Tablica pretvorbe trigonometrijskih funkcija. Osnovne trigonometrijske formule

Trigonometrija je jedna od grana matematike čije se proučavanje usredotočuje na kutove i odnose među njima. Temelji znanosti postavljaju se u školskim godinama, kada se uvode definicije funkcija kuta. U budućnosti se dobivena baza koristi u razvoju astronomije, instrumentacije, arhitekture i drugih područja znanja. Kao i svaka egzaktna znanost, trigonometrija nije potpuna bez formula. Praktična upotreba pronađeni izrazi za definiranje dvostrukog argumenta. Na primjer, pribjegavajući odgovarajućoj jednadžbi, lako se može saznati dvostruki kut sinus.

Trigonometrijski izraz za izračun

Izraz se jednostavno zapisuje i pamti: sinus dvostrukog kuta izračunava se kao dvostruki umnožak sinusa i kosinusa jednog argumenta.

Ova formula je izvedena iz izraza za sinus zbroja kutova ( P 1 + P 2 ) :

grijeh( P 1 + P 2) = grijeh P 1* koz P 1+ grijeh P 2*cos P 2 .

Pod pretpostavkom da zadane kutove jednake jedna drugoj, formula je napisana u uobičajenom obliku.

Možete koristiti izraz za bilo koju vrijednost argumenta funkcije. Izračunavanje dvostrukog kuta sinusa iz njega je prilično jednostavno, primjeri u nastavku pomoći će to provjeriti.

Primjer upotrebe

Evo nekoliko ilustracija primjene dobivene formule. Neka je potrebno izračunati vrijednost trigonometrijske funkcije sinusa kuta jednakog 60 stupnjeva. Odgovarajući pojedinačni kut bio bi 30 stupnjeva. Budući da su poznate vrijednosti sinusa i kosinusa kuta od 30 stupnjeva, dvostruki kut sinusa bit će sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Formula se ne koristi samo za "ručno" izračunavanje, već pomoću nje možete pronaći i vrijednosti pomoću matematičkih paketa ili MS Excel tablica.

Unatoč jednostavnosti trigonometrijskog identiteta, on stvara poteškoće maturantima. Upravo na to računaju programeri USE zadataka, nudeći testove za provjeru osnovnih formula. Zaključak - formulu za izračunavanje dvostrukog kuta sinusa, morate znati napamet!

Najčešća pitanja

Je li moguće izraditi pečat na dokumentu prema priloženom uzorku? Odgovor Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili fotografiju na našu e-mail adresu dobra kvaliteta a mi ćemo napraviti potreban duplikat.

Koje vrste plaćanja prihvaćate? Odgovor Dokument možete platiti u trenutku primitka od strane kurirske službe, nakon što provjerite ispravnost popunjavanja i kvalitetu diplome. To se također može učiniti u uredima poštanskih tvrtki koje nude usluge pouzeća.
Svi uvjeti dostave i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku "Plaćanje i dostava". Spremni smo saslušati i Vaše prijedloge o uvjetima dostave i plaćanja dokumenta.

Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovor Imamo dosta dugo iskustvo u području izrade diploma. Imamo nekoliko stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući preko 10 dokumenata dnevno. Tijekom godina naši su dokumenti pomogli mnogim ljudima da riješe probleme sa zapošljavanjem ili pređu na više visoko plaćen posao. Zaslužili smo povjerenje i priznanje među kupcima, tako da nema razloga da to činimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: plaćate narudžbu u trenutku kada je primite u ruke, nema plaćanja unaprijed.

Mogu li naručiti diplomu s bilo kojeg sveučilišta? Odgovor Općenito, da. Na ovom području radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata koje izdaju gotovo sva sveučilišta u zemlji i inozemstvu. različite godine izdavanje. Sve što trebate je odabrati sveučilište, specijalnost, dokument i ispuniti obrazac za narudžbu.

Što trebam učiniti ako pronađem pravopisne i pogreške u dokumentu? Odgovor Prilikom zaprimanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske tvrtke, preporučamo da pažljivo provjerite sve detalje. Ako se pronađe tipkarska greška, pogreška ili netočnost, imate pravo ne preuzeti diplomu, a uočene nedostatke morate osobno naznačiti kuriru ili u pisanje slanjem pisma na email.
U najkraćem mogućem roku ispravit ćemo dokument i ponovno ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša tvrtka.
Kako bismo izbjegli takve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca šaljemo izgled budućeg dokumenta na mail kupca radi provjere i odobrenja. završna verzija. Prije slanja dokumenta kurirskom ili poštom, također radimo dodatna fotografija i video (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali vizualnu predodžbu o tome što ćete na kraju dobiti.

Što trebate učiniti da biste naručili diplomu svoje tvrtke? Odgovor Za naručivanje dokumenta (svjedodžbe, diplome, akademske svjedodžbe i sl.), morate ispuniti online obrazac za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoju e-mail adresu kako bismo vam poslali upitnik koji trebate ispuniti i poslati natrag k nama.
Ako ne znate što naznačiti u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti telefonom.

Najnovije recenzije

Voljeni:

Spasio si našeg sina od otkaza! Činjenica je da je sin nakon što je napustio školu otišao u vojsku. A kad se vratio, nije se htio oporaviti. Radio bez diplome. Ali nedavno su počeli otpuštati sve koji nemaju “koru. Stoga smo odlučili kontaktirati Vas i nismo požalili! Sada radi mirno i ničega se ne boji! Hvala vam!

Formule dvostrukog kuta koriste se za izražavanje sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa kuta s vrijednošću 2 α pomoću trigonometrijskih funkcija kuta α . Ovaj članak će uvesti sve formule dvostrukog kuta s dokazima. Razmotrit će se primjeri primjene formula. U završnom dijelu bit će prikazane formule za trostruki, četverostruki kut.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Popis formula dvostrukog kuta

Da biste pretvorili formule dvostrukog kuta, zapamtite da kutovi u trigonometriji imaju oblik n α, gdje je n prirodni broj, vrijednost izraza se piše bez zagrada. Stoga se smatra da sin n α ima isto značenje kao sin (n α) . Uz oznaku sin n α imamo sličnu oznaku (sin α) n . Korištenje zapisa primjenjivo je na sve trigonometrijske funkcije s ovlastima n.

Sljedeće su formule dvostrukog kuta:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Imajte na umu da su ove sin i cos formule primjenjive na bilo koju vrijednost kuta α. Formula za tangentu dvostrukog kuta vrijedi za bilo koju vrijednost α, gdje t g 2 α ima smisla, to jest, α ≠ π 4 + π 2 · z, z je bilo koji cijeli broj. Kotangens dvostrukog kuta postoji za bilo koji α , gdje je c t g 2 α definiran na α ≠ π 2 · z .

Kosinus dvostrukog kuta ima trostruki zapis dvostrukog kuta. Svi su primjenjivi.

Dokaz formula dvostrukog kuta

Dokaz formula potječe iz formula za zbrajanje. Primjenjujemo formule za sinus zbroja:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β i kosinus zbroja cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Pretpostavimo da je β = α , tada dobivamo to

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α i cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Dakle, dokazane su formule za sinus i kosinus dvostrukog kuta sin 2 α \u003d 2 sin α cos α i cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Odmor cos formule 2 α = 1 - 2 sin 2 α i cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 dovode do oblika cos 2 α \u003d cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, kada se 1 zamijeni zbrojem kvadrata prema glavnom identitetu sin 2 α + cos 2 α = 1 . Dobivamo da je sin 2 α + cos 2 α = 1. Dakle 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α i 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Da bismo dokazali formule za dvostruki kut tangente i kotangensa, primjenjujemo jednakosti t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α i c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. Nakon transformacije dobivamo da je t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α i c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α = cos 2 α sin 2 α 2 · sin α · cos α . Podijelite izraz s cos 2 α gdje je cos 2 α ≠ 0 s bilo kojom vrijednošću α kada je t g α definiran. Drugi izraz podijelite s sin 2 α , gdje je sin 2 α ≠ 0 s bilo kojom vrijednošću α , kada c t g 2 α ima smisla. Da bismo dokazali formulu dvostrukog kuta za tangentu i kotangens, zamjenjujemo i dobivamo:

- sigurno će biti zadataka iz trigonometrije. Trigonometrija se često ne sviđa jer mora trpati ogroman broj teških formula koje vrve sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima. Stranica je već jednom dala savjete kako zapamtiti zaboravljenu formulu, na primjeru formula Euler i Peel.

I u ovom članku pokušat ćemo pokazati da je dovoljno čvrsto poznavati samo pet najjednostavnijih trigonometrijske formule, a o ostalom da imate opću ideju i prikažete ih dok idete. To je kao s DNK: potpuni crteži gotovog živog bića nisu pohranjeni u molekuli. Sadrži, dapače, upute za sastavljanje od dostupnih aminokiselina. Tako je i u trigonometriji, znajući nešto generalni principi, sve potrebne formule dobit ćemo iz malog skupa onih koje moramo imati na umu.

