Kako definirati identično jednak izraz. Identitetske transformacije izraza

Osnovna svojstva zbrajanja i množenja brojeva.

Komutativno svojstvo zbrajanja: kada se članovi preurede, vrijednost zbroja se ne mijenja. Za sve brojeve a i b jednakost je istinita

Asocijativno svojstvo zbrajanja: da biste zbroju dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg. Za sve brojeve a, b i c jednakost je istinita

Komutativno svojstvo množenja: permutacija faktora ne mijenja vrijednost proizvoda. Za sve brojeve a, b i c jednakost je istinita

Asocijativno svojstvo množenja: da biste pomnožili umnožak dvaju brojeva s trećim brojem, možete prvi broj pomnožiti umnoškom drugog i trećeg.

Za sve brojeve a, b i c jednakost je istinita

Distributivno svojstvo: Da biste broj pomnožili zbrojem, možete pomnožiti taj broj sa svakim pojmom i zbrojiti rezultate. Za sve brojeve a, b i c jednakost je istinita

Iz komutativnih i asocijativnih svojstava zbrajanja proizlazi da u bilo kojem zbroju možete preurediti članove kako želite i kombinirati ih u grupe na proizvoljan način.

Primjer 1. Izračunajmo zbroj 1,23+13,5+4,27.

Da biste to učinili, prikladno je kombinirati prvi pojam s trećim. dobivamo:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

To proizlazi iz komutativnih i asocijativnih svojstava množenja: u bilo kojem proizvodu možete na bilo koji način preurediti čimbenike i proizvoljno ih kombinirati u skupine.

Primjer 2 Nađimo vrijednost proizvoda 1,8 0,25 64 0,5.

Kombinirajući prvi faktor s četvrtim, a drugi s trećim, imat ćemo:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Svojstvo raspodjele vrijedi i kada se broj pomnoži sa zbrojem tri ili više članova.

Na primjer, za sve brojeve a, b, c i d, jednakost je istinita

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Znamo da se oduzimanje može zamijeniti zbrajanjem tako da se minusedu doda suprotan broj oduzetom:

To omogućuje numerički izraz tip a-b razmotrimo zbroj brojeva a i -b, razmotrimo brojčani izraz oblika a + b-c-d kao zbroj brojeva a, b, -c, -d itd. Razmatrana svojstva radnji vrijede i za takve zbrojeve.

Primjer 3 Nađimo vrijednost izraza 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ovaj izraz je zbroj brojeva 3,27, -6,5, -2,5 i 1,73. Primjenom svojstava zbrajanja dobivamo: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Primjer 4. Izračunajmo umnožak 36·().

Množitelj se može zamisliti kao zbroj brojeva i -. Koristeći distributivno svojstvo množenja, dobivamo:

36()=36-36=9-10=-1.

Identiteti

Definicija. Za dva izraza čije su odgovarajuće vrijednosti jednake za bilo koju vrijednost varijabli kaže se da su identično jednaki.

Definicija. Jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli naziva se identitet.

Nađimo vrijednosti izraza 3(x+y) i 3x+3y za x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Dobili smo isti rezultat. Iz distributivnog svojstva slijedi da su, općenito, za bilo koje vrijednosti varijabli, odgovarajuće vrijednosti izraza 3(x+y) i 3x+3y jednake.

Razmotrimo sada izraze 2x+y i 2xy. Za x=1, y=2 uzimaju jednake vrijednosti:

Međutim, možete odrediti vrijednosti x i y tako da vrijednosti ovih izraza nisu jednake. Na primjer, ako je x=3, y=4, onda

Izrazi 3(x+y) i 3x+3y identično su jednaki, ali izrazi 2x+y i 2xy nisu identično jednaki.

Jednakost 3(x+y)=x+3y, istinita za sve vrijednosti x i y, je identitet.

Prave brojčane jednakosti također se smatraju identitetima.

Dakle, identiteti su jednakosti koje izražavaju glavna svojstva radnji na brojeve:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Mogu se navesti i drugi primjeri identiteta:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identitetske transformacije izraza

Zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim, naziva se identična transformacija ili jednostavno transformacija izraza.

Identične transformacije izraza s varijablama izvode se na temelju svojstava operacija nad brojevima.

Da biste pronašli vrijednost izraza xy-xz s obzirom na vrijednosti x, y, z, trebate izvesti tri koraka. Na primjer, s x=2,3, y=0,8, z=0,2 dobivamo:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ovaj rezultat se može dobiti u samo dva koraka, koristeći izraz x(y-z), koji je identično jednak izrazu xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Pojednostavili smo izračune zamijenivši izraz xy-xz identičnim jednak izraz x(y-z).

Transformacije identiteta izraza naširoko se koriste u izračunavanju vrijednosti izraza i rješavanju drugih problema. Već su izvršene neke identične transformacije, na primjer, redukcija sličnih pojmova, otvaranje zagrada. Prisjetite se pravila za izvođenje ovih transformacija:

da biste donijeli slične pojmove, trebate zbrojiti njihove koeficijente i rezultat pomnožiti zajedničkim slovnim dijelom;

ako se ispred zagrada nalazi znak plus, tada se zagrade mogu izostaviti, zadržavajući predznak svakog pojma u zagradama;

ako se ispred zagrada nalazi znak minus, tada se zagrade mogu izostaviti promjenom predznaka svakog pojma zatvorenog u zagrade.

Primjer 1. Zbrojimo slične članove u zbroju 5x+2x-3x.

Koristimo pravilo za smanjenje sličnih pojmova:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ova se transformacija temelji na distributivnom svojstvu množenja.

Primjer 2 Proširimo zagrade u izrazu 2a+(b-3c).

Primjena pravila za otvaranje zagrada ispred znaka plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Izvršena transformacija temelji se na asocijativnom svojstvu zbrajanja.

Primjer 3 Proširimo zagrade u izrazu a-(4b-c).

Upotrijebimo pravilo za proširene zagrade kojem prethodi znak minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Izvršena transformacija temelji se na distributivnom svojstvu množenja i asocijativnom svojstvu zbrajanja. Pokažimo to. Predstavimo drugi pojam -(4b-c) u ovom izrazu kao proizvod (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Primjenom ovih svojstava akcija dobivamo:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Identitetski izrazi, identitet. Transformacija identiteta izraza. Dokaz o identitetu

Nađimo vrijednosti izraza 2(x - 1) 2x - 2 za zadane vrijednosti varijable x. Rezultate zapisujemo u tablicu:

Može se zaključiti da su vrijednosti izraza 2(x - 1) 2x - 2 za svaki zadanu vrijednost varijabla x međusobno jednaka. Prema distributivnom svojstvu množenja s obzirom na oduzimanje 2(x - 1) = 2x - 2. Stoga će za bilo koju drugu vrijednost varijable x vrijednost izraza 2(x - 1) 2x - 2 također biti jednake jedna drugoj. Takvi se izrazi nazivaju identično jednaki.

Na primjer, izrazi 2x + 3x i 5x su sinonimi, jer za svaku vrijednost varijable x ti izrazi dobivaju iste vrijednosti(ovo proizlazi iz distributivnog svojstva množenja s obzirom na zbrajanje, budući da je 2x + 3x = 5x).

Razmotrimo sada izraze 3x + 2y i 5xy. Ako je x = 1 i b = 1, tada su odgovarajuće vrijednosti ovih izraza jednake jedna drugoj:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Međutim, možete odrediti vrijednosti x i y za koje vrijednosti ovih izraza neće biti jednake jedna drugoj. Na primjer, ako je x = 2; y = 0, dakle

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Posljedično, postoje takve vrijednosti varijabli za koje odgovarajuće vrijednosti izraza 3x + 2y i 5xy nisu međusobno jednake. Stoga izrazi 3x + 2y i 5xy nisu identično jednaki.

Na temelju prethodnog, identiteti su posebno jednakosti: 2(x - 1) = 2x - 2 i 2x + 3x = 5x.

Identitet je svaka jednakost koja je zapisana poznata svojstva radnje na brojeve. Na primjer,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Postoje i jednakosti kao što su identiteti:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Ako smanjimo slične članove u izrazu -5x + 2x - 9, dobivamo da je 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. U ovom slučaju kažu da je izraz 5x + 2x - 9 zamijenjen izrazom 7x - 9, što mu je identično.

Identične transformacije izraza s varijablama izvode se primjenom svojstava operacija na brojeve. Konkretno, identične transformacije s otvaranjem zagrada, konstrukcijom sličnih pojmova i slično.

Identične transformacije potrebno je izvršiti prilikom pojednostavljivanja izraza, odnosno zamjene nekog izraza izrazom koji mu je identično jednak, a koji bi trebao biti kraći.

Primjer 1. Pojednostavite izraz:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Da bi se dokazalo da je jednakost identitet (drugim riječima, da bi se dokazao identitet, koristi se identitetska transformacija izraza.

Identitet možete dokazati na jedan od sljedećih načina:

izvršiti identične transformacije njegove lijeve strane, svodeći je na taj način na oblik desne strane;
izvršiti identične transformacije njegove desne strane, svodeći je na taj način na oblik lijeve strane;
izvršiti identične transformacije oba njegova dijela, podižući tako oba dijela na iste izraze.

Primjer 2. Dokažite identitet:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Razvoj

1) Transformirajmo lijevu stranu ove jednakosti:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - x- 5 - 11 = x - 16.

Identičnim transformacijama izraz na lijevoj strani jednakosti sveden je na oblik desne strane i time dokazano da je ta jednakost identitet.

2) Transformirajmo desnu stranu ove jednakosti:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Identičnim transformacijama desna strana jednakosti svedena je na oblik lijeve strane i time dokazano da je ta jednakost identitet.

3) U ovom slučaju, prikladno je pojednostaviti i lijevi i desni dio jednakosti i usporediti rezultate:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Identičnim transformacijama lijevi i desni dio jednakosti svedeni su na isti oblik: 26x - 44. Dakle, ova jednakost je identitet.

Koji se izrazi nazivaju identičnimi? Navedite primjer identičnih izraza. Koja se jednakost naziva identitetom? Navedite primjer identiteta. Što se naziva transformacija identiteta izraza? Kako dokazati identitet?

(Usmeno) Ili postoje izrazi identično jednaki:

1) 2a + a i 3a;

2) 7x + 6 i 6 + 7x;

3) x + x + x i x 3;

4) 2(x - 2) i 2x - 4;

5) m - n i n - m;

6) 2a ∙ r i 2p ∙ a?

Jesu li izrazi identično jednaki:

1) 7x - 2x i 5x;

2) 5a - 4 i 4 - 5a;

3) 4m + n i n + 4m;

4) a + a i a 2;

5) 3 (a - 4) i 3a - 12;

6) 5m ∙ n i 5m + n?

(Verbalno) Je li identitet jednakosti:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Otvorene zagrade:

Otvorene zagrade:

Smanjite slične pojmove:

Navedite nekoliko izraza koji su identični izrazima 2a + 3a.
Pojednostavite izraz koristeći permutirajuća i konjunktivna svojstva množenja:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Pojednostavite izraz:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Verbalno) Pojednostavite izraz:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Smanjite slične pojmove:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Otvorite zagrade i smanjite slične pojmove:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) ako je x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 ako je a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ako je m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y ako je x = -1, y = 1.

Pojednostavite izraz i pronađite njegovu vrijednost:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4) ako je x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ako je v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ako je a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n ako je m = 1,8; n = -0,9.

Dokazati identitet:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Dokazati identitet:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Duljina jedne od stranica trokuta je cm, a duljina svake druge dvije stranice je 2 cm veća od nje. Napišite opseg trokuta kao izraz i pojednostavite izraz.
Širina pravokutnika je x cm, a duljina je 3 cm veća od širine. Napišite opseg pravokutnika kao izraz i pojednostavite izraz.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Proširite zagrade i pojednostavite izraz:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Dokazati identitet:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

Dokazati identitet:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Dokazati da je vrijednost izraza

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) ne ovisi o vrijednosti varijable.

Dokažite da je za bilo koju vrijednost varijable vrijednost izraza

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

je isti broj.

Dokaži da je zbroj tri uzastopna parna broja djeljiv sa 6.
Dokažite da ako je n prirodan broj, tada je vrijednost izraza -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) paran broj.

Vježbe za ponavljanje

Legura mase 1,6 kg sadrži 15% bakra. Koliko kg bakra sadrži ova legura?
Koliki je postotak njezinog broja 20:

1) kvadrat;

Turist je hodao 2 sata, a vozio se biciklom 3 sata. Ukupno je turist prešao 56 km. Pronađite brzinu kojom je turist vozio bicikl ako je 12 km/h veća od brzine kojom je išao.

Zanimljivi zadaci za lijene učenike

Na gradskom nogometnom prvenstvu sudjeluje 11 ekipa. Svaka ekipa igra po jednu utakmicu s ostalima. Dokažite da u bilo kojem trenutku natjecanja postoji momčad koja je odigrala paran broj utakmica ili još nije odigrala niti jednu.

