Każdy język może wyrazić te same informacje różne słowa i obroty. Język matematyczny nie jest wyjątkiem. Ale to samo wyrażenie można równoważnie napisać na różne sposoby. A w niektórych sytuacjach jeden z wpisów jest prostszy. W tej lekcji porozmawiamy o uproszczeniu wyrażeń.

Ludzie komunikują się dalej inne języki. Dla nas ważnym porównaniem jest para „Język rosyjski - język matematyczny”. Te same informacje mogą być przekazywane w różnych językach. Ale poza tym może być inaczej wymawiane w jednym języku.

Na przykład: „Piotr jest przyjacielem Wasyi”, „Wasja przyjaźni się z Petyą”, „Piotr i Wasia są przyjaciółmi”. Mówiąc inaczej, ale jedno i to samo. Dzięki którymkolwiek z tych zwrotów zrozumielibyśmy, o co toczy się gra.

Spójrzmy na to zdanie: „Chłopiec Petya i chłopiec Wasia są przyjaciółmi”. Rozumiemy co w pytaniu. Jednak nie podoba nam się, jak brzmi to zdanie. Czy nie możemy tego uprościć, powiedzieć to samo, ale prościej? „Chłopiec i chłopiec” - możesz raz powiedzieć: „Chłopcy Petya i Vasya są przyjaciółmi”.

„Chłopcy”… Czy z ich imion nie wynika jasno, że nie są dziewczynami. Usuwamy „chłopców”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. A słowo „przyjaciele” można zastąpić słowem „przyjaciele”: „Petya i Wasia są przyjaciółmi”. W rezultacie pierwsza, długa, brzydka fraza została zastąpiona równoważnym stwierdzeniem, które jest łatwiejsze do powiedzenia i łatwiejsze do zrozumienia. Uprościliśmy to zdanie. Upraszczać znaczy mówić łatwiej, ale nie tracić, nie zniekształcać sensu.

To samo dzieje się w języku matematycznym. To samo można powiedzieć inaczej. Co to znaczy uprościć wyrażenie? Oznacza to, że dla pierwotnego wyrażenia istnieje wiele równoważnych wyrażeń, to znaczy takich, które oznaczają to samo. I z całej tej mnogości musimy wybrać najprostszy naszym zdaniem lub najbardziej odpowiedni dla naszych dalszych celów.

Rozważmy na przykład wyrażenie liczbowe. Będzie to odpowiednik .

Będzie również odpowiednikiem dwóch pierwszych: .

Okazuje się, że uprościliśmy nasze wyrażenia i znaleźliśmy najkrótszy odpowiednik.

W przypadku wyrażeń liczbowych zawsze musisz wykonać całą pracę i uzyskać równoważne wyrażenie jako pojedynczą liczbę.

Rozważ przykład wyrażenia dosłownego . Oczywiście będzie prostsze.

Upraszczając wyrażenia dosłowne, musisz wykonać wszystkie możliwe czynności.

Czy zawsze konieczne jest uproszczenie wyrażenia? Nie, czasami odpowiednik, ale dłuższy zapis będzie dla nas wygodniejszy.

Przykład: Odejmij liczbę od liczby.

Można to obliczyć, ale gdyby pierwsza liczba była reprezentowana przez jej odpowiednik: , to obliczenia byłyby natychmiastowe: .

Oznacza to, że uproszczone wyrażenie nie zawsze jest dla nas korzystne dla dalszych obliczeń.

Niemniej jednak bardzo często stajemy przed zadaniem, które brzmi jak „uprość wyrażenie”.

Uprość wyrażenie: .

Decyzja

1) Wykonaj czynności w pierwszym i drugim nawiasie: .

2) Oblicz produkty: .

Oczywiście ostatnie wyrażenie ma prostszą formę niż początkowe. Uprościliśmy to.

Aby uprościć wyrażenie, należy je zastąpić odpowiednikiem (równym).

Aby określić równoważne wyrażenie, musisz:

1) wykonać wszystkie możliwe czynności,

2) wykorzystywać właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w celu uproszczenia obliczeń.

