Példák a racionális és irracionális kitevőkkel rendelkező fokok. Számfokozat: meghatározások, megnevezés, példák

Ebben a cikkben meg fogjuk érteni, mi az foka. Itt megadjuk egy szám fokszámának definícióit, miközben részletesen megvizsgáljuk a fokozat összes lehetséges kitevőjét, kezdve a természetes kitevővel és az irracionális kitevővel bezárólag. Az anyagban sok példát talál a fokozatokra, amelyek lefedik az összes felmerülő finomságot.

Oldalnavigáció.

Fok természetes kitevővel, szám négyzete, szám kocka

Kezdjük azzal. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy az n természetes kitevővel rendelkező a fok definíciója adott a -ra, amit nevezünk fokozat alapja, és n , amelyet hívni fogunk kitevő. Vegye figyelembe azt is, hogy a természetes mutatójú fokot a szorzat határozza meg, így az alábbi anyag megértéséhez fogalma kell lennie a számok szorzásával kapcsolatban.

Meghatározás.

Az a szám hatványa n természetes kitevővel az a n alakú kifejezés, amelynek értéke egyenlő n tényező szorzatával, amelyek mindegyike egyenlő a -val, azaz .
Konkrétan egy 1 kitevővel rendelkező a szám foka maga az a szám, azaz a 1 =a.

Azonnal érdemes megemlíteni a diplomaolvasás szabályait. Univerzális módszer az a n bejegyzést olvasva: "a n hatványára". Egyes esetekben az ilyen opciók is elfogadhatók: „a az n-edik hatványig” és „az a szám n-edik hatványa”. Vegyük például a 8 12 hatványát, ez „nyolc a tizenkettő hatványához”, vagy „nyolc a tizenkettedik hatványhoz”, vagy „nyolc tizenkettedik hatványa”.

A szám második hatványának, valamint a szám harmadik hatványának saját neve van. Egy szám második hatványát nevezzük egy szám négyzete, például a 7 2 "hét négyzet" vagy "a hetes négyzet". Egy szám harmadik hatványát nevezzük kockaszám, például az 5 3 felolvasható úgy, hogy "öt kocka", vagy mondjuk: "5-ös szám kocka".

Ideje hozni a fokozatok példái fizikai mutatókkal. Kezdjük az 5 7 hatványával, ahol 5 a hatvány alapja és 7 a kitevője. Adjunk egy másik példát: 4,32 az alap, a természetes szám pedig 9 a kitevő (4,32) 9 .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó példában a 4,32 fok alapja zárójelben van: az eltérések elkerülése érdekében a természetes számoktól eltérő fokszámalapokat zárójelbe vesszük. Példaként a következő fokokat adjuk meg természetes mutatókkal , alapjaik nem természetes számok, ezért zárójelben vannak írva. Nos, ezen a ponton a teljes érthetőség kedvéért megmutatjuk a (−2) 3 és −2 3 alakú rekordokban található különbséget. A (−2) 3 kifejezés a −2 hatványa 3 természetes kitevővel, a −2 3 kifejezés pedig (ez írható fel −(2 3) ) a számnak, a 2 3 hatvány értékének felel meg.

Vegyük észre, hogy van egy jelölés az a fokára egy a^n alakú n kitevővel. Sőt, ha n egy többértékű természetes szám, akkor a kitevő zárójelben van. Például a 4^9 a 4 9 hatványának másik jelölése. És itt van még több példa a fokozatok „^” szimbólummal történő írására: 14^(21) , (−2,1)^(155) . A továbbiakban elsősorban az a n alak fokszámának jelölését használjuk.

A természetes kitevővel való hatványozással inverz egyik probléma az a probléma, hogy meg kell találni a fokszám alapját ismert érték fok és ismert kitevő. Ez a feladat oda vezet.

Ismeretes, hogy a racionális számok halmaza egész számokból és törtszámokból áll, és mindegyik törtszám lehet pozitív vagy negatív közönséges tört. Az előző bekezdésben a fokot egész kitevővel határoztuk meg, így a fokozat definíciójának kiegészítése érdekében racionális mutató, meg kell adni az a szám fokszámának jelentését m / n tört kitevővel, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Csináljuk.

Tekintsünk egy fokot az alak törtkitevőjével. Ahhoz, hogy egy fokozatban a fokozat tulajdonsága érvényben maradjon, az egyenlőségnek fennállnia kell . Ha figyelembe vesszük a kapott egyenlőséget és az általunk definiált módot, akkor logikus az elfogadás, feltéve, hogy adott m, n és a esetén a kifejezésnek van értelme.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az egész kitevővel rendelkező fok minden tulajdonsága érvényes-e as-ra (ezt a racionális kitevővel rendelkező fok tulajdonságairól szóló részben tesszük meg).

A fenti érvelés lehetővé teszi számunkra, hogy a következőket tegyük következtetés: ha adott m-re, n-re és a-ra van értelme a kifejezésnek, akkor az a szám m / n törtkitevőjű hatványa az a n-edik fokának gyöke az m hatványhoz.

Ez az állítás közel visz minket a törtkitevővel rendelkező fok definíciójához. Már csak azt kell leírni, hogy melyik m, n és a esetében van értelme a kifejezésnek. Az m , n és a korlátozásoktól függően két fő megközelítés létezik.

A legegyszerűbb úgy korlátozni, hogy pozitív m esetén a≥0, negatív m esetén pedig a>0 (mivel m≤0-nak nincs 0 m hatványa). Ekkor megkapjuk a fok következő definícióját törtkitevővel.

Meghatározás.

Pozitív a szám hatványa m/n tört kitevővel, ahol m egész szám, n pedig természetes szám, az a szám n-edikének gyökének nevezzük m hatványához, azaz .

A nulla töredékes foka is meg van határozva azzal az egyetlen kitétellel, hogy a kitevőnek pozitívnak kell lennie.

Meghatározás.

Nulla hatványa tört pozitív kitevővel m/n, ahol m pozitív egész szám, n pedig természetes szám, a következőképpen definiálható .
Ha a fok nincs definiálva, vagyis a nulla szám fokszámának negatív kitevő törtrészes, nincs értelme.

Megjegyzendő, hogy a törtkitevős fok ilyen definíciójával van egy árnyalat: egyes negatív a, valamint néhány m és n esetén a kifejezésnek van értelme, és ezeket az eseteket elvetettük az a≥0 feltétel bevezetésével. Például van értelme írni vagy , és a fenti definíció arra kényszerít bennünket, hogy azt mondjuk, hogy fokok az alak törtkitevőjével értelmetlenek, mivel az alap nem lehet negatív.

A fokszám m / n törtkitevővel történő meghatározásának másik megközelítése az, hogy külön figyelembe vesszük a gyökér páros és páratlan kitevőit. Ez a megközelítés megköveteli további feltétel: az a szám fokszámát, amelynek kitevője, annak az a számnak a fokszámának tekintjük, amelynek kitevője a megfelelő irreducibilis tört (ennek a feltételnek a fontosságát alább ismertetjük). Azaz, ha m/n egy irreducibilis tört, akkor bármely k természetes szám esetén a fokszámot először helyettesíti a -val.

Páros n és pozitív m esetén a kifejezésnek értelme van bármilyen nem-negatív a-ra (negatív szám páros fokának gyöke nincs értelme), negatív m esetén az a számnak továbbra is különböznie kell nullától (egyébként ott nullával való osztás lesz). Páratlan n és pozitív m esetén pedig az a szám bármi lehet (a páratlan fok gyöke bármely valós szám), negatív m esetén pedig az a számnak nullától eltérőnek kell lennie (hogy ne legyen nullával osztás).

A fenti okfejtés elvezet bennünket a fok ilyen, törtkitevős definíciójához.

Meghatározás.

Legyen m/n irreducibilis tört, m egész szám, n pedig természetes szám. Bármilyen redukálható közönséges tört esetén a fokszám helyére . Az m / n irreducibilis törtkitevővel rendelkező a hatványa az



Magyarázzuk meg, miért cseréljük le először egy redukálható törtkitevővel rendelkező fokot egy irreducibilis kitevővel rendelkező fokra. Ha egyszerűen definiálnánk a fokot, és nem tennénk fenntartást az m / n tört irreducibilitásával kapcsolatban, akkor a következőhöz hasonló helyzetekkel találkoznánk: mivel 6/10=3/5 , akkor az egyenlőség , de , a .

A "Fokozat racionális mutatóval" című videólecke vizualitást tartalmaz oktatási anyag ebben a témában tanítani. A videóóra információkat tartalmaz a racionális kitevővel rendelkező diploma fogalmáról, tulajdonságairól, ilyen fokozatokról, valamint példákat mutat be az oktatási anyagok gyakorlati problémák megoldására való felhasználására. Ennek a videóórának az a feladata, hogy az oktatási anyagot vizuálisan és áttekinthetően mutassa be, elősegítse a tanulók fejlesztését, memorizálását, a tanult fogalmak felhasználásával problémamegoldó képesség kialakítását.

A videóóra fő előnyei a vizuális átalakítások és számítások elvégzésének képessége, valamint az animációs effektusok használatának lehetősége a tanulási hatékonyság javítására. A hangkíséret segíti a helyes matematikai beszéd fejlesztését, és lehetővé teszi a tanári magyarázat helyettesítését is, felszabadítva őt az egyéni munkára.

Az oktatóvideó a téma bemutatásával kezdődik. Tanulmány összekapcsolása új téma A korábban vizsgált anyaggal azt javasoljuk, hogy emlékezzünk arra, hogy n √ a-t egyébként a 1/n jelöli természetes n-re és pozitív a-ra. Az n-gyökérnek ez a reprezentációja megjelenik a képernyőn. Ezenkívül azt javasoljuk, hogy fontolja meg, mit jelent az a m / n kifejezés, amelyben a pozitív szám, és m / n egy tört. A keretben kiemelt fok definícióját racionális kitevővel adjuk meg: m/n = n √ a m . Megjegyzendő, hogy n lehet természetes szám, m pedig egész szám.

A fokozat racionális kitevővel történő meghatározása után a jelentését példák mutatják meg: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Szintén látható egy példa, ahol a tizedes számmal képviselt hatványt köztörtté alakítjuk, hogy gyökként ábrázoljuk: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 és egy példa innen negatív érték fok: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Külön-külön egy adott eset jellemzőjét jelzi, ha a fokszám alapja nulla. Megjegyzendő, hogy ennek a foknak csak pozitív törtkitevője esetén van értelme. Ebben az esetben értéke nullával egyenlő: 0 m/n =0.

A racionális kitevővel rendelkező fok másik jellemzője, hogy a tört kitevővel rendelkező fok nem tekinthető tört kitevővel. Példák a fokozat helytelen jelölésére: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

A videó leckében a továbbiakban egy racionális kitevővel rendelkező fokozat tulajdonságait vizsgáljuk meg. Megjegyzendő, hogy az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságai a racionális kitevővel rendelkező fokra is érvényesek lesznek. Javasoljuk az ebben az esetben is érvényes tulajdonságok listájának felidézését:

1. Ha hatványokat szorozunk -val ugyanazok az indokok mutatóik összeadódnak: a p a q =a p+q .
2. Az azonos bázisú fokok felosztása adott bázisú fokra redukálódik és a kitevők különbsége: a p:a q =a p-q .
3. Ha a fokot egy bizonyos fokig emeljük, akkor ennek eredményeként az adott bázissal és a kitevők szorzatával egy fokot kapunk: (a p) q =a pq .

Mindezek a tulajdonságok érvényesek p, q racionális kitevővel és a>0 pozitív bázissal rendelkező hatványokra. A fokozattranszformációk zárójelek nyitásakor is igazak maradnak:

1. (ab) p =a p b p - ha két szám szorzatát racionális kitevővel egy bizonyos hatványra emeljük, az olyan számok szorzatára redukálódik, amelyek mindegyikét egy adott hatványra emeljük.
2. (a/b) p =a p /b p - a tört racionális kitevőjével történő hatványozást olyan törtre redukáljuk, amelynek számlálója és nevezője az adott hatványra emelve.

Az oktatóvideó olyan példák megoldását tárgyalja, amelyek a fokok figyelembe vett tulajdonságait racionális kitevővel használják. Az első példában azt javasoljuk, hogy keressük meg egy olyan kifejezés értékét, amely az x változókat tartalmazza törthatványban: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). A kifejezés bonyolultsága ellenére a fokok tulajdonságait felhasználva egészen egyszerűen megoldható. A feladat megoldása a kifejezés leegyszerűsítésével kezdődik, amely a hatványra racionális kitevővel végzett fokozatemelés szabályát, valamint az azonos bázisú hatványok szorzását alkalmazza. Miután a megadott x=8 értéket behelyettesítettük az x 1/3 +48 egyszerűsített kifejezésbe, könnyen megkaphatjuk az -50 értéket.

A második példában csökkenteni kell azt a törtet, amelynek számlálója és nevezője racionális kitevőjű hatványokat tartalmaz. A fokozat tulajdonságait felhasználva a különbségből kiválasztjuk az x 1/3 tényezőt, amelyet a számlálóban és a nevezőben csökkentünk, és a négyzetek különbsége képlet segítségével a számlálót faktorokra bontjuk, ami további redukciókat ad a ugyanazok a tényezők a számlálóban és a nevezőben. Az ilyen transzformációk eredménye egy rövid tört x 1/4 +3.

A "Fokozat racionális mutatóval" videólecke használható ahelyett, hogy a tanár elmagyarázná az óra új témáját. Ezenkívül ez a kézikönyv elegendő információt tartalmaz a következőkhöz az önálló tanulás diák. Az anyag hasznos lehet a távoktatásban.

MBOU "Sidorskaya

általános iskola»

Terv-vázlat kidolgozása nyílt óra

algebrában 11. osztályban a következő témában:

Előkészített és lebonyolított

matematika tanár

Iskhakova E.F.

Algebra nyílt óra vázlata 11. osztályban.

Téma : "Fokozat racionális kitevővel".

Az óra típusa : Új anyagok tanulása

Az óra céljai:

Megismertetni a hallgatókkal a racionális mutatós diploma fogalmát és főbb tulajdonságait, korábban tanulmányozott anyag alapján (egész mutatójú végzettség).

Fejleszti a számítási készségeket és a számok racionális kitevővel való konvertálásának és összehasonlításának képességét.

A matematikai műveltség és a matematikai érdeklődés ápolása a tanulókban.

Felszerelés : Feladatkártyák, hallgatói előadás a diplomáról egész szám jelzővel, tanári előadás a diplomáról racionális jelzővel, laptop, multimédiás projektor, képernyő.

Az órák alatt:

Idő szervezése.

Egyéni feladatkártyákkal lefedett téma asszimilációjának ellenőrzése.

1. számú feladat.

=2;

B) = x + 5;

Oldja meg a rendszert irracionális egyenletek: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

2. számú feladat.

Oldja meg az irracionális egyenletet: = - 3;

B) = x-2;

Irracionális egyenletrendszer megoldása: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Az óra témájának és célkitűzéseinek bemutatása.

Mai óránk témája Fokozat racionális kitevővel».

Új anyag magyarázata a korábban tanulmányozott példán.

Már ismeri a fok fogalmát egész kitevővel. Ki segíthet emlékezni rájuk?

Ismétlés bemutatással Fok egész kitevővel».

Bármely a , b és bármely m és n egész számra igaz:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n;

(a/b) n = a n/b n (b ≠ 0);

a 1 = a ; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Ma általánosítjuk a szám fokának fogalmát, és értelmet adunk azoknak a kifejezéseknek, amelyeknek törtkitevője van. Bemutatjuk meghatározás fokok racionális mutatóval ("Fokozat racionális mutatóval" előadás):

A mértéke a > 0 racionális kitevővel r = , ahol m egy egész szám, és n - természetes ( n > 1), hívták a számot m .

Tehát értelemszerűen ezt kapjuk = m .

Próbáljuk meg ezt a definíciót alkalmazni egy feladat végrehajtása során.

1. PÉLDA

Kifejezem egy szám gyökereként a következő kifejezést:

DE) B) NÁL NÉL) .

Most próbáljuk meg fordítva alkalmazni ezt a definíciót

II Fejezd ki a kifejezést hatványként racionális kitevővel:

DE) 2 B) NÁL NÉL) 5 .

A 0 hatványa csak pozitív kitevőkre van definiálva.

0 r= 0 bármelyikre r> 0.

Ezt a definíciót használva, otthon teljesíted a 428-as és a 429-es számokat.

Mutassuk meg most, hogy a racionális kitevővel rendelkező fok fenti definíciója megtartja a fokok alapvető tulajdonságait, amelyek bármely kitevőre igazak.

Bármilyen r és s racionális számra, valamint pozitív a és b számra, az egyenlőségek igazak:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PÉLDA: *

húsz . a r: a s =a r-s ;

PÉLDA: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

PÉLDA: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PÉLDA: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PÉLDA több tulajdonság egyidejű használatára: * : .

Fizkultminutka.

Tollakat tettünk az íróasztalra, megigazítottuk a hátát, és most előrenyúlunk, meg akarjuk érinteni a táblát. És most felemeltük és dőltünk jobbra, balra, előre, hátra. Megmutatták a tollakat, és most mutasd meg, hogyan tudnak táncolni az ujjaid.

Dolgozzon az anyagon

A racionális kitevőkkel rendelkező hatványok további két tulajdonságát figyeljük meg:

60 . Hadd r egy racionális szám és 0< a < b . Тогда

a r < b r nál nél r> 0,

a r < b r nál nél r< 0.

7 0 . Bármilyen racionális számrarés s egyenlőtlenségtől r> s ezt követi

a r> a r> 1 esetén,

a r < а r 0-nál< а < 1.

PÉLDA: Hasonlítsa össze a számokat:

És ; 2 300 és 3 200 .

Óra összefoglalója:

A mai órán megemlékeztünk az egész kitevős fok tulajdonságairól, megtanultuk a racionális kitevős fok definícióját és alapvető tulajdonságait, mérlegeltük ennek alkalmazását. elméleti anyag gyakorlatban edzés közben. Szeretném felhívni a figyelmet, hogy a "Fokozat racionális mutatóval" témakörben kötelező szerepelni USE hozzárendeléseket. A házi feladat elkészítésekor 428. és 429. sz

A szám mértékének meghatározása után logikus beszélni fok tulajdonságait. Ebben a cikkben megadjuk egy szám fokszámának alapvető tulajdonságait, miközben érintünk minden lehetséges kitevőt. Itt bizonyítást adunk a fokozat összes tulajdonságára, és bemutatjuk, hogyan alkalmazzuk ezeket a tulajdonságokat a példák megoldása során.

Oldalnavigáció.

A fokok tulajdonságai természetes mutatókkal

A természetes kitevővel rendelkező hatvány meghatározása szerint a n hatványa n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a -val. E definíció alapján, és felhasználásával valós számszorzás tulajdonságai, a következőket kaphatjuk és igazolhatjuk fok tulajdonságai természetes kitevővel:

1. az a m ·a n =a m+n fok fő tulajdonsága, általánosítása ;
2. azonos bázisú parciális hatványok tulajdonsága a m:a n =a m−n ;
3. szorzatfok tulajdonság (a b) n =a n b n , kiterjesztése ;
4. természetbeni tulajdon hányadosa (a:b) n =a n:b n ;
5. hatványozás (a m) n =a m n, általánosítása (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. fok összehasonlítása nullával:
   • ha a>0, akkor a n >0 bármely természetes n esetén;
   • ha a=0, akkor a n=0;
   • Ha egy<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ha a<0 и показатель степени есть páratlan szám 2 m−1, majd egy 2 m−1<0 ;
7. ha a és b pozitív számok és a
8. ha m és n az egész számok, hogy m>n , majd 0-ra 0 az a m >a n egyenlőtlenség igaz.

Azonnal megjegyezzük, hogy az összes írott egyenlőség igen azonos meghatározott feltételek mellett, jobb és bal oldali részeik felcserélhetők. Például az a m a n = a m + n tört fő tulajdonsága -val kifejezések egyszerűsítése gyakran használt a m+n = a m a n formában.

Most nézzük meg mindegyiket részletesen.

Kezdjük két azonos bázisú hatvány szorzatának tulajdonságával, amelyet ún a diploma fő tulajdonsága: bármely a valós számra, valamint bármely m és n természetes számra igaz az a m ·a n =a m+n egyenlőség.

Bizonyítsuk be a fokozat fő tulajdonságát. A természetes kitevővel rendelkező fok definíciója szerint az a m a n alakú azonos bázisú hatványok szorzata szorzatként írható fel. A szorzás tulajdonságaiból adódóan a kapott kifejezést így írhatjuk fel , és ez a szorzat a hatványa m+n természetes kitevővel, azaz a m+n . Ezzel teljes a bizonyítás.

