Uproszczony kalkulator online ułamków algebraicznych. Jak uprościć wyrażenia algebraiczne
Wyrażenie algebraiczne, w którym oprócz operacji dodawania, odejmowania i mnożenia używają również dzielenia przez wyrażenia dosłowne, nazywa się ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Takie są na przykład wyrażenia
Ułamek algebraiczny nazywamy wyrażeniem algebraicznym, które ma postać ilorazu dzielenia dwóch całkowitych wyrażeń algebraicznych (na przykład jednomianów lub wielomianów). Takie są na przykład wyrażenia
trzecie z wyrażeń).
Transformacje tożsamościowe ułamkowych wyrażeń algebraicznych są w większości przeznaczone do reprezentowania ich jako ułamka algebraicznego. Aby znaleźć wspólny mianownik, stosuje się faktoryzację mianowników ułamków - terminów w celu znalezienia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podczas redukcji ułamki algebraiczneścisła tożsamość wyrażeń może zostać naruszona: konieczne jest wykluczenie wartości wielkości, przy których znika czynnik, o który dokonuje się redukcji.
Oto kilka przykładów identyczne przekształcenia ułamkowe wyrażenia algebraiczne.
Przykład 1: Uprość wyrażenie
Wszystkie wyrazy można sprowadzić do wspólnego mianownika (wygodnie jest zmienić znak w mianowniku ostatniego wyrazu i znak przed nim):
Nasze wyrażenie jest równe jeden dla wszystkich wartości z wyjątkiem tych wartości, nie jest zdefiniowane, a redukcja ułamków jest nielegalna).
Przykład 2. Reprezentuj wyrażenie jako ułamek algebraiczny
Rozwiązanie. Wyrażenie może być traktowane jako wspólny mianownik. Znajdujemy kolejno:
Ćwiczenia
1. Znajdź wartości wyrażeń algebraicznych dla określonych wartości parametrów:
2. Faktoryzuj.
Math-Calculator-Online v.1.0
Kalkulator wykonuje następujące operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, praca z ułamkami dziesiętnymi, wyciąganie pierwiastka, podnoszenie do potęgi, obliczanie procentów i inne operacje.
Rozwiązanie:
Jak korzystać z kalkulatora matematycznego
Klucz | Przeznaczenie | Wyjaśnienie |
---|---|---|
5 | cyfry 0-9 | Cyfry arabskie. Wprowadź naturalne liczby całkowite, zero. Aby uzyskać ujemną liczbę całkowitą, naciśnij klawisz +/- |
. | średnik) | Separator dziesiętny. Jeśli nie ma cyfry przed kropką (przecinek), kalkulator automatycznie podstawi zero przed kropką. Na przykład: zostanie zapisane 0,5 - 0,5 |
+ | znak plusa | Dodawanie liczb (całkowite, ułamki dziesiętne) |
- | minus | Odejmowanie liczb (całkowite, ułamki dziesiętne) |
÷ | znak podziału | Podział liczb (całkowite, ułamki dziesiętne) |
x | znak mnożenia | Mnożenie liczb (liczby całkowite, dziesiętne) |
√ | źródło | Wydobywanie pierwiastka z liczby. Po ponownym naciśnięciu przycisku „root” korzeń jest obliczany na podstawie wyniku. Na przykład: pierwiastek kwadratowy z 16 = 4; pierwiastek kwadratowy z 4 = 2 |
x2 | kwadratura | Podnoszenie liczby do kwadratu. Po ponownym naciśnięciu przycisku „kwadrat” wynik jest podnoszony do kwadratu, na przykład: kwadrat 2 = 4; kwadrat 4 = 16 |
1/x | frakcja | Dane wyjściowe do ułamków dziesiętnych. W liczniku 1, w mianowniku liczba wejściowa |
% | procent | Uzyskaj procent liczby. Do pracy należy wpisać: liczbę, od której będzie liczony procent, znak (plus, minus, dzielenie, pomnożenie), ile procent w postaci liczbowej, przycisk „%” |
( | otwarty wspornik | Otwarty nawias ustalający priorytet oceny. Wymagany jest nawias zamknięty. Przykład: (2+3)*2=10 |
) | zamknięty wspornik | Zamknięty nawias ustalający priorytet oceny. Wymagana dostępność otwarty wspornik |
± | mniej więcej | Zmienia znak na przeciwny |
= | równa się | Wyświetla wynik rozwiązania. Również obliczenia pośrednie i wynik są wyświetlane nad kalkulatorem w polu „Rozwiązanie”. |
← | usuwanie postaci | Usuwa ostatni znak |
OD | Resetowanie | Przycisk reset. Całkowicie resetuje kalkulator do „0” |
Algorytm kalkulatora online z przykładami
Dodatek.
Dodawanie liczb całkowitych liczby naturalne { 5 + 7 = 12 }
Dodawanie całych liczb naturalnych i ujemnych ( 5 + (-2) = 3 )
Dodawanie dziesiętne liczby ułamkowe { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Odejmowanie.
