W czynnościach praktycznych człowiek musi mierzyć różne ilości, brać pod uwagę materiały i produkty pracy, wytwarzać różne obliczenia. Wyniki różnych pomiarów, obliczeń i obliczeń są liczbami. Liczby uzyskane w wyniku pomiaru tylko w przybliżeniu, z pewnym stopniem dokładności, charakteryzują pożądane wartości. Dokładne pomiary nie są możliwe z powodu niedokładności urządzenia pomiarowe, niedoskonałości naszych narządów wzroku, a same mierzone przedmioty czasami nie pozwalają nam określić ich wielkości z jakąkolwiek dokładnością.

Na przykład wiadomo, że długość Kanału Sueskiego wynosi 160 km, odległość wzdłuż kolej żelazna z Moskwy do Leningradu 651 km. Tutaj mamy wyniki pomiarów wykonanych z dokładnością do kilometra. Jeśli na przykład długość prostokątny obszar 29 m, szerokość 12 m, to chyba pomiary wykonano z dokładnością do metra, a ułamki metra zostały pominięte,

Przed wykonaniem jakiegokolwiek pomiaru należy zdecydować, z jaką dokładnością należy go wykonać, tj. które ułamki jednostki miary należy wziąć pod uwagę, a które pominąć.

Jeśli jest jakaś wartość a, którego prawdziwa wartość jest nieznana, a przybliżona wartość (przybliżenie) tej wartości jest równa X, piszą x.

Przy różnych pomiarach tej samej wielkości otrzymamy różne przybliżenia. Każde z tych przybliżeń będzie się różnić od rzeczywistej wartości mierzonej wartości, równej np. a, o pewną kwotę, którą nazwiemy błąd. Definicja. Jeżeli liczba x jest wartością przybliżoną (przybliżoną) pewnej wielkości, której rzeczywista wartość jest równa liczbie a, to moduł różnicy liczb, a oraz X nazywa absolutny błąd podane przybliżenie i oznaczone a x: lub po prostu a. Tak więc z definicji

a x = a-x (1)

Z tej definicji wynika, że

a = x a x (2)

Jeśli wiadomo o jakiej wielkości mówimy, to w notacji a x indeks a jest pominięte, a równość (2) jest zapisana w następujący sposób:

a = x x (3)

Ponieważ prawdziwa wartość pożądanej wartości jest najczęściej nieznana, nie można znaleźć błędu bezwzględnego w przybliżeniu tej wartości. Możesz wskazać tylko w każdym konkretnym przypadku liczbę dodatnią, większą niż ta absolutny błąd nie może być. Liczba ta nazywana jest granicą bezwzględnego błędu aproksymacji wielkości a i oznaczone h a. Tak więc, jeśli x jest arbitralnym przybliżeniem wartości a dla danej procedury uzyskiwania przybliżeń, to

a x = a-x h a (4)

Z powyższego wynika, że ​​jeśli h a jest granicą błędu bezwzględnego aproksymacji ilości a, to dowolna liczba większa niż h a, będzie również granicą błędu bezwzględnego aproksymacji wielkości a.

W praktyce przyjmuje się, że jako granicę błędu bezwzględnego wybiera się najmniejszą liczbę spełniającą nierówność (4).

Rozwiązywanie nierówności a-x h a rozumiemy to a zawarte w granicach

x-h a ax + h a (5)

Bardziej rygorystyczną koncepcję granicy błędu bezwzględnego można podać w następujący sposób.

Zostawiać X- wiele możliwych przybliżeń X wielkie ilości a dla danej procedury uzyskania przybliżenia. Potem dowolna liczba h, spełniający warunek a-x h a dla każdego xX, nazywana jest granicą błędu bezwzględnego aproksymacji ze zbioru X. Oznacz przez h a najmniejsza znana liczba h. Ten numer h a i jest wybierany w praktyce jako granica błędu absolutnego.

Bezwzględny błąd aproksymacji nie charakteryzuje jakości pomiarów. Rzeczywiście, jeśli mierzymy dowolną długość z dokładnością do 1 cm, to w przypadku, gdy rozmawiamy o określeniu długości ołówka, będzie to słaba dokładność. Jeżeli z dokładnością do 1 cm określimy długość lub szerokość boiska do siatkówki, to będzie to duża dokładność.