Własności dodawania i odejmowania:

1. Przemienność dodawania: suma nie zmienia się po przekształceniu wyrazów.

2. Asocjacyjna własność dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej liczby do pierwszej liczby.

3. Właściwość odejmowania sumy od liczby: aby odjąć sumę od liczby, możesz odjąć każdy wyraz z osobna.

Własności mnożenia i dzielenia

1. Przemienność mnożenia: iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników.

2. Własność asocjacyjna: aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, możesz najpierw pomnożyć ją przez pierwszy czynnik, a następnie pomnożyć otrzymany iloczyn przez drugi czynnik.

3. Dystrybucyjna własność mnożenia: aby pomnożyć liczbę przez sumę, należy ją pomnożyć przez każdy wyraz z osobna.

Zobaczmy, jak faktycznie wykonujemy obliczenia umysłowe.

Oblicz:

Decyzja

1) Wyobraź sobie jak

2) Przedstawmy pierwszy czynnik jako sumę terminy bitowe i wykonaj mnożenie:

3) możesz sobie wyobrazić, jak i wykonać mnożenie:

4) Zastąp pierwszy czynnik sumą równoważną:

Prawo podziału może być również użyte w odwrotnym kierunku: .

Wykonaj następujące kroki:

1) 2)

Decyzja

1) Dla wygody możesz użyć prawa dystrybucji, po prostu użyj go w przeciwnym kierunku - usuń wspólny czynnik z nawiasów.

2) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów

W kuchni i przedpokoju należy kupić linoleum. Część kuchenna - przedpokój. Istnieją trzy rodzaje linoleum: za i ruble za. Ile będzie kosztował każdy z trzech rodzajów linoleum? (rys. 1)

Ryż. 1. Ilustracja przedstawiająca stan problemu

Decyzja

Metoda 1. Możesz osobno sprawdzić, ile pieniędzy potrzeba na zakup linoleum w kuchni, a następnie dodać je do przedpokoju i zsumować powstałe prace.

Wyrażenia, konwersja wyrażeń

Wyrażenia potęgowe (wyrażenia z potęgami) i ich transformacja

W tym artykule omówimy przekształcanie wyrażeń za pomocą mocy. Najpierw skupimy się na przekształceniach, które są wykonywane za pomocą wyrażeń dowolnego rodzaju, w tym wyrażeń potęgowych, takich jak otwieranie nawiasów, redukcja podobnych terminów. A następnie przeanalizujemy przekształcenia związane z wyrażeniami ze stopniami: praca z podstawą i wykładnikiem, używanie właściwości stopni itp.

Nawigacja po stronach.

Co to są wyrażenia mocy?

Termin „wyrażenia mocy” praktycznie nie występuje w szkolnych podręcznikach matematyki, ale często pojawia się w zbiorach zadań, specjalnie zaprojektowanych w celu przygotowania na przykład do egzaminu Unified State Examination i OGE. Po przeanalizowaniu zadań, w których wymagane jest wykonanie jakichkolwiek działań z wyrażeniami potęgowymi, staje się jasne, że wyrażenia potęgowe są rozumiane jako wyrażenia zawierające stopnie w swoich wpisach. Dlatego dla siebie możesz przyjąć następującą definicję:

Definicja.

Wyrażenia mocy są wyrażeniami zawierającymi uprawnienia.

Przynieśmy przykłady wyrażeń mocy. Ponadto przedstawimy je według tego, jak przebiega rozwój poglądów od stopnia ze wskaźnikiem naturalnym do stopnia ze wskaźnikiem rzeczywistym.

Jak wiadomo najpierw jest znajomość stopnia liczby z wykładnikiem naturalnym, na tym etapie pierwsze najprostsze wyrażenia potęgowe typu 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nieco później badana jest potęga liczby z wykładnikiem całkowitym, co prowadzi do pojawienia się wyrażeń potęgowych z ujemnymi potęgami całkowitymi, takich jak: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c 2 .

