi a diagram neve másodfokú függvény?
Hogyan hat a vezető együttható egy másodfokú függvény grafikonjára?

Ha azonnal meg tudja válaszolni ezeket a kérdéseket, olvassa tovább. Ha legalább egy kérdés nehézséget okozott, lépjen a címre.

Tehát már tudja, hogyan kell kezelni egy másodfokú függvényt, elemezni a grafikonját, és pontok alapján felépíteni egy gráfot.

Nos, itt van: .

Nézzük gyorsan, mit csinálnak. esély.

A szenior együttható felelős a parabola „meredekségéért”, más szóval a szélességéért: minél nagyobb, minél keskenyebb (meredekebb), a kisebb, annál szélesebb (laposabb) parabola.
A szabad tag a parabola y tengellyel való metszéspontjának koordinátája.
És az együttható valamilyen módon felelős a parabola elmozdulásáért a koordináták középpontjából. Erről most itt van bővebben.

Miért kezdünk el mindig parabolát építeni? Mi a megkülönböztető pontja?

Ez csúcs. És hogyan lehet megtalálni a csúcs koordinátáit, emlékszel?

Az abszcisszát a következő képlettel kell keresni:

Például így: mi több, témák balra a parabola teteje mozog.

Egy csúcs ordinátáját a függvénybe behelyettesítve találhatjuk meg:

Helyettesítse magát és számoljon. Mi történt?

Ha mindent jól csinál, és a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsíti az eredményül kapott kifejezést, akkor a következőket kapja:

Kiderül, hogy minél több modulo, témák magasabb akarat csúcs parabolák.

Végül térjünk át az ábrázolásra.
A legegyszerűbb, ha felülről kezdődően parabolát építünk.

Példa:

Ábrázolja a függvényt.

Döntés:

Először is határozzuk meg az együtthatókat: .

Most számítsuk ki a csúcskoordinátákat:

És most ne feledje: minden parabola azonos vezető együtthatóval ugyanúgy néz ki. Tehát, ha felállítunk egy parabolát, és a csúcsát egy pontba mozgatjuk, megkapjuk a szükséges gráfot:

Egyszerű, igaz?

Már csak egy kérdés maradt: hogyan kell gyorsan rajzolni egy parabolát? Hiába rajzolunk egy parabolát, amelynek csúcsa az origóban van, akkor is pontról pontra kell megépíteni, ami hosszú és kényelmetlen. De minden parabola egyformán néz ki, esetleg van mód a rajzolásuk gyorsítására?

Iskola koromban a matektanárom azt mondta mindenkinek, hogy vágjon ki egy parabola alakú sablont kartonból, hogy gyorsan le tudja rajzolni. De nem fogsz tudni mindenhol sablonnal járni, és nem engedik el vizsgázni. Tehát nem fogunk idegen tárgyakat használni, hanem mintát keresünk.

Tekintsük a legegyszerűbb parabolát. Építsük fel pontok alapján:

Itt a szabály ez. Ha felülről jobbra (a tengely mentén) haladunk, és felfelé (a tengely mentén) felé, akkor eljutunk a parabola pontjához. Továbbá: ha ettől a ponttól haladunk jobbra és felfelé, akkor ismét eljutunk a parabola pontjához. Következő: közvetlenül és felfelé. Mi a következő lépés? Egyenesen és felfelé. És így tovább: lépjen jobbra, majd a következőre páratlan szám fel. Ezután ugyanezt tesszük a bal ággal (végül is a parabola szimmetrikus, vagyis az ágai ugyanúgy néznek ki):

Remek, ez segít felépíteni bármely parabolát a csúcsból, amelynek a legmagasabb együtthatója egyenlő. Például megtanultuk, hogy a parabola csúcsa egy pontban van. Szerkessze meg (önállóan, papíron) ezt a parabolát.

Épült?

Így kell kijönnie:

Most összekapcsoljuk a kapott pontokat:

Ez minden.

Jó, akkor most csak parabolákat építs?

Természetesen nem. Most találjuk ki, mit tegyünk velük, ha.

Nézzünk néhány tipikus esetet.

Remek, megtanultunk parabolát rajzolni, most gyakoroljuk a valós függvényeket.

Tehát rajzoljon grafikonokat az ilyen függvényekről:

Válaszok:

3. Felső: .

Emlékszel, mit kell tenni, ha az idősebb együttható kisebb?

