“, odnosno jednadžbe prvog stupnja. U ovoj lekciji ćemo istražiti što je kvadratna jednadžba i kako to riješiti.

Što je kvadratna jednadžba

Važno!

Stupanj jednadžbe određen je najvišim stupnjem do kojeg stoji nepoznata.

Ako je maksimalni stupanj do kojeg stoji nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednadžbu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Važno! Opći oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" i "c" - dati brojevi.

• "a" - prvi ili viši koeficijent;
• "b" - drugi koeficijent;
• "c" je slobodan član.

Da biste pronašli "a", "b" i "c" Morate usporediti svoju jednadžbu s općim oblikom kvadratne jednadžbe "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednadžbama.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednadžba	Izgledi
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearnih jednadžbi za rješavanje kvadratne jednadžbe poseban formula za pronalaženje korijena.

Zapamtiti!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

• dovesti kvadratnu jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0". To jest, samo "0" treba ostati na desnoj strani;
• koristite formulu za korijenje:

Uzmimo primjer da shvatimo kako primijeniti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Riješimo kvadratnu jednadžbu.

X 2 - 3x - 4 = 0

Jednadžba "x 2 - 3x - 4 = 0" već je svedena na opći oblik "ax 2 + bx + c = 0" i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, trebamo se samo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Definirajmo koeficijente "a", "b" i "c" za ovu jednadžbu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uz njegovu pomoć rješava se svaka kvadratna jednadžba.

U formuli "x 1; 2 \u003d" korijenski izraz se često zamjenjuje
"b 2 − 4ac" na slovo "D" i naziva se diskriminantnim. Pojam diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji „Što je diskriminant“.

Razmotrimo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente "a", "b" i "c". Najprije dovedemo jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijenje.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada u kvadratnim jednadžbama nema korijena. Ova situacija se događa kada se u formuli ispod korijena pojavi negativan broj.

Nastavljamo proučavati temu rješenje jednadžbi". Već smo se upoznali s linearnim jednadžbama, a sada ćemo se upoznati s kvadratne jednadžbe.

Prvo ćemo analizirati što je kvadratna jednadžba, kako je napisana opći pogled, i dati povezane definicije. Nakon toga ćemo na primjerima detaljno analizirati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Zatim prelazimo na rješavanje potpunih jednadžbi, dobivamo formulu za korijene, upoznajemo se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmatramo rješenja tipičnih primjera. Konačno, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Što je kvadratna jednadžba? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti što je kvadratna jednadžba. Stoga je logično govoriti o kvadratnim jednadžbama definicijom kvadratne jednadžbe, kao i definicijama vezanim uz nju. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: reducirane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a se razlikuje od nule.

Recimo odmah da se kvadratne jednadžbe često nazivaju jednadžbama drugog stupnja. To je zato što je kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Zvučna definicija omogućuje nam davanje primjera kvadratnih jednadžbi. Dakle 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a , b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0, a koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b je drugi koeficijent ili koeficijent na x, a c je slobodni član.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu oblika 5 x 2 −2 x−3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je −2, a slobodni član je −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo navedenom primjeru, onda kratki oblik zapisivanje kvadratne jednadžbe oblika 5 x 2 −2 x−3=0 , a ne 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, tada oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu kvadratne jednadžbe, što je zbog osobitosti zapisa takvog . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0, vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent na y je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Ovisno o vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Dajemo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 naziva se reducirana kvadratna jednadžba. Inače, kvadratna jednadžba je nesveden.

Prema ovoj definiciji, kvadratne jednadžbe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, itd. - smanjen, u svakom od njih prvi koeficijent jednako jednom. I 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe, njihovi vodeći koeficijenti su različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem oba njezina dijela s vodećim koeficijentom, možete prijeći na smanjenu. Ova radnja je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobivena reducirana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao izvorna nereducirana kvadratna jednadžba ili, poput nje, nema korijena.

Uzmimo primjer kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe u reduciranu.

Primjer.

Iz jednadžbe 3 x 2 +12 x−7=0 prijeđite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednadžbu.

Riješenje.

Dovoljno nam je izvršiti dijeljenje oba dijela izvorne jednadžbe s vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, pa možemo izvršiti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto kao (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, i tako dalje (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , odakle . Tako smo dobili reduciranu kvadratnu jednadžbu, koja je ekvivalentna izvornoj.

Odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

U definiciji kvadratne jednadžbe postoji uvjet a≠0. Ovaj uvjet je neophodan kako bi jednadžba a x 2 +b x+c=0 bila točno kvadratna, budući da s a=0 zapravo postaje linearna jednadžba oblika b x+c=0 .

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, kako odvojeno tako i zajedno. U tim se slučajevima kvadratna jednadžba naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednadžba a x 2 +b x+c=0 zove se nepotpun, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Ova imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz sljedeće rasprave.

Ako je koeficijent b jednak nuli, tada kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +0 x+c=0 , a ekvivalentna je jednadžbi a x 2 +c=0 . Ako je c=0 , odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +b x+0=0 , tada se može prepisati kao x 2 +b x=0 . A s b=0 i c=0 dobivamo kvadratnu jednadžbu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednadžbe razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s varijablom x, ni slobodni član, ni oboje. Otuda njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednadžbe x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednadžbi, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz podataka iz prethodnog stavka proizlazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 kada je b=0;
• i a x 2 +b x=0 kada je c=0 .

Analizirajmo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svake od ovih vrsta.

a x 2 \u003d 0

Počnimo s rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno s jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednadžba a x 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0, koja se dobiva iz originala dijeljenjem njezina oba dijela brojem a koji nije nula. Očito je korijen jednadžbe x 2 = 0 nula, budući da je 0 2 = 0. Ova jednadžba nema druge korijene, što je objašnjeno, doista, za bilo koji broj p različit od nule, postoji nejednakost p 2 >0, što implicira da se za p≠0 jednakost p 2 =0 nikada ne postiže.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 \u003d 0 ima jedan korijen x \u003d 0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4·x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0, njen jedini korijen je x \u003d 0, stoga izvorna jednadžba također ima jednu korijensku nulu.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se izdati na sljedeći način:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sada razmotrite kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b jednak nuli, a c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da prijenos člana s jedne strane jednadžbe na drugu s suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednadžbe brojem koji nije nula, daju ekvivalentnu jednadžbu. Stoga se mogu provesti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

• pomaknite c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 =−c,
• i podijeliti oba njegova dijela po a , dobivamo .

Rezultirajuća jednadžba omogućuje nam da izvučemo zaključke o njezinim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, onda ) ili pozitivna, (na primjer, ako je a=−2 i c=6 , tada ), nije jednako nuli , jer po uvjetu c≠0 . Zasebno ćemo analizirati slučajeve i .

Ako , tada jednadžba nema korijena. Ova izjava proizlazi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , Tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , tada je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se prisjetimo, tada korijen jednadžbe odmah postaje očit, to je broj, budući da. Lako je pogoditi da je broj također korijen jednadžbe , Dapače, . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može pokazati, na primjer, proturječjem. Učinimo to.

Označimo upravo glasovne korijene jednadžbe kao x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednadžba ima drugi korijen x 2 različit od navedenih korijena x 1 i −x 1 . Poznato je da zamjena u jednadžbu umjesto x njezinih korijena pretvara jednadžbu u pravu brojčanu jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo , a za x 2 imamo . Svojstva brojčanih jednakosti omogućuju nam da izvodimo oduzimanje po članu pravih brojčanih jednakosti, pa oduzimanje odgovarajućih dijelova jednakosti daje x 1 2 − x 2 2 =0. Svojstva operacija s brojevima omogućuju nam da prepišemo rezultirajuću jednakost kao (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Znamo da je umnožak dvaju brojeva jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz dobivene jednakosti proizlazi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0 , što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 = −x 1 . Tako smo došli do kontradikcije, budući da smo na početku rekli da je korijen jednadžbe x 2 različit od x 1 i −x 1 . To dokazuje da jednadžba nema druge korijene osim i .

Sumirajmo informacije u ovom odlomku. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi , koja

• nema korijena ako,
• ima dva korijena i ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0 .

Počnimo s kvadratnom jednadžbom 9 x 2 +7=0 . Nakon prijenosa slobodnog člana na desnu stranu jednadžbe, on će poprimiti oblik 9·x 2 =−7. Dijelimo obje strane rezultirajuće jednadžbe s 9 , dolazimo do . Budući da se na desnoj strani dobiva negativan broj, ova jednadžba nema korijena, stoga izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7=0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednadžbu −x 2 +9=0. Prenosimo devet na desnu stranu: -x 2 \u003d -9. Sada oba dijela podijelimo s −1, dobivamo x 2 =9. Desna strana sadrži pozitivan broj, iz čega zaključujemo da ili . Nakon što zapišemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednadžba −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje pozabaviti se rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0 . Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 +b x=0 omogućuju rješavanje metoda faktorizacije. Očito možemo, smješteni na lijevoj strani jednadžbe, za što je dovoljno uzeti zajednički faktor x iz zagrada. To nam omogućuje da prijeđemo s izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe na ekvivalentnu jednadžbu oblika x·(a·x+b)=0 . A ova jednadžba je ekvivalentna skupu dviju jednadžbi x=0 i a x+b=0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +b x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Kako bismo konsolidirali gradivo, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Riješenje.

Izvlačimo x iz zagrada, to daje jednadžbu. To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Rješavamo rezultirajuću linearnu jednadžbu: , i dijelimo mješoviti broj sa obični razlomak, pronašli smo . Stoga su korijeni izvorne jednadžbe x=0 i .

Nakon što ste dobili potrebnu praksu, rješenja takvih jednadžbi mogu se ukratko napisati:

Odgovor:

x=0 , .

Diskriminant, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Zapišimo formula korijena kvadratne jednadžbe: , gdje D=b 2 −4 a c- tzv diskriminanta kvadratne jednadžbe. Zapis u biti znači da .

Korisno je znati kako je dobivena formula korijena i kako se ona primjenjuje u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Pozabavimo se ovim.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu a·x 2 +b·x+c=0 . Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

• Oba dijela ove jednadžbe možemo podijeliti brojem a koji nije nula, kao rezultat dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu.
• Sada odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik.
• U ovoj fazi moguće je izvršiti prijenos posljednja dva člana na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
• I transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednadžbe , koja je ekvivalentna izvornoj kvadratnoj jednadžbi a·x 2 +b·x+c=0 .

Jednadžbe slične forme već smo riješili u prethodnim paragrafima kada smo analizirali . To nam omogućuje da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

• ako , tada jednadžba nema pravih rješenja;
• ako , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojeg je vidljiv njezin jedini korijen;
• ako , onda ili , što je isto kao ili , To jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe, a time i izvorne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza određen je predznakom brojnika, budući da je nazivnik 4 a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznak izraza b 2 −4 a c . Ovaj izraz b 2 −4 a c naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe i označena slovom D. Odavde je jasna bit diskriminanta - po njegovoj vrijednosti i predznaku zaključuje se ima li kvadratna jednadžba stvarne korijene, i ako ima, koliki je njihov broj - jedan ili dva.

Vraćamo se na jednadžbu , prepisujemo je koristeći zapis diskriminanta: . I zaključujemo:

• ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ako je D=0, tada ova jednadžba ima jedan korijen;
• konačno, ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena ili , što se može prepisati u obliku ili , a nakon proširenja i svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, dobivamo .

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, izgledaju kao , gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D=b 2 −4 a c .

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminant jednak nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinom rješenju kvadratne jednadžbe. A kod negativnog diskriminanta, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočeni smo s izvlačenjem kvadratnog korijena iz negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog kurikuluma. S negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par složeni konjugat korijene, koji se mogu pronaći pomoću istih formula korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena, pomoću koje možete izračunati njihove vrijednosti. Ali ovdje se više radi o pronalaženju složenih korijena.

Međutim, u školskom tečaju algebre to je obično pričamo ne o kompleksnim, već o stvarnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju poželjno je prvo pronaći diskriminant prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, provjeriti je li nenegativan (inače možemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a nakon toga izračunaj vrijednosti korijena.

Gornje nam razmišljanje omogućuje pisanje algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe. Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0, trebate:

• koristeći diskriminantnu formulu D=b 2 −4 a c izračunaj njegovu vrijednost;
• zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravih korijena ako je diskriminant negativan;
• izračunaj jedini korijen jednadžbe koristeći formulu ako je D=0 ;
• pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminant pozitivan.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, formula se također može koristiti, dat će istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere primjene algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Razmotrimo rješenja triju kvadratnih jednadžbi s pozitivnim, negativnim i nula diskriminirajući. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, analogno će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednadžbu. Počnimo.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe x 2 +2 x−6=0 .

Riješenje.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednadžbe: a=1 , b=2 i c=−6 . Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminanta, za to zamjenjujemo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Budući da je 28>0, odnosno diskriminant veći od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Pronađimo ih po formuli korijena , dobivamo , Ovdje možemo pojednostaviti izraze dobivene tako da oduzimanje predznaka korijena nakon čega slijedi smanjenje frakcije:

Odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riješenje.

Počinjemo s pronalaženjem diskriminanta: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

Odgovor:

x=3,5.

Ostaje razmotriti rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednadžbu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Riješenje.

Evo koeficijenata kvadratne jednadžbe: a=5, b=6 i c=2. Zamjenom ovih vrijednosti u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

Ako trebate specificirati složene korijene, tada koristimo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije s kompleksnim brojevima:

Odgovor:

nema pravih korijena, složeni su korijeni: .

Još jednom napominjemo da ako je diskriminant kvadratne jednadžbe negativan, onda škola obično odmah zapiše odgovor u kojem ukazuju da nema pravih korijena, te da ne nalaze kompleksne korijene.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe , gdje D=b 2 −4 ac omogućuje vam da dobijete kompaktniju formulu koja vam omogućuje rješavanje kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom na x (ili jednostavno s koeficijentom koji izgleda kao 2 n , na primjer, ili 14 ln5=2 7 ln5 ). Izvadimo je van.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu oblika a x 2 +2 n x + c=0 . Pronađimo njegove korijene koristeći nam poznatu formulu. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo formulu korijena:

Označimo izraz n 2 −a c kao D 1 (ponekad se označava D"). Tada formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n poprima oblik , gdje je D 1 =n 2 −a c .

Lako je vidjeti da je D=4·D 1 ili D 1 =D/4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D . To jest, znak D 1 je također pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Dakle, za rješavanje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, trebate

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ako je D 1 =0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu;
• Ako je D 1 >0, pronađite dva realna korijena koristeći formulu.

Razmotrimo rješenje primjera koristeći formulu korijena dobivenu u ovom odlomku.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Riješenje.

Drugi koeficijent ove jednadžbe može se predstaviti kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati izvornu kvadratnu jednadžbu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ovdje a=5 , n=−3 i c=−32 , i izračunati četvrti dio diskriminirajući: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Budući da je njezina vrijednost pozitivna, jednadžba ima dva realna korijena. Pronalazimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju bi se moralo obaviti više računskog rada.

Odgovor:

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što krenemo u izračun korijena kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi postaviti pitanje: "Je li moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe"? Slažete se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednadžbu 11 x 2 −4 x −6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Obično se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe postiže množenjem ili dijeljenjem obje strane s nekim brojem. Na primjer, u prethodnom odlomku uspjeli smo postići pojednostavljenje jednadžbe 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100 .

Slična se transformacija provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, oba dijela jednadžbe obično se dijele apsolutnim vrijednostima njegovih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 , dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednadžbe 2 x 2 −7 x+8=0 .

A množenje oba dijela kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se provodi na nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se oba dijela kvadratne jednadžbe pomnože s LCM(6, 3, 1)=6 , tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4 x−18=0 .

U zaključku ovog odlomka napominjemo da se gotovo uvijek riješite minusa na najvećem koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) oba dijela s −1. Na primjer, obično se iz kvadratne jednadžbe −2·x 2 −3·x+7=0 ide na rješenje 2·x 2 +3·x−7=0 .

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe u smislu njezinih koeficijenata. Na temelju formule korijena možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i primjenjive formule iz Vietinog teorema oblika i . Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu, zbroj korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a umnožak korijena je slobodni član. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x+22=0 možemo odmah reći da je zbroj njezinih korijena 7/3, a umnožak korijena 22/3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe u smislu njezinih koeficijenata: .

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati 1. dio. Udžbenik za učenike obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Zadaci o kvadratnoj jednadžbi također se proučavaju u školski kurikulum i na sveučilištima. Oni se shvaćaju kao jednadžbe oblika a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, gdje je x- varijabla, a,b,c – konstante; a<>0 . Problem je pronaći korijene jednadžbe.

Geometrijsko značenje kvadratne jednadžbe

Graf funkcije koji je predstavljen kvadratnom jednadžbom je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su točke presjeka parabole s osi x. Iz toga slijedi da postoje tri moguća slučaja:
1) parabola nema točaka presjeka s osi x. To znači da se nalazi u gornjoj ravnini s granama prema gore ili u donjoj s granama prema dolje. U takvim slučajevima kvadratna jednadžba nema pravih korijena (ima dva kompleksna korijena).

2) parabola ima jednu točku presjeka s osi Ox. Takva točka naziva se vrh parabole, a kvadratna jednadžba u njoj dobiva svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost. U ovom slučaju, kvadratna jednadžba ima jedan pravi korijen (ili dva identična korijena).

3) Zadnji slučaj je zanimljiviji u praksi - postoje dvije točke presjeka parabole s osi apscise. To znači da postoje dva stvarna korijena jednadžbe.

Na temelju analize koeficijenata na potencijama varijabli mogu se izvući zanimljivi zaključci o položaju parabole.

1) Ako je koeficijent a veći od nule, tada je parabola usmjerena prema gore, ako je negativna, grane parabole su usmjerene prema dolje.

2) Ako je koeficijent b veći od nule, tada vrh parabole leži u lijevoj poluravnini, ako ima negativnu vrijednost, onda u desnoj.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe

Prenesimo konstantu iz kvadratne jednadžbe

za znak jednakosti dobivamo izraz

Pomnožite obje strane sa 4a

Da biste dobili puni kvadrat s lijeve strane, dodajte b ^ 2 u oba dijela i izvršite transformaciju

Odavde nalazimo

Formula diskriminanta i korijeni kvadratne jednadžbe

Diskriminant je vrijednost radikalnog izraza. Ako je pozitivan, onda jednadžba ima dva realna korijena, izračunata po formuli Kada je diskriminant nula, kvadratna jednadžba ima jedno rješenje (dva podudarna korijena), koje je lako dobiti iz gornje formule za D = 0. Kada je diskriminant negativan, nema pravih korijena. Međutim, za proučavanje rješenja kvadratne jednadžbe u kompleksnoj ravnini, njihova vrijednost se izračunava po formuli

Vietin teorem

Razmotrimo dva korijena kvadratne jednadžbe i na njihovoj osnovi konstruirajmo kvadratnu jednadžbu. Sam Vietin teorem lako slijedi iz zapisa: ako imamo kvadratnu jednadžbu oblika tada je zbroj njegovih korijena jednak koeficijentu p, uzetom s suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu q. Formula za gore navedeno će izgledati kao Ako je konstanta a u klasičnoj jednadžbi različita od nule, tada trebate podijeliti cijelu jednadžbu s njom, a zatim primijeniti Vietin teorem.

Raspored kvadratne jednadžbe na faktorima

Neka se postavi zadatak: rastaviti kvadratnu jednadžbu na faktore. Da bismo ga izveli, prvo riješimo jednadžbu (pronađimo korijene). Zatim ćemo u formulu za proširenje kvadratne jednadžbe zamijeniti pronađene korijene.Ovaj problem će biti riješen.

Zadaci za kvadratnu jednadžbu

Zadatak 1. Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

x^2-26x+120=0 .

Rješenje: Zapišite koeficijente i zamijenite ih u diskriminantnoj formuli

korijen od zadanu vrijednost jednak 14, lako ga je pronaći kalkulatorom ili zapamtiti čestom upotrebom, međutim, radi praktičnosti, na kraju članka dat ću vam popis kvadrata brojeva koji se često mogu naći u takvim zadacima .
Pronađena vrijednost zamjenjuje se u korijen formulu

i dobivamo

Zadatak 2. riješiti jednadžbu

2x2+x-3=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednadžbu, ispišemo koeficijente i pronađemo diskriminanta


Po poznate formule pronaći korijene kvadratne jednadžbe

Zadatak 3. riješiti jednadžbu

9x2 -12x+4=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednadžbu. Odredite diskriminant

Dobili smo slučaj kada se korijeni poklapaju. Vrijednosti korijena nalazimo po formuli

Zadatak 4. riješiti jednadžbu

x^2+x-6=0 .

Rješenje: U slučajevima kada postoje mali koeficijenti za x, preporučljivo je primijeniti Vietin teorem. Njegovim uvjetom dobivamo dvije jednadžbe

Iz drugog uvjeta dobivamo da proizvod mora biti jednak -6. To znači da je jedan od korijena negativan. Imamo sljedeći mogući par rješenja(-3;2), (3;-2) . Uzimajući u obzir prvi uvjet, odbacujemo drugi par rješenja.
Korijeni jednadžbe su

Zadatak 5. Nađite duljine stranica pravokutnika ako je njegov opseg 18 cm, a površina 77 cm 2.

Rješenje: Polovica opsega pravokutnika jednaka je zbroju susjednih stranica. Označimo x - velika strana, tada je 18-x njegova manja strana. Površina pravokutnika jednaka je umnošku ovih duljina:
x(18x)=77;
ili
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Nađite diskriminant jednadžbe

Izračunavamo korijene jednadžbe

Ako x=11, zatim 18x=7 , također vrijedi i obrnuto (ako je x=7, onda je 21-x=9).

Zadatak 6. Faktorizirajte kvadratnu jednadžbu 10x 2 -11x+3=0.

Rješenje: Izračunajte korijene jednadžbe, za to nalazimo diskriminant

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u formulu korijena i izračunavamo

Primjenjujemo formulu za proširenje kvadratne jednadžbe u smislu korijena

Proširujući zagrade, dobivamo identitet.

Kvadratna jednadžba s parametrom

Primjer 1. Za koje vrijednosti parametra ali , ima li jednadžba (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 jedan korijen?

Rješenje: Izravnom zamjenom vrijednosti a=3 vidimo da ona nema rješenja. Nadalje, koristit ćemo se činjenicom da s nultim diskriminantom jednadžba ima jedan korijen višestrukosti 2. Ispišimo diskriminant

pojednostaviti ga i izjednačiti s nulom

Dobili smo kvadratnu jednadžbu s obzirom na parametar a čije je rješenje lako dobiti pomoću Vietinog teorema. Zbroj korijena je 7, a njihov umnožak je 12. Jednostavnim nabrajanjem utvrđujemo da će brojevi 3.4 biti korijeni jednadžbe. Budući da smo rješenje a=3 već odbacili na početku proračuna, jedino ispravno će biti - a=4. Dakle, za a = 4, jednadžba ima jedan korijen.

Primjer 2. Za koje vrijednosti parametra ali , jednadžba a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima više od jednog korijena?

Rješenje: Prvo razmotrite singularne točke, to će biti vrijednosti a=0 i a=-3. Kada je a=0, jednadžba će biti pojednostavljena na oblik 6x-9=0; x=3/2 i bit će jedan korijen. Za a= -3 dobivamo identitet 0=0 .
Izračunaj diskriminanta

i pronađite vrijednosti a za koje je pozitivan

Iz prvog uvjeta dobivamo a>3. Za drugu, nalazimo diskriminant i korijene jednadžbe


Definirajmo intervale u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti. Zamjenom točke a=0 dobivamo 3>0 . Dakle, izvan intervala (-3; 1/3) funkcija je negativna. Ne zaboravite točku a=0što treba isključiti, budući da izvorna jednadžba u sebi ima jedan korijen.
Kao rezultat dobivamo dva intervala koja zadovoljavaju uvjet problema

U praksi će biti mnogo sličnih zadataka, pokušajte se sami nositi sa zadacima i ne zaboravite uzeti u obzir uvjete koji se međusobno isključuju. Dobro proučite formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi, često su potrebne u proračunima u raznim problemima i znanostima.

Ova se tema u početku može činiti kompliciranom zbog mnogih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se korijeni također nalaze kroz diskriminant. Ukupno postoje tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće tek nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule pamtiti same.

Opći pogled na kvadratnu jednadžbu

Ovdje se predlaže njihova eksplicitna notacija, kada se najprije napiše najveći stupanj, a zatim - u silaznom redoslijedu. Često postoje situacije kada se pojmovi razlikuju. Tada je bolje jednadžbu prepisati silaznim redoslijedom stupnja varijable.

Uvedemo notaciju. Oni su prikazani u donjoj tablici.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe se svode na sljedeći zapis.

Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Neka je ova formula označena brojem jedan.

Kada je jednadžba data, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:

• rješenje će imati dva korijena;
• odgovor će biti jedan broj;
• Jednadžba uopće nema korijen.

I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi

Zadaci mogu imati različite unose. Neće uvijek izgledati kao opća formula kvadratne jednadžbe. Ponekad će mu nedostajati neki pojmovi. Ono što je gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći pojam, dobit ćete nešto drugačije. Ti se zapisi nazivaju i kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.

Štoviše, mogu nestati samo pojmovi za koje koeficijenti "b" i "c". Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.

Diskriminant i ovisnost broja korijena o njegovoj vrijednosti

Ovaj broj mora biti poznat kako bi se izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminanta, trebate koristiti dolje napisanu jednakost, koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različiti znakovi. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. S negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednako nuli, odgovor će biti jedan.

Kako se rješava kompletna kvadratna jednadžba?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminant. Nakon što je pojašnjeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, trebate koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, onda morate primijeniti takvu formulu.

Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.

Formula pet. Iz istog zapisa može se vidjeti da ako je diskriminant nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, tada je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantne i varijabilne formule. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?

Ovdje je sve puno jednostavnije. Čak i nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati one koje su već napisane za diskriminatorno i nepoznato.

Prvo razmislite nepotpuna jednadžba na broju dva. U ovoj jednadžbi treba izvući nepoznatu vrijednost iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradi. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobiva rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prijenosom broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim trebate podijeliti s koeficijentom ispred nepoznatog. Ostaje samo izdvojiti kvadratni korijen i ne zaboravite ga dvaput zapisati s suprotnim predznacima.

Sljedeće su neke radnje koje vam pomažu naučiti kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme „Kvadrične jednadžbe (8. razred)“. Nakon toga, ove radnje neće trebati stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.

• Najprije trebate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo izraz s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i zadnji - samo broj.

• Ako se ispred koeficijenta "a" pojavi minus, onda to može zakomplicirati rad početniku u proučavanju kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu, sve jednakosti moraju se pomnožiti s "-1". To znači da će svi pojmovi promijeniti predznak u suprotan.

• Na isti način, preporuča se riješiti frakcija. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga je riješena kako je opisano za formulu broj dva.

Nakon zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.

Prvi korijen poprima vrijednost: x 1 \u003d 0. Drugi će se naći iz linearne jednadžbe: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se to rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon prijenosa 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i ispod, rješenje kvadratnih jednadžbi počet će prepisivanjem u standardni oblik: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Sada je vrijeme za korištenje drugog koristan savjet i sve pomnoži s minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, morate izračunati diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivan broj. Iz onoga što je gore rečeno, ispada da jednadžba ima dva korijena. Treba ih izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njen diskriminant jednak je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminant, dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, i to: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da morate donijeti slične članove prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon što se prebroje slični članovi, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično je već smatrano malo višim. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.

Kvadratne jednadžbe. Diskriminirajući. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Što je kvadratna jednadžba? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednadžba ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednadžbi nužno mora postojati x na kvadrat. Osim toga, u jednadžbi može biti (ili ne mora biti!) samo x (do prvog stupnja) i samo broj (slobodni član). I ne smije biti x u stupnju većem od dva.

U matematičkom smislu, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

Ovdje a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koji, ali ali- sve osim nule. Na primjer:

Ovdje ali =1; b = 3; c = -4

Ovdje ali =2; b = -0,5; c = 2,2

Ovdje ali =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste...

U ovim kvadratnim jednadžbama, na lijevoj strani, postoji cijeli setčlanova. x na kvadrat s koeficijentom ali, x na prvi stepen s koeficijentom b I slobodan član

Takve kvadratne jednadžbe nazivaju se potpuni.

I ako b= 0, što ćemo dobiti? Imamo X će nestati u prvom stupnju. To se događa množenjem s nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

itd. A ako oba koeficijenta b I c jednaki su nuli, onda je još jednostavnije:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takve jednadžbe, gdje nešto nedostaje, nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Usput zašto ali ne može biti nula? I umjesto toga zamijenite ali nula.) X u kvadratu će nestati! Jednadžba će postati linearna. A radi se drugačije...

To su sve glavne vrste kvadratnih jednadžbi. Potpuna i nepotpuna.

Rješenje kvadratnih jednadžbi.

Rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne je jednadžbe lako riješiti. Po formulama i jasno jednostavna pravila. U prvoj fazi, trebate zadana jednadžba dovesti do standardni pogled, tj. na pogled:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, ali, b I c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminirajući. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo se samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i brojite. Zamjena sa svojim znakovima! Na primjer, u jednadžbi:

ali =1; b = 3; c= -4. Ovdje pišemo:

Primjer skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. A što mislite, ne možete pogriješiti? Pa da, kako...

Najčešće pogreške su zabuna sa znakovima vrijednosti a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim znakovima (gdje se tu zbuniti?), nego zamjenom negativne vrijednosti u formulu za izračun korijena. Ovdje se sprema detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi s izračunima, pa učini to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.

Pa nemoj biti lijen. Za pisanje dodatnog retka trebat će 30 sekundi i broj pogrešaka naglo će pasti. Stoga pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se nevjerojatno teško slikati tako pažljivo. Ali samo se čini. Probaj. Pa ili biraj. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo slikate. Samo će ispasti ispravno. Pogotovo ako primjenjujete praktične tehnike, koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer s hrpom minusa riješit će se lako i bez grešaka!

Ali, često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Jeste li znali?) Da! Ovaj nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Također se mogu riješiti općom formulom. Samo trebate točno shvatiti što je ovdje jednako a, b i c.

Shvatio? U prvom primjeru a = 1; b = -4; ali c? To uopće ne postoji! Pa da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Umjesto nule u formulu c, i sve će nam uspjeti. Slično i s drugim primjerom. Samo nulu ovdje nemamo iz, ali b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo lakše. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Što se može učiniti s lijeve strane? Možete izvaditi X iz zagrada! Izvadimo ga.

I što s tim? A činjenica da je umnožak jednak nuli ako, i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete? Pa, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? Nešto...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Sve. To će biti korijeni naše jednadžbe. Obje odgovaraju. Prilikom zamjene bilo koje od njih u izvornu jednadžbu, dobivamo točan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je puno jednostavnije od opće formule. Napominjem, usput, koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Lako pisati redom x 1- što je manje x 2- ono što je više.

Druga jednadžba se također može lako riješiti. Pomičemo 9 na desnu stranu. dobivamo:

Ostaje izvući korijen iz 9, i to je to. Dobiti:

također dva korijena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili vađenjem x iz zagrada, ili jednostavan prijenos brojevi s desne strane, nakon čega slijedi ekstrakcija korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove metode. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema što vaditi iz zagrada...

Diskriminirajući. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminirajući ! Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz “odlučite putem diskriminatora” umiruje i umiruje. Jer nema potrebe čekati trikove od diskriminatora! Jednostavan je i bez problema u rukovanju.) Podsjećam vas na najviše opća formula za rješenja bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

A što je tako posebno u ovom izrazu? Zašto zaslužuje poseban naziv? Što značenje diskriminanta? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli ne imenuju posebno ... Slova i slova.

Poanta je u ovome. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule to je moguće samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da iz njega možete izvaditi korijen. Da li je korijen dobro ili loše vađen, drugo je pitanje. Važno je što se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Budući da zbrajanje ili oduzimanje nule u brojniku ne mijenja ništa. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, ali dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o jedno rješenje.

3. Diskriminant je negativan. Negativan broj ne uzima kvadratni korijen. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Da budem iskren, kod jednostavno rješenje kvadratne jednadžbe, koncept diskriminanta nije posebno potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formuli i razmatramo. Tamo sve ispada samo od sebe, i dva korijena, i jedan, a ne jedan. Međutim, pri rješavanju više teške zadatke, bez znanja značenje i diskriminantna formula nedovoljno. Pogotovo - u jednadžbama s parametrima. Takve su jednadžbe akrobatika za GIA i Jedinstveni državni ispit!)

Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg si zapamtio. Ili naučeno, što također nije loše.) Znate kako se ispravno identificirati a, b i c. Znaš li kako pažljivo zamijenite ih u formulu korijena i pažljivo broji rezultat. Jeste li razumjeli da je ključna riječ ovdje - pažljivo?

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka. Baš one koje su zbog nepažnje... za koje je onda bolno i uvredljivo...

Prvi prijem . Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe kako biste je doveli u standardni oblik. Što to znači?
Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem formule korijena! Gotovo sigurno ćete pomiješati izglede a, b i c. Izgradite primjer ispravno. Prvo, x na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Kao ovo:

I opet, ne žurite! Minus prije x na kvadrat može vas jako uznemiriti. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednadžbu sa -1. dobivamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i dovršiti primjer. Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Prema Vietinom teoremu. Ne brini, sve ću ti objasniti! Provjeravam zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj kojim smo zapisali formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, lako provjerite korijenje. Dovoljno ih je umnožiti. Trebao bi dobiti slobodan termin, t.j. u našem slučaju -2. Obratite pažnju, ne 2, nego -2! slobodan član sa svojim znakom . Ako nije išlo, znači da su već negdje zabrljali. Potražite grešku.

Ako je uspjelo, morate presavijati korijene. Posljednja i konačna provjera. Trebao bi biti omjer b iz suprotan znak. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred x, jednako je -1. Dakle, sve je kako treba!
Šteta što je tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Sve manje grešaka htjeti.

Prijem treći . Ako vaša jednadžba ima frakcijske koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Transformacije identiteta". Kada radite s razlomcima, pogreške se iz nekog razloga penju ...

Inače, obećao sam zao primjer s hrpom minusa za pojednostavljenje. Molim! Evo ga.

Da se ne bismo zabunili u minusima, jednadžbu pomnožimo s -1. dobivamo:

To je sve! Odlučivanje je zabavno!

Pa da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dovodimo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, gradimo je pravo.

2. Ako se ispred x u kvadratu nalazi negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent za njega jednak je jedan, rješenje se lako može provjeriti Vietinim teoremom. Učini to!

Sada možete odlučiti.)

Riješite jednadžbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Pristaje li sve? Fino! Kvadratne jednadžbe nisu vaše glavobolja. Prva tri su se pokazala, ali ostali nisu? Tada problem nije u kvadratnim jednadžbama. Problem je u identičnim transformacijama jednadžbi. Pogledaj link, od pomoći je.

Ne radi baš? Ili uopće ne radi? Tada će vam pomoći odjeljak 555. Tu su svi ovi primjeri razvrstani po kostima. Prikazivanje glavni greške u rješenju. Naravno, govori i o upotrebi identične transformacije u rješavanju raznih jednadžbi. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.