Aby scharakteryzować dokładność pomiaru, wprowadzono pojęcie błędu względnego.

Definicja. Jeśli a x: występuje bezwzględny błąd aproksymacji X jakaś ilość, której prawdziwa wartość jest równa liczbie a, to stosunek a x do modułu liczby X nazywa się względnym błędem aproksymacji i jest oznaczany a x lub x.

Tak więc z definicji

Błąd względny jest zwykle wyrażany w procentach.

W przeciwieństwie do błędu bezwzględnego, który najczęściej jest wielkością wymiarową, błąd względny jest wielkością bezwymiarową.

W praktyce nie bierze się pod uwagę błędu względnego, ale tzw. granicę błędu względnego: taką liczbę mi a, który nie może być większy niż względny błąd aproksymacji pożądanej wartości.

Zatem, a x E a .

Jeśli h a-- granica błędu bezwzględnego aproksymacji wielkości a, następnie a x h a i stąd

Oczywiście dowolna liczba mi, spełniający warunek, będzie granicą błędu względnego. W praktyce zwykle znane jest pewne przybliżenie X wielkie ilości a oraz bezwzględny limit błędu. Wtedy liczba

1. Liczby są dokładne i przybliżone. Liczby, z którymi spotykamy się w praktyce, są dwojakiego rodzaju. Jedne podają prawdziwą wartość ilości, inne tylko przybliżoną. Pierwsza nazywa się dokładna, druga - przybliżona. Najczęściej wygodniej jest użyć przybliżonej liczby zamiast dokładnej, zwłaszcza że w wielu przypadkach dokładny numer ogólnie niemożliwe do znalezienia.

Wyniki operacji na liczbach dają: z liczbami przybliżonymi liczby przybliżone. Na przykład. Podczas epidemii 60% mieszkańców Petersburga choruje na grypę. To około 3 miliony ludzi. z dokładnymi liczbami dokładne liczby Np. Na wykładzie z matematyki na widowni jest 65 osób. przybliżone liczby Np. Średnia temperatura ciała pacjenta w ciągu dnia 37,3: rano: 37,2; dzień: 36,8; wieczór38.

Teoria obliczeń przybliżonych pozwala na: 1) poznanie stopnia dokładności danych, ocenę stopnia dokładności wyników; 2) pobierać dane o odpowiednim stopniu dokładności, wystarczającym do zapewnienia wymaganej dokładności wyniku; 3) zracjonalizować proces obliczeniowy, uwalniając go od tych obliczeń, które nie wpłyną na dokładność wyniku.

1) jeżeli pierwsza (lewa) z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to ostatnia pozostała cyfra nie jest zmieniana (zaokrąglając w dół); 2) jeżeli pierwsza odrzucona cyfra jest większa niż 5 lub równa 5, to ostatnią pozostałą cyfrę zwiększa się o jeden (zaokrąglając w górę). Zaokrąglanie: a) do dziesiętnych 12,34 12,3; b) do setnych 3,2465 3,25; 1038,79. c) do tysięcznych 3,4335 3,434. d) do tysięcy; Uwzględnia to:

Wielkości najczęściej mierzone w medycynie: masa m, długość l, prędkość procesu v, czas t, temperatura t, objętość V itp. Mierzenie wielkości fizycznej oznacza porównanie jej z jednorodną wielkością przyjmowaną jako jednostka. 9 Jednostki miary wielkości fizycznych: Podstawowa Długość - 1 m - (metr) Czas - 1 s - (sekunda) Masa - 1 kg - (kilogram) Produkty Objętość - 1 m³ - (metr sześcienny) Prędkość - 1 m/s - (metr na sekundę)

Prefiksy do nazw jednostek: Wielokrotne prefiksy - wzrost o 10, 100, 1000 itd. razy g - hekto (×100) k - kilogram (× 1000) M - mega (×) 1 km (kilometr) 1 kg (kilogram) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g zmniejsz o 10 , 100, 1000 itd. razy d - decy (×0,1) s - centi (× 0,01) m - mili (× 0,001) 1 dm (decymetr) 1dm = 0,1 m 1 cm (centymetr) 1cm = 0,01 m 1 mm (milimetr) 1mm = 0,001 m

Do diagnozy, leczenia, profilaktyki chorób w medycynie stosuje się różnorodną aparaturę pomiarową.

