Tema lekcije: Aritmetičke operacije u pozicionim brojevnim sustavima.

9. razred

Ciljevi lekcije:

didaktički: upoznati učenike sa zbrajanjem, oduzimanjem, množenjem i dijeljenjem u binarnom sustavu te provesti primarnu vježbu vještine izvođenja ovih radnji.

Obrazovni: razviti interes učenika za učenje novih stvari, pokazati mogućnost nestandardnog pristupa proračunima.

Razvijanje: razvijati pažnju, strogost mišljenja, sposobnost rasuđivanja.

Struktura lekcije.

Orgmoment -1 minuta.

Provjera domaće zadaće usmenim testom -15 minuta.

Domaća zadaća -2 minute.

Rješavanje problema uz istovremenu analizu i samostalan razvoj gradiva -25 min.

Sumiranje lekcije -2 minute.

TIJEKOM NASTAVE

Organizacijski trenutak.

Provjera domaće zadaće (usmeni test) .

Učitelj čita pitanja u nizu. Učenici pažljivo slušaju pitanje bez da ga zapisuju. Zapisuje se samo odgovor, i to vrlo kratko. (Ako je moguće odgovoriti jednom riječju, tada se snima samo ova riječ).

Što je brojevni sustav? (-ovo je znakovni sustav u kojem se brojevi zapisuju prema određenim pravilima pomoću znakova neke abecede zvane brojevi )

Koje brojevne sustave poznajete?( nepozicione i pozicijske )

Koji se sustav naziva nepozicijskim? (SCH se naziva nepozicijskim ako kvantitativni ekvivalent (kvantitativna vrijednost) znamenke u broju ne ovisi o njezinom položaju u zapisu broja ).

Što je osnova pozicijskog SSC-a. (jednak broju znamenki koje čine njegovu abecedu )

Koju matematičku operaciju treba koristiti za pretvaranje cijelog broja iz decimalnog NSC u bilo koji drugi? (podjela )

Što je potrebno učiniti da se broj pretvori iz decimalnog u binarni? (Dosljedno podijelite sa 2 )

Koliko će se puta smanjiti broj 11,1 2 kada se zarez pomiče jedan znak ulijevo? (2 puta )

Sada poslušajmo stih o izvanrednoj djevojci i odgovorimo na pitanja. (Zvuči kao stih )

IZVANREDNA DJEVOJKA

Imala je tisuću i sto godina
Išla je u sto prvi razred,
Nosio sam stotinu knjiga u svom portfelju.
Sve je to istina, a ne glupost.

Kad, brišući prašinu s desetak stopa,
Hodala je cestom.
Uvijek ju je pratilo štene
S jednim repom, ali stonogim.

Uhvatila je svaki zvuk
S deset ušiju
I deset preplanulih ruku
Držali su aktovku i povodac.

I deset tamnoplavih očiju
Uobičajeno promatrati svijet,
Ali sve će postati sasvim normalno,
Kad shvatiš moju priču.

/ N. Starikov /

A koliko je djevojčica imala godina? (12 godina ) U koji je razred išla? (5. razred ) Koliko je imala ruku i nogu? (2 ruke, 2 noge ) Kako štene ima 100 nogu? (4 šape )

Nakon završenog testa, učenici sami naglas izgovaraju odgovore, provodi se samoprovjera i učenici sami sebi daju ocjene.

Kriterij:

10 točnih odgovora (možda mala mana) - “5”;

9 ili 8 - "4";

7, 6 – “3”;

ostali su "2".

II. Domaća zadaća (2 minute)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Rad s novim materijalom

Aritmetičke operacije u binarnom sustavu.

Aritmetika binarnog brojevnog sustava temelji se na korištenju tablica zbrajanja, oduzimanja i množenja znamenki. Aritmetički operandi nalaze se u gornjem retku i prvom stupcu tablice, a rezultati su na sjecištu stupaca i redaka:

0

1

1

1

Dodatak.

Tablica binarnog zbrajanja iznimno je jednostavna. Samo u jednom slučaju, kada se izvrši zbrajanje 1 + 1, dolazi do prijenosa na najznačajniji bit.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Oduzimanje.

Kod izvođenja operacije oduzimanja uvijek se od većeg broja u apsolutnoj vrijednosti oduzima manji broj i stavlja se odgovarajući predznak. U tablici oduzimanja, 1 s crticom znači zajam visokog reda. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Množenje

Operacija množenja izvodi se pomoću tablice množenja prema uobičajenoj shemi koja se koristi u dekadskom brojevnom sustavu uz uzastopno množenje množitelja sa sljedećom znamenkom množitelja. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Množenje se svodi na pomake množenika i zbrajanja.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Sažimanje lekcije

Kartica za dodatni rad učenika.

Izvršite aritmetičke operacije:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Dodatak. Zbrajanje brojeva u binarnom brojevnom sustavu temelji se na tablici zbrajanja jednoznamenkastih binarnih brojeva (tablica 6).

Važno je obratiti pažnju na činjenicu da se pri zbrajanju dvije jedinice vrši prijenos na najvišu znamenku. To se događa kada vrijednost broja postane jednaka ili veća od baze brojevnog sustava.

Zbrajanje višeznamenkastih binarnih brojeva vrši se u skladu s gornjom tablicom zbrajanja, uzimajući u obzir moguće prijenose s nižih znamenki na više znamenke. Kao primjer, dodajmo binarne brojeve u stupac:

Provjerimo ispravnost izračuna zbrajanjem u dekadskom brojevnom sustavu. Pretvorimo binarne brojeve u decimalni brojevni sustav i dodajmo ih:

Oduzimanje. Oduzimanje binarnih brojeva temelji se na tablici oduzimanja jednoznamenkastih binarnih brojeva (tablica 7).

Kada se od manjeg broja (0) oduzme veći (1), zajam se daje od najvišeg reda. U tablici je zajam označen s 1 s crticom.

Oduzimanje višeznamenkastih binarnih brojeva provodi se u skladu s ovom tablicom, uzimajući u obzir moguće posudbe u znamenkama višeg reda.

Na primjer, oduzmimo binarne brojeve:

Množenje. Množenje se temelji na tablici množenja jednoznamenkastih binarnih brojeva (tablica 8).

Množenje višeznamenkastih binarnih brojeva provodi se u skladu s ovom tablicom množenja prema uobičajenoj shemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sustavu, uz uzastopno množenje množitelja sa sljedećom znamenkom množitelja. Razmotrimo primjer binarnog množenja

Napomena: Prilikom zbrajanja dva broja jednaka 1, u ovoj znamenki dobiva se 0, a 1. se prenosi na najznačajniju znamenku.

