Usporedite razlomke s različitim nazivnicima. Usporedba razlomaka: pravila, primjeri, rješenja

Ovaj se članak bavi usporedbom razlomaka. Ovdje ćemo saznati koji je od razlomaka veći ili manji, primijeniti pravilo i analizirati primjere rješenja. Usporedi razlomke s istim i različitim nazivnicima. Usporedimo običan razlomak s prirodnim brojem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Uspoređivanje razlomaka s istim nazivnicima

Kada uspoređujemo razlomke s istim nazivnicima, radimo samo s brojnikom, što znači da uspoređujemo razlomke broja. Ako postoji razlomak 3 7 , onda ima 3 dijela 1 7 , tada razlomak 8 7 ima 8 takvih dijelova. Drugim riječima, ako je nazivnik isti, brojnici tih razlomaka se uspoređuju, odnosno 3 7 i 8 7 uspoređuju se brojevi 3 i 8.

To podrazumijeva pravilo za usporedbu razlomaka s istim nazivnicima: od dostupnih razlomaka s istim pokazateljima, razlomak s većim brojnikom smatra se većim i obrnuto.

To sugerira da biste trebali obratiti pozornost na brojnike. Da biste to učinili, razmotrite primjer.

Primjer 1

Usporedi zadane razlomke 65 126 i 87 126 .

Riješenje

Budući da su nazivnici razlomaka isti, prijeđimo na brojnike. Iz brojeva 87 i 65 vidljivo je da je 65 manje. Na temelju pravila za usporedbu razlomaka s istim nazivnicima, imamo da je 87126 veće od 65126.

Odgovor: 87 126 > 65 126 .

Uspoređivanje razlomaka s različitim nazivnicima

Usporedba takvih razlomaka može se usporediti s usporedbom razlomaka s istim eksponentima, ali postoji razlika. Sada trebamo svesti razlomke na zajednički nazivnik.

Ako postoje razlomci s različitim nazivnicima, da biste ih usporedili trebate:

pronaći zajednički nazivnik;
usporediti razlomke.

Pogledajmo ove korake na primjeru.

Primjer 2

Usporedi razlomke 5 12 i 9 16 .

Riješenje

Prvi korak je dovesti razlomke do zajedničkog nazivnika. To se radi na ovaj način: nađe se LCM, odnosno najmanji zajednički djelitelj, 12 i 16. Ovaj broj je 48. U prvi razlomak 5 12 potrebno je upisati dodatne faktore, ovaj broj se nalazi iz kvocijenta 48: 12 = 4, za drugi razlomak 9 16 - 48: 16 = 3. Zapišimo to ovako: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 i 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Nakon usporedbe razlomaka, dobivamo da je 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Odgovor: 5 12 < 9 16 .

Postoji još jedan način za usporedbu razlomaka s različitim nazivnicima. Izvodi se bez svođenja na zajednički nazivnik. Pogledajmo primjer. Za usporedbu razlomaka a b i c d, svodimo na zajednički nazivnik, zatim b · d, odnosno umnožak tih nazivnika. Tada će dodatni faktori za razlomke biti nazivnici susjednog razlomka. Ovo je zapisano kao a · d b · d i c · b d · b . Koristeći pravilo s istim nazivnicima, dobili smo da je usporedba razlomaka svedena na usporedbe proizvoda a · d i c · b. Odavde dobivamo pravilo za usporedbu razlomaka s različitim nazivnicima: ako je a d > b c, onda je a b > c d, ali ako je a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Primjer 3

Usporedi razlomke 5 18 i 23 86.

Riješenje

Ovaj primjer ima a = 5 , b = 18 , c = 23 i d = 86 . Tada je potrebno izračunati a · d i b · c . Iz toga slijedi da je a d = 5 86 = 430 i b c = 18 23 = 414 . Ali 430 > 414 , tada je zadani razlomak 5 18 veći od 23 86 .

Odgovor: 5 18 > 23 86 .

Uspoređivanje razlomaka s istim brojnikom

Ako razlomci imaju iste brojnike i različite nazivnike, tada možete izvesti usporedbu prema prethodnom odlomku. Rezultat usporedbe moguć je pri usporedbi njihovih nazivnika.

Postoji pravilo za usporedbu razlomaka s istim brojiteljima : Od dva razlomka s istim brojnikom, veći razlomak je onaj s manjim nazivnikom i obrnuto.

Pogledajmo primjer.

Primjer 4

Usporedi razlomke 54 19 i 54 31.

Riješenje

Imamo da su brojnici isti, što znači da je razlomak s nazivnikom 19 veći od razlomka koji ima nazivnik 31. To je jasno iz pravila.

Odgovor: 54 19 > 54 31 .

Inače, možete uzeti u obzir primjer. Dva su tanjura na kojima 1 2 pite, anna još 1 16 . Ako pojedete 12 pite, siti ćete se brže nego samo 116. Otuda zaključak da je najveći nazivnik s istim brojnicima najmanji kada se uspoređuju razlomci.

Uspoređivanje razlomka s prirodnim brojem

Usporedba običnog razlomka s prirodnim brojem je isto što i usporedba dvaju razlomaka s nazivnicima zapisanim u obliku 1. Pogledajmo primjer u nastavku za više detalja.

Primjer 4

Potrebno je izvršiti usporedbu 63 8 i 9 .

Riješenje

Potrebno je broj 9 predstaviti kao razlomak 9 1 . Tada imamo potrebu usporediti razlomke 63 8 i 9 1 . Nakon toga slijedi svođenje na zajednički nazivnik pronalaženjem dodatnih faktora. Nakon toga vidimo da trebamo usporediti razlomke s istim nazivnicima 63 8 i 72 8 . Na temelju pravila usporedbe, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Odgovor: 63 8 < 9 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U svakodnevnom životu često moramo uspoređivati razlomke. U većini slučajeva to ne uzrokuje nikakve probleme. Doista, svi razumiju da je pola jabuke veća od četvrtine. Ali kada je to potrebno zapisati kao matematički izraz, može biti teško. Primjenom sljedećih matematičkih pravila, ovaj problem možete jednostavno riješiti.

Kako usporediti razlomke s istim nazivnikom

Te je razlomke najlakše usporediti. U ovom slučaju koristite pravilo:

Od dva razlomka s istim nazivnikom, ali različitim brojnikom, veći će biti onaj čiji je brojnik veći, a manji će biti onaj čiji je brojnik manji.

Na primjer, usporedite razlomke 3/8 i 5/8. Nazivnici u ovom primjeru su jednaki, pa primjenjujemo ovo pravilo. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Doista, ako dvije pizze izrežete na 8 kriški, tada je 3/8 kriški uvijek manje od 5/8.

Uspoređivanje razlomaka s istim brojnicima i različitim nazivnicima

U ovom slučaju se uspoređuju veličine udjela nazivnika. Pravilo koje treba primijeniti je:

Ako dva razlomka imaju isti brojnik, tada je veći razlomak onaj s manjim nazivnikom.

Na primjer, usporedite razlomke 3/4 i 3/8. U ovom primjeru brojnici su jednaki, pa koristimo drugo pravilo. Razlomak 3/4 ima manji nazivnik od razlomka 3/8. Stoga je 3/4>3/8

Doista, ako pojedete 3 kriške pizze podijeljene na 4 dijela, bit ćete sitiji nego da ste pojeli 3 kriške pizze podijeljene na 8 dijelova.

Uspoređivanje razlomaka s različitim brojnicima i nazivnicima

Primjenjujemo treće pravilo:

Usporedbu razlomaka s različitim nazivnicima treba usporediti s razlomcima s istim nazivnicima. Da biste to učinili, trebate dovesti razlomke na zajednički nazivnik i upotrijebiti prvo pravilo.

Na primjer, trebate usporediti razlomke i . Da bismo odredili veći razlomak, ova dva razlomka dovodimo do zajedničkog nazivnika:

Sada pronađimo drugi dodatni faktor: 6:3=2. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Od dva razlomka s istim nazivnikom, onaj s većim brojnikom je veći, a onaj s manjim brojnikom manji.. Zapravo, na kraju krajeva, nazivnik pokazuje na koliko je dijelova podijeljena jedna cijela vrijednost, a brojnik pokazuje koliko je takvih dijelova uzeto.

Ispada da je svaki cijeli krug podijeljen istim brojem 5 , ali uzeli su različit broj dijelova: uzeli su više - veliki dio i ispalo je.

Od dva razlomka s istim brojnikom, onaj s manjim nazivnikom je veći, a onaj s većim nazivnikom manji. Pa, zapravo, ako podijelimo jedan krug na 8 dijelovi i drugo 5 dijelove i uzeti po jedan dio iz svakog od krugova. Koji će dio biti veći?

Naravno, iz kruga podijeljenog sa 5 dijelovi! Sada zamislite da nisu dijelili krugove, već kolače. Koji komad biste preferirali, točnije, koji dio: peti ili osmi?

Da biste usporedili razlomke s različitim brojnicima i različitim nazivnicima, trebate razlomke svesti na najmanji zajednički nazivnik, a zatim usporediti razlomke s istim nazivnicima.

Primjeri. Usporedi obične razlomke:

Dovedite ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik. NOZ(4 ; 6)=12. Pronalazimo dodatne faktore za svaki od razlomaka. Za 1. razlomak, dodatni množitelj 3 (12: 4=3 ). Za 2. razlomak, dodatni množitelj 2 (12: 6=2 ). Sada uspoređujemo brojnike dvaju rezultirajućih razlomaka s istim nazivnicima. Budući da je brojnik prvog razlomka manji od brojnika drugog razlomka ( 9<10) , tada je sam prvi razlomak manji od drugog razlomka.

Nastavljamo proučavati razlomke. Danas ćemo govoriti o njihovoj usporedbi. Tema je zanimljiva i korisna. Omogućit će početniku da se osjeća kao znanstvenik u bijelom kaputu.

Bit uspoređivanja razlomaka je otkriti koji je od dva razlomka veći ili manji.

Da biste odgovorili na pitanje koji je od dva razlomka veći ili manji, upotrijebite više (>) ili manje (<).

Matematičari su se već pobrinuli za gotova pravila koja vam omogućuju da odmah odgovorite na pitanje koji je razlomak veći, a koji manji. Ova pravila se mogu sigurno primijeniti.

Pogledat ćemo sva ta pravila i pokušati shvatiti zašto se to događa.

Sadržaj lekcije

Uspoređivanje razlomaka s istim nazivnicima

Razlomci koji se uspoređuju nailaze na različite. Najuspješniji je slučaj kada razlomci imaju iste nazivnike, ali različite brojnike. U ovom slučaju vrijedi sljedeće pravilo:

Od dva razlomka s istim nazivnikom, veći razlomak je onaj s većim brojnikom. I sukladno tome, bit će manji razlomak, u kojem je brojnik manji.

Na primjer, usporedimo razlomke i odgovorimo koji je od tih razlomaka veći. Ovdje su nazivnici isti, ali su brojnici različiti. Razlomak ima veći brojnik od razlomka. Dakle, razlomak je veći od . Pa mi odgovaramo. Odgovorite pomoću ikone više (>)

Ovaj primjer je lako razumjeti ako razmislimo o pizzama koje su podijeljene na četiri dijela. više pizza nego pizza:

Svi će se složiti da je prva pizza veća od druge.

Uspoređivanje razlomaka s istim brojnikom

Sljedeći slučaj u koji možemo ući je kada su brojnici razlomaka isti, ali su nazivnici različiti. Za takve slučajeve predviđeno je sljedeće pravilo:

Od dva razlomka s istim brojnikom, veći je razlomak s manjim nazivnikom. Stoga je razlomak s većim nazivnikom manji.

Na primjer, usporedimo razlomke i . Ti razlomci imaju isti brojnik. Razlomak ima manji nazivnik od razlomka. Dakle, razlomak je veći od razlomka. Pa mi odgovaramo:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako razmislimo o pizzama koje su podijeljene na tri i četiri dijela. više pizza nego pizza:

Svi se slažu da je prva pizza veća od druge.

Uspoređivanje razlomaka s različitim brojnicima i različitim nazivnicima

Često se događa da morate uspoređivati razlomke s različitim brojnicima i različitim nazivnicima.

Na primjer, usporedite razlomke i . Da biste odgovorili na pitanje koji je od ovih razlomaka veći ili manji, potrebno ih je dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika. Tada će biti lako odrediti koji je ulomak veći ili manji.

Dovedimo razlomke na isti (zajednički) nazivnik. Nađite (LCM) nazivnike oba razlomka. LCM nazivnika razlomaka i tog broja je 6.

Sada ćemo pronaći dodatne faktore za svaki razlomak. LCM podijelite nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 s 2, dobivamo dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada pronađimo drugi dodatni faktor. LCM podijelite nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo dodatni faktor 2. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Pomnožite razlomke s njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do činjenice da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako usporediti takve razlomke. Od dva razlomka s istim nazivnicima, veći razlomak je onaj s većim brojnikom:

Pravilo je pravilo, a mi ćemo pokušati dokučiti zašto više od . Da biste to učinili, odaberite cijeli broj u razlomku. Nema potrebe da birate ništa u razlomku, jer je ovaj razlomak već pravilan.

Nakon odabira cjelobrojnog dijela u razlomku, dobivamo sljedeći izraz:

Sada možete lako razumjeti zašto više od . Nacrtajmo ove razlomke u obliku pizza:

2 cijele pizze i pizze, više od pizza.

Oduzimanje mješovitih brojeva. Teški slučajevi.

Kada oduzimate mješovite brojeve, ponekad otkrijete da stvari ne idu tako glatko kako biste željeli. Često se događa da pri rješavanju nekog primjera odgovor nije onakav kakav bi trebao biti.

Kod oduzimanja brojeva minus mora biti veći od oduzetog. Samo u tom slučaju će se dobiti normalan odgovor.

Na primjer, 10−8=2

10 - smanjeno

8 - oduzeto

2 - razlika

Minus 10 je veći od oduzetog 8, pa smo dobili normalan odgovor 2.

Pogledajmo sada što se događa ako je minuend manji od oduzetog. Primjer 5−7=−2

5 - smanjeno

7 - oduzeto

−2 je razlika

U ovom slučaju izlazimo iz okvira brojeva na koje smo navikli i nalazimo se u svijetu negativnih brojeva, gdje nam je prerano hodati, pa čak i opasno. Za rad s negativnim brojevima potrebna vam je odgovarajuća matematička podloga, koju još nismo dobili.

Ako pri rješavanju primjera za oduzimanje ustanovite da je minus manji od oduzetog, onda takav primjer za sada možete preskočiti. Dopušteno je raditi s negativnim brojevima tek nakon što ih proučite.

Ista je situacija i sa razlomcima. Minuend mora biti veći od oduzetog. Samo u ovom slučaju bit će moguće dobiti normalan odgovor. A da biste razumjeli je li smanjeni razlomak veći od oduzetog, morate biti u mogućnosti usporediti te razlomke.

Na primjer, riješimo primjer.

Ovo je primjer oduzimanja. Da biste ga riješili, trebate provjeriti je li smanjeni razlomak veći od oduzetog. više od

pa se možemo sigurno vratiti na primjer i riješiti ga:

Sada riješimo ovaj primjer

Provjerite je li smanjeni razlomak veći od oduzetog. Nalazimo da je manje:

U ovom slučaju, razumnije je zaustaviti se i ne nastaviti s daljnjim izračunom. Vratit ćemo se na ovaj primjer kada budemo proučavali negativne brojeve.

Također je poželjno provjeriti mješovite brojeve prije oduzimanja. Na primjer, pronađimo vrijednost izraza .

Prvo provjerite je li smanjeni mješoviti broj veći od oduzetog. Da bismo to učinili, mješovite brojeve prevodimo u nepravilne razlomke:

Dobili smo razlomke s različitim brojnicima i različitim nazivnicima. Da biste usporedili takve razlomke, trebate ih dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika. Nećemo detaljno opisivati kako to učiniti. Ako imate problema, svakako ponovite.

Nakon svođenja razlomaka na isti nazivnik, dobivamo sljedeći izraz:

Sada trebamo usporediti razlomke i . To su razlomci s istim nazivnicima. Od dva razlomka s istim nazivnikom, veći razlomak je onaj s većim brojnikom.

Razlomak ima veći brojnik od razlomka. Dakle, razlomak je veći od razlomka.

To znači da je minuend veći od subtrahenda.

Dakle, možemo se vratiti na naš primjer i hrabro ga riješiti:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Provjerite je li minus veći od oduzetog.

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke:

Dobili smo razlomke s različitim brojnicima i različitim nazivnicima. Te razlomke dovodimo do istog (zajedničkog) nazivnika.

U ovoj lekciji naučit ćemo kako međusobno uspoređivati razlomke. Ovo je vrlo korisna vještina koja je potrebna za rješavanje čitave klase složenijih problema.

Prvo, dopustite da vas podsjetim na definiciju jednakosti razlomaka:

Razlomci a /b i c /d nazivaju se jednakima ako je ad = bc.

5/8 = 15/24 jer je 5 24 = 8 15 = 120;
3/2 = 27/18 jer je 3 18 = 2 27 = 54.

U svim ostalim slučajevima razlomci su nejednaki, a za njih vrijedi jedna od sljedećih tvrdnji:

Razlomak a /b veći je od razlomka c /d ;
Razlomak a /b manji je od razlomka c /d.

Razlomak a /b naziva se većim od razlomka c /d ako je a /b − c /d > 0.

Razlomak x /y naziva se manjim od razlomka s /t ako je x /y − s /t< 0.

Oznaka:

Dakle, usporedba razlomaka se svodi na njihovo oduzimanje. Pitanje: kako se ne zbuniti s oznakama "veće od" (>) i "manje od" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Proširujući dio čeka uvijek je usmjeren prema većem broju;
Oštar nos čavke uvijek ukazuje na manji broj.

Često u zadacima u kojima želite usporediti brojeve između njih stavljaju znak "∨". Ovo je čavka sa spuštenim nosom, što, takoreći, nagovještava: veći broj još nije određen.

Zadatak. Usporedi brojeve:

Slijedeći definiciju, oduzimamo razlomke jedan od drugog:

U svakoj usporedbi trebali smo razlomke dovesti do zajedničkog nazivnika. Konkretno, korištenjem metode križnog križanja i pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Namjerno se nisam usredotočio na ove točke, ali ako nešto nije jasno, pogledajte lekciju " Zbrajanje i oduzimanje razlomaka" - vrlo je jednostavno.

Decimalna usporedba

U slučaju decimalnih razlomaka sve je puno jednostavnije. Ovdje nema potrebe ništa oduzimati - samo usporedite znamenke. Neće biti suvišno prisjetiti se koji je značajan dio broja. Za one koji su zaboravili, predlažem ponavljanje lekcije " Množenje i dijeljenje decimalnih razlomaka" - također će trajati samo nekoliko minuta.

Pozitivna decimala X veća je od pozitivne decimale Y ako ima decimalno mjesto tako da:

Znamenka ove znamenke u razlomku X veća je od odgovarajuće znamenke u razlomku Y;

Sve znamenke starije od danih u razlomcima X i Y su iste.

12.25 > 12.16. Prve dvije znamenke su iste (12 = 12), a treća je veća (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Drugim riječima, uzastopno gledamo decimalna mjesta i tražimo razliku. U ovom slučaju, veći broj odgovara većem razlomku.

Međutim, ova definicija zahtijeva pojašnjenje. Na primjer, kako napisati i usporediti znamenke do decimalne točke? Zapamtite: svakom broju zapisanom u decimalnom obliku može se dodijeliti bilo koji broj nula s lijeve strane. Evo još par primjera:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, jer 0,0025 = 0000,0025 - dodano tri nule s lijeve strane. Sada možete vidjeti da razlika počinje od prvog bita: 2 > 0.

Naravno, u navedenim primjerima s nulama bilo je eksplicitno nabrajanje, ali značenje je upravo ovo: unesite znamenke koje nedostaju s lijeve strane, a zatim usporedite.

Zadatak. Usporedi razlomke:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

Po definiciji imamo:

0,029 > 0,007. Prve dvije znamenke su iste (00 = 00), zatim počinje razlika (2 > 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Ovdje morate pažljivo brojati nule. Prvih 5 znamenki u oba razlomka je nula, ali dalje u prvom razlomku je 3, au drugom - 0. Očito, 3 > 0;
1700,1 > 0,99501. Napišimo drugi razlomak kao 0000,99501, dodajući 3 nule lijevo. Sada je sve očito: 1 > 0 - razlika se nalazi u prvoj znamenki.

Nažalost, gornja shema za usporedbu decimalnih razlomaka nije univerzalna. Ova metoda može samo usporediti pozitivni brojevi. U općem slučaju, algoritam rada je sljedeći:

Pozitivan razlomak je uvijek veći od negativnog;
Dvije pozitivne frakcije se uspoređuju prema gore navedenom algoritmu;
Dva negativna razlomka se uspoređuju na isti način, ali se na kraju predznak nejednakosti obrće.

Pa zar nije slabo? Pogledajmo sada konkretne primjere - i sve će postati jasno.

Zadatak. Usporedi razlomke:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0,192 > -0,39. Razlomci su negativni, 2 znamenke su različite. jedan< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > -11,3. Pozitivan broj je uvijek veći od negativnog;
19,032 > 0,091. Dovoljno je prepisati drugi razlomak u obliku 00.091 da vidimo da se razlika pojavljuje već u 1 znamenki;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Razlika je u prvoj kategoriji.