Adjunk egy példát, amely megerősíti a diploma fő tulajdonságát. Vegyünk azonos 2-es bázisú fokokat és 2 és 3 természetes hatványokat, a fok főtulajdonsága szerint felírhatjuk a 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 egyenlőséget. Ellenőrizzük az érvényességét, amihez kiszámítjuk a 2 2 ·2 3 és 2 5 kifejezések értékét. Hatványozást végzünk 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32és 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, mivel egyenlő értékeket kapunk, akkor a 2 2 2 3 \u003d 2 5 egyenlőség helyes, és megerősíti a fokozat fő tulajdonságát.

Egy fok fő tulajdonsága a szorzás tulajdonságai alapján általánosítható három vagy több hatvány szorzatára azonos bázisokkal és természetes kitevőkkel. Tehát az n 1, n 2, …, n k természetes számok bármely k számára az egyenlőség a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Például, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

A fok következő tulajdonságára egy természetes jelzővel léphet át - az azonos alapokon álló részhatalmazások tulajdonsága: bármely nem nulla a valós számra és tetszőleges m és n természetes számokra, amelyek kielégítik az m>n feltételt, az a m:a n =a m−n egyenlőség igaz.

Mielőtt bizonyítanánk ezt a tulajdonságot, beszéljük meg a nyilatkozatban szereplő további feltételek jelentését. Az a≠0 feltétel a nullával való osztás elkerülése érdekében szükséges, mivel 0 n =0, és amikor megismerkedtünk az osztással, egyetértettünk abban, hogy nullával nem lehet osztani. Az m>n feltételt azért vezetjük be, hogy ne lépjük túl a természetes kitevőket. Valójában m>n esetén az m-n egy természetes szám, különben vagy nulla (ami m-n esetén történik), vagy negatív szám (ami m-re történik)

Bizonyíték. A tört fő tulajdonsága lehetővé teszi az egyenlőség felírását a m−n a n =a (m−n)+n =a m. A kapott egyenlőségből a m−n ·a n =a m, és ebből következik, hogy egy m−n a m és a n hatványainak hányadosa. Ez bizonyítja az azonos alapokon álló részhatványok tulajdonságát.

Vegyünk egy példát. Vegyünk két fokot azonos π bázisokkal és 5 és 2 természetes kitevővel, a fok figyelembe vett tulajdonsága a π 5 egyenlőségnek felel meg: π 2 = π 5−3 = π 3.

Most fontolja meg termék fokozat tulajdonság: bármely két a és b valós szám szorzatának n természetes foka egyenlő az a n és b n fokok szorzatával, azaz (a b) n =a n b n .

Valójában a természetes kitevővel rendelkező fok definíciója szerint megvan . Az utolsó szorzat a szorzás tulajdonságai alapján átírható így , ami egyenlő a n b n -nel.

Íme egy példa: .

Ez a tulajdonság három vagy több tényező szorzatának mértékére terjed ki. Vagyis k tényező szorzatának n természetes hatványtulajdonsága így van felírva (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Az érthetőség kedvéért ezt a tulajdonságot egy példán mutatjuk be. Három tényező 7 hatványának szorzatára van.

A következő ingatlan az természeti tulajdon: az a és b valós számok, b≠0 valós számok hányadosa az n természetes hatványhoz egyenlő az a n és b n hatványok hányadosával, azaz (a:b) n =a n:b n .

A bizonyítás elvégezhető az előző tulajdonság segítségével. Így (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, és az (a:b) n b n =a n egyenlőségből következik, hogy (a:b) n az a n hányadosa osztva b n -nel.

Írjuk fel ezt a tulajdonságot konkrét számok példáján: .

Most pedig hangot adjunk hatványozási tulajdonság: bármely a valós számra, valamint bármely m és n természetes számra az a m hatványa n hatványára egyenlő a m·n kitevőjű a hatványával, azaz (a m) n =a m·n .

Például (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

A fokban kifejezett hatványtulajdonság bizonyítása a következő egyenlőséglánc: .

A figyelembe vett tulajdonság kiterjeszthető fokon belüli fokozatra, és így tovább. Például bármely p, q, r és s természetes szám esetén az egyenlőség . A jobb érthetőség kedvéért itt van egy példa konkrét számokkal: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Továbbra is a fokok természetes kitevővel való összehasonlításának tulajdonságain kell elidőzni.

Kezdjük azzal, hogy a nulla és a hatvány összehasonlítási tulajdonságát természetes kitevővel bizonyítjuk.

Először is igazoljuk, hogy a n >0 bármely a>0 esetén.

Két pozitív szám szorzata pozitív szám, amint az a szorzás definíciójából következik. Ez a tény és a szorzás tulajdonságai lehetővé teszik, hogy kijelentsük, hogy tetszőleges számú pozitív szám szorzásának eredménye is pozitív szám lesz. És az a hatványa n természetes kitevővel definíció szerint n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ezek az érvek lehetővé teszik, hogy kijelentsük, hogy bármely pozitív bázis esetén a n foka pozitív szám. A bizonyított tulajdonság alapján 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ill. .

Nyilvánvaló, hogy bármely természetes n esetén, ahol a=0, a n foka nulla. Valóban, 0 n =0·0·…·0=0. Például 0 3 =0 és 0 762 =0 .

Térjünk át a negatív alapokra.

Kezdjük azzal az esettel, amikor a kitevő páros szám, jelöljük 2 m-nek, ahol m természetes szám. Akkor . Az a·a alakú szorzatok mindegyike egyenlő az a és a számok moduljainak szorzatával, ezért pozitív szám. Ezért a termék is pozitív lesz. és foka a 2 m . Íme a példák: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 és .

Végül, ha a bázisa negatív szám, kitevője pedig páratlan szám 2 m−1, akkor . Minden a·a szorzat pozitív szám, ezeknek a pozitív számoknak a szorzata is pozitív, és a maradék negatív a számmal való szorzása negatív számot eredményez. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Rátérünk a fokok azonos természetes kitevőkkel való összehasonlításának tulajdonságára, amelynek megfogalmazása a következő: két azonos természetes kitevővel rendelkező fokból n kisebb, mint annak, amelynek bázisa kisebb, és nagyobb, mint annak, amelynek bázisa nagyobb. Bizonyítsuk be.

Egyenlőtlenség a n az egyenlőtlenségek tulajdonságai az a n alakú egyenlőtlenség bizonyított (2,2) 7 és .

A hatványok felsorolt ​​tulajdonságai közül az utolsót kell bizonyítani természetes kitevővel. Fogalmazzuk meg. A két természetes mutatójú és azonos pozitív bázisú fok közül egynél kisebb a fok, amelynek a mutatója kisebb; két foknak pedig egynél nagyobb természetes mutatókkal és azonos alapokkal az a fok, amelyiknek a mutatója nagyobb. Ennek a tulajdonságnak a bizonyítására térünk át.

Bizonyítsuk be, hogy m>n és 0 esetén 0 az m>n kezdeti feltétel miatt, amiből az következik, hogy 0-nál

Az ingatlan második részének bizonyítása van hátra. Bizonyítsuk be, hogy m>n és a>1 esetén a m >a n igaz. Az a m −a n különbség, miután egy n-t zárójelekből kiveszünk, a n ·(a m−n −1) alakot ölti. Ez a szorzat pozitív, mivel a>1 esetén a n foka pozitív szám, az a m−n −1 különbség pedig pozitív szám, mivel m−n>0 a kezdeti feltétel miatt, és a>1 esetén egy m−n foka nagyobb egynél. Ezért a m − a n >0 és a m >a n, amit igazolni kellett. Ezt a tulajdonságot a 3 7 >3 2 egyenlőtlenség szemlélteti.

A fokok tulajdonságai egész kitevővel

Mivel a pozitív egész számok természetes számok, a pozitív egész kitevővel rendelkező hatványok minden tulajdonsága pontosan egybeesik az előző bekezdésben felsorolt ​​és bizonyított természetes kitevőjű hatványok tulajdonságaival.

A negatív egész kitevővel rendelkező fokot, valamint a nulla kitevővel rendelkező fokot úgy határoztuk meg, hogy az egyenlőségekkel kifejezett természetes kitevős fokok minden tulajdonsága érvényben maradjon. Ezért ezek a tulajdonságok mind nulla kitevőkre, mind negatív kitevőkre érvényesek, miközben természetesen a fokok alapjai nem nullák.

Tehát minden a és b valós és nem nulla számra, valamint bármely m és n egész számra a következők igazak fokok tulajdonságai egész kitevővel:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n;
4. (a:b) n =a n:bn;
5. (a m) n = a m n;
6. ha n pozitív egész szám, akkor a és b pozitív számok, és a b-n;
7. ha m és n egész számok, és m>n , akkor 0-nál 1 az a m >a n egyenlőtlenség teljesül.

A=0 esetén az a m és a n hatványoknak csak akkor van értelme, ha m és n is pozitív egész szám, azaz természetes szám. Így az imént felírt tulajdonságok azokra az esetekre is érvényesek, amikor a=0 és az m és n számok pozitív egészek.

Ezen tulajdonságok mindegyikének bizonyítása nem nehéz, ehhez elég a fok természetes és egész kitevőjű definícióit, valamint a valós számokkal rendelkező cselekvések tulajdonságait használni. Példaként bizonyítsuk be, hogy a hatvány tulajdonság mind pozitív, mind nem pozitív egész számokra érvényes. Ehhez meg kell mutatnunk, hogy ha p nulla vagy természetes szám és q nulla vagy természetes szám, akkor az (a p) q =a p q, (a − p) q =a (−p) q egyenlőségek, (a p ) −q =a p (−q) és (a-p)-q =a (-p) (-q). Csináljuk.

Pozitív p és q esetén az (a p) q =a p·q egyenlőséget az előző alfejezetben igazoltuk. Ha p=0, akkor van (a 0) q =1 q =1 és a 0 q =a 0 =1, ahonnan (a 0) q =a 0 q. Hasonlóképpen, ha q=0, akkor (a p) 0 =1 és a p 0 =a 0 =1, ahonnan (a p) 0 =a p 0. Ha p=0 és q=0 is, akkor (a 0) 0 =1 0 =1 és a 0 0 =a 0 =1, ahonnan (a 0) 0 =a 0 0.

Most bizonyítsuk be, hogy (a −p) q =a (−p) q . A negatív egész kitevőjű fok definíciója szerint tehát . A fokban lévő hányados tulajdonsága alapján megvan . Mivel 1 p =1·1·…·1=1 és , akkor . Az utolsó kifejezés értelemszerűen egy a −(p q) alakú hatvány, amely a szorzási szabályok értelmében (−p) q-ként írható fel.

Hasonlóképpen .

És .

Ugyanezen elv alapján a fok összes többi tulajdonsága igazolható egész kitevővel, egyenlőségek formájában.