Nézzük a tört nevezőjét: egyenlő. Tehát így haladunk:

jobbra - fel
jobbra - fel
jobbra - fel

és balra is:

4. Felső: .

Ó, mit kell vele csinálni? Hogyan mérjünk cellákat, ha a csúcs valahol a vonalak között van?

És csalunk. Először rajzoljunk egy parabolát, és csak ezután mozgassuk a csúcsát egy pontba. Nem is, csináljuk még trükkösebben: Rajzoljunk egy parabolát, majd tengelyek mozgatása:- a le-, a - be jobb:

Ez a technika nagyon kényelmes bármilyen parabola esetén, ne feledje.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a függvényt ebben a formában tudjuk ábrázolni:

Például: .

Mit ad ez nekünk?

A helyzet az, hogy a zárójelben () lévő számból kivont szám a parabola csúcsának abszcisszája, a zárójelen kívüli tag pedig a csúcs ordinátája.

Ez azt jelenti, hogy miután felépített egy parabolát, csak meg kell tennie mozgassa a tengelyt balra és a tengelyt lefelé.

Példa: ábrázoljunk függvénygráfot.

Válasszunk ki egy teljes négyzetet:

Milyen szám levonva a zárójelben lévőtől? Ez (és nem hogyan dönthet gondolkodás nélkül).

Tehát építünk egy parabolát:

Most toljuk el a tengelyt lefelé, azaz felfelé:

És most - balra, azaz jobbra:

Ez minden. Ez ugyanaz, mint egy parabolát a csúcsával az origóból egy pontba mozgatni, csak az egyenes tengelyt sokkal könnyebb mozgatni, mint a görbe parabolát.

Most, mint általában, magam:

És ne felejtse el radírral törölni a régi tengelyeket!

olyan vagyok, mint válaszol ellenőrzés céljából leírom ezeknek a paraboláknak a csúcsainak ordinátáit:

Minden passzolt?

Ha igen, akkor szuper vagy! A parabola kezelésének ismerete nagyon fontos és hasznos, és itt azt tapasztaltuk, hogy ez egyáltalán nem nehéz.

EGY QUADRATIKUS FUNKCIÓ GRAFIKÁZÁSA. RÖVIDEN A FŐRŐL

másodfokú függvény az alak függvénye, ahol és tetszőleges számok (együtthatók), szabadtag.

A másodfokú függvény grafikonja egy parabola.

A parabola teteje:
, azaz minél nagyobb \displaystyle b , annál balra mozog a parabola teteje.
Cserélje be a függvényt, és kapja meg:
, azaz minél nagyobb \displaystyle b modulo , annál magasabb lesz a parabola teteje

A szabad tag a parabola y tengellyel való metszéspontjának koordinátája.

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert csak az emberek 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikerességért a vizsga letétele, az intézetbe való felvételért költségvetési és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyen?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben oldja meg a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 499 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

Mindenki tudja, mi az a parabola. De hogyan kell helyesen, hozzáértően használni különféle gyakorlati problémák megoldásában, az alábbiakban megértjük.

Először is jelöljük azokat az alapfogalmakat, amelyeket az algebra és a geometria ad ehhez a kifejezéshez. Mindent fontoljon meg lehetséges típusok ezt a diagramot.

Megtanuljuk ennek a funkciónak az összes főbb jellemzőjét. Ismerjük meg a görbe (geometria) felépítésének alapjait. Tanuljuk meg, hogyan találjuk meg az ilyen típusú grafikon felső, egyéb alapértékeit.

Megtudjuk: hogyan épül fel helyesen a szükséges görbe az egyenlet szerint, mire kell figyelni. Lássuk a főt gyakorlati használat ezt az egyedülálló értéket az emberi életben.

Mi a parabola és hogyan néz ki

Algebra: Ez a kifejezés egy másodfokú függvény grafikonjára utal.

Geometria: Ez egy másodrendű görbe, amely számos sajátos tulajdonsággal rendelkezik:

Kanonikus parabola egyenlet

Az ábrán egy téglalap alakú koordináta-rendszer (XOY), egy szélsőség látható, a függvény rajzolásának iránya az abszcissza tengelye mentén ágaztat.

A kanonikus egyenlet a következő:

y 2 \u003d 2 * p * x,

ahol a p együttható a parabola (AF) fókuszparamétere.

Az algebrában másképp írják:

y = a x 2 + b x + c (felismerhető minta: y = x 2).

Másodfokú függvény tulajdonságai és grafikonja

A függvénynek van egy szimmetriatengelye és egy középpontja (extrémum). A definíciós tartomány az x tengely összes értéke.

A - (-∞, M) vagy (M, +∞) függvény értéktartománya a görbe ágainak irányától függ. Az M paraméter itt a sor tetején lévő függvény értékét jelenti.

Hogyan határozzuk meg, hová irányulnak a parabola ágai

Az ilyen típusú görbe irányának meghatározásához egy kifejezésből meg kell adni az előjelet az első paraméter előtt algebrai kifejezés. Ha a ˃ 0, akkor felfelé irányulnak. Ellenkező esetben lefelé.

Hogyan találjuk meg a parabola csúcsát a képlet segítségével

A szélsőség megtalálása a fő lépés számos gyakorlati probléma megoldásában. Természetesen nyithat speciális online számológépek de jobb, ha magad is meg tudod csinálni.

Hogyan kell meghatározni? Van egy speciális képlet. Ha b nem egyenlő 0-val, meg kell keresnünk ennek a pontnak a koordinátáit.

Képletek a csúcs megtalálásához:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Példa.

Van egy y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 függvény. Keressük meg ennek a függvénynek a csúcsait.

Egy ilyen sorhoz:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Megkapjuk a csúcs koordinátáit (-2, -41).

Parabola eltolás

A klasszikus eset az, amikor egy y = a x 2 + b x + c másodfokú függvényben a második és a harmadik paraméter 0, és = 1 - a csúcs a (0; 0) pontban van.

Az abszcissza vagy ordináta tengelyek mentén történő mozgás a b és c paraméterek változásának köszönhető. A vonal eltolása a síkon pontosan az egységek számával történik, amely megegyezik a paraméter értékével.

Példa.

Van: b = 2, c = 3.

Ez azt jelenti, hogy a görbe klasszikus nézete 2 egységnyi szegmenssel tolódik el az abszcissza tengely mentén és 3 egységnyi szegmenssel az ordináta tengely mentén.

Hogyan készítsünk parabolát másodfokú egyenlet segítségével

Fontos, hogy az iskolások megtanulják, hogyan kell helyesen rajzolni egy parabolát a megadott paraméterek szerint.

A kifejezések és egyenletek elemzésével a következőket láthatja:

A kívánt egyenes és az ordinátavektor metszéspontja c-vel egyenlő lesz.
A grafikon minden pontja (az x tengely mentén) szimmetrikus lesz a függvény fő szélsőértékéhez képest.

Ezenkívül az OX-szel való metszéspontok megtalálhatók egy ilyen függvény diszkriminánsának (D) ismeretében:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Ehhez a kifejezést nullával kell egyenlővé tenni.

A parabola gyökerek jelenléte az eredménytől függ:

D ˃ 0, akkor x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, majd x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, akkor nincs metszéspont az OX vektorral.

Megkapjuk a parabola felépítésének algoritmusát:

határozza meg az ágak irányát;
keresse meg a csúcs koordinátáit;
keresse meg az y tengellyel való metszéspontot;
keresse meg az x tengellyel való metszéspontot.

1. példa

Adott egy y \u003d x 2 - 5 * x + 4 függvény. Fel kell építeni egy parabolát. A következő algoritmus szerint járunk el:

a \u003d 1, ezért az ágak felfelé irányulnak;
szélső koordináták: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4;
metszi az y tengellyel y = 4 értékben;
keresse meg a diszkriminánst: D = 25 - 16 = 9;
gyökereket keres

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5-3) / 2 = 1; (tíz).

2. példa

Az y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 függvényhez parabolát kell építeni. A fenti algoritmus szerint járunk el:

a \u003d 3, ezért az ágak felfelé irányulnak;
szélső koordináták: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
az y tengellyel az y \u003d -1 értékkel metszi egymást;
Keresse meg a diszkriminánst: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Tehát a gyökerek:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 \u003d (2-4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

A kapott pontokból parabolát lehet építeni.

Irány, excentricitás, parabola fókusza

A kanonikus egyenlet alapján az F fókusznak vannak koordinátái (p/2, 0).

Az AB egyenes egy irányító (egyfajta bizonyos hosszúságú parabola akkord). Egyenlete x = -p/2.

Excentricitás (konstans) = 1.

Következtetés

Megfontoltuk azt a témát, amelyben a hallgatók tanulnak Gimnázium. Most már tudja, hogy egy parabola másodfokú függvényét tekintve hogyan találja meg a csúcsát, milyen irányba fognak az ágak irányítani, van-e eltolás a tengelyek mentén, és konstrukciós algoritmussal megrajzolhatja a grafikonját.