„teoria prawdopodobieństwa w zadaniach egzaminu i oge”. Proste problemy w teorii prawdopodobieństwa

Przedstawione do tej pory w otwartym banku zadań USE w matematyce (mathege.ru), których rozwiązanie opiera się tylko na jednej formule, która jest klasyczną definicją prawdopodobieństwa.

Formułę najłatwiej zrozumieć za pomocą przykładów.
Przykład 1 W koszu znajduje się 9 czerwonych kulek i 3 niebieskie. Kulki różnią się tylko kolorem. Na chybił trafił (bez patrzenia) otrzymujemy jeden z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana w ten sposób piłka będzie niebieska?

Komentarz. W problemach prawdopodobieństwa dzieje się coś (w tym przypadku nasza akcja pociągania piłki), co może mieć inny wynik- wynik. Należy zauważyć, że wynik można oglądać na różne sposoby. Efektem jest także „wyciągnęliśmy piłkę”. Rezultatem jest „Wyciągnęliśmy niebieską piłkę”. „Wylosowaliśmy tę konkretną piłkę ze wszystkich możliwych piłek” – ten najmniej uogólniony pogląd na wynik nazywa się wynikiem elementarnym. We wzorze na obliczenie prawdopodobieństwa brane są pod uwagę wyniki elementarne.

Decyzja. Teraz obliczamy prawdopodobieństwo wyboru niebieskiej kuli.
Wydarzenie A: „wybrana piłka okazała się niebieska”
Całkowita liczba wszystkich możliwych wyników: 9+3=12 (liczba wszystkich kul, które mogliśmy wylosować)
Liczba pozytywnych wyników dla zdarzenia A: 3 (liczba takich wyników, w których wystąpiło zdarzenie A – czyli liczba niebieskich kulek)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Obliczmy dla tego samego problemu prawdopodobieństwo wyboru czerwonej piłki.
Całkowita liczba możliwych wyników pozostanie taka sama, 12. Liczba korzystnych wyników: 9. Pożądane prawdopodobieństwo: 9/12=3/4=0,75

Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia zawsze mieści się w zakresie od 0 do 1.
Czasami w mowie potocznej (ale nie w teorii prawdopodobieństwa!) prawdopodobieństwo zdarzeń szacuje się w procentach. Przejście od oceny matematycznej do konwersacyjnej odbywa się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) przez 100%.
Więc,
W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzeń, które nie mogą mieć miejsca, wynosi zero - nieprawdopodobne. Na przykład w naszym przykładzie byłoby to prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej piłki z kosza. (Liczba pozytywnych wyników wynosi 0, P(A)=0/12=0 jeśli liczone według wzoru)
Prawdopodobieństwo 1 ma zdarzenia, które na pewno się wydarzą, bez opcji. Na przykład prawdopodobieństwo, że „wybrana piłka będzie czerwona lub niebieska” jest dla naszego problemu. (Liczba pozytywnych wyników: 12, P(A)=12/12=1)

Przyjrzeliśmy się klasycznemu przykładowi, który ilustruje definicję prawdopodobieństwa. Wszystkie podobne UŻYWAJ zadań zgodnie z teorią prawdopodobieństwa są rozwiązywane przez zastosowanie tego wzoru.
Zamiast czerwonych i niebieskich kulek mogą być jabłka i gruszki, chłopcy i dziewczęta, bilety wyuczone i nienauczone, bilety zawierające i niezawierające pytania na określony temat (prototypy), wadliwe i wysokiej jakości torby lub pompki ogrodowe (prototypy). , ) - zasada pozostaje taka sama.

Różnią się nieco w sformułowaniu problemu teorii prawdopodobieństwa USE, w której trzeba obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia określonego dnia. ( , ) Podobnie jak w poprzednich zadaniach, musisz określić, co jest wynikiem elementarnym, a następnie zastosować tę samą formułę.

Przykład 2 Konferencja trwa trzy dni. Pierwszego i drugiego dnia po 15 mówców, trzeciego dnia - 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sprawozdanie prof. M. padnie trzeciego dnia, jeśli kolejność sprawozdań jest ustalana w drodze losowania?

Jaki jest tutaj podstawowy wynik? - Przypisanie raportu profesora do jednego ze wszystkich możliwych numerów seryjnych wystąpienia. W losowaniu bierze udział 15+15+20=50 osób. Tym samym raport prof. M. może otrzymać jeden z 50 numerów. Oznacza to, że istnieje tylko 50 podstawowych wyników.
Jakie są korzystne wyniki? - Te, w których okazuje się, że profesor będzie przemawiał trzeciego dnia. To znaczy ostatnich 20 numerów.
Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwo P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpowiedź: 0,4

Tutaj losowanie to ustalenie przypadkowej korespondencji między ludźmi a zamówionymi miejscami. W przykładzie 2 dopasowanie rozważano pod kątem tego, które z miejsc może zająć dana osoba. Do tej samej sytuacji można podejść z drugiej strony: która z osób z jakim prawdopodobieństwem mogłaby dostać się w dane miejsce (prototypy , , , ):

Przykład 3 W losowaniu bierze udział 5 Niemców, 8 Francuzów i 3 Estończyków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy (/drugi/siódmy/ostatni - to nie ma znaczenia) będzie Francuzem.