Odejmowanie całych liczb naturalnych ( 7 - 5 = 2 )
Odejmowanie całych liczb naturalnych i ujemnych ( 5 - (-2) = 7 )
Odejmowanie dziesiętnych liczb ułamkowych ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Mnożenie.
Iloczyn całkowitych liczb naturalnych ( 3 * 7 = 21 )
Iloczyn całkowitych liczb naturalnych i ujemnych ( 5 * (-3) = -15 )
Iloczyn dziesiętnych liczb ułamkowych ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Podział.
Podział całych liczb naturalnych ( 27 / 3 = 9 )
Podział liczb naturalnych i ujemnych ( 15 / (-3) = -5 )
Podział dziesiętnych liczb ułamkowych ( 6,2 / 2 = 3,1 )
Wydobywanie pierwiastka z liczby.
Wyodrębnianie pierwiastka liczby całkowitej ( root(9) = 3 )
Wyodrębnianie pierwiastka z cyfr dziesiętnych ( root(2.5) = 1.58)
Wyciąganie pierwiastka z sumy liczb ( pierwiastek(56 + 25) = 9 )
Wyodrębnianie pierwiastka z różnicy liczb ( pierwiastek (32 - 7) = 5 )
Podnoszenie liczby do kwadratu.
Podnoszenie liczby całkowitej do kwadratu ( (3) 2 = 9 )
Ułamki dziesiętne do kwadratu ( (2,2) 2 = 4,84 )
Konwersja na ułamki dziesiętne.
Obliczanie procentów liczby
Zwiększ 230 o 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Zmniejsz liczbę 510 o 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )
18% liczby 140 to (140 * 0,18 = 25,2)
Trochę przykłady algebraiczne jeden rodzaj może przerazić dzieci w wieku szkolnym. Długie wyrażenia są nie tylko onieśmielające, ale także bardzo trudne do obliczenia. Próbując od razu zrozumieć, co następuje i co następuje, aby nie gubić się na długo. Z tego powodu matematycy zawsze starają się maksymalnie uprościć „straszne” zadanie, a dopiero potem przystępują do jego rozwiązania. Co dziwne, taka sztuczka znacznie przyspiesza proces.
Uproszczenie jest jednym z podstawowych punktów algebry. Jeśli w proste zadania nadal można się bez niego obejść, wtedy trudniejsze do obliczenia przykłady mogą okazać się „zbyt trudne”. Tutaj przydają się te umiejętności! Co więcej, nie jest wymagana złożona wiedza matematyczna: wystarczy zapamiętać i nauczyć się stosować w praktyce kilka podstawowych technik i wzorów.
Niezależnie od złożoności obliczeń, przy rozwiązywaniu dowolnego wyrażenia ważne jest postępuj zgodnie z kolejnością operacji z liczbami:
- zdanie wtrącone;
- potęgowanie;
- mnożenie;
- podział;
- dodatek;
- odejmowanie.
Ostatnie dwa punkty można bezpiecznie zamienić i nie wpłynie to w żaden sposób na wynik. Ale dodanie dwóch sąsiadujących ze sobą liczb, gdy obok jednej z nich znajduje się znak mnożenia, jest absolutnie niemożliwe! Odpowiedź, jeśli taka istnieje, jest błędna. Dlatego musisz zapamiętać sekwencję.
Korzystanie z takich
Do takich elementów należą liczby ze zmienną tego samego rzędu lub tego samego stopnia. Są też tak zwani członkowie wolni, którzy nie mają obok siebie oznaczenia literowego nieznanego.
Najważniejsze jest to, że w przypadku braku nawiasów Możesz uprościć wyrażenie, dodając lub odejmując takie jak.
Kilka ilustracyjnych przykładów:
- 8x 2 i 3x 2 - obie liczby mają tę samą zmienną drugiego rzędu, więc są podobne i po dodaniu są uproszczone do (8+3)x 2 =11x 2, natomiast po odjęciu okazuje się (8-3) x2 =5x2;
- 4x 3 i 6x - i tutaj "x" ma inny stopień;
- 2y 7 i 33x 7 - zawierają różne zmienne, dlatego podobnie jak w poprzednim przypadku nie należą do podobnych.
Faktoring liczby
Ta mała matematyczna sztuczka, jeśli nauczysz się jej poprawnie używać, pomoże ci poradzić sobie z trudnym problemem więcej niż raz w przyszłości. I łatwo zrozumieć, jak działa „system”: rozkład jest iloczynem kilku elementów, których obliczenie daje pierwotną wartość. Zatem 20 może być reprezentowane jako 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 lub w inny sposób.
Na notatce: mnożniki są zawsze takie same jak dzielniki. Musisz więc poszukać działającej „pary” do rozszerzenia wśród liczb, przez które oryginał jest podzielny bez reszty.
Taką operację można wykonać zarówno z wolnymi członkami, jak iz cyframi dołączonymi do zmiennej. Najważniejsze, żeby nie stracić tego ostatniego podczas obliczeń - nawet po rozkładzie nieznane nie może zabrać i „nigdzie się nie udać”. Pozostaje jednym z czynników:
- 15x=3(5x);
- 60y 2 \u003d (15 lat 2) 4.
Liczby pierwsze, które można dzielić tylko same lub 1 nigdy czynnik – to nie ma sensu..
Podstawowe metody upraszczania
Pierwsza rzecz, która rzuca się w oczy:
- obecność nawiasów;
- frakcje;
- korzenie.
Przykłady algebraiczne w program nauczania są często kompilowane z założeniem, że można je pięknie uprościć.
Obliczenia wsporników
Zwróć szczególną uwagę na znak przed nawiasami! Mnożenie lub dzielenie jest stosowane do każdego elementu wewnątrz, a minus - odwraca istniejące znaki „+” lub „-”.
Nawiasy oblicza się według zasad lub według wzorów skróconego mnożenia, po czym podaje się podobne.
Redukcja frakcji
Zmniejsz ułamki jest również łatwe. Oni sami „chętnie uciekają” raz na jakiś czas, warto dokonać operacji z sprowadzeniem takich członków. Ale możesz uprościć przykład jeszcze wcześniej: zwróć uwagę na licznik i mianownik. Często zawierają jawne lub ukryte elementy, które można wzajemnie redukować. To prawda, że jeśli w pierwszym przypadku wystarczy usunąć zbędne, w drugim będziesz musiał pomyśleć, przenosząc część wyrażenia do formularza w celu uproszczenia. Zastosowane metody:
- wyszukiwanie i umieszczanie w nawiasach największego wspólnego dzielnika licznika i mianownika;
- dzieląc każdy górny element przez mianownik.
Kiedy wyrażenie lub jego część znajduje się pod korzeniem, podstawowy problem uproszczenia jest prawie taki sam, jak w przypadku ułamków. Należy szukać sposobów, aby całkowicie się go pozbyć lub, jeśli nie jest to możliwe, zminimalizować znak zakłócający obliczenia. Na przykład do dyskretnego √(3) lub √(7).
Właściwy sposób uprościć radykalne wyrażenie - spróbuj je rozłożyć na czynniki, z których niektóre znajdują się poza znakiem. Ilustracyjny przykład: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Inne małe sztuczki i niuanse:
- tę operację uproszczenia można przeprowadzić za pomocą ułamków, usuwając go ze znaku zarówno w całości, jak i osobno jako licznik lub mianownik;
- niemożliwe jest rozłożenie i wyciągnięcie części sumy lub różnicy poza pierwiastek;
- podczas pracy ze zmiennymi należy uwzględnić ich stopień, musi być równy lub wielokrotnością pierwiastka, aby możliwe było renderowanie: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√(x);
- czasami można pozbyć się radykalnej zmiennej przez podniesienie jej do potęgi ułamkowej: √ (y 3)=y 3/2.
Uproszczenie ekspresji mocy
Jeśli w przypadku prostych obliczeń przez minus lub plus, przykłady upraszcza się przez sprowadzenie podobnych, to co z mnożeniem lub dzieleniem zmiennych przez różne stopnie? Można je łatwo uprościć, pamiętając o dwóch głównych punktach:
- Jeśli między zmiennymi jest znak mnożenia, wykładniki są dodawane.
- Kiedy są one dzielone przez siebie, ten sam mianownik jest odejmowany od stopnia licznika.
Jedynym warunkiem takiego uproszczenia jest: ta sama baza dla obu członków. Przykłady dla jasności:
- 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13-11 \u003d 20x 9 + y 2;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.
Zauważamy, że operacje z wartościami liczbowymi przed zmiennymi odbywają się zgodnie ze zwykłymi regułami matematycznymi. A jeśli przyjrzysz się uważnie, stanie się jasne, że elementy mocy wyrażenia „działają” w podobny sposób:
- podniesienie członka do potęgi oznacza pomnożenie go przez siebie określoną liczbę razy, tj. x 2 \u003d x × x;
- podział jest podobny: jeśli rozwiniemy stopień licznika i mianownika, to część zmiennych zostanie zmniejszona, a reszta zostanie „zgromadzona”, co jest równoznaczne z odejmowaniem.
Jak w każdym biznesie, przy upraszczaniu wyrażeń algebraicznych niezbędna jest nie tylko znajomość podstaw, ale także praktyka. Już po kilku lekcjach przykłady, które kiedyś wydawały się skomplikowane, zostaną zredukowane bez praca specjalna, zamieniając się w krótkie i łatwe do rozwiązania.
Wideo
Ten film pomoże Ci zrozumieć i zapamiętać uproszczenie wyrażeń.
Nie otrzymałeś odpowiedzi na swoje pytanie? Zaproponuj temat autorom.