W klasach starszych wracają ponownie do stopni. Wprowadzany jest stopień z racjonalny wskaźnik, co prowadzi do pojawienia się odpowiednich wyrażeń potęgowych: , , itp. Na koniec brane są pod uwagę stopnie z niewymiernymi wykładnikami i wyrażeniami je zawierającymi: , .

Sprawa nie ogranicza się do wymienionych wyrażeń potęgowych: dalej zmienna wnika w wykładnik, a są na przykład takie wyrażenia 2 x 2 +1 lub . A po zapoznaniu się zaczynają pojawiać się wyrażenia potęgujące i logarytmiczne, np. x 2 lgx −5 x lgx.

Tak więc ustaliliśmy pytanie, czym są wyrażenia mocy. Następnie dowiemy się, jak je przekształcić.

Główne typy przekształceń wyrażeń mocy

Za pomocą wyrażeń potęgowych można wykonywać dowolne podstawowe przekształcenia tożsamości wyrażeń. Na przykład możesz rozwinąć nawiasy, zastąpić wyrażenia liczbowe ich wartościami, dodać podobne terminy i tak dalej. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest przestrzeganie przyjętej procedury wykonywania czynności. Podajmy przykłady.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia potęgowego 2 3 ·(4 2 −12) .

Decyzja.

Zgodnie z kolejnością czynności najpierw wykonujemy czynności w nawiasach. Tam po pierwsze zastępujemy potęgę 4 2 jej wartością 16 (patrz jeśli to konieczne), a po drugie obliczamy różnicę 16−12=4 . Mamy 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

W otrzymanym wyrażeniu zastępujemy potęgę 2 3 jej wartością 8 , po czym obliczamy iloczyn 8.4=32 . To jest pożądana wartość.

Więc, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Odpowiedź:

2 3 (4 2-12)=32.

Przykład.

Uprość wyrażenia mocy 3 a 4 b -7 -1+2 a 4 b -7.

Decyzja.

Oczywiście wyrażenie to zawiera podobne terminy 3 · a 4 · b − 7 i 2 · a 4 · b − 7 , i możemy je zredukować: .

Odpowiedź:

3 za 4 b -7 -1+2 za 4 b -7 =5 za 4 b -7 -1.

Przykład.

Wyraź ekspresję z mocami jako produkt.

Decyzja.

Aby poradzić sobie z zadaniem, można przedstawić liczbę 9 jako potęgę 3 2, a następnie zastosować skróconą formułę mnożenia, różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

Istnieje również szereg identycznych przekształceń związanych z wyrażeniami mocy. Następnie przeanalizujemy je.

Praca z podstawą i wykładnikiem

Istnieją stopnie, których podstawą i / lub wskaźnikiem są nie tylko liczby lub zmienne, ale niektóre wyrażenia. Jako przykład zapiszmy (2+0,3 7) 5−3,7 i (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Podczas pracy z podobnymi wyrażeniami zarówno wyrażenie w podstawie stopnia, jak i wyrażenie w wykładniku można zastąpić identycznie równe wyrażenie na ODZ jego zmiennych. Innymi słowy, według znanych nam reguł, możemy osobno przeliczyć podstawę stopnia, a osobno - wskaźnik. Oczywiste jest, że w wyniku tego przekształcenia otrzymuje się wyrażenie identyczne z pierwotnym.

Takie przekształcenia pozwalają nam uprościć wyrażenia z mocami lub osiągnąć inne cele, których potrzebujemy. Na przykład we wspomnianym wyżej wyrażeniu potęgowym (2+0,3 7) 5−3,7 możesz wykonywać operacje na liczbach w podstawie i wykładniku, co pozwoli ci przejść do potęgi 4,1 1,3. A po otwarciu nawiasów i dodaniu wyrazów podobnych do podstawy stopnia (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) otrzymujemy wyrażenie potęgowe więcej prosta forma 2 (x+1) .