Liczba wyników elementarnych to liczba wszystkich możliwych ludzi kto mógłby losowo dostać się do? podane miejsce. 5+8+3=16 osób.
Pozytywne wyniki - Francuzi. 8 osób.
Pożądane prawdopodobieństwo: 8/16=1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5

Prototyp jest nieco inny. Są zadania dotyczące monet () i kości (), które są nieco bardziej kreatywne. Rozwiązania tych problemów można znaleźć na stronach prototypów.

Oto kilka przykładów rzucania monetą lub kostką.

Przykład 4 Kiedy rzucamy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy reszki?
Wyniki 2 - orły lub ogony. (uważa się, że moneta nigdy nie spada na krawędź) Korzystny wynik - ogony, 1.
Prawdopodobieństwo 1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5.

Przykład 5 Co jeśli rzucimy monetą dwa razy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu przypadkach wypadnie na głowę?
Najważniejsze jest ustalenie, jakie podstawowe wyniki weźmiemy pod uwagę, rzucając dwiema monetami. Po rzuceniu dwóch monet może wystąpić jeden z następujących wyników:
1) PP - za każdym razem wyszło
2) PO - pierwszy raz reszka, drugi raz orła
3) OP - pierwszy raz orła, drugi raz reszka
4) OO - heads up za każdym razem
Nie ma innych opcji. Oznacza to, że są 4 podstawowe wyniki, z których tylko pierwszy jest korzystny, 1.
Prawdopodobieństwo: 1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa rzuty monetą wylądują na reszek?
Liczba wyników elementarnych jest taka sama, 4. Korzystne wyniki to drugi i trzeci, 2.
Prawdopodobieństwo zdobycia jednego ogona: 2/4=0,5

W takich problemach może się przydać inna formuła.
Jeśli jednym rzutem monetą opcje mamy 2 wyniki, to dla dwóch rzutów wyniki wyniosą 2 2=2 2 =4 (jak w przykładzie 5), dla trzech rzutów 2 2 2=2 3 =8, dla czterech: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … dla N rzutów jest 2·2·...·2=2 N możliwych wyników.

Możesz więc obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania 5 reszek z 5 rzutów monetą.
Całkowita liczba wyników elementarnych: 2 5 =32.
Korzystne wyniki: 1. (RRRRRR - wszystkie 5 razy ogony)
Prawdopodobieństwo: 1/32=0,03125

To samo dotyczy kości. Przy jednym rzucie jest 6 możliwych wyników, więc dla dwóch rzutów: 6 6=36, dla trzech 6 6 6=216 itd.

Przykład 6 Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania liczby parzystej?

Łączne wyniki: 6, w zależności od liczby twarzy.
Korzystne: 3 wyniki. (2, 4, 6)
Prawdopodobieństwo: 3/6=0,5

Przykład 7 Rzuć dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuci 10? (w zaokrągleniu do setnych)

Istnieje 6 możliwych wyników dla jednej kości. Stąd dla dwojga, zgodnie z powyższą regułą, 6,6=36.
Jakie wyniki będą korzystne, aby w sumie wypadło 10?
10 należy rozłożyć na sumę dwóch liczb od 1 do 6. Można to zrobić na dwa sposoby: 10=6+4 i 10=5+5. Tak więc w przypadku kostek możliwe są opcje:
(6 na pierwszym i 4 na drugim)
(4 na pierwszym i 6 na drugim)
(5 na pierwszym i 5 na drugim)
W sumie 3 opcje. Pożądane prawdopodobieństwo: 3/36=1/12=0,08
Odpowiedź: 0,08

Inne rodzaje problemów B6 zostaną omówione w jednym z poniższych artykułów „Jak rozwiązać”.

Opis prezentacji na poszczególnych slajdach:

1 slajd

Opis slajdu:

Kluczowe zadania w rachunku prawdopodobieństwa Przygotowanie do OGE nr 9 MBOU „Gimnazjum nr 4 im. JAK. Puszkina” Opracowała: Sofina N.Yu.

2 slajdy

Opis slajdu:

Podstawowe weryfikowalne wymagania dotyczące przygotowania matematycznego Nr 9 OGE w matematyce Rozwiązuj praktyczne problemy wymagające systematycznego wyliczania opcji; porównać szanse wystąpienia zdarzeń losowych, ocenić prawdopodobieństwa zdarzenia losowego, porównać i zbadać modele sytuacji rzeczywistej za pomocą aparatu prawdopodobieństwa i statystyki. Nr 9 - zadanie podstawowe. Maksymalny wynik za wykonanie zadania to 1.

