Formula za pronalaženje kosinusa između vektora. Točkasti proizvod vektora

Uputa

Neka su na ravnini dana dva vektora različita od nule, nacrtana iz jedne točke: vektor A s koordinatama (x1, y1) B s koordinatama (x2, y2). Injekcija između njih označava se kao θ. Da biste pronašli mjeru stupnja kuta θ, trebate koristiti definiciju skalarnog proizvoda.

Skalarni proizvod dva vektora različita od nule je broj jednak umnošku duljina ovih vektora i kosinusa kuta između njih, odnosno (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Sada trebate izraziti kosinus kuta iz ovoga: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalarni umnožak se također može pronaći pomoću formule (A,B)=x1*x2+y1*y2, budući da je umnožak dva vektori različiti od nule jednak je zbroju proizvoda odgovarajućih vektora. Ako je skalarni umnožak vektora koji nisu nula jednak nuli, tada su vektori okomiti (kut između njih je 90 stupnjeva) i daljnji izračuni se mogu izostaviti. Ako je skalarni proizvod dvaju vektora pozitivan, onda je kut između njih vektora oštar, a ako je negativan, onda je kut tup.

Sada izračunajte duljine vektora A i B koristeći formule: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Duljina vektora izračunava se kao Korijen iz zbroja kvadrata njegovih koordinata.

Zamijenite pronađene vrijednosti skalarnog proizvoda i duljine vektora u formulu za kut dobiven u koraku 2, odnosno, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Sada, znajući vrijednost , pronaći stupanj mjera kuta između vektora trebate koristiti Bradisovu tablicu ili uzeti iz ovoga: θ=arccos(cos(θ)).

Ako su vektori A i B dati u trodimenzionalnom prostoru i imaju koordinate (x1, y1, z1) odnosno (x2, y2, z2), tada se pri pronalaženju kosinusa kuta dodaje još jedna koordinata. U ovom slučaju kosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Koristan savjet

Ako dva vektora nisu nacrtana iz jedne točke, tada da biste pronašli kut između njih paralelnim prevođenjem, trebate kombinirati početke ovih vektora.
Kut između dva vektora ne može biti veći od 180 stupnjeva.

Izvori:

kako izračunati kut između vektora
Kut između linije i ravnine

Za rješavanje mnogih problema, kako primijenjenih tako i teorijskih, u fizici i linearnoj algebri potrebno je izračunati kut između vektora. Ovaj naizgled jednostavan zadatak može uzrokovati mnogo poteškoća ako ne razumijete jasno bit skalarnog proizvoda i koja se vrijednost pojavljuje kao rezultat ovog proizvoda.

Uputa

Kut između vektora u linearnom vektorskom prostoru je minimalni kut pri , pri kojem se postiže kosmjer vektora. Jedan od vektora nosi se oko svoje početne točke. Iz definicije postaje očito da vrijednost kuta ne može biti veća od 180 stupnjeva (vidi korak).

U ovom slučaju, sasvim se ispravno pretpostavlja da se u linearnom prostoru, kada se vektori prenose paralelno, kut između njih ne mijenja. Stoga, za analitički proračun kuta, prostorna orijentacija vektora nije važna.

Rezultat točkastog proizvoda je broj, inače skalar. Zapamtite (ovo je važno znati) kako biste spriječili pogreške u daljnjim izračunima. Formula za skalarni proizvod, koji se nalazi na ravnini ili u prostoru vektora, ima oblik (vidi sliku za korak).

Ako se vektori nalaze u prostoru, izvršite izračun na sličan način. Jedino će se pojaviti termin u dividendi – to je termin za prijavu, t.j. treća komponenta vektora. Sukladno tome, pri izračunavanju modula vektora mora se uzeti u obzir i z komponenta, a zatim se za vektore smještene u prostoru posljednji izraz transformira na sljedeći način (vidi sliku 6. korak).

Vektor je odsječak linije zadanog smjera. Kut između vektora ima fizičko značenje, na primjer, pri pronalaženju duljine projekcije vektora na os.

Uputa

Kut između dva vektora različita od nule pomoću izračuna umnožaka. Po definiciji, umnožak je jednak umnošku duljina i kuta između njih. S druge strane, izračunava se unutarnji umnožak za dva vektora a s koordinatama (x1; y1) i b s koordinatama (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Od ova dva načina, točkasti proizvod je lako postaviti pod kut između vektora.

Pronađite duljine ili module vektora. Za naše vektore a i b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Pronađite unutarnji umnožak vektora množenjem njihovih koordinata u parovima: ab = x1x2 + y1y2. Iz definicije točkastog produkta ab = |a|*|b|*cos α, gdje je α kut između vektora. Tada dobivamo da je x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Tada je cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Pomoću Bradysovih tablica pronađite kut α.

Slični Videi

Bilješka

Skalarni proizvod je skalarna karakteristika duljina vektora i kuta između njih.

Ravnina je jedan od osnovnih pojmova u geometriji. Ravnina je površina za koju je tvrdnja točna - svaka ravna crta koja spaja dvije njezine točke u potpunosti pripada ovoj površini. Zrakoplovi su označeni grčka slovaα, β, γ itd. Dvije ravnine se uvijek sijeku u pravoj liniji koja pripada objema ravninama.

Uputa

Razmotrimo poluravnine α i β formirane na sjecištu . Kut koji čine pravac a i dvije poluravnine α i β diedralnim kutom. U ovom slučaju, poluravnine koje tvore diedarski kut po stranama, pravac a duž koje se ravnine sijeku naziva se bridom diedralni kut.

Diedarski kut, poput ravnog kuta, u stupnjevima. Za izradu diedarskog kuta potrebno je na njegovu licu izabrati proizvoljnu točku O. U obje su dvije zrake a povučene kroz točku O. Rezultirajući kut AOB naziva se linearni kut diedralnog kuta a.

Dakle, neka su dani vektor V = (a, b, c) i ravnina A x + B y + C z = 0, gdje su A, B i C koordinate normale N. Tada je kosinus kuta α između vektora V i N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Da biste izračunali vrijednost kuta u stupnjevima ili radijanima, morate izračunati funkciju inverznu kosinusu iz rezultirajućeg izraza, tj. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Primjer: pronaći injekcija između vektor(5, -3, 8) i avion, zadana općom jednadžbom 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rješenje: zapiši koordinate vektora normale ravnine N = (2, -5, 3). Zamijenite sve poznate vrijednosti u gornjoj formuli: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Slični Videi

Napišite jednadžbu i iz nje izolirajte kosinus. Prema jednoj formuli, skalarni proizvod vektora jednak je njihovim duljinama pomnoženim jedna s drugom i s kosinusom kut, a s druge - zbroj proizvoda koordinata duž svake od osi. Izjednačavajući obje formule, možemo zaključiti da je kosinus kut mora biti jednak omjeru zbroja umnožaka koordinata i umnoška duljina vektora.

Zapišite rezultirajuću jednadžbu. Da bismo to učinili, moramo označiti oba vektora. Recimo da su zadane u 3D kartezijanskom sustavu i njihove su početne točke u mreži. Smjer i veličina prvog vektora dat će se točkom (X₁,Y₁,Z₁), drugog - (X2,Y2,Z₂), a kut će biti označen slovom γ. Tada duljine svakog od vektora mogu biti, na primjer, prema Pitagorinom teoremu za formirane njihovim projekcijama na svaku od koordinatnih osi: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) i √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Zamijenite ove izraze u formulu formuliranu u prethodnom koraku i dobit ćete jednakost: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Koristite činjenicu da je zbroj na kvadrat sinus i co sinus iz kut jedna vrijednost uvijek daje jednu. Dakle, podizanjem onoga što je dobiveno u prethodnom koraku za co sinus kvadrirati i oduzeti od jedinice, a zatim

Prilikom proučavanja geometrije postavljaju se mnoga pitanja na temu vektora. Učenik ima posebne poteškoće kada je potrebno pronaći kutove između vektora.

Osnovni pojmovi

Prije razmatranja kutova između vektora, potrebno je upoznati se s definicijom vektora i pojmom kuta između vektora.

Vektor je segment koji ima smjer, odnosno segment za koji su definirani njegov početak i kraj.

Kut između dva vektora na ravnini koji imaju zajedničko ishodište je manji od kutova za koji se traži da se jedan od vektora pomakne oko zajedničke točke, do položaja u kojem im se smjerovi podudaraju.

Formula rješenja

Kada shvatite što je vektor i kako se određuje njegov kut, možete izračunati kut između vektora. Formula rješenja za to je prilično jednostavna, a rezultat njezine primjene bit će vrijednost kosinusa kuta. Po definiciji, jednak je kvocijentu skalarnog proizvoda vektora i umnoška njihovih duljina.

Skalarni umnožak vektora smatra se zbrojem odgovarajućih koordinata vektora množitelja međusobno pomnoženih. Duljina vektora ili njegov modul izračunava se kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata.

Nakon što ste primili vrijednost kosinusa kuta, možete izračunati vrijednost samog kuta pomoću kalkulatora ili pomoću trigonometrijska tablica.

Primjer

Nakon što shvatite kako izračunati kut između vektora, rješenje odgovarajućeg problema postaje jednostavno i jasno. Kao primjer, razmotrite jednostavan problem pronalaženja veličine kuta.

Prije svega, bit će prikladnije izračunati vrijednosti duljina vektora i njihovog skalarnog proizvoda potrebne za rješavanje. Koristeći gornji opis, dobivamo:

Zamjenom dobivenih vrijednosti u formulu, izračunavamo vrijednost kosinusa željenog kuta:

Ovaj broj nije jedna od pet uobičajenih kosinusnih vrijednosti, pa da biste dobili vrijednost kuta, morat ćete koristiti kalkulator ili Bradisovu trigonometrijsku tablicu. Ali prije dobivanja kuta između vektora, formula se može pojednostaviti da se riješi dodatnog negativnog predznaka:

Konačni odgovor možete ostaviti u ovom obliku kako biste zadržali točnost ili možete izračunati vrijednost kuta u stupnjevima. Prema Bradisovoj tablici, njegova će vrijednost biti približno 116 stupnjeva i 70 minuta, a kalkulator će pokazati vrijednost od 116,57 stupnjeva.

Proračun kuta u n-dimenzionalnom prostoru

Kada se razmatraju dva vektora u trodimenzionalnom prostoru, puno je teže razumjeti o kojem kutu govorimo ako ne leže u istoj ravnini. Da biste pojednostavili percepciju, možete nacrtati dva segmenta koji se sijeku koji tvore najmanji kut između njih i to će biti željeni. Unatoč prisutnosti treće koordinate u vektoru, proces izračunavanja kutova između vektora neće se promijeniti. Izračunajte skalarni proizvod i module vektora, arkkosinus njihovog kvocijenta i bit će odgovor na ovaj problem.

U geometriji se često javljaju problemi s prostorima koji imaju više od tri dimenzije. Ali za njih algoritam za pronalaženje odgovora izgleda slično.

Razlika između 0 i 180 stupnjeva

Jedna od čestih pogrešaka pri pisanju odgovora na problem dizajniran za izračunavanje kuta između vektora je odluka da se zapiše da su vektori paralelni, odnosno da je željeni kut 0 ili 180 stupnjeva. Ovaj odgovor je netočan.

Nakon što smo dobili vrijednost kuta od 0 stupnjeva kao rezultat rješenja, točan odgovor bi bio označiti vektori kao kosmjerne, odnosno vektori će imati isti smjer. U slučaju dobivanja 180 stupnjeva, vektori će biti u prirodi suprotnih smjerova.

Specifični vektori

Pronalaženjem kutova između vektora može se pronaći jedan od posebnih tipova, pored gore opisanih suusmjerenih i suprotno usmjerenih.

Nekoliko vektora paralelnih s jednom ravninom naziva se komplanarno.
Vektori koji su jednaki po duljini i smjeru nazivaju se jednaki.
Vektori koji leže na istoj pravoj liniji, bez obzira na smjer, nazivaju se kolinearni.
Ako je duljina vektora nula, odnosno njegov početak i kraj se podudaraju, onda se naziva nula, a ako je jedan, onda se naziva jedan.

Kut između dva vektora, :

Ako je kut između dva vektora oštar, onda je njihov točkasti proizvod pozitivan; ako je kut između vektora tup, tada je skalarni proizvod ovih vektora negativan. Skalarni umnožak dva vektora različita od nule jednak je nuli ako i samo ako su ti vektori ortogonalni.

Vježbajte. Pronađite kut između vektora i

Odluka. Kosinus željenog kuta

16. Izračunavanje kuta između ravnih linija, ravne i ravnine

Kut između linije i ravnine siječe ovu liniju, a ne okomito na nju je kut između pravca i njegove projekcije na ovu ravninu.

Određivanje kuta između pravca i ravnine omogućuje nam da zaključimo da je kut između pravca i ravnine kut između dva pravca koja se sijeku: samog pravca i njegove projekcije na ravninu. Stoga je kut između pravca i ravnine oštar kut.

Kut između okomite i ravnine smatra se jednakim, a kut između paralelne linije i ravnine uopće nije određen ili se smatra jednakim .

§ 69. Proračun kuta između ravnih linija.

Zadatak izračunavanja kuta između dvije ravne u prostoru rješava se na isti način kao i u ravnini (§ 32). Označimo s φ kut između linija l 1 i l 2 , a kroz ψ - kut između vektora smjera a i b ove ravne linije.

Onda ako

ψ 90° (slika 206.6), tada je φ = 180° - ψ. Očito je da je u oba slučaja istinita jednakost cos φ = |cos ψ|. Formulom (1) § 20 imamo

stoga,

Neka su linije zadane njihovim kanonskim jednadžbama

Tada se pomoću formule određuje kut φ između linija

Ako je jedan od pravaca (ili obje) zadan nekanonskim jednadžbama, tada za izračunavanje kuta trebate pronaći koordinate vektora smjera ovih pravaca, a zatim upotrijebiti formulu (1).

17. Paralelni pravci, Teoremi o paralelnim pravcima

Definicija. Zovu se dva pravca u ravnini paralelno ako nemaju zajedničkih točaka.

Zovu se dvije linije u tri dimenzije paralelno ako leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.

Kut između dva vektora.

Iz definicije točkastog proizvoda:

Uvjet ortogonalnosti dvaju vektora:

Uvjet kolinearnosti za dva vektora:

Slijedi iz definicije 5 - . Doista, iz definicije umnoška vektora brojem, slijedi. Stoga, na temelju pravila vektorske jednakosti, pišemo , , , što implicira . Ali vektor koji nastaje množenjem vektora brojem kolinearan je vektoru.

Vektor-vektorska projekcija:

Primjer 4. Zadane bodove , , , .

Pronađite skalarni proizvod.

Odluka. nalazimo po formuli skalarnog produkta vektora danih njihovim koordinatama. Ukoliko

, ,

Primjer 5 Zadane bodove , , , .

Pronađite projekciju.

Odluka. Ukoliko

, ,

Na temelju formule za projekciju imamo

Primjer 6 Zadane bodove , , , .

Pronađite kut između vektora i .

Odluka. Imajte na umu da vektori

, ,

nisu kolinearni, jer njihove koordinate nisu proporcionalne:

Ovi vektori također nisu okomiti, budući da je njihov točkasti proizvod .

Nađimo,

Injekcija pronađite iz formule:

Primjer 7 Odredi za koje vektore i kolinearna.

Odluka. U slučaju kolinearnosti, odgovarajuće koordinate vektora i mora biti proporcionalan, tj.

Odavde i .

Primjer 8. Odredi pri kojoj vrijednosti vektora i su okomite.

Odluka. Vektor i okomite su ako je njihov točkasti umnožak jednak nuli. Iz ovog uvjeta dobivamo: . To je, .

Primjer 9. Pronaći , ako , , .

Odluka. Zbog svojstava skalarnog proizvoda imamo:

Primjer 10. Pronađite kut između vektora i , gdje i - jedinične vektore i kut između vektora i jednak je 120o.

Odluka. Imamo: , ,

Konačno imamo: .

5 B. vektorski proizvod.

Definicija 21.vektorska umjetnost vektor na vektor naziva se vektor ili , definiran sa sljedeća tri uvjeta:

1) Modul vektora je , gdje je kut između vektora i , tj. .

Iz toga slijedi da je modul vektorskog umnoška numerički jednaka površini paralelogram izgrađen na vektorima i kao na stranicama.

2) Vektor je okomit na svaki od vektora i ( ; ), t.j. okomito na ravninu paralelograma izgrađenog na vektorima i .

3) Vektor je usmjeren na način da ako se gleda s njegovog kraja, tada bi najkraći zaokret od vektora do vektora bio u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (vektori , , tvore desnu trojku).

Kako izračunati kutove između vektora?

Prilikom proučavanja geometrije postavljaju se mnoga pitanja na temu vektora. Učenik ima posebne poteškoće kada je potrebno pronaći kutove između vektora.

Osnovni pojmovi

Prije razmatranja kutova između vektora, potrebno je upoznati se s definicijom vektora i pojmom kuta između vektora.

Vektor je segment koji ima smjer, odnosno segment za koji su definirani njegov početak i kraj.

Formula rješenja

Nakon što ste primili vrijednost kosinusa kuta, možete izračunati vrijednost samog kuta pomoću kalkulatora ili pomoću trigonometrijske tablice.

Primjer

Nakon što shvatite kako izračunati kut između vektora, rješenje odgovarajućeg problema postaje jednostavno i jasno. Kao primjer, razmotrite jednostavan problem pronalaženja veličine kuta.

Prije svega, bit će prikladnije izračunati vrijednosti duljina vektora i njihovog skalarnog proizvoda potrebne za rješavanje. Koristeći gornji opis, dobivamo:

Zamjenom dobivenih vrijednosti u formulu, izračunavamo vrijednost kosinusa željenog kuta:

Proračun kuta u n-dimenzionalnom prostoru

U geometriji se često javljaju problemi s prostorima koji imaju više od tri dimenzije. Ali za njih algoritam za pronalaženje odgovora izgleda slično.

Razlika između 0 i 180 stupnjeva

Specifični vektori

Pronalaženjem kutova između vektora može se pronaći jedan od posebnih tipova, pored gore opisanih suusmjerenih i suprotno usmjerenih.

Nekoliko vektora paralelnih s jednom ravninom naziva se komplanarno.
Vektori koji su jednaki po duljini i smjeru nazivaju se jednaki.
Vektori koji leže na istoj pravoj liniji, bez obzira na smjer, nazivaju se kolinearni.
Ako je duljina vektora nula, odnosno njegov početak i kraj se podudaraju, onda se naziva nula, a ako je jedan, onda se naziva jedan.

Kako pronaći kut između vektora?

pomozi mi molim te! Znam formulu, ali ne mogu je shvatiti
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Aleksandar Titov

Kut između vektora zadanih njihovim koordinatama nalazi se prema standardnom algoritmu. Prvo morate pronaći skalarni umnožak vektora a i b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Ovdje zamjenjujemo koordinate ovih vektora i razmatramo:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Zatim određujemo duljine svakog od vektora. Duljina ili modul vektora je kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata:
|a| = korijen od (x1^2 + y1^2 + z1^2) = korijen od (8^2 + 10^2 + 4^2) = korijen od (64 + 100 + 16) = korijen od 180 = 6 korijena od 5
|b| = kvadratni korijen od (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadratni korijen od (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadratni korijen od (25 + 400 + 100 ) = kvadratni korijen od 525 = 5 korijena od 21.
Te duljine množimo. Dobivamo 30 korijena od 105.
I konačno, dijelimo skalarni umnožak vektora umnoškom duljina ovih vektora. Dobivamo -200 / (30 korijena od 105) ili
- (4 korijena od 105) / 63. Ovo je kosinus kuta između vektora. A sam kut jednak je ark kosinusu ovog broja
f \u003d arccos (-4 korijena od 105) / 63.
Ako sam dobro izbrojao.

Kako izračunati sinus kuta između vektora iz koordinata vektora

Mihail Tkačev

Te vektore množimo. Njihov točkasti produkt jednak je umnošku duljina ovih vektora i kosinusa kuta između njih.
Kut nam je nepoznat, ali su koordinate poznate.
Zapišimo to matematički ovako.
Neka su dati vektori a(x1;y1) i b(x2;y2)
Zatim

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Mi se svađamo.
a*b-skalarni umnožak vektora jednak je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata koordinata ovih vektora, tj. jednak x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-umnožak vektorskih duljina jednak je √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Dakle, kosinus kuta između vektora je:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Poznavajući kosinus kuta, možemo izračunati njegov sinus. Razgovarajmo o tome kako to učiniti:

Ako je kosinus kuta pozitivan, onda taj kut leži u 1 ili 4 četvrtine, pa je njegov sinus pozitivan ili negativan. Ali budući da je kut između vektora manji ili jednak 180 stupnjeva, tada je njegov sinus pozitivan. Slično tvrdimo ako je kosinus negativan.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To je to)))) sretno u shvaćanju)))

Dmitrij Leviščev

Činjenica da je nemoguće izravno sinusirati nije istina.
Osim formule:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Postoji i ovaj:
||=|a|*|b|*grijeh A
To jest, umjesto skalarnog proizvoda, možete uzeti modul vektorskog proizvoda.

"Vektorski skalarni proizvod" - Skalarni proizvod vektora. U jednakostraničnom trokutu ABC sa stranicom 1 povučena je visina BD. Po definiciji, okarakterizirati kut? između vektora i ako: a) b) c) d). Na kojoj je vrijednosti t vektor okomit na vektor ako je (2, -1), (4, 3). Označava se skalarni proizvod vektora i.

"Geometrija 9 razred "Vektori"" - Udaljenost između dvije točke. Najjednostavniji problemi u koordinatama. Provjerite se! Vektorske koordinate. Godine 1903. O. Henrichi je predložio da se skalarni proizvod označi simbolom (a, c). Vektor je usmjereni segment. Dekompozicija vektora u koordinatnim vektorima. Koncept vektora. Dekompozicija vektora na ravnini u dva nekolinearna vektora.

"Vektor rješavanja problema" - Izrazite vektori AM, DA, CA, MB, CD u terminima vektora a i vektora b. № 2 Vektore DP, DM, AC izraziti kroz vektore a i b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Izrazite vektore CK, RK kroz vektore a i b. BE:EC = 3:1. K je sredina DC. VK: KS = 3: 4. Vektore AK, DK izrazi kroz vektore a i b. Primjena vektora u rješavanju problema (1. dio).

"Problemi na vektorima" - Teorem. Pronađite koordinate. Daju se tri boda. Vrhovi trokuta. Pronađite koordinate vektora. Pronađite koordinate točke. Pronađite koordinate i duljinu vektora. Izrazite duljinu vektora. Vektorske koordinate. Vektorske koordinate. Pronađite koordinate vektora. Dani su vektori. Imenujte koordinate vektora. Vektor ima koordinate.

"Metoda koordinata na ravnini" - Crta se kružnica. Okomice. Koordinatna os. Vrijednost sinusa. Pravokutni koordinatni sustav na ravnini. Pronađite koordinate vrha. Razmotrimo primjer. Rješenje ovog problema. Bodovi se daju na ravnini. Vrhovi paralelograma. Proširite vektore. Izračunati. Puno bodova. Riješite grafički sustav jednadžbi.

"Zbrajanje i oduzimanje vektora" - 1. Ciljevi sata. 2. Glavni dio. Vaš vrlo, većina najbolji prijatelj Mjesečar! Naučite oduzimati vektore. 2. Navedite vektor zbroja vektora a i b. Moj prijatelj!! Da vidimo što imamo ovdje. Naši ciljevi: Zaključak. 3. Pregled glave. 4. Popis literature. Putovanje s Lunaticom. Iz točke A odgađamo oba vektora.

Ukupno ima 29 prezentacija u temi