Bilo koji jezik može izraziti istu informaciju različite riječi i prometi. Matematički jezik nije iznimka. Ali isti se izraz može ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljenju izraza.

Ljudi komuniciraju dalje različiti jezici. Za nas je važna usporedba par "Ruski jezik - matematički jezik". Iste informacije mogu se izvijestiti na različitim jezicima. No, osim toga, na jednom jeziku može se izgovarati i drugačije.

Na primjer: "Peter je prijatelj s Vasyom", "Vasya je prijatelj s Petyom", "Peter i Vasya su prijatelji". Rečeno drugačije, ali jedno te isto. Po bilo kojoj od ovih fraza razumjeli bismo o čemu je riječ.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumijemo što u pitanju. Međutim, ne sviđa nam se kako ova fraza zvuči. Ne možemo li to pojednostaviti, reći isto, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

"Momci" ... Zar se iz njihovih imena ne vidi da nisu djevojčice. Uklanjamo "dječke": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti s "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, duga, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i lakše razumjeti. Pojednostavili smo ovu frazu. Pojednostaviti znači lakše reći, ali ne izgubiti, ne iskriviti značenje.

Ista stvar se događa i u matematičkom jeziku. Ista stvar se može reći drugačije. Što znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače istu stvar. I iz svega tog mnoštva moramo izabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše daljnje svrhe.

Na primjer, razmotrite brojčani izraz. To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentna prva dva: .

Ispada da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze uvijek morate obaviti sav posao i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Razmotrimo primjer doslovnog izraza . Očito će biti jednostavnije.

Kada pojednostavljujete doslovne izraze, morate izvršiti sve radnje koje su moguće.

Je li uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam prikladniji biti ekvivalentan, ali duži zapis.

Primjer: Oduzmite broj od broja.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen njegovom ekvivalentnom notacijom: , tada bi izračuni bili trenutni: .

Odnosno, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za daljnje izračune.

Ipak, vrlo često se suočavamo sa zadatkom koji samo zvuči kao "pojednostavite izraz".

Pojednostavite izraz: .

Riješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajte proizvode: .

Očito, posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Mi smo to pojednostavili.

Kako bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Da biste odredili ekvivalentni izraz, morate:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja za pojednostavljenje izračuna.

Svojstva zbrajanja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo zbrajanja: zbroj se ne mijenja od preuređivanja članova.

2. Asocijativno svojstvo zbrajanja: da biste zbroju dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbroja od broja: da biste oduzeli zbroj od broja, možete oduzeti svaki član pojedinačno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: proizvod se ne mijenja iz permutacije faktora.

2. Asocijativno svojstvo: da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti dobiveni proizvod s drugim faktorom.

3. Distributivno svojstvo množenja: da biste pomnožili broj sa zbrojem, trebate ga pomnožiti sa svakim članom posebno.

Pogledajmo kako zapravo radimo mentalne izračune.

Izračunati:

Riješenje

1) Zamislite kako

2) Predstavimo prvi faktor kao zbroj bitni pojmovi i napravi množenje:

3) možete zamisliti kako i izvesti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor s ekvivalentnim zbrojem:

Distributivni zakon se može koristiti i u suprotnom smjeru: .

Prati ove korake:

1) 2)

Riješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti zakon raspodjele, samo ga koristite u suprotnom smjeru - izvadite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izvadimo zajednički faktor iz zagrada

Potrebno je kupiti linoleum u kuhinji i hodniku. Kuhinjski prostor - hodnik -. Postoje tri vrste linoleuma: za i rublje za. Koliko će koštati svaka od tri vrste linoleuma? (Sl. 1)

Riža. 1. Ilustracija za stanje problema

Riješenje

Metoda 1. Zasebno možete pronaći koliko će novca biti potrebno za kupnju linoleuma u kuhinji, a zatim ga dodajte u hodnik i zbrojite rezultirajuće radove.

Izrazi, konverzija izraza

Izrazi moći (izrazi s potencijama) i njihova transformacija

U ovom članku ćemo govoriti o transformaciji izraza s ovlastima. Prvo ćemo se usredotočiti na transformacije koje se izvode s izrazima bilo koje vrste, uključujući izraze potenciranja, kao što su otvorene zagrade, reduciranje sličnih pojmova. Zatim ćemo analizirati transformacije specifično svojstvene izrazima sa stupnjevima: rad s bazom i eksponentom, korištenjem svojstava stupnjeva itd.

Navigacija po stranici.

Što su izrazi moći?

Izraz "izrazi moći" praktički se ne nalazi u školskim udžbenicima matematike, ali se često pojavljuje u zbirkama zadataka, posebno dizajniranih za pripremu za Jedinstveni državni ispit i OGE, na primjer. Nakon analize zadataka u kojima je potrebno izvršiti bilo koju radnju s izrazima stepena, postaje jasno da se izrazi moći shvaćaju kao izrazi koji u svojim unosima sadrže stupnjeve. Stoga za sebe možete uzeti sljedeću definiciju:

Definicija.

Izrazi moći su izrazi koji sadrže moći.

Donesimo primjeri izraza moći. Štoviše, prikazat ćemo ih prema tome kako se odvija razvoj pogleda od diplome s prirodnim pokazateljem do stupnja s stvarnim pokazateljem.

Kao što znate, prvo dolazi do upoznavanja stupnja broja s prirodnim eksponentom, u ovoj fazi prvi najjednostavniji izrazi stepena tipa 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nešto kasnije proučava se snaga broja s cjelobrojnim eksponentom, što dovodi do pojave izraza stepena s negativnim cjelobrojnim potencijama, kao što su: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

U starijim razredima opet se vraćaju diplomama. Tu je uvedena diploma s racionalni pokazatelj, što dovodi do pojave odgovarajućih izraza moći: , , itd. Konačno, razmatraju se stupnjevi s iracionalnim eksponentima i izrazi koji ih sadrže: , .

Stvar nije ograničena na navedene izraze stepena: dalje varijabla prodire u eksponent, a postoje npr. takvi izrazi 2 x 2 +1 ili . I nakon upoznavanja, počinju se pojavljivati ​​izrazi s potencijama i logaritmima, na primjer, x 2 lgx −5 x lgx.

Dakle, shvatili smo pitanje što su izrazi moći. Zatim ćemo naučiti kako ih transformirati.

Glavne vrste transformacija izraza moći

S izrazima moći možete izvesti bilo koju od osnovnih transformacija identiteta izraza. Na primjer, možete proširiti zagrade, zamijeniti numeričke izraze njihovim vrijednostima, dodati slične pojmove i tako dalje. Naravno, u ovom slučaju potrebno je slijediti prihvaćenu proceduru izvođenja radnji. Navedimo primjere.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza potencije 2 3 ·(4 2 −12) .

Riješenje.

Prema redoslijedu radnji prvo izvodimo radnje u zagradama. Tu, prvo, zamjenjujemo stepen 4 2 njegovom vrijednošću 16 (vidi ako je potrebno), a drugo izračunavamo razliku 16−12=4 . Imamo 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

U rezultirajućem izrazu stupanj 2 3 zamjenjujemo njegovom vrijednošću 8 , nakon čega izračunavamo umnožak 8·4=32 . Ovo je željena vrijednost.

Tako, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Odgovor:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Primjer.

Pojednostavite izraze snage 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Riješenje.

Očito, ovaj izraz sadrži slične članove 3 · a 4 · b − 7 i 2 · a 4 · b − 7 , a možemo ih reducirati: .

Odgovor:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Primjer.

Izrazite izraz s moćima kao proizvod.

Riješenje.

Da biste se nosili sa zadatkom, omogućuje prikaz broja 9 kao potenciju od 3 2 i naknadnu upotrebu smanjene formule množenja, razlike kvadrata:

Odgovor:

Također postoji niz identičnih transformacija svojstvenih izrazima moći. Zatim ćemo ih analizirati.

Rad s bazom i eksponentom

Postoje stupnjevi u čijoj osnovi i/ili pokazatelju nisu samo brojevi ili varijable, već neki izrazi. Kao primjer, napišimo (2+0,3 7) 5−3,7 i (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Kada radite sa sličnim izrazima, i izraz u bazi stupnja i izraz u eksponentu mogu se zamijeniti identično jednak izraz na ODZ njegovih varijabli. Drugim riječima, prema nama poznatim pravilima, možemo zasebno pretvoriti bazu stupnja, a zasebno - indikator. Jasno je da se kao rezultat ove transformacije dobiva izraz koji je identično jednak izvornom.

Takve transformacije omogućuju nam da pojednostavimo izraze s ovlastima ili postignemo druge ciljeve koji su nam potrebni. Na primjer, u gore spomenutom izrazu za stepen (2+0,3 7) 5−3,7, možete izvoditi operacije s brojevima u bazi i eksponentu, što će vam omogućiti da prijeđete na stepen 4,1 1,3. A nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih članova u bazu stupnja (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) dobivamo izraz stepena više jednostavna forma a 2 (x+1) .

Korištenje Power Properties

Jedan od glavnih alata za preobrazbu izraza s potencijama su jednakosti koje odražavaju . Prisjetimo se glavnih. Za bilo koje pozitivne brojeve a i b i proizvoljne realni brojevi r i s imaju sljedeća svojstva potencija:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Imajte na umu da za prirodne, cjelobrojne i pozitivne eksponente ograničenja na brojeve a i b možda nisu tako stroga. Na primjer, za prirodni brojevi m i n jednakost a m ·a n =a m+n vrijedi ne samo za pozitivne a , nego i za negativne, te za a=0 .

U školi je glavna pažnja u transformaciji izraza moći usmjerena upravo na sposobnost izbora prikladno vlasništvo i pravilno ga primijeniti. U ovom slučaju, baze stupnjeva su obično pozitivne, što vam omogućuje korištenje svojstava stupnjeva bez ograničenja. Isto vrijedi i za transformaciju izraza koji sadrže varijable u bazama stupnjeva - raspon prihvatljivih vrijednosti varijabli je obično takav da baze uzimaju samo pozitivne vrijednosti na njemu, što vam omogućuje slobodno korištenje svojstava stupnjeva. Općenito, morate se stalno pitati je li moguće primijeniti neko svojstvo stupnjeva u ovom slučaju, jer netočna upotreba svojstava može dovesti do sužavanja ODZ-a i drugih nevolja. Te su točke detaljno i uz primjere obrađene u članku o transformaciji izraza pomoću svojstava stupnjeva. Ovdje se ograničavamo na nekoliko jednostavnih primjera.

Primjer.

Izraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 izrazite kao potenciju s bazom a .

Riješenje.

Prvo transformiramo drugi faktor (a 2) −3 svojstvom dizanja stepena na stepen: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. U ovom slučaju, početni izraz snage imat će oblik a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Očito, ostaje koristiti svojstva množenja i dijeljenja potencija s istom bazom, imamo
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Odgovor:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Svojstva snage koriste se pri transformaciji izraza snage i s lijeva na desno i s desna na lijevo.

Primjer.

Nađite vrijednost izraza snage.

Riješenje.

Jednakost (a·b) r =a r ·b r, primijenjena s desna na lijevo, omogućuje vam da prijeđete od izvornog izraza do proizvoda oblika i dalje. A pri množenju snaga sa iste osnove pokazatelji se zbrajaju: .

Transformaciju izvornog izraza bilo je moguće izvesti na drugi način:

Odgovor:

.

Primjer.

Zadan izraz za stepen a 1,5 −a 0,5 −6 , unesite novu varijablu t=a 0,5 .

Riješenje.

Stupanj a 1,5 može se predstaviti kao 0,5 3 i dalje na temelju svojstva stupnja u stupnju (a r) s =a r s primijenjenom s desna na lijevo, pretvoriti ga u oblik (a 0,5) 3 . Na ovaj način, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sada je lako uvesti novu varijablu t=a 0,5, dobivamo t 3 −t−6 .

Odgovor:

t 3 −t−6 .

Pretvaranje razlomaka koji sadrže potencije

Izrazi stepena mogu sadržavati razlomke s potencijama ili predstavljati takve razlomke. Bilo koja od osnovnih transformacija razlomaka koja je svojstvena razlomcima bilo koje vrste u potpunosti je primjenjiva na takve razlomke. Odnosno, razlomci koji sadrže stupnjeve mogu se smanjiti, svesti na novi nazivnik, raditi odvojeno sa svojim brojnikom i odvojeno s nazivnikom itd. Da bismo ilustrirali gornje riječi, razmotrimo rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pojednostavite izraz snage .

Riješenje.

Ovaj izraz moći je razlomak. Poradimo s njegovim brojnikom i nazivnikom. U brojniku otvaramo zagrade i pojednostavljujemo dobiveni izraz pomoću svojstava potencija, a u nazivniku prikazujemo slične pojmove:

Mi također mijenjamo predznak nazivnika stavljajući minus ispred razlomka: .

Odgovor:

.

Svođenje potencija razlomaka na novi nazivnik provodi se slično kao i redukcija na novi nazivnik racionalni razlomci. Istodobno se također pronalazi dodatni faktor i s njim se množe brojnik i nazivnik razlomka. Prilikom izvođenja ove radnje, vrijedno je zapamtiti da smanjenje na novi nazivnik može dovesti do sužavanja DPV-a. Da se to ne bi dogodilo, potrebno je da dodatni faktor ne nestane ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za izvorni izraz.

Primjer.

Dovedite razlomke na novi nazivnik: a) na nazivnik a, b) na nazivnik.

Riješenje.

a) U ovom je slučaju prilično lako shvatiti koji dodatni faktor pomaže u postizanju željenog rezultata. Ovo je množitelj a 0,3, budući da je a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Imajte na umu da u rasponu prihvatljivih vrijednosti varijable a (ovo je skup svih pozitivnih realnih brojeva), stupanj a 0,3 ne nestaje, stoga imamo pravo množiti brojnik i nazivnik danog razlomka ovim dodatnim faktorom:

b) Pobliže gledajući nazivnik, nalazimo da

i množenjem ovog izraza s će dati zbroj kocaka i , To jest, . A ovo je novi nazivnik na koji trebamo dovesti izvorni razlomak.

Tako smo pronašli dodatni faktor. Izraz ne nestaje u rasponu prihvatljivih vrijednosti varijabli x i y, stoga s njim možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka:

Odgovor:

a) , b) .

Također nema ništa novo u redukciji razlomaka koji sadrže stupnjeve: brojnik i nazivnik su predstavljeni kao određeni broj faktora, a isti faktori brojnika i nazivnika su reducirani.

Primjer.

Smanjite razlomak: a) , b).

Riješenje.

a) Prvo, brojnik i nazivnik se mogu smanjiti za brojeve 30 i 45, što je jednako 15. Također, očito, možete smanjiti za x 0,5 +1 i za . Evo što imamo:

b) U ovom slučaju isti faktori u brojniku i nazivniku nisu odmah vidljivi. Da biste ih dobili, morate izvršiti preliminarne transformacije. U ovom slučaju, oni se sastoje od rastavljanja nazivnika na faktore prema formuli razlike kvadrata:

Odgovor:

a)

b) .

Svođenje razlomaka na novi nazivnik i redukcija razlomaka uglavnom se koristi za izvođenje operacija nad razlomcima. Radnje se izvode prema poznatim pravilima. Prilikom zbrajanja (oduzimanja) razlomaka oni se svode na zajednički nazivnik, nakon čega se brojnici zbrajaju (oduzimaju), a nazivnik ostaje isti. Rezultat je razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika. Dijeljenje razlomkom je množenje njegovom recipročnom vrijednosti.

Primjer.

Prati korake .

Riješenje.

Prvo oduzimamo razlomke u zagradama. Da bismo to učinili, dovodimo ih do zajedničkog nazivnika, a to je , zatim oduzmi brojnike:

Sada množimo razlomke:

Očito je moguće smanjenje za snagu x 1/2, nakon čega imamo .

Također možete pojednostaviti izraz snage u nazivniku korištenjem formule razlike kvadrata: .

Odgovor:

Primjer.

Pojednostavite izraz snage .

Riješenje.

Očito, ovaj se razlomak može smanjiti za (x 2,7 +1) 2, što daje razlomak . Jasno je da treba još nešto učiniti s potencijama x. Da bismo to učinili, dobivenu frakciju pretvaramo u proizvod. To nam daje priliku da koristimo svojstvo podjele snaga s istim osnovama: . I na kraju procesa prelazimo s posljednjeg proizvoda na frakciju.

Odgovor:

.

I dodajemo da je moguće i u mnogim slučajevima poželjno faktore s negativnim eksponentima prenijeti iz brojnika u nazivnik ili iz nazivnika u brojnik promjenom predznaka eksponenta. Takve transformacije često pojednostavljuju daljnje radnje. Na primjer, izraz snage može se zamijeniti s .

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama

Često u izrazima u kojima su potrebne neke transformacije, zajedno sa stupnjevima s razlomcima, postoje i korijeni. Za pretvaranje takvog izraza u pravu vrstu, u većini slučajeva dovoljno je ići samo do korijena ili samo do moći. Ali budući da je prikladnije raditi sa stupnjevima, obično se kreću od korijena do stupnjeva. Međutim, preporučljivo je provesti takav prijelaz kada ODZ varijabli za izvorni izraz omogućuje zamjenu korijena stupnjevima bez potrebe za pristupom modulu ili podjelom ODZ-a na nekoliko intervala (o tome smo detaljno raspravljali u članak, prijelaz s korijena na stupnjeve i obrnuto Nakon upoznavanja stupnja s racionalnim eksponentom uvodi se stupanj s iracionalnim pokazateljem, što omogućuje govoriti o stupnju s proizvoljnim realnim pokazateljem. U ovoj fazi, škola počinje učiti eksponencijalna funkcija , koji je analitički zadan stupnjem, u čijoj se osnovi nalazi broj, a u pokazatelju - varijabla. Dakle, suočeni smo s eksponencijalnim izrazima koji sadrže brojeve u bazi stupnja, au eksponentu - izraze s varijablama, te se prirodno javlja potreba za izvođenjem transformacija takvih izraza.

Treba reći da se kod rješavanja obično mora izvršiti transformacija izraza navedenog tipa eksponencijalne jednadžbe i eksponencijalne nejednakosti , a ove su transformacije prilično jednostavne. U velikoj većini slučajeva temelje se na svojstvima stupnja i uglavnom su usmjereni na uvođenje nove varijable u budućnosti. Jednadžba će nam omogućiti da ih demonstriramo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Prvo se eksponenti, u čijim se eksponentima nalazi zbroj neke varijable (ili izraza s varijablama) i broja, zamjenjuju produktima. Ovo se odnosi na prvi i zadnji izraz izraza s lijeve strane:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Zatim se oba dijela jednakosti dijele izrazom 7 2 x , koji uzima samo pozitivne vrijednosti na ODZ varijable x za izvornu jednadžbu (ovo je standardna tehnika za rješavanje jednadžbi ove vrste, mi nismo govori o tome sada, pa se usredotočite na naknadne transformacije izraza s ovlastima ):

Sada su razlomci s potencijama poništeni, što daje .

Konačno, omjer potencija s istim eksponentima zamjenjuje se potencijama omjera, što dovodi do jednadžbe , što je ekvivalentno . Napravljene transformacije omogućuju nam da uvedemo novu varijablu, koja svodi rješenje izvorne eksponencijalne jednadžbe na rješenje kvadratne jednadžbe

I. V. Boikov, L. D. Romanova Zbirka zadataka za pripremu ispita. Dio 1. Penza 2003.

Algebarski izraz u čijem zapisu se, uz operacije zbrajanja, oduzimanja i množenja, koristi i dijeljenje na doslovne izraze, naziva se frakcijski algebarski izraz. Takvi su npr. izrazi

Algebarskim razlomkom nazivamo algebarski izraz koji ima oblik kvocijenta dijeljenja dvaju cjelobrojnih algebarskih izraza (na primjer, monoma ili polinoma). Takvi su npr. izrazi

treći od izraza).

Identitetne transformacije frakcijskih algebarskih izraza većinom su namijenjene njihovom predstavljanju u obliku algebarski razlomak. Za pronalaženje zajedničkog nazivnika koristi se faktorizacija nazivnika razlomaka – pojmova kako bi se pronašao njihov najmanji zajednički višekratnik. Pri redukciji algebarskih razlomaka može se narušiti strogi identitet izraza: potrebno je isključiti vrijednosti veličina pri kojima nestaje faktor kojim se smanjuje.

Navedimo primjere identičnih transformacija frakcijskih algebarskih izraza.

Primjer 1: Pojednostavite izraz

Svi se članovi mogu svesti na zajednički nazivnik (zgodno je promijeniti predznak u nazivniku posljednjeg člana i znak ispred njega):

Naš izraz je jednak jedinici za sve vrijednosti osim ovih vrijednosti, nije definiran i smanjenje razlomka je protuzakonito).

Primjer 2. Predstavite izraz kao algebarski razlomak

Riješenje. Izraz se može uzeti kao zajednički nazivnik. Nalazimo sukcesivno:

Vježbe

1. Pronađite vrijednosti algebarskih izraza za navedene vrijednosti parametara:

2. Faktorizirajte.

Matematika-Kalkulator-Online v.1.0

Kalkulator izvodi sljedeće operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, rad s decimalima, vađenje korijena, podizanje na stepen, izračunavanje postotaka i druge operacije.

Riješenje:

Kako koristiti matematički kalkulator

Ključ	Oznaka	Obrazloženje
5	brojevi 0-9	arapski brojevi. Unesite prirodne cijele brojeve, nulu. Da biste dobili negativan cijeli broj, pritisnite tipku +/-
.	točka i zarez)	Decimalni separator. Ako ispred točke (zareza) nema znamenke, kalkulator će automatski zamijeniti nulu ispred točke. Na primjer: .5 - 0.5 bit će napisano
+	znak plus	Zbrajanje brojeva (cijeli, decimalni razlomci)
-	znak minus	Oduzimanje brojeva (cijeli, decimalni razlomci)
÷	znak podjele	Dijeljenje brojeva (cijeli, decimalni razlomci)
x	znak množenja	Množenje brojeva (cijeli brojevi, decimale)
√	korijen	Izdvajanje korijena iz broja. Kada ponovno pritisnete gumb "root", korijen se izračunava iz rezultata. Na primjer: kvadratni korijen od 16 = 4; kvadratni korijen od 4 = 2
x2	kvadratura	Kvadriranje broja. Kada ponovno pritisnete gumb "kvadriranje", rezultat se kvadrira.Na primjer: kvadrat 2 = 4; kvadrat 4 = 16
1/x	frakcija	Izlaz na decimale. U brojniku 1, u nazivniku ulazni broj
%	posto	Dobijte postotak broja. Za rad morate unijeti: broj od kojeg će se izračunati postotak, znak (plus, minus, podijeliti, pomnožiti), koliko posto u brojčanom obliku, gumb "%"
(	otvorena zagrada	Otvorena zagrada za postavljanje prioriteta evaluacije. Zatvorena zagrada je obavezna. Primjer: (2+3)*2=10
)	zatvorena zagrada	Zatvorena zagrada za postavljanje prioriteta evaluacije. Potrebna dostupnost otvorena zagrada
±	plus minus	Mijenja znak u suprotan
=	jednaki	Prikazuje rezultat rješenja. Također, međuizračuni i rezultat su prikazani iznad kalkulatora u polju "Rješenje".
←	brisanje znaka	Briše zadnji znak
IZ	resetirati	Gumb za resetiranje. Potpuno resetira kalkulator na "0"

Algoritam online kalkulatora s primjerima

Dodatak.

Zbrajanje cijelih prirodnih brojeva ( 5 + 7 = 12 )

Zbrajanje cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 5 + (-2) = 3 )

Decimalno zbrajanje frakcijski brojevi { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Oduzimanje.

Oduzimanje cijelih prirodnih brojeva ( 7 - 5 = 2 )

Oduzimanje cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 5 - (-2) = 7)

Oduzimanje decimalnih frakcijskih brojeva ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Množenje.

Umnožak cijelih prirodnih brojeva ( 3 * 7 = 21 )

Umnožak cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 5 * (-3) = -15 )

Umnožak decimalnih frakcijskih brojeva ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Podjela.

Dijeljenje cijelih prirodnih brojeva ( 27 / 3 = 9 )

Dijeljenje cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 15 / (-3) = -5 )

Dijeljenje decimalnih frakcijskih brojeva ( 6,2 / 2 = 3,1 )

Izdvajanje korijena iz broja.

Ekstrahiranje korijena cijelog broja ( root(9) = 3)

Izdvajanje korijena decimala ( korijen (2.5) = 1.58 )

Izdvajanje korijena iz zbroja brojeva ( korijen (56 + 25) = 9)

Izdvajanje korijena razlike u brojevima ( korijen (32 - 7) = 5 )

Kvadriranje broja.

Kvadriranje cijelog broja ( (3) 2 = 9)

Kvadrat decimala ( (2.2) 2 = 4.84 )

Pretvori u decimalne razlomke.

Izračunavanje postotaka broja

Povećaj 230 za 15% (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Smanji broj 510 za 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5)

18% broja 140 je (140 * 0,18 = 25,2)

Zgodno i jednostavno online kalkulator frakcije s detaljnim rješenjem može biti:

• Zbrajajte, oduzimajte, množite i dijelite razlomci online,
• Primiti rješenje ključ u ruke razlomci sa slikom i zgodno ga je prenijeti.



Rezultat rješavanja razlomaka bit će ovdje ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Znak razlomka "/" + - * :
_wipe Očisti
Naš online kalkulator razlomaka ima brzi unos. Da biste dobili rješenje razlomaka, na primjer, samo napišite 1/2+2/7 u kalkulator i pritisnite " riješiti razlomke". Kalkulator će vam napisati detaljno rješenje razlomci i pitanje slika pogodna za kopiranje.

Znakovi koji se koriste za pisanje u kalkulatoru

Primjer rješenja možete upisati i s tipkovnice i pomoću gumba.

Značajke online kalkulatora razlomaka

Kalkulator razlomaka može izvoditi operacije samo s 2 jednostavna razlomka. Mogu biti točni (brojnik je manji od nazivnika) ili netočni (brojnik je veći od nazivnika). Brojevi u brojniku i nazivnicima ne mogu biti negativni i veći od 999.
Naš online kalkulator rješava razlomke i donosi odgovor na ispravan oblik- smanjuje udio i naglašava cijeli dio, ako je potrebno.

Ako trebate riješiti negativne razlomke, samo upotrijebite minus svojstva. Prilikom množenja i dijeljenja negativnih razlomaka, minus s minusom daje plus. To jest, umnožak i podjela negativnih razlomaka jednak je umnošku i dijeljenju istih pozitivnih. Ako je jedan razlomak negativan kada se pomnoži ili podijeli, jednostavno uklonite minus, a zatim ga dodajte odgovoru. Prilikom zbrajanja negativnih razlomaka, rezultat će biti isti kao da ste dodali iste pozitivne razlomke. Ako dodate jedan negativni razlomak, to je isto kao i oduzimanje istog pozitivnog razlomaka.
Prilikom oduzimanja negativnih razlomaka, rezultat će biti isti kao da su obrnuti i postali pozitivni. Odnosno, minus za minus u ovom slučaju daje plus, a zbroj se ne mijenja preuređivanjem pojmova. Ista pravila koristimo pri oduzimanju razlomaka, od kojih je jedan negativan.

Za rješavanje mješovitih razlomaka (razlomaka u kojima je cijeli dio istaknut), jednostavno ubacite cijeli dio u razlomak. Da biste to učinili, pomnožite cijeli broj s nazivnikom i dodajte brojniku.

Ako trebate riješiti 3 ili više razlomaka na mreži, trebali biste ih riješiti jedan po jedan. Prvo izbrojite prva 2 razlomka, zatim riješite sljedeći razlomak s dobivenim odgovorom i tako dalje. Izvodite operacije zauzvrat za 2 razlomka, a na kraju ćete dobiti točan odgovor.