3 slajdy

Opis slajdu:

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest stosunkiem liczby m wyników korzystnych dla tego zdarzenia do Łączna n wszystkich równie możliwych niezgodnych zdarzeń, które mogą wystąpić w wyniku jednej próby lub obserwacji Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przypomnij sobie wzór na obliczenie klasycznego prawdopodobieństwa zdarzenia losowego Р = n m

4 slajdy

Opis slajdu:

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przykład: Komitet Rodzicielski kupił 40 kolorowanek na prezenty dla dzieci z okazji ukończenia szkoły rok szkolny. Spośród nich 14 opiera się na baśniach A.S. Puszkina i 26 na podstawie bajek G. Kh. Andersena. Prezenty są rozdawane losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że Nastya dostanie kolorowankę opartą na bajkach A.S. Puszkina. Rozwiązanie: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Odpowiedź: 0,35.

5 slajdów

Opis slajdu:

Przykład: Na egzaminie było 60 pytań. Iwan nie nauczył się 3 z nich. Znajdź prawdopodobieństwo, że natrafi na wyuczone pytanie. Rozwiązanie: tutaj n=60. Iwan nie nauczył się 3, więc nauczył się całej reszty, tj. m=60-3=57. P=57/60=0,95. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Odpowiedź: 0,95.

6 slajdów

Opis slajdu:

„Kolejność określa losowanie” Przykład: 20 zawodników bierze udział w mistrzostwach gimnastycznych: 8 z Rosji, 7 z USA, reszta z Chin. O kolejności występów zawodniczek decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że piąty zawodnik pochodzi z Chin. Rozwiązanie: W warunkach problemu pojawia się słowo „magiczne” „lot”, co oznacza, że ​​zapominamy o kolejności mówienia. Tak więc m= 20-8-7=5 (z Chin); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Odpowiedź: 0,25.

7 slajdów

Opis slajdu:

Przykład: Konferencja naukowa odbywa się za 5 dni. W sumie planowanych jest 75 raportów - pierwsze 3 dni po 17 raportów, reszta jest rozdzielona równo między 4 a 5 dniem. O kolejności raportów decyduje losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że raport prof. Iwanowa zostanie zaplanowany na ostatni dzień konferencji? Rozwiązanie: Umieśćmy dane w tabeli. Mamy to m=12; n=75. P=12/75=0,16. Odpowiedź: 0,16. „Kolejność losowana” Dzień I II III IV V Razem Liczba prezentacji 17 17 17 12 12 75

8 slajdów

Opis slajdu:

Częstotliwość zdarzenia W ten sam sposób, jak prawdopodobieństwo, określana jest częstotliwość zdarzenia, którego zadania również znajdują się w prototypach. Jaka jest różnica? Prawdopodobieństwo to przewidywalna wartość, a częstotliwość to stwierdzenie faktu. Przykład: Prawdopodobieństwo naprawy nowego tabletu w ciągu roku wynosi 0,045. W pewnym mieście na 1000 tabletek sprzedanych w ciągu roku do warsztatu gwarancyjnego trafiło 51 sztuk. Czym różni się częstotliwość zdarzenia „naprawa gwarancyjna” od jej prawdopodobieństwa w tym mieście? Rozwiązanie: Znajdź częstotliwość zdarzenia: 51/1000=0,051. A prawdopodobieństwo jest równe 0,045 (według stanu), co oznacza, że ​​w tym mieście zdarzenie „naprawa gwarancyjna” występuje częściej niż oczekiwano. Znajdźmy różnicę ∆= 0,051-0,045= 0,006. Jednocześnie musimy liczyć się z tym, że znak różnicy NIE jest dla nas ważny, a jedynie jego bezwzględna wartość. Odpowiedź: 0,006.

9 slajdów

Opis slajdu:

Problemy z wyliczeniem opcji („monety”, „zapałki”) Niech k będzie liczbą rzutów monetą, a następnie liczbą możliwych wyników: n = 2k. Przykład: W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszki wypadną dokładnie raz. Rozwiązanie: Opcje upuszczania monet: OO; LUB; RR; RO. Zatem n=4. Korzystne wyniki: RR i RR. Oznacza to, że m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Odpowiedź: 0,5.

10 slajdów

Opis slajdu:

Przykład: Przed rozpoczęciem mecz piłki nożnej Sędzia rzuca monetą, aby określić, która drużyna pierwsza będzie miała piłkę. Drużyna „Merkury” gra kolejno z zespołami „Mars”, „Jowisz”, „Uran”. Znajdź prawdopodobieństwo, że we wszystkich meczach prawo do posiadania piłki zdobędzie drużyna „Merkury”? Problemy z wyliczeniem opcji ("monety", "mecze") Rozwiązanie: Prawo posiadania pierwszej piłki drużyny "Merkury" w meczu z jedną z trzech pozostałych drużyn oznaczmy jako "Ogon". Wtedy prawem posiadania drugiej piłki tej drużyny jest „Orzeł”. Zapiszmy więc wszystkie możliwe skutki trzykrotnego rzucenia monetą. „O” - głowy, „P” - ogony. ; tj. n=8; m=1. P=1/8=0,125. Odpowiedź: 0,125 n = 23 „Mars” „Jowisz” „Uran”

11 slajdów

Opis slajdu:

Problemy z „kostką” (kostką) Niech k będzie liczbą rzutów kostką, a następnie liczbą możliwych wyników: n = 6k. Przykład: Dasha rzuca kostką dwa razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że jej suma wyrzuciła 8. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Odpowiedź: 0,14. Rozwiązanie: Suma dwóch kości musi wynosić 8 punktów. Jest to możliwe, jeśli istnieją następujące kombinacje: 2 i 6 6 i 2 3 i 5 5 i 3 4 i 4 m= 5 (5 odpowiednie kombinacje) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

12 slajdów

Opis slajdu:

Zdarzenia niezależne i prawo mnożenia Prawdopodobieństwo znalezienia zarówno pierwszego, drugiego, jak i n-tego zdarzenia określa wzór: Р= Р1*Р2*…*Рn Przykład: biathlonista strzela do tarczy pięć razy. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że biathlonista trafi w cele pierwsze trzy razy i nie trafi w dwa ostatnie. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Odpowiedź: 0,02. Rozwiązanie: Wynik każdego kolejnego strzału nie zależy od poprzednich. Dlatego zdarzenia „uderzyły w pierwszy strzał”, „uderzyły w drugi strzał” itp. niezależny. Prawdopodobieństwo każdego trafienia wynosi 0,8. Zatem prawdopodobieństwo chybienia wynosi 1 – 0,8 = 0,2. 1 strzał: 0,8 2 strzały: 0,8 3 strzały: 0,8 4 strzały: 0,2 5 strzały: 0,2 0,8 0,2 0,2 ​​= 0,02048 ≈ 0,02.

13 slajdów

Opis slajdu:

Kombinacje praw „i” i „lub” Przykład: Biuro kupuje artykuły papiernicze dla pracowników 3 różnych firm. Ponadto produkty I firmy stanowią 40% wszystkich dostaw, a reszta II firmy jest równo podzielona. Okazało się, że 2% długopisów drugiej firmy jest wadliwych. Odsetek małżeństw odpowiednio w pierwszej i trzeciej firmie wynosi 1% i 3%. Pracownik A wziął długopis z nowej przesyłki. Znajdź prawdopodobieństwo, że to będzie poprawne. Rozwiązanie: Produkty drugiej i trzeciej firmy to (100%-40%):2=30% dostaw. P(małżeństwo) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (długopisy użytkowe) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Odpowiedź: 0,981.

Łatwe zadania

Na stole 25 placków: 7 - z dżemem, 9 - z ziemniakami, reszta z kapustą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany placek będzie z kapustą?

0,36

Taksówka ma 40 samochodów: 14 to marki Łada, 8 to marki Renault, 2 to marki Mercedes, a reszta to marki Skoda. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na Twój telefon pojawi się Mercedes?

0,05

Określ prawdopodobieństwo, że podczas rzutu kostką wypadnie liczba co najmniej trzech.

Ira, Dima, Vasya, Natasha i Andrey pokonują standard na 60 metrach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dziewczyna biegnie najszybciej?

Prawdopodobieństwo, że telefon kupiony w przejściu podziemnym jest fałszywy, wynosi 0,83. Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon kupiony w przejściu nie będzie podróbką?

0,17

W turnieju koszykówki bierze udział 20 drużyn, w tym drużyna „Guys”. Wszystkie drużyny są podzielone na 4 grupy: A, B, C, D. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drużyna „Guys” znajdzie się w grupie A?

0,25

Worek na loterię zawiera beczki ponumerowane od 5 do 94 włącznie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że beczka wyjęta z worka zawiera liczbę dwucyfrową? Zaokrąglij swoją odpowiedź do najbliższej setnej części.

0,94

Przed egzaminem Igor wytrzymał do końca i zdołał nauczyć się tylko 5 biletów z 80. Określ prawdopodobieństwo, że natknie się na wyuczony bilet.

0,0625

Anya włącza radio i losowo wybiera falę radiową. W sumie jej radioodbiornik łapie 20 fal radiowych, a tylko 7 z nich w ten moment gra muzyka. Znajdź prawdopodobieństwo, że Anya wpadnie na muzyczną falę.

0,35

W co dwudziestej butelce napoju gazowanego pod nakrętką kryje się kod z wygraną. Określ prawdopodobieństwo, że zakupiona butelka będzie miała zwycięski kod pod nakrętką.

0,05

Zadania są trudniejsze

Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana trzycyfrowa liczba jest podzielna przez 5?

0,2

Rejestruje się wzrost (w cm) pięciu uczniów: 166, 158, 132, 136, 170. Na ile średnia arytmetyczna tego zestawu liczb różni się od jego mediany?

Według statystyk jednego małego kraju wiadomo, że prawdopodobieństwo, że dziecko urodzi się chłopcem wynosi 0,507. W 2017 r. na 1000 dzieci urodzonych w tym kraju przypadało średnio 486 dziewczynek. Czym różni się częstotliwość urodzeń kobiet w 2017 roku w tym kraju od prawdopodobieństwa tego zdarzenia?

0,007

Kość jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma dwóch wylosowanych liczb wynosi 3 lub 7. Zaokrąglij swoją odpowiedź do najbliższej setnej części.

0,22

Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana trzycyfrowa liczba jest podzielna przez 2?

0,5

Znajdź prawdopodobieństwo, że dwa rzuty monetą wyrzucą reszki dokładnie raz.

0,5

Kostka zostanie rzucona dwa razy, znajdź prawdopodobieństwo, że liczba większa niż trzy padnie za każdym razem. Zaokrąglij swoją odpowiedź do najbliższej setnej części.

0,31

Według statystyk jednego małego kraju wiadomo, że prawdopodobieństwo, że dziecko urodzi się chłopcem wynosi 0,594. W 2017 r. na 1000 dzieci urodzonych w tym kraju przypadało średnio 513 dziewczynek. Czym różni się częstotliwość urodzeń kobiet w 2017 roku w tym kraju od prawdopodobieństwa tego zdarzenia?

0,107

Rejestruje się wzrost (w cm) pięciu uczniów: 184, 145, 176, 192, 174. Jak bardzo różni się średnia arytmetyczna tego zestawu liczb od jego mediany?

1,8

Średnia wysokość mieszkańców wsi „Giants” wynosi 194 cm Wysokość Nikołaja Pietrowicza wynosi 195 cm Które z poniższych stwierdzeń jest poprawne?

1) Wzrost jednego z mieszkańców wioski musi wynosić 194 cm.

2) Nikołaj Pietrowicz jest najwyższym mieszkańcem wsi.

3) Na pewno będzie co najmniej jeden człowiek z tej wsi pod Nikołajem Pietrowiczem.

4) Na pewno będzie co najmniej jeden mieszkaniec tej wsi pod Nikołajem Pietrowiczem.

4

Trudne zadania

Strzelec strzela 4 razy z pistoletu do tarczy. Prawdopodobieństwo jego dokładnego trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,5. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel dwa pierwsze razy i nie trafi w dwa ostatnie.

0,0625

Prawdopodobieństwo uszkodzenia baterii wynosi 0,05. Klient w sklepie wybiera losowo pakiet z dwoma bateriami. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie baterie są dobre.

0,9025

Strzelec strzela do tarczy 5 razy z rzędu. Prawdopodobieństwo trafienia w cel podczas strzału wynosi 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafił w cel za pierwszym razem i chybił w ostatnim. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części.

Zdarzenia, które zachodzą w rzeczywistości lub w naszej wyobraźni można podzielić na 3 grupy. Są to pewne zdarzenia, które na pewno się wydarzą, zdarzenia niemożliwe i zdarzenia losowe. Teoria prawdopodobieństwa bada zdarzenia losowe, tj. zdarzenia, które mogą wystąpić lub nie. Ten artykuł zostanie zaprezentowany w streszczenie wzory z rachunku prawdopodobieństwa i przykłady rozwiązywania problemów z rachunku prawdopodobieństwa, które będą przedmiotem 4 zadania USE z matematyki (poziom profilu).

Po co nam teoria prawdopodobieństwa?

Historycznie potrzeba badania tych problemów pojawiła się w XVII wieku w związku z rozwojem i profesjonalizacją hazard i pojawienie się kasyna. To było prawdziwe zjawisko, które wymagało jego studiów i badań.

Karty do gry, kości, ruletka stwarzały sytuacje, w których mogło zajść dowolna ze skończonej liczby równie prawdopodobnych wydarzeń. Zaistniała potrzeba podania liczbowych szacunków możliwości wystąpienia zdarzenia.

W XX wieku stało się jasne, że ta pozornie niepoważna nauka odgrywa ważną rolę w zrozumieniu fundamentalnych procesów zachodzących w mikrokosmosie. Został stworzony współczesna teoria prawdopodobieństwa.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa

Przedmiotem badań teorii prawdopodobieństwa są zdarzenia i ich prawdopodobieństwa. Jeśli zdarzenie jest złożone, to można je rozłożyć na proste elementy, których prawdopodobieństwa można łatwo znaleźć.

Suma zdarzeń A i B nazywana jest zdarzeniem C, które polega na tym, że albo zdarzenie A, albo zdarzenie B, albo zdarzenia A i B miały miejsce w tym samym czasie.

Iloczynem zdarzeń A i B jest zdarzenie C, które polega na tym, że wydarzyło się zarówno zdarzenie A, jak i zdarzenie B.

Zdarzenia A i B uważa się za niezgodne, jeśli nie mogą wystąpić w tym samym czasie.

Mówi się, że zdarzenie A jest niemożliwe, jeśli nie może się zdarzyć. Takie wydarzenie jest oznaczone symbolem .

Zdarzenie A nazywa się pewnym, jeśli na pewno nastąpi. Takie wydarzenie jest oznaczone symbolem .

Niech każdemu zdarzeniu A zostanie przypisana liczba P(A). Tę liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A, jeżeli przy takiej korespondencji spełnione są następujące warunki.