A felírt tulajdonságok utolsó előtti részében érdemes elidőzni az a −n >b −n egyenlőtlenség bizonyításán, amely minden negatív −n egész számra igaz, valamint minden olyan pozitív a-ra és b-re, amelyre az a feltétel. . Mivel feltétellel a 0 . Az a n ·b n szorzat is pozitív a n és b n pozitív számok szorzataként. Ekkor a kapott tört b n − a n és a n b n pozitív számok hányadosaként pozitív. Innen ered a −n >b −n , amit be kellett bizonyítani.

Az egész kitevővel rendelkező fokok utolsó tulajdonságát ugyanúgy bizonyítjuk, mint a természetes kitevőkkel rendelkező fokok analóg tulajdonságát.

Racionális kitevős hatványok tulajdonságai

A fokot tört kitevővel határoztuk meg úgy, hogy a fok tulajdonságait egész kitevővel bővítettük rá. Más szóval, a tört kitevővel rendelkező fokok ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az egész kitevőkkel rendelkező fokok. Ugyanis:

A fokok tulajdonságainak törtkitevős bizonyítása a törtkitevős fok definícióján, az egész kitevős fok tulajdonságain és az egész kitevős fok tulajdonságain alapul. Adjunk bizonyítékot.

A fok definíciója szerint tört kitevővel és , akkor . Az aritmetikai gyök tulajdonságai lehetővé teszik, hogy a következő egyenlőségeket írjuk fel. Továbbá az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságát felhasználva azt kapjuk, hogy a tört kitevővel rendelkező fok definíciójával azt kapjuk, hogy , és a kapott fok kitevője a következőképpen konvertálható: . Ezzel teljes a bizonyítás.

A törtkitevővel rendelkező hatványok második tulajdonsága pontosan ugyanígy bizonyított:

A többi egyenlőséget hasonló elvek igazolják:

Rátérünk a következő tulajdonság bizonyítására. Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív a és b esetén a b p . A p racionális számot m/n-ként írjuk fel, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Feltételek p<0 и p>0 ebben az esetben egyenértékű lesz az m feltételekkel<0 и m>0 ill. m>0 és a

Hasonlóképpen a m<0 имеем a m >b m , honnan , azaz és a p >b p .

A felsorolt ​​tulajdonságok közül az utolsó bizonyítása van hátra. Bizonyítsuk be, hogy p és q racionális számokra p>q 0 esetén 0 – egyenlőtlenség a p >a q . A p és q racionális számokat mindig közös nevezőre redukálhatjuk, kapjunk közönséges törteket és ahol m 1 és m 2 egész számok, n pedig természetes szám. Ebben az esetben a p>q feltétel megfelel az m 1 >m 2 feltételnek, ami a -ból következik. Ezután az azonos bázisú hatványok és a 0-nál lévő természetes kitevők összehasonlításának tulajdonsága alapján 1 – egyenlőtlenség a m 1 >a m 2 . Ezek az egyenlőtlenségek a gyökök tulajdonságait tekintve átírhatók, ill és . A fokozat racionális kitevővel való meghatározása pedig lehetővé teszi, hogy áttérjünk az egyenlőtlenségekre, ill. Ebből vonjuk le a végső következtetést: p>q és 0 esetén 0 – egyenlőtlenség a p >a q .

Fokok tulajdonságai irracionális kitevőkkel

Abból, hogy egy irracionális kitevővel rendelkező fokot definiálunk, arra a következtetésre juthatunk, hogy rendelkezik a racionális kitevővel rendelkező fokok összes tulajdonságával. Tehát bármely a>0 , b>0 és irracionális számok p és q fokok tulajdonságai irracionális kitevőkkel:

1. a p a q = a p + q;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q;
6. bármely pozitív a és b szám esetén a 0 az egyenlőtlenség a p b p ;
7. p és q irracionális számok esetén p>q 0-nál 0 – egyenlőtlenség a p >a q .

Ebből arra következtethetünk, hogy a tetszőleges p és q valós kitevővel rendelkező hatványok a>0 esetén azonos tulajdonságokkal rendelkeznek.

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika Zh tankönyv 5 cellához. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7 cellához. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8 cellához. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9 cellához. oktatási intézmények.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános nevelési-oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára).

Fokozat racionális kitevővel

Khasyanova T.G.,

matematika tanár

A bemutatott anyag hasznos lesz a matematikatanárok számára a "Fokozat racionális mutatóval" téma tanulmányozásakor.

A bemutatott anyag célja: a "Fokozat egy racionális mutatóval" témában szerzett lecke levezetésével kapcsolatos tapasztalataim közzététele munkaprogram„matematika” tudományág.

Az óra módszertana megfelel a típusának - az új ismeretek tanulmányozásának és elsődleges megszilárdításának leckéje. Az alapismeretek és készségek aktualizálása a korábbi tapasztalatok alapján történt; az új információk elsődleges memorizálása, megszilárdítása és alkalmazása. Az új anyagok megszilárdítása és alkalmazása az általam tesztelt változó összetettségű problémák megoldása formájában történt, így pozitív eredmény a téma elsajátítása.

