Online kalkulator za pojednostavljivanje algebarskih razlomaka. Kako pojednostaviti algebarske izraze
Algebarski izraz u kojem, uz operacije zbrajanja, oduzimanja i množenja, koriste i dijeljenje s doslovni izrazi, naziva se frakcijski algebarski izraz. Takvi su npr. izrazi
Algebarskim razlomkom nazivamo algebarski izraz koji ima oblik kvocijenta dijeljenja dvaju cjelobrojnih algebarskih izraza (na primjer, monoma ili polinoma). Takvi su npr. izrazi
treći od izraza).
Identitetne transformacije frakcijskih algebarskih izraza većinom su namijenjene predstavljanju ih kao algebarski razlomak. Za pronalaženje zajedničkog nazivnika koristi se faktorizacija nazivnika razlomaka – pojmova kako bi se pronašao njihov najmanji zajednički višekratnik. Prilikom smanjenja algebarski razlomci stroga istovjetnost izraza može biti narušena: potrebno je isključiti vrijednosti veličina pri kojima nestaje faktor kojim se vrši smanjenje.
Evo nekoliko primjera identične transformacije frakcijski algebarski izrazi.
Primjer 1: Pojednostavite izraz
Svi se članovi mogu svesti na zajednički nazivnik (zgodno je promijeniti predznak u nazivniku posljednjeg člana i znak ispred njega):
Naš izraz je jednak jedinici za sve vrijednosti osim ovih vrijednosti, nije definiran i smanjenje razlomka je protuzakonito).
Primjer 2. Predstavite izraz kao algebarski razlomak
Riješenje. Izraz se može uzeti kao zajednički nazivnik. Nalazimo sukcesivno:
Vježbe
1. Pronađite vrijednosti algebarskih izraza za navedene vrijednosti parametara:
2. Faktorizirajte.
Matematika-Kalkulator-Online v.1.0
Kalkulator izvodi sljedeće operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, rad s decimalima, vađenje korijena, podizanje na stepen, izračunavanje postotaka i druge operacije.
Riješenje:
Kako koristiti matematički kalkulator
Ključ | Oznaka | Obrazloženje |
---|---|---|
5 | brojevi 0-9 | arapski brojevi. Unesite prirodne cijele brojeve, nulu. Da biste dobili negativan cijeli broj, pritisnite tipku +/- |
. | točka i zarez) | Decimalni separator. Ako ispred točke (zareza) nema znamenke, kalkulator će automatski zamijeniti nulu ispred točke. Na primjer: .5 - 0.5 bit će napisano |
+ | znak plus | Zbrajanje brojeva (cijeli, decimalni razlomci) |
- | znak minus | Oduzimanje brojeva (cijeli, decimalni razlomci) |
÷ | znak podjele | Dijeljenje brojeva (cijeli, decimalni razlomci) |
x | znak množenja | Množenje brojeva (cijeli brojevi, decimale) |
√ | korijen | Izdvajanje korijena iz broja. Kada ponovno pritisnete gumb "root", korijen se izračunava iz rezultata. Na primjer: kvadratni korijen od 16 = 4; kvadratni korijen od 4 = 2 |
x2 | kvadratura | Kvadriranje broja. Kada ponovno pritisnete gumb "kvadriranje", rezultat se kvadrira.Na primjer: kvadrat 2 = 4; kvadrat 4 = 16 |
1/x | frakcija | Izlaz na decimale. U brojniku 1, u nazivniku ulazni broj |
% | posto | Dobijte postotak broja. Za rad morate unijeti: broj od kojeg će se izračunati postotak, znak (plus, minus, podijeliti, pomnožiti), koliko posto u brojčanom obliku, gumb "%" |
( | otvorena zagrada | Otvorena zagrada za postavljanje prioriteta evaluacije. Zatvorena zagrada je obavezna. Primjer: (2+3)*2=10 |
) | zatvorena zagrada | Zatvorena zagrada za postavljanje prioriteta evaluacije. Potrebna dostupnost otvorena zagrada |
± | plus minus | Mijenja znak u suprotan |
= | jednaki | Prikazuje rezultat rješenja. Također, međuizračuni i rezultat se prikazuju iznad kalkulatora u polju "Rješenje". |
← | brisanje znaka | Briše zadnji znak |
IZ | resetirati | Gumb za resetiranje. Potpuno resetuje kalkulator na "0" |
Algoritam online kalkulatora s primjerima
Dodatak.
Cjelobrojni zbrajanje prirodni brojevi { 5 + 7 = 12 }
Zbrajanje cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 5 + (-2) = 3 )
Decimalni zbrajanje frakcijski brojevi { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Oduzimanje.
Oduzimanje cijelih prirodnih brojeva ( 7 - 5 = 2 )
Oduzimanje cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 5 - (-2) = 7)
Oduzimanje decimalnih frakcijskih brojeva ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Množenje.
Umnožak cijelih prirodnih brojeva ( 3 * 7 = 21 )
Umnožak cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 5 * (-3) = -15 )
Umnožak decimalnih razlomaka ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Podjela.
Dijeljenje cijelih prirodnih brojeva ( 27 / 3 = 9 )
Dijeljenje cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 15 / (-3) = -5 )
Dijeljenje decimalnih frakcijskih brojeva ( 6,2 / 2 = 3,1 )
Izdvajanje korijena iz broja.
Ekstrahiranje korijena cijelog broja ( root(9) = 3)
Izdvajanje korijena decimala ( korijen (2.5) = 1.58 )
Izdvajanje korijena iz zbroja brojeva ( korijen (56 + 25) = 9)
Izdvajanje korijena razlike u brojevima ( korijen (32 - 7) = 5 )
Kvadriranje broja.
Kvadriranje cijelog broja ( (3) 2 = 9)
Kvadrat decimala ( (2.2) 2 = 4.84 )
Pretvori u decimalne razlomke.
Izračunavanje postotaka broja
Povećaj 230 za 15% (230 + 230 * 0,15 = 264,5)
Smanji broj 510 za 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5)
18% broja 140 je (140 * 0,18 = 25,2)
Neki algebarski primjeri jedna vrsta je sposobna zastrašiti školarce. Dugi izrazi ne samo da su zastrašujući, već su i vrlo teški za izračunavanje. Pokušavajući odmah shvatiti što slijedi i što slijedi, da se ne zbunite dugo. Upravo iz tog razloga matematičari uvijek pokušavaju što više pojednostaviti „strašan” zadatak i tek onda ga rješavati. Začudo, takav trik uvelike ubrzava proces.
Pojednostavljenje je jedna od temeljnih točaka algebre. Ako u jednostavni zadaci još uvijek možete bez toga, tada se teže izračunljivi primjeri mogu pokazati "preteškim". Ovdje ove vještine dobro dođu! Štoviše, nije potrebno složeno matematičko znanje: bit će dovoljno samo zapamtiti i naučiti kako primijeniti nekoliko osnovnih tehnika i formula.
Bez obzira na složenost izračuna, pri rješavanju bilo kojeg izraza važno je slijediti redoslijed operacija s brojevima:
- zagrade;
- eksponencijalnost;
- množenje;
- podjela;
- dodatak;
- oduzimanje.
Zadnje dvije točke mogu se sigurno zamijeniti i to ni na koji način neće utjecati na rezultat. Ali zbrajanje dva susjedna broja, kada se pored jednog od njih nalazi znak množenja, apsolutno je nemoguće! Odgovor, ako ga ima, je pogrešan. Stoga morate zapamtiti slijed.
Korištenje takvih
Takvi elementi uključuju brojeve s varijablom istog reda ili istog stupnja. Postoje i takozvani slobodni članovi koji pored sebe nemaju slovnu oznaku nepoznatog.
Zaključak je da u nedostatku zagrada Izraz možete pojednostaviti dodavanjem ili oduzimanjem kao.
Nekoliko ilustrativnih primjera:
- 8x 2 i 3x 2 - oba broja imaju istu varijablu drugog reda, pa su slični i kada se zbroje, pojednostavljuju se na (8+3)x 2 =11x 2, dok kada se oduzmu, ispada (8-3) x 2 = 5x 2;
- 4x 3 i 6x - i ovdje "x" ima drugačiji stupanj;
- 2y 7 i 33x 7 - sadrže različite varijable, stoga, kao iu prethodnom slučaju, ne pripadaju sličnim.
Faktoriranje broja
Ovaj mali matematički trik, naučite li ga pravilno koristiti, pomoći će vam da se nosite s škakljivim problemom više puta u budućnosti. I lako je razumjeti kako "sustav" funkcionira: dekompozicija je umnožak više elemenata čijim proračunom daje izvornu vrijednost. Dakle, 20 se može predstaviti kao 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ili na neki drugi način.
Na napomenu: množitelji su uvijek isti kao i djelitelji. Dakle, trebate potražiti radni "par" za proširenje među brojevima kojima je izvornik djeljiv bez ostatka.
Takvu operaciju možete izvesti i sa slobodnim članovima i sa znamenkama pridruženim varijabli. Glavna stvar je ne izgubiti potonje tijekom izračuna - čak nakon raspadanja, nepoznato ne može uzeti i "nigdje otići". Ostaje na jednom od faktora:
- 15x=3(5x);
- 60y 2 \u003d (15y 2) 4.
Prosti brojevi koji se mogu podijeliti samo sami po sebi ili 1 nikad ne faktori - to nema smisla..
Osnovne metode pojednostavljenja
Prvo što upada u oči:
- prisutnost zagrada;
- razlomci;
- korijenje.
Algebarski primjeri u školski kurikulumčesto se sastavljaju uz pretpostavku da se mogu lijepo pojednostaviti.
Izračuni zagrada
Obratite pozornost na znak ispred zagrada! Množenje ili dijeljenje se primjenjuje na svaki element unutar, a minus - preokreće postojeće znakove "+" ili "-".
Zagrade se računaju prema pravilima ili po formulama skraćenog množenja, nakon čega se daju slične.
Smanjenje frakcije
Smanjite razlomke također je lako. I sami s vremena na vrijeme “voljno pobjegnu”, vrijedi se operirati s dovođenjem takvih članova. Ali možete pojednostaviti primjer i prije ovoga: obratite pažnju na brojnik i nazivnik. Često sadrže eksplicitne ili skrivene elemente koji se međusobno mogu reducirati. Istina, ako u prvom slučaju samo trebate izbrisati suvišno, u drugom ćete morati razmisliti, dovodeći dio izraza u oblik radi pojednostavljenja. Korištene metode:
- traženje i stavljanje u zagrade najvećeg zajedničkog djelitelja brojnika i nazivnika;
- dijeleći svaki gornji element nazivnikom.
Kad je izraz ili njegov dio pod korijenom, primarni problem pojednostavljenja je gotovo isti kao i kod razlomaka. Potrebno je tražiti načine da ga se potpuno riješite ili, ako to nije moguće, minimizirate znak koji ometa izračune. Na primjer, na nenametljiv √(3) ili √(7).
Pravi put pojednostavite radikalni izraz - pokušajte ga faktorizirati, od kojih su neki izvan znaka. Ilustrativan primjer: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Ostali mali trikovi i nijanse:
- ova operacija pojednostavljivanja može se izvesti s razlomcima, izvlačeći je iz predznaka i kao cjelinu i zasebno kao brojnik ili nazivnik;
- nemoguće je rastaviti i izvaditi dio zbroja ili razlike izvan korijena;
- kada radite s varijablama, svakako uzmite u obzir njezin stupanj, mora biti jednak ili višekratnik korijena za mogućnost prikazivanja: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
- ponekad je dopušteno riješiti se radikalne varijable podizanjem na razlomak: √ (y 3)=y 3/2.
Pojednostavljenje izraza snage
Ako se u slučaju jednostavnih izračuna s minusom ili plusom primjeri pojednostavljuju dovođenjem sličnih, što je onda s množenjem ili dijeljenjem varijabli s različitim stupnjevima? Lako se mogu pojednostaviti sjećanjem na dvije glavne točke:
- Ako između varijabli postoji znak množenja, eksponenti se zbrajaju.
- Kada se međusobno podijele, od stupnja brojnika oduzima se isti nazivnik.
Jedini uvjet za takvo pojednostavljenje je ista baza za oba člana. Primjeri za jasnoću:
- 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 = 20x 9 + y 2;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.
Napominjemo da se operacije s brojčanim vrijednostima ispred varijabli odvijaju prema uobičajenim matematičkim pravilima. A ako pažljivo pogledate, postaje jasno da elementi snage izraza "rade" na sličan način:
- podići člana na stepen znači pomnožiti ga sam sa sobom određeni broj puta, tj. x 2 \u003d x × x;
- dijeljenje je slično: ako proširite stupanj brojnika i nazivnika, tada će se neke od varijabli smanjiti, dok se ostale „skupljaju“, što je ekvivalentno oduzimanju.
Kao i u svakom poslu, pri pojednostavljivanju algebarskih izraza nije potrebno samo poznavanje osnova, već i vježba. Nakon samo nekoliko lekcija, primjeri koji su se nekada činili kompliciranim bit će smanjeni poseban rad, pretvarajući se u kratke i lako riješene.
Video
Ovaj video će vam pomoći razumjeti i zapamtiti kako su izrazi pojednostavljeni.
Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.