"teorija vjerojatnosti u zadacima ispita i oge". Jednostavni problemi u teoriji vjerojatnosti

Do danas je predstavljen u otvorenoj banci matematičkih problema USE (mathege.ru), čije se rješenje temelji samo na jednoj formuli, što je klasična definicija vjerojatnosti.

Formulu je najlakše razumjeti pomoću primjera.
Primjer 1 U košari se nalazi 9 crvenih i 3 plave loptice. Kuglice se razlikuju samo po boji. Nasumično (bez gledanja) dobijemo jednu od njih. Kolika je vjerojatnost da tako odabrana lopta bude plava?

Komentar. U problemima s vjerojatnošću događa se nešto (u ovom slučaju, naša akcija povlačenja lopte) što može imati drugačiji rezultat- ishod. Treba napomenuti da se rezultat može promatrati na različite načine. “Izvukli smo loptu” također je rezultat. “Izvukli smo plavu loptu” rezultat je. "Izvukli smo ovu konkretnu loptu iz svih mogućih lopti" - ovaj najmanje generalizirani pogled na rezultat naziva se elementarni ishod. U formuli za izračun vjerojatnosti podrazumijevaju se elementarni ishodi.

Odluka. Sada izračunavamo vjerojatnost odabira plave lopte.
Događaj A: "odabrana lopta ispala je plava"
Ukupan broj svih mogućih ishoda: 9+3=12 (broj svih loptica koje smo mogli izvući)
Broj ishoda povoljnih za događaj A: 3 (broj takvih ishoda u kojima se dogodio događaj A - odnosno broj plavih loptica)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odgovor: 0,25

Izračunajmo za isti problem vjerojatnost odabira crvene kuglice.
Ukupan broj mogućih ishoda će ostati isti, 12. Broj povoljnih ishoda: 9. Željena vjerojatnost: 9/12=3/4=0,75

Vjerojatnost bilo kojeg događaja uvijek je između 0 i 1.
Ponekad se u svakodnevnom govoru (ali ne u teoriji vjerojatnosti!) vjerojatnost događaja procjenjuje kao postotak. Prijelaz između matematičkog i razgovornog ocjenjivanja vrši se množenjem (ili dijeljenjem) sa 100%.
Tako,
U ovom slučaju, vjerojatnost je nula za događaje koji se ne mogu dogoditi – nevjerojatno. Na primjer, u našem primjeru, to bi bila vjerojatnost izvlačenja zelene lopte iz koša. (Broj povoljnih ishoda je 0, P(A)=0/12=0 ako se računa prema formuli)
Vjerojatnost 1 ima događaje koji će se apsolutno sigurno dogoditi, bez opcija. Na primjer, vjerojatnost da će "odabrana lopta biti ili crvena ili plava" je za naš problem. (Broj povoljnih ishoda: 12, P(A)=12/12=1)

Pogledali smo klasičan primjer koji ilustrira definiciju vjerojatnosti. Svi slični UPOTREBA zadataka prema teoriji vjerojatnosti rješavaju se primjenom ove formule.
Umjesto crvenih i plavih kuglica mogu biti jabuke i kruške, dječaci i djevojčice, naučene i nenaučene ulaznice, ulaznice koje sadrže i ne sadrže pitanje na određenu temu (prototipovi , ), neispravne i kvalitetne torbe ili vrtne pumpe (prototipovi , ) - princip ostaje isti.

Oni se malo razlikuju u formulaciji problema teorije vjerojatnosti USE, gdje trebate izračunati vjerojatnost da se događaj dogodi na određeni dan. ( , ) Kao i u prethodnim zadacima, potrebno je odrediti što je elementarni ishod, a zatim primijeniti istu formulu.

Primjer 2 Konferencija traje tri dana. Prvi i drugi dan po 15 govornika, treći dan - 20. Kolika je vjerojatnost da će izvještaj profesora M. pasti trećeg dana, ako se redoslijed izvješća određuje ždrijebom?

Koji je ovdje elementarni ishod? - Dodjeljivanje profesorskog izvješća jednom od svih mogućih serijskih brojeva za govor. U izvlačenju sudjeluje 15+15+20=50 osoba. Tako izvješće profesora M. može dobiti jedan od 50 brojeva. To znači da postoji samo 50 elementarnih ishoda.
Koji su povoljni ishodi? - One u kojima se ispostavi da će profesor govoriti treći dan. Odnosno, zadnjih 20 brojeva.
Prema formuli, vjerojatnost P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odgovor: 0,4

Ovdje je ždrijeb uspostavljanje slučajne korespondencije između ljudi i naručenih mjesta. U primjeru 2, podudarnost je razmatrana u smislu na koje od mjesta određena osoba može zauzeti. Istoj situaciji možete pristupiti i s druge strane: tko bi od ljudi s kojom vjerojatnošću mogao doći do određenog mjesta (prototipovi , , , ):

Primjer 3 U ždrijebu sudjeluje 5 Nijemaca, 8 Francuza i 3 Estonca. Kolika je vjerojatnost da prvi (/drugi/sedmi/posljednji – nije bitno) bude Francuz.

Broj elementarnih ishoda je broj svih mogući ljudi koji bi ždrijebom mogao ući dato mjesto. 5+8+3=16 osoba.
Povoljni ishodi - Francuzi. 8 osoba.
Željena vjerojatnost: 8/16=1/2=0,5
Odgovor: 0,5

Prototip je malo drugačiji. Postoje zadaci o novčićima () i kockicama () koji su nešto kreativniji. Rješenja za ove probleme mogu se pronaći na stranicama prototipa.

Evo nekoliko primjera bacanja novčića ili kocke.

Primjer 4 Kada bacimo novčić, kolika je vjerojatnost da ćemo dobiti repove?
Ishodi 2 - glava ili rep. (vjeruje se da novčić nikada ne pada na rub) Povoljan ishod - repovi, 1.
Vjerojatnost 1/2=0,5
Odgovor: 0,5.

Primjer 5Što ako dvaput bacimo novčić? Kolika je vjerojatnost da će se oba puta pojaviti?
Glavna stvar je odrediti koje ćemo osnovne ishode uzeti u obzir pri bacanju dva novčića. Nakon bacanja dva novčića može se dogoditi jedan od sljedećih rezultata:
1) PP - oba puta je došlo do repova
2) PO - prvi put repovi, drugi put glave
3) OP - prvi put glava, drugi put rep
4) OO - glava gore oba puta
Nema drugih opcija. To znači da postoje 4 elementarna ishoda. Samo je prvi povoljan, 1.
Vjerojatnost: 1/4=0,25
Odgovor: 0,25

Kolika je vjerojatnost da će dva bacanja novčića pasti na rep?
Broj elementarnih ishoda je isti, 4. Povoljni ishodi su drugi i treći, 2.
Vjerojatnost dobivanja jednog repa: 2/4=0,5

U takvim problemima može dobro doći još jedna formula.
Ako jednim bacanjem novčića opcije imamo 2 rezultata, tada će za dva bacanja rezultati biti 2 2=2 2 =4 (kao u primjeru 5), za tri bacanja 2 2 2=2 3 =8, za četiri: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … za N bacanja postoji 2·2·...·2=2 N mogućih ishoda.

Dakle, možete pronaći vjerojatnost da dobijete 5 repova od 5 bacanja novčića.
Ukupan broj elementarnih ishoda: 2 5 =32.
Povoljni ishodi: 1. (RRRRRR - svih 5 puta rep)
Vjerojatnost: 1/32=0,03125

Isto vrijedi i za kockice. Kod jednog bacanja moguće je 6 rezultata. Dakle, za dva bacanja: 6 6=36, za tri 6 6 6=216 itd.

Primjer 6 Bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da se dobije paran broj?

Ukupni ishodi: 6, prema broju lica.
Povoljno: 3 ishoda. (2, 4, 6)
Vjerojatnost: 3/6=0,5

Primjer 7 Baci dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da se ukupno baca 10? (zaokružiti na stotinke)

Postoji 6 mogućih ishoda za jednu kocku. Dakle, za dva, prema gornjem pravilu, 6·6=36.
Koji će ishodi biti povoljni da ih ispadne ukupno 10?
10 se mora razložiti u zbroj dvaju brojeva od 1 do 6. To se može učiniti na dva načina: 10=6+4 i 10=5+5. Dakle, za kocke su moguće opcije:
(6 na prvom i 4 na drugom)
(4 na prvom i 6 na drugom)
(5 na prvom i 5 na drugom)
Ukupno 3 opcije. Željena vjerojatnost: 3/36=1/12=0,08
Odgovor: 0,08

Ostale vrste problema B6 bit će obrađene u jednom od sljedećih članaka "Kako riješiti".

Opis prezentacije na pojedinačnim slajdovima:

1 slajd

Opis slajda:

Ključni zadaci iz teorije vjerojatnosti Priprema za OGE br.9 MBOU „Gimnazija br.4 im. KAO. Puškin” Sastavila: Sofina N.Yu.

2 slajd

Opis slajda:

Osnovni provjerljivi zahtjevi za matematičku pripremu br. 9 OGE iz matematike Riješiti praktične zadatke koji zahtijevaju sustavno nabrajanje opcija; usporediti šanse za pojavu slučajnih događaja, procijeniti vjerojatnosti slučajnog događaja, usporediti i istražiti modele stvarne situacije koristeći se aparatom vjerojatnosti i statistike. Broj 9 - osnovni zadatak. Maksimalni broj bodova za ispunjavanje zadatka je 1.

3 slajd

Opis slajda:

Vjerojatnost događaja A je omjer broja m ishoda povoljnih za ovaj događaj i ukupni broj n svi jednako mogući nespojivi događaji koji se mogu dogoditi kao rezultat jednog testa ili promatranja Klasična definicija vjerojatnosti Prisjetite se formule za izračunavanje klasične vjerojatnosti slučajnog događaja R = n m

4 slajd

Opis slajda:

Klasična definicija vjerojatnosti Primjer: Roditeljski odbor kupio je 40 bojanki za maturalne darove za djecu Školska godina. Od toga, 14 se temelji na bajkama A.S. Puškina i 26 prema bajkama G. Kh. Andersena. Darovi se dijele nasumično. Pronađite vjerojatnost da će Nastya dobiti bojanku temeljenu na bajkama A.S. Puškin. Rješenje: m= 14; n= 14 +26=40 R= 14/40= 0,35 Odgovor: 0,35.

5 slajd

Opis slajda:

Primjer: Za ispit je bilo 60 pitanja. Ivan ih nije naučio 3. Pronađite vjerojatnost da će naići na naučeno pitanje. Rješenje: Ovdje je n=60. Ivan nije naučio 3, pa je naučio sve ostalo, t.j. m=60-3=57. P=57/60=0,95. Klasična definicija vjerojatnosti Odgovor: 0,95.

6 slajd

Opis slajda:

“Red se određuje ždrijebom” Primjer: Na gimnastičkom prvenstvu sudjeluje 20 sportaša: 8 iz Rusije, 7 iz SAD-a, ostali iz Kine. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se ždrijebom. Pronađite vjerojatnost da je peti sportaš iz Kine. Rješenje: U uvjetu zadatka nalazi se “čarobna” riječ “puno”, što znači da zaboravljamo na red govora. Dakle, m= 20-8-7=5 (iz Kine); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Odgovor: 0,25.

7 slajd

Opis slajda:

Primjer: Znanstveni skup se održava za 5 dana. Planirano je ukupno 75 prijava - prva 3 dana po 17 prijava, ostatak se ravnomjerno raspoređuje između 4. i 5. dana. Redoslijed izvješća utvrđuje se ždrijebom. Kolika je vjerojatnost da će izvješće profesora Ivanova biti zakazano za zadnji dan konferencije? Rješenje: Stavimo podatke u tablicu. Dobili smo da je m=12; n=75. P=12/75=0,16. Odgovor: 0,16. “Redoslijed određen ždrijebom” Dan I II III IV V Ukupan broj prezentacija 17 17 17 12 12 75

8 slajd

Opis slajda:

Učestalost događaja Na isti način kao i vjerojatnost, pronalazi se i učestalost događaja čiji su zadaci također u prototipovima. Koja je razlika? Vjerojatnost je predvidljiva vrijednost, a učestalost je izjava činjenice. Primjer: Vjerojatnost da će nova tableta biti popravljena u roku od godinu dana je 0,045. U određenom gradu od 1000 prodanih tableta tijekom godine, u jamstvenu radionicu stigao je 51 komad. Koliko se razlikuje učestalost događaja "popravka u jamstvenom roku" od njegove vjerojatnosti u ovom gradu? Rješenje: Pronađite učestalost događaja: 51/1000=0,051. A vjerojatnost je jednaka 0,045 (prema uvjetu).To znači da se u ovom gradu događaj "popravak jamstva" događa češće nego što se očekivalo. Nađimo razliku ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Pritom moramo uzeti u obzir da nam NIJE važan predznak razlike, već samo njegova apsolutna vrijednost. Odgovor: 0,006.

9 slajd

Opis slajda:

Problemi s nabrajanjem opcija ("kovanice", "podudarnosti") Neka je k broj bacanja novčića, zatim broj mogućih ishoda: n = 2k. Primjer: U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerojatnost da će se glave pojaviti točno jednom. Rješenje: opcije ispuštanja novčića: OO; ILI; RR; RO. Dakle, n=4. Povoljni ishodi: RR i RR. To jest, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Odgovor: 0,5.

10 slajd

Opis slajda:

Primjer: Prije početka nogometna utakmica Sudac baca novčić kako bi odredio koja će momčad prva imati loptu. Tim "Merkur" igra redom s timovima "Mars", "Jupiter", "Uran". Nađi vjerojatnost da u svim utakmicama pravo na posjed lopte osvoji momčad "Merkur"? Problemi s nabrajanjem opcija ("kovanice", "šibice") Rješenje: Označimo pravo posjeda prve lopte ekipe "Merkur" u utakmici s jednom od preostale tri ekipe kao "repove". Zatim pravo posjeda druge lopte ove momčadi ima "Orao". Dakle, zapišimo sve moguće ishode bacanja novčića tri puta. "O" - glave, "P" - repovi. ; tj. n=8; m=1. P=1/8=0,125. Odgovor: 0,125 n = 23 "Mars" "Jupiter" "Uran"

11 slajd

Opis slajda:

Zadaci na "kockice" (kockice) Neka je k broj bacanja kocke, zatim broj mogućih ishoda: n = 6k. Primjer: Dasha dvaput baca kocku. Nađite vjerojatnost da je njezin zbroj pao 8. Zaokružite rezultat na najbližu stotinu. Odgovor: 0,14. Rješenje: Zbroj dviju kockica mora biti 8 bodova. To je moguće ako postoje sljedeće kombinacije: 2 i 6 6 i 2 3 i 5 5 i 3 4 i 4 m= 5 (5 prikladne kombinacije) n \u003d 36 P \u003d 5/36 = 0,13 (8)

12 slajd

Opis slajda:

Nezavisni događaji i zakon množenja Vjerojatnost pronalaska i 1., i 2. i n-tog događaja nalazi se po formuli: P = P1 * P2 * ... * Pn Primjer: Biatlonac gađa pet puta u mete. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Nađite vjerojatnost da je biatlonac prva tri puta pogodio mete, a posljednja dva promašio. Zaokružite rezultat na najbližu stotinu. Odgovor: 0,02. Rješenje: Rezultat svakog sljedećeg hica ne ovisi o prethodnim. Dakle, događaji „pogodili na prvi metak“, „pogodili na drugi hitac“ itd. neovisna. Vjerojatnost svakog pogotka je 0,8. Dakle, vjerojatnost promašaja je 1 - 0,8 = 0,2. 1 hitac: 0,8 2 hitac: 0,8 3 hitac: 0,8 4 hitac: 0,2 5 hitac: 0,2 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

13 slajd

Opis slajda:

Kombinacije zakona "i" i zakona "ili" Primjer: Ured kupuje tiskanice za zaposlenike 3 različite tvrtke. Štoviše, proizvodi 1. tvrtke čine 40% svih isporuka, a ostatak 2. tvrtke je jednako podijeljen. Pokazalo se da je 2% olovaka 2. tvrtke neispravno. Postotak braka u 1. odnosno 3. firmi je 1%, odnosno 3%. Zaposlenik A uzeo je olovku iz nove pošiljke. Pronađite vjerojatnost da će biti točna. Rješenje: Proizvodi 2. i 3. poduzeća su (100%-40%):2=30% zaliha. P(brak) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (upotrebljive olovke) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Odgovor: 0,981.

Lagani zadaci

Na stolu je 25 pita: 7 - s pekmezom, 9 - s krumpirom, ostale sa kupusom. Kolika je vjerojatnost da će nasumično odabrana pita biti sa kupusom?

0,36

Taksi zapošljava 40 automobila: 14 marke Lada, 8 marke Renault, 2 marke Mercedes, a ostale su marke Škoda. Kolika je vjerojatnost da će vam Mercedes doći na poziv?

0,05

Odredite vjerojatnost da će se broj od najmanje tri pojaviti kada se baci kocka.

Ira, Dima, Vasya, Natasha i Andrey prolaze standard na 60 metara. Kolika je vjerojatnost da djevojka najbrže trči?

Vjerojatnost da je telefon kupljen u podvožnjaku lažan je 0,83. Kolika je vjerojatnost da telefon kupljen u tranziciji ne bude lažnjak?

0,17

Na košarkaškom turniru sudjeluje 20 ekipa, među kojima je i ekipa “Momci”. Sve momčadi su podijeljene u 4 skupine: A, B, C, D. Kolika je vjerojatnost da će tim “Dečki” biti u skupini A?

0,25

Torba za lutriju sadrži bačve s brojevima od 5 do 94 uključujući. Kolika je vjerojatnost da bačva izvađena iz vrećice sadrži dvoznamenkasti broj? Zaokružite odgovor na najbližu stotinu.

0,94

Igor je prije ispita izdržao do posljednjeg i uspio naučiti samo 5 listića od 80. Odredite vjerojatnost da će naići na naučenu kartu.

0,0625

Anya uključuje radio i nasumično bira radio val. Ukupno, njezin radio prijemnik hvata 20 radio valova i samo njih 7 ovaj trenutak svira glazba. Pronađite vjerojatnost da će Anya pasti na glazbeni val.

0,35

U svakoj dvadesetoj boci gaziranog pića ispod čepa se krije šifra s pobjedom. Odredite vjerojatnost da će kupljena boca imati dobitnu šifru ispod čepa.

0,05

Zadaci su teži

Kolika je vjerojatnost da je nasumično odabran troznamenkasti broj djeljiv s 5?

0,2

Bilježi se visina (u cm) pet učenika: 166, 158, 132, 136, 170. Koliko se aritmetička sredina ovog skupa brojeva razlikuje od njegova medijana?

Prema statistici jedne male zemlje, poznato je da je vjerojatnost da će rođena beba biti dječak 0,507. U 2017. godini na 1000 rođenih beba u ovoj zemlji u prosjeku je bilo 486 djevojčica. Koliko se učestalost rađanja žena u 2017. godini u ovoj zemlji razlikuje od vjerojatnosti ovog događaja?

0,007

Kocka se baca dvaput. Nađite vjerojatnost da je zbroj dva izvučena broja 3 ili 7. Zaokružite svoj odgovor na najbližu stotinu.

0,22

Kolika je vjerojatnost da je nasumično odabran troznamenkasti broj djeljiv s 2?

0,5

Nađite vjerojatnost da dva bacanja novčića ispadnu točno jednom.

0,5

Kocka se baca dvaput, pronađite vjerojatnost da će se oba puta pojaviti broj veći od tri. Zaokružite odgovor na najbližu stotinu.

0,31

Prema statistici jedne male zemlje, poznato je da je vjerojatnost da će rođena beba biti dječak 0,594. U 2017. godini na 1000 rođenih beba u ovoj zemlji u prosjeku je bilo 513 djevojčica. Koliko se učestalost rađanja žena u 2017. godini u ovoj zemlji razlikuje od vjerojatnosti ovog događaja?

0,107

Bilježi se visina (u cm) pet učenika: 184, 145, 176, 192, 174. Koliko se aritmetička sredina ovog skupa brojeva razlikuje od njegova medijana?

1,8

Prosječna visina stanovnika sela "Divovi" je 194 cm Visina Nikolaja Petroviča je 195 cm. Koja je od sljedećih tvrdnji točna?

1) Visina jednog od seljana mora biti 194 cm.

2) Nikolaj Petrovič je najviši stanovnik sela.

3) Sigurno će biti barem jedan čovjek iz ovog sela ispod Nikolaja Petroviča.

4) Sigurno će biti barem jedan stanovnik ovog sela ispod Nikolaja Petroviča.

4

Teški zadaci

Strijelac puca 4 puta iz pištolja u mete. Vjerojatnost njegovog točnog pogađanja u metu jednim udarcem je 0,5. Pronađite vjerojatnost da strijelac prva dva puta pogodi metu, a posljednja dva promaši.

0,0625

Vjerojatnost da je baterija neispravna je 0,05. Kupac u trgovini odabire nasumični paket s dvije baterije. Nađite vjerojatnost da su obje baterije dobre.

0,9025

Strijelac gađa u mete 5 puta zaredom. Vjerojatnost pogađanja mete pri ispaljivanju je 0,7. Nađite vjerojatnost da je strijelac prva četiri puta pogodio metu, a zadnji put promašio. Zaokružite rezultat na najbližu stotinu.

Događaji koji se događaju u stvarnosti ili u našoj mašti mogu se podijeliti u 3 skupine. To su određeni događaji koji se moraju dogoditi, nemogući događaji i slučajni događaji. Teorija vjerojatnosti proučava slučajne događaje, t.j. događaji koji se mogu ili ne moraju dogoditi. Ovaj članak će biti predstavljen u Sažetak formule teorije vjerojatnosti i primjeri rješavanja zadataka iz teorije vjerojatnosti, koji će biti u 4. zadatku GOS-a iz matematike (profilna razina).

Zašto nam je potrebna teorija vjerojatnosti

Povijesno gledano, potreba za proučavanjem ovih problema javlja se u 17. stoljeću u vezi s razvojem i profesionalizacijom Kockanje i pojavom kasina. Bio je to pravi fenomen koji je zahtijevao svoje proučavanje i istraživanje.

Igranje karata, kockica, ruleta stvorilo je situacije u kojima se može dogoditi bilo koji od konačnog broja jednako vjerojatnih događaja. Postojala je potreba da se daju numeričke procjene mogućnosti nastanka nekog događaja.

U 20. stoljeću postalo je jasno da ova naizgled neozbiljna znanost igra važnu ulogu u razumijevanju temeljnih procesa koji se događaju u mikrokozmosu. Kreiran je moderna teorija vjerojatnosti.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti

Predmet proučavanja teorije vjerojatnosti su događaji i njihove vjerojatnosti. Ako je događaj složen, onda se može rastaviti na jednostavne komponente čije je vjerojatnosti lako pronaći.

Zbroj događaja A i B naziva se događaj C, što se sastoji u činjenici da su se ili događaj A, ili događaj B, ili događaji A i B dogodili u isto vrijeme.

Umnožak događaja A i B je događaj C, koji se sastoji u činjenici da su se dogodili i događaj A i događaj B.

Za događaje A i B kaže se da su nespojivi ako se ne mogu dogoditi u isto vrijeme.

Za događaj A se kaže da je nemoguć ako se ne može dogoditi. Takav se događaj označava simbolom .

Događaj A naziva se izvjesnim ako će se sigurno dogoditi. Takav se događaj označava simbolom .

Neka svakom događaju A bude dodijeljen broj P(A). Ovaj broj P(A) naziva se vjerojatnost događaja A ako su s takvom korespondencijom zadovoljeni sljedeći uvjeti.

Važan poseban slučaj je situacija kada postoje jednako vjerojatni elementarni ishodi, a proizvoljni od tih ishoda tvore događaje A. U ovom slučaju vjerojatnost se može uvesti formulom . Ovako uvedena vjerojatnost naziva se klasična vjerojatnost. Može se dokazati da svojstva 1-4 vrijede u ovom slučaju.

Problemi u teoriji vjerojatnosti, koji se nalaze na ispitu iz matematike, uglavnom se odnose na klasičnu vjerojatnost. Takvi zadaci mogu biti vrlo jednostavni. Posebno su jednostavni problemi u teoriji vjerojatnosti u demo verzije. Lako je izračunati broj povoljnih ishoda, broj svih ishoda je upisan izravno u uvjet.

Odgovor dobivamo prema formuli.

Primjer zadatka s ispita iz matematike za određivanje vjerojatnosti

Na stolu je 20 pita - 5 sa kupusom, 7 s jabukama i 8 s rižom. Marina želi uzeti pitu. Kolika je vjerojatnost da će uzeti rižin kolač?

Odluka.

Ukupno ima 20 jednako vjerojatnih elementarnih ishoda, odnosno Marina može uzeti bilo koji od 20 kolača. Ali trebamo procijeniti vjerojatnost da će Marina uzeti rižinu pljeskavicu, odnosno gdje je A izbor rižine pljeskavice. To znači da imamo ukupno 8 povoljnih ishoda (odabir kolača od riže) Tada će se vjerojatnost odrediti po formuli:

Nezavisni, suprotni i proizvoljni događaji

Međutim, u otvorenoj banci zadataka, više od teške zadatke. Stoga, skrenimo pozornost čitatelja na druga pitanja koja se proučavaju u teoriji vjerojatnosti.

Događaji A i B nazivaju se neovisnim ako vjerojatnost svakog od njih ne ovisi o tome je li se dogodio drugi događaj.

Događaj B sastoji se u tome što se nije dogodio događaj A, t.j. događaj B suprotan je događaju A. Vjerojatnost suprotnog događaja jednaka je jedan minus vjerojatnost izravnog događaja, t.j. .

Teoremi zbrajanja i množenja, formule

Za proizvoljne događaje A i B, vjerojatnost zbroja tih događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti bez vjerojatnosti njihovog zajedničkog događaja, t.j. .

Za neovisne događaje A i B vjerojatnost umnoška tih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti, t.j. u ovom slučaju .

Posljednje 2 tvrdnje nazivaju se teoremi zbrajanja i množenja vjerojatnosti.

Nije uvijek brojati broj ishoda tako jednostavno. U nekim slučajevima potrebno je koristiti kombinatoričke formule. Najvažnije je izbrojati broj događaja koji ispunjavaju određene uvjete. Ponekad takvi izračuni mogu postati samostalni zadaci.

Na koliko načina može 6 učenika sjesti na 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina postavljanja drugog učenika. Za trećeg učenika slobodna su 4 mjesta, za četvrtog - 3, za petog - 2, šesti će zauzeti jedino preostalo mjesto. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod koji je označen simbolom 6! i pročitajte "šest faktorijala".

U općem slučaju odgovor na ovo pitanje daje formula za broj permutacija od n elemenata.U našem slučaju, .

Razmotrimo sada još jedan slučaj s našim studentima. Na koliko načina 2 učenika mogu sjesti na 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina postavljanja drugog učenika. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod.

U općem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj smještaja n elemenata po k elemenata

U našem slučaju .

I posljednji u ovoj seriji. Na koliko načina postoji izbor 3 od 6 učenika? Prvi učenik se može izabrati na 6 načina, drugi na 5 načina, a treći na 4 načina. Ali među ovim opcijama, ista tri učenika pojavljuju se 6 puta. Da biste pronašli broj svih opcija, morate izračunati vrijednost: . U općem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj kombinacija elemenata po elementima:

U našem slučaju .

Primjeri rješavanja zadataka s ispita iz matematike za određivanje vjerojatnosti

Zadatak 1. Iz zbirke, ur. Jaščenko.

Na tanjuru je 30 pita: 3 s mesom, 18 sa kupusom i 9 s višnjama. Sasha nasumce bira jednu pitu. Pronađite vjerojatnost da će on završiti s trešnjom.

.

Odgovor: 0,3.

Problem 2. Iz zbirke, ur. Jaščenko.

U svakoj seriji od 1000 žarulja, u prosjeku 20 neispravnih. Nađite vjerojatnost da je žarulja odabrana nasumično iz serije dobra.

Rješenje: Broj servisiranih žarulja je 1000-20=980. Tada je vjerojatnost da će žarulja uzeta nasumično iz serije biti upotrebljiva:

Odgovor: 0,98.

Vjerojatnost da učenik U. točno riješi više od 9 zadataka na testu iz matematike je 0,67. Vjerojatnost da U. točno riješi više od 8 zadataka je 0,73. Nađi vjerojatnost da U. točno riješi točno 9 zadataka.

Ako zamislimo brojevni pravac i na njemu označimo točke 8 i 9, tada ćemo vidjeti da je uvjet „U. točno riješiti točno 9 zadataka” uključeno je u uvjet “U. točno riješiti više od 8 zadataka", ali se ne odnosi na uvjet "W. točno riješiti više od 9 problema.

Međutim, uvjet "U. točno riješiti više od 9 zadataka" sadržano je u uvjetu "U. točno riješiti više od 8 zadataka. Dakle, ako označimo događaje: „W. točno riješiti točno 9 zadataka" - do A, "U. točno riješiti više od 8 zadataka" - do B, "U. točno riješiti više od 9 problema ”kroz C. Tada će rješenje izgledati ovako:

Odgovor: 0,06.

Na ispitu iz geometrije student odgovara na jedno pitanje s liste ispitnih pitanja. Vjerojatnost da se radi o trigonometrijskom pitanju je 0,2. Vjerojatnost da je ovo pitanje vanjskih kutova je 0,15. Nema pitanja vezanih uz ove dvije teme u isto vrijeme. Pronađite vjerojatnost da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Razmislimo o tome koje događaje imamo. Dana su nam dva nespojiva događaja. Odnosno, ili će se pitanje odnositi na temu "Trigonometrija", ili na temu "Vanjski kutovi". Prema teoremu vjerojatnosti, vjerojatnost nespojivih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svakog događaja, moramo pronaći zbroj vjerojatnosti tih događaja, odnosno:

Odgovor: 0,35.

Prostoriju osvjetljava fenjer s tri lampe. Vjerojatnost da jedna lampa pregori u godini je 0,29. Nađite vjerojatnost da barem jedna svjetiljka ne pregori u roku od godinu dana.

Razmotrimo moguće događaje. Imamo tri žarulje, od kojih svaka može ili ne mora pregorjeti neovisno o bilo kojoj drugoj žarulji. To su neovisni događaji.

Zatim ćemo navesti varijante takvih događaja. Prihvaćamo oznaku: - žarulja je upaljena, - žarulja je pregorjela. I odmah zatim izračunavamo vjerojatnost događaja. Na primjer, vjerojatnost događaja u kojem su se dogodila tri nezavisna događaja “žarulja je pregorjela”, “žarulja upaljena”, “žarulja upaljena”: gdje se vjerojatnost događaja “žarulja upalila” izračunava kao vjerojatnost događaj suprotan događaju “žarulja isključena”, odnosno .

Imajte na umu da postoji samo 7 nespojivih događaja koji su nam povoljni. Vjerojatnost takvih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svakog od događaja: .

Odgovor: 0,975608.

Na slici možete vidjeti još jedan problem:

Tako smo ti i ja shvatili što je teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja problema za koje se možete susresti u verziji ispita.

Ova prezentacija prikazuje najčešće probleme na ispitu iz teorije vjerojatnosti. Zadaci osnovne razine. Prezentacija će pomoći kako nastavnicima u nastavi generalizirajućeg ponavljanja, tako i učenicima u nastavi samoobuka na ispit.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, stvorite sebi račun ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

KLJUČNI ZADACI TEORIJE VJEROJATNOSTI Priprema za OGE

BACANJE NOVCA

1. Novčić se baca dvaput. Kolika je vjerojatnost da dobijete jednu glavu i jedan rep? Odluka: Prilikom bacanja jednog novčića moguća su dva ishoda - "glava" ili "rep". Prilikom bacanja dva novčića - 4 ishoda (2 * 2 \u003d 4): "orao" - "repovi" "repovi" - "repovi" "repovi" - "orlovi" "orlovi" - "orlovi" Jedan "orao" i jedan "repovi" će ispasti u dva od četiri slučaja. P(A)=2:4=0,5. Odgovor: 0,5.

2. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerojatnost da dobijete dvije glave i jedan rep? Rješenje: Kada se baci tri novčića Moguće je 8 ishoda (2*2*2=8): “orao” - “repovi” - “repovi” “repovi” - “repovi” - “repovi” “repovi” - “glave” - “repovi” “glave” - "orao" - "repovi" "repovi" - "repovi" - "glave" "repovi" - "orlovi" - "orlovi" "orlovi" - "repovi" - "orlovi" "orlovi" - "orlovi" - " orlovi" » Ispast će dva "orla" i jedan "rep". tri slučaja od osam. P(A)=3:8=0,375. Odgovor: 0,375.

3. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca četiri puta. Pronađite vjerojatnost da se glave nikada neće pojaviti. Rješenje: Prilikom bacanja četiri novčića moguće je 16 ishoda: (2 * 2 * 2 * 2 = 16): Povoljni ishodi - 1 (ispasti će četiri repa). P(A)=1:16=0,0625. Odgovor: 0,0625.

IGRA KOCKE

4. Odredite vjerojatnost da je pri bacanju kocke ispalo više od tri boda. Rješenje: Ukupno je 6 mogućih ishoda. Veliki brojevi su 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Odgovor: 0,5.

5. Bačena je kocka. Pronađite vjerojatnost dobivanja paran broj bodova. Rješenje: Ukupni mogući ishodi - 6. 1, 3, 5 - neparni brojevi; 2, 4, 6 su parni brojevi. Vjerojatnost dobivanja parnog broja bodova je 3:6=0,5. Odgovor: 0,5.

6. U slučajnom eksperimentu bacaju se dvije kocke. Nađite vjerojatnost da dobijete ukupno 8 bodova. Zaokružite rezultat na najbližu stotinu. Rješenje: Ova radnja - bacanje dvije kocke ima ukupno 36 mogućih ishoda, budući da je 6² = 36. Povoljni ishodi: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Vjerojatnost dobivanja osam bodova je 5:36 ≈ 0,14. Odgovor: 0,14.

7. Bacite kocku dvaput. Ukupno je ispalo 6 bodova. Pronađite vjerojatnost da dobijete 5 na jednom od bacanja. Odluka: Ukupni ishodi 6 bodova - 5: 2 i 4; 4 i 2; 3 i 3; 1 i 5; 5 i 1. Povoljni ishodi - 2. P(A)=2:5=0,4. Odgovor: 0,4.

8. Na ispitu je bilo 50 listića, Timofey nije naučio 5 od njih. Pronađite vjerojatnost da će dobiti naučenu kartu. Rješenje: Timofey je naučio 45 ulaznica. P(A)=45:50=0,9. Odgovor: 0,9.

NATJECANJA

9. Na prvenstvu u gimnastici sudjeluje 20 atletičara: 8 iz Rusije, 7 iz SAD-a, ostali iz Kine. Redoslijed izvođenja određuje se ždrijebom. Pronađite vjerojatnost da je sportaš koji se prvi natječe iz Kine. Rješenje: Ukupni ishodi 20. Povoljni ishodi 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Odgovor: 0,25.

10. Na natjecanje u bacanju kugle došlo je 4 sportaša iz Francuske, 5 iz Engleske i 3 iz Italije. Redoslijed nastupa određuje se ždrijebom. Pronađite vjerojatnost da je peti sportaš iz Italije. Rješenje: Broj svih mogućih ishoda je 12 (4 + 5 + 3 = 12). Broj povoljnih ishoda je 3. P(A)=3:12=0,25. Odgovor: 0,25.

11. Prije početka prvog kola prvenstva u badmintonu sudionici se ždrijebom nasumično dijele u parove. Ukupno na prvenstvu sudjeluje 26 badmintonista, uključujući 12 sudionika iz Rusije, među kojima je i Vladimir Orlov. Pronađite vjerojatnost da će u prvom kolu Vladimir Orlov igrati s bilo kojim badmintonašem iz Rusije? Odluka: Ukupni ishodi - 25 (Vladimir Orlov s 25 badmintonista). Povoljni ishodi - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Odgovor: 0,44.

12. Natjecanje izvođača održava se u 5 dana. Najavljeno je ukupno 75 nastupa – po jedan iz svake zemlje. Prvi dan ima 27 predstava, ostale su ravnomjerno raspoređene na preostale dane. Redoslijed nastupa određuje se ždrijebom. Kolika je vjerojatnost da će se nastup predstavnika Rusije održati trećeg dana natjecanja? Odluka: Ukupni ishodi - 75. Treći dan nastupaju izvođači iz Rusije. Povoljni ishodi - (75-27): 4 = 12. P(A)=12:75=0,16. Odgovor: 0,16.

13. Kolya bira dvoznamenkasti broj. Nađite vjerojatnost da je djeljiv s 5. Rješenje: Dvoznamenkasti brojevi: 10;11;12;…;99. Ukupni ishodi - 90. Brojevi djeljivi s 5: 10; petnaest; 20; 25; …; 90; 95. Povoljni ishodi - 18. P(A)=18:90=0,2. Odgovor: 0,2.

RAZLIČITI ZADACI ZA ODREĐIVANJE VJEROJATNOSTI

14. Tvornica proizvodi vrećice. U prosjeku na svakih 170 kvalitetnih vrećica dolazi šest vrećica sa skrivenim nedostacima. Pronađite vjerojatnost da će kupljena torba biti visoke kvalitete. Zaokružite rezultat na najbližu stotinu. Rješenje: Ukupni ishodi - 176. Povoljni ishodi - 170. R(A)=170:176 ≈ 0,97. Odgovor: 0,97.

15. U prosjeku se na svakih 100 prodanih baterija napune 94 baterije. Pronađite vjerojatnost da kupljena baterija nije napunjena. Rješenje: Ukupni ishodi - 100. Povoljni ishodi - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Odgovor: 0,06.

IZVORI http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru