Svojstva funkcije y x n. Eksponencijalna funkcija - svojstva, grafovi, formule

Grafikon (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n)$

Svojstva funkcije stepena s prirodnim neparnim eksponentom

Područje definicije su svi realni brojevi.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ je neparna funkcija.

$f(x)$ je kontinuiran na cijeloj domeni definicije.

Raspon su svi realni brojevi.

$f"\lijevo(x\desno)=\lijevo(x^(2n-1)\desno)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija se povećava u cijeloj domeni definicije.

$f\left(x\right)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\lijevo(x\desno))=(\lijevo(\lijevo(2n-1\desno)\cdot x^(2\lijevo(n-1\desno))\desno))"=2 \lijevo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ i konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Grafikon (slika 3).

Slika 3. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funkcija snage s cjelobrojnim eksponentom

Za početak uvodimo pojam stupnja s cjelobrojnim eksponentom.

Definicija 3

Stupanj realnog broja $a$ s cjelobrojnim eksponentom $n$ određuje se formulom:

Slika 4

Razmotrimo sada funkciju stepena s cjelobrojnim eksponentom, njezinim svojstvima i grafom.

Definicija 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ naziva se funkcija stepena s cjelobrojnim eksponentom.

Ako je stupanj veći od nule, dolazimo do slučaja funkcije stepena s prirodnim eksponentom. Već smo to gore razmotrili. Za $n=0$ dobivamo linearnu funkciju $y=1$. Njegovo razmatranje prepuštamo čitatelju. Ostaje razmotriti svojstva funkcije stepena s negativnim cjelobrojnim eksponentom

Svojstva potencijske funkcije s negativnim cijelim eksponentom

Opseg je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent paran, onda je funkcija parna; ako je neparan, onda je funkcija neparna.

$f(x)$ je kontinuiran na cijeloj domeni definicije.

Raspon vrijednosti:

Ako je eksponent paran, onda $(0,+\infty)$, ako je neparan, onda $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent neparan, funkcija se smanjuje kao $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Za paran eksponent, funkcija se smanjuje kao $x\in (0,+\infty)$. i raste kao $x\in \lijevo(-\infty ,0\desno)$.

$f(x)\ge 0$ preko cijele domene

Dani su referentni podaci o eksponencijalnoj funkciji - osnovna svojstva, grafovi i formule. Razmatraju se sljedeća pitanja: područje definicije, skup vrijednosti, monotonost, inverzna funkcija, derivacija, integral, proširenje niza stepena i reprezentacija kompleksnim brojevima.

Definicija

Eksponencijalna funkcija je generalizacija umnoška n brojeva jednakih a:
y (n) = a n = a a a a,
na skup realnih brojeva x :
y (x) = x.
Ovdje je a fiksno pravi broj, koji se zove baza eksponencijalne funkcije.
Također se naziva eksponencijalna funkcija s bazom a eksponent bazi a.

Generalizacija se provodi na sljedeći način.
Za prirodni x = 1, 2, 3,... , eksponencijalna funkcija je proizvod x faktora:
.
Štoviše, ima svojstva (1,5-8) (), koja proizlaze iz pravila za množenje brojeva. Na nuli i negativne vrijednosti cijelih brojeva , eksponencijalna funkcija određena je formulama (1.9-10). Za frakcijske vrijednosti x = m/n racionalni brojevi, , određuje se formulom (1.11). Za real, eksponencijalna funkcija je definirana kao granica slijeda:
,
gdje je proizvoljan niz racionalnih brojeva koji konvergiraju na x : .
Ovom definicijom eksponencijalna funkcija je definirana za sve i zadovoljava svojstva (1.5-8), kao i za prirodni x .

Stroga matematička formulacija definicije eksponencijalne funkcije i dokaz njezinih svojstava data je na stranici "Definicija i dokaz svojstava eksponencijalne funkcije".

Svojstva eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija y = a x ima sljedeća svojstva na skupu realnih brojeva ():
(1.1) je definiran i kontinuiran, za , za sve ;
(1.2) kada je ≠ 1 ima mnogo značenja;
(1.3) strogo raste na , strogo se smanjuje na ,
je konstantna na ;
(1.4) na ;
na ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Druge korisne formule
.
Formula za pretvaranje u eksponencijalnu funkciju s različitom bazom snage:

Za b = e dobivamo izraz eksponencijalne funkcije u terminima eksponenta:

Privatne vrijednosti

, , , , .

Na slici su prikazani grafovi eksponencijalne funkcije
y (x) = x
za četiri vrijednosti baze stupnjeva:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 i a = 1/8 . Vidi se da za > 1 eksponencijalna funkcija monotono raste. Što je baza stupnja a veća, to je rast jači. Na 0 < a < 1 eksponencijalna funkcija je monotono opadajuća. Kako manje pokazatelj stupanj a, jači je pad.

Uzlazno, silazno

Eksponencijalna funkcija at je strogo monotona, pa nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tablici.

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a je logaritam bazi a.

Ako tada
.
Ako tada
.

Diferencijacija eksponencijalne funkcije

Za diferenciranje eksponencijalne funkcije potrebno je njezinu bazu svesti na broj e, primijeniti tablicu derivacija i pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Da biste to učinili, morate koristiti svojstvo logaritama
i formula iz tablice derivacija:
.

Neka je dana eksponencijalna funkcija:
.
Donosimo ga u bazu e:

Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije. Da bismo to učinili, uvodimo varijablu

Zatim

Iz tablice derivacija imamo (zamijeni varijablu x sa z):
.
Budući da je konstanta, derivacija z u odnosu na x je
.
Prema pravilu diferencijacije složene funkcije:
.

Derivat eksponencijalne funkcije

.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Primjer diferenciranja eksponencijalne funkcije

Pronađite derivaciju funkcije
y= 35 x

Odluka

Osnovicu eksponencijalne funkcije izražavamo brojem e.
3 = e log 3
Zatim
.
Uvodimo varijablu
.
Zatim

Iz tablice izvedenica nalazimo:
.
Ukoliko 5 u 3 je konstanta, tada je derivacija z u odnosu na x:
.
Prema pravilu diferencijacije složene funkcije imamo:
.

Odgovor

Sastavni

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
f (z) = az
gdje je z = x + iy; i 2 = - 1 .
Kompleksnu konstantu a izražavamo u terminima modula r i argumenta φ:
a = r e i φ
Zatim


.
Argument φ nije jednoznačno definiran. NA opći pogled
φ = φ 0 + 2 pn,
gdje je n cijeli broj. Stoga je funkcija f (z) također je dvosmislen. Često se smatra njegovom glavnom važnosti
.

Proširenje u serijama

.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.