Koji su brojevi prirodni. Proučavanje točnog predmeta: prirodni brojevi su ono što brojevi, primjeri i svojstva

Prirodni brojevi jedan su od najstarijih matematičkih pojmova.

U davnoj prošlosti ljudi nisu znali brojeve, a kada su trebali prebrojati predmete (životinje, ribe i sl.), činili su to drugačije nego mi sada.

Broj predmeta uspoređivan je s dijelovima tijela, na primjer, s prstima na ruci, pa su govorili: „Imam orašastih plodova koliko ima prstiju na ruci“.

S vremenom su ljudi shvatili da pet oraha, pet koza i pet zečeva imaju zajedničko svojstvo - njihov broj je pet.

Zapamtiti!

Cijeli brojevi su brojevi, koji počinju s 1, dobiveni prebrojavanjem objekata.

1, 2, 3, 4, 5…

najmanji prirodni broj — 1 .

najveći prirodni broj ne postoji.

Prilikom brojanja ne koristi se broj nula. Stoga se nula ne smatra prirodnim brojem.

Ljudi su mnogo kasnije naučili pisati brojeve nego brojati. Prije svega, počeli su predstavljati jedinicu s jednim štapom, zatim s dva štapa - brojem 2, s tri - brojem 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Tada su se pojavili posebni znakovi za označavanje brojeva - preteča modernih brojeva. Brojevi koje koristimo za pisanje brojeva potječu iz Indije prije otprilike 1500 godina. Arapi su ih donijeli u Europu, tako se zovu arapski brojevi.

Ukupno ima deset znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ove znamenke se mogu koristiti za pisanje bilo kojeg prirodnog broja.

Zapamtiti!

prirodne serije je niz svih prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

U prirodnom nizu svaki je broj veći od prethodnog za 1.

Prirodni niz je beskonačan, u njemu nema najvećeg prirodnog broja.

Sustav brojanja koji koristimo zove se decimalni pozicijski.

Decimalno jer 10 jedinica svake znamenke tvori 1 jedinicu najznačajnije znamenke. Poziciona jer vrijednost znamenke ovisi o njenom mjestu u zapisu broja, odnosno o znamenki u kojoj je zapisan.

Važno!

Klase koje slijede nakon milijarde imenovane su prema latinskim nazivima brojeva. Svaka sljedeća jedinica sadrži tisuću prethodnih.

• 1.000 milijardi = 1.000.000.000.000 = 1 bilijun ("tri" je latinski za "tri")
• 1.000 trilijuna = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilijun ("quadra" je latinski za "četiri")
• 1.000 kvadrilijuna = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilijun ("quinta" je latinski za "pet")

Međutim, fizičari su pronašli broj koji premašuje broj svih atoma (najmanjih čestica materije) u cijelom svemiru.

Ovaj broj ima poseban naziv - googol. Googol je broj koji ima 100 nula.

Cijeli brojevi- prirodni brojevi su brojevi koji se koriste za brojanje objekata. Skup svih prirodnih brojeva ponekad se naziva prirodnim nizom: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, itd. .

Za pisanje prirodnih brojeva koristi se deset znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Uz pomoć njih možete napisati bilo koji prirodni broj. Ovaj zapis naziva se decimalni.

Prirodni niz brojeva može se nastaviti u nedogled. Ne postoji broj koji bi bio posljednji, jer se uvijek može dodati posljednjem broju i dobiti će se broj koji je već veći od željenog. U ovom slučaju kažemo da u prirodnom nizu nema najvećeg broja.

Znamenke prirodnih brojeva

Prilikom pisanja bilo kojeg broja pomoću brojeva, ključno je mjesto na kojem broj stoji u broju. Na primjer, broj 3 znači: 3 jedinice ako je zadnji u broju; 3 desetice ako će biti u broju na pretposljednjem mjestu; 4 stotine, ako će ona biti u broju na trećem mjestu s kraja.

Posljednja znamenka označava znamenku jedinica, pretposljednja - znamenku desetice, 3 s kraja - znamenku stotine.

Jednoznamenkasta i višeznamenkasta

Ako u bilo kojoj znamenki broja postoji 0, to znači da u ovoj znamenki nema jedinica.

Broj 0 označava nulu. Nula je "ništa".

Nula nije prirodan broj. Iako neki matematičari misle drugačije.

Ako se broj sastoji od jedne znamenke, naziva se jednoznamenkasti, dvoznamenkasti, troznamenkasti, itd.

Brojevi koji nisu jednoznamenkasti nazivaju se i višeznamenkastim brojevima.

Razredi znamenki za čitanje velikih prirodnih brojeva

Za čitanje velikih prirodnih brojeva, broj je podijeljen u skupine od tri znamenke, počevši od desnog ruba. Te se grupe nazivaju klasama.

Prve tri znamenke s desnog ruba čine klasu jedinica, sljedeće tri klasu tisuća, sljedeće tri klasu milijuna.

Milijun je tisuću tisuća, za zapisnik koriste kraticu milijun 1 milijun = 1.000.000.

Milijarda = tisuću milijuna. Za bilježenje se koristi kratica milijarda 1 milijarda = 1.000.000.000.

Napišite i pročitajte primjer

Ovaj broj ima 15 jedinica u klasi milijardi, 389 jedinica u klasi milijuna, nula jedinica u klasi tisuća i 286 jedinica u klasi jedinica.

Ovaj broj glasi ovako: 15 milijardi 389 milijuna 286.

Čitajte brojeve s lijeva na desno. Zauzvrat se poziva broj jedinica svake klase, a zatim se dodaje naziv klase.

Prirodni brojevi poznati su čovjeku i intuitivni, jer nas okružuju od djetinjstva. U članku u nastavku dat ćemo osnovnu ideju o značenju prirodnih brojeva, opisati osnovne vještine njihovog pisanja i čitanja. Cijeli teorijski dio bit će popraćen primjerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Opća ideja prirodnih brojeva

U određenoj fazi razvoja čovječanstva pojavio se zadatak prebrojavanja određenih objekata i označavanja njihove količine, što je zauzvrat zahtijevalo pronalaženje alata za rješavanje ovog problema. Prirodni brojevi su postali takav alat. Glavna svrha prirodnih brojeva je također jasna - dati ideju o broju objekata ili serijskom broju određenog objekta, ako govorimo o skupu.

Logično je da je za korištenje prirodnih brojeva potrebno imati način da ih percipira i reproducira. Dakle, prirodni broj se može izraziti ili prikazati, što su prirodni načini prenošenja informacija.

Razmotrite osnovne vještine izgovaranja (čitanja) i slika (pisanja) prirodnih brojeva.

Decimalni zapis prirodnog broja

Prisjetite se kako se prikazuju sljedeći znakovi (označavamo ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ti se znakovi nazivaju brojevima.

Uzmimo sada kao pravilo da se prilikom prikazivanja (pisanja) bilo kojeg prirodnog broja koriste samo naznačene znamenke bez sudjelovanja ikakvih drugih simbola. Neka znamenke pri pisanju prirodnog broja imaju istu visinu, pišu se jedna za drugom u retku, a s lijeve strane uvijek postoji znamenka koja je različita od nule.

Navedimo primjere ispravnog zapisa prirodnih brojeva: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Uvlake između znamenki nisu uvijek iste, o tome će se detaljnije govoriti u nastavku prilikom proučavanja klasa brojeva. Navedeni primjeri pokazuju da prilikom pisanja prirodnog broja nije potrebno imati sve znamenke iz navedenog niza. Neki ili svi se mogu ponoviti.

Definicija 1

Zapisi oblika: 065 , 0 , 003 , 0791 nisu zapisi prirodnih brojeva, jer lijevo je broj 0.

Točan zapis prirodnog broja, napravljen uzimajući u obzir sve opisane zahtjeve, naziva se decimalni zapis prirodnog broja.

Kvantitativno značenje prirodnih brojeva

Kao što je već spomenuto, prirodni brojevi u početku nose, između ostalog, kvantitativno značenje. Prirodni brojevi, kao alat za numeriranje, obrađeni su u temi usporedbe prirodnih brojeva.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, tj.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Zamislite određeni objekt, na primjer, ovo: Ψ . Možemo zapisati ono što vidimo 1 predmet. Prirodni broj 1 čita se kao "jedan" ili "jedan". Pojam "jedinica" ima i drugo značenje: nešto što se može promatrati kao cjelina. Ako postoji skup, onda se bilo koji njegov element može označiti jednim. Na primjer, od mnogih miševa, svaki miš je jedan; svaki cvijet iz skupa cvijeća je jedinica.

Sada zamislite: Ψ Ψ . Vidimo jedan predmet i drugi objekt, t.j. u zapisniku će biti - 2 stavke. Prirodni broj 2 čita se kao "dva".

Nadalje, po analogiji: Ψ Ψ Ψ - 3 stavke ("tri"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("četiri"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("pet"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("šest"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("sedam"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("osam"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (" Ψ devet").

S naznačene pozicije, funkcija prirodnog broja je da označava količina stavke.

Definicija 1

Ako se unos broja podudara s unosom znamenke 0, tada se takav broj naziva "nula". Nula nije prirodan broj, ali se smatra zajedno s drugim prirodnim brojevima. Nula znači ne, tj. nula stavki znači ništa.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi

Očigledna je činjenica da pri pisanju svakog od gore navedenih prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) koristimo jedan znak - jednu znamenku.

Definicija 2

Jednoznamenkasti prirodni broj- prirodni broj, koji se piše jednim znakom - jednom znamenkom.

Postoji devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi

Definicija 3

Dvoznamenkasti prirodni brojevi- prirodni brojevi, koji se zapisuju pomoću dva znaka - dvije znamenke. U ovom slučaju korišteni brojevi mogu biti ili isti ili različiti.

Na primjer, prirodni brojevi 71, 64, 11 su dvoznamenkasti.

Razmotrimo značenje dvoznamenkastih brojeva. Oslonit ćemo se na kvantitativno značenje nama već poznatih jednovrijednih prirodnih brojeva.

Uvedimo koncept kao što je "deset".

Zamislite skup objekata koji se sastoji od devet i još jednog. U ovom slučaju možemo govoriti o 1 tucetu ("jedan tucet") stavki. Ako zamislite jedan desetak i još jedan, tada ćemo govoriti o 2 desetice („dvije desetice“). Zbrajanjem još jedne desetice na dvije desetice, dobivamo tri desetice. I tako dalje: nastavljajući zbrajati deseticu, dobivamo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i konačno devet desetica.

Pogledajmo dvoznamenkasti broj kao skup jednoznamenkastih brojeva od kojih je jedan napisan desno, drugi lijevo. Broj s lijeve strane označava broj desetica u prirodnom broju, a broj s desne strane označava broj jedinica. U slučaju kada se broj 0 nalazi s desne strane, tada govorimo o odsutnosti jedinica. Gore navedeno je kvantitativno značenje prirodnih dvoznamenkastih brojeva. Ukupno ih je 90.

Definicija 4

Troznamenkasti prirodni brojevi- prirodni brojevi, koji se pišu pomoću tri znaka - tri znamenke. Brojevi mogu biti različiti ili se ponavljati u bilo kojoj kombinaciji.

Na primjer, 413, 222, 818, 750 su troznamenkasti prirodni brojevi.

Da bismo razumjeli kvantitativno značenje trovrijednih prirodnih brojeva, uvodimo pojam "sto".

Definicija 5

sto (sto) je skup od deset desetica. Sto plus sto je dvjesto. Dodajte još sto i dobijete 3 stotine. Postupno zbrajajući sto, dobivamo: četiri stotine, petsto, šest stotina, sedamsto, osamsto, devetsto.

Razmotrimo sam zapis troznamenkastog broja: jednoznamenkasti prirodni brojevi koji su u njemu uključeni su napisani jedan za drugim s lijeva na desno. Krajnja desna jednoznamenkasta znamenka označava broj jedinica; sljedeći jednoznamenkasti broj lijevo - brojem desetica; krajnja lijeva jednoznamenkasta znamenka je broj stotina. Ako je broj 0 uključen u unos, to označava odsutnost jedinica i/ili desetica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 402 znači: 2 jedinice, 0 desetica (nema desetica koje se ne spajaju u stotine) i 4 stotine.

Analogno se daje definicija četveroznamenkastih, peteroznamenkastih i tako dalje prirodnih brojeva.

Viševrijedni prirodni brojevi

Iz svega navedenog sada je moguće prijeći na definiciju viševrijednih prirodnih brojeva.

Definicija 6

Viševrijedni prirodni brojevi- prirodni brojevi koji se pišu pomoću dva ili više znakova. Višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti itd. brojevi.

Tisuću je skup koji uključuje deset stotina; milijun se sastoji od tisuću tisuća; jedna milijarda - tisuću milijuna; jedan trilijun je tisuću milijardi. Čak i veći setovi također imaju nazive, ali njihova upotreba je rijetka.

Slično gore navedenom principu, svaki višeznamenkasti prirodni broj možemo smatrati skupom jednoznamenkastih prirodnih brojeva, od kojih svaki, na određenom mjestu, označava prisutnost i broj jedinica, desetica, stotina, tisuća, desetica od tisuća, stotina tisuća, milijuna, desetaka milijuna, stotina milijuna, milijardi i tako dalje (s desna na lijevo, respektivno).

Na primjer, višeznamenkasti broj 4 912 305 sadrži: 5 jedinica, 0 desetica, tri stotine, 2 tisuće, 1 desetke tisuća, 9 stotina tisuća i 4 milijuna.

Rezimirajući, ispitali smo vještinu grupiranja jedinica u razne skupove (desetice, stotine itd.) i vidjeli da su brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja oznaka broja jedinica u svakom od takvih skupova.

Čitanje prirodnih brojeva, nastava

U gornjoj teoriji označili smo nazive prirodnih brojeva. U tablici 1 navodimo kako pravilno koristiti nazive jednoznamenkastih prirodnih brojeva u govoru i u abecednom zapisu:

Broj	muški	Ženski rod	Srednji rod
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet

Broj	nominativan padež	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumentalna kutija	Prijedložni
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri četiri Pet šest Polu osam Devet	do jednog dva Trem četiri Pet šest Polu osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan dva Tri četiri Pet šest obitelj osam Devet	O jednom Oko dva Oko tri Oko četiri Opet Oko šest Oko sedam Oko osam Oko devet

Za kompetentno čitanje i pisanje dvoznamenkastih brojeva morate naučiti podatke u tablici 2:

Broj	Muški, ženski i srednji rod
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Četrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset

Broj	nominativan padež	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumentalna kutija	Prijedložni
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Četrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	deset Jedanaest dvanaest trinaest četrnaest petnaest šesnaest sedamnaest osamnaest devetnaest dvadeset trideset Svraka pedeset šezdeset Sedamdeset osamdeset devedeset	deset Jedanaest dvanaest trinaest četrnaest petnaest šesnaest sedamnaest osamnaest devetnaest dvadeset trideset Svraka pedeset šezdeset Sedamdeset osamdeset devedeset	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Četrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	deset Jedanaest dvanaest trinaest četrnaest petnaest šesnaest sedamnaest osamnaest devetnaest dvadeset trideset Svraka pedeset šezdeset Sedamdeset osamdeset Devedeset	Oko deset Oko jedanaest Oko dvanaest Oko trinaest Oko četrnaest Otprilike petnaestak Oko šesnaest Oko sedamnaest godina Oko osamnaest Oko devetnaest Dvadesetak Oko tridesetak O svraka Pedesetak Šezdesetak Oko sedamdeset Oko osamdeset Oko devedeset

Za čitanje drugih prirodnih dvoznamenkastih brojeva koristit ćemo podatke iz obje tablice, razmotrite to na primjeru. Recimo da trebamo pročitati prirodni dvoznamenkasti broj 21. Ovaj broj sadrži 1 jedinicu i 2 desetice, tj. 20 i 1. Okrenuvši se tablicama, navedeni broj čitamo kao "dvadeset jedan", dok spoj "i" između riječi nije potrebno izgovarati. Pretpostavimo da u nekoj rečenici trebamo upotrijebiti naznačeni broj 21, koji označava broj objekata u genitivu: "nema 21 jabuke." U ovom slučaju, izgovor će zvučati ovako: "nema dvadeset i jedne jabuke."

Navedimo još jedan primjer radi jasnoće: broj 76, koji se čita kao "sedamdeset šest" i, na primjer, "sedamdeset i šest tona".

Broj	Nominativ	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumentalna kutija	Prijedložni
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Stotina Dvije stotine Tristo Četiri stotine Petsto Šest stotina Sedamsto Osamsto Devet stotina	Sta dvjesto tristo četiri stotine petsto šesto Sedamsto osamsto devet stotina	Sta dvjesto Tremstam četiri stotine petsto Šesto sedamsto osamsto Devet stotina	Stotina Dvije stotine Tristo Četiri stotine Petsto Šest stotina Sedamsto Osamsto Devet stotina	Sta dvjesto Tristo četiri stotine petsto šesto sedamsto osamsto Devet stotina	Otprilike stotinjak Oko dvjesto Tristotinjak Oko četiri stotine Oko pet stotina Oko šest stotina Oko sedamsto Oko osam stotina Oko devet stotina

Za potpuno čitanje troznamenkastog broja koristimo se i podacima svih navedenih tablica. Na primjer, zadan prirodni broj 305 . Ovaj broj odgovara 5 jedinica, 0 deseticama i 3 stotine: 300 i 5. Uzimajući tablicu kao osnovu, čitamo: "trista i pet" ili u deklinaciji po padežima, na primjer, ovako: "trista i pet metara".