Termometr. Najpierw musisz wziąć pod uwagę górną i dolną granicę pomiaru. Dolna granica to minimum, a górna to maksymalna mierzalna wartość. Jeśli oczekiwana wartość mierzonej wartości jest nieznana, lepiej wziąć urządzenie z „marginesem”. Na przykład pomiar temperatury gorąca woda nie przeprowadzać za pomocą termometru ulicznego lub pokojowego. Lepiej znaleźć urządzenie z górną granicą 100 ° C. Po drugie, musisz zrozumieć, jak dokładnie należy zmierzyć ilość. Ponieważ błąd pomiaru zależy od wartości dzielenia, więcej dokładne pomiary wybierany jest instrument z najmniejszą działką elementarną.

Błędy pomiarowe. Do pomiaru różnych parametrów diagnostycznych potrzebne jest własne urządzenie. Na przykład długość mierzy się linijką, a temperaturę termometrem. Ale linijki, termometry, tonometry i inne urządzenia są różne, więc aby zmierzyć dowolną wielkość fizyczną, musisz wybrać urządzenie odpowiednie do tego pomiaru.

Cena podziału urządzenia. Temperatura ludzkiego ciała musi być dokładnie określona, ​​leki należy podawać w ściśle określonej ilości, dlatego cena działek podziałki urządzenia pomiarowego jest ważną cechą każdego urządzenia. Zasada obliczania ceny podziałki urządzenia Aby obliczyć cenę podziałek wagi należy: a) wybrać dwa najbliższe zdigitalizowane kreski na skali; b) policzyć liczbę podziałów między nimi; c) Podziel różnicę wartości wokół wybranych uderzeń przez liczbę podziałów.

Cena podziału urządzenia. Wartość działki (50-30)/4=5 (ml) Wartość działki: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temp., (4-2)/10=0,2 s

Ustal cenę podziału urządzeń: 16

Bezwzględny błąd pomiaru. Błędy na pewno wystąpią w każdym pomiarze. Błędy te wynikają z różnych czynników. Wszystkie czynniki można podzielić na trzy części: błędy spowodowane niedoskonałością instrumentów; błędy spowodowane niedoskonałością metod pomiarowych; błędy wynikające z wpływu czynników losowych, których nie można wyeliminować. Mierząc jakąkolwiek wartość, chce się wiedzieć nie tylko jej wartość, ale także na ile można ufać tej wartości, jaka jest dokładna. Aby to zrobić, trzeba wiedzieć, jak bardzo rzeczywista wartość wielkości może różnić się od zmierzonej. W tym celu wprowadzono pojęcie błędów bezwzględnych i względnych.

Błędy bezwzględne i względne. Błąd bezwzględny pokazuje, ile rzeczywista wartość wielkość fizyczna różni się od mierzonego. Zależy to od samego urządzenia (błąd przyrządu) oraz procesu pomiarowego (błąd odczytu na wadze). Błąd instrumentalny należy wskazać w paszporcie instrumentu (z reguły jest równy podziałowi skali instrumentu). Błąd odczytu jest zwykle przyjmowany jako równy połowie wartości podziału. Błąd bezwzględny przybliżonej wartości to różnica Δ x \u003d | x - x 0 |, gdzie x 0 jest wartością przybliżoną, a x jest dokładną wartością zmierzonej wartości, lub czasami zamiast x używają A ΔA \ u003d |A-A0 |.

Błędy bezwzględne i względne. Przykład. Wiadomo, że -0,333 to przybliżona wartość dla -1/3. Wtedy z definicji błędu bezwzględnego Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. W wielu praktycznie ważnych przypadkach niemożliwe jest znalezienie bezwzględnego błędu aproksymacji ze względu na to, że dokładna wartość wielkości jest nieznana. Możesz jednak podać liczbę dodatnią, powyżej której ten bezwzględny błąd nie może być. Jest to dowolna liczba h spełniająca nierówność | ∆x | h Nazywa się to bezwzględną granicą błędu.

W tym przypadku mówią, że wartość x wynosi w przybliżeniu do h równego x 0. x \u003d x 0 ± h lub x 0 - h x x 0 + h

Bezwzględne błędy instrumentalne przyrządów pomiarowych

Estymacja błędów instrumentalnych wielkości mierzonych. W przypadku większości przyrządów pomiarowych błąd przyrządu jest równy podziałowi skali. Wyjątkiem są przyrządy cyfrowe i czujniki zegarowe. W przypadku urządzeń cyfrowych błąd jest wskazany w paszporcie i zwykle jest kilkakrotnie wyższy niż podział skali urządzenia. W przypadku przyrządów do pomiaru wskaźnika błąd jest określony przez ich klasę dokładności wskazaną na skali przyrządu oraz granicę pomiaru. Klasa dokładności jest wskazywana na skali urządzenia w postaci liczby, która nie jest otoczona żadną ramką. Na przykład na pokazanym rysunku klasa dokładności manometru wynosi 1,5. Klasa dokładności pokazuje, o ile procent błędu urządzenia pochodzi z granicy jego pomiarów. W przypadku manometru wskaźnikowego granica pomiaru wynosi odpowiednio 3 atm, błąd pomiaru ciśnienia wynosi 1,5% z 3 atm, czyli 0,045 atm. Należy zauważyć, że dla większości urządzeń wskaźnikowych ich błąd okazuje się równy wartości podziału urządzenia. Tak jak w naszym przykładzie, gdzie cena podziału barometru wynosi 0,05 atm.

Błędy bezwzględne i względne. Błąd bezwzględny jest potrzebny do określenia zakresu, w którym może spaść prawdziwa wartość, ale do oceny dokładności wyniku jako całości nie jest on bardzo orientacyjny. Przecież pomiar długości 10 m z błędem 1 mm jest z pewnością bardzo dokładny, natomiast pomiar długości 2 mm z błędem 1 mm jest oczywiście wyjątkowo niedokładny. Bezwzględny błąd pomiaru jest zwykle zaokrąglany do jednej cyfry znaczącej ΔA 0,17 0,2. Wartość liczbowa wyniku pomiaru jest zaokrąglana tak, aby jego ostatnia cyfra znajdowała się w tej samej cyfrze co wartość błędu A=10,332 10,3

Błędy bezwzględne i względne. Wraz z błędem bezwzględnym zwykle bierze się pod uwagę błąd względny, który jest równy stosunkowi błędu bezwzględnego do wartości samej wielkości. Błąd względny liczby przybliżonej to stosunek błędu bezwzględnego liczby przybliżonej do samej tej liczby: E = Δx. 100% x 0 Błąd względny pokazuje, ile procent samej wartości może wystąpić błąd i jest wskaźnikiem przy ocenie jakości wyników eksperymentalnych.

Przykład. Podczas pomiaru długości i średnicy kapilary uzyskano l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Który z tych pomiarów jest dokładniejszy? Podczas pomiaru długości kapilary dopuszczalny jest błąd bezwzględny 10 mm na 100 mm, dlatego błąd bezwzględny wynosi 10/100=0,1=10%. Przy pomiarze średnicy kapilary dopuszczalny błąd bezwzględny wynosi 0,1/2,5=0,04=4% Dlatego pomiar średnicy kapilary jest dokładniejszy.

W wielu przypadkach nie można znaleźć absolutnego błędu. Stąd względny błąd. Ale możesz znaleźć granicę względnego błędu. Dowolna liczba δ spełniająca nierówność | ∆x | / | xo | δ, to granica błędu względnego. W szczególności, jeśli h jest bezwzględną granicą błędu, to liczba δ= h/| xo|, jest granicą błędu względnego aproksymacji xo. Stąd. Znajomość granicy rel.p-i. δ, można znaleźć granicę błędu bezwzględnego h. h=δ | xo |

Przykład. Wiadomo, że 2=1,41… Znajdź względną dokładność przybliżonej równości lub granicę błędu względnego przybliżonej równości 2 1,41. Tutaj x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Oczywiście 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, granica błędu bezwzględnego to 0,01, granica błędu względnego to 1/141

Przykład. Przy odczycie odczytu ze skali ważne jest, aby Twój wzrok padł prostopadle do skali instrumentu, a błąd będzie mniejszy. Aby określić odczyt termometru należy: 1. określić ilość działek, 2. pomnożyć je przez cenę działki 3. uwzględnić błąd 4. zapisać wynik końcowy. t = 20 °C ± 1,5 °C Oznacza to, że temperatura wynosi od 18,5° do 21,5°. Czyli może to być np. 19, a 20 i 21 stopni Celsjusza. Aby zwiększyć dokładność pomiarów, zwyczajowo powtarza się je co najmniej trzy razy i oblicza średnią wartość zmierzonej wartości

N A C O R D E N I A A N E D E N G O N I N I O N I Wyniki pomiarów C 1 \u003d 34,5 C 2 \u003d 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 \u003d 33,5 C 5 \u003d 54,2 a) Znajdźmy średnią wartość czterech wielkości z cp \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33,5):4 = 33,925 33,9 b) Znajdź odchylenie wartości od wartości średniej Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Znajdź błąd bezwzględny Δc \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Znajdź błąd względny δ \u003d Δc: s SR δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Zapisz ostateczną odpowiedź c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

PRACA DOMOWA Przygotuj się do lekcja praktyczna na podstawie wykładu. Wykonać zadanie. Znajdź średnią wartość i błąd: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Twórz prezentacje na tematy: „Zaokrąglanie wartości w medycynie”, „Błędy pomiarowe”, „Medyczny sprzęt pomiarowy”

Wstęp

Absolutny błąd- jest oszacowaniem bezwzględnego błędu pomiaru. Obliczona różne sposoby. Sposób obliczania jest określony przez rozkład zmiennej losowej. W związku z tym wielkość błędu bezwzględnego, w zależności od rozkładu zmiennej losowej, może być różna. Jeśli jest wartością zmierzoną i jest wartością prawdziwą, to nierówność musi utrzymywać się z pewnym prawdopodobieństwem bliskim 1. Jeśli wartość losowa rozłożone zgodnie z prawem normalnym, to zwykle jego odchylenie standardowe przyjmuje się jako błąd bezwzględny. Błąd bezwzględny jest mierzony w tych samych jednostkach, co sama wartość.

Istnieje kilka sposobów na zapisanie wielkości wraz z jej błędem bezwzględnym.

· Zwykle stosuje się notację ze znakiem ±. Na przykład rekord 100 m ustanowiony w 1983 r. to 9,930 ± 0,005 s.

· Do rejestrowania wartości mierzonych z bardzo dużą dokładnością stosuje się inny zapis: liczby odpowiadające błędowi ostatnich cyfr mantysy dodaje się w nawiasach. Na przykład zmierzona wartość stałej Boltzmanna wynosi 1,380 6488 (13)?10?23 J/K, które można też pisać znacznie dłużej jako 1,380 6488?10?23 ±0,000 0013?10?23 J/K.

Względny błąd- błąd pomiaru, wyrażony jako stosunek bezwzględnego błędu pomiaru do rzeczywistej lub średniej wartości mierzonej wielkości (RMG 29-99):.

Błąd względny jest wielkością bezwymiarową lub jest mierzony w procentach.

Przybliżenie

Za dużo i za mało? W procesie obliczeń często mamy do czynienia z liczbami przybliżonymi. Zostawiać ALE- dokładna wartość określonej ilości, zwana dalej dokładna liczba Pod przybliżoną wartością ilości ALE, lub przybliżone liczby zadzwonił pod numer a, który zastępuje dokładną wartość ilości ALE. Jeśli a< ALE, następnie a nazywa się przybliżoną wartością liczby I z braku. Jeśli a> ALE,- następnie w nadmiarze. Na przykład 3,14 jest przybliżeniem liczby R przez niedobór, a 3,15 przez nadmiar. Do scharakteryzowania stopnia dokładności tego przybliżenia stosuje się pojęcie błędy lub błędy.

Błąd D a przybliżona liczba a nazywa się różnicą formy

D a = A-a,

gdzie ALE to odpowiednia dokładna liczba.

Rysunek pokazuje, że długość odcinka AB wynosi od 6 cm do 7 cm.

Oznacza to, że 6 to przybliżona wartość długości odcinka AB (w centymetrach)\u003e z niedoborem, a 7 z nadmiarem.

Oznaczając długość odcinka literą y otrzymujemy: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина człon AB (patrz ryc. 149) jest bliższy 6 cm niż 7 cm, jest w przybliżeniu równy 6 cm Mówią, że liczbę 6 uzyskano przez zaokrąglenie długości segmentu do liczb całkowitych.

Całkowita wartość różnice między przybliżoną a dokładną (prawdziwą) wartością wielkości nazywa się absolutny błąd przybliżona wartość. na przykład jeśli dokładna liczba 1,214 zaokrąglając do dziesiątych części, otrzymujemy przybliżoną liczbę 1,2 . W takim przypadku bezwzględny błąd przybliżonej liczby będzie 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Jednak w większości przypadków dokładna wartość rozważanej wielkości jest nieznana, ale jedynie przybliżona. Wtedy błąd bezwzględny również jest nieznany. W takich przypadkach wskaż granica którego nie przekracza. Ten numer nazywa się graniczny błąd bezwzględny. Mówią, że dokładna wartość liczby jest równa jej przybliżonej wartości z błędem mniejszym niż błąd graniczny. na przykład, numer 23,71 to przybliżona wartość liczby 23,7125 aż do 0,01 , ponieważ bezwzględny błąd aproksymacji jest równy 0,0025 i mniej 0,01 . Tutaj bezwzględny błąd brzegowy jest równy 0,01 .*

(* Absolutny błąd jest zarówno pozytywny, jak i negatywny. na przykład, 1,68 ≈ 1,7 . Błąd bezwzględny to 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Granica błąd jest zawsze dodatni).

Graniczny błąd bezwzględny liczby przybliżonej " a » jest oznaczony symbolem Δ a . Nagranie

x a ( Δ a)

należy rozumieć w następujący sposób: dokładna wartość ilości X jest pomiędzy a +Δ a oraz a –Δ a, które są odpowiednio nazwane na dole oraz Górna granica X i oznacza H G X oraz W G X .

na przykład, jeśli X≈ 2,3 ( 0,1), następnie 2,2 < X < 2,4 .

Wręcz przeciwnie, jeśli 7,3 < X < 7,4, następnie X≈ 7,35 ( 0,05).

Bezwzględny lub graniczny błąd bezwzględny nie scharakteryzować jakość pomiaru. Ten sam błąd bezwzględny można uznać za istotny i nieistotny, w zależności od liczby wyrażającej zmierzoną wartość.

na przykład jeśli mierzymy odległość między dwoma miastami z dokładnością do jednego kilometra, to taka dokładność jest w zupełności wystarczająca do tego pomiaru, podczas gdy jednocześnie przy pomiarze odległości między dwoma domami na tej samej ulicy taka dokładność będzie niedopuszczalna .

Dlatego dokładność przybliżonej wartości wielkości zależy nie tylko od wielkości błędu bezwzględnego, ale także od wartości mierzonej wielkości. Więc miarą dokładności jest błąd względny.

Względny błąd jest stosunkiem błędu bezwzględnego do wartości przybliżonej liczby. Nazywa się stosunek bezwzględnego błędu brzegowego do liczby przybliżonej graniczny błąd względny; oznacz to tak: Δ a/a. Błędy względne i graniczne są zwykle wyrażane w procentach.

na przykład jeśli pomiary wykażą, że odległość między dwoma punktami jest większa niż 12,3 km², ale mniej 12,7 km, to dla przybliżony jego znaczenie jest akceptowane przeciętny te dwie liczby, czyli ich pół sumy, następnie granica absolutnym błędem jest pół-różnica te liczby. W tym przypadku X≈ 12,5 ( 0,2). Oto granica absolutny błąd jest 0,2 km², a granica

Do nowoczesne zadania konieczne jest zastosowanie złożonego aparatu matematycznego i wypracowanych metod ich rozwiązywania. W tym przypadku często spotyka się problemy, dla których rozwiązanie analityczne, tj. rozwiązanie w postaci wyrażenia analitycznego łączącego dane wyjściowe z wymaganymi wynikami jest albo w ogóle niemożliwe, albo wyrażane w tak uciążliwych formułach, że niepraktyczne jest ich wykorzystywanie do celów praktycznych.