Osloniti ćemo se na sljedeće formule:

Iz formula za sinus i kosinus zbroja, znajući da je kosinusna funkcija parna i da je sinusna funkcija neparna, zamjenjujući -b za b, dobivamo formule za razlike:

1. Sinus razlike: grijeh(a-b) = grijehacos(-b)+cosagrijeh(-b) = grijehacosb-cosagrijehb
2. kosinusna razlika: cos(a-b) = cosacos(-b)-grijehagrijeh(-b) = cosacosb+grijehagrijehb

Stavljajući a \u003d b u iste formule, dobivamo formule za sinus i kosinus dvostrukih kutova:

1. Sinus dvostrukog kuta: grijeh2a = grijeh(a+a) = grijehacosa+cosagrijeha = 2grijehacosa
2. Kosinus dvostrukog kuta: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grijehagrijeha = cos2a-grijeh2a

Formule za druge višestruke kutove dobivaju se na sličan način:

1. Sinus trostrukog kuta: grijeh3a = grijeh(2a+a) = grijeh2acosa+cos2agrijeha = (2grijehacosa)cosa+(cos2a-grijeh2a)grijeha = 2grijehacos2a+grijehacos2a-grijeh 3 a = 3 grijehacos2a-grijeh 3 a = 3 grijeha(1-grijeh2a)-grijeh 3 a = 3 grijeha-4grijeh 3a
2. Kosinus trostrukog kuta: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grijeh2agrijeha = (cos2a-grijeh2a)cosa-(2grijehacosa)grijeha = cos 3a- grijeh2acosa-2grijeh2acosa = cos 3a-3 grijeh2acosa = cos 3 a-3 (1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa

Prije nego krenemo dalje, razmotrimo jedan problem.
Zadano: kut je oštar.
Pronađite njegov kosinus ako
Rješenje koje je dao jedan učenik:
Jer , onda grijeha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičkog humora)

Dakle, definicija tangente povezuje ovu funkciju sa sinusom i kosinusom. Ali možete dobiti formulu koja daje vezu tangente samo s kosinusom. Da bismo ga izveli, uzimamo glavni trigonometrijski identitet: grijeh 2 a+cos 2 a= 1 i podijelite ga sa cos 2 a. dobivamo:

Dakle, rješenje ovog problema bi bilo:

(Budući da je kut oštar, pri vađenju korijena uzima se znak +)

Formula za tangens zbroja je još jedna koja se teško sjeća. Izbacimo to ovako:

odmah izlaz i

Iz formule kosinusa za dvostruki kut možete dobiti formule sinusa i kosinusa za polovični kut. Da biste to učinili, na lijevoj strani formule kosinusa dvostrukog kuta:
cos2 a = cos 2 a-grijeh 2 a
dodajemo jedinicu, a desno - trigonometrijsku jedinicu, t.j. zbroj kvadrata sinusa i kosinusa.
cos2a+1 = cos2a-grijeh2a+cos2a+grijeh2a
2cos 2 a = cos2 a+1
izražavajući cosa kroz cos2 a i promjenom varijabli dobivamo:

Znak se uzima ovisno o kvadrantu.

Slično, oduzimanjem jedan s lijeve strane jednakosti i zbroj kvadrata sinusa i kosinusa s desne strane, dobivamo:
cos2a-1 = cos2a-grijeh2a-cos2a-grijeh2a
2grijeh 2 a = 1-cos2 a

I na kraju, da bismo pretvorili zbroj trigonometrijskih funkcija u proizvod, koristimo se sljedećim trikom. Pretpostavimo da trebamo predstaviti zbroj sinusa kao umnožak grijeha+grijehb. Uvedimo varijable x i y tako da je a = x+y, b+x-y. Zatim
grijeha+grijehb = grijeh(x+y)+ grijeh(x-y) = grijeh x cos y+ cos x grijeh y+ grijeh x cos y- cos x grijeh y=2 grijeh x cos y. Izrazimo sada x i y u terminima a i b.

Budući da je a = x+y, b = x-y, onda . Tako

Možete se odmah povući

1. Formula podjele produkti sinusa i kosinusa u iznos: grijehacosb = 0.5(grijeh(a+b)+grijeh(a-b))

Preporučujemo da uvježbate i izvedete formule za pretvaranje umnoška razlike sinusa i zbroja i razlike kosinusa u umnožak, kao i za cijepanje umnožaka sinusa i kosinusa u zbroj. Nakon ovih vježbi, temeljito ćete savladati vještinu izvođenja trigonometrijskih formula i nećete se izgubiti ni u najtežoj kontroli, olimpijadi ili testiranju.