Az óra elején a következő célokat tűztem ki a tanulók elé: nevelő, fejlesztő, nevelő. Az órán használtam különböző módokon tevékenységek: frontális, egyéni, gőzfürdő, független, teszt. A feladatok differenciáltak voltak, és lehetővé tették az óra minden szakaszában az ismeretek asszimilációs fokának azonosítását. A feladatok mennyisége és összetettsége megfelel életkori jellemzők hallgatók. Tapasztalataim szerint - házi feladat ben megoldott problémákhoz hasonlóan tanterem lehetővé teszi a megszerzett ismeretek és készségek biztonságos megszilárdítását. Az óra végén reflexióra került sor, és az egyes tanulók munkáját értékelték.

A célok megvalósultak. A hallgatók racionális kitevővel tanulmányozták a diploma fogalmát, tulajdonságait, megtanulták, hogyan használják fel ezeket a tulajdonságokat a gyakorlati feladatok megoldásában. Per önálló munkavégzés osztályzatokat a következő órán hirdetjük ki.

Úgy gondolom, hogy az általam használt matematikaórák levezetésére használt módszertan a matematika tanárok számára is alkalmazható.

Óra témája: Fokozat racionális mutatóval

Az óra célja:

Az ismeretek és készségek komplexumának elsajátításának szintjének meghatározása a hallgatók által, és ennek alapján bizonyos megoldások alkalmazása az oktatási folyamat javítására.

Az óra céljai:

Oktatóanyagok:új ismereteket formálni a hallgatók körében az alapfogalmakról, szabályokról, törvényekről a diploma racionális mutatóval történő meghatározására, az ismeretek önálló alkalmazásának képességére standard körülmények között, megváltozott és nem szabványos körülmények között;

fejlesztés: logikusan gondolkodni és megvalósítani Kreatív készségek;

pedagógusok: a matematika iránti érdeklődés kialakítása, szókincs új kifejezésekkel való feltöltése, szerez További információ a környező világról. Türelmet, kitartást, a nehézségek leküzdésének képességét fejleszteni.

Idő szervezése

Alapvető ismeretek felfrissítése

Ha a hatványokat ugyanazzal az alappal szorozzuk, a kitevők összeadódnak, és az alap ugyanaz marad:

Például,

2. Ha a hatványokat azonos bázisokkal osztjuk fel, a kitevőket levonjuk, és az alap változatlan marad:

Például,

3. Ha egy fokot hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk, és az alap változatlan marad:

Például,

4. A szorzat mértéke egyenlő a tényezők hatványainak szorzatával:

Például,

5. A hányados mértéke megegyezik az osztó és az osztó hatványainak hányadosával:

Például,

Megoldási gyakorlatok

Keresse meg egy kifejezés értékét:

Megoldás:

Ebben az esetben a természetes kitevővel rendelkező fok egyik tulajdonsága sem alkalmazható kifejezetten, mivel minden fokozatnak van különböző okokból. Írjunk fel néhány fokozatot más formában:

(a szorzat foka megegyezik a tényezők fokozatainak szorzatával);

(a hatványok azonos bázisú szorzásakor a kitevők összeadódnak, és az alap ugyanaz marad, fokot hatványra emelve a kitevőket megszorozzuk, de az alap ugyanaz marad).

Akkor kapjuk:

NÁL NÉL ezt a példát a fok első négy tulajdonságát természetes kitevővel használták.

Aritmetikai négyzetgyök
egy nem negatív szám, amelynek négyzetea,
. Nál nél
- kifejezés
nincs meghatározva, mert nincs olyan valós szám, amelynek négyzete egyenlő lenne egy negatív számmala.

Matematikai diktálás(8-10 perc)

választási lehetőség

II. választási lehetőség

1. Keresse meg a kifejezés értékét!

a)

b)

1. Keresse meg a kifejezés értékét!

a)

b)

2. Számítsa ki

a)

b)

NÁL NÉL)

2. Számítsa ki

a)

b)

ban ben)

Önteszt(a hajtókáján):

Válaszmátrix:

№ lehetőség/feladat

1. feladat

2. feladat

1.opció

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

ban ben)

2. lehetőség

a) 1.5

b)

a)

b)

4-kor

II Új ismeretek formálása

Tekintsük a kifejezés jelentését, hol - pozitív szám– törtszám és m-egész, n-természetes (n>1)

Definíció: az a›0 szám foka racionális kitevővelr = , m-egész, n- természetes ( n›1) felhívnak egy számot.

Így:

Például:

Megjegyzések:

1. Bármely pozitív a és bármely racionális r esetén a szám pozitívan.

2. Mikor
egy szám racionális hatványaanem meghatározott.

Olyan kifejezések, mint pl
nincs értelme.

3.Ha tört pozitív szám
.

Ha egy töredékes akkor negatív szám -nincs értelme.

Például: - nincs értelme.

Tekintsük egy fok tulajdonságait racionális kitevővel.

Legyen a>0, в>0; r, s - bármilyen racionális számok. Ekkor egy tetszőleges racionális kitevővel rendelkező fok a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konszolidáció. Új készségek, képességek kialakítása.

A feladatkártyák kis csoportokban dolgoznak teszt formájában.

Azt is ajánljuk

• Mi a neve a játékban forgó pénzösszegnek? A modern monetáris rendszer egy pénzügyi piramis
• Hogyan nevezzünk el egy lovat: kiválasztunk egy megfelelő becenevet
• Hogyan nevezzünk el egy lovat: kiválasztunk egy megfelelő becenevet
• Az égi gömb pontja a megfigyelő feje felett
• közönséges páva (indiai)
• Mi a neve a hímnek és a nősténynek