W tym przypadku stosuje się metody rozwiązania numerycznego, które pozwalają w dość prosty sposób uzyskać numeryczne rozwiązanie problemu. Metody numeryczne są implementowane przy użyciu algorytmów obliczeniowych.

Cała różnorodność metod numerycznych podzielona jest na dwie grupy:

Dokładnie - zakładają, że jeśli obliczenia zostaną przeprowadzone dokładnie, to za pomocą skończonej liczby operacji arytmetycznych i logicznych można uzyskać dokładne wartości pożądanych ilości.

Przybliżona – która nawet przy założeniu, że obliczenia wykonywane są bez zaokrągleń, pozwalają na uzyskanie rozwiązania problemu tylko z zadaną dokładnością.

1. wartość i liczba. Ilość to coś, co można wyrazić jako liczbę w określonych jednostkach.

Kiedy mówią o wartości wielkości, mają na myśli pewną liczbę, zwaną wartością liczbową wielkości, i jej jednostkę miary.

Zatem ilość jest cechą charakterystyczną obiektu lub zjawiska, która jest wspólna dla wielu obiektów, ale dla każdego z nich ma indywidualne wartości.

Wartości mogą być stałe lub zmienne. Jeśli w pewnych warunkach ilość przyjmuje tylko jedną wartość i nie może jej zmienić, nazywa się ją stałą, ale jeśli może przyjąć różne znaczenia, to jest zmienną. Tak, przyspieszenie swobodny spadek ciało w to miejsce powierzchnia ziemi jest wartością stałą, przyjmującą pojedynczą wartość liczbową g = 9,81...m/s2, podczas gdy droga s, przebyta punkt materialny podczas swojego ruchu jest zmienną.

2. przybliżone wartości liczb. Wartość ilości, której prawdziwości nie wątpimy, nazywa się dokładną. Często jednak, szukając wartości wielkości, uzyskuje się tylko jej przybliżoną wartość. W praktyce obliczeń często mamy do czynienia z przybliżonymi wartościami liczb. Tak więc p jest liczbą dokładną, ale ze względu na jej nieracjonalność można użyć tylko jej przybliżonej wartości.

W wielu problemach, ze względu na złożoność, a często niemożność uzyskania dokładnych rozwiązań, stosuje się przybliżone metody rozwiązywania, są to: przybliżone rozwiązywanie równań, interpolacja funkcji, przybliżone obliczanie całek itp.

Głównym wymogiem obliczeń przybliżonych jest zgodność z określoną dokładnością obliczeń pośrednich i wyniku końcowego. Jednocześnie nie do zaakceptowania jest zarówno wzrost błędów (błędów) przez nieuzasadnione zgrubienie obliczeń, jak i zachowanie zbędnych liczb, które nie odpowiadają rzeczywistej dokładności.

Istnieją dwie klasy błędów wynikających z obliczeń i zaokrąglania liczb - bezwzględna i względna.

1. Błąd bezwzględny (błąd).

Wprowadźmy notację:

Niech A będzie dokładną wartością pewnej ilości, Rekord a » A Czytamy "a jest w przybliżeniu równe A". Czasami napiszemy A = a, pamiętając, że mówimy o przybliżonej równości.

Jeśli wiadomo, że a< А, то а называют przybliżona wartość A z wadą. Jeśli a > A, to a nazywa się przybliżona wartość A z nadwyżką.

Różnica między dokładnymi a przybliżonymi wartościami ilości nazywa się błąd aproksymacji i jest oznaczony przez D, tj.

D \u003d A - a (1)

Błąd D aproksymacji może być zarówno dodatni, jak i ujemny.

Aby scharakteryzować różnicę między przybliżoną wartością wielkości a wartością dokładną, często wystarczy wskazać bezwzględną wartość różnicy między wartościami dokładnymi i przybliżonymi.

Wartość bezwzględna różnicy między przybliżonym a i dokładne ALE nazywa się wartości liczbowe błąd bezwzględny (błąd) aproksymacji i oznaczony przez D a:

D a = ½ a – ALE½ (2)

Przykład 1 Podczas pomiaru linii ja użyliśmy linijki, której podziałka podziałki wynosi 0,5 cm, otrzymaliśmy przybliżoną wartość długości odcinka a= 204 cm.

Oczywiste jest, że podczas pomiaru można je pomylić o nie więcej niż 0,5 cm, tj. bezwzględny błąd pomiaru nie przekracza 0,5 cm.

Zwykle błąd bezwzględny jest nieznany, ponieważ dokładna wartość liczby A jest nieznana. Dlatego niektórzy ocena absolutny błąd:

D a <= Da zanim. (3)

gdzie d zanim. – błąd krańcowy (liczba, jeszcze zero), która jest ustalana z uwzględnieniem pewności, z jaką znana jest liczba a.

Graniczny błąd bezwzględny jest również nazywany margines błędu. Tak więc w podanym przykładzie
D zanim. = 0,5 cm.

Z (3) otrzymujemy: D a = ½ a – ALE½<= Da zanim. . i wtedy

a-D a zanim. ≤ ALE≤ a+ D a zanim. . (4)

Znaczy, ogłoszenie a zanim. będzie przybliżeniem ALE z wadą i a + D a zanim – przybliżona wartość ALE w nadmiarze. Używają również skrótów: ALE= a±D a zanim (5)

Z definicji granicznego błędu bezwzględnego wynika, że ​​liczby D a zanim, spełniająca nierówność (3), będzie zbiór nieskończony. W praktyce staramy się wybierać prawdopodobnie mniej z liczb D zanim, spełniając nierówność D a <= Da zanim.

Przykład 2 Określmy graniczny błąd bezwzględny liczby a=3,14, przyjmowana jako przybliżona wartość liczby π.

Wiadomo, że 3,14<π<3,15. Stąd wynika, że

|a – π |< 0,01.

Liczbę D można przyjąć jako graniczny błąd bezwzględny a = 0,01.

Jeśli jednak weźmiemy to pod uwagę 3,14<π<3,142 , wtedy otrzymujemy lepsze oszacowanie :D a= 0,002, to π ≈3,14 ±0,002.

Błąd względny (błąd). Znajomość tylko błędu bezwzględnego nie wystarczy do scharakteryzowania jakości pomiaru.

Niech na przykład przy ważeniu dwóch ciał otrzymamy następujące wyniki:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Choć bezwzględne błędy pomiarowe obu wyników są takie same, to jakość pomiaru w pierwszym przypadku będzie lepsza niż w drugim. Charakteryzuje się względnym błędem.

Błąd względny (błąd) przybliżenie liczby ALE nazywa się bezwzględnym współczynnikiem błędu Da przybliżenie do wartości bezwzględnej liczby A:

Ponieważ dokładna wartość ilości jest zwykle nieznana, zastępuje się ją wartością przybliżoną, a następnie:

Ograniczający błąd względny lub granica względnego błędu aproksymacji, zadzwonił pod numer d a wcześniej.>0, taki, że:

d a<= d a wcześniej.

Za graniczny błąd względny można oczywiście przyjąć stosunek granicznego błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej wartości przybliżonej:

Z (9) można łatwo uzyskać następującą ważną zależność:

∆a wcześniej. = |a| d a wcześniej.

Graniczny błąd względny jest zwykle wyrażany w procentach:

Przykład. Podstawę logarytmów naturalnych do obliczeń przyjmuje się jako mi=2,72. Przyjęliśmy jako dokładną wartość mi m = 2,7183. Znajdź bezwzględne i względne błędy przybliżonej liczby.

D mi = ½ mi – mi t½=0,0017;

.

Wartość błędu względnego pozostaje niezmieniona z proporcjonalną zmianą liczby najbardziej przybliżonej i jej błędu bezwzględnego. Tak więc dla liczby 634.7, obliczonej z błędem bezwzględnym D = 1,3, a dla liczby 6347 z błędem D = 13, błędy względne są takie same: d= 0,2.