Ważnym szczególnym przypadkiem jest sytuacja, w której istnieją równie prawdopodobne wyniki elementarne, a dowolne z tych wyników ze zdarzeń A. W tym przypadku prawdopodobieństwo można wprowadzić wzorem . Wprowadzone w ten sposób prawdopodobieństwo nazywa się klasyczne prawdopodobieństwo. Można wykazać, że w tym przypadku zachowują właściwości 1-4.

Problemy z teorii prawdopodobieństwa, które pojawiają się na egzaminie z matematyki, dotyczą głównie prawdopodobieństwa klasycznego. Takie zadania mogą być bardzo proste. Szczególnie proste są zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa w wersje demo. Łatwo obliczyć liczbę korzystnych wyników, liczba wszystkich wyników jest wpisana bezpośrednio w warunku.

Otrzymujemy odpowiedź według wzoru.

Przykładowe zadanie z egzaminu z matematyki do określenia prawdopodobieństwa

Na stole jest 20 ciastek - 5 z kapustą, 7 z jabłkami i 8 z ryżem. Marina chce zjeść ciasto. Jakie jest prawdopodobieństwo, że weźmie ciastko ryżowe?

Decyzja.

W sumie jest 20 równoprawdopodobnych wyników elementarnych, co oznacza, że ​​Marina może wziąć dowolny z 20 ciastek. Ale musimy oszacować prawdopodobieństwo, że Marina weźmie pasztecik ryżowy, to znaczy, gdzie A jest wyborem pasztecika ryżowego. Oznacza to, że mamy w sumie 8 korzystnych wyników (wybierając placki ryżowe).Wtedy prawdopodobieństwo będzie określone wzorem:

Zdarzenia niezależne, przeciwstawne i arbitralne

Jednak w otwartym banku zadań ponad trudne zadania. Zwróćmy zatem uwagę czytelnika na inne zagadnienia badane w rachunku prawdopodobieństwa.

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo każdego z nich nie zależy od tego, czy zaszło drugie zdarzenie.

Zdarzenie B polega na tym, że nie doszło do zdarzenia A, tj. zdarzenie B jest przeciwne do zdarzenia A. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest równe jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia bezpośredniego, tj. .

Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu, wzory

W przypadku zdarzeń arbitralnych A i B prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw bez prawdopodobieństwa ich wspólnego zdarzenia, tj. .

Dla zdarzeń niezależnych A i B prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw, tj. w tym przypadku .

Ostatnie 2 twierdzenia nazywane są twierdzeniami o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw.

Nie zawsze liczenie wyników jest takie proste. W niektórych przypadkach konieczne jest zastosowanie formuł kombinatorycznych. Najważniejszą rzeczą jest policzenie ilości wydarzeń spełniających określone warunki. Czasami takie obliczenia mogą stać się niezależnymi zadaniami.

Na ile sposobów 6 uczniów może zająć 6 pustych miejsc? Pierwszy uczeń zajmie dowolne z 6 miejsc. Każda z tych opcji odpowiada 5 sposobom umieszczenia drugiego ucznia. Dla trzeciego ucznia są 4 wolne miejsca, dla czwartego 3, dla piątego 2, szóste zajmie jedyne miejsce. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz znaleźć produkt, który jest oznaczony symbolem 6! i przeczytaj „sześć silni”.

W ogólnym przypadku odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę permutacji elementów n. W naszym przypadku .

Rozważmy teraz inny przypadek z naszymi uczniami. Na ile sposobów 2 uczniów może zająć 6 pustych miejsc? Pierwszy uczeń zajmie dowolne z 6 miejsc. Każda z tych opcji odpowiada 5 sposobom umieszczenia drugiego ucznia. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz znaleźć produkt.

W ogólnym przypadku odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę rozmieszczeń n elementów przez k elementów

W naszym przypadku .

I ostatni z tej serii. Na ile sposobów można wybrać 3 uczniów z 6? Pierwszego ucznia można wybrać na 6 sposobów, drugiego na 5, a trzeciego na 4 sposoby. Ale wśród tych opcji ta sama trójka uczniów występuje 6 razy. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz obliczyć wartość: . W ogólnym przypadku odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę kombinacji elementów przez elementy:

W naszym przypadku .

Przykłady rozwiązywania problemów z egzaminu z matematyki w celu określenia prawdopodobieństwa

Zadanie 1. Z kolekcji, wyd. Jaszczenko.

Na talerzu jest 30 ciast: 3 z mięsem, 18 z kapustą i 9 z wiśniami. Sasha losowo wybiera jedno ciasto. Znajdź prawdopodobieństwo, że skończy z wisienką.

.

Odpowiedź: 0,3.

Zadanie 2. Z kolekcji, wyd. Jaszczenko.

W każdej partii 1000 żarówek średnio 20 wadliwych. Znajdź prawdopodobieństwo, że żarówka wybrana losowo z partii jest dobra.

Rozwiązanie: Liczba sprawnych żarówek wynosi 1000-20=980. Wtedy prawdopodobieństwo, że żarówka pobrana losowo z partii będzie sprawna, wynosi:

Odpowiedź: 0,98.

Prawdopodobieństwo, że uczeń U. poprawnie rozwiąże więcej niż 9 zadań na teście z matematyki, wynosi 0,67. Prawdopodobieństwo, że U. poprawnie rozwiąże więcej niż 8 zadań, wynosi 0,73. Znajdź prawdopodobieństwo, że U. poprawnie rozwiąże dokładnie 9 zadań.

Jeśli wyobrazimy sobie oś liczbową i zaznaczymy na niej punkty 8 i 9, zobaczymy, że warunek „U. poprawnie rozwiązać dokładnie 9 zadań” jest zawarte w warunku „U. poprawnie rozwiąż więcej niż 8 zadań”, ale nie dotyczy warunku „W. poprawnie rozwiązać ponad 9 problemów.

Jednak warunek „U. poprawnie rozwiąż więcej niż 9 zadań” zawarte jest w warunku „U. poprawnie rozwiązać więcej niż 8 problemów. Jeśli więc oznaczymy zdarzenia: „W. poprawnie rozwiąż dokładnie 9 zadań" - do A, "U. poprawnie rozwiąż więcej niż 8 zadań” - do B, „U. poprawnie rozwiąż więcej niż 9 problemów ”do C. Wtedy rozwiązanie będzie wyglądało tak:

Odpowiedź: 0,06.

Na egzaminie z geometrii student odpowiada na jedno pytanie z listy pytań egzaminacyjnych. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie trygonometryczne, wynosi 0,2. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie z zewnętrznych rogów wynosi 0,15. Nie ma pytań związanych z tymi dwoma tematami jednocześnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczeń otrzyma na egzaminie pytanie dotyczące jednego z tych dwóch tematów.

Zastanówmy się, jakie mamy wydarzenia. Dostajemy dwa niekompatybilne wydarzenia. Oznacza to, że albo pytanie będzie dotyczyć tematu „Trygonometria”, albo tematu „Kąty zewnętrzne”. Zgodnie z twierdzeniem prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo zdarzeń niezgodnych jest równe sumie prawdopodobieństw każdego zdarzenia, musimy znaleźć sumę prawdopodobieństw tych zdarzeń, czyli:

Odpowiedź: 0,35.

Pomieszczenie oświetla latarnia z trzema lampami. Prawdopodobieństwo przepalenia się jednej lampy w ciągu roku wynosi 0,29. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna lampa nie wypali się w ciągu roku.

Rozważmy możliwe wydarzenia. Mamy trzy żarówki, z których każda może się przepalić lub nie, niezależnie od innych żarówek. To są niezależne wydarzenia.

Następnie wskażemy warianty takich wydarzeń. Przyjmujemy zapis: - żarówka włączona, - żarówka przepalona. I zaraz potem obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia. Na przykład prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym wystąpiły trzy niezależne zdarzenia „przepalona żarówka”, „włączona żarówka”, „włączona żarówka”: gdzie prawdopodobieństwo zdarzenia „żarówka włączona” oblicza się jako prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenie przeciwne do zdarzenia „zgaszona żarówka”, czyli .

Zwróć uwagę, że korzystnych dla nas zdarzeń niezgodnych jest tylko 7. Prawdopodobieństwo takich zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw każdego ze zdarzeń: .

Odpowiedź: 0.975608.

Na obrazku widać kolejny problem:

W ten sposób zrozumieliśmy, czym jest teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, na które można się spotkać w wersji egzaminu.

Niniejsza prezentacja przedstawia najczęstsze problemy na egzaminie z rachunku prawdopodobieństwa. Zadania na poziomie podstawowym. Prezentacja pomoże zarówno nauczycielom na lekcjach uogólniania powtórek, jak i uczniom w samodzielny trening do egzaminu.

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, utwórz dla siebie konto ( rachunek) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

PRAWDOPODOBIEŃSTWO TEORIA KLUCZOWE ZADANIA Przygotowanie do OGE

RZUT MONETY

1. Moneta jest rzucana dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania jednej głowy i jednego ogona? Decyzja: Rzucając jedną monetą, możliwe są dwa wyniki – „orzeł” lub „reszek”. Podczas rzucania dwiema monetami - 4 wyniki (2 * 2 \u003d 4): „orzeł” - „ogony” „ogony” - „ogony” „ogony” - „orły” „orły” - „orły” Jeden „orzeł” i jeden „Ogony” wypadną w dwóch przypadkach na cztery. P(A)=2:4=0,5. Odpowiedź: 0,5.

2. Trzykrotnie rzuca się monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dwóch orłów i jednego ogona? Rozwiązanie: Po rzuceniu trzy monety Możliwych jest 8 wyników (2*2*2=8): „orzeł” - „ogony” - „ogony” „ogony” - „ogony” - „ogony” „ogony” - „orzeły” - „ogony” „ogony” - "orzeł" - "ogony" "ogony" - "ogony" - "głowy" "ogony" - "orły" - "orły" "orły" - "ogony" - "orły" "orły" - "orły" - " orły" » Wypadają dwa "orły" i jeden "ogony" trzy przypadki z ośmiu. P(A)=3:8=0,375. Odpowiedź: 0,375.

3. W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana cztery razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszki nigdy nie wyskoczą. Rozwiązanie: Przy rzucaniu czterema monetami możliwych jest 16 wyników: (2 * 2 * 2 * 2 = 16): Korzystne wyniki - 1 (wypadają cztery ogony). P(A)=1:16=0,0625. Odpowiedź: 0,0625.

GRA W KOŚCI

4. Określ prawdopodobieństwo, że podczas rzutu kostką wypadły więcej niż trzy punkty. Rozwiązanie: W sumie jest 6 możliwych wyników. Duże liczby to 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Odpowiedź: 0,5.

5. Rzuca się kostką. Znajdź prawdopodobieństwo uzyskania parzystej liczby punktów. Rozwiązanie: Całkowite możliwe wyniki - 6. 1, 3, 5 - liczby nieparzyste; 2, 4, 6 to liczby parzyste. Prawdopodobieństwo uzyskania parzystej liczby punktów wynosi 3:6=0,5. Odpowiedź: 0,5.

6. W losowym eksperymencie rzuca się dwiema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo uzyskania łącznie 8 punktów. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Rozwiązanie: Ta akcja - rzucenie dwiema kostkami ma w sumie 36 możliwych wyników, ponieważ 6² = 36. Korzystne wyniki: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Prawdopodobieństwo otrzymania ośmiu punktów wynosi 5:36 ≈ 0,14. Odpowiedź: 0,14.

7. Rzuć kostką dwa razy. W sumie wypadło 6 punktów. Znajdź prawdopodobieństwo uzyskania 5 w jednym z rzutów. Decyzja: Łączne wyniki 6 punktów - 5: 2 i 4; 4 i 2; 3 i 3; 1 i 5; 5 i 1. Korzystne wyniki - 2. P(A)=2:5=0,4. Odpowiedź: 0,4.

8. Na egzaminie było 50 biletów, Timofey nie nauczył się 5 z nich. Znajdź prawdopodobieństwo, że otrzyma wyuczony bilet. Rozwiązanie: Timofey nauczył się 45 biletów. P(A)=45:50=0,9. Odpowiedź: 0,9.

ZAWODY

9. W mistrzostwach w gimnastyce bierze udział 20 sportowców: 8 z Rosji, 7 z USA, reszta z Chin. O kolejności wykonania decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że zawodnik, który startuje jako pierwszy, pochodzi z Chin. Rozwiązanie: Suma wyników 20. Korzystne wyniki 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Odpowiedź: 0,25.

10. Na zawody w rzucie kulą przyjechało 4 zawodników z Francji, 5 z Anglii i 3 z Włoch. O kolejności występów decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że piąty zawodnik pochodzi z Włoch. Rozwiązanie: Liczba wszystkich możliwych wyników wynosi 12 (4 + 5 + 3 = 12). Liczba pozytywnych wyników wynosi 3. P(A)=3:12=0,25. Odpowiedź: 0,25.

11. Przed rozpoczęciem pierwszej rundy mistrzostw badmintona uczestnicy są losowo dzieleni na pary w drodze losowania. Łącznie w mistrzostwach bierze udział 26 badmintonistów, w tym 12 zawodników z Rosji, m.in. Władimir Orłow. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Władimir Orłow zagra z dowolnym badmintonistą z Rosji? Decyzja: Łączne wyniki - 25 (Vladimir Orlov z 25 badmintonistami). Korzystne wyniki - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Odpowiedź: 0,44.

12. Konkurs wykonawców trwa 5 dni. W sumie ogłoszono 75 występów – po jednym z każdego kraju. W pierwszym dniu odbywa się 27 spektakli, reszta jest dzielona równo na pozostałe dni. O kolejności występów decyduje losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że występ reprezentanta Rosji odbędzie się trzeciego dnia zawodów? Decyzja: Łączne wyniki - 75. Wykonawcy z Rosji występują trzeciego dnia. Korzystne wyniki - (75-27): 4 = 12. P(A)=12: 75=0,16. Odpowiedź: 0,16.

13. Kola wybiera dwucyfrową liczbę. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest podzielne przez 5. Rozwiązanie: Liczby dwucyfrowe: 10;11;12;…;99. Suma wyników - 90. Liczby podzielne przez 5:10; piętnaście; 20; 25; …; 90; 95. Korzystne wyniki - 18. P(A)=18:90=0,2. Odpowiedź: 0,2.

RÓŻNE ZADANIA DO OKREŚLANIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA

14. Fabryka produkuje torby. Średnio na każde 170 worków jakościowych przypada sześć worków z ukrytymi wadami. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiona torba będzie wysokiej jakości. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Rozwiązanie: Wyniki ogółem - 176. Wyniki korzystne - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Odpowiedź: 0,97.

15. Średnio na każde 100 sprzedanych baterii ładowane są 94 baterie. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiona bateria nie jest naładowana. Rozwiązanie: Suma wyników - 100. Korzystne wyniki - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Odpowiedź: 0,06.

ŹRÓDŁA http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru