U praktičnim aktivnostima čovjek mora mjeriti različite količine, uzimati u obzir materijale i proizvode rada, proizvode razne kalkulacije. Rezultati raznih mjerenja, prebrojavanja i proračuna su brojevi. Brojevi dobiveni kao rezultat mjerenja, samo približno, s određenim stupnjem točnosti, karakteriziraju željene vrijednosti. Točna mjerenja nisu moguća zbog netočnosti mjerni instrumenti, nesavršenosti naših organa vida i sami mjereni objekti ponekad nam ne dopuštaju da s ikakvom točnošću odredimo njihovu veličinu.

Tako je, na primjer, poznato da je dužina Sueskog kanala 160 km, udaljenost duž željeznička pruga od Moskve do Lenjingrada 651 km. Ovdje imamo rezultate mjerenja napravljenih s točnošću do jednog kilometra. Ako je npr. duljina pravokutna površina 29 m, širina 12 m, tada su, vjerojatno, mjerenja rađena s točnošću od metra, a ulomci metra su zanemareni,

Prije bilo kakvog mjerenja potrebno je odlučiti s kojom točnošću se ono treba izvesti, t.j. koje ulomke mjerne jedinice treba uzeti u obzir, a koje zanemariti.

Ako postoji neka vrijednost a,čija je prava vrijednost nepoznata, a približna vrijednost (aproksimacija) ove vrijednosti jednaka je X, pišu a x.

Različitim mjerenjima iste količine dobit ćemo različite aproksimacije. Svaka od ovih aproksimacija će se razlikovati od prave vrijednosti izmjerene vrijednosti, jednaka je npr. a, nekim iznosom, koji ćemo nazvati pogreška. Definicija. Ako je broj x približna vrijednost (aproksimacija) neke veličine, čija je prava vrijednost jednaka broju a, zatim modul razlike brojeva, a i x pozvao apsolutna greška zadana aproksimacija i označena a x: ili jednostavno a. Dakle, po definiciji,

a x = a-x (1)

Iz ove definicije proizlazi da

a = x a x (2)

Ako se zna o kojoj je količini riječ, onda u zapisu a x indeks a je izostavljena i jednakost (2) je zapisana na sljedeći način:

a = x x (3)

Budući da je prava vrijednost željene vrijednosti najčešće nepoznata, nemoguće je pronaći apsolutnu pogrešku u aproksimaciji ove vrijednosti. U svakom konkretnom slučaju možete navesti samo pozitivan broj veći od ovog apsolutna greška ne može biti. Taj se broj naziva granicom apsolutne pogreške aproksimacije veličine a i označena h a. Dakle, ako x je proizvoljna aproksimacija vrijednosti a za dati postupak za dobivanje aproksimacija, tada

a x = a-x h a (4)

Iz navedenog proizlazi da ako h a je granica apsolutne pogreške aproksimacije veličine a, tada bilo koji broj veći od h a, također će biti granica apsolutne pogreške aproksimacije količine a.

U praksi je uobičajeno odabrati najmanji broj koji zadovoljava nejednakost (4) kao granicu apsolutne pogreške.

Rješavanje nejednakosti a-x h a shvaćamo to a sadržane unutar granica

x-h a a x + h a (5)

Rigorozniji koncept granice apsolutne pogreške može se dati na sljedeći način.

Neka bude x- mnoge moguće aproksimacije x količine a za dati postupak za dobivanje aproksimacije. Zatim bilo koji broj h, zadovoljavajući uvjet a-x h a za bilo koje xX, naziva se granica apsolutne pogreške aproksimacija iz skupa x. Označiti sa h a najmanji poznati broj h. Ovaj broj h a te se u praksi bira kao granica apsolutne pogreške.

Apsolutna pogreška aproksimacije ne karakterizira kvalitetu mjerenja. Doista, ako mjerimo bilo koju duljinu s točnošću od 1 cm, onda u slučaju kada pričamo o određivanju duljine olovke, bit će loša točnost. Ako s točnošću od 1 cm odredite duljinu ili širinu odbojkaškog igrališta, onda će to biti visoka točnost.

Za karakterizaciju točnosti mjerenja uvodi se koncept relativne pogreške.

Definicija. Ako je a a x: postoji apsolutna pogreška aproksimacije x neka količina, čija je prava vrijednost jednaka broju a, zatim omjer a x na modul broja x naziva se relativna pogreška aproksimacije i označava se a x ili x.

Dakle, po definiciji,

Relativna greška se obično izražava u postocima.

Za razliku od apsolutne pogreške, koja je najčešće dimenzionalna veličina, relativna pogreška je bezdimenzionalna veličina.

U praksi se ne uzima u obzir relativna pogreška, već takozvana granica relativne pogreške: takav broj E a, koja ne može biti veća od relativne pogreške aproksimacije željene vrijednosti.

Tako, a x E a .

Ako je a h a-- granica apsolutne pogreške aproksimacija količine a, onda a x h a i zbog toga

Očito, bilo koji broj E, zadovoljavajući uvjet, bit će granica relativne pogreške. U praksi je obično poznata neka aproksimacija x količine a i granica apsolutne pogreške. Zatim broj

1. Brojevi su točni i približni. Brojevi koje susrećemo u praksi su dvije vrste. Neki daju pravu vrijednost količine, drugi samo približne. Prvi se naziva točnim, drugi - približnim. Najčešće je prikladno koristiti približan broj umjesto točnog, pogotovo jer u mnogim slučajevima točan broj općenito nemoguće pronaći.

Rezultati operacija s brojevima daju: s približnim brojevima približne brojeve. Na primjer. Tijekom epidemije 60% stanovnika St. Petersburga oboli od gripe. To je otprilike 3 milijuna ljudi. s točnim brojevima točnim brojevima Npr. Na predavanju iz matematike u publici je 65 ljudi. približne brojke Npr. Prosječna tjelesna temperatura bolesnika tijekom dana 37,3: ujutro: 37,2; dan: 36.8 ; večer38.

Teorija približnih izračuna omogućuje: 1) poznavanje stupnja točnosti podataka, za procjenu stupnja točnosti rezultata; 2) uzeti podatke s odgovarajućim stupnjem točnosti, dovoljnim da osigura potrebnu točnost rezultata; 3) racionalizirati proces izračuna, oslobađajući ga od onih izračuna koji neće utjecati na točnost rezultata.

1) ako je prva (lijeva) odbačena znamenka manja od 5, posljednja preostala znamenka se ne mijenja (zaokružuje prema dolje); 2) ako je prva odbačena znamenka veća od 5 ili jednaka 5, tada se posljednja preostala znamenka povećava za jedan (zaokruživanje). Zaokruživanje: a) na desetine 12,34 12,3; b) do stotinki 3,2465 3,25; 1038,79. c) do tisućinki 3,4335 3,434. d) do tisuća; Ovo uzima u obzir sljedeće:

Količine koje se najčešće mjere u medicini: masa m, duljina l, brzina procesa v, vrijeme t, temperatura t, volumen V itd. Izmjeriti fizikalnu veličinu znači usporediti je s homogenom veličinom uzetom kao jedinicom. 9 Mjerne jedinice fizikalnih veličina: Osnovna duljina - 1 m - (metar) Vrijeme - 1 s - (sekunda) Masa - 1 kg - (kilogram) Volumen proizvoda - 1 m³ - (kubični metar) Brzina - 1 m/s - (metar u sekundi)

Prefiksi za nazive jedinica: Višestruki prefiksi - povećati za 10, 100, 1000, itd. puta g - hekto (×100) k - kilogram (× 1000) M - mega (×) 1 km (kilometar) 1 kg (kilogram) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g smanjiti za 10 , 100, 1000 itd. puta d - deci (×0,1) s - centi (× 0,01) m - mili (× 0,001) 1 dm (decimetar) 1dm = 0,1 m 1 cm (centimetar) 1 cm = 0,01 m 1 mm (milimetar) 1 mm = 0,001 m

Za dijagnostiku, liječenje, prevenciju bolesti u medicini koristi se različita mjerna medicinska oprema.

Termometar. Prvo, morate uzeti u obzir gornju i donju granicu mjerenja. Donja granica je minimalna, a gornja granica je maksimalna mjerljiva vrijednost. Ako je očekivana vrijednost izmjerene vrijednosti nepoznata, bolje je uzeti uređaj s "maržom". Na primjer, mjerenje temperature Vruća voda nemojte provoditi uličnim ili sobnim termometrom. Bolje je pronaći uređaj s gornjom granicom od 100 ° C. Drugo, morate razumjeti koliko točno treba mjeriti količinu. Budući da pogreška mjerenja ovisi o vrijednosti podjele, za više točna mjerenja odabire se instrument s najmanjim intervalom ljestvice.

Pogreške u mjerenju. Za mjerenje različitih dijagnostičkih parametara potreban vam je vlastiti uređaj. Primjerice, duljina se mjeri ravnalom, a temperatura termometrom. Ali ravnala, termometri, tonometri i drugi uređaji su različiti, pa da biste izmjerili bilo koju fizičku veličinu, morate odabrati uređaj koji je prikladan za ovo mjerenje.

Cijena podjele uređaja. Temperatura ljudskog tijela mora biti točno određena, lijekovi se trebaju davati u strogo određenoj količini, stoga je cijena podjela skale mjernog uređaja važna karakteristika svakog uređaja. Pravilo za izračun cjenovne podjele uređaja Za izračun cijene podjela ljestvice potrebno je: a) odabrati dva najbliža digitalizirana poteza na ljestvici; b) izbrojati broj podjela među njima; c) Podijelite razliku u vrijednostima oko odabranih poteza s brojem podjela.

Cijena podjele uređaja. Vrijednost podjele (50-30)/4=5 (ml) Vrijednost podjele: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temp, (4-2)/10=0,2 s

Odredite cijenu podjele uređaja: 16

Apsolutna pogreška mjerenja. Pogreške će se sigurno pojaviti u svakom mjerenju. Ove pogreške nastaju zbog različitih čimbenika. Svi čimbenici mogu se podijeliti u tri dijela: pogreške uzrokovane nesavršenošću instrumenata; pogreške uzrokovane nesavršenošću mjernih metoda; pogreške zbog utjecaja slučajnih čimbenika koji se ne mogu eliminirati. Prilikom mjerenja bilo koje vrijednosti, želi se znati ne samo njezina vrijednost, već i koliko se toj vrijednosti može vjerovati, koliko je točna. Da biste to učinili, potrebno je znati koliko se prava vrijednost neke veličine može razlikovati od izmjerene. U ove svrhe uvodi se pojam apsolutne i relativne pogreške.

Apsolutne i relativne pogreške. Apsolutna pogreška pokazuje kolika je stvarna vrijednost fizička veličina drugačiji od izmjerenog. Ovisi o samom uređaju (instrumentalna pogreška) i o procesu mjerenja (pogreška očitanja na ljestvici). Instrumentalna pogreška mora biti naznačena u putovnici instrumenta (u pravilu je jednaka ljestvici instrumenta). Pogreška čitanja obično se uzima jednakom polovini vrijednosti dijeljenja. Apsolutna pogreška približne vrijednosti je razlika Δ x \u003d | x - x 0 |, gdje je x 0 približna vrijednost, a x je točna vrijednost izmjerene vrijednosti, ili ponekad umjesto x koriste A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Apsolutne i relativne pogreške. Primjer. Poznato je da je -0,333 približna vrijednost za -1/3. Tada prema definiciji apsolutne pogreške Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. U mnogim praktički važnim slučajevima nemoguće je pronaći apsolutnu pogrešku aproksimacije zbog činjenice da je točna vrijednost veličine nepoznata. Međutim, možete odrediti pozitivan broj, veći od kojeg ova apsolutna pogreška ne može biti. Ovo je bilo koji broj h koji zadovoljava nejednakost | ∆x | h Zove se granica apsolutne pogreške.

U ovom slučaju kažu da je vrijednost x približno do h jednaka x 0. x \u003d x 0 ± h ili x 0 - h x x 0 + h

Apsolutne instrumentalne pogreške mjernih instrumenata

Procjena instrumentalnih pogrešaka mjerenih veličina. Za većinu mjernih instrumenata pogreška instrumenta jednaka je njegovoj podjeli ljestvice. Iznimka su digitalni instrumenti i brojčanici. Za digitalne uređaje, pogreška je navedena u njihovoj putovnici i obično je nekoliko puta veća od podjele ljestvice uređaja. Za pokazivačke mjerne instrumente pogreška je određena njihovom klasom točnosti, koja je naznačena na ljestvici instrumenta, i granicom mjerenja. Klasa točnosti označena je na ljestvici uređaja kao broj koji nije okružen okvirima. Na primjer, na prikazanoj slici, klasa točnosti manometra je 1,5. Klasa točnosti pokazuje koliko posto je pogreška uređaja od granice njegovih mjerenja. Za pokazivač tlaka granica mjerenja je 3 atm, odnosno pogreška mjerenja tlaka je 1,5% od 3 atm, odnosno 0,045 atm. Treba napomenuti da se za većinu pokazivačkih uređaja njihova pogreška pokazuje jednakom vrijednosti podjele uređaja. Kao u našem primjeru, gdje je cijena podjele barometra 0,05 atm.

Apsolutne i relativne pogreške. Apsolutna pogreška je potrebna za određivanje raspona u kojem prava vrijednost može pasti, ali za procjenu točnosti rezultata u cjelini nije baš indikativna. Uostalom, mjerenje duljine od 10 m s pogreškom od 1 mm svakako je vrlo točno, a istovremeno je mjerenje duljine od 2 mm s pogreškom od 1 mm očito krajnje netočno. Apsolutna pogreška mjerenja obično se zaokružuje na jednu značajnu brojku ΔA 0,17 0,2. Brojčana vrijednost rezultata mjerenja zaokružuje se tako da je njegova zadnja znamenka u istoj znamenki kao i broj pogreške A=10,332 10,3

Apsolutne i relativne pogreške. Uz apsolutnu pogrešku uobičajeno je uzeti u obzir i relativnu pogrešku, koja je jednaka omjeru apsolutne pogreške i vrijednosti same veličine. Relativna pogreška približnog broja je omjer apsolutne pogreške približnog broja i samog ovog broja: E = Δx. 100% x 0 Relativna pogreška pokazuje koliko bi postotaka same vrijednosti mogla nastati pogreška i indikativna je pri ocjenjivanju kvalitete eksperimentalnih rezultata.

Primjer. Mjerenjem duljine i promjera kapilare dobiveno je l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Koje je od ovih mjerenja točnije? Prilikom mjerenja duljine kapilare dopuštena je apsolutna pogreška od 10mm na 100mm, stoga je apsolutna pogreška 10/100=0,1=10%. Kod mjerenja promjera kapilare dopuštena apsolutna pogreška je 0,1/2,5=0,04=4% Stoga je mjerenje promjera kapilare točnije.

U mnogim slučajevima ne može se pronaći apsolutna pogreška. Otuda i relativna greška. Ali možete pronaći granicu relativne pogreške. Bilo koji broj δ koji zadovoljava nejednakost | ∆x | / | x o | δ, je granica relativne pogreške. Konkretno, ako je h granica apsolutne pogreške, tada je broj δ= h/| x o |, je granica relativne pogreške aproksimacije x o. Odavde. Poznavanje granice rel.p-i. δ, može se pronaći granica apsolutne pogreške h. h=δ | x o |

Primjer. Poznato je da je 2=1,41... Nađite relativnu točnost približne jednakosti ili granicu relativne pogreške približne jednakosti 2 1,41. Ovdje je x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Očito 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, granica apsolutne pogreške je 0,01, granica relativne pogreške je 1/141

Primjer. Prilikom čitanja očitanja sa ljestvice važno je da vam pogled padne okomito na ljestvicu instrumenta, dok će pogreška biti manja. Za određivanje očitanja termometra: 1. odredite broj podjela, 2. pomnožite ih s cijenom podjela 3. uzmite u obzir pogrešku 4. zapišite konačni rezultat. t = 20 °C ± 1,5 °C To znači da je temperatura između 18,5° i 21,5°. Odnosno, može biti, na primjer, 19, i 20 i 21 Celzijev stupanj. Kako bi se povećala točnost mjerenja, uobičajeno je ponoviti ih najmanje tri puta i izračunati prosječnu vrijednost izmjerene vrijednosti

N A C O R D E N I A N E D E N G O N I N I O N I Rezultati mjerenja C 1 \u003d 34,5 C 2 \u003d 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 \u003d 33 ,5 C 5 \u003d 33 ,5 C 5 \u003d cetiri vrijednosti c 5 \u003d nađite prosječnu vrijednost c + 0 quad 0 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Pronađite odstupanje vrijednosti od prosječne vrijednosti Δs = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Pronađite apsolutnu pogrešku Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc = (0,6 + 0,4): 4 = 0,275 0,3 g) Pronađite relativnu pogrešku δ \u003d Δc: s SR δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Zapišite konačni odgovor c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

DOMAĆA ZADAĆA Pripremite se za praktična lekcija na temelju predavanja. Izvršite zadatak. Pronađite srednju vrijednost i pogrešku: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Izradite prezentacije na teme: “Zaokruživanje vrijednosti u medicini”, “Pogreške u mjerenju”, “Medicinska mjerna oprema”

Uvod

Apsolutna pogreška- je procjena apsolutne pogreške mjerenja. Izračunati različiti putevi. Metoda izračuna određena je distribucijom slučajne varijable. Sukladno tome, veličina apsolutne pogreške, ovisno o distribuciji slučajne varijable, može biti različita. Ako je izmjerena vrijednost i prava vrijednost, tada nejednakost mora vrijediti s nekom vjerojatnošću bliskom 1. Ako je slučajna vrijednost raspodijeljeno prema normalnom zakonu, tada se obično njegova standardna devijacija uzima kao apsolutna pogreška. Apsolutna pogreška mjeri se u istim jedinicama kao i sama vrijednost.

Postoji nekoliko načina da se zapiše količina zajedno s njezinom apsolutnom pogreškom.

· Obično se koristi oznaka sa znakom ±. Na primjer, rekord na 100 metara postavljen 1983. je 9,930±0,005 s.

· Za snimanje vrijednosti izmjerenih s vrlo visokom točnošću, koristi se još jedan zapis: brojevi koji odgovaraju pogrešci zadnjih znamenki mantise dodaju se u zagrade. Na primjer, izmjerena vrijednost Boltzmannove konstante je 1,380 6488 (13)?10?23 J/K, što se također može pisati mnogo duže kao 1.380 6488?10?23 ±0.000 0013?10?23 J/K.

Relativna greška- pogreška mjerenja, izražena kao omjer apsolutne pogreške mjerenja i stvarne ili prosječne vrijednosti mjerene veličine (RMG 29-99):.

Relativna pogreška je bezdimenzionalna veličina ili se mjeri u postocima.

Približavanje

Previše i premalo? U procesu izračuna, često se mora nositi s približnim brojevima. Neka bude ALI- točna vrijednost određene količine, u daljnjem tekstu točan broj a. Ispod približne vrijednosti količine ALI, ili približne brojke nazvao broj a, što zamjenjuje točnu vrijednost količine ALI. Ako je a a< ALI, zatim a naziva se približna vrijednost broja I zbog nedostatka. Ako je a a> ALI,- onda u visku. Na primjer, 3.14 je aproksimacija broja R manjkom, a 3,15 viškom. Za karakterizaciju stupnja točnosti ove aproksimacije koristi se koncept pogreške ili pogreške.

Greška D a približan broj a naziva se razlika oblika

D a = A-a,

gdje ALI je odgovarajući točan broj.

Slika pokazuje da je duljina segmenta AB između 6 cm i 7 cm.

To znači da je 6 približna vrijednost duljine segmenta AB (u centimetrima)\u003e s nedostatkom, a 7 s viškom.

Označavajući duljinu segmenta slovom y, dobivamo: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segment AB (vidi sliku 149) je bliži 6 cm nego 7 cm Približno je jednak 6 cm Kažu da je broj 6 dobiven zaokruživanjem duljine segmenta na cijele brojeve.

Apsolutna vrijednost Razlike naziva se između približne i točne (prave) vrijednosti neke veličine apsolutna greška približna vrijednost. na primjer ako je točan broj 1,214 zaokruženo na desetine, dobivamo približan broj 1,2 . U ovom slučaju, apsolutna pogreška približnog broja bit će 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Ali u većini slučajeva, točna vrijednost količine koja se razmatra je nepoznata, već samo približna. Tada je i apsolutna pogreška nepoznata. U tim slučajevima naznačiti granica koje ne prelazi. Ovaj broj se zove granična apsolutna pogreška. Kažu da je točna vrijednost broja jednaka njegovoj približnoj vrijednosti s greškom manjom od granične pogreške. na primjer, broj 23,71 je približna vrijednost broja 23,7125 do 0,01 , budući da je apsolutna pogreška aproksimacije jednaka 0,0025 i manje 0,01 . Ovdje je granična apsolutna pogreška jednaka 0,01 .*

(* Apsolutno greška je i pozitivna i negativna. na primjer, 1,68 ≈ 1,7 . Apsolutna greška je 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Granica greška je uvijek pozitivna).

Granična apsolutna pogreška približnog broja " a » označava se simbolom Δ a . Snimanje

x ≈ a ( Δ a)

treba shvatiti ovako: točnu vrijednost količine x je između a +Δ a i a –Δ a, koji su imenovani odnosno dno i Gornja granica x i označiti H G x i NA G x .

na primjer, ako x≈ 2,3 ( 0,1), zatim 2,2 < x < 2,4 .

Naprotiv, ako 7,3 < x < 7,4, zatim x≈ 7,35 ( 0,05).

Apsolutna ili granična apsolutna pogreška ne karakterizirati kvalitetu mjerenja. Ista apsolutna pogreška može se smatrati značajnom i beznačajnom, ovisno o broju koji izražava izmjerenu vrijednost.

na primjer, ako mjerimo udaljenost između dva grada s točnošću od jednog kilometra, tada je takva točnost sasvim dovoljna za ovo mjerenje, dok će u isto vrijeme, kada se mjeri udaljenost između dvije kuće u istoj ulici, takva točnost biti neprihvatljiva .

Posljedično, točnost približne vrijednosti neke veličine ne ovisi samo o veličini apsolutne pogreške, već i o vrijednosti mjerene veličine. Tako mjera točnosti je relativna pogreška.

Relativna greška je omjer apsolutne pogreške i vrijednosti približnog broja. Zove se omjer apsolutne pogreške granice i približnog broja granična relativna pogreška; označite to ovako: Δ a/a. Obično se izražavaju relativne i granične relativne pogreške u postocima.

na primjer ako mjerenja pokažu da je udaljenost između dvije točke veća od 12,3 km, ali manje 12,7 km, zatim za približan njegovo značenje je prihvaćeno prosjek ova dva broja, tj. ih pola sume, onda granica apsolutna greška je polurazlika ove brojke. U ovom slučaju x≈ 12,5 ( 0,2). Ovdje je granica apsolutna greška je 0,2 km, i granica

Za suvremeni zadaci potrebno je koristiti složeni matematički aparat i razvijene metode za njihovo rješavanje. U ovom slučaju često se susreću s problemima za koje je analitičko rješenje, tj. rješenje u obliku analitičkog izraza koji povezuje početne podatke s traženim rezultatima ili je uopće nemoguće, ili je izraženo u tako glomaznim formulama da ih je nepraktično koristiti u praktične svrhe.

U ovom slučaju koriste se numeričke metode rješavanja koje omogućuju vrlo jednostavno dobivanje numeričkog rješenja problema. Numeričke metode se provode pomoću računskih algoritama.

Cijela raznolikost numeričkih metoda podijeljena je u dvije skupine:

Točno - pretpostavljaju da ako se izračuni izvode točno, onda se uz pomoć konačnog broja aritmetičkih i logičkih operacija mogu dobiti točne vrijednosti željenih veličina.

Približni - koji, čak i pod pretpostavkom da se izračuni provode bez zaokruživanja, omogućuju vam da dobijete rješenje problema samo s zadanom točnošću.

1. vrijednost i broj. Količina je nešto što se može izraziti kao broj u određenim jedinicama.

Kada govore o vrijednosti neke veličine, misle na određeni broj, koji se naziva brojčana vrijednost veličine, i njezinu mjernu jedinicu.

Dakle, količina je karakteristika svojstva predmeta ili pojave, koja je zajednička mnogim objektima, ali ima pojedinačne vrijednosti za svaki od njih.

Vrijednosti mogu biti konstantne ili varijabilne. Ako, pod određenim uvjetima, veličina ima samo jednu vrijednost i ne može je promijeniti, onda se naziva konstantnom, ali ako može uzeti razna značenja, tada je varijabla. Da, ubrzanje slobodan pad tijelo u ovo mjesto Zemljina površina je konstantna vrijednost, poprima jednu brojčanu vrijednost g = 9,81 ... m / s2, dok je put s, prijeđen materijalna točka tijekom svog kretanja, je varijabla.

2. približne vrijednosti brojeva. Vrijednost količine, u čiju istinitost ne sumnjamo, naziva se egzaktna. Često se, međutim, kada se traži vrijednost neke količine, dobije samo njezina približna vrijednost. U praksi izračuna, često se mora nositi s približnim vrijednostima brojeva. Dakle, p je točan broj, ali se zbog njegove iracionalnosti može koristiti samo njegova približna vrijednost.

U mnogim problemima, zbog složenosti, a često i nemogućnosti dobivanja točnih rješenja, koriste se metode aproksimativnog rješenja, a to su: približno rješenje jednadžbi, interpolacija funkcija, aproksimativno izračunavanje integrala itd.

Glavni zahtjev za približne izračune je usklađenost s navedenom točnošću srednjih izračuna i konačnim rezultatom. Istodobno, podjednako su neprihvatljivi i povećanje pogrešaka (pogrešaka) neopravdanim grubljim proračunima i zadržavanje suvišnih brojki koje ne odgovaraju stvarnoj točnosti.

Postoje dvije klase pogrešaka koje proizlaze iz izračuna i zaokruživanja brojeva - apsolutne i relativne.

1. Apsolutna pogreška (greška).

Uvedemo oznaku:

Neka je A točna vrijednost neke veličine, Zabilježite a » AČitat ćemo "a je približno jednako A". Ponekad ćemo napisati A = a, imajući na umu da je riječ o približnoj jednakosti.

Ako se zna da je a< А, то а называют približna vrijednost A s nedostatkom. Ako je a > A, tada se zove a približna vrijednost A u višku.

Razlika između točne i približne vrijednosti veličine naziva se pogreška aproksimacije a označava se s D, t.j.

D \u003d A - a (1)

Pogreška D aproksimacije može biti i pozitivna i negativna.

Da bi se okarakterizirala razlika između približne vrijednosti veličine i točne vrijednosti, često je dovoljno naznačiti apsolutnu vrijednost razlike između točne i približne vrijednosti.

Apsolutna vrijednost razlike između približnih a i točne ALI naziva se brojevne vrijednosti apsolutna pogreška (greška) aproksimacije i označeno sa D a:

D a = ½ a – ALI½ (2)

Primjer 1 Prilikom mjerenja linije l koristili ravnalo čija je vrijednost podjele skale 0,5 cm. Dobili smo približnu vrijednost za duljinu segmenta a= 204 cm.

Jasno je da se tijekom mjerenja mogu pogriješiti ne više od 0,5 cm, t.j. apsolutna pogreška mjerenja ne prelazi 0,5 cm.

Obično je apsolutna pogreška nepoznata, jer je nepoznata točna vrijednost broja A. Prema tome, neke evaluacija apsolutna pogreška:

D a <= Da prije. (3)

gdje je D prije. – marginalna greška (broj, više nula), koji se postavlja uzimajući u obzir sigurnost s kojom je broj a poznat.

Također se naziva granična apsolutna pogreška margina pogreške. Dakle, u navedenom primjeru,
D prije. = 0,5 cm.

Iz (3) dobivamo: D a = ½ a – ALI½<= Da prije. . i onda

a-D a prije. ≤ ALI≤ a+ D a prije. . (4)

Sredstva, oglas a prije. bit će aproksimacija ALI s nedostatkom i a + D a prije – približna vrijednost ALI u visku. Također koriste stenografiju: ALI= a±D a prije (5)

Iz definicije granične apsolutne pogreške proizlazi da su brojevi D a prije, zadovoljavajući nejednakost (3), postojat će beskonačan skup. U praksi se trudimo birati eventualno manje od brojeva D prije, zadovoljavajući nejednakost D a <= Da prije.

Primjer 2 Odredimo graničnu apsolutnu pogrešku broja a=3,14, uzeti kao približna vrijednost broja π.

Poznato je da 3,14<π<3,15. Otuda slijedi da

|a – π |< 0,01.

Broj D može se uzeti kao granična apsolutna pogreška a = 0,01.

Međutim, ako to uzmemo u obzir 3,14<π<3,142 , onda dobivamo bolju procjenu :D a= 0,002, dakle π ≈3,14 ±0,002.

Relativna pogreška (greška). Poznavanje samo apsolutne pogreške nije dovoljno za karakterizaciju kvalitete mjerenja.

Neka se, na primjer, vaganjem dvaju tijela dobiju sljedeći rezultati:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Iako su apsolutne pogreške mjerenja oba rezultata jednake, kvaliteta mjerenja u prvom slučaju bit će bolja nego u drugom. Karakterizira ga relativna pogreška.

Relativna pogreška (pogreška) aproksimacija broja ALI naziva se omjer apsolutne pogreške D a aproksimacija apsolutnoj vrijednosti broja A:

Budući da je točna vrijednost količine obično nepoznata, zamjenjuje se približnom vrijednošću, a zatim:

Ograničavajuća relativna pogreška ili granica relativne pogreške aproksimacije, zove broj d i prije.>0, tako da:

d a<= d i prije.

Za graničnu relativnu pogrešku očito se može uzeti omjer granične apsolutne pogreške i apsolutne vrijednosti približne vrijednosti:

Iz (9) lako se dobiva sljedeća važna relacija:

∆i prije. = |a| d i prije.

Granična relativna pogreška obično se izražava u postocima:

Primjer. Baza prirodnih logaritama za izračun uzima se jednakom e=2,72. Uzeli smo kao točnu vrijednost e m = 2,7183. Pronađite apsolutnu i relativnu pogrešku približnog broja.

D e = ½ e – e t ½=0,0017;

.

Vrijednost relativne pogreške ostaje nepromijenjena uz proporcionalnu promjenu najpribližnijeg broja i njegove apsolutne pogreške. Dakle, za broj 634,7, izračunat s apsolutnom pogreškom D = 1,3, i za broj 6347 s greškom D = 13, relativne pogreške su iste: d= 0,2.