Primjer_21: Dani su brojevi 101 (2) i 11 (2). Pronađite zbroj tih brojeva.

gdje je 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Provjerite: 5+3=8.

Prilikom oduzimanja jedan od 0, jedinica se uzima od najviše najbliže znamenke, koja je različita od 0. Istovremeno, jedinica koja se nalazi u najvišoj znamenki daje 2 jedinice u najmanje značajnoj znamenki i jednu u svim znamenkama između najviše znamenke. i najniže.

Primjer_22: Dani su brojevi 101 (2) i 11 (2). Pronađite razliku između ovih brojeva.

gdje je 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Provjera: 5-3=2.

Operacija množenja svodi se na ponovljeni pomak i zbrajanje.

Primjer_23: Dani su brojevi 11 (2) i 10 (2). Pronađite umnožak tih brojeva.

gdje je 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Provjera: 3*2=6.

Aritmetičke operacije u oktalnom brojevnom sustavu

Prilikom zbrajanja dva broja, čiji je zbroj jednak 8, u ovoj kategoriji dobiva se 0, a 1. se prenosi u najviši red.

Primjer_24: Dani su brojevi 165 (8) i 13 (8). Pronađite zbroj tih brojeva.

gdje je 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Prilikom oduzimanja većeg broja od manjeg broja, od najveće najbliže znamenke uzima se jedinica koja je različita od 0. U isto vrijeme, jedinica zauzeta u najvišoj znamenki daje 8 u znamenki najmanje značajnoj.

Primjer_25: Dani su brojevi 114 (8) i 15 (8). Pronađite razliku između ovih brojeva.

gdje je 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Aritmetičke operacije u heksadecimalnom brojevnom sustavu

Prilikom zbrajanja dva broja, ukupno 16, u ovu kategoriju upisuje se 0, a 1 se prenosi u najviši red.

Primjer_26: Dani su brojevi 1B5 (16) i 53 (16). Pronađite zbroj tih brojeva.

gdje je 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Prilikom oduzimanja većeg broja od manjeg broja, jedinica se uzima od najveće najbliže znamenke koja nije 0. U isto vrijeme, jedinica koja je zauzeta najvišom znamenkom daje 16 u najmanjoj znamenki.

Primjer_27: Dani su brojevi 11A (16) i 2C (16). Pronađite razliku između ovih brojeva.

gdje je 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Računalno kodiranje podataka

Podaci u računalu predstavljeni su kao kod koji se sastoji od jedinica i nula u različitim nizovima.

Kod– skup simbola za prezentiranje informacija. Kodiranje je proces predstavljanja informacija u obliku koda.

Brojčani kodovi

Prilikom izvođenja aritmetičkih operacija u računalu koriste se izravno, obrnuto I dodatni brojčani kodovi.

Izravni kod

Ravnošifra (prikaz u obliku apsolutne vrijednosti sa predznakom) binarnog broja je sam binarni broj u kojem su sve znamenke koje predstavljaju njegovu vrijednost zapisane kao u matematičkom zapisu, a predznak broja kao binarna znamenka.

Cijeli brojevi mogu biti predstavljeni u računalu sa ili bez predznaka.

Neoznačeni cijeli brojevi obično zauzimaju jedan ili dva bajta memorije. Za pohranjivanje potpisanih cijelih brojeva dodjeljuje se jedan, dva ili četiri bajta, dok se najznačajniji (krajnji lijevi) bit dodjeljuje pod predznakom broja. Ako je broj pozitivan, tada se u ovaj bit upisuje 0, ako je negativan onda 1.

Primjer_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Pozitivni brojevi u računalu uvijek su predstavljeni izravnim kodom. Izravna šifra broja potpuno se podudara s unosom samog broja u ćeliju stroja. Izravni kod negativnog broja razlikuje se od izravnog koda odgovarajućeg pozitivnog broja samo sadržajem predznačkog bita.

Izravni kod se koristi kod pohranjivanja brojeva u memoriju računala, kao i kod izvođenja operacija množenja i dijeljenja, ali je format za predstavljanje brojeva u izravnom kodu nezgodan za korištenje u izračunima, jer se obavlja zbrajanje i oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva. drugačije, te je stoga potrebno analizirati bitove predznaka. Stoga se izravni kod praktički ne koristi pri implementaciji aritmetičkih operacija nad cijelim brojevima u ALU. No negativni cijeli brojevi nisu predstavljeni u računalu izravnim kodom. Umjesto ovog formata, formati za predstavljanje brojeva u obrnutom i dodatnim kodovima postali su rašireni.

Obrnuti kod

Obrnuti kod pozitivnog broja poklapa se s izravnim, a pri pisanju negativnog broja sve njegove znamenke, osim znamenke koja predstavlja znak broja, zamjenjuju se suprotnim (0 se zamjenjuje 1, a 1 zamjenjuje se 0 ).

Primjer_29:

Primjer_30:

Za vraćanje izravnog koda negativnog broja iz obrnutog koda, sve znamenke, osim znamenke koja predstavlja znak broja, moraju se zamijeniti suprotnim.

Dodatni kod

Dodatni kod pozitivnog broja poklapa se s izravnim, a kod negativnog broja nastaje dodavanjem 1 inverznom kodu.

Primjer_31:

Primjer_32:

Primjer_33:

Za cijeli broj -32 (10) napišite dodatni kod.

1. Nakon pretvorbe broja 32 (10) u binarni brojevni sustav, dobivamo:

32 (10) =100000 (2) .

2. Izravni kod za pozitivan broj 32 (10) je 0010 0000.

3. Za negativan broj -32 (10), izravni kod je 1010 0000.

4. Obrnuti kod broja -32 (10) je 1101 1111.

5. Dodatni kod broja -32 (10) je 1110 0000.

Primjer_34:

Dodatni kod broja je 0011 1011. Pronađite vrijednost broja u decimalnom zapisu.

1. Prva (značna) znamenka broja 0 011 1011 je 0, pa je broj pozitivan.

2. Za pozitivan broj, dodatni, inverzni i izravni kodovi su isti.

3. Broj u binarnom sustavu dobiva se iz zapisa izravnog koda - 111011 (2) (od najviših znamenki odbacujemo nule).

4. Broj 111011 (2) nakon pretvorbe u decimalni brojevni sustav je 59 (10).

Primjer_35:

Dodatni kod broja je 1011 1011. Pronađite vrijednost broja u decimalnom zapisu.

1. Znak znaka broja 1 011 1011 je 1, pa je broj negativan.

2. Da biste odredili obrnuti kod broja, oduzmite jedan od dodatnog koda. Obrnuti kod je 1 011 1010.

3. Izravni kod se dobiva iz reversa zamjenom svih binarnih znamenki broja suprotnim (1 za 0, 0 za 1). Izravni kod broja je 1 100 0101 (u predznaku upisujemo 1).

4. Broj u binarnom sustavu dobiva se iz zapisa izravnog koda - -100 0101 (2).

4. Broj -1000101 (2) nakon pretvorbe u decimalu jednak je -69 (10).

Slične informacije.

Dom \ Dokumenti \ Za nastavnika informatike

Kada koristite materijale s ove stranice - a postavljanje bannera OBAVEZNO!!!

Binarna aritmetika

Brojevi koje smo navikli koristiti nazivaju se decimalnim, a aritmetika koju koristimo također se naziva decimalna. To je zato što svaki broj može biti sastavljen od skupa znamenki koje sadrže 10 znakova - znamenki - "0123456789".

Matematika se razvila na način da je upravo taj skup postao glavni, ali decimalna aritmetika nije jedina. Ako uzmemo samo pet znamenki, onda na njihovoj osnovi možemo izgraditi peterostruku aritmetiku, od sedam znamenki - sedmerostruku. U područjima znanja vezanih uz računalnu tehnologiju često se koristi aritmetika u kojoj se brojevi sastoje od šesnaest znamenki, odnosno ova se aritmetika naziva heksadecimalna. Da bismo razumjeli što je broj u nedecimalnoj aritmetici, prvo saznamo što je broj u decimalnoj aritmetici.

Uzmimo, na primjer, broj 246. Ovaj unos znači da se u broju nalaze dvije stotine, četiri desetice i šest jedinica. Stoga možemo zapisati sljedeću jednakost:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Ovdje znakovi jednakosti razdvajaju tri načina pisanja istog broja. Za nas je sada najzanimljiviji treći oblik pisanja: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Organizirano je na sljedeći način:

Imamo tri broja. Najviša znamenka "2" ima broj 3. Dakle, množi se s 10 na drugi stepen. Sljedeća znamenka "4" ima serijski broj 2 i u prvoj se množi s 10. Već se vidi da se znamenke množe s deset na stepen jedan manji od rednog broja znamenke. Nakon što smo razumjeli rečeno, možemo zapisati opću formulu za predstavljanje decimalnog broja. Neka postoji broj s N znamenki. I-tu znamenku ćemo označiti sa i. Tada se broj može zapisati u sljedećem obliku: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Ovo je prvi obrazac, a treći obrazac za prijavu će izgledati ovako:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

gdje je a i znak iz skupa "0123456789"

U ovom unosu vrlo je jasno vidljiva uloga deseterice. Deset je osnova za formiranje broja. I inače, zove se "baza brojevnog sustava", a sam brojevni sustav, zbog čega se i zove "decimalni". Naravno, broj deset nema neka posebna svojstva. Lako možemo zamijeniti deset bilo kojim drugim brojem. Na primjer, broj u peteroznamenkastom brojevnom sustavu može se napisati ovako:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

gdje je a i znak iz skupa "01234"

Općenito, 10 zamjenjujemo bilo kojim drugim brojem i dobivamo potpuno drugačiji brojevni sustav i drugačiju aritmetiku. Najjednostavnija aritmetika dobiva se ako se 10 zamijeni s 2. Rezultirajući brojevni sustav naziva se binarnim, a broj u njemu definiran je na sljedeći način:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

gdje je a i znak iz skupa "01"

Ovaj sustav je najjednostavniji od svih mogućih, budući da se u njemu bilo koji broj formira samo od dvije znamenke 0 i 1. Jasno je da nema nigdje jednostavnijeg. Primjeri binarnih brojeva: 10, 111, 101.

Vrlo važno pitanje. Može li se binarni broj predstaviti kao decimalni broj i obrnuto, može li se decimalni broj predstaviti kao binarni broj.

Binarno u decimalno. Vrlo je jednostavno. Metoda takvog prijevoda daje naš način pisanja brojeva. Uzmimo, na primjer, sljedeći binarni broj 1011. Proširimo ga na stupnjeve dvojke. Dobivamo sljedeće:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Izvodimo sve snimljene radnje i dobivamo:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Dakle, dobivamo da je 1011 (binarno) = 11 (decimalno). Odmah možete vidjeti blagu neugodnost binarnog sustava. Isti broj, koji je u decimalnom sustavu zapisan jednim znakom u binarnom sustavu, zahtijeva četiri znaka za njegovo snimanje. Ali ovo je cijena za jednostavnost (ništa se ne događa besplatno). Ali binarni sustav daje ogroman dobitak u aritmetičkim operacijama. A onda ćemo to vidjeti.

Izrazite sljedeće binarne brojeve kao decimalni broj.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Zbrajanje binarnih brojeva.

Metoda zbrajanja po stupcu općenito je ista kao i za decimalni broj. Odnosno, zbrajanje se izvodi bit po bit, počevši od najmanje značajne znamenke. Ako zbrajanjem dviju znamenki dobije se ZBIR veći od devet, tada se upisuje broj = ZBIR-10, a najvišoj znamenki dodaje se CIJELI DIO (SUM / 10). (Dodajte nekoliko brojeva u stupac, zapamtite kako se to radi.) Tako je i s binarnim brojem. Zbrojite malo po malo, počevši od najniže znamenke. Ako ispadne više od 1, tada se upisuje 1 i 1 se dodaje najznačajnijoj znamenki (kažu "to je ludo").

Pokrenimo primjer: 10011 + 10001.

Prvi rang: 1+1 = 2. Zapisujemo 0 i 1 je palo na pamet.

Drugi rang: 1+0+1(zapamćena jedinica) =2. Zapisujemo 0 i 1 nam je palo na pamet.

Treći rang: 0+0+1(zapamćena jedinica) = 1. Upiši 1.

Četvrti rang 0+0=0. Zapisujemo 0.

Peti rang 1+1=2. Zapišemo 0 i dodamo 1 šestom bitu.

Pretvorimo sva tri broja u decimalni sustav i provjerimo ispravnost zbrajanja.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 točna jednakost

Primjeri za neovisno rješenje:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Kako pretvoriti decimalni u binarni. Sljedeća operacija je oduzimanje. Ali s ovom operacijom ćemo se pozabaviti malo kasnije, a sada ćemo razmotriti metodu za pretvaranje decimalnog broja u binarni.

Da bi se decimalni broj pretvorio u binarni, potrebno ga je proširiti u stupnjeve dvojke. Ali ako se ekspanzija u potencijama desetice dobije odmah, tada je potrebno malo razmisliti o tome kako proširiti u potencijama dvojke. Prvo, pogledajmo kako to učiniti metodom odabira. Uzmimo decimalni broj 12.

Prvi korak. 2 2 \u003d 4, ovo nije dovoljno. Također je malo i 2 3 = 8, a 2 4 = 16 je već puno. Pa ostavimo 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Sada trebate predstaviti 4 kao stepen dvojke.

Drugi korak. 4 = 2 2 .

Tada je naš broj 12 = 2 3 + 2 2 . Najviša znamenka ima broj 4, najviši stupanj = 3, stoga bi trebali postojati članovi s potencijama dva 1 i 0. Ali oni nam ne trebaju, pa da bismo se riješili nepotrebnih stupnjeva, a ostavili potrebne jedinice, zapisujemo broj ovako: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - ovo je binarni prikaz broja 12. Lako je vidjeti da svaki sljedeći stepen je najveći stepen dvojke, što je manje od broja koji treba proširiti. Da bismo popravili metodu, pogledajmo još jedan primjer. Broj 23.

Korak 1. Najbliži stepen dvojke je 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

Korak 2. Najbliži stepen dvojke je 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Korak 3. Najbliži stepen dvojke je 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Korak 4. Najbliži stepen od dva 2 0 =1 1 - 1 =0

Dobivamo sljedeću dekompoziciju: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

A naš željeni binarni broj je 10111

Metoda koja je gore razmotrena dobro rješava postavljeni problem, ali postoji metoda koja je puno bolje algoritmizirana. Algoritam za ovu metodu je napisan u nastavku:

Sve dok je NUMBER veći od nule

SLJEDEĆA ZNAMENA \u003d ostatak dijeljenja BROJA s 2

BROJ = cijeli dio BROJA podijeljen s 2

Kada ovaj algoritam završi svoj rad, slijed izračunatih REGULARNIH ZNAMKA predstavljat će binarni broj. Na primjer, poradimo s brojem 19.

Početak algoritma BROJ = 19

SLJEDEĆA ZNANKA = 1

SLJEDEĆA ZNANKA = 1

SLJEDEĆA ZNANKA = 0

SLJEDEĆA ZNANKA = 0

SLJEDEĆA ZNANKA = 1

Dakle, kao rezultat imamo sljedeći broj 10011. Imajte na umu da se dvije razmatrane metode razlikuju po redoslijedu kojim se dobivaju sljedeće znamenke. U prvoj metodi prva primljena znamenka je najviša znamenka binarnog broja, a u drugoj metodi prva primljena znamenka je, naprotiv, najniža.

Pretvorite decimalni u binarni na dva načina

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019.

Kako pretvoriti razlomak u decimalni dio.

Poznato je da se svaki racionalni broj može predstaviti kao decimalni i obični razlomak. Obični razlomak, odnosno razlomak oblika A / B, može biti pravilan i nepravilan. Razlomak se naziva pravim ako je A<В и неправильной если А>U.

Ako je racionalni broj predstavljen nepravilnim razlomkom, a ujedno se brojnik razlomka potpuno podijeli nazivnikom, tada je taj racionalni broj cijeli broj, u svim ostalim slučajevima pojavljuje se razlomak. Razlomak je često vrlo dug broj, pa čak i beskonačan (beskonačan periodični razlomak, na primjer, 20/6), tako da u slučaju razlomka nemamo zadatak samo prevesti jedan prikaz u drugi, već i prevesti s određenom točnošću.

Pravilo točnosti. Pretpostavimo da ste dobili decimalni broj koji se može predstaviti kao decimalni razlomak do N znamenki. Da bi odgovarajući binarni broj bio iste preciznosti, potrebno je u njega upisati M - znakova, tako da

A sada pokušajmo dobiti pravilo prijevoda i prvo razmotrimo primjer 5,401

Riješenje:

Dobit ćemo cjelobrojni dio prema nama već poznatim pravilima, a jednak je binarnom broju 101. A razlomački dio proširujemo po stepenu 2.

Korak 1: 2-2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. je ostatak.

Korak 2: Sada trebamo predstaviti 0,151 kao stepen dvojke. Učinimo ovo: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Dakle, izvorni razlomak može se predstaviti kao 2 -2 +2 -3 . Isto se može zapisati i takvim binarnim brojem: 0,011. Prva brojka razlomka je nula, to je zato što stupanj 2 -1 nema u našoj dekompoziciji.

Iz prvog i drugog koraka jasno je da ovaj prikaz nije točan i možda bi bilo poželjno nastaviti s dekompozicijom. Vratimo se pravilu. Kaže da nam treba toliko znakova M tako da je 10 3 manje od 2 M. To jest, 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

3. korak: Sada radimo s brojem 0,026. Najbliža snaga dva ovom broju je 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 sada je naš precizniji binarni broj 0,011001. Već je šest decimalnih mjesta iza decimalnog zareza, ali to još nije dovoljno pa izvodimo još jedan korak.

4. korak: Sada radimo s brojem 0,010375. Najbliža snaga dva ovom broju je 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

5. korak: Sada radimo s brojem 0,0025625. Najbliža snaga dva ovom broju je 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Posljednji rezultirajući ostatak je manji od 2 -10 i ako bismo se željeli nastaviti približavati izvornom broju, tada bi nam bilo potrebno 2 -11 , ali to već premašuje traženu točnost, pa se izračuni mogu zaustaviti i konačni binarni prikaz razlomni dio se može zapisati.

0,401 = 0,011001101

Kao što vidite, pretvaranje razlomka decimalnog broja u binarni je malo kompliciranije od pretvaranja cjelobrojnog dijela. Tablica potencija dvojke na kraju predavanja.

A sada pišemo algoritam transformacije:

Početni podaci algoritma: Kroz A ćemo označiti izvorni pravi decimalni razlomak napisan u decimalnom obliku. Neka ovaj razlomak sadrži N znakova.

Algoritam

Radnja 1. Odredite broj traženih binarnih znakova M iz nejednadžbe 10 N< 2 M

Korak 2: Izračunajte znamenke binarnog prikaza (znamenke iza nule). Broj znamenke će biti označen simbolom K.

1. Broj znamenke = 1
2. Ako je 2 -K > A

Zatim u zapis binarnog broja dodajemo nulu

• dodaj 1 binarnom broju
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Ako je K > M

• tada je algoritam gotov.
• U suprotnom idite na korak 2.

Pretvori decimalni u binarni

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23,0091

Oduzimanje binarnih brojeva. Također ćemo oduzimati brojeve, koristit ćemo i stupac i opće pravilo je isto kao i za decimalne brojeve, oduzimanje se izvodi bit po bit i ako nema dovoljno jedinice u bitu onda se angažira na starijoj. Riješimo sljedeći primjer:

Prvi rang. 1 - 0 =1. Zapisujemo 1.

Drugi rang 0-1. Nedostaje jedinica. Uzimamo ga u seniorskoj kategoriji. Jedinica iz najviše znamenke prelazi u najmlađu, kao dvije jedinice (jer je najviša znamenka predstavljena dvojkom većeg stupnja) 2-1 \u003d 1. Zapisujemo 1.

Treći rang. Zauzeli smo jedinicu ove znamenke, tako da sada u znamenki 0 postoji potreba da se zauzme jedinica najznačajnije znamenke. 2-1=1. Zapisujemo 1.

Provjerimo rezultat u decimalnom sustavu

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Prava jednakost.

Još jedan zanimljiv način izvođenja oduzimanja povezan je s konceptom komplementa dva, koji vam omogućuje da smanjite oduzimanje na zbrajanje. Ispostavilo se da je broj u dodatnom kodu vrlo jednostavan, uzimamo broj, zamjenjujemo nule jedinicama, obrnuto, zamjenjujemo jedinice nulama i dodajemo jedan najmanje značajnoj znamenki. Na primjer, 10010 bi bilo 011011 u kodu komplementa dvaju.

Pravilo oduzimanja komplementa dvojke kaže da se oduzimanje može zamijeniti zbrajanjem ako se oduzimanje zamijeni brojem u kodu komplementa dvaju.

Primjer: 34 - 22 = 12

Zapišimo ovaj primjer u binarnom obliku. 100010 - 10110 = 1100

Dodatni kod za broj 10110 bit će ovakav

01001 + 00001 = 01010. Tada se izvorni primjer može zamijeniti zbrajanjem poput ovog 100010 + 01010 = 101100 Zatim morate odbaciti jednu jedinicu u najvišem redu. Ako to učinimo, dobivamo 001100. Odbacujemo beznačajne nule i dobivamo 1100, odnosno primjer je točno riješen

Učinite svoja oduzimanja. Na uobičajeni način i u dodatnom kodu, prethodno konvertirajući decimalne brojeve u binarne:

Provjerite pretvaranjem binarnog rezultata u decimalni.

Množenje u binarnom brojevnom sustavu.

Počnimo sa sljedećom zanimljivošću. Da bi se binarni broj pomnožio s 2 (decimalno dva je 10 u binarnom sistemu), dovoljno je pomnoženom broju s lijeve strane dodati jednu nulu.

Primjer. 10101 * 10 = 101010

Ispitivanje.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Ako se prisjetimo da se bilo koji binarni broj može proširiti na stupnjeve dvojke, tada postaje jasno da se množenje u binarnom brojevnom sustavu svodi na množenje s 10 (odnosno s decimalom 2), te je stoga množenje niz uzastopnih smjene. Opće je pravilo da se, kao i kod decimalnih brojeva, binarno množenje izvodi bit po bit. A za svaku znamenku drugog množitelja dodaje se jedna nula desno od prvog množitelja. Primjer (još nije stupac):

1011 * 101 Ovo množenje se može svesti na zbroj tri bitna množenja:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 Ista stvar se može napisati u stupcu ovako:

pregled:

101 = 5 (decimalno)

1011 = 11 (decimalno)

110111 = 55 (decimalno)

5*11 = 55 točna jednakost

Odlučite sami

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Napomena: Usput, tablica množenja u binarnom sustavu sastoji se od samo jedne stavke 1 * 1 = 1

Podjela u binarnom sustavu.

Već smo razmotrili tri akcije i mislim da je već jasno da se, općenito, radnje na binarne brojeve malo razlikuju od akcija na decimalne brojeve. Razlika se pojavljuje samo u činjenici da postoje dvije znamenke, a ne deset, ali to samo pojednostavljuje aritmetičke operacije. Isto je i s dijeljenjem, ali radi boljeg razumijevanja algoritma dijeljenja, analizirat ćemo detaljnije. Pretpostavimo da trebamo podijeliti dva decimalna broja, na primjer 234 podijeljeno sa 7. Kako to radimo.

Desno (od najznačajnije znamenke) dodijelimo toliki broj znamenki da je rezultirajući broj što manji, a ujedno i veći od djelitelja. 2 je manji od djelitelja, dakle, broj koji nam treba je 23. Tada dobiveni broj podijelimo s djeliteljem s ostatkom. Dobivamo sljedeći rezultat:

Opisana operacija se ponavlja sve dok rezultirajući ostatak ne bude manji od djelitelja. Kada se to dogodi, broj dobiven ispod crte je kvocijent, a posljednji ostatak je ostatak operacije. Dakle, operacija dijeljenja binarnog broja izvodi se na potpuno isti način. Pokušajmo

Primjer: 10010111 / 101

Tražimo broj od čijeg bi najvišeg reda prvi bio veći od djelitelja. Ovo je četveroznamenkasti broj 1001. Podebljan je. Sada morate pronaći djelitelj za odabrani broj. I tu opet pobjeđujemo u usporedbi u decimalnom sustavu. Činjenica je da je odabrani djelitelj nužno znamenka, a mi imamo samo dvije znamenke. Budući da je 1001 očito veće od 101, sve je jasno s djeliteljem, ovo je 1. Izvršimo korak operacije.

Dakle, ostatak operacije je 100. Ovo je manje od 101, pa da biste izvršili korak drugog dijeljenja, trebate dodati sljedeću znamenku na 100, to je broj 0. Sada imamo sljedeći broj:

1000 je veće od 101, pa u drugom koraku ponovno dodajemo 1 privatnoj znamenki i dobivamo sljedeći rezultat (da uštedimo prostor, sljedeću znamenku odmah izostavljamo).

Treći korak. Dobiveni broj 110 veći je od 101, pa ćemo ga u ovom koraku upisati u kvocijent 1. Ispast će ovako:

Dobiveni broj 11 manji je od 101, pa ga upisujemo privatnom znamenkom 0 i spuštamo sljedeću znamenku prema dolje. Ispada ovako:

Dobiveni broj je veći od 101, pa broj 1 upisujemo u kvocijent i ponovno izvodimo radnje. Ispada ova slika:

1

0

Rezultirajući ostatak 10 manji je od 101, ali nam je ponestalo znamenki u dividendi, pa je 10 konačni ostatak, a 1110 željeni kvocijent.

Provjerite decimale

Ovime završavamo opis najjednostavnijih aritmetičkih operacija koje trebate znati da biste koristili binarnu aritmetiku, a sada ćemo pokušati odgovoriti na pitanje "Zašto nam je potrebna binarna aritmetika". Naravno, gore je već pokazano da upisivanje broja u binarnom sustavu uvelike pojednostavljuje aritmetičke operacije, ali istovremeno i sam zapis postaje znatno duži, što smanjuje vrijednost dobivenog pojednostavljenja, pa je potrebno pogledati za takve probleme čije je rješenje puno jednostavnije u binarnim brojevima.

Zadatak 1: Dobivanje svih uzoraka

Vrlo često postoje zadaci u kojima morate biti u mogućnosti izgraditi sve moguće kombinacije iz zadanog skupa stavki. Na primjer, takav zadatak:

S obzirom na veliku hrpu kamenja, složite kamenje u dvije hrpe tako da masa ovih dviju hrpa bude što je moguće više ista.

Ovaj zadatak se može formulirati na sljedeći način:

Pronađite uzorak kamenja iz velike hrpe tako da se njegova ukupna masa što je manje moguće razlikuje od polovine mase velike hrpe.

Ima dosta takvih zadataka. I svi se oni svode, kao što je već spomenuto, na mogućnost dobivanja svih mogućih kombinacija (u nastavku ćemo ih nazvati odabirima) iz zadanog skupa elemenata. A sada ćemo razmotriti opću metodu za dobivanje svih mogućih uzoraka pomoću operacije binarnog zbrajanja. Počnimo s primjerom. Neka bude skup od tri stavke. Konstruiramo sve moguće uzorke. Predmeti će biti označeni serijskim brojevima. Odnosno, postoje sljedeće stavke: 1, 2, 3.

Uzorci: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (jedna stotina); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Ako postoji jedan na poziciji sa sljedećim brojem, to znači da je element s brojem jednak ovom položaju prisutan u odabiru, a ako postoji nula, onda element nije prisutan. Na primjer, uzorak(0, 1, 0); sastoji se od jednog elementa s brojem 2, a uzorak je (1, 1, 0); sastoji se od dva elementa s brojevima 1 i 2.

Ovaj primjer jasno pokazuje da se uzorak može predstaviti kao binarni broj. Osim toga, lako je vidjeti da su gore napisani svi mogući jednoznamenkasti, dvoznamenkasti i troznamenkasti binarni brojevi. Prepišimo ih na sljedeći način:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Dobili smo niz uzastopnih binarnih brojeva, od kojih se svaki dobiva od prethodnog zbrajanjem jednog. Možete provjeriti. Koristeći ovu uočenu pravilnost, možemo konstruirati sljedeći algoritam za dobivanje uzoraka.

Početni podaci algoritma

S obzirom na skup predmeta N - komada. U nastavku ćemo ovaj skup nazivati ​​skupom početnih elemenata. Numerirajmo sve elemente izvornog skupa od 1 do N. Napravimo binarni broj od N beznačajnih nula. 0000… 0 N Ovaj nulti binarni broj će označavati nulti uzorak od kojeg će započeti proces uzorkovanja. Znamenke broja se broje s desna na lijevo, odnosno najlijeva znamenka je najznačajnija.

Dogovorimo se da ovaj binarni broj označimo velikim slovima BINARNA

Algoritam

Ako se BINARNI broj u potpunosti sastoji od jedinica

Zatim zaustavljamo algoritam

• BINARNOM broju dodajemo jedan prema pravilima binarne aritmetike.
• Od primljenog BINARNOG broja sastavljamo sljedeći uzorak, kako je gore opisano.

Zadatak 2: Pronalaženje velikih prostih brojeva

Prvo, zapamtite da je prost broj prirodan broj koji je djeljiv samo s 1 i samim sobom. Primjeri prostih brojeva: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Pronalaženje velikih prostih brojeva vrlo je važan matematički problem. Za sigurno šifriranje poruka nekim algoritmima za šifriranje potrebni su veliki prosti brojevi. I nisu potrebni samo veliki brojevi, već vrlo veliki. Što je broj veći, to je šifra na temelju tog broja sigurnija.

Bilješka. Jaka šifra je šifra kojoj je potrebno jako puno vremena za dešifriranje.

Zašto? Prosti broj igra ulogu ključa u šifriranju i dešifriranju. Osim toga, znamo da se prosti brojevi ne pojavljuju baš često u nizu prirodnih brojeva. Među prvih tisuću ima ih dosta, a onda se njihov broj počinje brzo smanjivati. Stoga, ako kao ključ uzmemo ne baš veliki broj, dešifrator će, koristeći čak i ne baš brzo računalo, moći doći do njega (razvrstavanjem svih prostih brojeva jedan za drugim kao ključ) u ograničenom vremenu.

Prilično pouzdan kod može se dobiti ako uzmete jednostavan u kojem, na primjer, 150 znakova. Međutim, pronaći tako jednostavan nije tako lako. Pretpostavimo da neki broj A (vrlo veliki) treba testirati na jednostavnost. Ovo je isto kao i traženje njegovih djelitelja. Ako možemo pronaći djelitelje između 2 i kvadratnog korijena od A, onda nije prost. Procijenimo broj brojeva koje treba provjeriti za sposobnost dijeljenja broja A.

Pretpostavimo da broj A ima 150 znamenki. Njegov kvadratni korijen sadržavat će najmanje 75 znakova. Za sortiranje tolikog broja mogućih djelitelja potrebno nam je vrlo moćno računalo i puno vremena, što znači da je problem praktički nerješiv.

Kako se nositi s tim.

Prvo, možete naučiti brzo provjeriti djeljivost jednog broja drugim, a drugo, možete pokušati odabrati broj A na takav način da je jednostavan s visokim stupnjem vjerojatnosti. Ispada da je to moguće. Matematičar Mersen je otkrio da su brojevi sljedećeg oblika

Jednostavni su s visokim stupnjem vjerojatnosti.

Da bismo razumjeli gore napisanu frazu, izbrojimo koliko je prostih brojeva u prvoj tisuću i koliko je Mersenneovih brojeva u istoj tisuću prostih. Dakle, Mersenovi brojevi u prvoj tisuću su sljedeći:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Prosti brojevi su označeni podebljanim slovima. Ukupno postoji 5 prostih brojeva za 9 Mersenneovih brojeva. Kao postotak, to je 5/9 * 100 \u003d 55,6%. U isto vrijeme, za prvih 1000 prirodnih brojeva postoji samo 169 prostih brojeva. Kao postotak, to je 169/1000 * 100 = 16,9%. To jest, u prvih tisuću, u postotcima, prosti brojevi među Mersenneovim brojevima nalaze se gotovo 4 puta češće nego među jednostavnim prirodnim brojevima.

___________________________________________________________

A sada uzmimo određeni Mersenov broj, na primjer 2 4 - 1. Zapišimo ga kao binarni broj.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Uzmimo sljedeći Mersenov broj 2 5 -1 i zapišimo ga kao binarni broj. Dobivamo sljedeće:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Već je jasno da su svi Mersenneovi brojevi niz jedinica, a sama ta činjenica daje veliki dobitak. Prvo, u binarnom sustavu vrlo je lako dobiti sljedeći Mersenneov broj, dovoljno je sljedećem broju dodati jedan, a drugo, puno je lakše tražiti djelitelje u binarnom sustavu nego u decimalnom.

Brza pretvorba decimalnog u binarnu

Jedan od glavnih problema s korištenjem binarnog brojevnog sustava je poteškoća u pretvaranju decimalnog broja u binarni. Ovo je prilično naporan zadatak. Naravno, nije preteško prevesti male brojeve od tri ili četiri znamenke, ali za decimalne brojeve u kojima ima 5 ili više znamenki to je već teško. Odnosno, potreban nam je način brzog pretvaranja velikih decimalnih brojeva u binarni prikaz.

Ovu metodu je izumio francuski matematičar Legendre. Neka je, na primjer, zadan broj 11183445. Podijelimo ga sa 64, dobijemo ostatak 21 i kvocijent 174741. Ovaj broj ponovno podijelimo sa 64, dobijemo ostatak 21 i kvocijent 2730. Konačno, 2730 podijeljeno sa 64 daje ostatak 42 i kvocijent 42 Ali 64 u binarnom sistemu je 1000000, 21 u binarnom sistemu je 10101, a 42 je 101010, tako da će izvorni broj biti napisan u binarnom obliku na sljedeći način:

101010 101010 010101 010101

Da bude jasnije, još jedan primjer s manjim brojem. Prevedimo binarni prikaz broja 235. Podijelimo 235 sa 64 s ostatkom. dobivamo:

PRIVATE = 3, binarni 11 ili 000011

REZOLUCIJA = 43, binarno 101011

Tada je 235 = 11101011, provjerite ovaj rezultat:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Bilješke:

1. Lako je vidjeti da konačni binarni broj uključuje sve ostatke i, u posljednjem koraku, i ostatak i kvocijent.
2. Kvocijent se piše ispred ostatka.
3. Ako rezultirajući kvocijent ili ostatak ima manje od 6 znamenki u binarnom prikazu (6 nula sadrži binarni prikaz broja 64 = 1000000), tada mu se dodaju beznačajne nule.

I još jedan težak primjer. Broj 25678425.

Korak 1: 25678425 podijeljeno sa 64

Privatno = 401225

Ostatak = 25 = 011001

Korak 2: 401225 podijeljeno sa 64

Privatno = 6269

Ostatak = 9 = 001001

Korak 3: 6269 podijeljeno sa 64

Privatno = 97

Ostatak = 61 = 111101

Korak 4: 97 podijeljeno sa 64

Privatno = 1 = 000001

Ostatak = 33 = 100001

Rezultat broja = 1.100001.111101.001001.011001

U ovom broju, točka razdvaja međurezultate koji su u njemu uključeni.

Pretvori u binarni prikaz broja:

DODATAK: TABLICA 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Mjesto održavanja: 9. razred-3 sat proučavanog dijela
2. Tema sata: Aritmetičke operacije u binarnom sustavu.

Vrsta razreda: predavanje, razgovor, samostalni rad.

Ciljevi lekcije:

didaktički: uvesti pravila za izvođenje računskih operacija (zbrajanje, množenje, oduzimanje) u binarnom brojevnom sustavu.

Obrazovni: usađivanje vještina samostalnosti u radu, odgoja točnosti, discipline.

Razvijanje: razvoj pažnje, pamćenja učenika, razvoj sposobnosti uspoređivanja primljenih informacija.

Interdisciplinarne veze: Matematika:

Razredi obrazovne opreme (oprema):projektor, stol, kartice sa zadacima.

Metodička potpora satu:prezentacija u PowerPointu.

Plan učenja

1. Organizacijski trenutak (2 min).
2. Ponavljanje (10)
3. Objašnjavanje novog materijala (15 min)
4. Konsolidacija prekrivenog materijala (10 min)
5. domaća zadaća
6. Odraz (2 min)
7. Sumiranje (2 min)

Tijekom nastave

1. Organiziranje vremena
2. Ažuriranje znanja.Nastavljamo proučavati temu brojevnog sustava i cilj naše današnje lekcije bit će naučiti kako izvoditi računske operacije u binarnom brojevnom sustavu, naime, s vama ćemo razmotriti pravilo za izvođenje operacija kao što su zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.
3. Provjera znanja (frontalna anketa).

prisjetimo se:

1. Što je brojevni sustav?
2. Što je baza brojevnog sustava?
3. Koja je baza binarnog brojevnog sustava?
4. Navedite koji su brojevi napisani s pogreškama i obrazložite svoj odgovor:
   123 8, 3006 2, 12AAS09 20, 13476 10,
5. Koju bi minimalnu bazu trebao imati brojevni sustav ako se u njega mogu napisati brojevi: 10, 21, 201, 1201
6. Koji je kraj parnog binarnog broja?
   Koja znamenka završava neparnim binarnim brojem?

4 . Proučavanje novog gradiva popraćeno je izlaganjem

/ Prilog 1/

Učitelj objašnjava novu temu na slajdovima prezentacije, učenici bilježe i ispunjavaju zadatke koje je učitelj predložio u bilježnici.

Od svih pozicijskih sustava, binarni brojevni sustav je posebno jednostavan. Razmislite o izvođenju osnovnih aritmetičkih operacija nad binarnim brojevima.

Svi pozicijski brojevni sustavi su "isti", naime u svima se aritmetičke operacije izvode po istim pravilima:

jedan . vrijede isti zakoni aritmetike: komutativni, asocijativni, distributivni;

2. pravila zbrajanja, oduzimanja i množenja stupcem su pravedna;

3. Pravila za izvođenje aritmetičkih operacija temelje se na tablicama zbrajanja i množenja.

Dodatak

Razmotrite primjere zbrajanja.

Prilikom zbrajanja stupca od dvije znamenke s desna na lijevo u binarnom brojevnom sustavu, kao u svakom pozicijskom sustavu, samo jedna može ići na sljedeći bit.

Rezultat zbrajanja dva pozitivna broja ima ili isti broj znamenki kao maksimum od dva člana, ili jednu znamenku više, ali ta znamenka može biti samo jedna.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Oduzimanje

Samostalni rad učenika u bilježnici za učvršćivanje gradiva

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Množenje
Razmotrimo primjere za množenje.

Operacija množenja izvodi se pomoću tablice množenja prema uobičajenoj shemi (koja se koristi u dekadskom brojevnom sustavu) uz uzastopno množenje množitelja sa sljedećom znamenkom množitelja.
Razmotrimo primjere množenja
Prilikom množenja u primjeru 2, tri jedinice se zbrajaju 1+1+1=11 u odgovarajuću znamenku, upisuje se 1, a druga jedinica se prenosi na najvišu znamenku.
U binarnom brojevnom sustavu operacija množenja se svodi na pomake množenika i zbrajanje međurezultata.
Podjela

Operacija dijeljenja izvodi se prema algoritmu sličnom algoritmu operacije dijeljenja u decimalnom brojevnom sustavu.

Razmotrimo primjer dijeljenja

Objedinjavanje (samostalni rad učenika na karticama izvodi se u bilježnici) / Prilog 2 /

Za studente koji su u kratkom roku završili samostalni rad nudi se dodatni zadatak.

5. Domaća zadaća

2. Naučiti pravila za izvođenje aritmetičkih operacija u binarnom brojevnom sustavu, naučiti tablice zbrajanja, oduzimanja, množenja.

3. Prati ove korake:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Odraz

Danas u lekciji za mene je bilo najinformativnije...

Iznenadilo me to…

Mogu primijeniti ono što sam danas naučio na satu...

7. Sažetak lekcije

Danas smo naučili kako izvoditi aritmetičke operacije u binarnom brojevnom sustavu (ocjenjivanje za lekciju).

Naslovi slajdova:

Tema lekcije: "Aritmetičke operacije u pozicionim brojevnim sustavima" Nastavnica informatike Marina Valentinovna Fedorchenko MOU Srednja škola Berezovskaya s okrugom Berezovka Taishet, Irkutska regija Prisjetimo se: Što je brojevni sustav? Što je baza brojevnog sustava? Što je baza binarnog brojevnog sustava? brojevi su zapisani s greškama i opravdavaju odgovor: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Koja je minimalna baza koju brojevni sustav treba imati ako se u njega mogu pisati brojevi: 10, 21, 201 , 1201 Koja znamenka završava parnim binarnim brojem?Koja znamenka završava neparnim binarnim brojem?
Laplace je o svom stavu prema binarnom (binarnom) brojevnom sustavu velikog matematičara Leibniza napisao: “Leibniz je u svojoj binarnoj aritmetici vidio prototip stvaranja. Činilo mu se da jedinica predstavlja božanski princip, a nula - nepostojanje i da vrhovno biće stvara sve od nepostojanja na potpuno isti način kao što jedan i nula u njegovom sustavu izražavaju sve brojeve. Ove riječi naglašavaju univerzalnost abecede koja se sastoji od dva znaka. Svi pozicioni brojevni sustavi su "isti", naime, aritmetičke operacije u svima se izvode po istim pravilima:
vrijede isti zakoni aritmetike: --komutativno (pomak) m + n = n + mm n = n m asocijativno (kombinativno) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k ( mn) k = m (nk) = mnk distributivna (distributivna) (m + n) k = mk + nk
vrijede pravila zbrajanja, oduzimanja i množenja stupcem;
pravila za izvođenje aritmetičkih operacija temelje se na tablicama zbrajanja i množenja.
Zbrajanje u pozicionim brojevnim sustavima Od svih pozicijskih sustava, binarni brojevni sustav je posebno jednostavan. Razmislite o izvođenju osnovnih aritmetičkih operacija nad binarnim brojevima. Svi pozicijski brojevni sustavi su "isti", naime, aritmetičke operacije u svima se izvode po istim pravilima: vrijede ista: komutativni, asocijativni, distributivni; pravila zbrajanja, oduzimanja i množenja stupcem su vrijedi; pravila za izvođenje aritmetičkih operacija temelje se na tablicama zbrajanja i množenja.
Prilikom zbrajanja stupca od dvije znamenke s desna na lijevo u binarnom brojevnom sustavu, kao u svakom pozicijskom sustavu, samo jedna može ići na sljedeći bit. Rezultat zbrajanja dva pozitivna broja ima ili isti broj znamenki kao maksimum od dva člana, ili jednu znamenku više, ali ta znamenka može biti samo jedna. Razmotrite primjere Sami riješite primjere:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
Prilikom izvođenja operacije oduzimanja uvijek se od većeg broja u apsolutnoj vrijednosti oduzima manji broj i na rezultat se stavlja odgovarajući znak.
Oduzimanje Razmotrite primjere Primjeri:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Množenje u pozicionim brojevnim sustavima Operacija množenja se izvodi pomoću tablice množenja prema uobičajenoj shemi (koja se koristi u dekadskom brojevnom sustavu) uz uzastopno množenje množitelja sa sljedećom znamenkom množenja.Razmotrimo primjere množenja. Pogledajmo primjere Pogledajmo primjer dijeljenja
Riješimo primjere:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Domaća zadaća 1.&3.1.22.Učiti pravila za izvođenje računskih operacija u binarnom sustavu,učiti tablice zbrajanja, oduzimanja, množenja.3. Učinite sljedeće: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Refleksija Danas u lekciji za mene je bilo najinformativnije ... Iznenadilo me da ... danas stečeno znanje mogu primijeniti na lekciji ...