Primjeri rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Trigonometrijske jednadžbe

Metode rješenja trigonometrijske jednadžbe

Uvod 2

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi 5

Algebarski 5

Rješavanje jednadžbi uz uvjet jednakosti istoimenih trigonometrijskih funkcija 7

Faktoring 8

Redukcija na homogenu jednadžbu 10

Uvođenje pomoćnog kuta 11

Pretvorite proizvod u zbroj 14

Univerzalna zamjena 14

Zaključak 17

Uvod

Do desetog razreda redoslijed radnji mnogih vježbi koje vode do cilja u pravilu je nedvosmisleno definiran. Na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe i nejednadžbe, frakcijske jednadžbe i jednadžbe koje se svode na kvadrate itd. Bez detaljne analize principa rješavanja svakog od navedenih primjera, bilježimo ono općenito što je potrebno za njihovo uspješno rješavanje.

U većini slučajeva morate odrediti koja je vrsta zadatka, zapamtiti slijed radnji koje vode do cilja i izvršiti te radnje. Očito je da uspjeh ili neuspjeh učenika u ovladavanju metodama rješavanja jednadžbi ovisi uglavnom o tome koliko će moći ispravno odrediti vrstu jednadžbe i zapamtiti slijed svih faza njezina rješavanja. Naravno, to pretpostavlja da učenik ima vještine za izvođenje identične transformacije i računalstvo.

Potpuno drugačija situacija događa se kada se učenik susreće s trigonometrijskim jednadžbama. Istodobno, nije teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri pronalaženju pravca djelovanja koji bi doveo do pozitivan rezultat. I ovdje se učenik suočava s dva problema. Po izgled jednadžbe je teško odrediti vrstu. A bez poznavanja vrste, gotovo je nemoguće odabrati željenu formulu od nekoliko desetaka dostupnih.

Kako bi učenicima pomogli da se snađu kroz složeni labirint trigonometrijskih jednadžbi, najprije se upoznaju s jednadžbama, koje se nakon uvođenja nove varijable svode na kvadratne. Zatim riješimo homogene jednadžbe i svedemo na njih. Sve završava, u pravilu, jednadžbama, za čije je rješenje potrebno faktorizirati lijevu stranu, a zatim svaki od faktora izjednačiti s nulom.

Shvaćajući da deset i pol jednadžbi analiziranih u nastavi očito nije dovoljno da bi učenik mogao samostalno ploviti po trigonometrijskom "moru", nastavnik dodaje još nekoliko svojih preporuka.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednadžbu, moramo pokušati:

Dovedite sve funkcije uključene u jednadžbu u "iste kutove";

Dovedite jednadžbu na "iste funkcije";

Faktorizirajte lijevu stranu jednadžbe, itd.

No, unatoč poznavanju glavnih vrsta trigonometrijskih jednadžbi i nekoliko principa za pronalaženje njihovog rješenja, mnogi se učenici još uvijek nalaze u slijepoj ulici ispred svake jednadžbe koja se neznatno razlikuje od onih koje su rješavane prije. Ostaje nejasno čemu treba težiti, imajući ovu ili onu jednadžbu, zašto je u jednom slučaju potrebno primijeniti formule dvostruki kut, u drugom - pola, a u trećem - formule zbrajanja itd.

Definicija 1. Trigonometrijska jednadžba je jednadžba u kojoj je nepoznato sadržano pod znakom trigonometrijskih funkcija.

Definicija 2. Kaže se da trigonometrijska jednadžba ima iste kutove ako sve trigonometrijske funkcije uključene u nju imaju jednake argumente. Kaže se da trigonometrijska jednadžba ima iste funkcije ako sadrži samo jednu od trigonometrijskih funkcija.

Definicija 3. Stupanj monoma koji sadrži trigonometrijske funkcije je zbroj eksponenta potencija trigonometrijskih funkcija uključenih u njega.

Definicija 4. Jednadžba se naziva homogenom ako svi monomi u njoj imaju isti stupanj. Taj se stupanj naziva redom jednadžbe.

Definicija 5. Trigonometrijska jednadžba koja sadrži samo funkcije grijeh I cos, naziva se homogenim ako svi monomi s obzirom na trigonometrijske funkcije imaju isti stupanj, a same trigonometrijske funkcije imaju jednake kutove i broj monoma je za 1 veći od reda jednadžbe.

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Rješenje trigonometrijskih jednadžbi sastoji se od dvije faze: transformacije jednadžbe kako bi se dobio njezin najjednostavniji oblik i rješenja rezultirajuće najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Postoji sedam osnovnih metoda za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi.

ja. algebarska metoda. Ova metoda je dobro poznata iz algebre. (Način zamjene varijabli i supstitucije).

Riješite jednadžbe.

Uvedemo notaciju x=2 grijeh3 t, dobivamo

Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo:
ili

oni. može se napisati

Prilikom pisanja rješenja dobiveno zbog prisutnosti znakova stupanj
nema smisla pisati.

Odgovor:

Označiti

dobivamo kvadratna jednadžba
. Njegovi korijeni su brojevi
I
. Stoga se ova jednadžba svodi na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
I
. Rješavajući ih, nalazimo to
ili
.

Odgovor:
;
.

Označiti

ne zadovoljava uvjet

Sredstva

Odgovor:

Transformirajmo lijevu stranu jednadžbe:

Dakle, ova početna jednadžba se može napisati kao:

, tj.

Označavajući
, dobivamo
Rješavajući ovu kvadratnu jednadžbu imamo:

ne zadovoljava uvjet

Zapisujemo rješenje izvorne jednadžbe:

Odgovor:

Zamjena
svodi ovu jednadžbu na kvadratnu jednadžbu
. Njegovi korijeni su brojevi
I
. Jer
, onda zadana jednadžba nema korijena.

Odgovor: nema korijena.

II. Rješenje jednadžbi uz uvjet jednakosti istoimenih trigonometrijskih funkcija.

ali)
, ako

b)
, ako

u)
, ako

Koristeći ove uvjete, razmotrite rješenje sljedećih jednadžbi:

Koristeći ono što je rečeno u točki a), nalazimo da jednadžba ima rješenje ako i samo ako
.

Rješavajući ovu jednadžbu, nalazimo
.

Imamo dvije grupe rješenja:

.

7) Riješite jednadžbu:
.

Koristeći uvjet dijela b) zaključujemo da
.

Rješavajući ove kvadratne jednadžbe, dobivamo:

8) Riješite jednadžbu
.

Iz ove jednadžbe zaključujemo da . Rješavajući ovu kvadratnu jednadžbu, nalazimo da

.

III. Faktorizacija.

Ovu metodu razmatramo s primjerima.

9) Riješite jednadžbu
.

Riješenje. Pomaknimo sve članove jednadžbe ulijevo: .

Transformiramo i faktoriziramo izraz na lijevoj strani jednadžbe:
.

1)
2)

Jer
I
ne uzimajte vrijednost null

u isto vrijeme, tada odvajamo oba dijela

jednadžbe za
,

Odgovor:

10) Riješite jednadžbu:

Riješenje.

ili

Odgovor:

11) Riješite jednadžbu

Riješenje:

1)
2)
3)

Odgovor:

IV. Redukcija na homogenu jednadžbu.

Za rješavanje homogene jednadžbe potrebno je:

Pomaknite sve njegove članove na lijevu stranu;

Stavite sve uobičajene čimbenike izvan zagrada;

Izjednačite sve faktore i zagrade na nulu;

Zagrade izjednačene s nulom daju homogenu jednadžbu manjeg stupnja, koju treba podijeliti s
(ili
) u višem stupnju;

Riješiti primljeno algebarska jednadžba relativno
.

Razmotrimo primjere:

12) Riješite jednadžbu:

Riješenje.

Podijelite obje strane jednadžbe sa
,

Uvođenje notacije
, Ime

korijeni ove jednadžbe su:

odavde 1)
2)

Odgovor:

13) Riješite jednadžbu:

Riješenje. Koristeći formule za dvostruki kut i osnovni trigonometrijski identitet, ovu jednadžbu svodimo na pola argumenta:

Nakon smanjenja sličnih pojmova, imamo:

Dijeljenje homogene posljednje jednadžbe sa
, dobivamo

odredit ću
, dobivamo kvadratnu jednadžbu
, čiji su korijeni brojevi

Na ovaj način

Izraz
nestaje na
, tj. na
,
.

Naše rješenje jednadžbe ne uključuje ove brojeve.

Odgovor:
, .

V. Uvođenje pomoćnog kuta.

Razmotrimo jednadžbu oblika

Gdje a, b, c- koeficijenti, x- nepoznato.

Podijelite obje strane ove jednadžbe sa

Sada koeficijenti jednadžbe imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime: modul svakog od njih ne prelazi jedinicu, a zbroj njihovih kvadrata jednak je 1.

Tada ih možemo u skladu s tim označiti
(ovdje - pomoćni kut) i naša jednadžba ima oblik: .

Zatim

I njegova odluka

Imajte na umu da je uvedeni zapis zamjenjiv.

14) Riješite jednadžbu:

Riješenje. Ovdje
, pa dijelimo obje strane jednadžbe sa

Odgovor:

15) Riješite jednadžbu

Riješenje. Jer
, tada je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi

Jer
, tada postoji kut takav da
,
(oni.
).

Imamo

Jer
, tada konačno dobivamo:

Imajte na umu da jednadžba oblika ima rješenje ako i samo ako

16) Riješite jednadžbu:

Da bismo riješili ovu jednadžbu, grupiramo trigonometrijske funkcije s istim argumentima

Podijelite obje strane jednadžbe s dva

Zbroj trigonometrijskih funkcija pretvaramo u proizvod:

Odgovor:

VI. Pretvorite proizvod u zbroj.

Ovdje se koriste odgovarajuće formule.

17) Riješite jednadžbu:

Riješenje. Pretvorimo lijevu stranu u zbroj:

VII.Univerzalna zamjena.

ove formule vrijede za sve

Zamjena
naziva univerzalnim.

18) Riješite jednadžbu:

Rješenje: Zamijenite i
na njihov izraz kroz
i označiti
.

Dobivamo racionalnu jednadžbu
, koji se pretvara u kvadrat
.

Korijeni ove jednadžbe su brojevi
.

Stoga se problem sveo na rješavanje dviju jednadžbi
.

Nalazimo to
.

Pogledajte vrijednost
ne zadovoljava izvornu jednadžbu, što se provjerava provjerom - zamjenom zadanu vrijednost t na izvornu jednadžbu.

Odgovor:
.

Komentar. Jednadžba 18 mogla bi se riješiti na drugačiji način.

Podijelite obje strane ove jednadžbe s 5 (tj
):
.

Jer
, onda postoji broj
, što
I
. Dakle, jednadžba postaje:
ili
. Odavde to nalazimo
gdje
.

19) Riješite jednadžbu
.

Riješenje. Budući da funkcije
I
imati najviša vrijednost jednak 1, tada je njihov zbroj jednak 2 ako
I
, u isto vrijeme, tj
.

Odgovor:
.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe korištena je ograničenost funkcija i.

Zaključak.

Radeći na temi “Rješenja trigonometrijskih jednadžbi” korisno je za svakog nastavnika slijediti sljedeće preporuke:

Sistematizirati metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Odaberite sami korake za analizu jednadžbe i znakove svrsishodnosti korištenja jedne ili druge metode rješenja.

Razmisliti o načinima samokontrole aktivnosti na provedbi metode.

Naučite napraviti "svoje" jednadžbe za svaku od proučavanih metoda.

Prijava br.1

Riješite homogene ili reducibilne jednadžbe.

1.	Rep.
	Rep.

	Rep.
5.	Rep.
	Rep.
7.	Rep.
	Rep.

Videotečaj "Dobijte A" uključuje sve teme koje trebate uspješna isporuka UPOTREBA iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilni ispit matematika. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite položiti ispit s 90-100 bodova, 1. dio trebate riješiti za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka je tema data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Zlobni trikovi rješenja, korisne cheat sheets, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Baza za rješenje izazovni zadaci 2 dijela ispita.

Pojam rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednadžbi. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe u konačnici se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednadžbe.

Rješenje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi.

Postoje 4 vrste osnovnih trigonometrijskih jednadžbi:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi uključuje gledanje različitih x položaja na jediničnom krugu, kao i korištenje tablice za pretvorbu (ili kalkulatora).
Primjer 1. sin x = 0,866. Koristeći tablicu pretvorbe (ili kalkulator), dobivate odgovor: x = π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: 2π/3. Zapamtite: sve trigonometrijske funkcije su periodične, odnosno njihove vrijednosti se ponavljaju. Na primjer, periodičnost sin x i cos x je 2πn, a periodičnost tg x i ctg x je πn. Dakle, odgovor je napisan ovako:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Primjer 2 cos x = -1/2. Koristeći tablicu pretvorbe (ili kalkulator), dobivate odgovor: x = 2π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Primjer 3. tg (x - π/4) = 0.
Odgovor: x \u003d π / 4 + πn.
Primjer 4. ctg 2x = 1,732.
Odgovor: x \u003d π / 12 + πn.

Transformacije koje se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi.

Za transformaciju trigonometrijskih jednadžbi koriste se algebarske transformacije (faktorizacija, redukcija homogeni članovi itd.) i trigonometrijski identiteti.
Primjer 5. Koristeći trigonometrijske identitete, jednadžba sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pretvara se u jednadžbu 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Dakle, sljedeće osnovne trigonometrijske jednadžbe treba riješiti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Pronalaženje kutova po poznate vrijednosti funkcije.
- Prije nego naučite rješavati trigonometrijske jednadžbe, morate naučiti kako pronaći kutove iz poznatih vrijednosti funkcija. To se može učiniti pomoću tablice za pretvorbu ili kalkulatora.
- Primjer: cos x = 0,732. Kalkulator će dati odgovor x = 42,95 stupnjeva. Jedinični krug će dati dodatne kutove, čiji je kosinus također jednak 0,732.
Ostavite otopinu na jediničnom krugu.
- Možete staviti rješenja trigonometrijske jednadžbe na jedinični krug. Rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu su vrhovi pravilnog poligona.
- Primjer: Rješenja x = π/3 + πn/2 na jediničnom krugu su vrhovi kvadrata.
- Primjer: Rješenja x = π/4 + πn/3 na jediničnom krugu su vrhovi pravilnog šesterokuta.
Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
- Ako data trigonometrijska jednadžba sadrži samo jednu trigonometrijska funkcija, riješi ovu jednadžbu kao osnovnu trigonometrijsku jednadžbu. Ako data jednadžba uključuje dvije ili više trigonometrijskih funkcija, tada postoje 2 metode za rješavanje takve jednadžbe (ovisno o mogućnosti njezine transformacije).
  - Metoda 1
- Pretvorite ovu jednadžbu u jednadžbu oblika: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdje su f(x), g(x), h(x) osnovne trigonometrijske jednadžbe.
- Primjer 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Riješenje. Koristeći formulu dvostrukog kuta sin 2x = 2*sin x*cos x, zamijenite sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
- Primjer 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednadžbu u jednadžbu oblika: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
- Primjer 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednadžbu u jednadžbu oblika: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
  - Metoda 2
- Pretvorite zadanu trigonometrijsku jednadžbu u jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Zatim zamijenite ovu trigonometrijsku funkciju nekom nepoznatom, na primjer, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, itd.).
- Primjer 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Riješenje. U zadana jednadžba zamijeni (cos^2 x) s (1 - sin^2 x) (prema identitetu). Transformirana jednadžba izgleda ovako:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamijeni sin x s t. Sada jednadžba izgleda ovako: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba s dva korijena: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi korijen t2 ne zadovoljava raspon funkcije (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Primjer 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Riješenje. Zamijenite tg x s t. Prepišite izvornu jednadžbu na sljedeći način: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sada pronađite t, a zatim pronađite x za t = tg x.

Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Rješenje trigonometrijskih jednadžbi bilo koje razine složenosti u konačnici se svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. I u tome se trigonometrijski krug opet pokazuje kao najbolji pomagač.

Prisjetimo se definicija kosinusa i sinusa.

Kosinus kuta je apscisa (tj. koordinata duž osi) točke na jediničnoj kružnici koja odgovara rotaciji za dani kut.

Sinus kuta je ordinata (tj. koordinata duž osi) točke na jediničnoj kružnici koja odgovara rotaciji kroz zadani kut.

Pozitivnim smjerom kretanja po trigonometrijskoj kružnici smatra se kretanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Rotacija od 0 stupnjeva (ili 0 radijana) odgovara točki s koordinatama (1; 0)

Ove definicije koristimo za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

1. Riješite jednadžbu

Ovu jednadžbu zadovoljavaju sve takve vrijednosti kuta rotacije, koje odgovaraju točkama kružnice, čija je ordinata jednaka .

Označimo točku s ordinatom na y-osi:

Hajdemo potrošiti vodoravna crta paralelno s osi x dok se ne siječe s kružnicom. Dobit ćemo dvije točke koje leže na kružnici i imaju ordinatu. Ove točke odgovaraju kutovima rotacije i radijanima:

Ako napustimo točku koja odgovara kutu rotacije po radijanu, obiđemo puni krug, tada ćemo doći do točke koja odgovara kutu rotacije po radijanu i ima istu ordinatu. To jest, ovaj kut rotacije također zadovoljava našu jednadžbu. Možemo napraviti koliko god želimo "praznih" zavoja, vraćajući se na istu točku, a sve ove vrijednosti kutova će zadovoljiti našu jednadžbu. Broj "praznih" okretaja označen je slovom (ili). Budući da možemo napraviti ove okrete iu pozitivnom iu negativnom smjeru, (ili ) može poprimiti bilo koje cjelobrojne vrijednosti.

Odnosno, prva serija rješenja izvorne jednadžbe ima oblik:

, , - skup cijelih brojeva (1)

Slično, druga serija rješenja ima oblik:

, gdje , . (2)

Kao što ste pogodili, ovaj niz rješenja temelji se na točki kružnice koja odgovara kutu rotacije za .

Ove dvije serije rješenja mogu se kombinirati u jedan unos:

Ako uzmemo u obzir ovaj unos (tj. čak), onda ćemo dobiti prvu seriju rješenja.

Ako uzmemo ovaj unos (tj. neparan), onda ćemo dobiti drugu seriju rješenja.

2. Sada riješimo jednadžbu

Budući da je apscisa točke jedinične kružnice dobivene okretanjem kroz kut, na osi označavamo točku s apscisom:

Nacrtajte okomitu liniju paralelnu s osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobit ćemo dvije točke koje leže na kružnici i imaju apscisu. Te točke odgovaraju kutovima rotacije i radijanima. Podsjetimo da kada se krećemo u smjeru kazaljke na satu, dobivamo negativan kut rotacije:

Zapisujemo dva niza rješenja:

(Upadamo u željenu točku, ide iz glavnog punog kruga, to jest .

Kombinirajmo ove dvije serije u jedan post:

3. Riješite jednadžbu

Pravac tangenti prolazi kroz točku s koordinatama (1,0) jedinične kružnice paralelne s osi OY

Označite točku na njoj s ordinatom jednakom 1 (tražimo tangente čiji je kut jednak 1):

Povežite ovu točku s ishodištem ravnom crtom i označite točke presjeka pravca jediničnim krugom. Točke presjeka pravca i kružnice odgovaraju kutovima rotacije na i :

Budući da su točke koje odgovaraju kutovima rotacije koje zadovoljavaju našu jednadžbu udaljene radijanima, rješenje možemo napisati na sljedeći način:

4. Riješite jednadžbu

Pravac kotangensa prolazi kroz točku s koordinatama jedinične kružnice paralelne s osi.

Označavamo točku s apscisom -1 na liniji kotangensa:

Povežite ovu točku s ishodištem ravne crte i nastavite je dok se ne siječe s kružnicom. Ova linija će presijecati kružnicu u točkama koje odgovaraju kutovima rotacije i radijanima:

Budući da su ove točke odvojene jedna od druge udaljenosti jednake , Tada zajednička odluka Ovu jednačinu možemo napisati na sljedeći način:

U navedenim primjerima, koji ilustriraju rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi, korištene su tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Međutim, ako na desnoj strani jednadžbe postoji vrijednost koja nije u tablici, tada vrijednost zamjenjujemo u općem rješenju jednadžbe: