Zglobni sustav ax in naziva se neodređenim ako. Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi, metode rješenja, primjeri

Sustav se zove zglob, ili rješiv ako ima barem jedno rješenje. Sustav se zove nespojivo, ili netopiv ako nema rješenja.

Određeni, neodređeni SLAE.

Ako SLAE ima rješenje i jedinstven je, onda se zove izvjesni a ako rješenje nije jedinstveno, onda neizvjesno.

MATRIČNE JEDNADŽBE

Matrice omogućuju ukratko zapisivanje sustava linearnih jednadžbi. Neka je zadan sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice:

Razmotrimo matricu sustava i matrični stupci nepoznatih i slobodnih članova

Pronađimo proizvod

oni. kao rezultat proizvoda dobivamo lijeve strane jednadžbe ovog sustava. Zatim, koristeći definiciju matrične jednakosti, ovaj se sustav može zapisati kao

ili kraće A∙X=B.

Ovdje matrice A i B poznati su, a matrica x nepoznato. Treba je pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sustava. Ova se jednadžba zove matrična jednadžba.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednadžba rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane matricom A-1, inverzno od matrice A: . Ukoliko A -1 A = E i E∙X=X, tada dobivamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice, matrična metoda može riješiti samo one sustave u kojima broj jednadžbi je isti kao i broj nepoznanica.

Cramerove formule

Cramerova metoda je da sukcesivno pronalazimo identifikator glavnog sustava, tj. determinanta matrice A: D = det (a i j) i n pomoćne odrednice D i (i= ), koji se dobivaju iz determinante D zamjenom i-tog stupca stupcem slobodnih članova.

Cramerove formule izgledaju ovako: D × x i = D i (i = ).

To podrazumijeva Cramerovo pravilo, koje daje iscrpan odgovor na pitanje kompatibilnosti sustava: ako je glavna determinanta sustava različita od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje, određeno formulama: x i = D i / D.

Ako su glavna determinanta sustava D i sve pomoćne determinante D i = 0 (i= ), tada sustav ima beskonačan broj rješenja. Ako je glavna determinanta sustava D = 0, a barem jedna pomoćna determinanta različita od nule, tada je sustav nekonzistentan.

Teorem (Cramerovo pravilo): Ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada sustav koji se razmatra ima jedno i samo jedno rješenje, i

Dokaz: Dakle, razmotrite sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožite 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednadžba - na A21 i 3. - na A 31:

Dodajmo ove jednadžbe:

Razmotrimo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Prema teoremu o proširenju determinante po elementima 1. stupca.

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako vidjeti

Tako dobivamo jednakost: . Stoga, .

Jednakosti i se izvode na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teorema.

Kronecker-Capellijev teorem.

Sustav linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice.

Dokaz: Rastavlja se u dvije faze.

1. Neka sustav ima rješenje. Pokažimo to.

Neka skup brojeva je rješenje za sustav. Označimo sa -tim stupcem matrice, . Tada , odnosno stupac slobodnih pojmova je linearna kombinacija stupaca matrice . Neka bude . Pretvarajmo se to . Zatim po . Biramo u osnovnom molu . Ima reda. Kolona slobodnih članova mora proći kroz ovaj minor, inače će on biti osnovni mol matrice. Stupac slobodnih termina u molu je linearna kombinacija stupaca matrice. Na temelju svojstava determinante, gdje je determinanta koja se dobiva iz minora zamjenom stupca slobodnih članova stupcem. Ako je stupac prošao kroz manji M, tada u , bit će dva identična stupca i, prema tome, . Ako stupac nije prošao kroz minor, tada će se razlikovati od minora reda r + 1 matrice samo po redoslijedu stupaca. Od tad . Dakle, što je u suprotnosti s definicijom osnovnog mola. Dakle, pretpostavka da , je netočna.

2. Neka . Pokažimo da sustav ima rješenje. Budući da je , tada je bazni minor matrice osnovni minor matrice . Pustite da stupci prolaze kroz minor . Zatim, prema osnovnom manjem teoremu u matrici, stupac slobodnih pojmova je linearna kombinacija naznačenih stupaca:

(1)

Postavljamo , , , , i uzimamo preostale nepoznanice jednake nuli. Tada za ove vrijednosti dobivamo

Na temelju jednakosti (1) . Posljednja jednakost znači da je skup brojeva je rješenje za sustav. Dokazano je postojanje rješenja.

U sustavu o kojem je gore raspravljano , a sustav je dosljedan. U sustavu , , i sustav je nedosljedan.

Napomena: Iako Kronecker-Capellijev teorem omogućuje određivanje je li sustav dosljedan, koristi se prilično rijetko, uglavnom u teorijske studije. Razlog je taj što su izračuni koji se izvode pri pronalaženju ranga matrice u osnovi isti kao i izračuni pri pronalaženju rješenja sustava. Stoga se obično umjesto pronalaženja i traži rješenje sustava. Ako se može pronaći, tada saznajemo da je sustav dosljedan i istovremeno dobivamo svoje rješenje. Ako se rješenje ne može pronaći, onda zaključujemo da je sustav nekonzistentan.

Algoritam za pronalaženje rješenja proizvoljnog sustava linearnih jednadžbi (Gaussova metoda)

Neka je zadan sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama. Potrebno je pronaći njegovo opće rješenje ako je dosljedno, ili utvrditi njegovu nedosljednost. Metoda koja će biti predstavljena u ovom dijelu bliska je metodi izračunavanja determinante i metodi pronalaženja ranga matrice. Predloženi algoritam se zove Gaussova metoda ili metoda uzastopnog uklanjanja nepoznanica.

Napišimo proširenu matricu sustava

Sljedeće operacije s matricama nazivamo elementarnim operacijama:

1. permutacija linija;

2. množenje niza brojem koji nije nula;

3. zbrajanje niza s drugim nizom pomnoženim brojem.

Imajte na umu da se pri rješavanju sustava jednadžbi, za razliku od izračunavanja determinante i pronalaženja ranga, ne može raditi sa stupcima. Ako se sustav jednadžbi obnovi iz matrice dobivene elementarnom operacijom, tada novi sustav bit će jednak izvorniku.

Cilj algoritma je primjenom niza elementarnih operacija na matricu osigurati da svaki redak, osim možda prvog, počinje s nulama, a broj nula do prvog elementa različitog od nule u svakom sljedećem red je veći nego u prethodnom.

Korak algoritma je sljedeći. Pronađite prvi stupac koji nije nula u matrici. Neka to bude stupac s brojem. Pronalazimo u njemu element različit od nule i mijenjamo redak s tim elementom s prvim redom. Kako se ne bi gomilali dodatni zapisi, pretpostavit ćemo da je takva promjena redaka u matrici već napravljena, odnosno . Zatim u drugi red dodajemo prvi pomnožen brojem, u treći red dodajemo prvi pomnožen brojem itd. Kao rezultat, dobivamo matricu

(Prvi nulti stupci obično nedostaju.)

Ako u matrici postoji red s brojem k, u kojem su svi elementi jednaki nuli, i , tada zaustavljamo izvođenje algoritma i zaključujemo da je sustav nekonzistentan. Doista, vraćajući sustav jednadžbi iz proširene matrice, dobivamo da će -ta jednadžba imati oblik

Ova jednadžba ne zadovoljava nijedan skup brojeva .

Matrica se može napisati kao

S obzirom na matricu, izvodimo opisani korak algoritma. Uzmi matricu

gdje , . Ova matrica se opet može zapisati kao

te se gornji korak algoritma ponovno primjenjuje na matricu.

Proces se zaustavlja ako se nakon izvršenja sljedećeg koraka nova reducirana matrica sastoji samo od nula ili ako su svi redovi iscrpljeni. Napominjemo da bi zaključak o nekompatibilnosti sustava mogao zaustaviti proces i ranije.

Ako ne bismo smanjili matricu, onda bismo na kraju došli do matrice oblika

Zatim se izvodi takozvani obrnuti prolaz Gaussove metode. Na temelju matrice sastavljamo sustav jednadžbi. Na lijevoj strani ostavljamo nepoznanice s brojevima koji odgovaraju prvim elementima koji nisu nula u svakom retku, odnosno, . Primijeti da . Preostale nepoznanice se prenose na desnu stranu. Smatrajući da su nepoznanice na desnoj strani neke fiksne veličine, lako je nepoznanice s lijeve strane izraziti kroz njih.

Sada, dajući proizvoljne vrijednosti nepoznanicama na desnoj strani i izračunavajući vrijednosti varijabli na lijevoj strani, naći ćemo razna rješenja izvorni sustav Ax=b. Za zapisivanje općeg rješenja potrebno je nepoznanice na desnoj strani bilo kojim redoslijedom označiti slovima , uključujući one nepoznanice koje nisu eksplicitno zapisane na desnoj strani zbog nultih koeficijenata, a zatim se stupac nepoznanica može zapisati kao stupac, gdje je svaki element linearna kombinacija proizvoljnih vrijednosti (posebno, samo proizvoljna vrijednost). Ovaj unos će biti opće rješenje sustava.

Ako je sustav bio homogen, tada dobivamo opće rješenje homogenog sustava. Koeficijenti at uzeti u svakom elementu stupca općeg rješenja činit će prvo rješenje iz temeljnog sustava rješenja, koeficijenti at - drugo rješenje i tako dalje.

Metoda 2: Temeljni sustav rješenja homogenog sustava može se dobiti na drugi način. Da biste to učinili, jednoj varijabli, prenesenoj na desnu stranu, mora biti dodijeljena vrijednost 1, a ostatku - nule. Izračunavajući vrijednosti varijabli na lijevoj strani, dobivamo jedno rješenje iz temeljnog sustava. Dodjeljujući vrijednost 1 drugoj varijabli s desne strane, a nule ostalima, dobivamo drugo rješenje iz temeljnog sustava i tako dalje.

Definicija: sustav se zove zajednički th, ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentno - inače, odnosno u slučaju kada sustav nema rješenja. Pitanje ima li sustav rješenje ili nema povezano je ne samo s omjerom broja jednadžbi i broja nepoznanica. Na primjer, sustav od tri jednadžbe s dvije nepoznanice

ima rješenje , pa čak ima i beskonačno mnogo rješenja, ali sustav od dvije jednadžbe s tri nepoznanice.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Ovaj sustav je uvijek dosljedan jer ima trivijalno rješenje x 1 =…=x n =0

Da bi postojala netrivijalna rješenja, potrebno je i dovoljno da

uvjeti r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th Skup SLAE rješenja čini linearni prostor dimenzija (n-r). To znači da su umnožak njegovog rješenja brojem, kao i zbroj i linearna kombinacija konačnog broja njegovih rješenja rješenja ovog sustava. Prostor linearnog rješenja bilo koje SLAE je podprostor prostora R n .

Svaki skup (n-r) linearno neovisnih rješenja SLAE (koji je baza u prostoru rješenja) naziva se temeljni skup rješenja (FSR).

Neka su h 1 ,…,h r osnovne nepoznanice, h r +1 ,…,h n slobodne nepoznanice. Dajemo redom slobodne varijable sljedeće vrijednosti:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Formira linearni prostor S (prostor rješenja), koji je podprostor u R n (n je broj nepoznanica), i dims=k=n-r, gdje je r rang sustava. Baza u prostoru rješenja (x (1) ,…, x (k) ) naziva se temeljni sustav rješenja, a opće rješenje ima oblik:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Viša matematika » Linearni sustavi algebarske jednadžbe»Osnovni pojmovi. Matrična notacija.

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Osnovni pojmovi. Matrična notacija.

Definicija sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Sustavno rješenje. Klasifikacija sustava.
Matrični oblik pisanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Definicija sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Sustavno rješenje. Klasifikacija sustava.

Pod, ispod sustav linearnih algebarskih jednadžbi(SLAE) podrazumijevaju sustav

\begin(jednadžba) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(poravnano) \desno.\end(jednadžba)

Parametri $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) nazivaju se koeficijenti, i $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - slobodni članovi SLAU. Ponekad, da bi naglasili broj jednadžbi i nepoznanica, kažu "$m\puta n$ sustav linearnih jednadžbi" - čime se ukazuje da SLAE sadrži $m$ jednadžbe i $n$ nepoznanice.

Ako su svi slobodni pojmovi $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), tada se SLAE naziva homogena. Ako među slobodnim članovima postoji barem jedan osim nule, poziva se SLAE heterogena.

Odluka SLAU(1) bilo koja uređena zbirka brojeva ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) se poziva ako su elementi ove zbirke zamijenjeni danim redoslijedom za nepoznanice $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , invertirajte svaku SLAE jednadžbu u identičnost.

Svaki homogeni SLAE ima barem jedno rješenje: nula(drugačijom terminologijom - trivijalno), t.j. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Ako SLAE (1) ima barem jedno rješenje, ono se zove zgloba ako nema rješenja, nespojivo. Ako zajednički SLAE ima točno jedno rješenje, zove se izvjesni, ako je beskonačan broj rješenja - neizvjesno.

Primjer #1

Uzmite u obzir SLAE

\begin(jednadžba) \lijevo \( \begin(poravnano) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5 0.\\ \end(poravnano)\desno.\end(jednadžba)

Imamo sustav linearnih algebarskih jednadžbi koje sadrže $3$ jednadžbe i $5$ nepoznanice: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Može se reći da je dan sustav linearnih jednadžbi $3\put 5$.

Koeficijenti sustava (2) su brojevi ispred nepoznanica. Na primjer, u prvoj jednadžbi ovi brojevi su: $3,-4,1,7,-1$. Slobodni članovi sustava predstavljeni su brojevima $11,-65,0$. Budući da među slobodnim članovima postoji barem jedan, nije nula, tada je SLAE (2) nehomogena.

Naručena zbirka $(4;-11;5;-7;1)$ je rješenje za ovaj SLAE. To je lako provjeriti ako zamijenite $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ u jednadžbe zadanog sustava:

\begin(poravnano) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \kraj (poravnano)

Naravno, postavlja se pitanje je li provjereno rješenje jedino. Pitanje broja SLAE rješenja bit će obrađeno u relevantnoj temi.

Primjer #2

Uzmite u obzir SLAE

\begin(jednadžba) \lijevo \( \begin(poravnano) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(poravnano) \desno.\end(jednadžba)

Sustav (3) je SLAE koji sadrži $5$ jednadžbe i $3$ nepoznanice: $x_1,x_2,x_3$. Kako su svi slobodni članovi ovog sustava jednaki nuli, onda je SLAE (3) homogena. Lako je provjeriti da je kolekcija $(0;0;0)$ rješenje za dani SLAE. Zamjenom $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, na primjer, u prvu jednadžbu sustava (3), dobivamo ispravnu jednakost: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . Zamjena u druge jednadžbe vrši se na sličan način.

Matrični oblik pisanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Nekoliko matrica može se pridružiti svakoj SLAE; štoviše, sam SLAE se može napisati kao matrična jednadžba. Za SLAE (1) razmotrite sljedeće matrice:

Matrica $A$ se zove matrica sustava. Elementi ove matrice su koeficijenti zadane SLAE.

Poziva se matrica $\widetilde(A)$ prošireni matrični sustav. Dobiva se dodavanjem u matricu sustava stupca koji sadrži slobodne članove $b_1,b_2,…,b_m$. Obično je ovaj stupac odvojen okomitom crtom - radi jasnoće.

Poziva se matrica stupca $B$ matrica slobodnih termina, i matrica stupaca $X$ - matrica nepoznanica.

Koristeći prethodno uvedenu notaciju, SLAE (1) se može napisati u obliku matrične jednadžbe: $A\cdot X=B$.

Bilješka

Matrice povezane sa sustavom mogu se napisati različiti putevi: sve ovisi o redoslijedu varijabli i jednadžbi razmatrane SLAE. Ali u svakom slučaju, redoslijed nepoznanica u svakoj jednadžbi dane SLAE mora biti isti (vidi primjer br. 4).

Primjer #3

Napišite SLAE $ \lijevo \( \begin(poravnano) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(poravnano) \right.$ u matričnom obliku i navedite proširenu matricu sustava.

Imamo četiri nepoznanice, koje u svakoj jednadžbi slijede ovim redoslijedom: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Matrica nepoznanica bit će: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

Slobodni članovi ovog sustava izraženi su brojevima $-5,0,-11$, stoga matrica slobodnih članova ima oblik: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(niz)\desno)$.

Prijeđimo na sastavljanje matrice sustava. Prvi red ove matrice sadržavat će koeficijente prve jednadžbe: $2,3,-5,1$.

U drugi red upisujemo koeficijente druge jednadžbe: $4,0,-1,0$. U ovom slučaju treba uzeti u obzir da su koeficijenti sustava s varijablama $x_2$ i $x_4$ u drugoj jednadžbi jednaki nuli (jer te varijable u drugoj jednadžbi nema).

U treći red matrice sustava upisujemo koeficijente treće jednadžbe: $0.14.8.1$. Uzimamo u obzir jednakost nule koeficijenta na varijabli $x_1$ (ova varijabla nema u trećoj jednadžbi). Matrica sustava će izgledati ovako:

$$ A=\lijevo(\begin(niz) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(niz) \desno) $$

Da bi odnos između matrice sustava i samog sustava bio jasniji, zapisat ću zadanu SLAE i njezinu matricu sustava jednu do druge:

U matričnom obliku, zadana SLAE će izgledati kao $A\cdot X=B$. U proširenom unosu:

$$ \lijevo(\begin(niz) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(niz) \desno) \cdot \left(\begin(niz) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(niz) \desno) = \left(\begin(niz) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(niz) \desno) $$

Napišimo proširenu matricu sustava. Da biste to učinili, na matricu sustava $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(niz) \desno) $ dodajte stupac slobodnih pojmova (tj. $-5,0,-11$). Dobivamo: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(niz) \desno) $.

Primjer #4

Napišite SLAE $ \lijevo \(\begin(poravnano) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ u matričnom obliku i navedite proširenu matricu sustava.

Kao što možete vidjeti, redoslijed nepoznanica u jednadžbama ove SLAE je drugačiji. Na primjer, u drugoj jednadžbi redoslijed je: $a,y,c$, ali u trećoj jednadžbi: $c,y,a$. Prije pisanja SLAE u matričnom obliku, redoslijed varijabli u svim jednadžbama mora biti isti.

Možete poredati varijable u jednadžbama zadane SLAE različiti putevi(broj načina za raspoređivanje tri varijable je $3!=6$). Razmotrit ću dva načina naručivanja nepoznatih.

Metoda broj 1

Uvedemo sljedeći redoslijed: $c,y,a$. Prepišimo sustav, stavljajući nepoznanice u njega nužni red: $\lijevo \(\begin(poravnano) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(poravnano)\desno.$

Radi jasnoće, napisat ću SLAE na sljedeći način: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ kraj(poravnano)\desno.$

Matrica sustava je: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( niz) \desno) $. Matrica slobodnih članova: $B=\left(\begin(niz) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(niz) \desno)$. Kada pišete matricu nepoznatih, zapamtite redoslijed nepoznatih: $X=\left(\begin(niz) (c) c \\ y \\ a \end(niz) \desno)$. Dakle, matrični oblik zadane SLAE je sljedeći: $A\cdot X=B$. Prošireno:

$$ \lijevo(\begin(niz) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(niz) \desno) \ cdot \left(\begin(niz) (c) c \\ y \\ a \end(niz) \desno) = \left(\begin(niz) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(niz) \desno) $$

Proširena matrica sustava je: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(niz) \desno) $.

Metoda broj 2

Uvedemo sljedeći redoslijed: $a,c,y$. Prepišimo sustav, stavljajući nepoznanice traženim redoslijedom: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(poravnano)\desno.$

Radi jasnoće, napisat ću SLAE na sljedeći način: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ kraj(poravnano)\desno.$

Matrica sustava je: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( niz)\desno)$. Matrica slobodnih članova: $B=\left(\begin(niz) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(niz) \desno)$. Kada pišete matricu nepoznatih, zapamtite redoslijed nepoznatih: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Dakle, matrični oblik zadane SLAE je sljedeći: $A\cdot X=B$. Prošireno:

$$ \left(\begin(niz) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(niz) \desno) \ cdot \left(\begin(niz) (c) a \\ c \\ y \end(niz) \desno) = \left(\begin(niz) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(niz) \desno) $$

Proširena matrica sustava je: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(niz) \desno) $.

Kao što možete vidjeti, promjena redoslijeda nepoznanica je ekvivalentna preuređenju stupaca matrice sustava. Ali kakav god bio ovaj raspored nepoznanica, on se mora podudarati u svim jednadžbama danog SLAE.

Linearne jednadžbe

Linearne jednadžbe- relativno jednostavna matematička tema, koja se često nalazi u zadacima iz algebre.

Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi: osnovni pojmovi, vrste

Idemo shvatiti što je to i kako se rješavaju linearne jednadžbe.

Obično, Linearna jednadžba je jednadžba oblika ax + c = 0, gdje su a i c proizvoljni brojevi ili koeficijenti, a x je nepoznat broj.

Na primjer, linearna jednadžba bi bila:

Rješenje linearnih jednadžbi.

Kako riješiti linearne jednadžbe?

Rješavanje linearnih jednadžbi je prilično jednostavno. Za to se koristi matematička tehnika, kao npr transformacija identiteta. Hajdemo shvatiti što je to.

Primjer linearne jednadžbe i njezino rješenje.

Neka je ax + c = 10, gdje je a = 4, c = 2.

Tako dobivamo jednadžbu 4x + 2 = 10.

Kako bismo to riješili lakše i brže, koristit ćemo prvu metodu transformacija identiteta- odnosno sve brojeve prenosimo na desnu stranu jednadžbe, a nepoznato 4x ostavljamo na lijevoj strani.

Dobiti:

Dakle, jednadžba se svodi na vrlo jednostavan problem za početnike. Ostaje samo koristiti drugu metodu identične transformacije - ostavljajući x na lijevoj strani jednadžbe, prenesite brojeve na desnu stranu. dobivamo:

pregled:

4x + 2 = 10, gdje je x = 2.

Odgovor je točan.

Grafikon linearne jednadžbe.

Kod rješavanja linearnih jednadžbi s dvije varijable često se koristi i metoda crtanja. Činjenica je da jednadžba oblika ax + wy + c \u003d 0, u pravilu, ima mnogo rješenja, jer se mnogi brojevi uklapaju na mjesto varijabli, a u svim slučajevima jednadžba ostaje istinita.

Stoga se radi lakšeg zadatka gradi graf linearne jednadžbe.

Da biste ga izgradili, dovoljno je uzeti jedan par varijabilnih vrijednosti - i, označavajući ih točkama na koordinatnoj ravnini, povući ravnu liniju kroz njih. Sve točke na ovoj liniji bit će varijante varijabli u našoj jednadžbi.

Izrazi, konverzija izraza

Redoslijed radnji, pravila, primjeri.

Brojčani, literalni i izrazi s varijablama u svom zapisu mogu sadržavati različite znakove aritmetičke operacije. Prilikom pretvaranja izraza i izračunavanja vrijednosti izraza, radnje se izvode određenim redoslijedom, drugim riječima, morate promatrati red radnji.

U ovom članku ćemo shvatiti koje radnje treba izvesti prvo, a koje nakon njih. Počnimo s najviše jednostavnim slučajevima kada izraz sadrži samo brojeve ili varijable povezane znakovima plus, minus, množi i dijeli. Zatim ćemo objasniti koji redoslijed izvršavanja radnji treba slijediti u izrazima sa zagradama. Konačno, razmotrite slijed u kojem se radnje izvode u izrazima koji sadrže ovlasti, korijene i druge funkcije.

Prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje

Škola pruža sljedeće pravilo koje određuje redoslijed izvođenja radnji u izrazima bez zagrada:

radnje se izvode redom s lijeva na desno,
gdje se prvo obavlja množenje i dijeljenje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.

Navedeno pravilo percipira se sasvim prirodno. Izvođenje radnji redom s lijeva na desno objašnjava se činjenicom da je kod nas uobičajeno da evidenciju vodimo s lijeva na desno. A činjenica da se množenje i dijeljenje obavlja prije zbrajanja i oduzimanja objašnjava se značenjem koje te radnje nose u sebi.

Pogledajmo nekoliko primjera primjene ovog pravila. Za primjere ćemo uzeti najjednostavnije numeričke izraze kako nas ne bi ometali izračuni, već kako bismo se usredotočili na redoslijed izvođenja radnji.

Slijedite korake 7−3+6.

Izvorni izraz ne sadrži zagrade, niti sadrži množenje i dijeljenje. Stoga bismo sve radnje trebali izvesti redom s lijeva na desno, odnosno prvo oduzmemo 3 od 7, dobijemo 4, nakon čega na dobivenu razliku 4 dodamo 6, dobijemo 10.

Ukratko, rješenje se može napisati na sljedeći način: 7−3+6=4+6=10.

Navedite redoslijed kojim se radnje izvode u izrazu 6:2·8:3.

Da bismo odgovorili na pitanje problema, okrenimo se pravilu koje označava redoslijed izvođenja radnji u izrazima bez zagrada. Izvorni izraz sadrži samo operacije množenja i dijeljenja, a prema pravilu se moraju izvoditi redom s lijeva na desno.

Prvo podijelite 6 sa 2, pomnožite ovaj količnik sa 8 i na kraju rezultat podijelite s 3.

Osnovni koncepti. Sustavi linearnih jednadžbi

Izračunaj vrijednost izraza 17−5 6:3−2+4:2.

Prvo, odredimo kojim redoslijedom treba izvršiti radnje u izvornom izrazu. Uključuje i množenje i dijeljenje i zbrajanje i oduzimanje.

Prvo, s lijeva na desno, morate izvesti množenje i dijeljenje. Dakle, pomnožimo 5 sa 6, dobijemo 30, podijelimo ovaj broj sa 3, dobijemo 10. Sada podijelimo 4 sa 2, dobijemo 2. Pronađenu vrijednost zamijenimo 10 umjesto 5 6: 3 u izvornom izrazu, a vrijednost 2 umjesto 4:2, imamo 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

U rezultirajućem izrazu više nema množenja i dijeljenja, pa ostaje izvršiti preostale radnje redom s lijeva na desno: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5 6:3−2+4:2=7.

Isprva, kako se ne bi zbunio redoslijed izvođenja radnji pri izračunavanju vrijednosti izraza, prikladno je staviti brojeve iznad znakova radnji koji odgovaraju redoslijedu u kojem se izvode. Za prethodni primjer, to bi izgledalo ovako: .

Isti redoslijed operacija - prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje - treba se pridržavati pri radu s literalnim izrazima.

Vrh stranice

Koraci 1 i 2

U nekim udžbenicima iz matematike postoji podjela aritmetičkih operacija na operacije prvog i drugog koraka. Pozabavimo se ovim.

U tim terminima, pravilo iz prethodnog stavka, koje određuje redoslijed izvođenja radnji, bit će zapisano na sljedeći način: ako izraz ne sadrži zagrade, onda redom slijeva nadesno radnje druge faze ( množenje i dijeljenje) prvo se izvode, zatim radnje prvog stupnja (zbrajanje i oduzimanje).

Vrh stranice

Redoslijed izvođenja aritmetičkih operacija u izrazima sa zagradama

Izrazi često sadrže zagrade koje označavaju redoslijed kojim se radnje trebaju izvesti. U ovom slučaju pravilo koje određuje redoslijed izvođenja radnji u izrazima sa zagradama, formulira se na sljedeći način: prvo se izvode radnje u zagradama, dok se množenje i dijeljenje također izvode redom s lijeva na desno, zatim zbrajanje i oduzimanje.

Dakle, izrazi u zagradama smatraju se komponentama izvornog izraza, a u njima je očuvan redoslijed radnji koje su nam već poznate. Razmotrite rješenja primjera radi veće jasnoće.

Učinite navedene korake 5+(7−2 3) (6−4):2.

Izraz sadrži zagrade, pa prvo izvršimo radnje u izrazima navedenim u ovim zagradama. Počnimo s izrazom 7−2 3. U njemu prvo morate izvršiti množenje, a tek onda oduzimanje, imamo 7−2 3=7−6=1. Prijelazimo na drugi izraz u zagradama 6−4. Ovdje postoji samo jedna radnja - oduzimanje, izvodimo je 6−4=2.

Dobivene vrijednosti zamjenjujemo u izvorni izraz: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. U rezultirajućem izrazu prvo izvodimo množenje i dijeljenje s lijeva na desno, zatim oduzimanje, dobivamo 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Na tome su sve radnje završene, pridržavali smo se sljedećeg redoslijeda njihovog izvođenja: 5+(7−2 3) (6−4):2.

Zapišimo kratko rješenje: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7−2 3)(6−4):2=6.

Događa se da izraz sadrži zagrade unutar zagrada. Ne biste se trebali bojati toga, samo trebate dosljedno primjenjivati izraženo pravilo za izvođenje radnji u izrazima sa zagradama. Pokažimo primjer rješenja.

Izvedite radnje u izrazu 4+(3+1+4 (2+3)).

Ovo je izraz sa zagradama, što znači da izvršavanje radnji mora započeti izrazom u zagradama, odnosno s 3 + 1 + 4 (2 + 3).

Ovaj izraz također sadrži zagrade, tako da prvo morate izvršiti radnje u njima. Učinimo ovo: 2+3=5. Zamjenom pronađene vrijednosti dobivamo 3+1+4 5. U ovom izrazu prvo izvodimo množenje, zatim zbrajanje, imamo 3+1+4 5=3+1+20=24. Početna vrijednost, nakon zamjene ove vrijednosti, poprima oblik 4+24, a preostaje samo dovršiti radnje: 4+24=28.

4+(3+1+4 (2+3))=28.

Općenito, kada su u izrazu prisutne zagrade unutar zagrada, često je zgodno započeti s unutarnjim zagradama i krenuti prema vanjskim.

Na primjer, recimo da trebamo izvesti operacije u izrazu (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Najprije izvodimo radnje u unutarnjim zagradama, budući da je 4−6:2=4−3=1, a zatim će originalni izraz poprimiti oblik (4+(4+1)−1)−1. Opet, radnju izvodimo u unutarnjim zagradama, budući da je 4+1=5, dolazimo do sljedećeg izraza (4+5−1)−1. Opet izvodimo radnje u zagradama: 4+5−1=8, dok dolazimo do razlike 8−1, koja je jednaka 7.

Vrh stranice

Redoslijed kojim se operacije izvode u izrazima s korijenima, potencijama, logaritmima i drugim funkcijama

Ako izraz uključuje potencije, korijene, logaritme, sinus, kosinus, tangentu i kotangens, kao i druge funkcije, tada se njihove vrijednosti izračunavaju prije izvođenja ostalih radnji, dok pravila iz prethodnih paragrafa određuju redoslijed u koje se radnje izvode također uzimaju u obzir. Drugim riječima, navedene stvari, grubo govoreći, možemo smatrati zatvorenim u zagrade, a znamo da se najprije izvode radnje u zagradama.

Razmotrimo primjere.

Izvedite operacije u izrazu (3+1) 2+6 2:3−7.

Ovaj izraz sadrži snagu 6 2 , njegova vrijednost se mora izračunati prije izvođenja ostalih koraka. Dakle, izvodimo eksponencijaciju: 6 2 \u003d 36. Tu vrijednost zamjenjujemo u izvorni izraz, on će poprimiti oblik (3+1) 2+36:3−7.

Tada je sve jasno: radnje izvodimo u zagradama, nakon čega ostaje izraz bez zagrada, u kojem redom s lijeva na desno prvo izvodimo množenje i dijeljenje, a zatim zbrajanje i oduzimanje. Imamo (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

Drugi, uključujući i više složeni primjeri izvodeći radnje u izrazima s korijenima, stupnjevima itd., možete vidjeti izračun vrijednosti izraza u članku.

Vrh stranice

Radnje prvog koraka zovu se zbrajanje i oduzimanje, a množenje i dijeljenje radnje drugog koraka.

Matematika: studije. za 5 ćelija. opće obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.

Zapišite sustav linearnih algebarskih jednadžbi u općem obliku

Što je SLAE rješenje?

Rješenje sustava jednadžbi je skup od n brojeva,

Kada se ono zamijeni u sustav, svaka jednadžba postaje identitet.

Koji se sustav naziva zglobnim (nezglobnim)?

Sustav jednadžbi naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje.

Sustav se naziva nedosljednim ako nema rješenja.

Koji se sustav naziva određenim (neodređenim)?

Zajednički sustav naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje.

Zajednički sustav naziva se neodređenim ako ima više od jednog rješenja.

Matrični oblik pisanja sustava jednadžbi

Rang vektorskog sustava

Rang sustava vektora je maksimalni broj linearno neovisnih vektora.

Rang matrice i načini kako ga pronaći

Matrični rang- najviši redoslijed minora ove matrice, čija je determinanta različita od nule.

Prva metoda, metoda ivica, je sljedeća:

Ako su svi maloljetnici 1. reda, t.j. elementi matrice jednaki su nuli, tada je r=0 .

Ako barem jedan od minora 1. reda nije jednak nuli, a svi minori 2. reda jednaki su nuli, tada je r=1.

Ako je minor 2. reda različit od nule, onda istražujemo minore 3. reda. Na taj način se pronalazi minor k-tog reda i provjerava jesu li minori k+1-tog reda jednaki nuli.

Ako su svi minori reda k+1 jednaki nuli, tada je rang matrice jednak broju k. Takvi minori k+1 reda obično se pronađu tako da se "rubiraju" minor k-tog reda.

Druga metoda za određivanje ranga matrice je primjena elementarnih transformacija matrice kada je podignuta u dijagonalni oblik. Rang takve matrice jednak je broju dijagonalnih elemenata koji nisu nula.

Opće rješenje nehomogenog sustava linearnih jednadžbi, njegova svojstva.

Svojstvo 1. Zbroj bilo kojeg rješenja sustava linearnih jednadžbi i bilo kojeg rješenja odgovarajućeg homogenog sustava rješenje je sustava linearnih jednadžbi.

Svojstvo 2.

Sustavi linearnih jednadžbi: osnovni pojmovi

Razlika bilo koja dva rješenja nehomogenog sustava linearnih jednadžbi je rješenje odgovarajućeg homogenog sustava.

Gaussova metoda za rješavanje SLAE

Slijed:

1) sastavlja se proširena matrica sustava jednadžbi

2) uz pomoć elementarnih transformacija, matrica se svodi na stepenasti oblik

3) određuje se rang proširene matrice sustava i rang matrice sustava i uspostavlja pakt o kompatibilnosti ili nekompatibilnosti sustava

4) u slučaju kompatibilnosti zapisuje se ekvivalentni sustav jednadžbi

5) pronađeno je rješenje sustava. Glavne varijable izražene su u terminima slobodnih

Kronecker-Capellijev teorem

Kronecker - Capellijev teorem- kriterij kompatibilnosti sustava linearnih algebarskih jednadžbi:

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang njegove glavne matrice jednak rangu njegove proširene matrice, a sustav ima jedinstveno rješenje ako je rang jednak broju nepoznanica i beskonačan skup rješenja ako je rang manje od broja nepoznato.

Da bi linearni sustav bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang proširene matrice ovog sustava bude jednak rangu njegove glavne matrice.

Kada sustav nema rješenje, kada ima jedno rješenje, ima li mnogo rješenja?

Ako je broj jednadžbi sustava jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada takvi sustavi jednadžbi imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sustava, sve nepoznate varijable su jednake nuli.

Sustav linearnih jednadžbi koji ima barem jedno rješenje naziva se konzistentan. Inače, t.j. ako sustav nema rješenja, onda se naziva nedosljednim.

linearne jednadžbe nazivaju se konzistentnom ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentnom ako rješenja nema. U primjeru 14 sustav je kompatibilan, stupac je njegovo rješenje:

Ovo rješenje se može napisati i bez matrica: x = 2, y = 1.

Sustav jednadžbi nazivat će se neodređenim ako ima više od jednog rješenja, a definitivnim ako je rješenje jedinstveno.

Primjer 15. Sustav je neodređen. Na primjer, ... su njegova rješenja. Čitatelj može pronaći mnoga druga rješenja za ovaj sustav.

Formule koje povezuju koordinate vektora u starim i novim bazama

Naučimo najprije riješiti sustave linearnih jednadžbi u određenom slučaju. Sustav jednadžbi AX = B zvati će se Cramerov ako je njegova glavna matrica A kvadratna i nedegenerirana. Drugim riječima, broj nepoznanica u Cramerian sustavu podudara se s brojem jednadžbi i |A| = 0.

Teorem 6 (Cramerovo pravilo). Cramerov sustav linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje dano formulama:

gdje je Δ = |A| je determinanta glavne matrice, Δi je determinanta dobivena iz A zamjenom i-tog stupca stupcem slobodnih članova.

Provest ćemo dokaz za n = 3, budući da su u općem slučaju argumenti slični.

Dakle, postoji Cramerov sustav:

Pretpostavimo prvo da rješenje za sustav postoji, tj. da postoje

Pomnožimo prvi. jednakost na algebarskom komplementu elementu aii, druga jednakost - na A2i, treća - na A3i i dodaj rezultirajuće jednakosti:

Sustav linearnih jednadžbi ~ Rješenje sustava ~ Konzistentni i nekonzistentni sustavi ~ Homogeni sustav ~ Kompatibilnost homogenog sustava ~ Rang matrice sustava ~ Uvjet netrivijalne kompatibilnosti ~ Temeljni sustav rješenja. Opće rješenje ~ Studija homogenog sustava

Razmotrite sustav m linearne algebarske jednadžbe s obzirom na n nepoznato
x 1 , x 2 , …, x n :

Odluka sustav se naziva totalitet n nepoznate vrijednosti

x 1 \u003d x’ 1, x 2 \u003d x’ 2, ..., x n = x’ n,

pri čijoj se zamjeni sve jednadžbe sustava pretvaraju u identitete.

Sustav linearnih jednadžbi može se zapisati u matričnom obliku:

gdje A- matrica sustava, b- desni dio, x- željeno rješenje Ap - proširena matrica sustavi:

Zove se sustav koji ima barem jedno rješenje zgloba; sustav koji nema rješenja nespojivo.

Homogeni sustav linearnih jednadžbi je sustav čija je desna strana jednaka nuli:

Matrični pogled na homogeni sustav: ax=0.

Homogeni sustav je uvijek dosljedan, budući da svaki homogeni linearni sustav ima barem jedno rješenje:

x 1 = 0, x 2 = 0, ..., x n \u003d 0.

Ako homogeni sustav ima jedinstveno rješenje, tada je to jedinstveno rješenje nula i sustav se zove trivijalno zajedničko. Ako homogeni sustav ima više od jednog rješenja, tada među njima postoje rješenja različita od nule, a u ovom slučaju sustav se naziva netrivijalno zajedničko.

Dokazano je da kod m=n za netrivijalnu kompatibilnost sustava potrebno i dovoljno tako da je determinanta matrice sustava jednaka nuli.

PRIMJER 1. Netrivijalna kompatibilnost homogenog sustava linearnih jednadžbi s kvadratnom matricom.

Primjenom Gaussovog algoritma eliminacije na matricu sustava, matricu sustava svodimo na oblik koraka

Broj r ne-nulti redovi u obliku koraka matrice se nazivaju matrični rang, označiti
r=rg(A) ili r=Rg(A).

Točna je sljedeća tvrdnja.

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi

Da bi homogeni sustav bio netrivijalno dosljedan, potrebno je i dovoljno da rang r matrica sustava bila je manja od broja nepoznanica n.

PRIMJER 2. Netrivijalna kompatibilnost homogenog sustava od tri linearne jednadžbe s četiri nepoznanice.

Ako je homogeni sustav netrivijalno konzistentan, tada ima beskonačan broj rješenja, a linearna kombinacija bilo kojeg rješenja sustava je također njegovo rješenje.
Dokazano je da među beskonačnim skupom rješenja homogenog sustava, točno n-r linearno neovisna rješenja.
Agregat n-r linearno neovisna rješenja homogenog sustava naziva se temeljni sustav odlučivanja. Svako rješenje sustava linearno se izražava u terminima temeljnog sustava. Dakle, ako je rang r matrice A homogena linearni sustav ax=0 manje nepoznanica n i vektori
e 1 , e 2 , …, e n-r formiraju svoj temeljni sustav rješenja ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), zatim bilo koje rješenje x sustava ax=0 može se napisati u obliku

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

gdje c 1 , c 2 , …, c n-r su proizvoljne konstante. Pisani izraz se zove zajedničko rješenje homogeni sustav .

Istraživanje

homogeni sustav znači utvrditi je li netrivijalno dosljedan, a ako jest, onda pronaći temeljni sustav rješenja i zapisati izraz za opće rješenje sustava.

Homogeni sustav proučavamo Gaussovom metodom.

matrica homogenog sustava koji se proučava, čiji je rang r< n .

Takva se matrica Gaussovom eliminacijom svodi na stepenasti oblik

Odgovarajući ekvivalentni sustav ima oblik

Odavde je lako dobiti izraze za varijable x 1 , x 2 , …, x r kroz x r+1 , x r+2 , …, x n. Varijable
x 1 , x 2 , …, x r pozvao osnovne varijable i varijable x r+1 , x r+2 , …, x n - slobodne varijable.

Prenoseći slobodne varijable na desnu stranu, dobivamo formule

koji određuju cjelokupno rješenje sustava.

Postavimo sukcesivno vrijednosti slobodnih varijabli jednake

i izračunati odgovarajuće vrijednosti osnovnih varijabli. Primljeno n-r rješenja su linearno neovisna i stoga čine temeljni sustav rješenja homogenog sustava koji se proučava:

Istraživanje kompatibilnosti homogenog sustava Gaussovom metodom.

Međutim, u praksi su raširena još dva slučaja:

– Sustav je nedosljedan (nema rješenja);
Sustav je dosljedan i ima beskonačno mnogo rješenja.

Bilješka : izraz "dosljednost" podrazumijeva da sustav ima barem neko rješenje. U nizu zadataka potrebno je preliminarno ispitati kompatibilnost sustava, kako to učiniti - pogledajte članak na matrični rang.

Za ove sustave koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda. Zapravo, “školski” način također će dovesti do odgovora, ali u viša matematika Uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu uzastopnog uklanjanja nepoznanica. Oni koji nisu upoznati s algoritmom Gaussove metode, najprije proučite lekciju Gaussova metoda za lutke.

Same transformacije elementarne matrice potpuno su iste, razlika će biti u kraju rješenja. Prvo razmotrite nekoliko primjera u kojima sustav nema rješenja (nedosljedno).

Primjer 1

Što vam odmah upada u oči u ovom sustavu? Broj jednadžbi manji je od broja varijabli. Ako je broj jednadžbi manji od broja varijabli, tada možemo odmah reći da je sustav ili nekonzistentan ili ima beskonačno mnogo rješenja. I ostaje samo saznati.

Početak rješenja je sasvim običan - pišemo proširenu matricu sustava i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u postupni oblik:

(1) Na gornjem lijevom koraku trebamo dobiti +1 ili -1. U prvom stupcu nema takvih brojeva, pa preuređivanje redaka neće raditi. Jedinica će se morati organizirati samostalno, a to se može učiniti na nekoliko načina. Učinio sam ovo: prvom retku dodajte treći red, pomnožen s -1.

(2) Sada dobivamo dvije nule u prvom stupcu. U drugi red dodajemo prvi red pomnožen s 3. U treći red dodajemo prvi red pomnožen s 5.

(3) Nakon što je transformacija obavljena, uvijek je preporučljivo vidjeti je li moguće pojednostaviti rezultirajuće nizove? Limenka. Drugu liniju dijelimo s 2, istovremeno dobivajući željeni -1 na drugom koraku. Treći red podijelite s -3.

(4) Dodajte drugi redak trećem retku.

Vjerojatno su svi obratili pozornost na lošu liniju, koja se pokazala kao rezultat elementarnih transformacija: . Jasno je da to ne može biti tako. Doista, prepisujemo rezultirajuću matricu natrag na sustav linearnih jednadžbi:

Ako se kao rezultat elementarnih transformacija dobije niz oblika, gdje je broj različit od nule, tada je sustav nekonzistentan (nema rješenja) .

Kako snimiti kraj zadatka? Nacrtajmo bijelom kredom: "kao rezultat elementarnih transformacija, dobiva se linija oblika, gdje" i dajmo odgovor: sustav nema rješenja (nedosljedno).

Ako je prema uvjetu potrebno ISTRAŽITI sustav radi kompatibilnosti, onda je potrebno izdati rješenje u solidnijem stilu koje uključuje koncept rang matrice i Kronecker-Capellijev teorem.

Napominjemo da ovdje nema obrnutog gibanja Gaussovog algoritma - nema rješenja i jednostavno se nema što pronaći.

Primjer 2

Riješite sustav linearnih jednadžbi

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Opet vas podsjećam da se vaš put rješenja može razlikovati od mog puta rješenja, Gaussov algoritam nema jaku "rigidnost".

Još jedan tehnička značajka rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti Odjednom, čim redak kao , gdje . Smatrati uvjetni primjer: pretpostavimo da nakon prve transformacije dobijemo matricu . Matrica još nije svedena na stepenasti oblik, ali nema potrebe za daljnjim elementarnim transformacijama, jer se pojavila linija oblika, gdje je . Treba odmah odgovoriti da je sustav nekompatibilan.

Kada sustav linearnih jednadžbi nema rješenja, to je gotovo dar, jer se dobiva kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka.

Ali sve je na ovom svijetu uravnoteženo, a problem u kojem sustav ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.

Primjer 3

Riješite sustav linearnih jednadžbi

Postoje 4 jednadžbe i 4 nepoznanice, tako da sustav može imati jedno rješenje, ili nema rješenja, ili imati beskonačno mnogo rješenja. Što god bilo, ali Gaussova metoda će nas u svakom slučaju dovesti do odgovora. U tome leži njegova svestranost.

Početak je opet standardan. Zapisujemo proširenu matricu sustava i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u korak oblik:

To je sve, a ti si se bojao.

(1) Imajte na umu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi s 2, tako da je 2 u redu na gornjoj lijevoj prečki. U drugi red dodajemo prvi redak, pomnožen s -4. Trećem retku dodajemo prvi redak, pomnožen s -2. Četvrtom retku dodajemo prvi redak, pomnožen s -1.

Pažnja! Mnogi mogu doći u iskušenje iz četvrtog retka oduzeti prvi red. To se može učiniti, ali nije potrebno, iskustvo pokazuje da se vjerojatnost pogreške u izračunima povećava nekoliko puta. Samo zbrojite: četvrtom retku dodajte prvi redak, pomnožen s -1 - točno!

(2) Posljednja tri retka su proporcionalna, dva se mogu brisati.

Ovdje je opet potrebno pokazati povećana pozornost, ali jesu li linije stvarno proporcionalne? Za reosiguranje (osobito za čajnik) ne bi bilo suvišno drugi red pomnožiti s -1, a četvrti red podijeliti s 2, što će rezultirati tri identična reda. I tek nakon toga uklonite dva od njih.

Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sustava svodi se na stepenasti oblik:

Prilikom dovršavanja zadatka u bilježnici, preporučljivo je iste bilješke napraviti olovkom radi preglednosti.

Prepisujemo odgovarajući sustav jednadžbi:

“Uobičajeno” jedino rješenje sustava ovdje ne miriše. Ne postoji ni loša linija. To znači da je ovo treći preostali slučaj – sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Ponekad je pod uvjetom potrebno istražiti kompatibilnost sustava (tj. dokazati da rješenje uopće postoji), o tome možete pročitati u zadnjem odlomku članka Kako pronaći rang matrice? Ali za sada, raščlanimo osnove:

Beskonačni skup rješenja sustava ukratko je zapisan u obliku tzv opće sustavno rješenje .

Opće rješenje sustava pronaći ćemo pomoću obrnutih gibanja Gaussove metode.

Prvo moramo odrediti koje varijable imamo Osnovni, temeljni i koje varijable besplatno. Ne treba se zamarati pojmovima linearne algebre, dovoljno je zapamtiti da takvih ima bazne varijable i slobodne varijable.

Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice.
NA ovaj primjer osnovne varijable su i

Slobodne varijable su sve preostalih varijable koje nisu dobile korak. U našem slučaju postoje dvije: – slobodne varijable.

Sada trebate svi bazne varijable izraziti samo kroz slobodne varijable.

Obrnuti potez Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore.
Iz druge jednadžbe sustava izražavamo osnovnu varijablu:

Sada pogledajte prvu jednadžbu: . Prvo u njega zamjenjujemo pronađeni izraz:

Ostaje izraziti osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli:

Rezultat je ono što vam treba - svi izražene su bazne varijable ( i ). samo kroz slobodne varijable:

Zapravo, opće rješenje je spremno:

Kako zapisati opće rješenje?
Slobodne varijable upisuju se u opće rješenje "sami" i strogo na svojim mjestima. U ovom slučaju slobodne varijable treba napisati na drugom i četvrtom mjestu:
.

Rezultirajući izrazi za osnovne varijable i očito treba biti napisano na prvom i trećem mjestu:

Davanje besplatnih varijabli proizvoljne vrijednosti, ima ih beskonačno mnogo privatne odluke. Najpopularnije vrijednosti su nule, jer je određeno rješenje najlakše dobiti. Zamjena u općem rješenju:

je privatna odluka.

Jedan je još jedan slatki par, zamijenimo ga u opće rješenje:

je još jedno posebno rješenje.

Lako je vidjeti da sustav jednadžbi ima beskonačno mnogo rješenja(budući da možemo dati slobodne varijable bilo koji vrijednosti)

Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakome jednadžba sustava. To je osnova za "brzu" provjeru ispravnosti rješenja. Uzmimo, na primjer, određeno rješenje i zamijenimo ga u lijevu stranu svake jednadžbe u izvornom sustavu:

Sve se mora spojiti. I s bilo kojim posebnim rješenjem koje dobijete, sve bi se također trebalo spojiti.

Ali, strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad vara; neko posebno rješenje može zadovoljiti svaku jednadžbu sustava, a samo opće rješenje je zapravo pogrešno pronađeno.

Stoga je provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija. Kako provjeriti dobiveno opće rješenje ?

Lako je, ali prilično zamorno. Moramo uzeti izraze Osnovni, temeljni varijable, u ovom slučaju i , i zamijenite ih u lijevu stranu svake jednadžbe sustava.

Na lijevoj strani prve jednadžbe sustava:

Na lijevoj strani druge jednadžbe sustava:

Dobiva se desna strana izvorne jednadžbe.

Primjer 4

Riješite sustav Gaussovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva privatna rješenja. Provjerite cjelokupno rješenje.

Ovo je "uradi sam" primjer. Ovdje je, inače, opet broj jednadžbi manji od broja nepoznanica, što znači da je odmah jasno da će sustav ili biti nekonzistentan ili imati beskonačan broj rješenja. Što je važno u samom procesu odlučivanja? Pažnja, pa opet pažnja. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I još par primjera za učvršćivanje gradiva

Primjer 5

Riješite sustav linearnih jednadžbi. Ako sustav ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje

Odluka: Napišimo proširenu matricu sustava i uz pomoć elementarnih transformacija dovedemo je do oblika koraka:

(1) Dodajte prvi redak drugom retku. Trećem retku dodajemo prvi red pomnožen sa 2. Četvrtom retku dodajemo prvi red pomnožen sa 3.
(2) Trećem retku dodajte drugi red, pomnožen s -5. Četvrtom retku dodajemo drugi redak, pomnožen sa -7.
(3) Treći i četvrti red su isti, jedan od njih brišemo.

Evo takve ljepote:

Bazične varijable sjede na stepenicama, tako da su osnovne varijable.
Postoji samo jedna slobodna varijabla koja nije dobila korak:

Obrnuti potez:
Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodne varijable:
Iz treće jednadžbe:

Razmotrimo drugu jednadžbu i zamijenimo pronađeni izraz u nju:

Razmotrimo prvu jednadžbu i zamijenimo pronađene izraze i u nju:

Da, kalkulator koji broji obične razlomke je još uvijek prikladan.

Dakle, opće rješenje je:

Još jednom, kako se to dogodilo? Slobodna varijabla je sama na svom pravom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable , također su zauzeli svoja redna mjesta.

Odmah provjerimo opće rješenje. Posao za crnce, ali ja sam to već napravio, pa uhvati =)

Zamjenjujemo tri heroja , , u lijevu stranu svake jednadžbe sustava:

Dobivaju se odgovarajuće desne strane jednadžbi, pa je opće rješenje ispravno pronađeno.

Sada iz pronađenog općeg rješenja dobivamo dva posebna rješenja. Ovdje je kuhar jedina besplatna varijabla. Ne trebate razbijati glavu.

Neka onda je privatna odluka.
Neka , Tada je još jedno posebno rješenje.

Odgovor: Zajednička odluka: , posebna rješenja: , .

Nisam se trebao sjetiti crnaca ovdje ... ... jer su mi u glavi dolazili razni sadistički motivi i sjetio sam se poznate fotozhabe, na kojoj Ku Klux Klansci u bijelim kombinezonima trče terenom nakon crnog nogometa igrač. Sjedim i tiho se smiješim. Znate kako ometa…

Mnogo matematike je štetno, pa sličan završni primjer za samostalno rješenje.

Primjer 6

Naći opće rješenje sustava linearnih jednadžbi.

Opće rješenje sam već provjerio, odgovoru se može vjerovati. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja, glavno je da se opća rješenja podudaraju.

Vjerojatno su mnogi primijetili neugodan trenutak u rješenjima: vrlo često, tijekom obrnutog tijeka Gaussove metode, morali smo petljati s obični razlomci. U praksi je to točno, slučajevi u kojima nema razlomaka su puno rjeđi. Budite psihički spremni, i što je najvažnije, tehnički.

Zadržat ću se na nekim značajkama rješenja koje nisu pronađene u riješenim primjerima.

Opće rješenje sustava ponekad može uključivati konstantu (ili konstante), na primjer: . Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka konstantnom broju: . Nema ništa egzotično u ovome, događa se. Očito je da će u ovom slučaju svako određeno rješenje sadržavati peticu na prvoj poziciji.

Rijetko, ali postoje sustavi u kojima broj jednadžbi više količine varijable. Gaussova metoda radi u najtežim uvjetima, potrebno je mirno dovesti proširenu matricu sustava u stepenasti oblik prema standardnom algoritmu. Takav sustav može biti nedosljedan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati jedinstveno rješenje.

Zadatak usluge. Online kalkulator je dizajniran za proučavanje sustava linearnih jednadžbi. Obično je u stanju problema potrebno pronaći opće i posebno rješenje sustava. Pri proučavanju sustava linearnih jednadžbi rješavaju se sljedeći problemi:

je li sustav kolaborativan;
ako je sustav konzistentan, onda je određen ili neodređen (kriterij kompatibilnosti sustava određen je teoremom);
ako je sustav definiran, kako pronaći njegovo jedinstveno rješenje (koristi se Cramerova metoda, metoda inverzne matrice ili Jordan-Gaussova metoda);
ako je sustav neodređen, kako onda opisati skup njegovih rješenja.

Klasifikacija sustava linearnih jednadžbi

Proizvoljni sustav linearnih jednadžbi ima oblik:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Sustavi linearnih nehomogenih jednadžbi (broj varijabli jednak je broju jednadžbi, m = n).
Proizvoljni sustavi linearnih nehomogenih jednadžbi (m > n ili m< n).

Definicija. Rješenje sustava je bilo koji skup brojeva c 1 ,c 2 ,...,c n , čija zamjena u sustav umjesto odgovarajućih nepoznanica pretvara svaku jednadžbu sustava u identitet.

Definicija. Za dva sustava se kaže da su ekvivalentna ako je rješenje za prvi rješenje za drugi i obrnuto.

Definicija. Zove se sustav koji ima barem jedno rješenje zgloba. Sustav koji nema nikakvo rješenje naziva se nedosljednim.

Definicija. Zove se sustav s jedinstvenim rješenjem izvjesni, a imati više od jednog rješenja je neodređeno.

Algoritam za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Pronađite rangove glavne i proširene matrice. Ako nisu jednaki, onda je, prema Kronecker-Capellijevom teoremu, sustav nedosljedan i tu studija završava.
Neka je rang(A) = rang(B) . Odabiremo osnovni mol. U ovom slučaju svi nepoznati sustavi linearnih jednadžbi podijeljeni su u dvije klase. Nepoznate, čiji koeficijenti ulaze u osnovni minor, nazivaju se zavisnima, a nepoznanice čiji koeficijenti nisu uključeni u osnovni minor nazivaju se slobodnim. Imajte na umu da izbor ovisnih i slobodnih nepoznanica nije uvijek jedinstven.
Precrtavamo one jednadžbe sustava čiji koeficijenti nisu uključeni u osnovni minor, jer su posljedice ostatka (prema osnovnom molskom teoremu).
Članovi jednadžbi koje sadrže slobodne nepoznanice prenijet će se na desnu stranu. Kao rezultat, dobivamo sustav od r jednadžbi s r nepoznanica, ekvivalentan zadanoj, čija je determinanta različita od nule.
Rezultirajući sustav rješava se na jedan od sljedećih načina: Cramerova metoda, metoda inverzne matrice ili Jordan-Gaussova metoda. Pronađene su relacije koje izražavaju zavisne varijable u terminima slobodnih.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) nedvojbeno je najvažnija tema kolegija linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ovi čimbenici objašnjavaju razlog za stvaranje ovog članka. Materijal članka odabran je i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sustava linearnih algebarskih jednadžbi,
proučavati teoriju odabrane metode,
riješite svoj sustav linearnih jednadžbi, detaljno razmotrivši rješenja tipičnih primjera i zadataka.

Kratak opis materijala članka.

Dajmo prvo sve potrebne definicije, pojmove i uvesti notaciju.

Zatim se razmatraju metode rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, usredotočimo se na Cramerovu metodu, drugo, prikazat ćemo matričnu metodu za rješavanje takvih sustava jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda sukcesivnog eliminiranja nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE-ova na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi opći pogled, u kojem se broj jednadžbi ne podudara s brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sustava degenerirana. Formuliramo Kronecker-Capellijev teorem koji nam omogućuje da utvrdimo kompatibilnost SLAE-ova. Analizirajmo rješenje sustava (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Obavezno se zadržite na strukturi općeg rješenja homogenih i nehomogenih sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Dajmo pojam temeljnog sustava rješenja i pokažimo kako se opće rješenje SLAE piše pomoću vektora temeljnog sustava rješenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

Zaključno, razmatramo sustave jednadžbi koji se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, pojmovi, oznake.

Razmotrit ćemo sustave p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni članovi (također realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik SLAE se zove Koordinirati.

NA matrični oblik ovaj sustav jednadžbi ima oblik ,
gdje - glavna matrica sustava, - matrica-stupac nepoznatih varijabli, - matrica-stupac slobodnih članova.

Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova, tada dobivamo tzv. proširena matrica sustavi linearnih jednadžbi. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostatka stupaca, tj.

Rješavanjem sustava linearnih algebarskih jednadžbi naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji pretvara sve jednadžbe sustava u identitete. Matrična jednadžba za zadane vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.

Ako sustav jednadžbi ima barem jedno rješenje, onda se zove zgloba.

Ako sustav jednadžbi nema rješenja, onda se zove nespojivo.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove izvjesni; ako postoji više od jednog rješenja, onda - neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednadžbi sustava jednaki nuli , tada se sustav poziva homogena, inače - heterogena.

Rješenje elementarnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Ako je broj jednadžbi sustava jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ćemo takve SLAE zvati elementarno. Takvi sustavi jednadžbi imaju jedinstveno rješenje, a u slučaju homogenog sustava sve su nepoznate varijable jednake nuli.

Počeli smo proučavati takve SLAE u Srednja škola. Prilikom njihovog rješavanja uzeli smo jednu jednadžbu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednadžbe, zatim uzeli sljedeću jednadžbu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednadžbe i tako dalje. Ili su koristili metodu zbrajanja, odnosno dodali dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, budući da su one u biti modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sustava linearnih jednadžbi su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Razvrstajmo ih.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Trebamo riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi

u kojoj je broj jednadžbi jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sustava je različita od nule, odnosno .

Neka je determinanta glavne matrice sustava, i su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n stupcu odnosno koloni slobodnih članova:

Uz takvu notaciju, nepoznate varijable izračunavaju se po formulama Cramerove metode kao . Tako se Cramerovom metodom pronalazi rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Cramerova metoda .

Odluka.

Glavna matrica sustava ima oblik . Izračunajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Budući da je determinanta glavne matrice sustava različita od nule, sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći Cramerovom metodom.

Sastavite i izračunajte potrebne determinante (determinanta se dobiva zamjenom prvog stupca u matrici A stupcem slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih članova, - zamjenom trećeg stupca matrice A stupcem slobodnih članova ):

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

Odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednadžbi sustava veći od tri.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sustav linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n po n, a njezina determinanta nije nula.

Budući da je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako oba dijela jednakosti pomnožimo s lijevo, onda ćemo dobiti formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo matričnom metodom dobili rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Riješite sustav linearnih jednadžbi matrična metoda.

Odluka.

Prepišimo sustav jednadžbi u matričnom obliku:

Kao

tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sustava može se pronaći kao .

Izgradimo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matrici-stupcu slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

Odgovor:

ili u drugom zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem u pronalaženju rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje za sustav od n linearnih jednadžbi s n nepoznatih varijabli
čija je determinanta glavne matrice različita od nule.

Bit Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isključenju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednadžbi. Takav proces transformacije jednadžbi sustava za uzastopno eliminiranje nepoznatih varijabli naziva se izravna Gaussova metoda. Nakon što se završi napredovanje Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednadžbe, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednadžbe koristeći ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednadžbe. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku s posljednje jednadžbe sustava na prvu naziva se obrnuta Gaussova metoda.

Opišimo ukratko algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sustava. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge. Da biste to učinili, dodajte prvu jednadžbu pomnoženu s drugoj jednadžbi sustava, dodajte prvu pomnoženu s trećom jednadžbom i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu s n-toj jednadžbi. Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje .

Do istog bismo rezultata došli kada bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednadžbi sustava i zamijenili rezultirajući izraz u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednadžbi, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sustava, koji je označen na slici

Da biste to učinili, dodajte drugu jednadžbu pomnoženu s trećoj jednadžbi sustava, dodajte drugu pomnoženu s četvrtoj jednadžbi i tako dalje, dodajte drugu pomnoženu s n-toj jednadžbi. Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednadžbi, počevši od treće.

Zatim nastavljamo s eliminacijom nepoznatog x 3, a isto tako postupamo s dijelom sustava označenim na slici

Tako nastavljamo izravni tijek Gaussove metode sve dok sustav ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuti tijek Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednadžbe kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prva jednadžba.

Primjer.

Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussova metoda.

Odluka.

Izuzmimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednadžbe sustava. Da bismo to učinili, na oba dijela druge i treće jednadžbe dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednadžbe, pomnožene s, odnosno s:

Sada isključujemo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevog i desnog dijela druge jednadžbe lijevim i desnim dijelovima druge jednadžbe, pomnoženim s:

Na tome je završen smjer naprijed Gaussove metode, počinjemo obrnuti tečaj.

Iz posljednje jednadžbe rezultirajućeg sustava jednadžbi nalazimo x 3:

Iz druge jednadžbe dobivamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tijek Gaussove metode.

Odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

U općem slučaju, broj jednadžbi sustava p ne podudara se s brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova tvrdnja vrijedi i za sustave jednadžbi čija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.

Kronecker-Capellijev teorem.

Prije pronalaska rješenja sustava linearnih jednadžbi potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan, daje Kronecker–Capellijev teorem:
da bi sustav p jednadžbi s n nepoznanica (p može biti jednako n ) bio konzistentan potrebno je i dovoljno da je rang glavne matrice sustava jednak rangu proširene matrice, odnosno Rank( A) = Rang (T) .

Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijevog teorema za određivanje kompatibilnosti sustava linearnih jednadžbi.

Primjer.

Saznajte ima li sustav linearnih jednadžbi rješenja.

Odluka.

. Poslužimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Idemo preko maloljetnika trećeg reda koji ga okružuju:

Budući da su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice jednako je tri, budući da je minor trećeg reda

različito od nule.

Tako, Rang(A) , dakle, prema Kronecker-Capellijevom teoremu, možemo zaključiti da je izvorni sustav linearnih jednadžbi nekonzistentan.

Odgovor:

Ne postoji sustav rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sustava koristeći Kronecker-Capellijev teorem.

Ali kako pronaći rješenje SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Za to nam je potreban koncept baznog minora matrice i teorem o rangu matrice.

Zove se minor najvišeg reda matrice A, osim nule Osnovni, temeljni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za matricu A koja nije nula, može postojati nekoliko osnovnih minora; uvijek postoji jedan osnovni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, budući da su elementi trećeg retka ove matrice zbroj odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, budući da su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorem o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n r, tada se svi elementi redaka (i stupaca) matrice koji ne tvore odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata redaka (i stupaca) ) koji čine osnovni mol.

Što nam daje teorem o rangu matrice?

Ako smo Kronecker-Capellijevim teoremom utvrdili kompatibilnost sustava, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sustava (njegov red je jednak r), a iz sustava isključujemo sve jednadžbe koje ne odgovaraju tvore izabrani osnovni mol. Ovako dobivena SLAE bit će ekvivalentna izvornoj, budući da su odbačene jednadžbe još uvijek suvišne (prema teoremu o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednadžbi).

Kao rezultat, nakon odbacivanja prekomjernih jednadžbi sustava moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednadžbi r u rezultirajućem sustavu jednak broju nepoznatih varijabli, tada će ona biti definitivna i jedino se rješenje može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

Odluka.

Rang glavne matrice sustava jednako je dva, budući da je minor drugog reda različit od nule. Prošireni rang matrice također je jednako dva, budući da je jedini minor trećeg reda jednak nuli

a minor drugog reda razmatranog gore je različit od nule. Na temelju Kronecker-Capellijevog teorema, može se ustvrditi kompatibilnost izvornog sustava linearnih jednadžbi, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao osnovni mol, uzimamo . Formiran je koeficijentima prve i druge jednadžbe:

Treća jednadžba sustava ne sudjeluje u formiranju osnovnog minora, pa je isključujemo iz sustava na temelju teorema o rangu matrice:

Dakle, dobili smo elementarni sustav linearne algebarske jednadžbe. Riješimo ga Cramerovom metodom:

Odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednadžbi r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada ostavljamo članove koji čine osnovni minor u lijevim dijelovima jednadžbe, a preostale članove prenosimo u desne dijelove jednadžbe sustav sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (ima ih r) koje su ostale na lijevoj strani jednadžbe nazivaju se glavni.

Nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su završile na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov se izraz može pronaći rješavanjem rezultirajuće SLAE Cramer metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi .

Odluka.

Pronađite rang glavne matrice sustava metodom graničnih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda različit od nule. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor:

Tako smo pronašli minor koji nije nula drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:

Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je također jednak tri, odnosno sustav je dosljedan.

Pronađeni minor trećeg reda različit od nule uzet će se kao osnovni.

Radi jasnoće prikazujemo elemente koji čine osnovni mol:

Članove koji sudjeluju u osnovnom minoru ostavljamo na lijevoj strani jednadžbe sustava, a ostale s suprotnim predznacima prenosimo na desne strane:

Dajemo slobodne nepoznate varijable x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE poprima oblik

Dobiveni elementarni sustav linearnih algebarskih jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom:

Stoga, .

U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

Odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Rezimirati.

Kako bismo riješili sustav linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika, prvo ćemo utvrditi njegovu kompatibilnost pomoću Kronecker-Capellijevog teorema. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, tada zaključujemo da je sustav nekonzistentan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sustava koje ne sudjeluju u formiranju odabranog osnovnog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može pronaći bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je redoslijed osnovnog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani jednadžbi sustava ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti na slobodne nepoznate varijable. Iz dobivenog sustava linearnih jednadžbi nalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

Koristeći Gaussovu metodu, moguće je riješiti sustave linearnih algebarskih jednadžbi bilo koje vrste bez njihovog preliminarnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces uzastopnog isključivanja nepoznatih varijabli omogućuje donošenje zaključka o kompatibilnosti i nedosljednosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućuje ga pronalaženje.

Sa stajališta računskog rada, Gaussova metoda je poželjnija.

Gledaj Detaljan opis i analizirali primjere u članku Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

Zapisivanje općeg rješenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sustava pomoću vektora temeljnog sustava rješenja.

U ovom dijelu ćemo se usredotočiti na zajedničke homogene i nehomogene sustave linearnih algebarskih jednadžbi koje imaju beskonačan broj rješenja.

Prvo se pozabavimo homogenim sustavima.

Temeljni sustav odlučivanja homogenog sustava p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno neovisnih rješenja ovog sustava, gdje je r red baznog minora glavne matrice sustava.

Ako linearno neovisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su matrice stupaca dimenzija n s 1 ) , tada se opće rješenje ovog homogenog sustava predstavlja kao linearna kombinacija vektora temeljnog sustava rješenja s proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1 , S 2 , …, S (n-r), odnosno .

Što znači pojam opće rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula postavlja sve moguća rješenja originalni SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti S 1 , S 2 , …, S (n-r) , prema formuli dobivamo jedno od rješenja izvorne homogene SLAE.

Dakle, ako pronađemo temeljni sustav rješenja, onda možemo postaviti sva rješenja ove homogene SLAE kao .

Pokažimo proces konstruiranja temeljnog sustava rješenja za homogenu SLAE.

Odabiremo osnovni minor izvornog sustava linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednadžbe iz sustava i prenosimo na desnu stranu jednadžbi sustava suprotnih predznaka sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sustava linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Tako će se dobiti X (1) – prvo rješenje temeljnog sustava. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, onda ćemo dobiti X (2) . itd. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznanice, onda ćemo dobiti X (n-r) . Tako će se konstruirati temeljni sustav rješenja homogene SLAE i njegovo opće rješenje može se zapisati u obliku .

Za nehomogene sustave linearnih algebarskih jednadžbi opće rješenje je predstavljeno kao

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite temeljni sustav rješenja i opće rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi .

Odluka.

Rang glavne matrice homogenih sustava linearnih jednadžbi uvijek je jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom rubnih minora. Kao nenulti minor prvog reda uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sustava. Pronađite granični minor koji nije nula drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji ga graniče u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice dva. Uzmimo osnovni mol. Radi jasnoće, bilježimo elemente sustava koji ga čine:

Treća jednadžba izvorne SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog minora, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo temeljni sustav rješenja izvornog homogenog sustava linearnih jednadžbi. Temeljni sustav rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, budući da izvorni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a redoslijed njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, zatim pronalazimo glavne nepoznanice iz sustava jednadžbi
.