Razmotrimo dvije jednakosti:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Ova jednakost vrijedi za bilo koju vrijednost varijable a. Raspon valjanih vrijednosti za tu jednakost bit će cijeli skup realnih brojeva.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ova nejednakost vrijedi za sve vrijednosti varijable a, osim za a jednako nuli. Raspon prihvatljivih vrijednosti za ovu nejednakost bit će cijeli skup realnih brojeva, osim nule.

O svakoj od ovih jednakosti može se tvrditi da će ona vrijediti za sve dopuštene vrijednosti varijabli a. Takve se jednadžbe u matematici nazivaju identiteta.

Koncept identiteta

Identitet je jednakost koja vrijedi za sve dopuštene vrijednosti varijabli. Ako se u ovu jednakost umjesto varijabli umetnu bilo koja valjana vrijednost, tada treba dobiti ispravnu numeričku jednakost.

Vrijedi napomenuti da su prave brojčane jednakosti također identiteti. Identiteti će, na primjer, biti svojstva radnji na brojevima.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Ako su dva izraza za bilo koje dopuštene varijable jednaka, tada se takvi izrazi pozivaju identično jednaki. U nastavku su neki primjeri identično jednakih izraza:

1. (a 2) 4 i a 8;

2. a*b*(-a^2*b) i -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) i x 10 .

Uvijek možemo zamijeniti jedan izraz s bilo kojim drugim izrazom koji je identično jednak prvom. Takva zamjena bit će identična transformacija.

Primjeri identiteta

Primjer 1: Jesu li sljedeće jednakosti jednake:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Neće svi od gore navedenih izraza biti identiteti. Od tih jednakosti, samo 1,2 i 3 jednakosti su identiteti. Koje god brojeve u njih zamijenimo, umjesto varijabli a i b, ipak dobivamo točne brojčane jednakosti.

Ali 4 jednakost više nije identitet. Jer neće za sve dopuštene vrijednosti ova jednakost biti ispunjena. Na primjer, s vrijednostima a = 5 i b = 2, dobivate sljedeći rezultat:

Ova jednakost nije istinita, jer broj 3 nije jednak broju -3.

Pretvorbe identiteta posao su koji radimo s numeričkim i abecednim izrazima, kao i s izrazima koji sadrže varijable. Sve te transformacije provodimo kako bismo izvorni izraz doveli u oblik koji će biti prikladan za rješavanje problema. Razmotrit ćemo glavne vrste identičnih transformacija u ovoj temi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Transformacija identiteta izraza. Što je?

Po prvi put se susrećemo s konceptom identičnog transformiranog mi na nastavi algebre u 7. razredu. Tada se prvo upoznajemo s pojmom identično jednakih izraza. Pozabavimo se pojmovima i definicijama kako bismo olakšali asimilaciju teme.

Definicija 1

Transformacija identiteta izraza su radnje koje se izvode kako bi se izvorni izraz zamijenio izrazom koji će biti identično jednak izvornom.

Često se ova definicija koristi u skraćenom obliku, u kojem je riječ "identičan" izostavljena. Pretpostavlja se da u svakom slučaju transformaciju izraza provodimo na način da dobijemo izraz identičan izvornom, a to ne treba posebno isticati.

Ilustrirajmo ovu definiciju primjerima.

Primjer 1

Zamijenimo li izraz x + 3 - 2 na identično jednak izraz x+1, tada provodimo identičnu transformaciju izraza x + 3 - 2.

Primjer 2

Zamjena izraza 2 a 6 izrazom a 3 je transformacija identiteta, dok je zamjena izraza x na izraz x2 nije identična transformacija, budući da izrazi x i x2 nisu identično jednaki.

Skrećemo vam pozornost na formu pisanja izraza pri izvođenju identičnih transformacija. Izvorni izraz i rezultirajući izraz obično zapisujemo kao jednakost. Dakle, pisanje x + 1 + 2 = x + 3 znači da je izraz x + 1 + 2 sveden na oblik x + 3 .

Uzastopno izvršavanje radnji dovodi nas do lanca jednakosti, koji je nekoliko uzastopnih identičnih transformacija. Dakle, oznaku x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x shvaćamo kao sekvencijalnu implementaciju dviju transformacija: prvo, izraz x + 1 + 2 sveden je na oblik x + 3, a svede se na oblik 3 + x.

Transformacije identiteta i ODZ

Brojni izrazi koje počinjemo proučavati u 8. razredu nemaju smisla ni za jednu vrijednost varijabli. Provođenje identičnih transformacija u ovim slučajevima zahtijeva od nas da obratimo pažnju na područje dopuštenih vrijednosti varijabli (ODV). Izvođenje identičnih transformacija može ostaviti ODZ nepromijenjenim ili ga suziti.

Primjer 3

Prilikom izvođenja prijelaza iz izraza a + (−b) na izraz a-b raspon dopuštenih vrijednosti varijabli a i b ostaje isti.

Primjer 4

Prijelaz iz izraza x u izraz x 2 x dovodi do sužavanja raspona prihvatljivih vrijednosti varijable x sa skupa svih realnih brojeva na skup svih realnih brojeva iz kojih je nula isključena.

Primjer 5

Transformacija identiteta izraza x 2 x izraz x dovodi do proširenja raspona valjanih vrijednosti varijable x iz skupa svih realnih brojeva osim nule na skup svih realnih brojeva.

Sužavanje ili proširenje raspona dopuštenih vrijednosti varijabli pri izvođenju identičnih transformacija važno je u rješavanju problema, jer može utjecati na točnost izračuna i dovesti do pogrešaka.

Osnovne transformacije identiteta

Pogledajmo sada što su identične transformacije i kako se izvode. Izdvojimo one vrste identičnih transformacija s kojima se najčešće suočavamo u glavnu skupinu.

Osim osnovnih transformacija identiteta, postoji niz transformacija koje se odnose na izraze određene vrste. Za razlomke su to metode redukcije i redukcije na novi nazivnik. Za izraze s korijenima i potencijama, sve radnje koje se izvode na temelju svojstava korijena i potencija. Za logaritamske izraze, radnje koje se izvode na temelju svojstava logaritama. Za trigonometrijske izraze, sve radnje koje koriste trigonometrijske formule. Sve te posebne transformacije detaljno su obrađene u zasebnim temama koje se mogu pronaći na našem resursu. Iz tog razloga, nećemo se zadržavati na njima u ovom članku.

Prijeđimo na razmatranje glavnih identičnih transformacija.

Preuređenje pojmova, faktori

Počnimo s preuređivanjem pojmova. S tom identičnom transformacijom najčešće se bavimo. A sljedeća izjava može se smatrati glavnim pravilom ovdje: u bilo kojem zbroju, preuređivanje pojmova na mjestima ne utječe na rezultat.

Ovo se pravilo temelji na komutativnim i asocijativnim svojstvima zbrajanja. Ova svojstva nam omogućuju preuređivanje pojmova na mjesta i istodobno dobivanje izraza koji su identično jednaki izvornim. Zato je preuređivanje članova na mjesta u zbroju identična transformacija.

Primjer 6

Imamo zbroj tri člana 3 + 5 + 7 . Ako zamijenimo pojmove 3 i 5, tada će izraz dobiti oblik 5 + 3 + 7. U ovom slučaju postoji nekoliko opcija za preuređivanje pojmova. Svi oni dovode do dobivanja izraza koji su identično jednaki izvornom.

Ne samo brojevi, već i izrazi mogu djelovati kao članovi u zbroju. Oni se, baš kao i brojevi, mogu preurediti bez utjecaja na konačni rezultat izračuna.

Primjer 7

U zbroju tri člana 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 i - 12 a oblika 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) pojmovi se mogu preurediti, na primjer, ovako (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Zauzvrat, možete preurediti članove u nazivniku razlomka 1 a + b, dok će razlomak poprimiti oblik 1 b + a. I izraz pod znakom korijena a 2 + 2 a + 5 je također zbroj u kojem se pojmovi mogu zamijeniti.

Na isti način kao i pojmovi, u izvornim se izrazima mogu zamijeniti čimbenici i dobiti identično ispravne jednadžbe. Ova radnja regulirana je sljedećim pravilom:

Definicija 2

U proizvodu, preuređivanje čimbenika po mjestima ne utječe na rezultat izračuna.

Ovo pravilo temelji se na komutativnim i asocijativnim svojstvima množenja, koji potvrđuju ispravnost identične transformacije.

Primjer 8

Raditi 3 5 7 permutacija faktora može se predstaviti u jednom od sljedećih oblika: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 ili 3 7 5.

Primjer 9

Permutiranjem faktora u umnošku x + 1 x 2 - x + 1 x dobit će x 2 - x + 1 x x + 1

Proširenje nosača

Zagrade mogu sadržavati unose numeričkih izraza i izraza s varijablama. Ti se izrazi mogu transformirati u identično jednake izraze, u kojima uopće neće biti zagrada ili će ih biti manje nego u izvornim izrazima. Ovaj način pretvaranja izraza naziva se proširenje zagrada.

Primjer 10

Provedimo radnje sa zagradama u izrazu oblika 3 + x − 1 x kako bi se dobio identično istinit izraz 3 + x − 1 x.

Izraz 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x može se pretvoriti u identično jednak izraz bez zagrada 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Detaljno smo raspravljali o pravilima za pretvaranje izraza sa zagradama u temi "Proširenje zagrada", koja je objavljena na našem resursu.

Grupiranje pojmova, faktori

U slučajevima kada imamo posla s tri ili više pojmova, možemo posegnuti za takvom vrstom identičnih transformacija kao što je grupiranje pojmova. Pod ovom metodom transformacije podrazumijeva se udruživanje više pojmova u grupu preuređivanjem i stavljanjem u zagrade.

Prilikom grupiranja pojmovi se izmjenjuju na način da su grupirani pojmovi u zapisu izraza jedan pored drugog. Nakon toga se mogu staviti u zagrade.

Primjer 11

Uzmi izraz 5 + 7 + 1 . Ako prvi pojam grupiramo s trećim, dobivamo (5 + 1) + 7 .

Grupiranje čimbenika provodi se slično grupiranju pojmova.

Primjer 12

Na poslu 2 3 4 5 moguće je prvi faktor grupirati s trećim, a drugi faktor s četvrtim, u ovom slučaju dolazimo do izraza (2 4) (3 5). A kada bismo grupirali prvi, drugi i četvrti faktor, dobili bismo izraz (2 3 5) 4.

Pojmovi i faktori koji su grupirani mogu se predstaviti i prostim brojevima i izrazima. Pravila grupiranja detaljno su obrađena u temi "Grupiranje pojmova i čimbenika".

Zamjena razlika zbrojima, parcijalnim produktima i obrnuto

Zamjena razlika zbrojima postala je moguća zahvaljujući našem poznavanju suprotnih brojeva. Sada oduzimanje od broja a brojevima b može se promatrati kao dodatak broju a brojevima −b. Jednakost a − b = a + (− b) može se smatrati poštenim i na temelju toga izvršiti zamjenu razlika iznosima.

Primjer 13

Uzmi izraz 4 + 3 − 2 , u kojem je razlika brojeva 3 − 2 možemo zapisati kao zbroj 3 + (− 2) . Dobiti 4 + 3 + (− 2) .

Primjer 14

Sve razlike u izrazu 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 mogu se zamijeniti zbrojima poput 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Možemo prijeći na zbrojeve iz bilo koje razlike. Slično, možemo napraviti obrnutu zamjenu.

Zamjena dijeljenja množenjem recipročnom vrijednosti djelitelja omogućena je konceptom recipročnih brojeva. Ova se transformacija može zapisati kao a: b = a (b − 1).

Ovo pravilo je bilo temelj pravila za dijeljenje običnih razlomaka.

Primjer 15

Privatna 1 2: 3 5 može se zamijeniti proizvodom oblika 1 2 5 3.

Slično, po analogiji, dijeljenje se može zamijeniti množenjem.

Primjer 16

U slučaju izraza 1+5:x:(x+3) zamijeniti podjelu s x može se pomnožiti sa 1 x. Podjela po x + 3 možemo zamijeniti množenjem sa 1 x + 3. Transformacija nam omogućuje da dobijemo izraz koji je identičan izvornom: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Zamjena množenja dijeljenjem provodi se prema shemi a b = a: (b − 1).

Primjer 17

U izrazu 5 x x 2 + 1 - 3 množenje se može zamijeniti dijeljenjem kao 5: x 2 + 1 x - 3.

Izvođenje radnji s brojevima

Izvođenje operacija s brojevima podliježe pravilu redoslijeda operacija. Prvo se izvode operacije s potencijama brojeva i korijenima brojeva. Nakon toga logaritme, trigonometrijske i druge funkcije zamjenjujemo njihovim vrijednostima. Zatim se izvode radnje u zagradama. I tada već možete izvršiti sve ostale radnje s lijeva na desno. Važno je zapamtiti da se množenje i dijeljenje provode prije zbrajanja i oduzimanja.

Operacije s brojevima omogućuju transformaciju izvornog izraza u identičan njemu jednak.

Primjer 18

Transformirajmo izraz 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x izvodeći sve moguće operacije s brojevima.

Odluka

Prvo, pogledajmo stupanj 2 3 i korijen 4 i izračunaj njihove vrijednosti: 2 3 = 8 i 4 = 2 2 = 2 .

Dobivene vrijednosti zamijenite u izvorni izraz i dobijete: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Sada napravimo zagrade: 8 − 1 = 7 . I prijeđimo na izraz 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Moramo samo napraviti množenje 3 i 7 . Dobivamo: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Odgovor: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operacijama s brojevima mogu prethoditi druge vrste identičnih transformacija, kao što su grupiranje brojeva ili proširene zagrade.

Primjer 19

Uzmi izraz 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Odluka

Prije svega, promijenit ćemo kvocijent u zagradama 6: 3 na njegovo značenje 2 . Dobivamo: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Proširimo zagrade: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Grupirajmo brojčane faktore u proizvodu, kao i pojmove koji su brojevi: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Napravimo zagrade: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Odgovor:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Ako radimo s brojčanim izrazima, onda će svrha našeg rada biti pronaći vrijednost izraza. Ako transformiramo izraze varijablama, onda će cilj naših radnji biti pojednostavljenje izraza.

Stavljanje u zagrade zajedničkog faktora

U slučajevima kada pojmovi u izrazu imaju isti faktor, onda ovaj zajednički faktor možemo izvaditi iz zagrada. Da bismo to učinili, prvo trebamo predstaviti izvorni izraz kao umnožak zajedničkog faktora i izraza u zagradama, koji se sastoji od izvornih pojmova bez zajedničkog faktora.

Primjer 20

Numerički 2 7 + 2 3 možemo izvaditi zajednički faktor 2 izvan zagrada i dobivaju identično ispravan izraz oblika 2 (7 + 3).

Možete osvježiti pamćenje pravila za stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada u odgovarajućem odjeljku našeg resursa. U materijalu se detaljno razmatraju pravila za vađenje zajedničkog faktora iz zagrada i daje brojne primjere.

Smanjenje sličnih pojmova

Prijeđimo sada na zbrojeve koji sadrže slične pojmove. Ovdje su moguće dvije opcije: zbrojevi koji sadrže iste pojmove i zbrojevi čiji se članovi razlikuju po brojčanom koeficijentu. Operacije sa zbrojima koji sadrže slične članove nazivaju se smanjenjem sličnih članova. Provodi se na sljedeći način: zajednički slovni dio stavljamo iz zagrada i izračunavamo zbroj brojčanih koeficijenata u zagradama.

Primjer 21

Razmotrite izraz 1 + 4 x − 2 x. Doslovni dio x možemo izvaditi iz zagrada i dobiti izraz 1 + x (4 − 2). Izračunajmo vrijednost izraza u zagradama i dobijemo zbroj oblika 1 + x · 2 .

Zamjena brojeva i izraza identično jednakim izrazima

Brojevi i izrazi koji čine izvorni izraz mogu se zamijeniti izrazima koji su im identično jednaki. Takva transformacija izvornog izraza dovodi do izraza koji mu je identično jednak.

Primjer 22 Primjer 23

Razmotrite izraz 1 + a5, u kojem stupanj a 5 možemo zamijeniti umnoškom koji mu je identično jednak, na primjer, oblika a 4. Ovo će nam dati izraz 1 + a 4.

Provedena transformacija je umjetna. Ima smisla samo u pripremi za druge transformacije.

Primjer 24

Razmotrimo transformaciju zbroja 4 x 3 + 2 x 2. Ovdje termin 4x3 možemo predstavljati kao proizvod 2 x 2 x 2 x. Kao rezultat, izvorni izraz poprima oblik 2 x 2 2 x + 2 x 2. Sada možemo izolirati zajednički faktor 2x2 i izvadite ga iz zagrada: 2 x 2 (2 x + 1).

Zbrajanje i oduzimanje istog broja

Zbrajanje i oduzimanje istog broja ili izraza u isto vrijeme je tehnika umjetne transformacije izraza.

Primjer 25

Razmotrite izraz x 2 + 2 x. Od njega možemo dodati ili oduzeti jedan, što će nam omogućiti da naknadno izvršimo još jednu identičnu transformaciju - da odaberemo kvadrat binoma: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Dobivši ideju o identitetima, logično je prijeći na upoznavanje. U ovom članku ćemo odgovoriti na pitanje što su identično jednaki izrazi, a također ćemo na primjerima otkriti koji su izrazi identično jednaki, a koji nisu.

Navigacija po stranici.

Što su identično jednaki izrazi?

Definicija identično jednakih izraza data je paralelno s definicijom identiteta. To se događa na satu algebre u 7. razredu. U udžbeniku algebre za 7 razreda, autor Yu. N. Makarychev daje sljedeću formulaciju:

Definicija.

su izrazi čije su vrijednosti jednake za sve vrijednosti varijabli uključenih u njih. Numerički izrazi koji odgovaraju istim vrijednostima također se nazivaju identično jednaki.

Ova definicija se koristi do klase 8, vrijedi za cjelobrojne izraze, budući da imaju smisla za sve vrijednosti varijabli koje su u njima. A u 8. razredu određena je definicija identično jednakih izraza. Objasnimo s čime je to povezano.

U 8. razredu počinje proučavanje drugih vrsta izraza, koji, za razliku od cjelobrojnih izraza, možda nemaju smisla za neke vrijednosti varijabli. Zbog toga je potrebno uvesti definicije dopuštenih i nevažećih vrijednosti varijabli, kao i raspon dopuštenih vrijednosti ODV varijable, te kao rezultat toga pojasniti definiciju identično jednakih izraza.

Definicija.

Pozivaju se dva izraza čije su vrijednosti jednake za sve dopuštene vrijednosti njihovih varijabli identično jednaki izrazi. Za dva brojevna izraza koji imaju istu vrijednost također se kaže da su identično jednaka.

U ovoj definiciji identično jednakih izraza, vrijedno je pojasniti značenje izraza "za sve dopuštene vrijednosti varijabli uključenih u njih". To podrazumijeva sve takve vrijednosti varijabli za koje oba identično jednaka izraza istovremeno imaju smisla. Ova će ideja biti razjašnjena u sljedećem odjeljku razmatranjem primjera.

Definicija identično jednakih izraza u udžbeniku A. G. Mordkovicha data je malo drugačije:

Definicija.

Identični jednaki izrazi su izrazi na lijevoj i desnoj strani identiteta.

U značenju se ova i prethodna definicija podudaraju.

Primjeri identično jednakih izraza

Definicije uvedene u prethodnom pododjeljku omogućuju nam da donesemo primjeri identično jednakih izraza.

Počnimo s identično jednakim brojčanim izrazima. Brojčani izrazi 1+2 i 2+1 identično su jednaki jer odgovaraju jednakim vrijednostima 3 i 3. Izrazi 5 i 30:6 također su identično jednaki, kao i izrazi (2 2) 3 i 2 6 (vrijednosti zadnjih izraza su jednake zbog ). No, numerički izrazi 3+2 i 3−2 nisu identično jednaki, jer odgovaraju vrijednostima 5 i 1, ali nisu jednaki.

Sada dajemo primjere identično jednakih izraza s varijablama. To su izrazi a+b i b+a . Doista, za bilo koje vrijednosti varijabli a i b, pisani izrazi uzimaju iste vrijednosti (što slijedi iz brojeva). Na primjer, s a=1 i b=2 imamo a+b=1+2=3 i b+a=2+1=3 . Za sve ostale vrijednosti varijabli a i b također ćemo dobiti jednake vrijednosti ovih izraza. Izrazi 0·x·y·z i 0 također su identično jednaki za sve vrijednosti varijabli x, y i z. Ali izrazi 2 x i 3 x nisu identično jednaki, jer, na primjer, pri x=1 njihove vrijednosti nisu jednake. Doista, za x=1, izraz 2 x je 2 1=2, a izraz 3 x je 3 1=3.

Kada se područja dopuštenih vrijednosti varijabli u izrazima poklapaju, kao, na primjer, u izrazima a+1 i 1+a, ili a b 0 i 0, ili i, i vrijednosti ovih izraza su jednake za sve vrijednosti varijabli iz ovih područja, onda je ovdje sve jasno - ovi izrazi su identično jednaki za sve dopuštene vrijednosti varijabli uključenih u njih. Dakle, a+1≡1+a za bilo koji a , izrazi a b 0 i 0 su identično jednaki za bilo koje vrijednosti varijabli a i b , a izrazi i su identično jednaki za sve x iz ; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 240 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 17. izd., dodaj. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.