Korzystanie z właściwości zasilania

Jednym z głównych narzędzi przekształcania wyrażeń z uprawnieniami jest równość, która odzwierciedla. Przypomnijmy główne. Dla dowolnych liczb dodatnich a i b oraz dowolnych liczby rzeczywiste r i s mają następujące właściwości potęg:

• a r a s = r + s ;
• a r:a s = a r−s ;
• (a b) r = a r br ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Zauważ, że w przypadku wykładników naturalnych, całkowitych i dodatnich ograniczenia dotyczące liczb a i b mogą nie być tak surowe. Na przykład dla liczby naturalne m i n równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa nie tylko dla dodatnich a , ale także dla ujemnych i dla a=0 .

W szkole główna uwaga w transformacji wyrażania władzy skupia się właśnie na umiejętności wyboru odpowiednia nieruchomość i zastosuj go poprawnie. W tym przypadku podstawy stopni są zwykle dodatnie, co pozwala na korzystanie z właściwości stopni bez ograniczeń. To samo dotyczy przekształceń wyrażeń zawierających zmienne w podstawach stopni – zakres dopuszczalnych wartości zmiennych jest zwykle taki, że bazy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie, co pozwala na swobodne korzystanie z właściwości stopni. Ogólnie rzecz biorąc, musisz stale zadawać sobie pytanie, czy w tym przypadku można zastosować jakąkolwiek właściwość stopni, ponieważ niedokładne użycie właściwości może prowadzić do zwężenia ODZ i innych problemów. Punkty te omówiono szczegółowo i z przykładami w artykule transformacja wyrażeń przy użyciu właściwości stopni. Tutaj ograniczamy się do kilku prostych przykładów.

Przykład.

Wyraź wyrażenie a 2,5 ·(a 2) -3:a -5,5 jako potęgę o podstawie a .

Decyzja.

Najpierw przekształcamy drugi czynnik (a 2) -3 o własność podniesienia potęgi do potęgi: (a 2) -3 =a 2 (-3) =a -6. W tym przypadku początkowe wyrażenie potęgowe przyjmie postać a 2.5 ·a -6:a -5.5 . Oczywiście pozostaje skorzystać z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie, którą mamy
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a-3,5-(-5,5) =a 2 .

Odpowiedź:

2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d 2.

Właściwości potęgowe są używane podczas przekształcania wyrażeń potęgowych zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia mocy.

Decyzja.

Równość (a·b) r =a r ·br , zastosowana od prawej do lewej, pozwala przejść od pierwotnego wyrażenia do iloczynu formy i dalej. A kiedy mnożymy moc przez te same podstawy wskaźniki sumują się: .

Można było dokonać przekształcenia pierwotnego wyrażenia w inny sposób:

Odpowiedź:

.

Przykład.

Mając wyrażenie potęgowe a 1.5 −a 0.5 −6 , wprowadź nową zmienną t=a 0.5 .

Decyzja.

Stopień a 1,5 można przedstawić jako 0,5 3 i dalej na podstawie właściwości stopnia w stopniu (a r) s = a r s przyłożonej od prawej do lewej przekonwertować do postaci (a 0,5) 3 . Zatem, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Teraz łatwo jest wprowadzić nową zmienną t=a 0.5 , otrzymujemy t 3 −t−6 .

Odpowiedź:

t3 −t−6 .

Zamiana ułamków zawierających potęgi

Wyrażenia potęgowe mogą zawierać ułamki z potęgami lub reprezentują takie ułamki. Wszelkie podstawowe przekształcenia frakcji, które są nieodłącznie związane z dowolnymi frakcjami, mają pełne zastosowanie do takich frakcji. Oznacza to, że ułamki zawierające stopnie można redukować, redukować do nowego mianownika, pracować osobno z ich licznikiem i osobno z mianownikiem itp. Aby zilustrować powyższe słowa, rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Uprość ekspresję mocy .

Decyzja.

To wyrażenie mocy jest ułamkiem. Popracujmy z jego licznikiem i mianownikiem. W liczniku otwieramy nawiasy i upraszczamy otrzymane po nim wyrażenie wykorzystując własności potęg, a w mianowniku przedstawiamy podobne wyrażenia:

Zmieniamy również znak mianownika, umieszczając minus przed ułamkiem: .

Odpowiedź:

.

Redukcja mocy zawierających ułamki do nowego mianownika odbywa się podobnie do redukcji do nowego mianownika ułamki wymierne. Jednocześnie znajduje się również dodatkowy czynnik i mnoży się przez niego licznik i mianownik ułamka. Wykonując tę ​​czynność warto pamiętać, że redukcja do nowego mianownika może prowadzić do zawężenia DPV. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby dodatkowy czynnik nie znikał dla żadnych wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład.

Przenieś ułamki do nowego mianownika: a) do mianownika a, b) do mianownika.

Decyzja.

a) W takim przypadku dość łatwo jest ustalić, jaki dodatkowy czynnik pomaga osiągnąć pożądany rezultat. Jest to mnożnik a 0,3, ponieważ 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Zwróć uwagę, że w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej a (jest to zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych) stopień a 0,3 nie zanika, zatem mamy prawo pomnożyć licznik i mianownik danego ułamka przez ten dodatkowy czynnik:

b) Przyglądając się bliżej mianownikowi, stwierdzamy, że

a pomnożenie tego wyrażenia przez da sumę sześcianów i , czyli . I to jest nowy mianownik, do którego musimy wprowadzić pierwotny ułamek.

Więc znaleźliśmy dodatkowy czynnik. Wyrażenie nie znika w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych x i y, dlatego możemy pomnożyć przez nie licznik i mianownik ułamka:

Odpowiedź:

a) , b) .

Nie ma też nic nowego w redukcji ułamków zawierających stopnie: licznik i mianownik są reprezentowane jako pewna liczba czynników, a te same czynniki licznika i mianownika są redukowane.

Przykład.

Zmniejsz ułamek: a) , b).

Decyzja.

a) Najpierw licznik i mianownik można zmniejszyć o liczby 30 i 45, co daje 15. Oczywiście możesz też zmniejszyć o x 0,5 +1 io . Oto, co mamy:

b) W tym przypadku te same czynniki w liczniku i mianowniku nie są od razu widoczne. Aby je zdobyć, musisz wykonać wstępne przekształcenia. W tym przypadku polegają one na rozłożeniu mianownika na czynniki według wzoru na różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

a)

b) .

Redukcja ułamków do nowego mianownika i redukcja ułamków służy głównie do wykonywania operacji na ułamkach. Akcje wykonywane są według znanych reguł. Podczas dodawania (odejmowania) ułamków są one redukowane do wspólnego mianownika, po czym liczniki są dodawane (odejmowane), a mianownik pozostaje taki sam. Wynikiem jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Przykład.

Wykonaj kroki .

Decyzja.

Najpierw odejmujemy ułamki w nawiasach. Aby to zrobić, łączymy je ze wspólnym mianownikiem, którym jest , a następnie odejmij liczniki:

Teraz mnożymy ułamki:

Oczywiście możliwe jest zmniejszenie o potęgę x 1/2, po czym mamy .

Możesz również uprościć wyrażenie potęgowe w mianowniku, używając wzoru różnicy kwadratów: .

Odpowiedź:

Przykład.

Uprość ekspresję mocy .

Decyzja.

Oczywiście ten ułamek można zmniejszyć o (x 2,7 +1) 2, co daje ułamek . Jasne jest, że z potęgami x trzeba zrobić coś jeszcze. Aby to zrobić, konwertujemy powstałą frakcję na produkt. Daje nam to możliwość skorzystania z właściwości dzielenia uprawnień o tych samych podstawach: . A pod koniec procesu przechodzimy od ostatniego produktu do frakcji.

Odpowiedź:

.

