Dodavanje negativnih korijena. Što su kvadratni korijeni i kako se zbrajaju?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jaki "ne baš. »
A za one koji „vrlo ujednačeni. "")

U prethodnoj lekciji shvatili smo što je kvadratni korijen. Vrijeme je da shvatimo što su formule za korijene, Što su svojstva korijena i što se tu može učiniti.

Korijenske formule, svojstva korijena i pravila za radnje s korijenima su u biti ista stvar. Postoji iznenađujuće malo formula za kvadratne korijene. Što, naravno, raduje! Dapače, možete napisati mnogo raznih formula, ali samo tri su dovoljne za praktičan i siguran rad s korijenima. Sve ostalo proizlazi iz ovo troje. Iako mnogi zalutaju u tri formule korijena, da.

Počnimo s najjednostavnijim. evo nje:

Podsjećam vas (iz prethodne lekcije): a i b su nenegativni brojevi! Inače, formula nema smisla.

Ovaj svojstvo korijena , kao što vidite, jednostavno, kratko i bezopasno. Ali s ovom korijenskom formulom možete učiniti mnogo korisnih stvari! Pogledajmo primjeri sve te korisne stvari.

Korisna stvar prvi. Ova formula nam dopušta umnožiti korijene.

Kako umnožiti korijenje?

Da, vrlo jednostavno. Ravno na formulu. Na primjer:

Čini se da su se namnožili, pa što? Ima li puno radosti? Slažem se, malo. Ali kako ti se ovo sviđa primjer?

Korijeni se ne izvlače baš iz čimbenika. A rezultat je izvrstan! Već bolje, zar ne? Za svaki slučaj obavijestit ću vas da množitelja može biti koliko god želite. Formula za množenje korijena i dalje radi. Na primjer:

Dakle, s množenjem je sve jasno zašto je to potrebno svojstvo korijena- također je razumljivo.

Korisna stvar druga. Unos broja pod znakom korijena.

Kako unijeti broj ispod korijena?

Recimo da imamo ovaj izraz:

Je li moguće sakriti dvojku unutar korijena? Lako! Ako napravite korijen od dva, formula za množenje korijena će raditi. A kako napraviti korijen od dvojke? Da, ni to nije pitanje! Dvostruko je kvadratni korijen od četiri!

Usput, korijen se može napraviti od bilo kojeg nenegativnog broja! Ovo će biti kvadratni korijen kvadrata ovog broja. 3 je korijen od 9. 8 je korijen od 64. 11 je korijen od 121. Pa, i tako dalje.

Naravno, nema potrebe slikati tako detaljno. Osim, za početak. Dovoljno je shvatiti da se svaki nenegativan broj pomnožen s korijenom može dovesti pod korijen. Ali nemojte zaboraviti! - pod korijenom će ovaj broj postati kvadrat sam. Ova radnja - unošenje broja ispod korijena - također se može nazvati množenjem broja s korijenom. Općenito, može se napisati:

Proces je jednostavan, kao što vidite. Zašto je ona potrebna?

Kao i svaka transformacija, ovaj postupak proširuje naše mogućnosti. Mogućnosti da se okrutan i neugodan izraz lica pretvori u mekan i pahuljast). Evo jednog jednostavnog za vas primjer:

Kao što vidiš korijensko svojstvo,što omogućuje uvođenje faktora pod znakom korijena, sasvim je prikladno za pojednostavljenje.

Osim toga, dodavanje množitelja ispod korijena olakšava i jednostavno uspoređuje vrijednosti različitih korijena. Bez ikakve računice i kalkulatora! Treća korisna stvar.

Kako usporediti korijene?

Ova vještina je vrlo važna u solidnim misijama, pri otključavanju modula i drugim cool stvarima.

Usporedite ove izraze. Koji je više? Bez kalkulatora! Svaki s kalkulatorom. uh-uh. Ukratko, svatko to može!)

Ne kažeš to odmah. A ako unesete brojeve pod znakom korijena?

Sjetite se (odjednom, niste znali?): ako je broj pod znakom korijena veći, onda je veći i sam korijen! Otuda odmah točan odgovor, bez ikakvih kompliciranih kalkulacija i kalkulacija:

Super je, zar ne? Ali to nije sve! Podsjetimo da sve formule rade i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Do sada smo koristili formulu za množenje korijena s lijeva na desno. Pokrenimo ovo korijensko svojstvo unatrag, s desna na lijevo. Kao ovo:

A koja je razlika? Daje li ti nešto!? Sigurno! Sad ćete se i sami uvjeriti.

Pretpostavimo da trebamo izvući (bez kalkulatora!) kvadratni korijen broja 6561. Neki ljudi će u ovoj fazi pasti u neravnopravnoj borbi sa zadatkom. Ali mi smo tvrdoglavi, ne odustajemo! Korisna stvar četvrta.

Kako izvaditi korijene iz velikih brojeva?

Prisjećamo se formule za vađenje korijena iz proizvoda. Onaj koji sam postavio gore. Ali gdje je naš posao? Imamo ogroman broj 6561 i to je to. Da, nema umjetnosti. Ali ako nam zatreba, mi učinimo! Faktorimo ovaj broj. Imamo pravo.

Prvo, shvatimo s čime je točno djeljiv ovaj broj? Što, ne znaš!? Zaboravili ste znakove djeljivosti!? Uzalud. Ići Posebni odjel 555, tema je “Razlomci”, tu su. Ovaj broj je djeljiv sa 3 i 9. Budući da je zbroj znamenki (6+5+6+1=18) djeljiv ovim brojevima. Ovo je jedan od znakova djeljivosti. Ne trebamo dijeliti s tri (sada ćete razumjeti zašto), ali ćemo podijeliti s 9. Barem u kutu. Dobivamo 729. Dakle, pronašli smo dva faktora! Prva je devetka (sami smo je odabrali), a druga je 729 (tako je ispalo). Već možete napisati:

Shvaćate ideju? Učinimo isto s brojem 729. Također je djeljiv sa 3 i 9. Opet, ne dijelimo s 3, mi dijelimo s 9. Dobivamo 81. I znamo ovaj broj! Zapisujemo:

Sve je ispalo jednostavno i elegantno! Korijen se morao vaditi dio po dio, dobro, dobro. To se može učiniti bilo kojim velike brojke. Pomnožite ih i idite!

Usput, zašto niste morali podijeliti s 3, jeste li pogodili? Da, jer korijen od tri nije baš izvučen! Ima smisla rastaviti na faktore tako da se barem jedan korijen dobro izvuče. To je 4, 9, 16 i tako dalje. Podijelite svoj ogroman broj ovim brojevima zauzvrat, vidite, i imate sreće!

Ali ne nužno. Možda nema sreće. Recimo da će broj 432, kada se rastavlja na faktore i koristi korijenska formula za proizvod, dati sljedeći rezultat:

Pa dobro. Svejedno smo pojednostavili izraz. U matematici je običaj ostaviti najviše mali broj od mogućih. U procesu rješavanja sve ovisi o primjeru (možda se sve reducira bez pojednostavljenja), ali u odgovoru je potrebno dati rezultat koji se ne može dalje pojednostavljivati.

Usput, znate li što smo sada napravili s korijenom 432?

Mi izvadio faktore ispod znaka korijena ! Tako se zove ova operacija. A onda će zadatak pasti - " izvadi faktor ispod znaka korijena„Ali muškarci ni ne znaju.) Evo vam još jedne upotrebe svojstva korijena. Korisna stvar peta.

Kako izvaditi množitelj ispod korijena?

Lako. Faktorizirajte korijenski izraz i izdvojite korijene koji su ekstrahirani. Mi gledamo:

Ništa nadnaravno. Važno je odabrati prave množitelje. Ovdje smo 72 razložili kao 36 2. I sve je dobro ispalo. Ili su ga mogli drugačije razložiti: 72 = 6 12. Pa što!? Ni iz 6 ni iz 12 korijen se ne vadi. Što učiniti?!

U redu je. Ili potražite druge mogućnosti razlaganja ili nastavite izlagati sve do kraja! Kao ovo:

Kao što vidite, sve je uspjelo. Inače, ovo nije najbrže, ali najviše pouzdan način. Razložite broj na najmanje faktore, a zatim skupite iste u hrpe. Metoda se također uspješno primjenjuje kod množenja nezgodnih korijena. Na primjer, trebate izračunati:

Pomnožite sve - dobit ćete ludi broj! I kako onda izvući korijen iz njega ?! Opet množiti? Ne, ne treba nam dodatni posao. Odmah razlažemo na faktore i skupljamo iste u hrpe:

To je sve. Naravno, nije potrebno polagati do kraja. Sve je određeno vašim osobnim sposobnostima. Doveo je primjer u stanje u kojem sve ti je jasno pa već možete računati. Glavna stvar je ne pogriješiti. Ne čovjek za matematiku, nego matematika za čovjeka!)

Primijenimo znanje u praksu? Počnimo s jednostavnim:

Pravilo za zbrajanje kvadratnog korijena

Svojstva kvadratnog korijena

Do sada smo izveli pet računskih operacija nad brojevima: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i stepenovanje, a razna svojstva ovih operacija aktivno su korištena u izračunima, na primjer, a + b = b + a, i n -b n = (ab) n, itd.

Ovo poglavlje uvodi novu operaciju - uzimanje kvadratnog korijena nenegativnog broja. Da biste ga uspješno koristili, morate se upoznati sa svojstvima ove operacije, što ćemo učiniti u ovom odjeljku.

Dokaz. Uvedemo sljedeću notaciju:
Moramo dokazati da je za nenegativne brojeve x, y, z jednakost x = yz istinita.

Dakle, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Tada je x 2 \u003d y 2 z 2, tj. x 2 \u003d (yz) 2.

Ako kvadratiće dva nenegativna broja su jednaka, tada su i sami brojevi jednaki, što znači da iz jednakosti x 2 \u003d (yz) 2 slijedi da je x = yz, a to je trebalo dokazati.

Dajemo kratak zapis dokaza teorema:

Napomena 1. Teorem ostaje važeći za slučaj kada je radikalni izraz proizvod više od dva nenegativna faktora.

Napomena 2. Teorema 1 se može napisati pomoću "ako. , onda” (kao što je uobičajeno za teoreme u matematici). Dajemo odgovarajuću formulaciju: ako su a i b nenegativni brojevi, onda je jednakost .

Ovako formuliramo sljedeći teorem.

(Kratka formulacija koja je prikladnija za korištenje u praksi: korijen razlomka jednako razlomku iz korijena ili korijen kvocijenta jednak je količniku korijena.)

Ovaj put ćemo dati samo kratak zapis dokaza, a vi možete pokušati dati odgovarajuće komentare slične onima koji su činili bit dokaza teorema 1.

Primjer 1. Izračunajte .
Riješenje. Koristeći prvo svojstvo kvadratni korijeni(Teorem 1), dobivamo

Napomena 3. Naravno, ovaj se primjer može riješiti i na drugi način, pogotovo ako imate pri ruci kalkulator: pomnožite brojeve 36, 64, 9, a zatim uzmite kvadratni korijen dobivenog proizvoda. Međutim, složit ćete se da gore predloženo rješenje izgleda kulturnije.

Napomena 4. U prvoj metodi izvršili smo direktne izračune. Drugi način je elegantniji:
prijavili smo se formula a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) i koristio svojstvo kvadratnog korijena.

Napomena 5. Neki "vruće glave" ponekad nude sljedeće "rješenje" za primjer 3:

To, naravno, nije točno: vidite - rezultat nije isti kao u našem primjeru 3. Činjenica je da nema svojstva kao ne i svojstva Postoje samo svojstva koja se odnose na množenje i dijeljenje kvadratnih korijena. Budite pažljivi i oprezni, ne uzimajte želje.

Primjer 4. Izračunaj: a)
Riješenje. Bilo koja formula u algebri se koristi ne samo "s desna na lijevo", već i "s lijeva na desno". Dakle, prvo svojstvo kvadratnog korijena znači da se, ako je potrebno, može predstaviti kao , i obrnuto, što se može zamijeniti izrazom Isto vrijedi i za drugo svojstvo kvadratnih korijena. Imajući to na umu, riješimo predloženi primjer.

Zaključujući odjeljak, napominjemo još jedan prilično jednostavan i istovremeno važno vlasništvo:
ako je a > 0 i n - prirodni broj , onda

Primjer 5 Izračunati , bez korištenja tablice kvadrata brojeva i kalkulatora.

Riješenje. Razložimo korijenski broj na proste faktore:

Napomena 6. Ovaj bi se primjer mogao riješiti na isti način kao i sličan primjer u § 15. Lako je pogoditi da će odgovor biti “80 s repom”, budući da je 80 2 2 . Nađimo "rep", tj. posljednju znamenku željenog broja. Do sada znamo da ako se korijen izvuče, onda odgovor može biti 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 ili 89. Potrebno je provjeriti samo dva broja: 84 i 86, jer samo oni, kada je na kvadrat, dat će kao rezultat četveroznamenkasti broj koji završava na 6, tj. ista znamenka koja završava brojem 7056. Imamo 84 2 \u003d 7056 - to je ono što nam treba. Sredstva,

Mordkovich A. G., Algebra. 8. razred: Proc. za opće obrazovanje institucije - 3. izd., dovršeno. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 str.: ilustr.

Knjige, udžbenici matematike preuzeti, sažetak za pomoć učitelju i učenicima, učiti online

Ako imate ispravke ili prijedloge za ovu lekciju, pišite nam.

Želite li vidjeti ostale ispravke i prijedloge za nastavu, pogledajte ovdje - Obrazovni forum.

Kako dodati kvadratni korijen

Kvadratni korijen broja x nazvao broj A, koji se u procesu množenja sam po sebi ( A*A) može dati broj x.
Oni. A * A = A 2 = X, I √X = A.

Preko kvadratnog korijena ( √x), kao i s drugim brojevima, možete izvoditi aritmetičke operacije kao što su oduzimanje i zbrajanje. Za oduzimanje i dodavanje korijena, oni moraju biti povezani pomoću znakova koji odgovaraju ovim radnjama (npr √x - √y ).
A onda im donesite korijenje najjednostavniji oblik- ako među njima ima sličnih, potrebno je napraviti gips. Sastoji se od toga da se koeficijenti sličnih članova uzimaju sa predznacima odgovarajućih članova, zatim se stavljaju u zagrade i zajednički korijen se prikazuje izvan množiteljskih zagrada. Koeficijent koji smo dobili pojednostavljujemo prema uobičajenim pravilima.

Korak 1. Vađenje kvadratnog korijena

Prvo, da biste dodali kvadratne korijene, prvo morate izdvojiti te korijene. To se može učiniti ako su brojevi pod znakom korijena savršeni kvadrati. Na primjer, uzmite dati izraz √4 + √9 . Prvi broj 4 je kvadrat broja 2 . Drugi broj 9 je kvadrat broja 3 . Tako se može dobiti sljedeća jednakost: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Sve, primjer je riješen. Ali ne događa se uvijek tako.

Korak 2. Vađenje množitelja broja ispod korijena

Ako ispod predznaka korijena nema punih kvadrata, možete pokušati izvaditi množitelj broja ispod predznaka korijena. Na primjer, uzmite izraz √24 + √54 .

Faktorizirajmo brojeve:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Na popisu 24 imamo množitelj 4 , može se izvaditi ispod znaka kvadratnog korijena. Na popisu 54 imamo množitelj 9 .

Dobivamo jednakost:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Uzimajući u obzir ovaj primjer, dobivamo uklanjanje faktora ispod predznaka korijena, čime se pojednostavljuje zadani izraz.

Korak 3. Smanjenje nazivnika

Razmotrimo sljedeću situaciju: zbroj dvaju kvadratnih korijena nazivnik je razlomka, na primjer, A / (√a + √b).
Sada smo suočeni sa zadatkom "osloboditi se iracionalnosti u nazivniku".
Upotrijebimo sljedeću metodu: pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka s izrazom √a - √b.

Sada dobivamo skraćenu formulu množenja u nazivniku:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Slično, ako nazivnik sadrži razliku korijena: √a - √b, brojnik i nazivnik razlomka množe se izrazom √a + √b.

Uzmimo razlomak kao primjer:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Primjer redukcije kompleksnog nazivnika

Sada razmotrimo dovoljno složen primjer oslobodivši se iracionalnosti u nazivniku.

Uzmimo razlomak kao primjer: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebate uzeti njegov brojnik i nazivnik i pomnožiti s izrazom √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Korak 4. Izračunajte približnu vrijednost na kalkulatoru

Ako trebate samo približnu vrijednost, to se može učiniti na kalkulatoru izračunavanjem vrijednosti kvadratnog korijena. Zasebno, za svaki broj, vrijednost se izračunava i bilježi s potrebnom točnošću koja je određena brojem decimalnih mjesta. Nadalje, izvode se sve potrebne operacije, kao i s običnim brojevima.

Primjer izračuna procjene

Potrebno je izračunati približnu vrijednost ovog izraza √7 + √5 .

Kao rezultat, dobivamo:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Imajte na umu: ni u kojem slučaju se kvadratni korijeni ne smiju dodavati kao prosti brojevi, to je potpuno neprihvatljivo. To jest, ako zbrojite kvadratni korijen od pet i tri, ne možemo dobiti kvadratni korijen od osam.

Korisni savjet: ako se odlučite faktorizirati broj, kako biste izvukli kvadrat ispod predznaka korijena, morate napraviti obrnutu provjeru, odnosno pomnožiti sve faktore koji su proizašli iz izračuna, a konačni rezultat toga matematički izračun trebao bi biti broj koji smo izvorno dobili.

Radnja s korijenima: zbrajanje i oduzimanje

Izdvajanje kvadratnog korijena iz broja nije jedina operacija koja se može izvesti s ovim matematičkim fenomenom. Baš kao i obični brojevi kvadratni korijeni zbrajati i oduzimati.

Pravila za zbrajanje i oduzimanje kvadratnih korijena

Radnje kao što su dodavanje i oduzimanje kvadratnog korijena moguće su samo ako je korijenski izraz isti.

Možete zbrajati ili oduzimati izraze 2 3 i 6 3, ali ne 5 6 I 9 4 . Ako je moguće pojednostaviti izraz i dovesti ga do korijena s istim korijenskim brojem, onda ga pojednostavite, a zatim zbrojite ili oduzmite.

Korijenske radnje: Osnove

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Pojednostavite korijenski izraz. Da biste to učinili, potrebno je razložiti korijenski izraz na 2 faktora, od kojih je jedan kvadratni broj (broj iz kojeg se izdvaja cijeli kvadratni korijen, na primjer, 25 ili 9).
2. Zatim morate izvaditi korijen iz kvadratni broj a dobivenu vrijednost upiši ispred predznaka korijena. Imajte na umu da je drugi faktor upisan pod znakom korijena.
3. Nakon postupka pojednostavljenja, potrebno je podcrtati korijene istim radikalnim izrazima - samo se oni mogu zbrajati i oduzimati.
4. Za korijene s istim radikalnim izrazima potrebno je zbrojiti ili oduzeti faktore koji prethode predznaku korijena. Korijenski izraz ostaje nepromijenjen. Nemojte zbrajati ili oduzimati korijenske brojeve!

Ako imate primjer sa veliki iznos identične radikalne izraze, zatim ih podcrtajte jednostrukim, dvostrukim i trostrukim crtama kako biste olakšali proces izračuna.

Pokušajmo ovaj primjer:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Prvo trebate razložiti 50 na 2 faktora 25 i 2, zatim uzeti korijen od 25, što je 5, i izvaditi 5 ispod korijena. Nakon toga, trebate pomnožiti 5 sa 6 (množitelj u korijenu) i dobiti 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Prvo, trebate razložiti 8 na 2 faktora: 4 i 2. Zatim, iz 4, izvadite korijen, koji je jednak 2, i izvadite 2 ispod korijena. Nakon toga, trebate pomnožiti 2 s 2 (faktor u korijenu) i dobiti 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Prvo, trebate rastaviti 12 na 2 faktora: 4 i 3. Zatim izvadite korijen iz 4, što je 2, i izvadite ga ispod korijena. Nakon toga, trebate pomnožiti 2 s 5 (faktor u korijenu) i dobiti 10 3 .

Rezultat pojednostavljenja: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Kao rezultat toga, vidjeli smo koliko je identičnih radikalnih izraza sadržano u ovaj primjer. A sada vježbajmo s drugim primjerima.

• Pojednostavite (45) . Faktoriziramo 45: (45) = (9 × 5) ;
• Izvadimo 3 ispod korijena (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Zbrajamo faktore u korijenima: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Pojednostavljivanje 6 40 . Faktoriziramo 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Izvadimo 2 ispod korijena (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
• Pomnožimo faktore koji su ispred korijena: 12 10;
• Izraz zapisujemo u pojednostavljenom obliku: 12 10 - 3 10 + 5;
• Budući da prva dva člana imaju iste korijenske brojeve, možemo ih oduzeti: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Kao što vidimo, radikalne brojeve nije moguće pojednostaviti, stoga u primjeru tražimo članove s istim radikalnim brojevima, izvodimo matematičke operacije (zbrajamo, oduzimamo, itd.) i zapisujemo rezultat:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

savjet:

• Prije zbrajanja ili oduzimanja, neophodno je pojednostaviti (ako je moguće) radikalne izraze.
• Dodavanje i oduzimanje korijena s različitim korijenskim izrazima strogo je zabranjeno.
• Nemojte zbrajati niti oduzimati cijeli broj ili kvadratni korijen: 3 + (2 x) 1/2.
• Kada izvodite radnje s razlomcima, trebate pronaći broj koji je potpuno djeljiv sa svakim nazivnikom, zatim razlomke dovesti u zajednički nazivnik, zatim zbrojiti brojnike i ostaviti nazivnike nepromijenjene.

Svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena. Moć aritmetičkog kvadratnog korijena

Pretvaranje aritmetičkih kvadratnih korijena. Pretvorba aritmetičkih kvadratnih korijena

Izdvojiti kvadratni korijen polinoma, potrebno je izračunati polinom i iz dobivenog broja izdvojiti korijen.

Pažnja! Nemoguće je izdvojiti korijen iz svakog člana (smanjenog i oduzetog) zasebno.

Shchob za pobjedu kvadratni korijen polinoma, zahtjev je izračunati bogati član i iz oduzetog broja uzeti korijen.

Poštovanje! Nemoguće je izvaditi korijen iz dodatka kože (promijenjen i vidljiv) OKremo.

Izvlačenje kvadratnog korijena proizvoda (kvocijenta), možete izračunati kvadratni korijen svakog faktora (dividende i djelitelja) i uzeti dobivene vrijednosti prema umnošku (kvocijentu).

Osvojiti kvadratni korijen dobutke (dijelovi), možete izračunati kvadratni korijen množitelja kože (podijeljeno i dilnik), a decimalnu vrijednost uzeti kao dopunsku (često).

Da se uzme kvadratni korijen razlomka, morate odvojeno izdvojiti kvadratni korijen brojnika i nazivnika, a dobivene vrijednosti ostaviti kao razlomak ili izračunati kao kvocijent (ako je moguće prema uvjetu).

Za osvajanje kvadratnog korijena razlomka, potrebno je uzeti kvadratni korijen brojevne knjige i transparenta okremo, a razlomkom oduzeti vrijednost razlomka, ili ga ubrojiti kao dio (kako je to za um moguće).

Faktor se može izvaditi ispod znaka korijena, a faktor se može uvesti pod znak korijena. Kada se faktor izuzme, iz njega se izvlači korijen, a kada se unese, podiže se na odgovarajuću snagu.

3. korijenski predznak se može množiti, a korijenski znak može se množiti. Greškom množitelja korijenje se uvija, a uvođenjem se korijenje gradi na višim nogama.

Primjeri. Prijavite se

Da biste pretvorili zbroj (razliku) kvadratnih korijena, morate korijenske izraze dovesti na jednu bazu stupnja, ako je moguće izdvojiti korijene iz stupnjeva i napisati ih ispred predznaka korijena, a preostale kvadratne korijene sa mogu se dodati isti korijenski izrazi, za koje se koeficijenti zbrajaju prije predznaka i dodaju isti kvadratni korijen.

Da bi se prepravio zbroj (trošak) kvadratnih korijena, potrebno je korijenske korijene dovesti na jednu od baza koraka, koliko je to moguće, uzeti korijen koraka i zapisati ih ispred znakova korijene, i rješenje kvadratnog korijena s istim korijenskim riječima, koje mogu sastaviti za ono što mogu dodati i dodati isti kvadratni korijen.

Sve radikalne izraze dovodimo u bazu 2.

Iz parnog stupnja korijen se vadi u potpunosti, iz neparnog stupnja korijen baze u stupnju 1 ostavlja se pod znakom korijena.

Dajemo slične cijele brojeve i zbrajamo koeficijente s istim korijenima. Binom zapisujemo kao umnožak broja i binoma zbroja.

Donesite sve podkorijene virazi u bazu 2.

Od uparene faze korijenje se diže u nizu, od nesparenog stupnja se korijenje baze u stupnju 1 puni pod znakom korijena.

Predlaže se da se slični brojevi i koeficijenti dodaju istim korijenima. Binom zapisujemo kao dodatak broja i sumi binoma.

Radikalne izraze dovodimo na najmanju bazu ili umnožak potencija s najmanjim bazama. Izdvajamo korijen iz parnih stupnjeva radikalnih izraza, a ostatke ostavljamo u obliku baze stupnja s pokazateljem 1 ili umnožaka takvih baza pod znakom korijena. Dajemo slične pojmove (zbrojimo koeficijente istih korijena).

Korijen virazi vodimo do najmanje baze ili dodavanja koraka s najmanjim bazama. Iz parnih stepenica ispod korijena viraza uzimaju se korijeni, puni se višak u podnožju stepenice s indikatorom 1 ili dodatkom takvih baza pod znakom korijena. Predlažemo slične pojmove (zbrajamo koeficijente istih korijena).

Zamijenimo dijeljenje razlomaka množenjem (sa zamjenom drugog razlomka recipročnim). Odvojeno pomnožite brojnike i nazivnike. Ispod svakog znaka korijena ističemo stupnjeve. Poništimo iste faktore u brojniku i nazivniku. Mi izvlačimo korijene iz parnih moći.

Dijeljenje razlomaka zamjenjujemo množenjem (sa zamjenom drugog razlomka povratom). Pomnožite okremo brojeve i natpise razlomaka. Koraci su vidljivi ispod kožnog znaka korijena. Ubrzat ćemo iste množitelje u brojčaniku i banneru. Okrivite korijen koraka blizanaca.

Za usporedbu dva kvadratna korijena, njihovi radikalni izrazi moraju se svesti na stupnjeve s istom bazom, onda što više pokazujete stupnjeve radikalnog izraza, to je veća vrijednost kvadratnog korijena.

U ovom se primjeru radikalni izrazi ne mogu svesti na jednu bazu, jer je baza 3 u prvom, a 3 i 7 u drugom.

Drugi način za usporedbu je unošenje koeficijenta korijena u radikalni izraz i usporedba brojčanih vrijednosti radikalnih izraza. Za kvadratni korijen, što je veći izraz korijena, to je veća vrijednost korijena.

Za podudaranje dva kvadratna korijena, njihovi podkorijeni moraju se dovesti na razinu s istom osnovom, dok što je veći pokazatelj stupnja podkorijena virusa, to je veća vrijednost kvadratnog korijena.

U ovom slučaju nije moguće dovesti na jednu osnovu korijenske korijene virazi, jer je u prvom osnova 3, au drugom - 3 i 7.

Drugi način izjednačavanja je dodavanje korijenskog koeficijenta korijenskoj virazi i izjednačavanje brojčanih vrijednosti korijenske viraze. Kvadratni korijen ima više podkorijena viraz, to je veća vrijednost korijena.

Koristeći distributivni zakon množenja i pravilo množenja korijena s istim eksponentima (u našem slučaju kvadratnim korijenima), dobili smo zbroj dvaju kvadratnih korijena s umnoškom pod predznakom korijena. Rastavljamo 91 na proste faktore i vadimo korijen iz zagrada s uobičajenim radikalnim faktorima (13 * 5).

Dobili smo umnožak korijena i binoma u kojem je jedan od monoma cijeli broj (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny zakon množenja i pravilo množenja korijena s istim pokazateljima (u našem slučaju - kvadratni korijeni), uzeo je zbroj dva kvadratna korijena s dodatnim korijenom pod znakom korijena. Možemo jednostavno postaviti 91 množitelj i uzeti korijen za lukove iz korijenskih množitelja (13 * 5).

Uzeli smo zbrajanje korijena i binarne, koja ima jedan od mononoma u cijelom broju (1).

Primjer 9:

U radikalnim izrazima faktorima biramo brojeve iz kojih možemo izdvojiti cijeli kvadratni korijen. Izvlačimo kvadratne korijene iz potencija i stavljamo brojeve koeficijentima kvadratnog korijena.

Članovi ovog polinoma imaju zajednički faktor √3, koji se može izvaditi iz zagrada. Predstavimo slične pojmove.

U podkorijenskim virazama se vidi kao množitelji broja iz kojih se može uzeti kvadratni korijen. Okrivljujemo kvadratne korijene koraka i stavljamo brojeve s koeficijentima kvadratnih korijena.

Članovi ovog polinoma imaju zajednički množitelj √3, što se može okriviti za krakove. Predlažemo slične dodatke.

Umnožak zbroja i razlike dva iste baze(3 i √5) pomoću skraćene formule množenja može se zapisati kao razlika kvadrata baza.

Kvadratni korijen na kvadrat uvijek je jednak radikalnom izrazu, pa ćemo se radikala (znaka korijena) u izrazu riješiti.

Dobutok zbroj i razlika dviju identičnih baza (3 í √5) iz formule brzog množenja mogu se zapisati kao razlika kvadratnih baza.

Kvadratni korijen kvadrata zavzhd jednak je podkorijenskoj virazi, pa ćemo nazvati radikal (korijenski znak) viraze.

Natrag u školu. Dodavanje korijena

U naše vrijeme, moderna elektronička računala, izračun korijena broja nije zastupljen izazovan zadatak. Na primjer, √2704=52, bilo koji kalkulator će to izračunati za vas. Na sreću, kalkulator nije samo u Windowsima, već i u običnom, čak i najjednostavnijem telefonu. Istina, ako se iznenada (s malim stupnjem vjerojatnosti, čiji izračun, usput rečeno, uključuje dodavanje korijena) nađete bez raspoloživih sredstava, onda ćete se, nažalost, morati osloniti samo na svoj mozak.

Trening uma nikada ne zataji. Pogotovo za one koji ne rade tako često s brojevima, a još više s korijenima. Dodavanje i oduzimanje korijena dobra je vježba za dosadan um. I pokazat ću vam korak po korak dodavanje korijena. Primjeri izraza mogu biti sljedeći.

Jednadžba koju treba pojednostaviti je:

Ovo je iracionalan izraz. Da biste ga pojednostavili, morate sve radikalne izraze svesti na opći pogled. Radimo to u fazama:

Prvi broj se više ne može pojednostaviti. Prijeđimo na drugi mandat.

3√48 faktoriziramo 48: 48=2×24 ili 48=3×16. Kvadratni korijen od 24 nije cijeli broj, tj. ima razlomak ostatka. Pošto nam treba točna vrijednost, onda nam približni korijeni ne odgovaraju. Kvadratni korijen od 16 je 4, izvadite ga ispod znaka korijena. Dobivamo: 3×4×√3=12×√3

Naš sljedeći izraz je negativan, t.j. napisano sa predznakom minus -4×√(27.) Faktoring 27. Dobivamo 27=3×9. Ne koristimo razlomke, jer je iz razlomaka teže izračunati kvadratni korijen. Izvadimo 9 ispod znaka, t.j. izračunati kvadratni korijen. Dobivamo sljedeći izraz: -4×3×√3 = -12×√3

Sljedeći član √128 izračunava dio koji se može izvaditi ispod korijena. 128=64×2 gdje je √64=8. Ako vam to olakšava, ovaj izraz možete predstaviti ovako: √128=√(8^2×2)

Prepisujemo izraz s pojednostavljenim pojmovima:

Sada zbrajamo brojeve s istim radikalnim izrazom. Ne možete zbrajati ili oduzimati izraze s različitim radikalnim izrazima. Dodavanje korijena zahtijeva poštivanje ovog pravila.

Dobijamo sljedeći odgovor:

√2=1×√2 - Nadam se da je u algebri uobičajeno izostavljanje takvih elemenata za vas neće biti novost.

Izrazi se mogu predstaviti ne samo kvadratnim korijenima, već i kubnim ili n-tim korijenima.

Zbrajanje i oduzimanje korijena s različitim eksponentima, ali s ekvivalentnim korijenskim izrazom, događa se na sljedeći način:

Ako imamo izraz kao što je √a+∛b+∜b, onda ovaj izraz možemo pojednostaviti ovako:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Dva slična člana smo sveli na zajednički eksponent korijena. Ovdje je korišteno svojstvo korijena koje kaže: ako se broj stupnja radikalnog izraza i broj korijenskog eksponenta pomnoži s istim brojem, tada će njegov izračun ostati nepromijenjen.

Napomena: eksponenti se zbrajaju samo kada se množe.

Razmotrimo primjer gdje su razlomci prisutni u izrazu.

Riješimo korak po korak:

5√8=5*2√2 - izvadimo izvađeni dio ispod korijena.

Ako je tijelo korijena predstavljeno razlomkom, tada se često taj razlomak neće promijeniti ako se uzme kvadratni korijen djelitelja i djelitelja. Kao rezultat, dobili smo gore opisanu jednakost.

Evo odgovora.

Glavna stvar koju treba zapamtiti je da se korijen s parnim eksponentom ne izdvaja iz negativnih brojeva. Ako je izraz radikalnog parnog stupnja negativan, tada je izraz nerješiv.

Dodavanje korijena moguće je samo ako se radikalni izrazi podudaraju, budući da su slični pojmovi. Isto vrijedi i za razliku.

Zbrajanje korijena s različitim brojčanim eksponentima provodi se svođenjem oba člana na zajednički korijenski stupanj. Ovaj zakon djeluje na isti način kao svođenje na zajednički nazivnik pri zbrajanju ili oduzimanju razlomaka.

Ako radikalni izraz sadrži broj podignut na stepen, onda se ovaj izraz može pojednostaviti pod uvjetom da postoji zajednički nazivnik između korijena i eksponenta.

Kvadratni korijen proizvoda i razlomka

Kvadratni korijen od a je broj čiji je kvadrat a. Na primjer, brojevi -5 i 5 su kvadratni korijeni broja 25. To jest, korijeni jednadžbe x^2=25 su kvadratni korijeni broja 25. Sada morate naučiti kako raditi s operacija kvadratnog korijena: proučiti njegova osnovna svojstva.

Kvadratni korijen proizvoda

√(a*b)=√a*√b

Kvadratni korijen umnoška dvaju nenegativnih brojeva jednak je umnošku kvadratnih korijena tih brojeva. Na primjer, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Važno je razumjeti da ovo svojstvo vrijedi i za slučaj kada je radikalni izraz umnožak tri, četiri itd. nenegativni množitelji.

Ponekad postoji i druga formulacija ovog svojstva. Ako su a i b nenegativni brojevi, tada vrijedi sljedeća jednakost: √(a*b) =√a*√b. Nema apsolutno nikakve razlike između njih, možete koristiti ili jednu ili drugu formulaciju (koju je prikladnije zapamtiti).

Kvadratni korijen razlomka

Ako je a>=0 i b>0, tada je tačna sljedeća jednakost:

√(a/b)=√a/√b.

Na primjer, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Ovo svojstvo također ima drugačiju formulaciju, po mom mišljenju, prikladniju za pamćenje.
Kvadratni korijen kvocijenta jednak je kvocijentu korijena.

Vrijedi napomenuti da ove formule rade i s lijeva na desno i s desna na lijevo. To jest, ako je potrebno, možemo predstaviti umnožak korijena kao korijen proizvoda. Isto vrijedi i za drugu nekretninu.

Kao što vidite, ova svojstva su vrlo zgodna, a ja bih želio imati ista svojstva za zbrajanje i oduzimanje:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Ali nažalost takva svojstva su kvadratna nemaju korijena, i tako ne može se izvršiti u proračunima..

• 13. Vožnja prometnim raskrižjima 2018 s komentarima online 13.1. Prilikom skretanja udesno ili ulijevo, vozač mora ustupiti mjesto pješacima i biciklistima koji prelaze kolovoz cesta u koju skreće. Ova se uputa odnosi na sve […]
• Roditeljski sastanak "Prava, dužnosti i odgovornosti roditelja" Prezentacija za sat Preuzmi prezentaciju (536,6 kB) Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja sve […]
• Regionalni majčinski kapital u regiji Orel Regionalni majčinski kapital (MC) u Orelu i regiji Orel osnovan je 2011. godine. Sada je to dodatna mjera socijalna podrška velike obitelji u obliku jednokratne gotovine […]
• Iznos paušalnog iznosa pri upisu u ranih datuma 2018. Stranica koju ste tražili nije pronađena. Možda ste unijeli pogrešnu adresu ili je stranica uklonjena. Koristiti […]
• Odvjetnik za ekonomske predmete ekonomskoj sferi je prilično širok pojam. Te aktivnosti uključuju prijevaru, nezakonito poslovanje, legalizacija Novac stečeno nezakonito, nezakonito bankarstvo […]
• Press služba Centralne banke Ruska Federacija(Banka Rusije) Press služba 107016, Moskva, ul. Neglinnaya, 12www.cbr.ru O imenovanju privremene uprave, Odjel za vanjske i javne odnose Banke Rusije obavještava da, u skladu sa stavkom 2. […]
• opće karakteristike I kratki pregled vodni putovi Klasifikacija vodenih bazena Klasifikacija vodenih bazena za plovidbu plovila za razonodu (malih) plovila, pod nadzorom GIMS-a Rusije, provodi se ovisno o […]
• Kučerena = odvjetnik Viktora Tsoija A ovo je ekskluziva: današnje pismo Anatolija Kučerene. U nastavku teme. Ovo pismo još nitko nije objavio. I trebalo bi, mislim. Za sada 1. dio. Uskoro ću objaviti i drugi dio koji potpisuje poznati odvjetnik. Zašto je to važno? […]

Zdravo mačkice! Prošli put smo detaljno analizirali što su korijeni (ako se ne sjećate, preporučujem čitanje). Glavni zaključak te lekcije: postoji samo jedna univerzalna definicija korijena, koju morate znati. Ostalo su gluposti i gubljenje vremena.

Danas idemo dalje. Naučit ćemo množiti korijene, proučavat ćemo neke probleme povezane s množenjem (ako se ti problemi ne riješe, onda mogu postati kobni na ispitu) i pravilno ćemo vježbati. Zato se opskrbite kokicama, raskomotite se - i krećemo. :)

Nisi još pušio, zar ne?

Lekcija se pokazala prilično velikom pa sam je podijelio u dva dijela:

1. Prvo ćemo pogledati pravila za množenje. Čini se da kapa nagovještava: ovo je kada postoje dva korijena, između njih je znak "množenje" - i želimo nešto učiniti s njim.
2. Zatim ćemo analizirati obrnutu situaciju: postoji jedan veliki korijen, a bili smo nestrpljivi da ga predstavimo kao proizvod dvaju korijena na jednostavniji način. S kojim strahom je to potrebno, posebno je pitanje. Analizirat ćemo samo algoritam.

Za one koji jedva čekaju uskočiti odmah u 2. dio, dobrodošli ste. Počnimo s ostalim redom.

Osnovno pravilo množenja

Počnimo s najjednostavnijim - klasičnim kvadratnim korijenima. One koje su označene s $\sqrt(a)$ i $\sqrt(b)$. Za njih je općenito sve jasno:

pravilo množenja. Da pomnožite jedan kvadratni korijen drugim, trebate samo pomnožiti njihove radikalne izraze i rezultat napisati pod zajedničkim radikalom:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nema dodatnih ograničenja za brojeve s desne ili lijeve strane: ako postoje korijeni množitelja, postoji i proizvod.

Primjeri. Razmotrimo četiri primjera s brojevima odjednom:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(poravnati)\]

Kao što vidite, glavno značenje ovog pravila je pojednostaviti iracionalne izraze. A ako bismo u prvom primjeru izvukli korijene iz 25 i 4 bez ikakvih novih pravila, onda počinje kalaj: $\sqrt(32)$ i $\sqrt(2)$ ne broje se sami, nego njihov umnožak ispada točan kvadrat, pa je njegov korijen jednak racionalnom broju.

Zasebno, želio bih napomenuti zadnji redak. Tamo su oba radikalna izraza razlomci. Zahvaljujući proizvodu mnogi faktori se poništavaju, a cijeli izraz se pretvara u adekvatan broj.

Naravno, neće uvijek sve biti tako lijepo. Ponekad će ispod korijena biti potpuno sranje - nije jasno što učiniti s tim i kako se transformirati nakon množenja. Malo kasnije, kada počnete učiti iracionalne jednadžbe i nejednakosti, općenito će postojati sve vrste varijabli i funkcija. I vrlo često, sastavljači problema samo računaju na činjenicu da ćete pronaći neke ugovorne uvjete ili čimbenike, nakon čega će se zadatak uvelike pojednostaviti.

Osim toga, nije potrebno množiti točno dva korijena. Možete pomnožiti tri odjednom, četiri - da čak deset! Ovo neće promijeniti pravilo. Pogledaj:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(poravnati)\]

I opet mala napomena na drugi primjer. Kao što vidite, u trećem množitelju ispod korijena se nalazi decimalni razlomak - u procesu izračuna zamjenjujemo ga običnim, nakon čega se sve lako smanjuje. Dakle: toplo preporučujem da se riješite decimalnih razlomaka u svim iracionalnim izrazima (odnosno da sadrže barem jednu radikalnu ikonu). Time ćete u budućnosti uštedjeti mnogo vremena i živaca.

Ali to je bila lirska digresija. Sada razmotrimo općenitiji slučaj - kada korijenski eksponent sadrži proizvoljan broj $n$, a ne samo "klasična" dva.

Slučaj proizvoljnog pokazatelja

Dakle, shvatili smo kvadratni korijen. A što s kockama? Ili općenito s korijenima proizvoljnog stupnja $n$? Da, sve je isto. Pravilo ostaje isto:

Za množenje dva korijena stupnja $n$, dovoljno je pomnožiti njihove radikalne izraze, nakon čega se rezultat zapisuje pod jednim radikalom.

Općenito, ništa komplicirano. Osim ako obujam izračuna može biti veći. Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjeri. Izračunaj proizvode:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= pet; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(poravnati)\]

I opet pozornost na drugi izraz. Pomnožimo kubne korijene, riješimo se decimalnog razlomka i kao rezultat dobijemo umnožak brojeva 625 i 25 u nazivniku. veliki broj- Osobno, ne razmišljam odmah čemu je to jednako.

Stoga smo jednostavno odabrali točnu kocku u brojniku i nazivniku, a zatim upotrijebili jedno od ključnih svojstava (ili, ako želite, definiciju) korijena $n$-tog stupnja:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\lijevo| a\desno|. \\ \end(poravnati)\]

Takve “prijevare” mogu vam uštedjeti dosta vremena na ispitu odn kontrolni rad pa zapamti:

Nemojte žuriti s množenjem brojeva u radikalnom izrazu. Prvo provjerite: što ako je točan stupanj bilo kojeg izraza tamo "šifriran"?

Uz svu očitost ove primjedbe, moram priznati da većina nespremnih studenata ne vidi točne diplome. Umjesto toga, množe sve naprijed, a onda se pitaju: zašto su dobili tako brutalne brojke? :)

Međutim, sve je to dječja igra u odnosu na ono što ćemo sada proučavati.

Množenje korijena s različitim eksponentima

Pa, sada možemo množiti korijene s istim eksponentima. Što ako se rezultati razlikuju? Recimo, kako pomnožiti običan $\sqrt(2)$ s nekim sranjem poput $\sqrt(23)$? Je li to uopće moguće učiniti?

Da, naravno da možete. Sve se radi prema ovoj formuli:

Pravilo množenja korijena. Da pomnožite $\sqrt[n](a)$ s $\sqrt[p](b)$, samo napravite sljedeću transformaciju:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Međutim, ova formula funkcionira samo ako radikalni izrazi su nenegativni. Ovo je vrlo važna napomena, na koju ćemo se vratiti malo kasnije.

Za sada, pogledajmo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt (1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(poravnati)\]

Kao što vidite, ništa komplicirano. Sada shvatimo odakle dolazi zahtjev za nenegativnost i što će se dogoditi ako ga prekršimo. :)

Lako je umnožiti korijene.

Zašto radikalni izrazi moraju biti nenegativni?

Naravno, možete biti kao učitelji škole i pametno citiraj udžbenik:

Zahtjev nenegativnosti povezan je s različitim definicijama korijena parnih i neparnih stupnjeva (odnosno, njihova područja definicije su također različita).

Pa, postalo je jasnije? Osobno, kada sam čitao ovu glupost u 8. razredu, za sebe sam shvatio nešto ovako: “Zahtjev nenegativnosti je povezan s *#&^@(*#@^#)~%” - ukratko, ja tad nisam nista razumio. :)

Pa ću sada sve objasniti na normalan način.

Prvo, otkrijmo odakle dolazi gornja formula za množenje. Da biste to učinili, podsjetit ću vas na jedno važno svojstvo korijena:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Drugim riječima, možemo sigurno podići korijenski izraz na bilo koju prirodnu snagu $k$ - u ovom slučaju, korijenski indeks morat će se pomnožiti s istom potencijom. Stoga možemo jednostavno sve korijene svesti na zajednički pokazatelj, nakon čega se množimo. Odatle dolazi formula za množenje:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ali postoji jedan problem koji ozbiljno ograničava primjenu svih ovih formula. Uzmite u obzir ovaj broj:

Prema upravo navedenoj formuli, možemo dodati bilo koji stupanj. Pokušajmo dodati $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\lijevo(-5 \desno))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Minus smo uklonili upravo zato što kvadrat spaljuje minus (kao i svaki drugi paran stupanj). A sada izvršimo obrnutu transformaciju: "smanjimo" dva u eksponentu i stupnju. Uostalom, svaka se jednakost može čitati s lijeva na desno i zdesna na lijevo:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Strelica desno \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Strelica desno \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(poravnati)\]

Ali onda se dogodi nešto ludo:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

To ne može biti jer $\sqrt(-5) \lt 0$ i $\sqrt(5) \gt 0$. To znači da za parne potencije i negativne brojeve naša formula više ne funkcionira. Nakon toga imamo dvije opcije:

1. Boriti se uza zid tvrditi da je matematika glupa znanost, gdje “ima neka pravila, ali ovo je netočno”;
2. Uvedite dodatna ograničenja pod kojima će formula postati 100% djelotvorna.

U prvoj opciji morat ćemo stalno hvatati "neradne" slučajeve - to je teško, dugo i općenito fu. Stoga su matematičari preferirali drugu opciju. :)

Ali ne brinite! U praksi, ovo ograničenje ni na koji način ne utječe na izračune, jer se svi opisani problemi odnose samo na korijene neparnog stupnja, a iz njih se mogu izvući minusi.

Stoga formuliramo još jedno pravilo koje se općenito primjenjuje na sve radnje s korijenima:

Prije množenja korijena, provjerite jesu li radikalni izrazi nenegativni.

Primjer. U broju $\sqrt(-5)$ možete izvaditi minus ispod znaka korijena - tada će sve biti u redu:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Strelica desno \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Osjeti razliku? Ako ostavite minus ispod korijena, onda kada se radikalni izraz kvadrira, on će nestati i počet će sranje. A ako prvo izvadite minus, onda možete čak i podići/maknuti kvadrat dok ne budete plavi u licu - broj će ostati negativan. :)

Dakle, najispravniji i najpouzdaniji način umnožavanja korijena je sljedeći:

1. Uklonite sve minuse ispod radikala. Minusi su samo u korijenima neparne višestrukosti - mogu se staviti ispred korijena i po potrebi smanjiti (na primjer, ako postoje dva od ovih minusa).
2. Izvršite množenje prema pravilima o kojima smo raspravljali u današnjoj lekciji. Ako su indeksi korijena isti, jednostavno pomnožite korijenske izraze. A ako su različiti, koristimo zlu formulu \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Uživamo u rezultatu i dobrim ocjenama. :)

Dobro? Hoćemo li vježbati?

Primjer 1. Pojednostavite izraz:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \desno)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(poravnati)\]

Ovo je najjednostavnija opcija: pokazatelji korijena su isti i neparni, problem je samo u minusu drugog množitelja. Izdržimo ovaj minus nafig, nakon čega se sve lako razmatra.

Primjer 2. Pojednostavite izraz:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left((2)^(5)) \desno))^(3))\cdot ((\left((2)^(2)) \desno))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( uskladiti)\]

Ovdje bi mnogi bili zbunjeni onim što je rezultat ispao iracionalan broj. Da, događa se: nismo se mogli potpuno riješiti korijena, ali smo barem značajno pojednostavili izraz.

Primjer 3. Pojednostavite izraz:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \desno))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Ovo je ono na što bih vam želio skrenuti pozornost. Ovdje postoje dvije točke:

1. Pod korijenom nije određeni broj ili stupanj, već varijabla $a$. Na prvi pogled, to je pomalo neobično, ali u stvarnosti ćete pri rješavanju matematičkih zadataka najčešće morati imati posla s varijablama.
2. Na kraju smo uspjeli “smanjiti” korijenski eksponent i stupanj u radikalnom izrazu. To se događa prilično često. A to znači da je bilo moguće značajno pojednostaviti izračune ako ne koristite glavnu formulu.

Na primjer, možete učiniti ovo:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \desno))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(poravnati)\]

Zapravo, sve su transformacije izvedene samo s drugim radikalom. A ako ne oslikate detaljno sve međukorake, na kraju će se količina izračuna značajno smanjiti.

Zapravo, već smo se susreli sa sličnim zadatkom iznad pri rješavanju primjera $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sada se može puno lakše napisati:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\levo(((5)^(2))\cdot 3 \desno))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(poravnati)\]

Pa, shvatili smo množenje korijena. Sada razmotrite inverznu operaciju: što učiniti kada postoji djelo pod korijenom?

U matematici korijeni mogu biti kvadratni, kubni ili imati bilo koji drugi eksponent (potenciju), koji je napisan lijevo iznad znaka korijena. Izraz pod znakom korijena naziva se korijenski izraz. Dodavanje korijena slično je zbrajanju pojmova. algebarski izraz, odnosno zahtijeva definiciju sličnih korijena.

Koraci

Dio 1 od 2: Pronalaženje korijena

Oznaka korijena. Izraz pod znakom korijena () znači da je iz tog izraza potrebno izdvojiti korijen određenog stupnja.

• Korijen je označen znakom.
• Indeks (stupanj) korijena ispisan je lijevo iznad znaka korijena. Na primjer, kubni korijen od 27 zapisuje se kao: (27)
• Ako je eksponent (stupanj) korijena odsutan, tada se eksponent smatra jednakim 2, odnosno kvadratni je korijen (ili korijen drugog stupnja).
• Broj napisan prije znaka korijena naziva se množitelj (tj. ovaj broj se množi s korijenom), na primjer 5 (2)
• Ako nema faktora ispred korijena, onda je on jednak 1 (sjetite se da je svaki broj pomnožen s 1 jednak sam sebi).
• Ako prvi put radite s korijenima, napravite odgovarajuće bilješke o množitelju i eksponentu korijena kako se ne biste zbunili i bolje razumjeli njihovu svrhu.

Zapamtite koji se korijeni mogu presavijati, a koji ne. Kao što ne možete dodati različite pojmove izraza, kao što je 2a + 2b 4ab, ne možete dodati različite korijene.

Ne možete dodati korijene s različitim korijenskim izrazima, na primjer, (2) + (3) (5). Ali možete dodati brojeve pod istim korijenom, na primjer, (2 + 3) = (5) (kvadratni korijen od 2 je približno 1,414, kvadratni korijen od 3 je približno 1,732, a kvadratni korijen iz 5 je približno 2,236 ).

Ne možete zbrajati korijene s istim korijenskim izrazima, ali različitim eksponentima, na primjer, (64) + (64) (ovaj zbroj nije jednak (64), budući da je kvadratni korijen od 64 8, kubni korijen od 64 je 4, 8 + 4 = 12, što je mnogo veće od petog korijena od 64, što je otprilike 2,297).

Dio 2 od 2: Pojednostavljivanje i dodavanje korijena

Prepoznati i grupirati slične korijene. Slični korijeni su korijeni koji imaju iste eksponente i iste korijenske izraze. Na primjer, razmotrite izraz:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Prvo prepišite izraz tako da korijeni s istim eksponentom budu u nizu.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Zatim prepišite izraz tako da korijeni s istim eksponentom i istim korijenskim izrazom budu u nizu.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Pojednostavite svoje korijene. Da biste to učinili, rastavite (gdje je moguće) radikalne izraze na dva faktora, od kojih se jedan vadi ispod korijena. U ovom slučaju, prikazani broj i korijenski faktor se množe.

U gornjem primjeru, faktor 50 u 2*25 i broj 32 u 2*16. Iz 25 i 16 možete izdvojiti kvadratne korijene (odnosno 5 i 4) i izvaditi 5 i 4 ispod korijena, odnosno pomnožiti ih s faktorima 2 i 1. Tako ćete dobiti pojednostavljeni izraz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Broj 81 može se rastaviti na 3 * 27, a kubni korijen od 3 može se uzeti iz broja 27. Ovaj broj 3 može se izvaditi ispod korijena. Tako dobivate još pojednostavljeni izraz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Dodajte čimbenike sličnih korijena. U našem primjeru postoje slični kvadratni korijeni od 2 (mogu se zbrajati) i slični kvadratni korijeni od 3 (mogu se i zbrajati). Na kockasti korijen od 3 nema takvih korijena.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Konačni pojednostavljeni izraz: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Ne postoje općeprihvaćena pravila za redoslijed kojim su korijeni zapisani u izrazu. Stoga možete pisati korijene uzlaznim redoslijedom njihovih eksponenata i uzlaznim redoslijedom radikalnih izraza.

Pažnja, samo DANAS!

Sve zanimljivo

Broj koji je pod predznakom korijena često ometa rješenje jednadžbe, nezgodno je raditi s njim. Čak i ako je podignut na stepen, razlomak ili se ne može predstaviti kao cijeli broj do određenog stupnja, može se pokušati izvesti iz...

Korijen broja x je broj koji će, kada se podigne na stepen korijena, biti jednak x. Množilac je broj koji se množi. To jest, u izrazu kao što je x*ª-&radic-y, trebate dodati x ispod korijena. Uputa 1 Odredite stupanj ...

Ako korijenski izraz sadrži skup matematičkih operacija s varijablama, tada je ponekad, kao rezultat njegovog pojednostavljenja, moguće dobiti relativno jednostavnu vrijednost, čiji se dio može izvaditi ispod korijena. Ovo pojednostavljenje je korisno...

Aritmetičke operacije s korijenima različitih stupnjeva mogu uvelike pojednostaviti izračune u fizici i tehnologiji i učiniti ih točnijim. Prilikom množenja i dijeljenja, prikladnije je ne izvlačiti korijen iz svakog faktora ili dividende i djelitelja, već prvo ...

Kvadratni korijen broja x je broj a, koji, kada se pomnoži sam sa sobom, daje broj x: a * a = a^2 = x, x = a. Kao i kod svakog broja, možete izvoditi aritmetičke operacije zbrajanja i oduzimanja na kvadratnim korijenima. Uputa...

Korijen u matematici može imati dva značenja: to je aritmetička operacija i svako od rješenja jednadžbe, algebarsko, parametarsko, diferencijalno ili bilo koje drugo. Uputa 1 Korijen n-tog stupnja broja a je takav broj da ...

Prilikom izvođenja raznih aritmetičke operacije s korijenima, često je potrebno moći transformirati radikalne izraze. Da bi se proračuni pojednostavili, možda će biti potrebno faktor izbaciti iz predznaka radikala ili ga staviti ispod njega. Ova akcija može...

Korijen je ikona koja predstavlja matematička operacija pronalaženje takvog broja, čije bi podizanje na stepen naznačen prije predznaka korijena trebao dati broj koji je označen upravo pod ovim znakom. Često, za rješavanje problema u kojima postoje ...

Znak korijena u matematičkim znanostima zove se simbol za korijenje. Broj pod predznakom korijena naziva se radikalni izraz. U nedostatku eksponenta, korijen je kvadrat, inače broj pokazuje ...

Aritmetika korijen n-tog stupnjeva od pravi broj a je takav nenegativan broj x, n-ti stupanj koji je jednak broju a. Oni. (n) a = x, x^n = a. postojati razne načine dopune aritmetički korijen i racionalan broj...

N-ti korijen realnog broja a je broj b za koji vrijedi jednakost b^n = a. Neparni korijeni postoje za negativne i pozitivne brojeve, a parni korijeni postoje samo za pozitivne brojeve...

Kvadratni korijen iz broja x je broj a, koji, kada se pomnoži sam sa sobom, daje broj x: a * a = a^2 = x, √x = a. Kao i kod svakog broja, možete izvoditi aritmetičke operacije zbrajanja i oduzimanja na kvadratnim korijenima.

Uputa

• Prvo, kada dodajete kvadratne korijene, pokušajte izvući te korijene. To će biti moguće ako su brojevi pod znakom korijena savršeni kvadrati. Na primjer, neka je zadan izraz √4 + √9. Prvi broj 4 je kvadrat broja 2. Drugi broj 9 je kvadrat broja 3. Dakle, ispada da je: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ako ispod predznaka korijena nema punih kvadrata, pokušajte izvaditi množitelj broja ispod predznaka korijena. Na primjer, recimo da je √24 + √54. Faktorizirajte brojeve: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Broj 24 ima faktor 4, koji se može izvaditi iz znaka kvadratnog korijena. Broj 54 ima faktor 9. Dakle, ispada da je: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . U ovom primjeru, kao rezultat uzimanja množitelja iz predznaka korijena, pokazalo se da pojednostavljuje zadani izraz.
• Neka je zbroj dvaju kvadratnih korijena nazivnik razlomka, na primjer, A / (√a + √b). I neka vaš zadatak bude "osloboditi se iracionalnosti u nazivniku". Zatim možete koristiti sljedeću metodu. Pomnožite brojnik i nazivnik razlomka izrazom √a - √b. Tako će se u nazivniku dobiti formula za skraćeno množenje: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Po analogiji, ako je razlika korijena dana u nazivniku: √a - √b, tada se brojnik i nazivnik razlomka moraju pomnožiti s izrazom √a + √b. Na primjer, zadan razlomak 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Razmotrimo složeniji primjer oslobađanja od iracionalnosti u nazivniku. Neka je zadan razlomak 12 / (√2 + √3 + √5). Potrebno je pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka izrazom √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• I na kraju, ako trebate samo približnu vrijednost, tada možete izračunati kvadratni korijen na kalkulatoru. Izračunajte vrijednosti zasebno za svaki broj i zapišite s potrebnom preciznošću (na primjer, dvije decimale). A zatim izvršite potrebne aritmetičke operacije, kao s običnim brojevima. Na primjer, recimo da želite znati približnu vrijednost izraza √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Prikupljeno kod nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikacije.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno iz sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.