Zadaci o kvadratnoj jednadžbi također se proučavaju u školski kurikulum i na sveučilištima. Oni se shvaćaju kao jednadžbe oblika a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, gdje je x- varijabla, a,b,c – konstante; a<>0 . Problem je pronaći korijene jednadžbe.

Geometrijsko značenje kvadratne jednadžbe

Graf funkcije koji je predstavljen kvadratnom jednadžbom je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su točke presjeka parabole s osi x. Iz toga slijedi da postoje tri moguća slučaja:
1) parabola nema točaka presjeka s osi x. To znači da se nalazi u gornjoj ravnini s granama prema gore ili u donjoj s granama prema dolje. U takvim slučajevima kvadratna jednadžba nema pravih korijena (ima dva kompleksna korijena).

2) parabola ima jednu točku presjeka s osi Ox. Takva točka naziva se vrh parabole, a kvadratna jednadžba u njoj dobiva svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost. U ovom slučaju, kvadratna jednadžba ima jedan pravi korijen (ili dva identična korijena).

3) Zadnji slučaj je zanimljiviji u praksi - postoje dvije točke presjeka parabole s osi apscise. To znači da postoje dva stvarna korijena jednadžbe.

Na temelju analize koeficijenata na potencijama varijabli mogu se izvući zanimljivi zaključci o položaju parabole.

1) Ako je koeficijent a veći od nule, tada je parabola usmjerena prema gore, ako je negativna, grane parabole su usmjerene prema dolje.

2) Ako je koeficijent b veći od nule, tada vrh parabole leži u lijevoj poluravnini, ako ima negativnu vrijednost, onda u desnoj.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe

Prenesimo konstantu iz kvadratne jednadžbe

za znak jednakosti dobivamo izraz

Pomnožite obje strane sa 4a

Da biste dobili puni kvadrat s lijeve strane, dodajte b ^ 2 u oba dijela i izvršite transformaciju

Odavde nalazimo

Formula diskriminanta i korijeni kvadratne jednadžbe

Diskriminant je vrijednost radikalnog izraza. Ako je pozitivan, onda jednadžba ima dva realna korijena, izračunata po formuli Kada je diskriminant nula, kvadratna jednadžba ima jedno rješenje (dva podudarna korijena), koje je lako dobiti iz gornje formule za D = 0. Kada je diskriminant negativan, nema pravih korijena. Međutim, za proučavanje rješenja kvadratne jednadžbe u kompleksnoj ravnini, njihova vrijednost se izračunava po formuli

Vietin teorem

Razmotrimo dva korijena kvadratne jednadžbe i na njihovoj osnovi konstruirajmo kvadratnu jednadžbu. Sam Vietin teorem lako slijedi iz zapisa: ako imamo kvadratnu jednadžbu oblika tada je zbroj njegovih korijena jednak koeficijentu p, uzetom s suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu q. Formula za gore navedeno će izgledati kao Ako je konstanta a u klasičnoj jednadžbi različita od nule, tada trebate podijeliti cijelu jednadžbu s njom, a zatim primijeniti Vietin teorem.

Raspored kvadratne jednadžbe na faktorima

Neka se postavi zadatak: rastaviti kvadratnu jednadžbu na faktore. Da bismo ga izveli, prvo riješimo jednadžbu (pronađimo korijene). Zatim ćemo u formulu za proširenje kvadratne jednadžbe zamijeniti pronađene korijene.Ovaj problem će biti riješen.

Zadaci za kvadratnu jednadžbu

Zadatak 1. Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

x^2-26x+120=0 .

Rješenje: Zapišite koeficijente i zamijenite ih u diskriminantnoj formuli

korijen od zadanu vrijednost jednak 14, lako ga je pronaći kalkulatorom ili zapamtiti čestom upotrebom, međutim, radi praktičnosti, na kraju članka dat ću vam popis kvadrata brojeva koji se često mogu naći u takvim zadacima .
Pronađena vrijednost zamjenjuje se u korijen formulu

i dobivamo

Zadatak 2. riješiti jednadžbu

2x2+x-3=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednadžbu, ispišemo koeficijente i pronađemo diskriminanta


Po poznate formule pronaći korijene kvadratne jednadžbe

Zadatak 3. riješiti jednadžbu

9x2 -12x+4=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednadžbu. Odredite diskriminant

Dobili smo slučaj kada se korijeni poklapaju. Vrijednosti korijena nalazimo po formuli

Zadatak 4. riješiti jednadžbu

x^2+x-6=0 .