Pročitajmo još jedan broj: 543. Prema pravilima tablica, naznačeni broj će zvučati ovako: "petsto četrdeset i tri" ili u slučaju deklinacije, na primjer, ovako: "nema petsto četrdeset i tri rublja".

Prijeđimo na opći princip čitanja višeznamenkastih prirodnih brojeva: da biste pročitali višeznamenkasti broj, morate ga razbiti s desna na lijevo u skupine od tri znamenke, a krajnja lijeva grupa može imati 1, 2 ili 3 znamenke . Takve grupe nazivaju se klasama.

Ekstremna desna klasa je klasa jedinica; zatim sljedeći razred, lijevo - klasa tisuća; dalje - klasa milijuna; zatim dolazi klasa milijardi, a zatim klasa trilijuna. Sljedeći razredi također imaju naziv, ali prirodni brojevi koji se sastoje od velikog broja znakova (16, 17 i više) rijetko se koriste u čitanju, prilično ih je teško percipirati sluhom.

Radi praktičnosti percepcije zapisa, klase su međusobno odvojene malom uvlakom. Na primjer, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Razred bilijun	Razred milijardi	Razred milijuna	Tisuću razreda	Klasa jedinice
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Za čitanje višeznamenkastog broja pozivamo redom brojeve koji ga čine (s lijeva na desno, po razredu, dodajući naziv razreda). Naziv klase jedinica se ne izgovara, a ne izgovaraju se i one klase koje čine tri znamenke 0. Ako su jedna ili dvije znamenke 0 prisutne s lijeve strane u jednom razredu, tada se ne koriste ni na koji način pri čitanju. Na primjer, 054 se čita kao "pedeset četiri" ili 001 kao "jedan".

Primjer 1

Pogledajmo detaljno čitanje broja 2 533 467 001 222:

Čitamo broj 2, kao komponentu klase trilijuna – „dva“;

Dodajući naziv klase, dobivamo: "dva trilijuna";

Čitamo sljedeći broj, dodajući naziv odgovarajuće klase: “petsto trideset i tri milijarde”;

Nastavljamo analogijom, čitajući sljedeći razred s desne strane: “četiristo šezdeset sedam milijuna”;

U sljedećoj klasi vidimo dvije znamenke 0 koje se nalaze na lijevoj strani. Prema gornjim pravilima čitanja, znamenke 0 se odbacuju i ne sudjeluju u čitanju zapisa. Tada dobivamo: "tisuću";

Čitamo posljednju klasu jedinica bez dodavanja njenog naziva - "dvjesto dvadeset i dvije".

Tako će broj 2 533 467 001 222 zvučati ovako: dva trilijuna petsto trideset tri milijarde četiri stotine šezdeset sedam milijuna tisuću dvjesto dvadeset i dva. Koristeći ovaj princip, možemo čitati i ostale zadane brojeve:

31 013 736 - trideset jedan milijun trinaest tisuća sedamsto trideset šest;

134 678 - sto trideset i četiri tisuće šest stotina sedamdeset i osam;

23 476 009 434 - dvadeset i tri milijarde četiri stotine sedamdeset šest milijuna devet tisuća četiri stotine trideset i četiri.

Dakle, osnova za ispravno čitanje višeznamenkastih brojeva je sposobnost razbijanja višeznamenkastog broja u klase, poznavanje odgovarajućih naziva i razumijevanje principa čitanja dvoznamenkastih i troznamenkastih brojeva.

Kao što već postaje jasno iz svega navedenog, njegova vrijednost ovisi o poziciji na kojoj se znamenka nalazi u zapisu broja. To jest, na primjer, broj 3 u prirodnom broju 314 označava broj stotina, odnosno 3 stotine. Broj 2 je broj desetica (1 desetica), a broj 4 je broj jedinica (4 jedinice). U ovom slučaju ćemo reći da je broj 4 na mjestu jedinica i da je vrijednost jedinica mjesta u danom broju. Broj 1 nalazi se na mjestu desetica i služi kao vrijednost mjesta desetica. Broj 3 nalazi se na mjestu stotina i vrijednost je mjesta stotina.

Definicija 7

Pražnjenje je položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, kao i vrijednost te znamenke, koja je određena njezinim položajem u danom broju.

Pražnjenja imaju svoja imena, već smo ih koristili gore. S desna na lijevo slijede brojke: jedinice, desetice, stotine, tisuće, desetke tisuća itd.

Za praktičnost pamćenja možete koristiti sljedeću tablicu (naznačavamo 15 znamenki):

Pojasnimo ovaj detalj: broj znamenki u danom višeznamenkastom broju jednak je broju znakova u unosu broja. Na primjer, ova tablica sadrži nazive svih znamenki za broj od 15 znakova. Naknadna pražnjenja također imaju nazive, ali se koriste iznimno rijetko i vrlo su nezgodna za slušanje.

Uz pomoć takve tablice moguće je razviti vještinu određivanja ranga upisivanjem zadanog prirodnog broja u tablicu tako da se krajnja desna znamenka upisuje u znamenku jedinica, a zatim u svaku znamenku po znamenku. Na primjer, zapišimo višeznamenkasti prirodni broj 56 402 513 674 ovako:

Obratite pozornost na broj 0, koji se nalazi u pražnjenju desetaka milijuna - to znači odsutnost jedinica ove kategorije.

Uvodimo i pojmove najniže i najviše znamenke višeznamenkastog broja.

Definicija 8

Najniži (junior) rang bilo koji viševrijedni prirodni broj je znamenka jedinice.

Najviša (senior) kategorija bilo kojeg višeznamenkastog prirodnog broja - znamenka koja odgovara krajnjoj lijevoj znamenki u zapisu zadanog broja.

Tako, na primjer, u broju 41.781: najniži rang je rang jedinica; najviši rang je znamenka deseci tisuća.

Logično slijedi da je moguće govoriti o starješini znamenki u odnosu na drugu. Svaka sljedeća znamenka pri pomicanju s lijeva na desno je niža (mlađa) od prethodne. I obrnuto: kada se krećete s desna na lijevo, svaka sljedeća znamenka je viša (starija) od prethodne. Na primjer, znamenka tisuća je starija od znamenke stotine, ali je mlađa od znamenke milijuna.

Pojasnimo da se pri rješavanju nekih praktičnih primjera ne koristi sam prirodni broj, već zbroj bitnih članova zadanog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu

Definicija 9

Notacija- metoda pisanja brojeva pomoću znakova.

Pozicijski brojevni sustavi- one kod kojih vrijednost znamenke u broju ovisi o njenom položaju u zapisu broja.

Prema ovoj definiciji možemo reći da smo, proučavajući prirodne brojeve i način na koji su gore zapisani, koristili pozicijski brojevni sustav. Broj 10 ovdje igra posebno mjesto. Stalno brojimo u deseticama: deset jedinica čini deset, deset desetica sjedinjenih u sto, itd. Broj 10 služi kao baza ovog brojevnog sustava, a sam sustav naziva se i decimalnim.

Osim njega, postoje i drugi brojevni sustavi. Na primjer, informatika koristi binarni sustav. Kada pratimo vrijeme, koristimo seksagezimalni brojevni sustav.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Matematika je nastala iz opće filozofije oko šestog stoljeća pr. e., i od tog trenutka započeo je njezin pobjednički pohod oko svijeta. Svaki stupanj razvoja unosio je nešto novo – elementarno brojanje se razvijalo, transformiralo se u diferencijalni i integralni račun, stoljećima se mijenjalo, formule su postajale sve zbunjujuće, a došao je i trenutak kada je “počela najsloženija matematika – iz nje su nestali svi brojevi”. Ali što je bila osnova?

Početak vremena

Prirodni brojevi pojavili su se zajedno s prvim matematičkim operacijama. Nekad kralježnica, dvije kralježnice, tri kralježnice... Pojavili su se zahvaljujući indijskim znanstvenicima koji su zaključili prvi položaj

Riječ "pozicioniranost" znači da je mjesto svake znamenke u broju strogo definirano i da odgovara njegovoj kategoriji. Na primjer, brojevi 784 i 487 su isti brojevi, ali brojevi nisu ekvivalentni, jer prvi uključuje 7 stotina, dok drugi samo 4. Inovaciju Indijanaca preuzeli su Arapi, koji su brojke donijeli u oblik koji sada poznajemo.

U davna vremena brojevi su dobivali mistično značenje, Pitagora je vjerovao da je broj u osnovi stvaranja svijeta zajedno s glavnim elementima - vatrom, vodom, zemljom, zrakom. Ako sve promatramo samo s matematičke strane, što je onda prirodni broj? Polje prirodnih brojeva označava se kao N i predstavlja beskonačan niz brojeva koji su cijeli i pozitivni: 1, 2, 3, … + ∞. Nula je isključena. Uglavnom se koristi za brojanje predmeta i označavanje redoslijeda.

Što je u matematici? Peanovi aksiomi

Polje N je osnovno polje na koje se oslanja elementarna matematika. Tijekom vremena, polja cijelih brojeva, racionalna,

Rad talijanskog matematičara Giuseppea Peana omogućio je daljnje strukturiranje aritmetike, postigao njezinu formalnost i otvorio put daljnjim zaključcima koji su nadilazili polje N.

Što je prirodni broj ranije je razjašnjeno jednostavnim jezikom, u nastavku ćemo razmotriti matematičku definiciju temeljenu na Peanovim aksiomima.

• Jedan se smatra prirodnim brojem.
• Broj koji slijedi nakon prirodnog broja je prirodan broj.
• Nema prirodnog broja prije jedan.
• Ako broj b slijedi i broj c i broj d, tada je c=d.
• Aksiom indukcije, koji pak pokazuje što je prirodni broj: ako je neka tvrdnja koja ovisi o parametru istinita za broj 1, onda pretpostavljamo da djeluje i za broj n iz polja prirodnih brojeva N. Tada tvrdnja vrijedi i za n =1 iz polja prirodnih brojeva N.

Osnovne operacije za područje prirodnih brojeva

Budući da je polje N postalo prvo za matematičke izračune, na njega se odnose i domene definicije i rasponi vrijednosti niza operacija u nastavku. Zatvoreni su i nisu. Glavna razlika je u tome što zatvorene operacije zajamčeno ostavljaju rezultat unutar skupa N, bez obzira o kojim brojevima se radi. Dovoljno je da su prirodni. Ishod preostalih brojčanih interakcija više nije tako jednoznačan i izravno ovisi o vrsti brojeva koji su uključeni u izraz, budući da može biti u suprotnosti s glavnom definicijom. Dakle, zatvorene operacije:

• zbrajanje - x + y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
• množenje - x * y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
• eksponencijacija - x y , gdje su x, y uključeni u polje N.

Preostale operacije, čiji rezultat možda ne postoji u kontekstu definicije "što je prirodni broj", su sljedeće:

Svojstva brojeva koji pripadaju polju N

Sva daljnja matematička razmišljanja temeljit će se na sljedećim svojstvima, najtrivijalnijim, ali ne manje važnim.

• Komutativno svojstvo zbrajanja je x + y = y + x, gdje su brojevi x, y uključeni u polje N. Ili dobro poznato "zbroj se ne mijenja od promjene mjesta članova".
• Komutativno svojstvo množenja je x * y = y * x, pri čemu su brojevi x, y uključeni u polje N.
• Asocijativno svojstvo zbrajanja je (x + y) + z = x + (y + z), pri čemu su x, y, z uključeni u polje N.
• Asocijativno svojstvo množenja je (x * y) * z = x * (y * z), pri čemu su brojevi x, y, z uključeni u polje N.
• svojstvo raspodjele - x (y + z) = x * y + x * z, pri čemu su brojevi x, y, z uključeni u polje N.

Pitagorina tablica

Jedan od prvih koraka u poznavanju cjelokupne strukture osnovne matematike od strane školaraca, nakon što su sami shvatili koji se brojevi nazivaju prirodnim, je Pitagorina tablica. Može se smatrati ne samo sa stajališta znanosti, već i kao vrijedan znanstveni spomenik.

Ova tablica množenja je tijekom vremena doživjela niz promjena: iz nje je uklonjena nula, a brojevi od 1 do 10 označavaju sami sebe, bez uzimanja u obzir redoslijeda (stotine, tisuće...). To je tablica u kojoj su naslovi redaka i stupaca brojevi, a sadržaj ćelija njihova presjeka jednak je njihovom umnošku.

U praksi poučavanja posljednjih desetljeća pojavila se potreba za pamćenjem Pitagorine tablice "po redu", odnosno prvo je išlo učenje napamet. Množenje s 1 je isključeno jer je rezultat bio 1 ili veći. U međuvremenu, u tablici golim okom možete vidjeti uzorak: umnožak brojeva raste za jedan korak, što je jednako naslovu retka. Dakle, drugi faktor nam pokazuje koliko puta trebamo uzeti prvi da bismo dobili željeni proizvod. Taj je sustav mnogo prikladniji od onog koji se prakticirao u srednjem vijeku: čak i shvaćajući što je prirodan broj i koliko je trivijalan, ljudi su uspjeli zakomplicirati svoje svakodnevno brojanje koristeći sustav koji se temelji na dvojkama.

Podskup kao kolijevka matematike

Trenutno se polje prirodnih brojeva N smatra samo jednim od podskupova kompleksnih brojeva, ali to ih ne čini manje vrijednim u znanosti. Prirodni broj je prvo što dijete uči proučavajući sebe i svijet oko sebe. Jedan prst, dva prsta... Zahvaljujući njemu, osoba razvija logično razmišljanje, kao i sposobnost utvrđivanja uzroka i zaključivanja posljedice, utirući put velikim otkrićima.

Definicija

Prirodnim brojevima nazivaju se brojevi namijenjeni prebrojavanju predmeta. Za bilježenje prirodnih brojeva koristi se 10 arapskih brojeva (0–9), koji čine osnovu decimalnog brojevnog sustava općenito prihvaćenog za matematičke izračune.

Niz prirodnih brojeva

Prirodni brojevi čine niz koji počinje od 1 i pokriva skup svih pozitivnih cijelih brojeva. Takav niz se sastoji od brojeva 1,2,3, ... . To znači da u prirodnom nizu:

1. Postoji najmanji broj i nema najveći.
2. Svaki sljedeći broj veći je od prethodnog za 1 (iznimka je sama jedinica).
3. Kako brojevi idu u beskonačnost, tako rastu u nedogled.

Ponekad se u niz prirodnih brojeva uvodi i 0. To je dopušteno, a onda se priča o tome proširena prirodne serije.

Klase prirodnih brojeva

Svaka znamenka prirodnog broja izražava određenu znamenku. Posljednji je uvijek broj jedinica u broju, onaj prije njega je broj desetica, treći s kraja je broj stotina, četvrti je broj tisuća i tako dalje.

• u broju 276: 2 stotine, 7 desetica, 6 jedinica
• u broju 1098: 1 tisuća, 9 desetica, 8 jedinica; mjesto stotine ovdje nema, budući da je izraženo kao nula.

Za velike i vrlo velike brojeve možete vidjeti stalni trend (ako pogledate broj s desna na lijevo, odnosno od posljednje znamenke do prve):

• posljednje tri znamenke u broju su jedinice, desetice i stotine;
• prethodne tri su jedinice, deseci i stotine tisuća;
• tri ispred njih (tj. 7., 8. i 9. znamenka broja, računajući od kraja) su jedinice, desetine i stotine milijuna itd.

Odnosno, svaki put imamo posla s tri znamenke, što znači jedinice, desetke i stotine većeg imena. Takve grupe formiraju razrede. A ako se s prva tri razreda u svakodnevnom životu morate više ili rjeđe baviti, onda treba navesti druge, jer ne pamte svi njihova imena napamet.

• 4. klasa, koja slijedi klasu milijuna i predstavlja brojeve od 10-12 znamenki, naziva se milijarda (ili milijarda);
• 5. razred - trilijun;
• 6. razred - kvadrilijun;
• 7. razred - kvintilion;
• 8. razred - sekstilion;
• 9. razred - septilion.

Zbrajanje prirodnih brojeva

Zbrajanje prirodnih brojeva je aritmetička operacija koja vam omogućuje da dobijete broj koji sadrži onoliko jedinica koliko ih ima u zbrojenim brojevima.

Znak zbrajanja je znak "+". Zbrojeni brojevi nazivaju se pojmovi, a rezultat zbroj.

Mali brojevi se zbrajaju (zbrajaju) usmeno, u pisanom obliku takve se radnje pišu u retku.

Višeznamenkasti brojevi, koje je teško zbrajati u mislima, obično se zbrajaju u stupac. Za to se brojevi pišu jedan ispod drugog, poravnati sa posljednjom znamenkom, to jest, pišu znamenku jedinice ispod znamenke jedinice, znamenku stotine ispod znamenke stotine i tako dalje. Zatim morate dodati znamenke u parovima. Ako se zbrajanje znamenki dogodi s prijelazom kroz deseticu, tada je ova desetica fiksirana kao jedinica iznad znamenke s lijeve strane (odnosno, nakon nje) i zbraja se zajedno sa znamenkama ove znamenke.

Ako se u stupac dodaju ne 2, već više brojeva, tada pri zbrajanju znamenki kategorije, ne 1 desetak, već nekoliko, može biti suvišno. U ovom slučaju, broj takvih desetica prenosi se na sljedeću znamenku.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Oduzimanje je aritmetička operacija, obrnuto zbrajanje, koja se svodi na to da, s obzirom na količinu i jedan od pojmova, trebate pronaći drugi - nepoznati pojam. Broj od kojeg se oduzima naziva se minuend; broj koji se oduzima je oduzet. Rezultat oduzimanja naziva se razlika. Znak koji označava operaciju oduzimanja je "-".

U prijelazu na zbrajanje oduzetak i razlika se pretvaraju u članke, a svedeno u zbroj. Zbrajanjem se obično provjerava ispravnost izvedenog oduzimanja, i obrnuto.

Ovdje je 74 minuend, 18 je oduzetak, 56 je razlika.

Preduvjet za oduzimanje prirodnih brojeva je sljedeći: minus mora nužno biti veći od oduzetog. Samo u ovom slučaju rezultirajuća razlika također će biti prirodan broj. Ako se radnja oduzimanja provodi za prošireni prirodni niz, tada je dopušteno da je minus jednak oduzeti. I rezultat oduzimanja u ovom slučaju bit će 0.

Napomena: ako je oduzimanje jednak nuli, tada operacija oduzimanja ne mijenja vrijednost minuenda.

Oduzimanje višeznamenkastih brojeva obično se vrši u stupcu. Zapišite brojeve na isti način kao za zbrajanje. Oduzimanje se vrši za odgovarajuće znamenke. Ako se pokaže da je minuend manji od oduzetog, tada se iz prethodne znamenke (koja se nalazi s lijeve strane) uzima jedan, koji se nakon prijenosa prirodno pretvara u 10. Ova desetica se zbraja s brojem smanjene zadana znamenka, a zatim oduzeta. Nadalje, pri oduzimanju sljedeće znamenke potrebno je uzeti u obzir da je smanjeno postalo 1 manje.

Umnožak prirodnih brojeva

Umnožak (ili množenje) prirodnih brojeva je aritmetička operacija, a to je pronalaženje zbroja proizvoljnog broja identičnih članova. Za snimanje operacije množenja koristite znak "·" (ponekad "×" ili "*"). Na primjer: 3 5=15.

Radnja množenja neophodna je kada je potrebno zbrajati veći broj članova. Na primjer, ako trebate zbrojiti broj 4 7 puta, tada je množenje 4 sa 7 lakše nego napraviti ovaj zbrajanje: 4+4+4+4+4+4+4.

Brojevi koji se množe nazivaju se faktori, a rezultat množenja je umnožak. Sukladno tome, pojam "rad" može, ovisno o kontekstu, izraziti i proces umnožavanja i njegov rezultat.

Višeznamenkasti brojevi se množe u stupcu. Za ovaj broj se piše na isti način kao za zbrajanje i oduzimanje. Preporuča se prvo (iznad) napisati koji od 2 broja, koji je duži. U ovom slučaju, proces množenja bit će jednostavniji, a time i racionalniji.

Prilikom množenja u stupcu, znamenke svake znamenke drugog broja uzastopno se množe znamenkama 1. broja, počevši od njegova kraja. Nakon što su pronašli prvi takav rad, zapisuju broj jedinica i imaju na umu broj desetica. Prilikom množenja znamenke 2. broja sa sljedećom znamenkom 1. broja, umnošku se dodaje broj koji se ima na umu. I opet zapisuju broj jedinica dobivenog rezultata i pamte broj desetica. Prilikom množenja sa posljednjom znamenkom 1. broja, tako dobiveni broj upisuje se u cijelosti.

Rezultati množenja znamenki 2. znamenke drugog broja upisuju se u drugi red, pomičući ga za 1 ćeliju udesno. itd. Kao rezultat toga, dobit će se "ljestve". Treba zbrojiti sve rezultirajuće retke brojeva (prema pravilu zbrajanja u stupcu). Prazne ćelije treba smatrati ispunjenim nulama. Dobiveni zbroj je konačni proizvod.

Bilješka

1. Umnožak bilo kojeg prirodnog broja za 1 (ili 1 za broj) jednak je samom broju. Na primjer: 376 1=376; 1 86 = 86.
2. Kada je jedan od faktora ili oba faktora jednak 0, tada je umnožak jednak 0. Na primjer: 32·0=0; 0 845 = 845; 0 0=0.

Dijeljenje prirodnih brojeva

Dijeljenjem se naziva računska operacija, uz pomoć koje se prema poznatom umnošku i jednom od faktora može pronaći drugi – nepoznati – faktor. Dijeljenje je obrnuto od množenja i koristi se za provjeru je li množenje izvedeno ispravno (i obrnuto).

Broj koji se dijeli naziva se djeljivim; broj kojim se dijeli je djelitelj; rezultat dijeljenja naziva se količnik. Znak podjele je ":" (ponekad, rjeđe - "÷").

Ovdje je 48 dividenda, 6 djelitelj, a 8 kvocijent.

Ne mogu se svi prirodni brojevi međusobno podijeliti. U ovom slučaju, dijeljenje se vrši s ostatkom. Sastoji se u tome da se za djelitelj odabire takav faktor kako bi njegov umnožak na djelitelj bio broj koji je po vrijednosti što bliži dividendi, ali manji od nje. Djelitelj se množi s ovim faktorom i oduzima od dividende. Razlika će biti ostatak diobe. Umnožak djelitelja na faktor naziva se nepotpuni kvocijent. Pažnja: ostatak mora biti manji od odabranog množitelja! Ako je ostatak veći, to znači da je množitelj pogrešno odabran i treba ga povećati.

Odabiremo faktor za 7. U ovom slučaju, ovaj broj je 5. Nalazimo nepotpuni kvocijent: 7 5 \u003d 35. Izračunaj ostatak: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Višeznamenkasti brojevi podijeljeni su u stupac. Da biste to učinili, djelitelj i djelitelj su napisani jedan pored drugog, odvajajući djelitelj okomitom i vodoravnom crtom. U dividendi se odabire prva znamenka ili prvih nekoliko znamenki (desno), što bi trebao biti broj koji je minimalno dovoljan za dijeljenje s djeliteljem (odnosno taj broj mora biti veći od djelitelja). Za ovaj broj odabire se nepotpuni količnik, kako je opisano u pravilu dijeljenja s ostatkom. Pod djeliteljem se upisuje broj množitelja koji se koristi za pronalaženje parcijalnog kvocijenta. Nepotpuni kvocijent upisuje se ispod broja koji je podijeljen, desno poravnat. Pronađite njihovu razliku. Sljedeća znamenka dividende se ruši tako da se upiše pored ove razlike. Za dobiveni broj ponovno se nalazi nepotpuni kvocijent tako da se broj odabranog faktora zapiše uz prethodni ispod djelitelja. itd. Takve se radnje izvode sve dok se ne potroše brojevi dividende. Nakon toga, podjela se smatra završenom. Ako se dividenda i djelitelj podijele u cijelosti (bez ostatka), tada će posljednja razlika dati nulu. U suprotnom će se vratiti preostali broj.

Eksponencijaliranje

Eksponencijacija je matematička operacija koja se sastoji u množenju proizvoljnog broja identičnih brojeva. Na primjer: 2 2 2 2.

Takvi se izrazi pišu kao: a x,

gdje a je broj pomnožen sam sa sobom x je broj takvih faktora.

Prosti i složeni prirodni brojevi

Bilo koji prirodni broj, osim 1, može se podijeliti s najmanje 2 broja - jednim i samim sobom. Na temelju ovog kriterija prirodni brojevi se dijele na proste i složene.

Prosti brojevi su brojevi koji su djeljivi samo s 1 i samim sobom. Brojevi koji su djeljivi s više od ova 2 broja nazivaju se složeni brojevi. Jedinica djeljiva samo po sebi nije ni prosta ni složena.

Brojevi su prosti: 2,3,5,7,11,13,17,19, itd. Primjeri složenih brojeva: 4 (djeljivo sa 1,2,4), 6 (djeljivo sa 1,2,3,6), 20 (djeljivo sa 1,2,4,5,10,20).

Svaki složeni broj može se rastaviti na proste faktore. U ovom se slučaju pod prostim čimbenicima podrazumijevaju njegovi djelitelji, koji su prosti brojevi.

Primjer faktorizacije na primarne faktore:

Dijelitelji prirodnih brojeva

Djelitelj je broj kojim se dati broj može podijeliti bez ostatka.

U skladu s ovom definicijom, jednostavni prirodni brojevi imaju 2 djelitelja, složeni brojevi imaju više od 2 djelitelja.

Mnogi brojevi imaju zajedničke djelitelje. Zajednički djelitelj je broj kojim su dati brojevi djeljivi bez ostatka.

• Brojevi 12 i 15 imaju zajednički djelitelj 3
• Brojevi 20 i 30 imaju zajedničke djelitelje 2,5,10

Od posebne je važnosti najveći zajednički djelitelj (GCD). Ovaj broj je posebno koristan za pronalaženje za reduciranje razlomaka. Da bismo ga pronašli, potrebno je zadane brojeve rastaviti na proste faktore i prikazati ih kao umnožak njihovih zajedničkih prostih faktora, uzetih u njihovim najmanjim potencijama.

Potrebno je pronaći GCD brojeva 36 i 48.

Djeljivost prirodnih brojeva

Daleko nije uvijek moguće "na oko" odrediti je li jedan broj djeljiv drugim bez ostatka. U takvim slučajevima je koristan odgovarajući test djeljivosti, odnosno pravilo po kojem se u nekoliko sekundi može utvrditi je li moguće dijeliti brojeve bez ostatka. Znak "" koristi se za označavanje djeljivosti.

Najmanji zajednički višekratnik

Ova vrijednost (označena LCM) je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od zadanih. LCM se može pronaći za proizvoljan skup prirodnih brojeva.

LCM, kao i GCD, ima značajno primijenjeno značenje. Dakle, LCM treba pronaći redukcijom običnih razlomaka na zajednički nazivnik.

LCM se određuje faktorivanjem zadanih brojeva u proste faktore. Za njegovo formiranje uzima se umnožak koji se sastoji od svakog od pojavnih (barem za 1 broj) prostih čimbenika predstavljenih u maksimalnom stupnju.

Potrebno je pronaći LCM brojeva 14 i 24.

Prosječno

Aritmetička sredina proizvoljnog (ali konačnog) broja prirodnih brojeva je zbroj svih ovih brojeva podijeljen s brojem članova:

Aritmetička sredina je neka prosječna vrijednost za skup brojeva.

Dani su brojevi 2,84,53,176,17,28. Potrebno je pronaći njihovu aritmetičku sredinu.