Nađite kut između izravnih zadanih jednadžbi. Kut između linija

Definicija. Ako su zadana dva pravca y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će oštar kut između ovih pravaca biti definiran kao

Dva su pravca paralelna ako je k 1 = k 2 . Dva su pravca okomita ako je k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Ravne linije Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je također S 1 = λS, tada se linije poklapaju. Koordinate točke presjeka dvaju pravaca nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi tih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku

Okomito na ovu liniju

Definicija. Pravac koji prolazi točkom M 1 (x 1, y 1) i okomit na pravu y = kx + b predstavljen je jednadžbom:

Udaljenost od točke do linije

Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do pravca Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao

Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) baza okomice spuštene iz točke M na zadani pravac. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku M 0 okomito na zadanu ravnu crtu. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1) nalazimo:

Teorem je dokazan.

Primjer. Odredi kut između pravaca: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primjer. Pokažite da su pravci 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomiti.

Odluka. Nalazimo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nađite jednadžbu za visinu izvučenu iz vrha C.

Odluka. Pronalazimo jednadžbu stranice AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Željena jednadžba visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi točkom C, tada njezine koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u danom smjeru. Jednadžba ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke. Kut između dvije linije. Uvjet paralelnosti i okomitosti dvaju pravih. Određivanje točke presjeka dvaju pravih

1. Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku A(x 1 , y 1) u određenom smjeru, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednadžba definira olovku linija koje prolaze kroz točku A(x 1 , y 1), koji se naziva središtem grede.

2. Jednadžba ravne koja prolazi kroz dvije točke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2) piše se ovako:

Nagib ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke određuje se formulom

3. Kut između ravnih linija A i B je kut za koji se prva ravna crta mora zarotirati A oko točke presjeka ovih pravaca u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi s drugom linijom B. Ako su dva pravca data jednadžbama nagiba

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tada je kut između njih određen formulom

Treba napomenuti da se u brojniku razlomka nagib prve ravne crte oduzima od nagiba druge ravne crte.

Ako su jednadžbe ravne dane u opći pogled

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

kut između njih određen je formulom

4. Uvjeti za paralelnost dva prava:

a) Ako su pravci zadani jednadžbama (4) s nagibom, tada je nužan i dovoljan uvjet za njihov paralelizam jednakost njihovih nagiba:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za slučaj kada su pravci zadani jednadžbama u općem obliku (6), nužan i dovoljan uvjet za njihovu paralelnost je da su koeficijenti na odgovarajućim strujnim koordinatama u njihovim jednadžbama proporcionalni, t.j.

5. Uvjeti za okomitost dva prava:

a) U slučaju kada su linije zadane jednadžbama (4) s nagibom, nužan i dovoljan uvjet za njihovu okomitost je da faktori nagiba recipročne su veličine i suprotne po predznaku, t.j.

Ovaj uvjet se također može napisati u obliku

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ako su jednadžbe pravih zadane u općem obliku (6), tada je uvjet za njihovu okomitost (nužan i dovoljan) ispunjenje jednakosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinate točke presjeka dvaju pravaca nalaze se rješavanjem sustava jednadžbi (6). Pravci (6) sijeku se ako i samo ako

1. Napišite jednadžbe pravaca koji prolaze točkom M, od kojih je jedan paralelan, a drugi okomit na zadani pravac l.

kutu između ravnih linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih kutova koji čine dvije ravne linije povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podacima.

Neka su u prostoru zadane dvije ravne:

Očito se kut φ između linija može uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , Tada prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

Uvjeti paralelizma i okomitosti dvaju pravih jednaki su uvjetima paralelnosti i okomitosti njihovih vektora smjera i:

Dvije ravno su paralelne ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, t.j. l 1 paralela l 2 ako i samo ako je paralelno .

Dvije ravno okomito ako i samo ako je zbroj umnožaka odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .

Na cilj između linije i ravnine

Neka linija d- nije okomito na ravninu θ;
d′− projekcija ravne linije d na ravninu θ;
Najmanji od kutova između ravnih linija d i d′ nazvat ćemo kut između prave i ravnine.
Označimo to kao φ=( d,θ)
Ako je a d⊥θ , tada ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− pravokutni koordinatni sustav.
Jednadžba ravnine:

θ: Sjekira+Po+cz+D=0

Smatramo da je pravac dana točkom i vektorom smjera: d[M 0,str→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Zatim ostaje saznati kut između vektora n→ i str→, označimo ga kao γ=( n→,str→).

Ako je kut γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ako je kut γ>π/2, tada je traženi kut φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Zatim, kut između prave i ravnine može se izračunati pomoću formule:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+k.č 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23

Pitanje 29. Pojam kvadratnog oblika. Znak-određenost kvadratnih oblika.

Kvadratni oblik j (x 1, x 2, ..., x n) n realnih varijabli x 1, x 2, ..., x n naziva se zbroj oblika
, (1)

gdje aij su neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti. Bez gubljenja općenitosti, možemo pretpostaviti da aij = a ji.

Kvadratni oblik se zove valjano, ako aij O GR. Matrica kvadratnog oblika naziva se matrica sastavljena od njegovih koeficijenata. Kvadratični oblik (1) odgovara jedinstvenoj simetričnoj matrici
tj. A T = A. Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( x) = x T Ah, gdje x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

I obrnuto, svaka simetrična matrica (2) odgovara jedinstvenom kvadratnom obliku do zapisa varijabli.

Rang kvadratnog oblika naziva se rangom njegove matrice. Kvadratni oblik se zove nedegeneriran, ako je njegova matrica nesingularna ALI. (podsjetimo da je matrica ALI naziva se nedegeneriranim ako njegova determinanta nije nula). Inače, kvadratni oblik je degeneriran.

pozitivno određeno(ili strogo pozitivno) ako

j ( x) > 0 , za bilo koga x = (x 1 , x 2 , …, x n), osim x = (0, 0, …, 0).

Matrica ALI pozitivno određeni kvadratni oblik j ( x) naziva se i pozitivno određen. Stoga, pozitivno određeni kvadratni oblik odgovara jedinstvenoj pozitivno određenoj matrici i obrnuto.

Kvadratni oblik (1) naziva se negativno određeno(ili strogo negativan) ako

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), Osim x = (0, 0, …, 0).

Slično kao gore, negativno-definirana kvadratna matrica se također naziva negativno-definirana.

Stoga je pozitivno (negativno) određen kvadratni oblik j ( x) dosegne minimalnu (maksimalnu) vrijednost j ( X*) = 0 for X* = (0, 0, …, 0).

Imajte na umu da većina kvadratnih oblika nije predznakom određena, odnosno nisu ni pozitivni ni negativni. Takvi kvadratni oblici nestaju ne samo u ishodištu koordinatnog sustava, već iu drugim točkama.

Kada n> 2, potrebni su posebni kriteriji za provjeru predznačne određenosti kvadratnog oblika. Razmotrimo ih.

Major Maloljetnici kvadratni oblici nazivaju se minori:

odnosno radi se o maloljetnicima reda 1, 2, …, n matrice ALI nalazi u lijevoj gornji kut, posljednji od njih se poklapa s determinantom matrice ALI.

Kriterij pozitivne određenosti (Sylvesterov kriterij)

x) = x T Ah je pozitivno određen, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori matrice ALI bili pozitivni, odnosno: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterij negativne sigurnosti Da bi kvadratni oblik j ( x) = x T Ah je negativno određen, potrebno je i dovoljno da njegovi glavni minori parnog reda budu pozitivni, a neparni negativni, tj.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

KUT IZMEĐU RAVNINA

Razmotrimo dvije ravnine α 1 i α 2 dane jednadžbama:

Pod, ispod kutu između dvije ravnine razumjet ćemo jednu od diedralni kutovi formirane od ovih ravnina. Očito je da je kut između vektora normale i ravnina α 1 i α 2 jednak jednom od navedenih susjednih diedralnih kutova ili . Tako . Jer i , onda

Primjer. Odredite kut između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.

Uvjet paralelnosti dviju ravnina.

Dvije ravnine α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori i paralelni, te stoga .

Dakle, dvije ravnine su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti na odgovarajućim koordinatama proporcionalni:

ili

Uvjet okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravnine okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .

Tako, .

Primjeri.

IZRAVNO U PROSTORU.

VEKTORSKA JEDNADŽBA IZRAVNO.

PARAMETRIJSKE JEDNADŽBE IZRAVNO

Položaj ravne crte u prostoru u potpunosti je određen navođenjem bilo koje njezine fiksne točke M 1 i vektor paralelan s ovom pravom.

Vektor paralelan s ravnom linijom naziva se vođenje vektor ove linije.

Pa neka ravno l prolazi kroz točku M 1 (x 1 , y 1 , z 1) leži na pravoj liniji paralelnoj s vektorom .

Razmotrite proizvoljnu točku M(x,y,z) na ravnoj liniji. Iz slike se vidi da .

Vektori i su kolinearni, pa postoji takav broj t, što , gdje je množitelj t može poprimiti bilo koju brojčanu vrijednost ovisno o položaju točke M na ravnoj liniji. Faktor t naziva se parametar. Označavanje radijus vektora točaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobivamo . Ova se jednadžba zove vektor jednadžba ravne linije. Pokazuje da je svaka vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke točke M ležeći na ravnoj liniji.

Ovu jednadžbu zapisujemo u koordinatnom obliku. Primijeti da , i odavde

Rezultirajuće jednadžbe se nazivaju parametarski pravocrtne jednadžbe.

Prilikom promjene parametra t mijenjaju se koordinate x, y i z i točka M kreće se pravocrtno.

KANONIČKE JEDNADŽBE IZRAVNO

Neka bude M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - točka koja leži na ravnoj liniji l, i je njegov vektor smjera. Opet uzmite proizvoljnu točku na ravnoj crti M(x,y,z) i razmotrimo vektor .

Jasno je da su vektori i kolinearni, tako da njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle

– kanonski pravocrtne jednadžbe.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe pravca mogu dobiti iz parametarskih jednadžbi eliminacijom parametra t. Doista, iz parametarskih jednadžbi dobivamo ili .

Primjer. Napišite jednadžbu ravne linije na parametarski način.

Označiti , stoga x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je pravac okomit na jednu od koordinatnih osi, na primjer, os Vol. Tada je vektor smjera pravca okomit Vol, stoga, m=0. Posljedično, parametarske jednadžbe ravne crte imaju oblik

Eliminiranje parametra iz jednadžbi t, dobivamo jednadžbe ravne u obliku

Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednadžbe ravne u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, onda to znači da je pravac okomita na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično, kanonske jednadžbe odgovara ravnoj liniji okomitoj na osi Vol i Oy ili paralelne osi Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNADŽBE PRAVA PRAVA KAO PRAVA presjeka dviju ravnina

Kroz svaku ravnu liniju u prostoru prolazi beskonačan broj ravnina. Bilo koja dva od njih, križajući se, definiraju ga u prostoru. Stoga su jednadžbe bilo koje dvije takve ravnine, promatrane zajedno, jednadžbe ovog pravca.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravnine zadane općim jednadžbama

odrediti njihovu liniju raskrižja. Ove se jednadžbe nazivaju opće jednadžbe ravno.

Primjeri.

Konstruirajte ravnu liniju zadanu jednadžbama

Za konstruiranje pravca dovoljno je pronaći bilo koje dvije njegove točke. Najlakši način je odabrati točke presjeka pravca s koordinatnim ravninama. Na primjer, točka presjeka s ravninom xOy dobivamo iz jednadžbi ravne, uz pretpostavku z= 0:

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo točku M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobivamo točku presjeka pravca s ravninom xOz:

Od općih jednadžbi ravne linije može se prijeći na njezine kanonske ili parametarske jednadžbe. Da biste to učinili, morate pronaći neku točku M 1 na liniji i vektor smjera pravca.

Koordinate točke M 1 dobivamo iz ovog sustava jednadžbi, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora i . Dakle, za vektor smjera ravne l možete uzeti križni proizvod normalnih vektora:

Primjer. Dajte opće jednadžbe ravne linije kanonskom obliku.

Pronađite točku na pravoj liniji. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sustav jednadžbi:

Vektori normale ravnina koje definiraju pravac imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. Stoga, l: .