I dodajemy, że możliwe i w wielu przypadkach pożądane jest przeniesienie współczynników z ujemnymi wykładnikami z licznika na mianownik lub z mianownika na licznik poprzez zmianę znaku wykładnika. Takie przekształcenia często ułatwiają dalsze działania. Na przykład wyrażenie potęgowe można zastąpić przez .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

Często w wyrażeniach, w których wymagane są pewne przekształcenia, wraz ze stopniami z wykładnikami ułamkowymi, występują również pierwiastki. Aby przekonwertować takie wyrażenie na właściwy rodzaj, w większości przypadków wystarczy przejść tylko do korzeni lub tylko do potęg. Ale ponieważ wygodniej jest pracować ze stopniami, zwykle przechodzą od korzeni do stopni. Wskazane jest jednak przeprowadzenie takiego przejścia, gdy ODZ zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków stopniami bez konieczności dostępu do modułu lub dzielenia ODZ na kilka przedziałów (omówiliśmy to szczegółowo w artykuł, przejście od pierwiastków do potęg i na odwrót Po zapoznaniu się ze stopniem z wykładnikiem wymiernym wprowadza się stopień ze wskaźnikiem nieracjonalnym, co pozwala mówić o stopniu z dowolnym wskaźnikiem rzeczywistym. szkoła zaczyna się uczyć funkcja wykładnicza , który analitycznie podaje stopień, na podstawie którego znajduje się liczba, a we wskaźniku - zmienna. Mamy więc do czynienia z wyrażeniami potęgowymi zawierającymi liczby w podstawie stopnia, aw wykładniku - wyrażenia ze zmiennymi i naturalnie zachodzi potrzeba wykonania przekształceń takich wyrażeń.

Należy powiedzieć, że przekształcenie wyrażeń wskazanego typu zwykle musi być wykonane przy rozwiązywaniu równania wykładnicze oraz wykładnicze nierówności , a te przekształcenia są dość proste. W zdecydowanej większości opierają się one na właściwościach stopnia i mają na celu przede wszystkim wprowadzenie nowej zmiennej w przyszłości. Równanie pozwoli nam je zademonstrować 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Najpierw wykładniki, w których wykładnikach znajduje się suma jakiejś zmiennej (lub wyrażenia ze zmiennymi) i liczba, są zastępowane przez iloczyny. Dotyczy to pierwszego i ostatniego wyrazu wyrażenia po lewej stronie:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Następnie obie części równości są dzielone przez wyrażenie 7 2 x , które przyjmuje tylko dodatnie wartości na ODV zmiennej x dla pierwotnego równania (jest to standardowa technika rozwiązywania tego rodzaju równań, nie jesteśmy Mówiąc o tym teraz, skup się więc na kolejnych przekształceniach wyrażeń z potęgami ):

Teraz ułamki z potęgami są skreślane, co daje .

Wreszcie iloraz potęg o tych samych wykładnikach zostaje zastąpiony potęgami ilorazów, co prowadzi do równania , co jest równoważne . Dokonane przekształcenia pozwalają nam wprowadzić nową zmienną, która sprowadza rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równania kwadratowego

I. V. Boikov, L. D. Romanova Zbiór zadań przygotowujących do egzaminu. Część 1. Penza 2003.

Wyrażenie algebraiczne, w zapisie którego oprócz operacji dodawania, odejmowania i mnożenia wykorzystuje również podział na wyrażenia dosłowne, nazywamy ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Takie są na przykład wyrażenia

Ułamek algebraiczny nazywamy wyrażeniem algebraicznym, które ma postać ilorazu dzielenia dwóch całkowitych wyrażeń algebraicznych (na przykład jednomianów lub wielomianów). Takie są na przykład wyrażenia

trzecie z wyrażeń).

Transformacje tożsamościowe ułamkowych wyrażeń algebraicznych są w większości przeznaczone do reprezentowania ich w postaci ułamek algebraiczny. Aby znaleźć wspólny mianownik, stosuje się faktoryzację mianowników ułamków - terminów w celu znalezienia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podczas redukcji ułamków algebraicznych można naruszyć ścisłą identyczność wyrażeń: konieczne jest wykluczenie wartości wielkości, przy których znika czynnik, o który dokonano redukcji.

Podajmy przykłady identycznych przekształceń ułamkowych wyrażeń algebraicznych.

Przykład 1: Uprość wyrażenie

Wszystkie wyrazy można sprowadzić do wspólnego mianownika (wygodnie jest zmienić znak w mianowniku ostatniego wyrazu i znak przed nim):

Nasze wyrażenie jest równe jeden dla wszystkich wartości poza tymi wartościami, nie jest zdefiniowane, a redukcja ułamków jest nielegalna).

Przykład 2. Reprezentuj wyrażenie jako ułamek algebraiczny

Decyzja. Wyrażenie może być traktowane jako wspólny mianownik. Znajdujemy kolejno:

Ćwiczenia

1. Znajdź wartości wyrażeń algebraicznych dla określonych wartości parametrów:

2. Faktoryzuj.

Math-Calculator-Online v.1.0

Kalkulator wykonuje następujące operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, praca z ułamkami dziesiętnymi, wyciąganie pierwiastka, podnoszenie do potęgi, obliczanie procentów i inne operacje.

Decyzja:

Jak korzystać z kalkulatora matematycznego

Klucz	Przeznaczenie	Wyjaśnienie
5	cyfry 0-9	Cyfry arabskie. Wprowadź naturalne liczby całkowite, zero. Aby uzyskać ujemną liczbę całkowitą, naciśnij klawisz +/-
.	średnik)	Separator dziesiętny. Jeśli nie ma cyfry przed kropką (przecinek), kalkulator automatycznie podstawi zero przed kropką. Na przykład: zostanie zapisane 0,5 - 0,5
+	znak plusa	Dodawanie liczb (całkowite, ułamki dziesiętne)
-	minus	Odejmowanie liczb (całkowite, ułamki dziesiętne)
÷	znak podziału	Podział liczb (całkowite, ułamki dziesiętne)
X	znak mnożenia	Mnożenie liczb (liczby całkowite, dziesiętne)
√	źródło	Wydobywanie pierwiastka z liczby. Po ponownym naciśnięciu przycisku „root” korzeń jest obliczany na podstawie wyniku. Na przykład: pierwiastek kwadratowy z 16 = 4; pierwiastek kwadratowy z 4 = 2
x2	kwadratura	Podnoszenie liczby do kwadratu. Po ponownym naciśnięciu przycisku „kwadrat” wynik jest podnoszony do kwadratu, na przykład: kwadrat 2 = 4; kwadrat 4 = 16
1/x	frakcja	Dane wyjściowe do ułamków dziesiętnych. W liczniku 1, w mianowniku liczba wejściowa
%	procent	Uzyskaj procent liczby. Do pracy należy wpisać: liczbę, od której będzie liczony procent, znak (plus, minus, dzielenie, pomnożenie), ile procent w postaci liczbowej, przycisk „%”
(	otwarty wspornik	Otwarty nawias ustalający priorytet oceny. Wymagany jest nawias zamknięty. Przykład: (2+3)*2=10
)	zamknięty wspornik	Zamknięty nawias ustalający priorytet oceny. Wymagana dostępność otwarty wspornik
±	mniej więcej	Zmienia znak na przeciwny
=	równa się	Wyświetla wynik rozwiązania. Również obliczenia pośrednie i wynik są wyświetlane nad kalkulatorem w polu „Rozwiązanie”.
←	usuwanie postaci	Usuwa ostatni znak
Z	Resetowanie	Przycisk reset. Całkowicie resetuje kalkulator do „0”

Algorytm kalkulatora online z przykładami

Dodatek.

Dodawanie całych liczb naturalnych ( 5 + 7 = 12 )

Dodawanie całych liczb naturalnych i ujemnych ( 5 + (-2) = 3 )

Dodawanie dziesiętne liczby ułamkowe { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Odejmowanie.

Odejmowanie całych liczb naturalnych ( 7 - 5 = 2 )

Odejmowanie całych liczb naturalnych i ujemnych ( 5 - (-2) = 7 )

Odejmowanie dziesiętnych liczb ułamkowych ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Mnożenie.

Iloczyn całkowitych liczb naturalnych ( 3 * 7 = 21 )

Iloczyn całkowitych liczb naturalnych i ujemnych ( 5 * (-3) = -15 )

Iloczyn dziesiętnych liczb ułamkowych ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Dział.

Podział całych liczb naturalnych ( 27 / 3 = 9 )

Podział liczb naturalnych i ujemnych ( 15 / (-3) = -5 )

Podział dziesiętnych liczb ułamkowych ( 6,2 / 2 = 3,1 )

Wydobywanie pierwiastka z liczby.

Wyodrębnianie pierwiastka liczby całkowitej ( root(9) = 3 )

Wyodrębnianie pierwiastka z cyfr dziesiętnych ( root(2.5) = 1.58)

Wyciąganie pierwiastka z sumy liczb ( pierwiastek(56 + 25) = 9 )

Wyodrębnianie pierwiastka z różnicy liczb ( pierwiastek (32 - 7) = 5 )

Podnoszenie liczby do kwadratu.

Podnoszenie liczby całkowitej do kwadratu ( (3) 2 = 9 )

Ułamki dziesiętne do kwadratu ( (2,2) 2 = 4,84 )

Konwersja na ułamki dziesiętne.

Obliczanie procentów liczby

Zwiększ 230 o 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Zmniejsz liczbę 510 o 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18% liczby 140 to (140 * 0,18 = 25,2)

Wygodny i prosty kalkulator online frakcje ze szczegółowym rozwiązaniem może:

• Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamki online,
• Odbierać rozwiązanie pod klucz ułamki ze zdjęciem i wygodnie go przenieść.



Wynik rozwiązywania ułamków będzie tutaj ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Znak ułamkowy "/" + - * :
_wyczyść Wyczyść
Nasz kalkulator ułamków online ma szybkie wprowadzanie. Aby na przykład uzyskać rozwiązanie ułamków, po prostu napisz 1/2+2/7 do kalkulatora i naciśnij „ rozwiąż ułamki". Kalkulator ci napisze szczegółowe rozwiązanie ułamki i problem obraz przyjazny dla kopiowania.

Znaki używane do pisania w kalkulatorze

Możesz wpisać przykład rozwiązania zarówno z klawiatury, jak i za pomocą przycisków.

Funkcje internetowego kalkulatora frakcji

Kalkulator ułamków może wykonywać tylko operacje na 2 prostych ułamkach. Mogą być poprawne (licznik jest mniejszy niż mianownik) lub niepoprawny (licznik jest większy niż mianownik). Liczby w liczniku i mianownikach nie mogą być ujemne ani większe niż 999.
Nasz kalkulator online rozwiązuje ułamki i dostarcza odpowiedzi na poprawna forma- zmniejsza ułamek i w razie potrzeby uwydatnia całą część.

Jeśli chcesz rozwiązać ułamki ujemne, po prostu użyj właściwości minus. Mnożąc i dzieląc ułamki ujemne, minus przez minus daje plus. Oznacza to, że iloczyn i podział ułamków ujemnych jest równy iloczynowi i podziałowi tych samych ułamków dodatnich. Jeśli jeden ułamek jest ujemny po pomnożeniu lub podzieleniu, po prostu usuń minus, a następnie dodaj go do odpowiedzi. Podczas dodawania ujemnych ułamków wynik będzie taki sam, jak w przypadku dodania tych samych dodatnich ułamków. Jeśli dodasz jeden ułamek ujemny, to jest to to samo, co odjęcie tego samego ułamka dodatniego.
Przy odejmowaniu ułamków ujemnych wynik będzie taki sam, jak w przypadku odwrócenia ich i uczynienia dodatnimi. Oznacza to, że minus przez minus w tym przypadku daje plus, a suma nie zmienia się od zmiany warunków. Używamy tych samych zasad przy odejmowaniu ułamków, z których jeden jest ujemny.

Aby rozwiązać ułamki mieszane (ułamki, w których podświetlona jest cała część), po prostu przekształć całą część w ułamek. Aby to zrobić, pomnóż część całkowitą przez mianownik i dodaj do licznika.

Jeśli potrzebujesz rozwiązać 3 lub więcej ułamków online, powinieneś je rozwiązać jeden po drugim. Najpierw policz pierwsze 2 ułamki, następnie rozwiąż następny ułamek z otrzymaną odpowiedzią i tak dalej. Wykonaj operacje po kolei dla 2 ułamków, a na końcu otrzymasz poprawną odpowiedź.