Dom > strojarstvo

Razlika logaritama s istom bazom. Svojstva logaritama i primjeri njihovih rješenja

Kao što znate, kada se množe izrazi s potencijama, njihovi se eksponenti uvijek zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon izveo je Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen je stvorio tablicu cjelobrojnih pokazatelja. Upravo su oni poslužili za daljnje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno zbrajanje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) "b" po njegovoj osnovici "a" smatra se potencijom "c" , na koju se mora podići osnova "a", tako da na kraju dobijemo vrijednost "b". Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, trebate pronaći takav stupanj da od 2 do traženog stupnja dobijete 8. Nakon što ste u mislima napravili neke izračune, dobili smo broj 3! I to s pravom, jer 2 na stepen 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, glavno je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri različite vrste logaritamskih izraza:

  1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
  2. Decimala a, gdje je baza 10.
  3. Logaritam bilo kojeg broja b prema bazi a>1.

Svaki od njih rješava se na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Za dobivanje ispravnih vrijednosti ​​​logaritama treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja se prihvaćaju kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće izdvojiti korijen parnog stupnja iz negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

  • baza "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stupnju uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
  • ako je a > 0, tada a b > 0, ispada da "c" mora biti veći od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dobio je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je jednostavno, trebate odabrati takvu snagu, podižući broj deset na koji dobivamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 \u003d 100.

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobivamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma sve se radnje praktički konvergiraju u pronalaženje stupnja do kojeg se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neke eksponente možete pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, veće vrijednosti zahtijevat će tablicu snage. Mogu ga koristiti čak i oni koji uopće ne razumiju ništa u složenim matematičkim temama. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), gornji red brojeva je vrijednost potencije c, na koju se podiže broj a. Na raskrižju u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanist razumjeti!

Jednadžbe i nejednakosti

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednadžba. Na primjer, 3 4 =81 može se zapisati kao logaritam od 81 do baze 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I također se u izrazu uspoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja u bazi dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je u tome što jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam od 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbe koriste oba raspona od prihvatljive vrijednosti i točke koje krše ovu funkciju. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka na pronalaženju vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega je potrebno jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednadžbi, prvo analizirajmo svako svojstvo detaljnije.

  1. Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veći od 0, nije jednak jedan, a B veći od nule.
  2. Logaritam proizvoda može se predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju preduvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, s primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , zatim a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva stupnjeva ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
  3. Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Teorem u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stupnja logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na pravilnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada a t = b. Podignete li oba dijela na stepen m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n , dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obvezni dio ispita iz matematike. Da biste ušli na sveučilište ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako ispravno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, međutim, određena pravila mogu se primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednadžbu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći oblik. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi potrebno je odrediti koju vrstu logaritma imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje svodi se na činjenicu da morate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodnih logaritama potrebno je primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

  1. Svojstvo logaritma umnoška može se koristiti u zadacima gdje je potrebno veliku vrijednost broja b rastaviti na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stupnja logaritma, uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu, a zatim izvaditi vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci s ispita

Na prijemnim ispitima često se nalaze logaritmi, posebno puno logaritamskih problema na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ti zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši probni dio ispita), već i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva točno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješavanje problema preuzeti su iz službenih verzija ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadan log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

  • Sve logaritme je najbolje svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
  • Svi izrazi pod predznakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se iznese eksponent eksponenta izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.

Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule i dati demonstraciju primjeri rješenja.

Oni sami po sebi podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene logaritamskih formula na rješenje, podsjećamo za vas, prvo sva svojstva:

Sada, na temelju ovih formula (svojstava), prikazujemo primjeri rješavanja logaritama.

Primjeri rješavanja logaritama na temelju formula.

Logaritam pozitivan broj b u bazi a (označen log a b) je eksponent na koji se a mora povisiti da bi se dobilo b, s b > 0, a > 0 i 1.

Prema definiciji log a b = x, što je ekvivalentno a x = b, dakle log a a x = x.

Logaritmi, primjeri:

log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8

log 7 49 = 2 jer 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritam je običan logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.

log 10 100 = 2 jer 10 2 = 100

prirodni logaritam- također uobičajeni logaritamski logaritam, ali s bazom e (e \u003d 2,71828 ... - iracionalan broj). Naveden kao ln.

Poželjno je zapamtiti formule ili svojstva logaritama, jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi. Razradimo svaku formulu ponovno s primjerima.

  • Osnovni logaritamski identitet
    a log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

  • Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Svojstva stupnja logaritamskog broja i baze logaritma

    Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b

    Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    ako je m = n, dobivamo log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Prijelaz na novi temelj
    log a b = log c b / log c a,

    ako je c = b, dobivamo log b b = 1

    tada je log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kao što vidite, formule logaritma nisu tako komplicirane kao što se čine. Sada, nakon razmatranja primjera rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo razmotriti primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!

Ako i dalje imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.

Napomena: odlučio sam se kao opciju školovati na drugom razrednom studiju u inozemstvu.

Logaritam broja N razumom a naziva se eksponent x , na koju trebate podići a da dobijem broj N

Pod uvjetom da
,
,

Iz definicije logaritma proizlazi da
, tj.
- ova jednakost je osnovni logaritamski identitet.

Logaritmi na bazu 10 nazivaju se decimalni logaritmi. Umjesto
pisati
.

osnovni logaritmi e nazivaju se prirodnim i denotiranim
.

Osnovna svojstva logaritama.

    Logaritam jedinice za bilo koju bazu je nula

    Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.

3) Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama


Faktor
naziva se modul prijelaza iz logaritama u bazi a na logaritme u osnovi b .

Koristeći svojstva 2-5, često je moguće svesti logaritam složenog izraza na rezultat jednostavnih aritmetičkih operacija nad logaritmima.

Na primjer,

Takve transformacije logaritma nazivaju se logaritmi. Transformacije recipročne od logaritama nazivaju se potenciranje.

Poglavlje 2. Elementi više matematike.

1. Ograničenja

granica funkcije
je konačan broj A ako, kada se teži xx 0 za svaku unaprijed određenu
, postoji broj
da čim
, onda
.

Funkcija koja ima ograničenje razlikuje se od nje za beskonačno mali iznos:
, gdje je - b.m.w., t.j.
.

Primjer. Razmotrite funkciju
.

Kada se nastoji
, funkcija y ide na nulu:

1.1. Osnovni teoremi o granicama.

    Granica konstantne vrijednosti jednaka je ovoj konstantnoj vrijednosti

.

    Granica zbroja (razlike) konačnog broja funkcija jednaka je zbroju (razlici) granica tih funkcija.

    Granica umnoška konačnog broja funkcija jednaka je umnošku granica tih funkcija.

    Granica kvocijenta dviju funkcija jednaka je kvocijentu granica tih funkcija ako granica nazivnika nije jednaka nuli.

Izvanredne granice

,
, gdje

1.2. Primjeri izračuna ograničenja

Međutim, nisu sve granice izračunate tako lako. Češće se izračun ograničenja svodi na otkrivanje nesigurnosti tipa: ili .

.

2. Derivat funkcije

Neka imamo funkciju
, kontinuirano na segmentu
.

Argument dobio neki poticaj
. Tada će se funkcija povećati
.

Vrijednost argumenta odgovara vrijednosti funkcije
.

Vrijednost argumenta
odgovara vrijednosti funkcije .

Stoga, .

Nađimo granicu ove relacije na
. Ako ova granica postoji, onda se zove derivacija zadane funkcije.

Definicija 3derivacije zadane funkcije
argumentacijom naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada inkrement argumenta proizvoljno teži nuli.

Derivat funkcije
može se označiti na sljedeći način:

; ; ; .

Definicija 4 Operacija pronalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija.

2.1. Mehaničko značenje izvedenice.

Razmotrimo pravocrtno gibanje nekog krutog tijela ili materijalne točke.

Neka u nekom trenutku pokretna točka
bio na udaljenosti iz početne pozicije
.

Nakon nekog vremena
odmaknula se
. Stav =- prosječna brzina materijalne točke
. Nađimo granicu ovog omjera, uzimajući to u obzir
.

Posljedično, određivanje trenutne brzine materijalne točke svodi se na pronalaženje derivacije puta s obzirom na vrijeme.

2.2. Geometrijska vrijednost derivacije

Pretpostavimo da imamo grafički definiranu neku funkciju
.

Riža. 1. Geometrijsko značenje izvedenice

Ako je a
, zatim točka
, kretat će se duž krivulje, približavajući se točki
.

Stoga
, tj. vrijednost derivacije s obzirom na vrijednost argumenta brojčano je jednak tangentu kuta koji formira tangenta u danoj točki s pozitivnim smjerom osi
.

2.3. Tablica osnovnih formula diferencijacije.

Funkcija snage

Eksponencijalna funkcija

logaritamska funkcija

trigonometrijska funkcija

Inverzna trigonometrijska funkcija

2.4. Pravila diferencijacije.

Derivat od

Derivat zbroja (razlike) funkcija


Derivat umnoška dviju funkcija


Derivat kvocijenta dviju funkcija


2.5. Derivat složene funkcije.

Neka funkcija
takav da se može predstaviti kao

i
, gdje je varijabla onda je međuargument

Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku derivacije zadane funkcije s obzirom na međuargument na derivaciju međuargumenata s obzirom na x.

Primjer 1.

Primjer 2.

3. Funkcijski diferencijal.

Neka bude
, diferencibilan na nekom intervalu
Pusti to na ova funkcija ima derivaciju

,

onda možeš pisati

(1),

gdje - beskonačno mala količina,

jer kod

Množenje svih uvjeta jednakosti (1) sa
imamo:

Gdje
- b.m.v. višeg reda.

Vrijednost
naziva se diferencijal funkcije
i označena

.

3.1. Geometrijska vrijednost diferencijala.

Neka funkcija
.

sl.2. Geometrijsko značenje diferencijala.

.

Očito, diferencijal funkcije
jednak je prirastu ordinate tangente u danoj točki.

3.2. Derivati ​​i diferencijali raznih redova.

Ako postoji
, onda
naziva se prvim derivatom.

Derivat prvog izvoda naziva se derivacija drugog reda i piše se
.

Derivat n-tog reda funkcije
naziva se derivacija reda (n-1) i piše se:

.

Diferencijal diferencijala funkcije naziva se drugi diferencijal ili diferencijal drugog reda.

.

.

3.3 Rješavanje bioloških problema pomoću diferencijacije.

Zadatak1. Istraživanja su pokazala da je rast kolonije mikroorganizama u skladu sa zakonom
, gdje N – broj mikroorganizama (u tisućama), t – vrijeme (dani).

b) Hoće li se populacija kolonije povećati ili smanjiti tijekom tog razdoblja?

Odgovor. Kolonija će rasti.

Zadatak 2. Voda u jezeru se povremeno ispituje radi kontrole sadržaja patogenih bakterija. Kroz t dana nakon testiranja, koncentracija bakterija se određuje omjerom

.

Kada će u jezero doći minimalna koncentracija bakterija i kada će se u njemu moći kupati?

Rješenje Funkcija doseže max ili min kada je njezin izvod nula.

,

Odredimo max ili min će biti za 6 dana. Da bismo to učinili, uzimamo drugu izvedenicu.


Odgovor: Nakon 6 dana bit će minimalna koncentracija bakterija.

    Počnimo s svojstva logaritma jedinice. Njegova formulacija je sljedeća: logaritam jedinice jednak je nuli, tj. log a 1=0 za bilo koje a>0, a≠1. Dokaz je jednostavan: budući da je a 0 =1 za bilo koje a koje zadovoljava gornje uvjete a>0 i a≠1, tada dokazana jednakost log a 1=0 odmah slijedi iz definicije logaritma.

    Navedimo primjere primjene razmatranog svojstva: log 3 1=0 , lg1=0 i .

    Prijeđimo na sljedeće svojstvo: logaritam broja jednakog bazi jednak je jedinici, tj. log a a=1 za a>0, a≠1. Doista, budući da je a 1 =a za bilo koji a , onda prema definiciji logaritma log a a=1 .

    Primjeri korištenja ovog svojstva logaritama su log 5 5=1, log 5.6 5.6 i lne=1.

    Na primjer, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 i .

    Logaritam umnoška dva pozitivna broja x i y jednak je umnošku logaritama ovih brojeva: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dokažimo svojstvo logaritma umnoška. Zbog svojstava stupnja a log a x+log a y =a log a x a log a y, a budući da je po glavnom logaritamskom identitetu log a x =x i log a y =y , onda je log a x a log a y =x y . Dakle, log a x+log a y =x y , odakle tražena jednakost slijedi iz definicije logaritma.

    Pokažimo primjere korištenja svojstva logaritma proizvoda: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i .

    Svojstvo logaritma proizvoda može se generalizirati na umnožak konačnog broja n pozitivnih brojeva x 1 , x 2 , …, x n kao log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ova se jednakost lako dokazuje.

    Na primjer, prirodni logaritam proizvoda može se zamijeniti zbrojem tri prirodna logaritma brojeva 4 , e i .

    Logaritam kvocijenta dva pozitivna broja x i y jednaka je razlici logaritama tih brojeva. Svojstvo kvocijentnog logaritma odgovara formuli oblika , gdje su a>0, a≠1, x i y neki pozitivni brojevi. Valjanost ove formule dokazuje se poput formule za logaritam umnoška: budući da , zatim po definiciji logaritma .

    Evo primjera korištenja ovog svojstva logaritma: .

    Idemo dalje na svojstvo logaritma stupnja. Logaritam stupnja jednak je umnošku eksponenta i logaritma modula baze ovog stupnja. Ovo svojstvo logaritma stupnja zapisujemo u obliku formule: log a b p =p log a |b|, gdje su a>0, a≠1, b i p brojevi takvi da stupanj b p ima smisla i b p >0.

    Prvo dokazujemo ovo svojstvo za pozitivno b . Osnovni logaritamski identitet omogućuje nam da broj b predstavimo kao log a b , zatim b p =(a log a b) p , a rezultirajući izraz, zbog svojstva snage, jednak je a p log a b . Tako dolazimo do jednakosti b p =a p log a b , iz koje, po definiciji logaritma, zaključujemo da je log a b p =p log a b .

    Ostaje dokazati ovo svojstvo za negativan b . Ovdje napominjemo da izraz log a b p za negativan b ima smisla samo za parne eksponente p (budući da vrijednost stupnja b p mora biti veća od nule, inače logaritam neće imati smisla), a u ovom slučaju b p =|b| str. Zatim b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odakle log a b p =p log a |b| .

    Na primjer, i ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Iz prethodnog svojstva proizlazi svojstvo logaritma iz korijena: logaritam korijena n-tog stupnja jednak je umnošku razlomka 1/n i logaritma korijenskog izraza, tj. , gdje je a>0, a≠1, n prirodni broj veći od jedan, b>0.

    Dokaz se temelji na jednakosti (vidi ), koja vrijedi za bilo koji pozitivan b , i svojstvu logaritma stupnja: .

    Evo primjera korištenja ovog svojstva: .

    Sada dokažimo formulu pretvorbe u novu bazu logaritma ljubazan . Za to je dovoljno dokazati valjanost jednakosti log c b=log a b log c a . Osnovni logaritamski identitet omogućuje nam da broj b predstavimo kao log a b , zatim log c b=log c a log a b . Ostaje koristiti svojstvo logaritma stupnja: log c a log a b = log a b log c a. Time je dokazana jednakost log c b=log a b log c a, što znači da je dokazana i formula za prijelaz na novu bazu logaritma.

    Pokažimo nekoliko primjera primjene ovog svojstva logaritama: i .

    Formula za prelazak na novu bazu omogućuje vam da prijeđete na rad s logaritmima koji imaju "prikladnu" bazu. Na primjer, može se koristiti za prebacivanje na prirodne ili decimalne logaritme tako da možete izračunati vrijednost logaritma iz tablice logaritama. Formula za prijelaz na novu bazu logaritma također u nekim slučajevima omogućuje pronalaženje vrijednosti zadanog logaritma, kada su poznate vrijednosti nekih logaritama s drugim bazama.

    Često se koristi poseban slučaj formule za prijelaz na novu bazu logaritma za c=b oblika . Ovo pokazuje da su log a b i log b a – . Na primjer, .

    Također se često koristi formula , što je korisno za pronalaženje vrijednosti logaritma. Da bismo potvrdili naše riječi, pokazat ćemo kako se pomoću njega izračunava vrijednost logaritma obrasca. Imamo . Za dokazivanje formule dovoljno je koristiti formulu prijelaza na novu bazu logaritma a: .

    Ostaje dokazati svojstva usporedbe logaritama.

    Dokažimo da za bilo koje pozitivne brojeve b 1 i b 2 , b 1 log a b 2 , a za a>1, nejednakost log a b 1

    Konačno, ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava logaritma. Ograničavamo se na dokazivanje njegovog prvog dijela, odnosno dokazujemo da ako je a 1 >1 , a 2 >1 i a 1 1 je istinit log a 1 b>log a 2 b . Preostale tvrdnje ovog svojstva logaritama dokazuju se sličnim principom.

    Koristimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da za 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je istina. Prema svojstvima logaritama, ove se nejednakosti mogu prepisati kao i odnosno log b a 1 ≤log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2, redom. Tada, prema svojstvima potencija s istim bazama, moraju biti zadovoljene jednakosti b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, odnosno a 1 ≥a 2 . Dakle, došli smo do kontradikcije uvjeta a 1

Bibliografija.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).

U vezi sa

može se postaviti zadatak pronalaženja bilo kojeg od tri broja od druga dva zadana. Zadano je a, a zatim se N nalazi eksponencijacijom. Ako je zadano N i tada se a nađe izvlačenjem korijena potencije x (ili eksponencijaliranja). Sada razmotrite slučaj kada je, za dane a i N, potrebno pronaći x.

Neka je broj N pozitivan: broj a je pozitivan i nije jednak jedinici: .

Definicija. Logaritam broja N prema bazi a je eksponent na koji trebate podići a da biste dobili broj N; logaritam je označen sa

Tako se u jednakosti (26.1) eksponent nalazi kao logaritam od N prema bazi a. Unosi

imaju isto značenje. Jednakost (26.1) ponekad se naziva osnovnim identitetom teorije logaritama; zapravo izražava definiciju pojma logaritma. Prema ovoj definiciji, baza logaritma a je uvijek pozitivna i različita od jedinice; logaritamski broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Može se dokazati da bilo koji broj s danom bazom ima dobro definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan, inače zaključak ne bi bio opravdan, jer je jednakost istinita za sve vrijednosti x i y.

Primjer 1. Pronađite

Odluka. Da biste dobili broj, trebate podići bazu 2 na stepen Stoga.

Prilikom rješavanja takvih primjera možete snimati u sljedećem obliku:

Primjer 2. Pronađite .

Odluka. Imamo

U primjerima 1 i 2 lako smo pronašli željeni logaritam predstavljajući logaritamski broj kao stupanj baze s racionalnim eksponentom. U općem slučaju, na primjer, za itd., to se ne može učiniti, budući da logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pažnju na jedno pitanje vezano uz ovu izjavu. U § 12 dali smo pojam mogućnosti određivanja bilo koje realne snage zadanog pozitivnog broja. To je bilo potrebno za uvođenje logaritama, koji općenito mogu biti iracionalni brojevi.

Razmotrimo neka svojstva logaritama.

Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, tada je logaritam jednak jedinici, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedinici, tada su broj i baza jednaki.

Dokaz. Neka Prema definiciji logaritma, imamo i odakle

Obrnuto, neka Onda po definiciji

Svojstvo 2. Logaritam jedinice bilo koje baze jednak je nuli.

Dokaz. Prema definiciji logaritma (nulta snaga bilo koje pozitivne baze jednaka je jedan, vidi (10.1)). Odavde

Q.E.D.

Obrnuta izjava je također istinita: ako je , tada je N = 1. Doista, imamo .

Prije nego što navedemo sljedeće svojstvo logaritama, slažemo se reći da dva broja a i b leže na istoj strani trećeg broja c ako su oba ili veća od c ili manja od c. Ako je jedan od ovih brojeva veći od c, a drugi manji od c, onda kažemo da leže na suprotnim stranama od c.

Svojstvo 3. Ako broj i baza leže na istoj strani jedinice, tada je logaritam pozitivan; ako broj i baza leže na suprotnim stranama jedinice, tada je logaritam negativan.

Dokaz svojstva 3 temelji se na činjenici da je stupanj a veći od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent pozitivan, ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Stupanj je manji od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent negativan, ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.

Postoje četiri slučaja koja treba razmotriti:

Ograničavamo se na analizu prvog od njih, a ostatak će čitatelj sam razmotriti.

Neka eksponent u jednakosti nije ni negativan ni jednak nuli, dakle, pozitivan je, tj. što je trebalo dokazati.

Primjer 3. Saznajte koji su od sljedećih logaritama pozitivni, a koji negativni:

Rješenje, a) budući da se broj 15 i baza 12 nalaze na istoj strani jedinice;

b) , budući da se 1000 i 2 nalaze na istoj strani jedinice; pritom, nije bitno da je baza veća od logaritamskog broja;

c), budući da 3.1 i 0.8 leže na suprotnim stranama jedinice;

G) ; zašto?

e) ; zašto?

Sljedeća svojstva 4-6 često se nazivaju pravilima logaritma: ona omogućuju, znajući logaritme nekih brojeva, pronaći logaritme njihovog umnoška, ​​količnika, stupnja svakog od njih.

Svojstvo 4 (pravilo za logaritam proizvoda). Logaritam umnoška više pozitivnih brojeva u danoj bazi jednak je zbroju logaritama tih brojeva u istoj bazi.

Dokaz. Neka su dati pozitivni brojevi.

Za logaritam njihovog proizvoda zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:

Odavde nalazimo

Uspoređujući eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobivamo traženu jednakost:

Imajte na umu da je uvjet bitan; logaritam umnoška dva negativna broja ima smisla, ali u ovom slučaju dobivamo

Općenito, ako je umnožak nekoliko čimbenika pozitivan, tada je njegov logaritam jednak zbroju logaritama modula tih faktora.

Svojstvo 5 (pravilo kvocijentnog logaritma). Logaritam kvocijenta pozitivnih brojeva jednak je razlici između logaritama djelitelja i djelitelja, uzetih u istoj bazi. Dokaz. Dosljedno pronađite

Q.E.D.

Svojstvo 6 (pravilo logaritma stupnja). Logaritam potencije bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja puta eksponenta.

Dokaz. Ponovno zapisujemo glavni identitet (26.1) za broj:

Q.E.D.

Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu korijenskog broja podijeljen s eksponentom korijena:

Možemo dokazati valjanost ove posljedice prikazujući kako i koristeći svojstvo 6.

Primjer 4. Logaritam za bazu a:

a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);

b) (pretpostavlja se da ).

Rješenje, a) Zgodno je ovaj izraz prijeći na razlomke:

Na temelju jednakosti (26.5)-(26.7) sada možemo napisati:

Primjećujemo da se nad logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego nad samim brojevima: pri množenju brojeva zbrajaju se njihovi logaritmi, pri dijeljenju oduzimaju itd.

Zato su se logaritmi koristili u računskoj praksi (vidi odjeljak 29).

Radnja inverzna logaritmu naziva se potenciranje, naime: potenciranje je radnja kojom se sam taj broj nalazi zadanim logaritmom broja. U biti, potenciranje nije neka posebna radnja: ono se svodi na podizanje baze na stepen (jednak logaritmu broja). Pojam "potenciranje" može se smatrati sinonimom za izraz "potenciranje".

Prilikom potenciranja potrebno je koristiti pravila koja su inverzna pravilima logaritma: zbroj logaritama zamijeniti logaritmom umnoška, ​​razliku logaritama logaritmom kvocijenta itd. Osobito ako postoji bilo koji faktor ispred predznaka logaritma, tada se tijekom potenciranja mora prenijeti na indikatorske stupnjeve pod znakom logaritma.

Primjer 5. Pronađite N ako je poznato da

Odluka. U vezi s upravo navedenim pravilom potenciranja, faktori 2/3 i 1/3, koji se nalaze ispred predznaka logaritama na desnoj strani ove jednakosti, prenijet će se na eksponente pod predznacima ovih logaritama; dobivamo

Sada zamjenjujemo razliku logaritama logaritmom kvocijenta:

da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, oslobodili smo prethodni razlomak od iracionalnosti u nazivniku (odjeljak 25).

Svojstvo 7. Ako je baza veća od jedan, tada veći broj ima veći logaritam (a manji ima manji), ako je baza manji od jedan, tada veći broj ima manji logaritam (i manji jedan ima veći).

Ovo svojstvo je također formulirano kao pravilo za logaritam nejednakosti, čija su oba dijela pozitivna:

Kod uzimanja logaritma nejednadžbi na bazu veću od jedan, čuva se predznak nejednakosti, a kada se uzima logaritam na bazu manju od jedan, predznak nejednadžbe se obrće (vidi i točku 80).

Dokaz se temelji na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slučaj kada Ako , tada i, uzimajući logaritam, dobivamo

(a i N/M leže na istoj strani jedinice). Odavde

Slijedi slučaj a, čitatelj će to sam shvatiti.

Također preporučujemo
Učitavam...Učitavam...