KUT IZMEĐU PRAVA

kutu između ravnih linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih kutova koji čine dvije ravne linije povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podacima.

Neka su u prostoru zadane dvije ravne:

Očito se kut φ između linija može uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , Tada prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

bit ću kratak. Kut između dva pravaca jednak je kutu između njihovih vektora smjera. Dakle, ako uspijete pronaći koordinate vektora smjera a \u003d (x 1; y 1; z 1) i b = (x 2; y 2; z 2), možete pronaći kut. Točnije, kosinus kuta prema formuli:

Pogledajmo kako ova formula funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Točke E i F označene su u kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - središnje točke bridova A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno. Pronađite kut između pravaca AE i BF.

Budući da rub kocke nije specificiran, postavljamo AB = 1. Uvodimo standardni koordinatni sustav: ishodište je u točki A, a osi x, y, z usmjerene su duž AB, AD i AA 1, redom . Jedinični segment je jednak AB = 1. Sada ćemo pronaći koordinate vektora smjera za naše linije.

Pronađite koordinate vektora AE. Da bismo to učinili, potrebne su nam točke A = (0; 0; 0) i E = (0,5; 0; 1). Budući da je točka E sredina odsječka A 1 B 1, njezine su koordinate jednake aritmetičkoj sredini koordinata krajeva. Imajte na umu da se ishodište vektora AE poklapa s ishodištem, pa je AE = (0,5; 0; 1).

Sada se pozabavimo BF vektorom. Slično analiziramo točke B = (1; 0; 0) i F = (1; 0,5; 1), jer F - sredina segmenta B 1 C 1 . Imamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Dakle, vektori smjera su spremni. Kosinus kuta između pravaca je kosinus kuta između vektora smjera, pa imamo:

Zadatak. U pravilnoj trokutnoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čiji su svi bridovi jednaki 1, označene su točke D i E - sredine bridova A 1 B 1 i B 1 C 1, redom. Pronađite kut između pravaca AD i BE.

Uvodimo standardni koordinatni sustav: ishodište je u točki A, os x usmjerena je duž AB, z - duž AA 1 . Os y usmjeravamo tako da se ravnina OXY poklapa s ravninom ABC. Jedinični segment jednak je AB = 1. Pronađite koordinate vektora smjera za željene linije.

Prvo, pronađimo koordinate AD vektora. Razmotrimo točke: A = (0; 0; 0) i D = (0,5; 0; 1), jer D - sredina segmenta A 1 B 1 . Budući da se početak vektora AD podudara s ishodištem, dobivamo AD = (0,5; 0; 1).

Sada pronađimo koordinate vektora BE. Točku B = (1; 0; 0) je lako izračunati. S točkom E - sredinom segmenta C 1 B 1 - malo teže. Imamo:

Ostaje pronaći kosinus kuta:

Zadatak. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, čiji su svi bridovi jednaki 1, označene su točke K i L - sredine bridova A 1 B 1 i B 1 C 1, odnosno. Nađite kut između pravaca AK i BL.

Uvodimo standardni koordinatni sustav za prizmu: ishodište koordinata stavljamo u središte donje baze, usmjeravamo os x duž FC, os y kroz središnje točke segmenata AB i DE, a z-os okomito prema gore. Jedinični segment je opet jednak AB = 1. Napišimo koordinate točaka koje nas zanimaju:

Točke K i L središnje su točke segmenata A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno, pa se njihove koordinate nalaze preko aritmetičke sredine. Poznavajući točke, nalazimo koordinate vektora smjera AK i BL:

Sada pronađimo kosinus kuta:

Zadatak. U desnom četverokutna piramida SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, označene su točke E i F - sredine stranica SB i SC. Pronađite kut između pravaca AE i BF.

Uvodimo standardni koordinatni sustav: ishodište je u točki A, osi x i y usmjerene su duž AB, odnosno AD, a os z usmjerena je okomito prema gore. Jedinični segment je jednak AB = 1.

Točke E i F središnje su točke odsječaka SB i SC, pa se njihove koordinate nalaze kao aritmetička sredina krajeva. Zapisujemo koordinate točaka koje nas zanimaju:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)