Rješenje: U slučajevima kada postoje mali koeficijenti za x, preporučljivo je primijeniti Vietin teorem. Njegovim uvjetom dobivamo dvije jednadžbe

Iz drugog uvjeta dobivamo da proizvod mora biti jednak -6. To znači da je jedan od korijena negativan. Imamo sljedeći mogući par rješenja(-3;2), (3;-2) . Uzimajući u obzir prvi uvjet, odbacujemo drugi par rješenja.
Korijeni jednadžbe su

Zadatak 5. Nađite duljine stranica pravokutnika ako je njegov opseg 18 cm, a površina 77 cm 2.

Rješenje: Polovica opsega pravokutnika jednaka je zbroju susjednih stranica. Označimo x - velika strana, tada je 18-x njegova manja strana. Površina pravokutnika jednaka je umnošku ovih duljina:
x(18x)=77;
ili
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Nađite diskriminant jednadžbe

Izračunavamo korijene jednadžbe

Ako je a x=11, zatim 18x=7 , također vrijedi i obrnuto (ako je x=7, onda je 21-x=9).

Zadatak 6. Faktorizirajte kvadratnu jednadžbu 10x 2 -11x+3=0.

Rješenje: Izračunajte korijene jednadžbe, za to nalazimo diskriminant

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u formulu korijena i izračunavamo

Primjenjujemo formulu za proširenje kvadratne jednadžbe u smislu korijena

Proširujući zagrade, dobivamo identitet.

Kvadratna jednadžba s parametrom

Primjer 1. Za koje vrijednosti parametra a , ima li jednadžba (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 jedan korijen?

Rješenje: Izravnom zamjenom vrijednosti a=3 vidimo da ona nema rješenja. Nadalje, koristit ćemo se činjenicom da s nultim diskriminantom jednadžba ima jedan korijen višestrukosti 2. Ispišimo diskriminant

pojednostaviti ga i izjednačiti s nulom

Dobili smo kvadratnu jednadžbu s obzirom na parametar a čije je rješenje lako dobiti pomoću Vietinog teorema. Zbroj korijena je 7, a njihov umnožak je 12. Jednostavnim nabrajanjem utvrđujemo da će brojevi 3.4 biti korijeni jednadžbe. Budući da smo rješenje a=3 već odbacili na početku proračuna, jedino ispravno će biti - a=4. Dakle, za a = 4, jednadžba ima jedan korijen.

Primjer 2. Za koje vrijednosti parametra a , jednadžba a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima više od jednog korijena?

Rješenje: Prvo razmotrite singularne točke, to će biti vrijednosti a=0 i a=-3. Kada je a=0, jednadžba će biti pojednostavljena na oblik 6x-9=0; x=3/2 i bit će jedan korijen. Za a= -3 dobivamo identitet 0=0 .
Izračunaj diskriminanta

i pronađite vrijednosti a za koje je pozitivan

Iz prvog uvjeta dobivamo a>3. Za drugu, nalazimo diskriminant i korijene jednadžbe


Definirajmo intervale u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti. Zamjenom točke a=0 dobivamo 3>0 . Dakle, izvan intervala (-3; 1/3) funkcija je negativna. Ne zaboravite točku a=0što treba isključiti, budući da izvorna jednadžba u sebi ima jedan korijen.
Kao rezultat dobivamo dva intervala koja zadovoljavaju uvjet problema

U praksi će biti mnogo sličnih zadataka, pokušajte se sami nositi sa zadacima i ne zaboravite uzeti u obzir uvjete koji se međusobno isključuju. Dobro proučite formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi, često su potrebne u proračunima u raznim problemima i znanostima.

NA moderno društvo sposobnost izvođenja operacija s jednadžbama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim područjima aktivnosti i naširoko se koristi u praksi u znanstvenim i tehnički razvoj. To se može dokazati projektiranjem morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Uz pomoć takvih proračuna određuju se putanje kretanja različitih tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i gradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Možda će biti potrebni u planinarski izleti, u sportu, u trgovinama prilikom kupovine iu drugim vrlo čestim situacijama.

Razbijmo izraz na sastavne faktore

Stupanj jednadžbe određen je maksimalnom vrijednošću stupnja varijable koju dati izraz sadrži. Ako je jednako 2, tada se takva jednadžba naziva kvadratna jednadžba.

Ako govorimo jezikom formula, onda se ti izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti do oblika kada se lijeva strana izraza sastoji od tri pojma. Među njima: ax 2 (tj. varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo na desnoj strani jednako je 0. U slučaju kada takav polinom nema jedan od svojih sastavnih članova, s izuzetkom osi 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Najprije treba razmotriti primjere s rješavanjem takvih zadataka, u kojima nije teško pronaći vrijednost varijabli.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani izraza, točnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x stavljanjem varijable u zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Nadalje, postaje očito da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da umnožak dva faktora rezultira 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednadžbe ove vrste mogu opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene točke, uzete kao ishodište. Ovdje matematička notacija ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje je proteklo od trenutka kada se tijelo diže do trenutka kada pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućuje rješavanje ovih problema i više od toga teški slučajevi. Razmotrimo primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpuna. Prvo transformiramo izraz i rastavljamo ga na faktore. Dva su od njih: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućuju ovoj metodi da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugog, nego čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada se desna strana rastavlja na faktore s varijablom, postoje tri od njih, odnosno (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očito da zadana jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Izdvajanje kvadratnog korijena

Drugi slučaj nepotpune jednadžbe drugog reda je izraz napisan jezikom slova na način da se desna strana gradi od komponenti ax 2 i c. Ovdje se, da bi se dobila vrijednost varijable, prenosi slobodni termin desna strana, a nakon toga, iz oba dijela jednakosti, Korijen. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednadžbe. Jedina iznimka su jednakosti koje uopće ne sadrže pojam c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada se desna strana pokaže negativnom. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe bit će brojevi -4 i 4.

Proračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se još u antičko doba, jer je razvoj matematike uvelike u njima daleka vremena bila zbog potrebe da se s najvećom točnošću odrede površine i opsega zemljišnih čestica.

Također trebamo razmotriti primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na temelju problema ove vrste.

Pa recimo da postoji pravokutna površina zemljišta, čija je dužina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta, ako je poznato da je njegova površina 612 m 2.

Krenuvši na posao, prvo ćemo napraviti potrebnu jednadžbu. Označimo širinu presjeka kao x, tada će njegova duljina biti (x + 16). Iz napisanog proizlazi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji je, prema uvjetu našeg problema, 612. To znači da je x (x + 16) = 612.

Rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se napraviti na isti način. Zašto? Iako njegova lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov umnožak uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste druge metode.

Diskriminirajući

Prije svega, tada radimo potrebne transformacije izgled ovaj izraz će izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a=1, b=16, c=-612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi kroz diskriminant. Ovdje potrebne izračune proizvedeno prema shemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna vrijednost ne samo da omogućuje pronalaženje željenih vrijednosti u jednadžbi drugog reda, već i određuje broj opcije. U slučaju D>0, dva su; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju diskriminant je: 256 - 4(-612) = 2704. To ukazuje da naš problem ima odgovor. Ako znate, do, rješavanje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rješenje, jer se veličina parcele ne može mjeriti u negativnim vrijednostima, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo duljinu: 18+16=34, a opseg 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljno rješenje nekoliko njih bit će navedeni u nastavku.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prebacimo sve na lijevu stranu jednakosti, napravimo transformaciju, odnosno dobijemo oblik jednadžbe koji se obično naziva standardnim i izjednačimo ga s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodavanjem sličnih, određujemo diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Dakle, naša će jednadžba imati dva korijena. Računamo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Hajdemo saznati ima li ovdje uopće korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, dovodimo polinom u odgovarajući poznati oblik i izračunavamo diskriminant. U ovom primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednadžbu, jer bit problema uopće nije u tome. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da stvarno nema korijena.

Vietin teorem

Kvadratne je jednadžbe prikladno rješavati kroz gornje formule i diskriminant, kada se iz vrijednosti potonjeg izvuče kvadratni korijen. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Ime je dobio po čovjeku koji je živio u Francuskoj u 16. stoljeću i imao briljantnu karijeru zahvaljujući svom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret se može vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz uočio bio je sljedeći. Dokazao je da je zbroj korijena jednadžbe jednak -p=b/a, a njihov umnožak odgovara q=c/a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Koristeći Vietin teorem, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov umnožak je -18. Odavde dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli stvarno uklapaju u izraz.

Graf i jednadžba parabole

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe usko povezani. Primjeri za to su već navedeni ranije. Pogledajmo sada neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednadžba opisanog tipa može se vizualno prikazati. Takva ovisnost, nacrtana u obliku grafa, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njezine grane. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući one kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u točkama gdje se crta grafikona siječe s 0x. Koordinate vrha mogu se pronaći po formuli koja je upravo data x 0 = -b / 2a. I, zamjenom rezultirajuće vrijednosti u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koja pripada y-osi.

Sjecište grana parabole s osi apscise

Postoji puno primjera s rješenjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Razmotrimo ih. Jasno je da je presjek grafa s osi 0x za a>0 moguć samo ako y 0 ima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole možete odrediti i korijene. Vrijedi i obrnuto. Odnosno, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući točke presjeka s osi 0x, lakše je crtati.

Iz povijesti

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima, nisu samo radili matematički izračuni i određivali područje geometrijskih oblika. Drevnima su takvi izračuni bili potrebni za grandiozna otkrića na području fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što sugeriraju moderni znanstvenici, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. To se dogodilo četiri stoljeća prije dolaska naše ere. Naravno, njihovi su se izračuni bitno razlikovali od onih koji su trenutno prihvaćeni i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također nisu bili upoznati s drugim suptilnostima onih koje poznaje bilo koji student našeg vremena.

Možda čak i prije nego babilonski znanstvenici, mudrac iz Indije, Baudhayama, preuzeo je rješenje kvadratnih jednadžbi. To se dogodilo oko osam stoljeća prije dolaska Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode za rješavanje koje je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, slična su pitanja u stara vremena zanimala i kineske matematičare. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, ali su ih kasnije u svom radu koristili veliki znanstvenici poput Newtona, Descartesa i mnogih drugih.

Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Bitna je sposobnost njihovog rješavanja.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a , b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri razreda:

1. Nemati korijena;
2. Imaju točno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratne i linearne jednadžbe, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednadžba? Postoji divna stvar za ovo - diskriminirajući.

Diskriminirajući

Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac .

Ova formula se mora znati napamet. Odakle dolazi, sada nije važno. Još jedna stvar je važna: po predznaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:

1. Ako je D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, bit će dva korijena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi ljudi misle. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapisujemo koeficijente prve jednadžbe i nalazimo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, pa jednadžba ima dva različita korijena. Na isti način analiziramo i drugu jednadžbu:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Posljednja jednadžba ostaje:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su za svaku jednadžbu ispisani koeficijenti. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete miješati izglede i nemojte napraviti glupe pogreške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitetu.

Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati ​​sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada prijeđimo na rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Nađimo ih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate brojati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju kada se negativni koeficijenti zamijene u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: doslovno pogledajte formulu, obojite svaki korak - i vrlo brzo se riješite pogrešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Događa se da je kvadratna jednadžba nešto drugačija od onoga što je dano u definiciji. Na primjer:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Lako je vidjeti da jedan od pojmova nedostaje u ovim jednadžbama. Takve je kvadratne jednadžbe još lakše riješiti od standardnih: ne trebaju čak ni izračunati diskriminanta. Dakle, predstavimo novi koncept:

Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, t.j. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b \u003d c \u003d 0. U ovom slučaju, jednadžba ima oblik ax 2 \u003d 0. Očito, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.

Razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c \u003d 0. Lagano je transformirajmo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo kada je (−c / a ) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednakost (−c / a ) ≥ 0, postojat će dva korijena. Formula je navedena gore;
2. Ako (−c / a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno zapamtiti nejednakost (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što je s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrade

Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednadžbi:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Kvadratne jednadžbe. Diskriminirajući. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Što je kvadratna jednadžba? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednadžba ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednadžbi nužno mora postojati x na kvadrat. Osim toga, u jednadžbi može biti (ili ne mora biti!) samo x (do prvog stupnja) i samo broj (slobodni član). I ne smije biti x u stupnju većem od dva.

U matematičkom smislu, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

Ovdje a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koji, ali a- sve osim nule. Na primjer:

Ovdje a =1; b = 3; c = -4

Ovdje a =2; b = -0,5; c = 2,2

Ovdje a =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste...

U ovim kvadratnim jednadžbama, na lijevoj strani, postoji cijeli setčlanova. x na kvadrat s koeficijentom a, x na prvi stepen s koeficijentom b i slobodan član

Takve kvadratne jednadžbe nazivaju se potpuni.

I ako b= 0, što ćemo dobiti? Imamo X će nestati u prvom stupnju. To se događa množenjem s nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

itd. A ako oba koeficijenta b i c jednaki su nuli, onda je još jednostavnije:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takve jednadžbe, gdje nešto nedostaje, nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Usput zašto a ne može biti nula? I umjesto toga zamijenite a nula.) X u kvadratu će nestati! Jednadžba će postati linearna. A radi se drugačije...

To su sve glavne vrste kvadratnih jednadžbi. Potpuna i nepotpuna.

Rješenje kvadratnih jednadžbi.

Rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne je jednadžbe lako riješiti. Po formulama i jasno jednostavna pravila. U prvoj fazi, trebate zadana jednadžba dovesti do standardna forma, tj. na pogled:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, a, b i c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminirajući. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo se samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i brojite. Zamjena sa svojim znakovima! Na primjer, u jednadžbi:

a =1; b = 3; c= -4. Ovdje pišemo:

Primjer skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. A što mislite, ne možete pogriješiti? Pa da, kako...

Najčešće pogreške su zabuna sa znakovima vrijednosti a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim znakovima (gdje se tu zbuniti?), nego zamjenom negativne vrijednosti u formulu za izračun korijena. Ovdje se sprema detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi s izračunima, pa učini to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.

Pa nemoj biti lijen. Za pisanje dodatnog retka trebat će 30 sekundi i broj pogrešaka naglo će pasti. Stoga pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se nevjerojatno teško slikati tako pažljivo. Ali to se samo čini. Probaj. Pa ili biraj. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo slikate. Samo će ispasti ispravno. Pogotovo ako primjenjujete praktične tehnike, koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer s hrpom minusa riješit će se lako i bez grešaka!

Ali, često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Jeste li znali?) Da! Ovo je nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Također se mogu riješiti općom formulom. Samo trebate točno shvatiti što je ovdje jednako a, b i c.

Shvatio? U prvom primjeru a = 1; b = -4; a c? To uopće ne postoji! Pa da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Umjesto nule u formulu c, i sve će nam uspjeti. Slično i s drugim primjerom. Samo nulu ovdje nemamo s, a b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo lakše. Bez ikakvih formula. Razmotrite prvo nepotpuna jednadžba. Što se može učiniti s lijeve strane? Možete izvaditi X iz zagrada! Izvadimo ga.

I što od ovoga? A činjenica da je umnožak jednak nuli ako, i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete? Pa, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? Nešto...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Sve. To će biti korijeni naše jednadžbe. Obje odgovaraju. Prilikom zamjene bilo koje od njih u izvornu jednadžbu, dobivamo točan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je puno jednostavnije od opće formule. Napominjem, usput, koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Lako pisati redom x 1- što je manje x 2- ono što je više.

Druga jednadžba se također može lako riješiti. Pomičemo 9 na desnu stranu. dobivamo:

Ostaje izvući korijen iz 9, i to je to. Dobiti:

također dva korijena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili vađenjem x iz zagrada, ili jednostavan prijenos brojevi s desne strane, nakon čega slijedi ekstrakcija korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove metode. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema što vaditi iz zagrada...

Diskriminirajući. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminirajući ! Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz “odlučite putem diskriminatora” umiruje i umiruje. Jer nema potrebe čekati trikove od diskriminatora! Jednostavan je i bez problema u rukovanju.) Podsjećam vas na najviše opća formula za rješenja bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

A što je tako posebno u ovom izrazu? Zašto zaslužuje poseban naziv? Što značenje diskriminanta? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli ne imenuju posebno ... Slova i slova.

Poanta je u ovome. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule to je moguće samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da iz njega možete izvaditi korijen. Da li je korijen dobro ili loše vađen, drugo je pitanje. Važno je što se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Budući da zbrajanje ili oduzimanje nule u brojniku ne mijenja ništa. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, ali dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o jedno rješenje.

3. Diskriminant je negativan. Negativan broj ne uzima kvadratni korijen. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Da budem iskren, kod jednostavno rješenje kvadratne jednadžbe, koncept diskriminanta nije posebno potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formuli i razmatramo. Tamo sve ispada samo od sebe, i dva korijena, i jedan, a ne jedan. Međutim, pri rješavanju više teške zadatke, bez znanja značenje i diskriminantna formula nedovoljno. Pogotovo - u jednadžbama s parametrima. Takve su jednadžbe akrobatika za GIA i Jedinstveni državni ispit!)

Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg si zapamtio. Ili naučeno, što također nije loše.) Znate kako se ispravno identificirati a, b i c. Znaš li kako pažljivo zamijenite ih u formulu korijena i pažljivo broji rezultat. Jeste li razumjeli da je ključna riječ ovdje - pažljivo?

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka. Baš one koje su zbog nepažnje... za koje je onda bolno i uvredljivo...

Prvi prijem . Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe kako biste je doveli u standardni oblik. Što to znači?
Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem formule korijena! Gotovo sigurno ćete pomiješati izglede a, b i c. Izgradite primjer ispravno. Prvo, x na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Kao ovo:

I opet, ne žurite! Minus prije x na kvadrat može vas jako uznemiriti. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednadžbu sa -1. dobivamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i dovršiti primjer. Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Prema Vietinom teoremu. Ne brini, sve ću ti objasniti! Provjeravam zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj kojim smo zapisali formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, lako provjerite korijenje. Dovoljno ih je umnožiti. Trebao bi dobiti slobodan termin, t.j. u našem slučaju -2. Obratite pažnju, ne 2, nego -2! slobodan član sa svojim znakom . Ako nije išlo, znači da su već negdje zabrljali. Potražite grešku.

Ako je uspjelo, morate presavijati korijene. Posljednja i konačna provjera. Trebao bi biti omjer b s suprotan znak. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred x, jednako je -1. Dakle, sve je kako treba!
Šteta što je tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Sve manje grešaka htjeti.

Prijem treći . Ako vaša jednadžba ima frakcijske koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu zajedničkim nazivnikom kako je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Transformacije identiteta". Kada radite s razlomcima, pogreške se iz nekog razloga penju ...

Inače, obećao sam zao primjer s hrpom minusa za pojednostavljenje. Nema na čemu! Evo ga.

Da se ne bismo zabunili u minusima, jednadžbu pomnožimo s -1. dobivamo:

To je sve! Odlučivanje je zabavno!

Pa da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dovodimo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, gradimo je pravo.

2. Ako se ispred x u kvadratu nalazi negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent na njemu jednako jednom, rješenje se lako može provjeriti Vietinim teoremom. Učini to!

Sada možete odlučiti.)

Riješite jednadžbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Pristaje li sve? Fino! Kvadratne jednadžbe nisu vaše glavobolja. Prva tri su se pokazala, ali ostali nisu? Tada problem nije u kvadratnim jednadžbama. Problem je u identičnim transformacijama jednadžbi. Pogledaj link, od pomoći je.

Ne radi baš? Ili uopće ne radi? Tada će vam pomoći odjeljak 555. Tu su svi ovi primjeri razvrstani po kostima. Prikazivanje glavni greške u rješenju. Naravno, govori i o upotrebi identične transformacije u rješavanju raznih jednadžbi. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

“, odnosno jednadžbe prvog stupnja. U ovoj lekciji ćemo istražiti što je kvadratna jednadžba i kako to riješiti.

Što je kvadratna jednadžba

Važno!

Stupanj jednadžbe određen je najvišim stupnjem do kojeg stoji nepoznata.

Ako je maksimalni stupanj do kojeg stoji nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednadžbu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Važno! Opći oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" i "c" - dati brojevi.

• "a" - prvi ili viši koeficijent;
• "b" - drugi koeficijent;
• "c" je slobodan član.

Da biste pronašli "a", "b" i "c" Morate usporediti svoju jednadžbu s općim oblikom kvadratne jednadžbe "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednadžbama.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednadžba	Izgledi
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearne jednadžbe rješavati kvadratne jednadžbe, specijal formula za pronalaženje korijena.

Zapamtiti!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

• dovesti kvadratnu jednadžbu na opći pogled"sjekira 2 + bx + c = 0". To jest, samo "0" treba ostati na desnoj strani;
• koristite formulu za korijenje:

Uzmimo primjer da shvatimo kako primijeniti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Riješimo kvadratnu jednadžbu.

X 2 - 3x - 4 = 0

Jednadžba "x 2 - 3x - 4 = 0" već je svedena na opći oblik "ax 2 + bx + c = 0" i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, trebamo se samo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Definirajmo koeficijente "a", "b" i "c" za ovu jednadžbu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uz njegovu pomoć rješava se svaka kvadratna jednadžba.

U formuli "x 1; 2 \u003d" korijenski izraz se često zamjenjuje
"b 2 − 4ac" na slovo "D" i naziva se diskriminantnim. Pojam diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji „Što je diskriminant“.

Razmotrimo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente "a", "b" i "c". Najprije dovedemo jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijenje.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada u kvadratnim jednadžbama nema korijena. Ova situacija se događa kada se u formuli ispod korijena pojavi negativan broj.